3. Números índice. Matemática Financeira e Instrumentos de Gestão

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1 1 2 Matemática Financeira e Instrumentos de Gestão Sumário 3. Números índice 12ª Aula Taxa de variação Taxa de Inflação Exercícios de consolidação de conhecimentos 9 Nov Aula 12, 9 / Nov. / Quero saber o que é: A taxa de variação homóloga A taxa de variação média A taxa de variação acumulada Estes três termos são muito referidos quando se fala da inflação: Em Maio a taxa de inflação homóloga foi de 2,3%, sendo que a taxa de inflação média foi de 2,4%. Quanto à taxa de inflação acumulada até ao fim de Maio foi de 0,4%. A inflação que os tele-jornais referem é a variação relativa do índice de preços aos consumidor 5 6 De vez em quando, o INE Instituto Nacional de Estatística, pergunta às famílias qual a proporção das sua despesa anuais em: Alimentação Transportes Educação Habitação O inquérito detalha também cada grande rubrica Alimentação Carne Peixe Vegetais Arroz Etc.

2 7 8 O inquérito detalha também cada grande rubrica Carne Vaca Porco Frango Coelho Etc. Depois, com uma regularidade mensal recolhe uma amostra de preços de cada item Carne Visita 10 talhos em cada uma das sedes de distrito Vaca Lombo Costeletas Etc Sabe-se da vaca qual a proporção de cada parte no preço médio da vaca Sabe-se do porco Construo um índice Layesperes para a carne. Construo um índice Layesperes para o peixe. Já sabemos o preço de cada item consumido Já sabemos a proporção da despesa que, em média, as famílias gastam em cada item O INE constrói em índice de Laspeyres dos preços dos bens ao consumo Chama a essa medida o IPC Há outros índices de preços Por exemplo, Índice de Preços dos Imputes Industriais Índice de Preços dos Materiais de Construção Em tese, pode conter os mesmo preços mas Mas os pesos dos itens são diferentes Vejamos um exemplo. Na cidade da Maia, o índice de preço do Gasóleo evoluiu da forma seguinte: O período base é Jan que vale 0,500 Quero saber a taxa de variação homóloga em Maio 2004 Fonte: Dados arbitrados para efeitos demonstrativos.

3 Taxa de variação homóloga Taxa de variação homóloga: é a taxa que mede a variação entre o valor de um determinado índice num dia e no mesmo dia exactamente um ano antes. Taxa de var. em Maio de 2004 Índice Maio Índice Maio 2003 = = 0,30 Índice Maio Interpretação: O preço do gasóleo aumentou 30% entre Maio de 2003 e Maio de Taxa de variação homóloga O preço em cada mês pode ser: O preço médio no mês usando os preços diários O preço do dia 1 do mês (abertura) O preço do dia 15 do mês (meio da sessão) O preço do último dia do mês (fecho) O preço do dia pode ser O preço médio usando os preços horários Taxa de variação homóloga Qual a taxa de variação do preço do gasóleo em Junho 2004? A) 27,0% B) 15,5% C) Não se pode determinar D) 27,0% 3.2 Taxa de variação média Taxa de variação homóloga média: é a média (para um ano) das taxas homólogas. Abreviadamente, taxa de variação média. As homólogas são calculadas A cada trimestre A cada mês A cada semana A cada dia A cada hora A cada minuto Taxa de variação média 3.2 Taxa de variação média Taxa de variação média Taxas de variação homólogas Mês Mês Jan Jan n.a Fev Fev n.a Mar Mar n.a Abr Abr n.a Mai Mai n.a Jun Jun n.a Jul Jul n.a Ago Ago n.a Set Set n.a Out Out n.a Nov Nov n.a Dez Dez n.a Média Geom. n.a n.a. A média geométrica vem dada por: [(1+0,050).(1+0,019).(1+0,059)...(1+0,184).(1+0,192)]^(1/12) 1 = 12,68% É calculada de forma aproximada por: (0,050+0,019+0, ,184+0,192)/12 = 12,85% A considerada no tele-jornal é a média aritmética simples Quando falarmos da capitalização, retomaremos esta questão

4 Taxa de variação acumulada Taxa de variação acumulada: Sendo que a unidade de referência é o ano civil, a taxa de variação acumulada é a variação que ocorreu desde o início do ano até ao dia em consideração. A taxa de inflação acumulada quantifica a variação percentual do IPC entre as 24 horas do dias 31 de Dezembro de 2003 e hoje Os salários em 2004 subiram 2% mas em 31 de Outubro a inflação acumulada já vai em 2,1% pelo que os preços vão subir mais 0,5% que os salários CGPP, JM de 5 Nov Taxa de variação acumulada Vamos supor que o IP Gasóleo é calculado para o fim do mês. A taxa de variação acumulada em Janeiro foi de (0,525-0,520)/0,520 = 0,96% A taxa de variação acumulada em Fevereiro foi de (0,530-0,520)/0,520 = 1,92% A taxa de variação acumulada em Março foi de (0,540-0,520)/0,520 = 3,85% Taxa de variação acumulada Taxa de variação acumulada Mês Mês Jan Jan Fev Fev Mar Mar Abr Abr Mai Mai Jun Jun Jul Jul Ago Ago Set Set Out Out Nov Nov Dez Dez Voltemos ao IPC Os pesos de cada item é a proporção na despesa Por exemplo, Alimentação: Calçado e vestuário: Habitação: 20% da despesa 30% da despesa 30% da despesa Qual a taxa de variação acumulada desde o princípio de 2003? Será 0, ,223 = 41,5% ou será (0,758-0,520)/0,520 0,520)/0,520 = 45,77%? Por exemplo, os preços no dia zero são Alimentação: Calçado e vestuário: Habitação: E mudam no dia um para Alimentação: Calçado e vestuário: Habitação: 1 por prato 10 por peça 100 por m2 1,1 por prato 10 por peça 100 por m2 O que me interessa saber é a taxa de variação. Quanto terá variado? Era 1x0,2 + 10x0, x0,3 = 33,2 E passou a 1,1x0,2 + 10x0, x0,3 = 33,22? Aumentou 33,22/33,2 = 0,06%? Mas a alimentação aumento 10% Como tem um peso de 20%, Os preços devem ter aumentado 2%!!!

5 25 26 A ponderação é em termos de despesa Sendo que a despesa total era em zero 100 Era = 100 As quantidades de cada item seria 20/1 = 20 de Alimentação 30/10 = 3 de Calçado e vestuário 30/100 = 0,3 de Habitação As quantidades é que ponderam os preços No período zero, as quantidades são as seguintes 20/PAo + 30/PCo + 30/PHo = 100/Pmo No período um, as quantidades são as mesmas No período zero, as despesas são as seguintes (20/PAo)xPAo + (30/PCo)xPCo + (30/PHo)xPHo = (100/PMo)xPMo No período um, as despesas são as seguintes (20/PAo)xPA 1 + (30/PCo)xPC 1 + (30/PHo)xPH 1 = (100/PMo)xPM No período zero, as despesas são as seguintes 20x(PAo/PAo) + 30x(Pco/PCo) + 30x(PHo/PHo) = 100x(PMo/PMo) No período um, as despesas são as seguintes 20x(PA 1 /PAo) + 30x(PC 1 /PCo) + 30x(PH 1 /PHo) = 100x(PM 1 /Pmo) Para utilizar as proporções da despesa como ponderadores, Para cada item temos que usar um índice de preços No período t, as despesas são as seguintes 0,2x(PAt/PAo) + 0,3x(PCt/PCo) + 0,3x(PHt/PHo) = PMt/PMo Neste caso os índices valem 1 no período base Resumidamente, o INE Regularmente (cada 10 anos) determina por inquéritos às famílias a proporção de cada grande rubrica na despesa total Mensalmente constrói por amostragem um índice para cada rubrica das despesa sendo o ano base igual para todas as rubricas Resumidamente, o INE As grandes rubricas não inclui todas as despesas: são desprezadas as pequenas rubricas Calcula o IPC ponderando com as despesas relativas os índices das grandes rubricas A base do IPC é a base das rubricas.

6 31 32 No entanto, O IPC é utilizado para determinar a taxa de inflação Não é relevante qual é o nível de preço em Como todas as rubricas começam em 100, basta algumas para estimar o IPC As mudanças de base têm que manter as taxas de variação (considerar o salto em termos relativos) Exercício 1) Considere que temos o seguinte índice de preços mensais do gasóleo na Maia: Bomba 1 Bomba 2 Bomba 3 Bomba 4 Bomba 5 Vendas S 1 30% 30% 40% - - Vendas S % 20% 30% Preços (cent.) Mês Mês Mês Mês Mês Mês Mês Mês Mês Mês Exercício 1) 1. Calcule o índice para cada um dos meses, considerando como 100 o valor dos índice nos meses 01 (do S 1) e 05 (do S 2) x0,3 + 20x0,3 + 40x0,4 = 37,0 37,0/37,0x100 = 100, x0,3 + 15x0,3 + 45x0,4 = 39,0 39,0/37,0x100 = 105, x0,3 + 20x0,3 + 45x0,4 = 39,0 39,0/37,0x100 = 105, x0,3 + 20x0,3 + 40x0,4 = 38,5 38,5/37,0x100 = 104, x0,3 + 20x0,3 + 45x0,4 = 42,0 42,0/37,0x100 = 113,5 Salto 2. 45x0,5 + 50x0,2 + 10x0,3 = 35,5 35,5/35,5x100 = 100, x0,5 + 55x0,2 + 10x0,3 = 36,5 36,5/35,5x100 = 102, x0,5 + 55x0,2 + 15x0,3 = 40,5 40,5/35,5x100 = 114, x0,5 + 60x0,2 + 15x0,3 = 44,0 44,0/35,5x100 = 123, x0,5 + 65x0,2 + 20x0,3 = 49,0 49,0/35,5x100 = 138, x0,5 + 65x0,2 + 20x0,3 = 49,0 49,0/35,5x100 = 138,0 Exercício 1) 2. Proceda à mudança de base de forma a compatibilizar numa única série de valores os índices calculados com base em cada um dos cabazes. 3. O salto relativo é de 113,5/100,0 = 1, Multiplicarmos todos os valor das série S2 por esta constante para mantermos numa série as taxas de variação ,0 105,4 105,4 104,1 113, ,0 102,8 114,1 123,9 138,0 138, ,0 105,4 105,4 104,1 113,5 116,7 129,5 140,6 156,6 156,6 35 Exercício 1) => termo de correcção multiplicativo 2. Proceda à mudança de base de forma a compatibilizar numa única série de valores os índices calculados com base em cada um dos cabazes. Questão 2) => Usando um termo de correcção multiplicativo (de modo a manter constantes as taxas de crescimento) Mês 01 Mês 02 Mês 03 Mês 04 Mês 05 Mês 06 Mês 07 Mês 08 Mês 09 Mês 10 Cabaz 01) Cabaz T. correcção Índice final Taxa cresc % 0.0% -1.2% 9.0% 2.8% 11.0% 8.6% 11.4% 0.0% Taxas de crescimento da série original Cabaz 01) - 5.4% 0.0% -1.2% 9.0% Cabaz % 11.0% 8.6% 11.4% 0.0%