Ciclos Limite em Sistemas Lineares Suaves por Partes

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE GOIÁS INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA ANA MARIA ALVES DA SILVA Ciclos Limite em Sistemas Lineares Suaves por Partes Goiânia 2018

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3 ANA MARIA ALVES DA SILVA Ciclos Limite em Sistemas Lineares Suaves por Partes Dissertação apresentada ao Programa de Pós Graduação do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade Federal de Goiás, como requisito parcial para obtenção do título de Mestre em Matemática. Área de concentração: Sistemas Dinâmicos. Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Donizete Euzébio Goiânia 2018

4 Ficha de identificação da obra elaborada pelo autor, através do Programa de Geração Automática do Sistema de Bibliotecas da UFG. Silva, Ana Maria Alves da Ciclos Limite em Sistemas Lineares Suaves por Partes [manuscrito] / Ana Maria Alves da Silva CXVI, 116 f.: il. Orientador: Prof. Dr. Rodrigo Donizete Euzébio. Dissertação (Mestrado) - Universidade Federal de Goiás,, Programa de Pós-Graduação em Matemática, Goiânia, Bibliografia. Apêndice. Inclui lista de figuras. 1. Ciclos Limite. 2. T-singularidade. 3. Sistema Lineares Suaves por Partes. I. Euzébio, Rodrigo Donizete, orient. II. Título. CDU

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6 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização da universidade, da autora e do orientador. Ana Maria Alves da Silva Bacharela em Matemática pela Universidade Federal de Goiás - UFG.

7 Em memória do meu querido avô, Paulo Francisco da Silva.

8 Agradecimentos Agradeço primeiramente aos meus pais, Elaine Alves de Oliveira Silva e Eurípedes Borges da Silva, que sempre me apoiaram, incentivaram, estiveram comigo em todos os momentos de minha vida e nunca me deixaram desistir dos meus objetivos, além de os tornarem possíveis. Agradeço à minha irmã, por compreender os momentos de ausênciapresença, e ressalto que sempre tentei ser o exemplo para você, mesmo que seja o exemplo de esforço. Agradeço à minha avó, Marlene Alves de Oliveira, que é meu exemplo de luta, resistência e a pessoa que sempre me inspirou a persistir em meus objetivos. Agradeço ao meu namorado Lucas Eduardo Pereira da Silva Andrade, que foi um dos meus suportes durante essa dissertação, sempre me apoiando e estando comigo, independente do meu humor, ansiedade e medos. Agradeço pela sua enorme compreensão nos momentos de dificuldade, pelas palavras de apoio e conforto, pelo carinho e afeto. Agradeço aos meus amigos, Karla Carolina Vicente de Souza, Harley Davidson Weirich, por sempre estarem comigo em todos os momentos, pelos conselhos, pelas batalhas que vencemos juntos, por fazerem a minha vida mais alegre e pelos momentos de descontração. Agradeço de forma especial à minha amiga Renatha Cândida da Cruz, que acompanha a minha jornada desde a época de escola, obrigada pelos seus conselhos, pela confiança depositada em mim, por todo o apoio que você sempre me deu, por todas as vezes que você me fez olhar além das dificuldades, por todos os momentos de reflexão. Agradeço também, ao meu colega de pós-graduação Mayk Joaquim dos Santos por todo o conhecimento que compartilhamos durante o curso e por toda a ajuda. Agradeço aos meus professores do Instituto de Matemática e Estatística, de forma especial ao meu orientador Rodrigo Donizete Euzébio, pela paciência, parceria, confiança, apoio, conselhos e por tornar este trabalho possível. Agradeço aos professores Alacyr José Gomes e Ronaldo Alves Garcia pelos diversos conselhos acadêmicos que me fizeram chegar até aqui. Agradeço aos professores Durval José Tonon e Romildo da Silva Pina por acreditarem em mim e me incentivarem a seguir carreira acadêmica e explorar a beleza que é encontrada na matemática. Por fim, gostaria de agradecer à todos que me acompanham ao longo destes anos e ao Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico pelo apoio financeiro para a realização deste trabalho.

9 "We ve got to hold on ready or not. You live for the fight when that s all that you ve got" Bon jovi, Living on a Prayer.

10 Resumo Alves, Ana Maria. Ciclos Limite em Sistemas Lineares Suaves por Partes. Goiânia, p. Dissertação de Mestrado. Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Goiás. Neste trabalho estudaremos ciclos limite em sistemas lineares suaves por partes. Iniciamos estudando o caso em que a zona de descontinuidade é uma poligonal e fornecemos um exemplo de um sistema com sete ciclos limite. A existência de uma quantidade arbitrária n de ciclos limite para tais sistemas também é provada, assim como fornecemos um exemplo de um sistema com 10 ciclos limite. A existência de n ciclos limite, n N, também é estudada através de uma pertubação na zona de descontinuidade. Por fim, estudamos ciclos limite em sistemas lineares suaves planares com equilíbrios do tipo dobra-dobra em R 2, bem como ciclos limite em torno de uma T-singularidade. Palavras chave Sistema Lineares Suaves por Partes. Ciclos Limite. T-sigularidade.

11 Abstract Alves, Ana Maria. Limit Cycles in Discontinuous Piecewise Linear Systems. Goiânia, p. MSc. Dissertation. Instituto de Matemática e Estatística, Universidade Federal de Goiás. In this work we will study limit cycles in piecewise smooth linear systems. We begin studying the case where the separation curve is a polygonal and we give an example of a system having seven limit cycles. The existence of an arbitrary number of limit cycles is also proved for these systems, as well as an example of a system with 10 limit cycles. The existence of n limit cycles, n N, is also studied through a perturbation in the separation curve. Finally, we study limit cycles in planar piecewise linear systems presenting a twofold singularity in R 2, as well as limit cycles sorrounding a T-singularity. Keywords Piecewise Smooth Linear Systems. Limit Cycles. T-singularity.

12 Sumário Lista de Figuras 9 1 Conceitos Preliminares Introdução Convenção de Filippov e Algumas Definições 15 2 Ciclos Limite em Sistemas Lineares Suaves por Partes no Plano cuja Zona de Separação é uma Poligonal Introdução Construção da Zona de Descontinuidade Principais Resultados Análise de (A,A +,H) Exemplos Aplicação de Primeiro Retorno Demonstração dos Teoremas 54 3 Uma Quantidade Arbitrária de Ciclos Limite Hiperbólicos Introdução Demonstração do Teorema Uma Quantidade Arbitrária de Ciclos Limite não Necessariamente Hiperbólicos Introdução Principais Resultados 78 5 Ciclos Limite Bifurcando de Centros Descontínuos Introdução O Caso Planar O Caso em R Conclusão 101 A Apêndice- Resultados Auxiliares 102 B Apêndice- Resultados Citados na Introdução 104 C Apêndice- A Bifurcação do Centro onde a Descontinuidade é a União de duas Semi-retas 107 Referências Bibliográficas 112

13 Lista de Figuras 1.1 Região de costura. Veja [28] Esquerda: Região de Escape. Direita: Região de Deslize. Veja [28] Campo deslizante Singularidades tangênciais regulares Singularidades tangênciais singulares T-singularidade Aplicação de primeiro retorno em uma T-singularidade Tipos de pseudo-ciclos Tipos de pseudo-gráficos Exemplo de Descontinuidade L p para p L p para p L p para y 4 = L p para y 4 = L p para y 4 = L p para y 4 = L p para y 4 = L p para y 4 = L p para y 4 = L p para y 4 = L p para y 4 = L p para y 4 = L p para y 4 = ciclos limite de (A,A +,H) Função Distância (y 0 ) δ φ (y 0,ρ) Gráficos das Funções φ(y) e ξ(y) Os conjuntos R, C 1, C 2 e C Campos Ẋ = J X e Ẋ = J + X e gráficos de Ψ(0) 1 e Φ(0) O conjunto R e o ponto (η,η + ) = ( 0.3,0.5) Retrato de fases do sistema (J,J +,Ψ) Esquerda: Centro não perturbado. Direita: Sistema perturbado Retrato de fases do sistema (5-1) Função distância associada a função (5-5) Função distância associada a função (5-6) Campos de vetores deslizante normalizado e campo de vetores deslizante 95

14 C.1 Retrato de fases de Z(x, y). 108 C.2 Retrato de fases de Z(x, y) para o caso (ii). 108 C.3 Retrato de fases de Z(x, y) para o caso (iii). 110

15 11 Introdução O problema de estudar ciclos limite no plano está diretamente relacionado ao 16 problema de Hilbert. Tal problema busca fornecer uma cota máxima para a quantidade de ciclos limite em sistemas planares polinomiais e compreender suas posições relativas. Atualmente este problema tem se estendido a uma classe maior de sistemas dinâmicos, a saber a classe dos sistemas dinâmicos suaves por partes. Estes sistemas modelam inúmeros fenômenos concretos e tem atraído a atenção da comunidade matemática, assim como de fora dela. Com respeito ao problema de Hilbert associado à esta classe de sistemas dinâmicos, este se torna mais elaborado uma vez que, mesmo os mais simples sistemas dinâmicos suaves por partes apresentam rico comportamento dinâmico, que vão além da existência de ciclos limite, veja [6]. Estudar os sistemas que são lineares é o primeiro passo natural na busca pelo conhecimento do número de ciclos limite uma vez que os sistemas dinâmicos suaves por partes apresentam uma rica dinâmica e uma complexidade intrínseca. Há duas razões que dificultam a análise desses sistemas diferenciais. A primeira é que embora podemos integrar e encontrar facilmente as soluções dos sistemas diferenciais lineares, muitas vezes não conseguimos determinar o tempo de retorno que uma órbita leva para sair da região de descontinuidade e retornar a ela. A segunda razão é que o número de parâmetros em questão em geral não é pequeno. É claro que essas dificuldades aumentam quando trabalhamos com sistemas lineares suave por partes. Em 1991, Lum e Chua [24] enunciaram a seguinte conjectura: Conjectura Um campo de vetores contínuo linear por partes com uma zona de descontinuidade possui no máximo um ciclo de limite. O ciclo limite, se existir, é atrator ou repulsor. Observe que mesmo neste caso aparentemente simples, somente após uma difícil análise foi possível provar a existência de um ciclo limite. A conjectura de Lum e Chua foi demonstrada por Freire, Ponce, Rodrigo e Torres em 1998 [17], para maiores detalhes deste resultado veja o Apêndice B. Vários autores tentaram determinar o número máximo de ciclos limite que circundam um ponto de equilíbrio no caso em que a zona de descontinuidade é uma reta. Em 2009, Han e Zang [21] obtiveram alguns resultados em relação a existência de tais

16 12 ciclos, para maiores detalhes destes resultados veja Apêndice B. Além disso os autores conjecturaram que o número máximo de ciclos limite é exatamente 2 no caso em que a zona de descontinuidade é uma reta (Veja a Conjectura B.0.1). Em 2012 Huan e Yang [22] encontraram evidências numéricas de 3 ciclos limite circundando um único ponto de equilíbrio e assim deram uma resposta negativa a conjectura de Han-Zang B.0.1. No mesmo ano, Llibre e Ponce [23] demonstraram a existência de 3 ciclos limite para estes sistemas, veja o Teorema 2.1 e sua demonstração na Seção 2.7; assim, ficou demonstrado que a conjectura de Han-Zhang é falsa. Posteriormente, nos anos de os trabalhos de Braga e Mello [3], Buzzi, Pessoa e Torregrosa [10] e Freire, Ponce e Torres [18], demonstraram de outras maneiras, a existência de três ciclos limite em sistemas lineares suaves por partes cuja zona de descontinuidade é uma reta. Em 2014 Ponce e Torres [27] deram um mecanismo geral para encontrar três ciclos limite em sistemas lineares planares cuja zona de descontinuidade é um reta. Os autores apresentam uma forma canônica geral que inclui todas as configurações possíveis para uma certa classe de sistemas lineares no plano. Através dessa forma canônica, obtêmse outros resultados relevantes. Além disso, os autores demonstram que pode-se obter três ciclos limite não apenas no caso foco-foco. A partir desses resultados, suspeita-se que o número máximo de ciclos limite para os sistemas lineares suaves por partes cuja zona de descontinuidade é uma reta seja 3. Até o presente momento não foi demonstrado que este fato é verdadeiro e também não foi encontrado um sistema nessa classe de sistemas que apresente mais de três ciclos limite. Quando a região de descontinuidade não é uma reta, contudo, pode-se obter mais ciclos limite ou mesmo outros conjuntos minimais. Alguns resultados que surgiram recentemente neste contexto são devido a Braga e Mello (veja [4] e [5]), Novaes e Ponce (veja [25]), Braga, Carvalho e Mello (veja [2]). Tais trabalhos fundamentam o presente texto. Outros trabalhos relevantes neste contexto, mas que não serão abordados neste momento, são devidos a Buzzi, Pazim e Pérez-Gonzáles (veja [9]), Cardin e Torregrosa (veja [11]) e Pazim (veja [26]). Neste trabalho estamos interessados em entender o estado da arte acerca do número de ciclos limite em sistemas dinâmicos suaves por partes, para o caso em que estes são lineares, estão definidos no plano e a região de descontinuidade não é uma reta. No Capítulo 1 daremos algumas definições e resultados relacionados a sistemas lineares definidos por partes no plano; tais definições serão usadas ao longo dos demais capítulos. No Capítulo 2 estudaremos o exemplo apresentado por Braga e Mello [4], onde é apresentado um sistema linear suave por partes no plano com 7 ciclos limite. Neste caso a zona de descontinuidade considerada é uma poligonal. Além disso, neste capítulo

17 13 apresentaremos a conjectura feita por Braga e Mello [4]: dado n um número natural, existe um sistema linear suave por partes no plano que possui exatamente n ciclos limite. No Capítulo 3 demonstraremos a veracidade da conjectura de Braga e Mello [4] a partir do trabalho feito por Braga e Mello em 2015 [5], onde a zona de descontinuidade é uma poligonal e neste caso todos os ciclos limite são hiperbólicos, além disso daremos um exemplo com dez ciclos limite. No Capítulo 4 também demonstraremos a veracidade da conjectura de Braga e Mello [4] a partir do trabalho de Novaes e Ponce (2015) [25], mas neste caso os ciclos não são necessariamente todos hiperbólicos. A demonstração é feita através de uma pequena pertubação na descontinuidade com o objetivo de obtermos quantos ciclos limite quisermos. No Capítulo 5 estudaremos ciclos limite bifurcando de centros descontínuos definidos em equilíbrios do tipo dobra-dobra em R 2 e R 3, a partir do trabalho de Braga, Carvalho e Mello (2017) [2]. No Apêndice B apresentaremos alguns dos resultados citados na Introdução deste trabalho. No Apêndice A apresentaremos dois resultados auxiliares utilizados nas demonstrações dos Teoremas 2.1 e 5.2, respectivamente. No Apêndice C apresentaremos um problema a ser estudado futuramente, tal problema consiste em estudar a bifurcação do centro no caso em que a descontinuidade é a união de duas semi-retas.

18 Conceitos Preliminares CAPÍTULO 1 Neste capítulo daremos algumas definições e resultados básicos a respeito da teoria de sistemas dinâmicos suaves por partes que serão necessários ao longo dos demais capítulos. 1.1 Introdução Seja V R n um subconjunto aberto. Sistemas diferenciais lineares por partes com duas zonas em R n podem ser escritos como: F (X) = A X + B, f (X) 0; Ẋ = (1-1) F + (X) = A + X + B +, f (X) 0, onde. denota a derivada com respeito a variável independente t, chamada tempo; X R n, A ± são matrizes n n com entradas reais e B ± são matrizes n 1 com entradas reais. A função f : R n R é pelo menos de classe C 1 e o conjunto Σ = f 1 (0) divide R n em duas componentes ilimitadas (zonas) Σ + = {q V ; f (q) 0} e Σ = {q V ; f (q) 0} e os campos F + e F estão definidos em Σ + e Σ, respectivamente. Assim, R n = Σ + Σ Σ. Observação Utilizaremos a notação Z = (F,F +, f ) para referirmos ao sistemas (1-1). Definição O fluxo de um campo de vetores descontínuo é dado por um conjunto finito de EDOs Ẋ = F ± (p,µ), p Σ ±,µ R n, onde cada campo de vetores F ± é suave tanto no estado p quanto no parâmetro µ, e define um fluxo suave ϕ ± (p,µ,t) em um aberto U Σ ±. Em particular, cada fluxo ϕ ± está bem definido em ambos os lados da fronteira Σ ±.

19 1.2 Convenção de Filippov e Algumas Definições Convenção de Filippov e Algumas Definições Seja V um aberto de R n. Considere Σ uma variedade de R n de codimensão 1, dada por Σ = f 1 (0), onde f : V R é uma função de classe C 1 e 0 é um valor regular de f, isto é, f (p) 0 para todo p f 1 (0). Dizemos que Σ é uma variedade de descontinuidade (ou de separação) que separa duas regiões limite Σ + = { q V ; f (q) 0 } e Σ = { q V ; f (q) 0 }. Seja X o espaço dos campos de vetores C r em V, r 1, grande o suficiente para os nossos propósitos. Seja Ω o espaço dos campos de vetores Z : R n R n tais que: X(x,y),(x,y) Σ + ; Z(x,y) = Y (x,y),(x,y) Σ, (1-2) onde X = (X 1,X 2 ), Y = (Y 1,Y 2 ) X. As trajetórias de Z são as soluções de q = Z(q) e Z é multivaluado nos pontos de Σ. Observação Se analisarmos as soluções de q = Z(q), observamos que pode não haver unicidade sobre pontos de Σ. Assim, podem surgir pontos singulares em campos de vetores suaves por partes, cujas órbitas podem ser somente um ponto, ou uma curva não regular ou ainda órbitas de Z que atingem um ponto singular em tempo finito, como veremos nos capítulos posteriores. Um resultado básico de equações diferenciais neste contexto é dado por Filippov e será resumido abaixo, veja [16]. Considere a derivada de Lie X f (p) = f (p),x(p) onde, é o produto interno usual de R n. Distinguiremos as regiões de descontinuidade no conjunto Σ por: (i) Σ c Σ é a região de costura se (X f )(Y f ) > 0 em Σ c. Veja Figura 1.1. (ii) Σ e Σ é a região de escape se (X f ) > 0 e (Y f ) < 0 em Σ e. Veja Figura 1.2. (iii) Σ s Σ é a região de deslize se (X f ) < 0 e (Y f ) > 0 em Σ s.veja Figura 1.2. Figura 1.1: Região de costura. Veja [28].

20 1.2 Convenção de Filippov e Algumas Definições 16 Figura 1.2: Esquerda: Região de Escape. Direita: Região de Deslize. Veja [28]. Na região de deslize Σ s podemos definir um campo de vetores deslizante, da seguinte maneira: Definição Seja p Σ s então Z s (p) denota o vetor que é dado pela combinação convexa de X e Y. Z s (p) será denotado por: Z s (p) = λx(p) + (1 λ)y (p). (1-3) Assumindo que Z s (p) que é tangente a Σ em p, temos: f (p),z s (p) = 0 f (p),λx(p) + (1 λ)y (p) = 0 λ f (p),x(p) + (1 λ) f (p),y (p) = 0 λx f (p) + (1 λ)y f (p) = 0 λ(x f (p) Y f (p)) +Y f (p) = 0 Y f (p) λ = Y f (p) X f (p). (1-4) Observação Note que a equação (1-4) está bem definida pois p Σ s. Substituindo a equação (1-4) na equação (1-3), obtemos: Z s (p) = Y f (p)x(p) X f (p)y (p). Y f (p) X f (p) Geometricamente, o campo deslizante é definido como na Figura 1.3. Observação Note que a região de escape Σ e de Z será a região de deslize para o campo Z. Assim, podemos definir o campo na região de escape da seguinte forma: ( Z) s. Para ambos os casos, usaremos a notação Z Σ, para p Σ s Σ e. Definição Dizemos que q Σ é um ponto Σ-regular se: equilíbrio de Z Σ. (i) (X f (q))(y f (q)) > 0 ou (ii) (X f (q))(y f (q)) < 0 e Z Σ (q) 0, isto é, q Σ s Σ e mas não é um ponto de

21 1.2 Convenção de Filippov e Algumas Definições 17 Figura 1.3: Campo deslizante. Observação Um ponto que não é Σ-regular é dito um ponto Σ-singular. Seja q um ponto Σ-singular. Então q pode ser classificado do seguinte modo: (i) se Z Σ (q) = 0 então q é um pseudo equilíbrio de Z. Denotaremos o conjunto dos pontos que são pseudo equilíbrios por Σ p. (ii) Se (X f (q))(y f (q)) = 0 então q é uma singularidade tangencial (ponto de tangência) de Z. Denotaremos o conjunto dos pontos de tangência por Σ t. Observação Note que em (ii) q é um ponto de contato tangente as trajetórias de X e (ou) Y em Σ. Dado W X dizemos que r é a ordem de contato da trajetória Γ W com Σ em p se W k ( f (p)) = 0 k = 0, 1,... r 1 e W r ( f (p)) 0. Se W = X ou Y dizemos que p Σ é um ponto de tangência invisível se a ordem de contato de Γ X (ou Γ Y ) é par e X k ( f (p)) < 0 (respectivamente, Y k ( f (p)) > 0). Analogamente, dizemos que p Σ é um ponto de tangência visível se a ordem de contato de Γ X (ou Γ Y ) é ímpar e X k ( f (p)) > 0 (respectivamente, Y k ( f (p)) < 0). Em particular, dizemos que p Σ é um ponto de dobra de X se X( f (p)) = 0 mas X 2 ( f (p)) 0. Se X 2 ( f (p)) > 0, (respectivamente, X 2 ( f (p)) < 0) então p é uma dobra visível (respectivamente invisível). De modo análogo definimos dobra visível e invisível para Y, mas as desigualdades são contrárias. Seja p Σ t uma singularidade tangencial, se p é tangencia invisível para X e Y então p é dito singular. Se p não é singular então p é dito regular. A Figura 1.4 ilustra todos os possíveis casos para as singularidades tangenciais regulares. A linha horizontal representa a variedade de descontinuidade, a linha hachurada representa as curvas onde X f (p) = 0 ou Y f (p) = 0. Já a Figura 1.5 ilustra os casos em que as singularidades tangenciais singulares ocorrem, a linha horizontal representa a variedade de descontinuidade. Veja [16].

22 1.2 Convenção de Filippov e Algumas Definições 18 Figura 1.4: Singularidades tangênciais regulares. Figura 1.5: Singularidades tangênciais singulares. Denote por S X (respectivamente, S Y ) o conjunto de todas as singularidades tangenciais de X (respectivamente, Y ). O subconjunto de Σ no qual S X e S Y se intersectam é denominado singularidade dobra-dobra. Definição Dizemos que p é uma T-singularidade (ou Teixeira-singularidade) de um campo de vetores Z definido em R 3 se p é uma dobra invisível para X e Y e a interseção de S X e S Y é transversal em p. Veja a Figura 1.6 a qual foi retirada de [2]. Considere os seguintes conjuntos Σ c+ = { (x,y,0) R 3 ;x > 0 e y > 0 } e Σ c = { (x,y,0) R 3 ;x < 0 e y < 0 }. Seja p uma T-singularidade de um campo de vetores Z = (X,Y,H) e tome p pertencente a uma vizinhança de p em Σ c+ então existe um tempo t + (p) > 0 tal que toda trajetória futura de X passando por p em t = 0 retorna a Σ

23 1.2 Convenção de Filippov e Algumas Definições 19 Figura 1.6: T-singularidade. depois do tempo t + (p). Assim, definimos a aplicação de primeiro retorno associada a X por ϕ X (p) = φ X (t + (p), p) = p 1 Σ, onde φ X é o fluxo de X. Quando p 1 pertence a uma vizinhança de p em Σ c. Seja t (p 1 ) > 0 o tempo tal que toda trajetória de Y passando por p 1 retorna a Σ depois do tempo t (p 1 ). Definimos a aplicação de primeiro retorno associada a Y por ϕ Y (p 1 ) = φ Y (t (p 1 ), p 1 ) Σ, onde φ Y é o fluxo de Y. Logo a aplicação de primeiro retorno associada a Z = (X,Y,H) em uma vizinhança de p é dada por: ϕ(p) = ϕ Y ϕ X (p) = φ Y (t (p 1 ),φ X (t + (p), p)). Veja Figura 1.7, a qual foi retirada de [2]. Figura 1.7: Aplicação de primeiro retorno em uma T- singularidade. Seja W X e denote o fluxo de W por φ W (t, p), então: d dt φ W (t, p) = W(φ W (t, p)), φ W (0, p) = p,

24 1.2 Convenção de Filippov e Algumas Definições 20 onde t I = I(p,W) R é o intervalo de dependência de p V e W. As duas definições a seguir descrevem os conceitos das trajetórias local e global de um campo de vetores suave por partes. A primeira pode ser encontrado em [20] enquanto a segunda é apresentada em [7]. Definição A trajetória local (órbita) φ Z (t, p) de um campo de vetores suave por partes dado em (1-2) é definida como segue: Para p Σ + \ Σ e q Σ \ Σ + a trajetória é dada por φ Z (t, p) = φ X (t, p) e φ Z (t,q) = φ Y (t,q), respectivamente, onde t I. Para p Σ c tal que X f (p) > 0 e Y f (p) > 0 a trajetória é definida como φ Z (t, p) = φ X (t, p) para t I {t 0} e φ Z (t, p) = φ Y (t, p) para t I {t 0}. Para o caso em que X f (p) < 0 e Y f (p) < 0 basta revertermos o tempo e a definição é análoga. Para p Σ e a trajetória é definida por φ Z (t, p) = φ Z Σ(t, p) para t I {t 0}. Além disso a trajetória pode ser definida como φ Z (t, p) = φ X (t, p) ou φ Y (t, p) ou ainda φ Z (t, p) = φ Z Σ(t, p) para t I {t 0}. De modo análogo defini-se a trajetória para p Σ s basta revertermos os tempos. Para p um ponto de tangência regular a trajetória é dada por φ Z (t, p) = φ 1 (t, p) para t I {t 0} e φ Z (t, p) = φ 2 (t, p) para t I {t 0}, onde φ 1 e φ 2 são tomados como φ X, φ Y ou φ Z Σ. Para p um ponto de singularidade tangencial a trajetória é dada por φ Z (t, p) = p, t I. Observação Na Definição estamos tomando a origem no tempo 0. Definição Uma trajetória global (órbita) Γ Z (t, p 0 ) de Z Ω passando por p 0 é a união: Γ Z (t, p 0 ) = {σ i (t, p i ); t i t t i+1 }, i Z preservando a orientação local das trajetórias σ i (t, p i ) e satisfazendo σ i (t i+1, p i ) = σ i+1 (t i+1, p i+1 ) = p i+1, com t i ± quando i ±. Uma trajetória é positiva (respectivamente, negativa) se i N (respectivamente, i N ) e t 0 = 0. Observação Note que uma órbita global é uma concatenação adequada de órbita locais e serão utilizadas de maneira natural ao longo deste trabalho. Definição Seja Γ Z (t,q) a trajetória global do sistema (1-2). Dizemos que Γ Z é periódica se Γ Z é periódica na variável t, isto é, se existe uma sequência de tempos T n > 0 tais que Γ Z (t + T n,q) = Γ Z (t,q). Definição Considere o campo de vetores suave por partes definido em (1-2). Uma trajetória global fechada de Z é:

25 1.2 Convenção de Filippov e Algumas Definições 21 (i) um pseudo-ciclo se Σ 0 e não contém nenhum ponto de equilíbrio ou pseudo-equilíbrio. Veja a Figura 1.8, a qual foi retirada de [16]; (ii) um pseudo-gráfico se Σ 0 e é a união de pontos equilíbrio, pseudoequilíbrio e arco de órbitas de Z unindo os pontos de equilíbrio e pseudo-equilíbrio. Veja a Figura 1.9, a qual foi retirada de [16], as linhas hachuradas representam a variedade de descontinuidade. (iii) Uma órbita periódica isolada é denominada ciclo limite. Figura 1.8: Tipos de pseudo-ciclos. Figura 1.9: Tipos de pseudo-gráficos.

26 CAPÍTULO 2 Ciclos Limite em Sistemas Lineares Suaves por Partes no Plano cuja Zona de Separação é uma Poligonal Neste capítulo construiremos um exemplo de um sistema linear suave por partes no plano que possui 7 ciclos limite. Para isso utilizaremos uma poligonal como zona de descontinuidade. 2.1 Introdução Nos últimos anos houve um interesse considerável no estudo dos sistemas lineares por partes. Os trabalhos de Andronov [1] e Chua [13], para sistemas lineares por partes em R 2 e R 3, respectivamente, são um marco para está área. Existe um interesse especial em estudar a existência, o número e a distribuição dos ciclos limite em sistemas lineares por partes do plano. Em Llibre-Ponce [23] os autores demonstram a existência de três ciclos limite em torno da origem e em Braga- Mello [3] os autores demonstram que existem três ciclos limite para ε > 0 e que não há ciclos limite para todo ε < 0. Recentemente, Freire, Ponce e Torres [18] apresentaram um amplo estudo de sistemas lineares por partes separados por uma reta com dois ciclos limite. Neste capítulo estudaremos a seguinte classe de sistemas lineares por partes do plano com 2 zonas de descontinuidade: G X, H(X, p) 0; Ẋ = (2-1) G + X, H(X, p) 0, onde. denota a derivada com respeito a variável independente t, chamada tempo, p é o vetor parâmetro, X = (x,y), H(X, p) é a função que determina a região de descontinuidade e [ ] G ± g ± 11 g ± 12 = g ±, (2-2) 21 g ± 22

27 2.2 Construção da Zona de Descontinuidade 23 é uma matriz com entradas reais satisfazendo as seguintes condições: H1 g 12 ± < 0; H2 G possui autovalores complexos com parte real negativa e G + possui autovalores complexos com parte real positiva. H3 A função H é pelo menos contínua. Exemplo As seguintes matrizes ilustram as três condições definidas acima, dadas respectivamente por: A = [ ],A + = [ ]. (2-3) Cujos autovalores são dados, respectivamente por ( ±i) e ( 50 ±i), enquanto a função que determina a região de descontinuidade é dada por (X, p) H(X, p) = x p, onde X, p possuem mesma dimensão. Observação O exemplo acima foi estudado em Huan-Yang [22] e Llibre-Ponce [23] para p = 1 e Braga-Mello [3 ] para p = ε R. Um dos objetivos desse capítulo é dar um exemplo de um sistema planar com duas zonas com mais de três ciclos limite, veja [4]. Para isso, fazemos uma generalização da função (X, p) H(X, p) dada no Exemplo de forma que os sistemas estudados em Braga- Mello [3] e Llibre-Ponce [23] sejam um caso particular deste. 2.2 Construção da Zona de Descontinuidade Dado um número inteiro m 1, considere os seguintes conjuntos: X = {(x 1,x 2,...,x 2m 1 ) R 2m 1 }; Y = {(y 1,y 2,...,y 2m ) R 2m ; com y i y i+1 para todo i = 1,2,...,2m;} B = {(β 1,β 2,...,β m ) R m ; com β j {0,1} para todo j = 1,2,...,m.} Sejam X = (x,y) R 2 e p = ( x,ỹ, β) M = X Y B. Defina (X, p) H(X, p) = x h(y, p) onde h é definida por: (y, p) h(y, p) = x 1 + m k=1 α k (v(y y 2k 1 )) β k v(y y 2k ), (2-4) onde α k = x k+1 x k y 2k y 2k 1 para k = 1,2,...,m. Note que α k R. Defina ainda, s R v(s) = 0, s < 0; s(u(s)) tal que u(s) = é a função degrau unitária. 1, s 0,

28 2.2 Construção da Zona de Descontinuidade 24 Exemplo Para m = 2 e p = (0,1,1,1,2,1,2,1,0) temos x 1 = 0, x 2 = x 3 = 1, y 1 = y 3 = 1, y 2 = y 4 = 2, β 1 = 1 e β 2 = 0, assim α 1 = 1 e α 2 = 0. Logo, h(y, p) = 0 + v(y 1) v(y 2), como v(s) é a função degrau unitária, temos: 1, y 1, 1, y 2, v(y 1) =, v(y 1) = 0, y < 1, 0, y < 2. Donde Assim, 0, y < 1, h(y, p) = y 1, 1 y < 2, 1, y 2. x, y < 1, H(X, p) = x y + 1, 1 y < 2, x 1, y 2. A Figura 2.1 ilustra a descontinuidade gerada pelo ponto p = (0,1,1,1,2,1,2,1,0), representada em vermelho. Figura 2.1: Exemplo de Descontinuidade. Observação Observe que H não é diferenciável em alguns pontos de seu domínio mas isso não irá interferir no nosso estudo. Uma vez que fixamos p M, podemos definir o conjunto:

29 2.3 Principais Resultados 25 Definição L p = {X R 2 ; H(X, p) = 0}. Observação Um membro de (2-1) com a função H definida acima será denotado por (G,G +,H) m, onde m é a dimensão do espaço que estamos trabalhando, no nosso caso, m = Principais Resultados Nesta seção apresentaremos os principais resultados deste capítulo. Teorema 2.1 (Llibre-Ponce [23]): O sistema linear definido em (2-1) com as matrizes G + e G definidas como no Exemplo possui três ciclos limite não deslizantes que circundam a origem. Teorema 2.2 (Braga-Mello [4]): Existem valores de parâmetros para p = (x 1,x 2,x 3,y 1,y 2,y 3,y 4,β 1,β 2 ) M tais que (A,A +,H) 2 possui 3 < n(p) 7 ciclos limite não deslizantes ao redor da origem. Mais precisamente, para: p 4 = (1,2,2,3,4,y 3,y 4,0,β 2 ), n(p 4 ) = 4; p 5 = (1,2,2,3,4,y 3,y 4,1,β 2 ), n(p 5 ) = 5; p 6 = (1,2,3,3,4,5,6,1,0), n(p 6 ) = 6; p 7 = (1,2,3,3,4,5,6,1,1), n(p 7 ) = 7. Observação As matrizes do Teorema 2.2 são as matrizes dadas no Exemplo Observação No Teorema 2.2, n(p) representa o número de ciclos limite não deslizantes. Conjectura (Braga-Mello) Dado n N, existe um sistema linear por partes com duas zonas no plano com exatamente n ciclos limite. A prova dos Teoremas 2.1 e 2.2 serão dadas na Seção Análise de (A,A +,H) 2 Nesta seção estudaremos a função H dada por Braga e Mello em [4]. Estudaremos também as regiões de deslize e costura para os pontos p 4, p 5, p 6 e p 7 definidos no Teorema 2.2.

30 2.4 Análise de (A,A +,H) 2 26 Estudo das Regiões de Costura e Deslize para p 6 e p 7 Para determinarmos as regiões de costura e deslize de p 6 e p 7, precisamos determinar a região de descontinuidade, que é dada pela aplicação H(X, p) que por sua vez, depende da função h(y, p), como vimos na Seção 2.1. Façamos as contas necessárias para p 7. Temos que p 7 = (1,2,3,3,4,6,1,1), logo x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3, y 1 = 3, y 2 = 4, y 3 = 5, y 4 = 6, β 1 = β 2 = 1, assim obtemos α 1 = α 2 = 1. Substituindo estes valores na equação (2-4), obtemos: h(y, p 7 ) = 1 + v(y 3) v(y 4) + v(y 5) v(y 6), como v(s) é a função degrau unitária, segue que: 1, y 3 1, y 4 v(y 3) =, v(y 4) = 0, y < 3 0, y < 4 1, y 5 1, y 6 v(y 5) =, v(y 6) = 0, y < 5 0, y < 6,. Logo, 1, se y < 3. y 2, se 3 y < 4. h(y, p 7 ) = 2, se 4 y < 5. y 3, se 5 y < 6. 3, se y 6. (2-5) Assim, como H(X, p) = x h(y, p), temos: x 1, se y < 3. x y + 2, se 3 y < 4. H(X, p 7 ) = x 2, se 4 y < 5. x y + 3, se 5 y < 6. x 3, se y 6.

31 2.4 Análise de (A,A +,H) 2 27 De modo análogo, obtemos h(y, p 6 ) e H(y, p 6 ), dadas, respectivamente por: 1, se y < 3. y 2, se 3 y < 4. h(y, p 6 ) = 2, se 4 y < 5. y 3, se y 5. x 1, se y < 3. x y + 2, se 3 y < 4. H(X, p 6 ) = x 2, se 4 y < 5. x y + 3, se y 5. As Figuras 2.2 e 2.3 ilustram a descontinuidade para os pontos p 7 e p 6, respectivamente. Figura 2.2: L p para p 7. Figura 2.3: L p para p 6. Determinemos as derivadas de Lie e as regiões de costura e deslize para p 6.

32 2.4 Análise de (A,A +,H) 2 28 Caso 1 : Para y < 3 temos que H(X, p) = x 1, logo H(X, p) = (1,0), assim, as derivadas de Lie são: A região de costura é dada por: X + H(1,y) = H(X, p),x + (1,y) = y, X H(1,y) = H(X, p),x (1,y) = y. (X + H)(X H) > 0 ( y)( y) > 0 y > 3 50 e y < 1 5, enquanto a região de deslize é dada por: (X + H)(X H) < 0 ( y)( y) < < y < Caso 2 : Para 3 < y < 4 e x = y 2 temos que H(X, p) = x y + 2, logo H(X, p) = (1, 1), assim: X + H(y 2,y) = H(X, p),x + (y 2,y) = 2y , X H(y 2,y) = H(X, p),x (y 2,y) = ( y). A região de costura é dada por: enquanto a região de deslize é dada por: (1, 0), assim: (X + H)(X H) > 0 y < e y > 31 50, (X + H)(X H) < < y < Caso 3 : Para 4 < y < 5 e x = 2 temos que H(X, p) = x 2, logo H(X, p) = X + H(2,y) = H(X, p),x + (2,y) = y, X H(2,y) = A região de costura é dada por: H(X, p),x (2,y) = y 3. (X + H)(X H) > 0 y < 2 5 e y > 19 25,

33 2.4 Análise de (A,A +,H) 2 29 enquanto a região de deslize é dada por: (1, 1), assim: (X + H)(X H) < < y < Caso 4 : Para y > 5 e x = y 3 temos que H(X, p) = x y+3, logo H(X, p) = X + H(y 3,y) = H(X, p),x + (y 3,y) = 2y , X H(y 3,y) = H(X, p),x (y 3,y) = ( y). A região de costura é dada por: enquanto a região de deslize é dada por: (X + H)(X H) > 0 y < e y > , (X + H)(X H) < < y < Determinemos, agora, as derivadas de Lie, regiões de costura e deslize para p 7. Note que os Casos 1, 2 e 3 são análogos aos casos correspondentes em p 6, assim nos resta analisar apenas os Casos 4 e 5. Caso 4 : Para 5 < y < 6 e x = y 3 temos que H(X, p) = x y + 3, logo H(X, p) = (1, 1), assim: X + H(y 3,y) = H(X, p),x + (y 3,y) = 2y , X H(y 3,y) = H(X, p),x (y 3,y) = ( y). A região de costura é dada por: enquanto a região de deslize é dada por: (X + H)(X H) > 0 y < e y > , (X + H)(X H) < < y < assim: Caso 5 : Para y > 6 e x = 3 temos que H(X, p) = x 3, logo H(X, p) = (1,0), X + H(3,y) = H(X, p),x + (3,y) = y, X H(3,y) = H(X, p),x (3,y) = 4 20y 3.

34 2.4 Análise de (A,A +,H) 2 30 A região de costura é dada por: enquanto a região de deslize é dada por: (X + H)(X H) > 0 y < 3 5 e y > 57 50, (X + H)(X H) < < y < Estudo das Regiões de Costura e Deslize para p 4 Antes de determinarmos as regiões de deslize e costura para p 4 precisamos determinar as funções h(y, p) e H(X, p) respectivamente. As funções h(y, p 4 ) são dadas por: Se y 4 < 3 temos: 1, se y < y 4, h(y, p 4 ) = 1 β 2 (y y 4 ), se y 4 y < 3, 2 + y β 2 (y y 4 ), se y 3. Se y 4 > 3 temos: 1, se y < 3, h(y, p 4 ) = 2 + y, se 3 y < y 4, 2 + y β 2 (y y 4 ), se y y 4. Assim obtemos H(X, p 4 ) que é dada por: Se y 4 < 3 temos: x 1, se y < y 4. H(X, p 4 ) = x 1 + β 2 (y y 4 ), se y 4 y < 3. x + 2 y + β 2 (y y 4 ), se y 3. Se y 4 > 3 temos: x 1, se y < 3. H(X, p 4 ) = x + 2 y, se 3 y < y 4. x + 2 y + β 2 (y y 4 ), se y y 4.

35 2.4 Análise de (A,A +,H) 2 31 Façamos, agora, as derivadas de Lie e as regiões de costura e deslize para p 4. Caso 1 : Para y 4 < 3 temos: Subcaso 1 : Para y < y 4 temos que H(X, p 4 ) = x 1 logo H(X, p 4 ) = (1,0), donde, as derivadas de Lie são dadas por: A região de costura é dada por: X + H(1,y) = H(X, p),x + (1,y) = y, X H(1,y) = H(X, p),x (1,y) = y. (X + H)(X H) > 0 enquanto a região de deslize é dada por: (X + H)(X H) < 0 ( )( y 3 20 ) 3 y > 0 y > e y < 1 5, ( )( y 3 20 ) 3 y < < y < Subcaso 2 : Para y 4 < y < 3 e x = 1 β 2 (y y 4 ) temos que H(X, p 4 ) = x 1 + β 2 (y y 4 ) logo, H(X, p 4 ) = (1,β 2 ). Assim, as derivadas de Lie são dadas por: X + H(x,y) = H(X, p),x + (1,y) = (1 β 2(y y 4 )) y + β 2 (1 β 2 (y y 4 ) + 19y X H(x,y) = H(X, p),x (1,y) = 50 ), 4(1 β 2 (y y 4 )) y + β 2( 377(1 β 2(y y 4 )) y 15 ). Como β 2 {0,1} temos dois casos à serem analisados. Se β 2 = 1, a região de costura é dada por: y < 69(y 4+1) 100, y 4 1 : y > 153(y 4+1) (X + H)(X H) > 0 y < 153(y 4+1) y 4 > 1 : y > 69(y 4+1) enquanto a região de deslize é dada por: 853, 853, 100, y 4 < 1 e 69(y 4+1) 100 < y < 153(y 4+1) (X + H)(X H) < 0 853, y 4 > 1 e 153(y 4+1) 853 < y < 69(y 4+1) 100.

36 2.4 Análise de (A,A +,H) 2 32 Se β 2 = 0, a região de costura é dada por: (X + H)(X H) > 0 enquanto a região de deslize é dada por: (X + H)(X H) < 0 ( )( y 3 20 ) 3 y > 0 y > e y < 1 5, ( )( y 3 20 ) 3 y < < y < Subcaso 3 : Para y > 3 e x = 2 β 2 (y y 4 ) + y temos que H(X, p) = x β 2 (y y 4 ) y, logo, H(X, p 4 ) = (1, 1 + β 2 ). Assim, as derivadas de Lie são: X + H(x,y) = ( 2 + y β 2 (y y 4 )) y + (β 2 1)( 2 + y β 2 (y y 4 ) + 19y X H(x,y) = 50 ), 4 3 ( 2 + y β 2(y y 4 )) 20y 3 + (β 2 1)( ( 2 + y β 2(y y 4 )) 26y 15 ). Como β 2 {0,1} temos dois casos à serem analisados. Se β 2 = 1 temos: A região de costura é dada por: y < 19(y 4 2) y 4 2 : y > y 4 2 5, (X + H)(X H) > 0 y < y y 4 > 2 :, y > 19(y 4 2) 50, 50, enquanto a região de deslize é dada por: y 4 < 2, (X + H)(X H) < 0 y 4 > 2, 19(y 4 2) 50 < y < y 4 2 5, y < y < 19(y 4 2) 50. Se β 2 = 0, a região de costura é dada por: (X + H)(X H) > 0 y < e y > 31 50, enquanto a região de deslize é dada por: Caso 2 : Para y 4 > 3 temos: (X + H)(X H) < < y <

37 2.4 Análise de (A,A +,H) 2 33 Subcaso 1 : Para y < 3 temos que H(X, p 4 ) = x 1 logo H(X, p 4 ) = (1,0). Donde, as derivadas de Lie são análogas ao Subcaso 1 quando y 4 < 3, assim as regiões de costura e deslize são as mesmas. Subcaso 2 : Para 3 < y < y 4 e x = y 2 temos que H(X, p 4 ) = x + 2 y logo H(X, p 4 ) = (1, 1), donde, as derivadas de Lie são dadas por: A região de costura é dada por: enquanto a região de deslize é dada por: X + H(x,y) = 2y , X H(x,y) = ( y). (X + H)(X H) > 0 y < e y > 31 50, (X + H)(X H) < < y < Subcaso 3 : Para y > y 4 e x = 2 + y β 2 (y y 4 ) temos que H(X, p 4 ) = x + 2 y + β 2 (y y 4 ). Logo H(X, p 4 ) = (1,β 2 1), donde, as derivadas de Lie são análogas ao Subcaso 3 quando y 4 < 3. Assim as regiões de costura e deslize são as mesmas. Estudo das Regiões de Costura e Deslize para p 5 Determinaremos agora as funções h(y, p 5 ), H(X, p 5 ), as derivadas de Lie, e as regiões de costura e deslize de p 5. Se y 4 < 3, as funções h(y, p 5 ) e H(X, p 5 ) são dadas, respectivamente, por: 1, se y < y 4, 1 β 2 (y y 4 ), se y 4 y < 3, h(y, p 5 ) = 2 + y β 2 (y y 4 ), se 3 y < 4, 6 + 2y β 2 (y y 4 ), se y 4, e x 1, se y < y 4, x 1 + β 2 (y y 4 ), se y 4 y < 3, H(X, p 5 ) = x + 2 y + β 2 (y y 4 ), se 3 y < 4, x + 6 2y + β 2 (y y 4 ), se y 4.

38 2.4 Análise de (A,A +,H) 2 34 Se 3 < y 4 < 4 as funções h(y, p 5 ) e H(X, p 5 ) são dadas, respectivamente, por: 1, se y < 3, 2 + y, se 3 y < y 4, h(y, p 5 ) = 2 + y β 2 (y y 4 ), se y 4 y < 4, 6 + 2y β 2 (y y 4 ), se y 4, e x 1, se y < 3, x + 2 y, se 3 y < y 4, H(X, p 5 ) = x + 2 y + β 2 (y y 4 ), se y 4 y < 4, x + 6 2y + β 2 (y y 4 ), se y 4. Se y 4 > 4 as funções h(y, p 5 ) e H(X, p 5 ) são dadas, respectivamente, por: 1, se y < 3, 2 + y, se 3 y < 4, h(y, p 5 ) = 2, se 4 y < y 4, 2 β 2 (y y 4 ), se y y 4, e x 1, se y < 3, x + 2 y, se 3 y < 4, H(X, p 5 ) = x 2, se 4 y < y 4, x 2 + β 2 (y y 4 ), se y y 4. Façamos agora, as derivadas de Lie e as regiões de costura e deslize para p 5. Caso 1 : Para y 4 < 3 temos: Subcaso 1 : Para y < y 4 e x = 1 temos que H(X, p 5 ) = x 1, logo H(X, p 5 ) = (1,0), donde, as derivadas de Lie são dadas por: A região de costura é dada por: X + H(x,y) = y, X H(x,y) = y 3. (X + H)(X H) > 0 y < 1 5, y > 19 50,

39 2.4 Análise de (A,A +,H) 2 35 enquanto a região de deslize é dada por: (X + H)(X H) < < y < Subcaso 2 : Para y 4 < y < 3 e x = 1 β 2 (y y 4 ) temos que H(X, p 5 ) = x 1 + β 2 (y y 4 ) logo, H(X, p 5 ) = (1,β 2 ), donde, as derivadas de Lie são dadas por: X + H(x,y) = H(X, p),x + (1,y) = (1 β 2(y y 4 )) y + β 2 (1 β 2 (y y 4 ) + 19y 50 ), X H(x,y) = H(X, p),x (1,y) = 4(1 β 2(y y 4 )) y + β 2( 377(1 β 2(y y 4 )) y 15 ). Como β 2 {0,1} temos dois casos a serem analisados. Se β 2 = 0, então as regiões de costura são: enquanto a região de deslize é: Se β 2 = 1, então as regiões de costura são: (X + H)(X H) > 0 y < 1 19,y > 5 50, (X + H)(X H) < < y < y < 69(y 4+1) 100, y 4 1 : y > 153(y 4+1) (X + H)(X H) > 0 y < 153(y 4+1) 853, y 4 > 1 : y > 69(y 4+1) enquanto as regiões de deslize são: 853, 100, y 4 < 1, 69(y 4+1) 100 < y < 153(y 4+1) (X + H)(X H) < 0 853, y 4 > 1, 153(y 4+1) 853 < y < 69(y 4+1) 100. Subcaso 3 : Para 3 < y < 4 e x = 2 + y β 2 (y y 4 ) temos que H(X, p 5 ) = x+2 y+β 2 (y y 4 ), logo H(X, p 5 ) = (1,β 2 1), donde, as derivadas de Lie são dadas

40 2.4 Análise de (A,A +,H) 2 36 por: X + H(x,y) = ( 2 + y β 2(y y 4 )) y + (β 2 1)( 2 + y β 2 (y y 4 ) + 19y X H(x,y) = 50 ); 4 3 ( 2 + y β 2(y y 4 )) 20y 3 + (β 2 1)( ( 2 + y β 2(y y 4 )) 26y 15 ). Como β 2 {0,1} temos dois casos a serem analisados. Se β 2 = 0 então as regiões de costura são: enquanto a região de deslize é dada por: (X + H)(X H) > 0 y < , y > 31 50, (X + H)(X H) < < y < Se β 2 = 1 então as regiões de costura são dadas por: y < 19(y 4 2) y 4 2 : y > y 4 2 5, (X + H)(X H) > 0 y < y y 4 > 2 :, y > 19(y 4 2) 50, 50. As regiões de deslize neste caso são: y 4 < 2{ 19(y4 2) 50 < y < y (X + H)(X H) < 0 { y 4 > 2 y < y < 19(y 4 2) 50,. Subcaso 4 : Para y > 4 e x = 6 + 2y β 2 (y y 4 ) temos que H(X, p 5 ) = x + 6 2y + β 2 (y y 4 ), logo H(X, p 5 ) = (1,β 2 2), donde, as derivadas de Lie são dadas por: X + H(x,y) = ( 6 + 2y β 2(y y 4 )) y + (β 2 2)( 6 + 2y β 2 (y y 4 ) + 19y X H(x,y) = 50 ), 4 3 ( 6 + 2y β 2(y y 4 )) 20y 3 + (β 2 2)( ( 6 + 2y β 2(y y 4 )) 26y 15 ). Como β 2 {0,1} temos dois casos para serem analisados. Se β 2 = 0 então as regiões de costura são dadas por: (X + H)(X H) > 0 y < e y > ,

41 2.4 Análise de (A,A +,H) 2 37 enquanto a região de deslize é dada por: (X + H)(X H) < < y < Se β 2 = 1 então as regiões de costura são dadas por: y < 623(y 4 6) 3077, y 4 6 : y > 31(y 4 6) (X + H)(X H) > 0 y < 31(y 4 6) y 4 > 6 : y > 623(y 4 6) As regiões de deslize são dadas por: 100, 100, { y 4 < 6 : 623(y4 6) 3077 < y < 31(y 4 6) 100, (X + H)(X H) < 0 { y 4 > 6 : 31(y 4 6) 100 < y < 623(y 4 6) Caso 2 : Para 3 < y 4 < 4, os subcasos y < 3, y 4 < y < 4 e y > 4 são análogos aos subcasos correspondentes no Caso 1. Assim, nos resta analisar quando 3 < y < y 4, temos que x = y 2 e H(X, p 5 ) = x + 2 y logo H(X, p 4 ) = (1, 1), assim as derivadas de Lie são dadas por: As regiões de costura são dadas por: enquanto a região de deslize é: X + H(x,y) = y, X H(x,y) = ( y). (X + H)(X H) > 0 y < e y > 31 50, (X + H)(X H) < < y < Caso 3 : Para y 4 > 4 os subcasos y < 3, 3 < y < y 4 e y > y 4 são análogos aos subcasos estudados anteriormente. Assim, nos resta analisar o subcaso em que 4 < y < y 4 onde x = 2 e H(X, p 5 ) = x 2 logo H(X, p 5 ) = (1,0). As derivadas de Lie são dadas

42 2.5 Exemplos 38 por: As regiões de costura são: e a região de deslize é dada por: X + H(x,y) = y, X H(x,y) = y 3. (X + H)(X H) > 0 y < 2 5 e y > 19 25, (X + H)(X H) < < y < Observemos que com a Seção 2.4 podemos concluir que para os pontos p 6 e p 7 a região de costura e de deslize coincide com a região dada por Braga e Mello [4], no entanto para os pontos p 4 e p 5 isso nem sempre é verdade, como veremos nos exemplos da Seção Exemplos Nesta seção daremos alguns exemplos mostrando a dependência de y 4 e β 2 para determinarmos as regiões de deslize e costura de p 4 e p 5 em L p, veja Definição Exploraremos tais exemplos pois em alguns casos não há regiões de deslize e em outros casos a região de deslize difere da região utilizada para a construção dos ciclos limite, a saber, S = {(1,y) R 2 ; 1 5 < y < }. Os exemplos que apresentaremos ilustram todos os casos possíveis e alguns desses casos não foram abordados no trabalho de Braga e Mello [4]. Em particular, construímos alguns exemplos onde não ocorrerem os ciclos limite previstos no trabalho de Braga e Mello [4], embora possam haver outros ciclos limite. Exemplo 1 Para p 4, consideremos o caso em que y 4 < 1 e β 2 = 1. Tome y 4 = 2. Então, x 1, se y < 2, H(X, p 4 ) = x + y + 1, se 2 y < 3, x + 4, se y 3.

43 2.5 Exemplos 39 Assim, as regiões de costura e deslize são, respectivamente: y < 1 5 Para y < 2 e x = 1 temos: e y > 19 50, 1 5 < y < y < Para 2 y < 3 e x = (y + 1) temos: e y > < y < y < Para y 3 e x = 4 temos: e y > 3 4, < y < 4 3. Além disso, neste caso L p é dada abaixo. E seu gráfico é dado na Figura 2.4. x = 1, se y < 2, L p = x = (y + 1) se 2 y < 3, x = 4 se y , Figura 2.4: L p para y 4 = 2. Observe que para este caso temos que a interseção das regiões de deslize com L p é vazia, ou seja, neste caso não há segmento de deslize. Exemplo 2 Para p 4 consideremos o caso em que 1 y 4 < 2, β 2 = 1 e y 4 = 1 2. Logo, x 1 se y < 1 2, H(X, p 4 ) = x + y 3 2 se 2 1 < y < 3, x se y > 3.

44 2.5 Exemplos 40 As regiões de costura e deslize, são, respectivamente: Para y < 1 2 e x = 1 temos: y < 1 5 e y > 50 19, 1 5 < y < Para 1 2 y < 3 e x = y temos: y < e y > < y < Para y 3 e x = 2 3 temos: y < e y > 10 3, < y < Neste caso, L p é dada abaixo e seu gráfico pode ser visto na Figura 2.5. x = 1, y < 2 1, L p = x = 3 2 y, 1 2 y < 3, x = 3 2, y , Figura 2.5: L p para y 4 = 1 2. Observe que neste caso, fazendo a interseção das regiões de deslize com L p obtemos o segmento S 2 = { (1,y); 1 5 < y < 1 2}, e neste caso, S = {(1,y) R 2 ; 1 5 < y < } S 2. Exemplo 3 Para p 4 consideremos o caso em que 1 y 4 < 2, β 2 = 1 e y 4 = Logo, x 1, y < 10 3, H(X, p 4 ) = x + y 10 13, 3 10 < y < 3, x y > 3.

45 2.5 Exemplos 41 As regiões de costura e deslize são dadas, respectivamente, por: Para y < 10 3 e x = 1 temos: y < 1 5 e y > 50 19, 1 5 < y < Para y < 3 e x = y + 10 temos: y < e y > < y < Para y 3 e x = 3 2 temos: y < e y > 17 50, < y < Neste caso, L p é dada abaixo e seu gráfico pode ser visto na Figura 2.6. x = 1, y < 10 3, L p = x = y, 3 10 y < 3, x = 10 17, y , Figura 2.6: L p para y 4 = Fazendo a interseção das regiões de deslize com L p obtemos o seguinte segmento de deslize S 3 = { (1,y); 1 5 < y < 3 10}. Observe que neste caso S3 S = {(1,y) R 2 ; 1 5 < y < }. Exemplo 4 Para p 4 consideremos o caso em que 2 y 4 < 3, β 2 = 1 e y 4 = 5 2. Logo, x 1, y < 2 5, H(X, p 4 ) = x + y 7 2, 5 2 < y < 3, x 1 2 y > 3.

46 2.5 Exemplos 42 As regiões de costura e deslize são dadas, respectivamente, por: Para y < 5 2 e x = 1 temos: y < 1 5 e y > 50 19, 1 5 < y < Para 5 2 y < 3 e x = y temos: y < e y > < y < Para y 3 e x = 2 3 temos: y < 10 1 e y > , < y < Neste caso, L p é dada abaixo e seu gráfico pode ser visto na Figura 2.7. x = 1, y < 2 5, L p = x = 7 2 y, 5 2 y < 3, x = 1 2, y , Figura 2.7: L p para y 4 = 5 2. Fazendo a interseção de L p com as regiões de deslize obtemos o seguinte seguimento de deslize S 4 = { (1,y); 1 5 < y < 19 50}. Neste caso S4 = S. Exemplo 5 Para p 4 consideremos o caso em que y 4 > 3, β 2 = 1 e y 4 = 4. Logo, x 1, y < 3, H(X, p 4 ) = x y + 2, 3 < y < 4, x 2 y > 4.

47 2.5 Exemplos 43 As regiões de costura e deslize são dadas, respectivamente, por: y < 5 1 Para y < 3 e x = 1 temos: e y > 19 50, 1 5 < y < y < Para 3 y < 4 e x = y 2 temos: e y > < y < y < 2 5 Para y 4 e x = 2 temos: e y > 19 25, 2 5 < y < 19 Neste caso, L p é dada abaixo e seu gráfico pode ser visto na Figura 2.8. x = 1, y < 3, L p = x = y 2, 3 y < 4, x = 2, y , Figura 2.8: L p para y 4 = 4. Fazendo a interseção de L p com as regiões de deslize obtemos o seguintes segmentos deslizantes, S5 1 = { (1,y); 1 5 < y < } e S5 2 = { (y 2,y); < y < 69 20}, note que S S 1 5 S 2 5.

48 2.5 Exemplos 44 Exemplo 6 Para p 5 consideremos o caso em que y 4 1, β 2 = 1 e y 4 = 2. Logo, x 1, y < 2, x + y + 1, 2 < y < 3, H(X, p 5 ) = x + 4, 3 < y < 4, x y + 8, y > 4. As regiões de costura e deslize são dadas, respectivamente, por: y < 5 1 Para y < 2 e x = 1 temos: e y > 50 19, 1 5 < y < y < Para 2 < y < 3 e x = (y + 1) temos: e y > < y < y < Para 3 < y < 4 e x = 4 temos: e y > 5 4, < y < 4 5. y < Para y > 4 e x = y 8 temos: e y > 62 25, < y < Neste caso, L p é dada abaixo e seu gráfico pode ser visto na Figura 2.9. x = 1, y < 2, x = (y + 1), 2 y < 3, L p = x = 4, 3 < y < 4, x = y 8 y , Figura 2.9: L p para y 4 = 2.

49 2.5 Exemplos 45 Fazendo a interseção de L p com as regiões de deslize obtemos que não existe segmento deslizante em L p. Exemplo 7 Para p 5 consideremos o caso em que 1 < y 4 < 2, β 2 = 1 e y 4 = 1. Logo, x 1, y < 1, x + y 2, 1 < y < 3, H(X, p 5 ) = x + 1, 3 < y < 4, x y + 5, y > 4. As regiões de costura e deslize são dadas, respectivamente, por: y < 1 5 Para y < 1 e x = 1 temos: e y > 19 50, 1 5 < y < y < Para 1 < y < 3 e x = 2 y temos: e y > 69 50, < y < y < Para 3 < y < 4 e x = 1 temos: e y > 5 1, < y < 1 5. y < Para y > 4 e x = y 5 temos: e y > 31 25, < y < Neste caso, L p é dada abaixo e seu gráfico pode ser visto na Figura x = 1, y < 1, x = y + 2, 1 y < 3, L p = x = 1, 3 < y < 4, x = y 5 y 4. Fazendo a interseção de L p com as regiões de deslize obtemos o seguinte segmento deslizante S 7 = { (1,y); 1 5 < y < 19 50}. Neste caso, S7 = S.

50 2.5 Exemplos 46 Figura 2.10: L p para y 4 = 1. Exemplo 8 Para p 5 consideremos o caso em que 2 < y 4 < 3, β 2 = 1 e y 4 = 5 2. Logo, x 1, y < 2 5, x + y 7 2 H(X, p 5 ) =, 5 2 < y < 3, x 1 2, 3 < y < 4, x y + 7 2, y > 4. As regiões de costura e deslize são dadas, respectivamente, por: Para y < 5 2 e x = 1 temos: y < 1 5 e y > 50 19, 1 5 < y < Para 5 2 < y < 3 e x = 7 2 y temos: y < e y > < y < Para 3 < y < 4 e x = 1 2 temos: y < 10 1 e y > , 1 10 < y < Para y > 4 e x = y 7 2 temos: y < e y > , < y < ,

51 2.5 Exemplos 47 Neste caso, L p é dada abaixo e seu gráfico pode ser visto na Figura x = 1, y < 2 5, x = y L p =, 5 2 y < 3, x = 1 2, 3 < y < 4, x = y 7 2 y 4. Figura 2.11: L p para y 4 = 5 2. Fazendo a interseção de L p com as regiões de deslize obtemos o seguinte segmento deslizante S 8 = { (1,y); 1 5 < y < 19 50}. Neste caso, S8 = S. Exemplo 9 Para p 5 consideremos o caso em que 3 < y 4 < 4, β 2 = 1 e y 4 = 7 2. Logo, x 1, y < 3, x y + 2, 3 < y < 7 2 H(X, p 5 ) =, x 3 2, 7 2 < y < 4, x y + 2 5, y > 4.

52 2.5 Exemplos 48 As regiões de costura e deslize são dadas, respectivamente, por: y < 1 5 Para y < 3 e x = 1 temos: e y > 50 19, 1 5 < y < Para 3 < y < 2 7 e x = y 2 temos: y < e y > < y < Para 7 2 < y < 4 e x = 3 2 temos: y < 10 3 e y > , 3 10 < y < Para y > 4 e x = y 5 2 temos: y < e y > 31 40, < y < Neste caso, L p é dada abaixo e seu gráfico pode ser visto na Figura x = 1, y < 3, x = y 2, 3 y < 7 2 L p =, x = 3 2, 7 2 < y < 4, x = y 5 2, y 4. 50, Figura 2.12: L p para y 4 = 7 2. Fazendo a interseção de L p com as regiões de deslize obtemos o seguinte segmento deslizante S 9 = { (1,y); 1 5 < y < 19 50}. Neste caso, S9 = S.

53 2.5 Exemplos 49 Exemplo 10 Para p 5 consideremos o caso em que 4 < y 4 < 6, β 2 = 1 e y 4 = 5. Logo, x 1, y < 3, x y + 2, 3 < y < 4, H(X, p 5 ) = x 2, 4 < y < 5, x + y 7, y > 5. As regiões de costura e deslize são dadas, respectivamente, por: y < 1 5 Para y < 3 e x = 1 temos: e y > 19 50, 1 5 < y < y < 3 5 Para 3 < y < 4 e x = y 2 temos: e y > 57 50, 3 5 < y < y < 2 5 Para 4 < y < 5 e x = 2 temos: e y > 25 19, 2 5 < y < y < Para y > 5 e x = y + 7 temos: e y > < y < , Neste caso, L p é dada abaixo e seu gráfico pode ser visto na Figura x = 1, y < 3, x = y 2, 3 y < 4, L p = x = 2, 4 < y < 5, x = y + 7, y 5. Fazendo a interseção de L p com as regiões de deslize obtemos o seguinte segmento deslizante S 10 = { (1,y); 1 5 < y < 19 50}. Neste caso, S10 = S.

54 2.5 Exemplos 50 Figura 2.13: L p para y 4 = 5. Exemplo 11 Para p 5 consideremos o caso em que y 4 > 6, β 2 = 1 e y 4 = 7. Logo, x 1, y < 3, x y + 2, 3 < y < 4, H(X, p 5 ) = x 2, 4 < y < 7, x + y 9, y > 7. As regiões de costura e deslize são dadas, respectivamente, por: y < 1 5 Para y < 3 e x = 1 temos: e y > 50 19, 1 5 < y < y < 1 e y > Para 3 < y < 4 e x = y 2 temos:, 1 < y < y < 5 2 Para 4 < y < 7 e x = 2 temos: e y > 19 25, 2 5 < y < Para y > 7 e x = y 5 2 temos: y < e y > < y < ,

55 2.6 Aplicação de Primeiro Retorno 51 Neste caso, L p é dada abaixo e seu gráfico pode ser visto na Figura x = 1, y < 3, x = y 2, 3 y < 4, L p = x = 2, 4 < y < 7, x = y + 9, y 7. Figura 2.14: L p para y 4 = 7. Fazendo a interseção de L p com as regiões de deslize obtemos o seguinte segmento deslizante S 11 = { (1,y); 1 5 < y < 19 50}. Neste caso, S11 = S. Observe que os Exemplos 1 ao 6 mostram possibilidades não abordadas por Braga e Mello [4], como o caso em que não há região de deslize, o caso em que a região de deslize está contida ou contém a região de deslize S = {(1,y) R 2 ; 1 5 < y < }. Já os Exemplos 7 ao 11, mostram valores de y 4 para os quais a região de deslize coincide com S. Na Seção 2.4 determinamos, de maneira geral, as regiões de deslize e costura para p 4, p 5, p 6, p 7 M, através de exemplos na Seção 2.5, podemos concluir que para que p 4, p 5, p 6, p 7 M possuam o mesmo segmento deslizante S = { (1,y); 1 5 < y < } é necessário que y 4 > e β 2 = 1 nos casos em que β 2 0, pois obtemos exemplos onde não há regiões de deslize em L p e exemplos nos quais os segmentos deslizantes em L p diferem de S. 2.6 Aplicação de Primeiro Retorno Vamos agora determinar a aplicação de primeiro retorno para encontrarmos as órbitas periódicas não deslizantes para p 4, p 5, p 6, p 7 M. Estudaremos os casos

56 2.6 Aplicação de Primeiro Retorno 52 abordados por Braga e Mello [4], buscando ciclos limite em torno do segmento S. Observação O segmento de deslize termina nos pontos de tangência das órbitas de (A,A +,H) 2 em L p. Como vemos, as tangências em L p são (1, ) e (1, 1 5 ). Fixado p M e dado uma condição inicial X 0 = (x 0,y 0 ) = (h(y 0, p),y 0 ) as soluções de Ẋ = A X e Ẋ = A + X serão denotadas, respectivamente, por: (t 0,X 0 ) X (t 0,X 0 ) = (x (t 0,X 0 ),y (t 0,X 0 )), (t 0,X 0 ) X + (t 0,X 0 ) = (x + (t 0,X 0 ),y + (t 0,X 0 )), onde, resolvendo o sistema, obtemos: x (t,x 0 ) = 1 15 e t 5 {(15x0 cost) + (23x 0 100y 0 )sint}, y (t,x 0 ) = e t 5 {(750y0 cost) + (377x y 0 )sint}. x + (t,x 0 ) = e 50 19t (x 0 cost y 0 sint), y + (t,x 0 ) = e t (y 0 cost x 0 sint). (2-6) Note que a origem é um foco estável real para Ẋ = A X e um foco instável virtual para Ẋ = A + X quando x 1 > 0 pois a zona de descontinuidade será H(X, p) = x x 1, isto acontece pois os demais coeficientes que determinam H(X, p) se anulam. Comecemos obtendo o domínio da aplicação de primeiro retorno. De fato, o domínio da aplicação de primeiro retorno é o conjunto dos pontos em L p da forma (h(y, p),y), onde h é a função definida em (2-4), com y > ȳ 0 sendo ȳ 0 definido por (h(ȳ 0, p),ȳ 0 ) = X ( s, X 0 ). Aqui, X 0 = (1, 1 5 ) e s > 0 é o menor tempo para o qual X ( s, X 0 ) L p. Considere X 0 = (x 0,y 0 ) = (h(y 0, p)y 0 ) com y 0 > ȳ 0 > Seja τ > 0 o menor tempo tal que X 1 = X (τ,x 0 ) L p e τ + > 0 o menor tempo para o qual X + (τ +,X 1 ) L p. A aplicação de primeiro retorno é definida implicitamente por: x (τ,x 0 ) = h(y (τ,x 0 ), p), P (y 0, p) = x + (τ +,X (τ,x 0 )) = h(y + (τ +,X (τ,x 0 )), p). Logo, a função distância é dada por: (2-7) (y 0, p) δ(y 0, p) = P (y 0, p) y 0. (2-8) Usaremos a notação P j = (x j 0,y j 0,τ j,τ + j), j = 1,2,...,7 para as coordenadas (x 0,y 0 ) = (h(y 0, p),y 0 ) que são interseção dos ciclos limite com o conjunto L p. Os tempos τ e τ + são obtidos através da aplicação de primeiro retorno.

57 2.6 Aplicação de Primeiro Retorno 53 A seguir apresentaremos os ciclos limite para cada caso, isto é, apresentaremos os ciclos limite para cada um dos pontos p i com i = 4, 5, 6, 7, mas faremos a demonstração na Seção 2.7. Ciclos Limite para o caso (A,A +,H) 2 com p 4 = (1,2,2,3,4,y 3,y 4,0,β 2 ) Neste casos, temos quatro ciclos limite definidos por : P 1 = (x 1 0,y 1 0,τ 1,τ + 1) = (1, , , ), P 2 = (x 2 0,y 2 0,τ 2,τ + 2) = (1, , , ), P 3 = (x 3 0,y 3 0,τ 3,τ + 3) = (1, , , ), P 4 = (x 4 0,y 4 0,τ 4,τ + 4) = ( , , , ). Observação Os pontos P 1, P 2 e P 3 são exatamente os pontos que aparecem no trabalho de Llibre e Ponce [23], e foram obtidos de maneira computacional. Além disso, P 1 e P 3 são instáveis, enquanto P 2 e P 4 são estáveis. Ciclos Limite para o caso (A,A +,H) 2 com p 5 = (1,2,2,3,4,y 3,y 4,1,β 2 ) Neste casos existem 5 pontos, ou seja, 5 ciclos limite. Sendo os quatro pontos anteriores e o seguinte ponto: P 5 = (x 5 0,y 5 0,τ 5,τ + 5) = (2, , , ). Além disso, P 5 é instável. Ciclos Limite para o caso (A,A +,H) 2 com p 6 = (1,2,3,3,4,5,6,1,0) Neste caso existem 6 pontos, ou seja, 6 ciclos limite, sendo os cinco ciclos limite apresentados anteriormente e o ciclo gerado pelo seguinte ponto: P 6 = (x 6 0,y 6 0,τ 6,τ + 6) = ( , , , ). Neste caso, P 6 é estável.

58 2.7 Demonstração dos Teoremas 54 Ciclos Limite para o caso (A,A +,H) 2 com p 7 = (1,2,3,3,4,5,6,1,1) Neste caso existem 7 pontos, ou seja, 7 ciclos limite, sendo os seis ciclos limite apresentados anteriormente e o ciclo gerado pelo seguinte ponto: P 7 = (x 7 0,y 7 0,τ 7,τ + 7) = (3, , , ). Neste caso P 7 é instável. Observação Os pontos P i, i = 1, 2,..., 7 foram obtidos de maneira computacional. Na Figura 2.15 temos o gráfico com os sete ciclos limite de (A,A +,H) 2 para p 7 = (1,2,3,3,4,5,6,1,1), onde os ciclos vermelhos são instáveis enquanto os azuis são estáveis. Figura 2.15: 7 ciclos limite de (A,A +,H) 2. Observação A Figura 2.15 foi extraída de Braga-Mello [4], pg Demonstração dos Teoremas Seção 2.3. Nesta seção demonstraremos os dois teoremas deste capítulo, enunciados na

59 2.7 Demonstração dos Teoremas 55 Demonstração do Teorema 2.1 Uma solução periódica do sistema (2-1) com as matrizes do Exemplo é caracterizada pela solução (y 0,τ,τ + ) do sistema: f 1 (y 0,τ,τ + ) = x + ( τ + ) 1 = 0, f 2 (y 0,τ,τ + ) = x (τ ) 1 = 0, f 3 (y 0,τ,τ + ) = y + ( τ + ) y (τ ) = 0. (2-9) Provaremos que (y k,τ k,τ+ k ) para k = 1, 2, 3 são três soluções isoladas do sistema (2-9), onde, aproximadamente, temos: y 1 = , y 2 = , y 3 = , τ + 1 = , τ+ 2 = , τ+ 3 = , τ 1 = , τ 2 = , τ 3 = Assim, estas soluções corresponderão a órbitas periódicas isoladas do sistema (2-1) com as matrizes do Exemplo 2.1.1, isto é, os ciclos limite. Observação Vale ressaltar que estes pontos são obtidos de forma computacional, com o auxílio de softwares matemáticos para obter-se uma aproximação das órbitas periódicas. Veja Llibre e Ponce [23] e Huan e Yang [22]. A estabilidade destes ciclos limite podem ser estudadas através de uma seção transversal do fluxo, no nosso caso, a reta x = 1, calculando-se a derivada no ponto fixo correspondente a aplicação de primeiro retorno. Denotaremos tal valor por λ, queremos que λ seja positivo para aplicarmos o Teorema A.1. Assim, teremos ciclo limite estável quando 0 < λ < 1 e instável quando λ > 1, vide Teorema A.1. O caso não hiperbólico, quando λ = 1 precisa ser analisado com mais cuidado, mas não o faremos. De fato, se calcularmos o valor y k = y + ( τ + k ) = y (τ k ) para as soluções que correspondem ao ponto que intercepta a órbita periódica, pelo Teorema A.1, obtemos: Assim, λ k = (1 5y k)(19 50y k ) (1 5y k )(19 50y k ) exp( 2τ k τ+ k 25 ). y 1 = , λ 1 = , y 2 = , λ 2 = , y 3 = , λ 3 = Logo, comparando λ i, i = 1, 2, 3 com a unidade, concluímos que λ 1 e λ 3 são órbitas periódicas instáveis e λ 2 é uma órbita periódica estável.

60 2.7 Demonstração dos Teoremas 56 Para demonstrarmos a existência das três soluções isoladas do sistema (2-9), utilizaremos o Teorema de Newton-Kantorovich, cuja demonstração pode ser encontrada em [29], enunciado abaixo. Teorema 2.3 (Newton-Kantorovich) Dada uma função f : C R n R n e C 0 C um conjunto convexo, suponha que f C 1 (C 0 ) e que as seguintes afirmações são válidas: (A) D f (z) D f (z ) γ z z ; (B) D f (z 0 ) 1 f (z 0 ) α; (C) D f (z 0 ) 1 β. Considere h = γαβ e r 1,2 = 1± 1 2h h α. Se h 1 2 e B r 1 (z 0 ) C 0, então a sequência {z k } definida por z k+1 = z k D f (z k ) 1 f (z k ), k = 0,1... está contida em B r1 (z 0 ) e converge para um único zero de f (z) contido em C 0 B r2 (z 0 ). Aplicando o Teorema de Newton-Kantorovich para a função f = ( f 1, f 2, f 3 ), então n = 3, C = R 3 e C 0 será: C 1 0 = [1.68,1.69] [1.48,1.49] [3.45,3.46], C 2 0 = [0.96,0.97] [0.85,0.86] [3.78,3.79], C 3 0 = [0.61,0.62] [0.39,0.40] [4.66,4.67]. Onde cada C0 k com k = 1, 2, 3, corresponde a uma solução do sistema (2-9) que está próxima de (y k,τ k,τ+ k ), respectivamente. Observação A norma que utilizamos nas afirmações do Teorema 2.3 é a norma z = max i z i se z = (z 1,z 2,z 3 ). Para encontrarmos as constantes α, β, e γ que satisfazem as afirmações A, B e C do Teorema 2.3 para cada um dos conjuntos convexos C 0 k, precisaremos de alguns resultados preliminares, tais resultados serão apresentados abaixo. C 1. Então: ou seja, Sejam z = (z 1,z 2,z 3 ), z = (z 1,z 2,z 3) C 0 e g : C 0 R uma aplicação de classe g(z) g(z ) g(z 1,z 2,z 3 ) g(z 1,z 2,z 3 ) + g(z [ 1,z 2,z 3 ) g(z [ 1,z 2,z 3 ) + g(z [ 1,z 2,z 3 ) g(z 1,z 2,z 3) g z 1 ] z 1 z 1 + g z 2 ] z 2 z 2 + g z 3 ] z 3 z 3 3max {[ g z 1 ], [ g z 2 ], [ g z 3 ]} z z. g(z) g(z ) {[ ] [ ] [ ]} g g g z 3max,, z z 1 z 2 z. (2-10) 3 Observação Considerando a norma da matriz A = (a i j ) como A = max i { ai j }.

61 2.7 Demonstração dos Teoremas 57 Temos, Logo, { } D f (z) D f (z 3 ) = max f i 1 i 3 z j=1 j (z) f i z j (z ) { } { } max 3 max f i 1 i 3 1 j 3 z j (z) f i z j (z ) 3 max f i 1 i, j 3 z j (z) f i z j (z ) [ 9 max 2 f i 1 i, j 3 z j z n ] z z. D f (z) D f (z ) [ 2 ] f i z 9 max z 1 i, j 3 z j z. (2-11) n Assim, para encontrarmos uma estimativa para γ, precisamos calcular a segunda derivada parcial das funções f i, depois devemos aplicá-las em C 0. Fazendo os cálculos, obtemos: 2 f 1 = 1 ( t + ) e 19t+ 50 ( (1900y )cost + + ( y)sint + ), 2 f 1 t + y = 50 1 e 19t+ 50 (50cost + 19sint + ), 2 f 2 = 1 ( t ) e t 5 (10(100y 59)cost + 6(400y 67)sint ), 2 f 2 t y = 4 3 e t 5 ( 5cost + sint ), 2 f 3 = 1 ( t + ) e 19t+ 50 (( y)cost + + (1900y )sint + ), 2 f 3 t + y = 1 50 (19cost sint + ), 2 f 3 = 13 ( t ) e t 5 (5(50y + 29)cost + 6(58 225y)sint ), 2 f 3 t y = e t 5 (5cost + 2sint ). 50 e 19t+ Observação Note que nenhuma das segundas derivadas parciais acima possui zeros explícitos, isto é, nenhuma das segundas derivadas parciais acima possui um zero trivial. Observe que todas as derivadas parciais acima podem ser escritas da forma: 2 f k = z i z j c l g l (z k ), l onde cada função g l é uma combinação linear das funções seno, cosseno e exponencial. Assim, podemos limitar as derivadas parciais tomando o valor absoluto dos coeficientes c l e limitando as funções seno e cosseno por um 1. Assim, obtemos uma estimativa para estas derivadas, tais estimativas são dadas por: 2 f ( t + ) e 19t+ 50 (y + 1), 2 f 1 t + y e 19t+ 50, 2 f 2 8 ( t ) e t 5 (425y + 124), 2 f 2 8e t 5, t y

62 2.7 Demonstração dos Teoremas 58 2 f ( t + ) 2 2 f 3 t + y 69 2 f 3 13 ( t ) 2 2 f t y 2500 e 19t+ 50 e 19t+ 50, 9375 e t 75 e t (y + 1), 5 (1600y + 493), Agora, aplicando o teorema de Newton-Kantorovich 2.3 em C0 1, obtemos que em C0 1 há uma única solução do sistema (2-9) próxima de (y 1,τ 1,τ+ 1 ). Observe que as funções obtidas na estimativa para as derivadas parciais acima são decrescentes nas variáveis t + e t mas são crescentes na variável y, assim, tais funções atingem seus máximos em C0 1 quando t+ = 1.48, t = 3.45 e y = Logo, obtemos: 2 f 1 ( t + ) , 2 f 1 t + y , 2 f 2 ( t ) , 2 f 2 t y , 2 f 3 ( t + ) , 2 f 3 t + y , 2 f 3 ( t ) , 2 f 3 t y Portanto, um limite superior para todas as derivadas parciais acima é Então, como D f (z) D f (z ) [ 2 ] f i z 9 max z 1 i, j 3 z j z, n se tomarmos γ = nós garantimos que este γ satisfaz a afirmação A do Teorema 2.3. Fazendo z 0 = (y 1,τ 1,τ+ 1 ), obtemos A inversa de D f (z 0 ) é D f (z 0 ) = D f (z 0 ) 1 B = Nas matrizes D f (z 0 ) e D f (z 0 ) 1 os cálculos são feitos com precisão de 10 20, mas aqui.

63 2.7 Demonstração dos Teoremas 59 apresentamos apenas 5 casas decimais. Para termos um controle do erro no cálculo da matriz D f (z 0 ) 1 nós utilizamos o seguinte lema: Lema Seja A uma matriz nxn com entradas reais e B uma aproximação de A 1. Então, A 1 B 1 Id AB. Observação Para demonstração do Lema 2.7.1, veja Lemma em [29]. A matriz D f (y 1,τ 1,τ+ 1 )B satisfaz Id D f (y1,τ 1,τ+ 1 )B (fazendo os cálculos com precisão de ), e como B < , pelo lema temos que D f (z 0 ) 1 < Agora, como f (z 0 ) = obtemos D f (z0 ) 1 f (z 0 ) D f (z 0 ) 1 f (z 0 ) Então, tomando α = e β = 39 as afirmações B e C do Teorema 2.3 são satisfeitas. Logo, h = , r 1 = e r 2 = Segue que para h 1 2 temos que B r 1 (z 0 ) C 0, daí, pelo Teorema 2.3 a função f (z) possui um único zero z 0 em C 0 B r2 (z 0 ). Consequentemente, o sistema diferenciável suave por partes definido em (2-1) com as matrizes definidas no exemplo possui um ciclo limite γ(t) = (x(t), y(t)) tal que γ(0) = z 0. A demonstração da existência dos outros dois ciclos limite que estão próximos dos pontos (y k,τ k,τ+ k ), k = 2,3 é análoga a demonstração feita para (y 1,τ 1,τ+ 1 ). Nestes casos, os valores obtidos para (α,β,γ) são: ( ,57,49) e ( ,73,69), para k = 2 e 3, respectivamente. O que conclui a demonstração do Teorema 2.1. Observação Todos os cálculos e todas as estimativas utilizados na demonstração do Teorema 2.1 foram obtidos computacionalmente por Llibre e Ponce [23]. Não verificamos computacionalmente tais estimativas e cálculos. Demonstração do Teorema 2.2 Dado p M, os zeros da função distância nos tempos τ e τ + estão associados com as soluções (y 0,τ,τ + ) do seguinte sistema de equações não lineares:

64 2.7 Demonstração dos Teoremas 60 F 1 (y 0,τ,τ + ) = x + ( τ +,X 0 ) h(y + ( τ +,X 0 )) = 0, F 2 (y 0,τ,τ + ) = x (τ,x 0 ) h(y (τ,x 0 )) = 0, F 3 (y 0,τ,τ + ) = y + ( τ +,X 0 ) y (τ,x 0 )) = 0. (2-12) onde as funções envolvidas são dadas em (2-4) e (2-6). Iremos mostrar que os pontos: Q 1 = (y 1 0,τ 1,τ+ 1 ) = ( , , ), Q 2 = (y 2 0,τ 2,τ+ 2 ) = ( , , ), Q 3 = (y 3 0,τ 3,τ+ 3 ) = ( , , ), Q 4 = (y 4 0,τ 4,τ+ 4 ) = ( , , ), Q 5 = (y 5 0,τ 5,τ+ 5 ) = ( , , ), Q 6 = (y 6 0,τ 6,τ+ 6 ) = ( , , ), Q 7 = (y 7 0,τ 7,τ+ 7 ) = ( , , ), calculados a partir do sistema (2-12), correspondem as órbitas periódicas de (A,A +,H) 2, desde que o conjunto de ciclos limite de p l seja um subconjunto do conjunto de ciclos limite de p l+1, l = 1,...,6. Observação Os pontos Q i, i = 1,...,7 são obtidos de maneira computacional com auxílio de softwares matemáticos, estes cálculos são realizados em Braga e Mello [4] e serão utilizados sem verificações adicionais. Para demonstrarmos a existência das sete soluções isoladas do sistema (2-12), iremos utilizar o Teorema 2.3 de Newton-Kantorovich e também faremos uso dos resultados (2-10) e (2-11) utilizados na demonstração do Teorema2.1. Para aplicarmos o Teorema 2.3, escolhemos os seguintes conjuntos convexos: C0 1 = [0.61,0.62] [4.66,4.67] [0.39,0.40], C0 2 = [0.96,0.97] [3.78,3.79] [0.85,0.86], C 3 0 = [1.68,1.69] [3.45,3.46] [1.48,1.49], C 4 0 = [3.54,3.55] [3.30,3.31] [2.11,2.12], C0 5 C0 6 C0 7 = [4.47,4.48] [3.28,3.29] [2.22,2.23], = [5.62,5.63] [3.27,3.28] [2.30,2.31], = [6.28,6.29] [3.27,3.28] [2.33,2.34]. Como a função h definida em (2-4) não é diferenciável em todos os pontos de seu domínio,

65 2.7 Demonstração dos Teoremas 61 estudaremos o seguinte sistema não linear: f 1 (y 0,τ,τ + ) = x + ( τ +,X0 n) g(n)(y+ ( τ +,X0 n ), p) = 0, f 2 (y 0,τ,τ + ) = x (τ,x0 n) g(n)(y (τ,x0 n ), p) = 0, (2-13) f 3 (y 0,τ,τ + ) = y + ( τ +,X0 n) y (τ,x0 n) = 0, onde n N = {1,...,7} para X n 0 = (h n(y 0 ),y 0 ). De (2-4), segue que (y, p) h(y, p) é uma função linear por partes para cada n N e p M. Defina u g n (u) como sendo a interseção da reta associada (dada através de h(y, p) ) com a interseção da solução do sistema (A,A +,H) 2 com (X, p) H(X, p) quando a condição inicial é X n 0 = (h n(y 0 ),y 0 ). Através de (2-5) obtemos: h r (y) = 1, y I r = (,3), h 4 (y) = y 2, y I 4 = [3,4), (X, p 7 ) h(x, p 7 ) = h 5 (y) = 2, ; y I 5 = [4,5), h 6 (y) = y 3, y I 6 = [5,6), h 7 (y) = 3, y I 7 = [6, ), (2-14) onde r = 1, 2, 3 e para n N. Como as funções dadas em (2-6) são contínuas e os conjuntos C n 0 são compactos, existem números reais m n, m + n, M n e M + n tais que m + n y + ( τ +,X n 0 ) M+ n e m n y (τ,x n 0 ) M n, para todo (y 0,τ +,τ ) C0 n. Comparando m n, m + n, Mn e M n + com o ponto final do intervalo I n em (2-14) vemos que y g n (y) = 1 para todo n N. Como as funções y h n (y) e y g n (y) foram definidas anteriormente, segue que o sistema (2-13) é equivalente ao sistema (2-12). Além disso, f i é C, para i = 1, 2, 3. Assim, estamos sob as hipóteses do Teorema 2.3. Para os cálculos, utilizaremos uma notação compatível com a notação do Teorema 2.3. Então, z = (z 1,z 2,z 3 ) = (y 0,τ +,τ ) C = R 3, z C f (z) = ( f 1 (z), f 2 (z),z 3 (z)), (2-15) onde f i é dada em (2-13) para i = 1, 2, 3 e z n 0 = Q n para n N. O Teorema 2.2 será demonstrado apenas para o ponto z 4 0, para os outros pontos, apenas exibiremos os valores de α,β e γ que satisfazem o Teorema 2.3, tendo em vista que a demonstração é análoga. Além disso, da demonstração do Teorema 2.1, para os pontos

66 2.7 Demonstração dos Teoremas 62 z 1 0,z2 0 e z3 0, temos, respectivamente: (α 1,β 1,γ 1 ) = ( ,73,30), (α 2,β 2,γ 2 ) = ( ,57,49), (α 3,β 3,γ 3 ) = ( ,39,82). Considere z 4 0 C4 0, então, f (z 4 0) = ( , , ), e pela Observação segue que f (z 4 0 ) = Observação Embora todos os cálculos tenham sido feitos com 20 casas decimais, apresentaremos apenas 6 casas decimais. Utilizando (2-15) e as equações obtidas em (2-6), segue que: 2 f 1 (z) z 1 z 3 2 f 1 (z) ( z 3 ) 2 2 f 2 (z) z 1 z 2 2 f 2 (z) ( z 2 ) 2 2 f 3 (z) z 1 z 2 2 f 3 (z) ( z 2 ) 2 2 f 3 (z) z 1 z 3 2 f 3 (z) ( z 3 ) 2 2e 19z 3 50, e 19z3 50 (4278y ), e 19z2 5, e 19z2 5 (1204y + 992), e z2 5, e z2 5 (1397y + 986), 2e 19z 3 50, e 19z3 50 (4278y ). Observação As outras derivadas parciais são nulas e portanto serão omitidas. Note que as funções que aparecem nas derivadas parciais acima são crescentes na variável z 1 e são decrescentes nas variáveis z 2 e z 3. Tomando j 4 = (3.55,3.30,2.11) C 4 0,

67 2.7 Demonstração dos Teoremas 63 obtemos: 2 f 1 (z 4 0 ) z 1 z 3 2 f 1 (z 4 0 ) ( z 3 ) 2 2 f 2 (z 4 0 ) z 1 z 2 2 f 2 (z 4 0 ) ( z 2 ) 2 2 f 3 (z 4 0 ) z 1 z 2 2 f 3 (z 4 0 ) ( z 2 ) 2 2 f 3 (z 4 0 ) z 1 z 3 2 f 3 (z 4 0 ) ( z 3 ) , , , , , , , A matriz: D f (z 4 0) = é inversível e sua inversa é dada por: D f (z 4 0) 1 = Para fazermos um controle do erro da matriz D f (z 4 0 ) 1 utilizamos o Lema , Da Observação e da matriz D f (z 4 0 ) 1 acima, podemos concluir que: D f (z 4 0) 1 = Assim, podemos escolher γ 4 = 131 e β 4 = 7. Agora, como D f (z 4 0) 1 f (z 4 0 ) = ,. tomamos α 4 = Assim, as condições A, B e C do Teorema 2.3 são satisfeitas.

68 2.7 Demonstração dos Teoremas 64 Assim, temos h 4 = γ 4 α 4 β 4 = , r 4 1 = e r4 2 = Logo, pelo Teorema 2.3, como h 4 < 1/2, segue que B r 4(z ) C4 0. Além disso, para n = 4, a função f possui um único zero isolado z 4 0 C4 0 B r2 4(z4 0 ). Portanto, existe uma curva fechada, mais precisamente, uma curva diferenciável por partes, t [0,τ 4,τ+ 4 ] Γ 4(t) = (x 4 (t),y 4 (t)) e o retrato de fases de (A,A +,H) 2 é tal que Γ 4 (0) = Γ 4 (τ 4 +τ+ 4 ) e Γ 4(0) L p = (h 4 (y 4 0 ),y4 0 ) = ( , ) para p = p 7, o que conclui a demonstração para Q 4 0. A demonstração é análoga para os pontos Q 5 0, Q6 0 e Q 7 0 e obtemos as seguintes constantes, respectivamente, (α 5,β 5,γ 5 ) = ( ,7,215), (α 6,β 6,γ 6 ) = ( ,7,207), (α 7,β 7,γ 7 ) = ( ,6,305), o que conclui a demonstração do Teorema 2.2. Com este capítulo podemos observar a dependência que os ciclos limite possuem em relação a zona de descontinuidade, pois Llibre e Ponce, em [23], obtiveram um exemplo de um sistema linear suave por partes no plano com três ciclos limite ao considerar a zona de descontinuidade dada por H(X, p) = x 1 e quando Braga e Mello, em [4], definem H(X, p) como sendo uma poligonal, obtemos um sistema linear suave por partes no plano com 7 ciclos limite, no qual três dentre os sete ciclos são exatamente os três ciclos obtidos por Llibre e Ponce [23].

69 CAPÍTULO 3 Uma Quantidade Arbitrária de Ciclos Limite Hiperbólicos Neste capítulo demonstraremos a Conjectura 2.3.1, apresentada no Capítulo 2, para o caso em que os n ciclos limite são todos hiperbólicos, onde n N. Para isto, construiremos a zona de descontinuidade como sendo uma poligonal afim de obtermos quantos ciclos limite quisermos. Este capítulo está dividido em duas seções: na Seção 3.1 faremos uma introdução com os conceitos que utilizaremos ao longo deste capítulo e na Seção 3.2 demonstraremos o Teorema 3.1. A demonstração da Conjectura decorre deste teorema. Além disso, daremos um exemplo com 10 ciclos limite. 3.1 Introdução Neste capítulo estudaremos a existência, o número, a estabilidade e a distribuição dos ciclos limite para uma classe de sistemas lineares suaves por partes no plano. Essas questões deverão ser estudadas considerando os seguintes aspectos: O número e a estabilidade dos pontos de equilíbrio. A posição dos pontos de equilíbrio em relação ao bordo da zona de descontinuidade L. O comportamento dos campos de vetores lineares em L. Normalmente, os pontos de L são classificados como costura, deslize, escape ou tangência. Aqui, o termo deslize será usado para os pontos de deslize e escape. Estudos recentes sugerem que três é o número máximo de ciclos limite para sistemas lineares suaves por partes no plano com duas zonas de descontinuidade, cuja zona é gerada por uma reta L e tais sistemas possuem um único ponto de equilíbrio p / L. Exemplos numéricos que apoiam esta afirmação podem ser encontrados em [23] e [3]. A vizinhança entre as duas regiões que estão próximas a L desempenham um papel importante nos sistemas lineares suaves por partes no plano com um único ponto

70 3.1 Introdução 66 de equilíbrio p / L. No capítulo anterior exibimos um exemplo em que o sistema possui 7 ciclos limite, e neste exemplo L é uma poligonal em vez de uma reta. Mostraremos também que um sistema linear suave por partes no plano com duas zonas de descontinuidade pode ter um número arbitrário de ciclos limite, isto é, demonstraremos a Conjectura que foi enunciada no capítulo anterior, veja [5]. Para isso, considere a seguinte classe de sistemas lineares suaves por partes no plano com duas regiões: G X, H(X) 0, Ẋ = (3-1) G + X, H(X) 0, onde. denota a derivada com respeito a variável independente t, denominada tempo, X = (x,y) R 2 e [ ] G ± g ± 11 g ± 12 = g ±, 21 g ± 22 são matrizes com entradas reais satisfazendo as seguintes condições: (A1) g ± 12 < 0; (A2) G possui autovalores complexos com parte real negativa λ 1,2 = γ ± ω i e G + possui autovalores complexos com parte real positiva λ + 1,2 = γ+ ± ω + i, onde γ ±, ω ± R e ω ± > 0. (A3) A função H é pelo menos contínua e define implicitamente uma curva plana simples homeomorfa a reta cujo traço é ilimitado. Além disso, o conjunto H(0) 1 divide o plano em duas componentes ilimitadas. Note que as hipóteses (A1) - (A3) garantem a existência de apenas duas zonas de descontinuidade, cujo conjunto que as separa é definido por L H = {X R 2 ;H(X) = 0}. Observação Um sistema definido em (3-1) com a função H satisfazendo as condições (A1) - (A3) será denotado por (G,G +,H). Nosso objetivo é construir convenientemente uma função Ψ satisfazendo as hipóteses (A1) - (A3) em H e escolher as matrizes G + e G na forma canônica de Jordan J ± tal que para qualquer inteiro positivo n, o sistema (J,J +,Ψ) possua exatamente n ciclos limite hiperbólicos. Além disso, queremos que 0 = (0,0) H(0) 1 e L H \{0} seja um conjunto de costura. Com isso, demonstraremos o seguinte teorema: Teorema 3.1 (Braga-Mello [5]) Dado um inteiro positivo n, existe um sistema linear suave por partes no plano com duas zonas de descontinuidade (J,J +,Ψ) que possui n ciclos limite. Novaes e Ponce em [25], obtiveram exemplos de sistemas lineares suaves por partes no plano com duas zonas de descontinuidade com n ciclos limites. No entanto, os

71 3.2 Demonstração do Teorema ciclos limite obtidos por tais autores podem ser não-hiperbólicos. Discutiremos este caso no Capítulo Demonstração do Teorema 3.1 Para demonstrar o Teorema 3.1, iremos considerar o caso em que as matrizes G ± estão na forma canônica de Jordan, isto é, [ J ± = onde γ ±, ω ± R, ω ± > 0. ] γ ± ω ± ω ± γ ±, As soluções de Ẋ = J X serão denotadas por (t,x 0 ) X (t,x 0 ) = (x (t,x 0 ),y (t,x 0 )), enquanto as soluções de Ẋ = J + X serão denotadas por (t,x 0 ) X + (t,x 0 ) = (x + (t,x 0 ),y + (t,x 0 )), onde x ± (t,x 0 ) = e γ±t (cos(ω ± t)x 0 sin(ω ± t)y 0 ), (3-2) y ± (t,x 0 ) = e γ±t (sin(ω ± t)x 0 + cos(ω ± t)y 0 ). O lema abaixo apresenta um resultado associado ao sistema (J,J +,φ), onde X φ(x) = x φ(y) e y φ(y) = ρv(y), (3-3) com ρ > 0, s R v(s) = su(s) e 0, s < 0, s R u(s) = 1, s 0, (3-4) é a função degrau unitária. Lema Sejam η < 0 e η + > 0 números reais satisfazendo η < η + < 3η onde η ± = γ± ω ± e defina ρ c = tan (π η+ +η η + η ). Então, a origem do sistema (J,J +,φ) é: (a) Um foco instável se 0 < ρ < ρ c ; (b) Um foco estável se ρ > ρ c ; (c) Um centro se ρ = ρ c.

72 3.2 Demonstração do Teorema Demonstração: Seja X 0 = (x 0,y 0 ) = (φ(y 0 ),y 0 ) L φ uma condição inicial e considere y 0 > 0. A função distância é dada por: (y 0,ρ) δ φ (y 0,ρ) = y + ( τ +,X 0 ) y (τ,x 0 ), onde τ > 0 é o menor tempo tal que X (τ,x 0 ) L φ e τ + > 0 é o menor tempo tal que X + ( τ +,X 0 ) L φ. De (3-2) e (3-3) segue que o tempo τ é uma solução da equação x (τ,x 0 ) = 0 enquanto o tempo τ + é uma solução da equação x + ( τ +,X 0 ) = 0 e são dados por: Logo, τ = τ (y 0,ρ) = 1 ω (arctan τ + = τ + (y 0,ρ) = 1 ω + (arctan ( x0 y 0 ( x0 y 0 ) + π), ) π). (3-5) y (τ,y 0 ) = e γ τ x y 0 2 e y + (τ +,y 0 ) = e γ+ τ + x y 0 2 e, portanto, (y 0,ρ) δ φ (y 0,ρ) = φ (y 0,ρ) φy y 2 0 onde, ( ) φ (y 0 ) = e γ+ τ + e γ τ +γ + τ + 1. Substituindo os tempos encontrados em (3-5) na última equação obtemos: ρ a(ρ) = γ τ + γ + τ + = π(η + + η ) (η + + η )arctan(ρ). (3-6) Fazendo a(ρ) = 0 temos ρ = ρ c = tan (π η+ +η η + η ). + Se η < η + < 3η então ρ c > 0. Logo, para qualquer y 0 > 0 tal que x 0 = φ(y 0 ) = ρ c y 0 u(y 0 ) temos δ φ (y 0,ρ) 0, o que demonstra o item (c) do lema. Os itens (a) e (b) decorrem de x 0 = φ(y 0 ) e da equação (3-6), pois s arctan(s) é uma função monótona crescente. Isto conclui a demonstração do lema. Observação A Figura 3.1 foi extraída de Braga e Mello [5], página 4. Iremos agora, definir a descontinuidade associada ao sistema (J,J +,Ψ), assim como sua função distância, além disso, estudaremos seus zeros. Para isso, definiremos duas sequências numéricas e a partir destas sequências faremos tais definições e estudos. Dado um número inteiro positivo n, considere as sequências finitas {u l } l N e {v l } l N, definidas por:

73 3.2 Demonstração do Teorema Figura 3.1: Função Distância (y 0 ) δ φ (y 0,ρ) u l = (2l 3)ru(l 2); v l = 1 ρ c (u l + ( 1) l εu(l 2); (3-7) para l N = {1,2,...,n,n + 1,n + 2} e r,ε R são tais que 0 < ε < r, onde u(l 2) é a função degrau unitária definida em (3-4). Proposição A sequência v l é crescente, para l N = {1,2,...,n,n + 1,n + 2}. Demonstração: Demonstraremos esta proposição utilizando Indução Matemática sob l. Note que v 1 < v 2 pois v 1 = 0 enquanto v 2 = 1 ρ c (r + ε) > 0, pois 0 < ε < r e ρ c > 0 é decorrente da demonstração do Lema Suponhamos agora, que v l 1 < v l mostremos que v l < v l+1. Suponha por contradição que v l+1 v l, obtemos: 1 ( ) u l+1 + ( 1) l+1 εu(l 1) ρ c 1 ) (u l + ( 1) l εu(l 2), ρ c u l+1 ( 1) l ε u l ( 1) l ε, (2l 1)r ( 1) l ε (2l 3)r + ( 1) l ε, 2lr r 2lr + 3r 2( 1) l ε r ( 1) l ε. Se l é par, então r ε o que é uma contradição pois 0 < ε < r. Agora, se l é ímpar, então r ε o que também é uma contradição pois r > 0. Logo, v l < v l+1. Portanto, pelo Princípio de Indução matemática, segue que v l é crescente, como queríamos demonstrar. Considere a aplicação X Ψ(X) = x ξ(y) onde n+1 ξ(y) = u 1 + α k [v(y v k ) β k v(y v k+1 )], k=1 e

74 3.2 Demonstração do Teorema α k = u k+1 u k v k+1 v k, k = 1,...,n + 1 e β k = 1,k = 1,2,...,n, 0,k = n + 1. Proposição Os conjuntos L φ e L Ψ possuem interseções nos pontos P i = (x i,y i ) R 2, onde x i = 2ri e y i = 1 ρ c x i = 1 ρ c 2ri, i = 1,2,...,n. Demonstração: Defina g(y) = ξ(y) φ(y) = u 1 + n+1 α k [v(y v k ) β k v(y v k+1 )] k=1 ρ c v(y). Observe que g(y) é contínua no intervalo fechado [ ] v j,v j+1. Defina agora F( j,k) = α k [ v(v j v k ) β k v(v j v k+1 ) ], para j = 2,...,n + 1. Assim, g(v j ) = n+1 F( j,k) ρ c v(y) = k=1 j 1 k=1 Temos que g(v 1 ) = 0, de fato, basta observar que F( j,k) + F( j, j) + n+1 k= j+1 n+1 g(v 1 ) = u 1 + α k [v(v 1 v k ) β k v(v 1 v k+1 )] ρ c v(v 1 ), k=1 F( j,k) ρ c v(y). mas u 1 = 0, v(v 1 ) = v 1 u(v 1 ) = 0u(v 1 ) = 0, v(v 1 v k ) = v( v k ) = 0, e v(v 1 v k+1 ) = v( v k+1 ) = 0, donde g(v 1 ) = n+1 α k 0 = 0. k=1 Como {v l } l N é uma sequência crescente, segue que g(v j ) = j 1 j+1 F( j,k) ρ c v(v j ) = k=1 k=1 α k [ v(v j v k ) β k v(v j v k+1 ) ] ρ c v(v j ) = j+1 [ α k v(v j v k ) v(v j v k+1 ) ] j+1 [ ] ρ c v j = α k v j v k v j + v k+1 ρc v j = k=1 k=1 j+1 j+1 u k+1 u k [v k+1 v k ] ρ c v j = k=1 v k+1 v k u k+1 u k ρ c v j = u 1 + u j ρ c v j = k=1 1 ( ) u j ρ c u j + ( 1) j εu( j 2) = ( 1) j+1 ε, j = 2,...,n + 1. ρ c Então g(v i+1 )g(v i+2 ) = [ ][ ] ( 1) i+1 ε ( 1) i+2 ε = ( 1)( 1) 2(i+1) ε 2 = ε 2 < 0, para i = 1,2,...,n. Logo, pelo Teorema de Bolzano, a função g(v j ) possui pelo menos n zeros. Além disso, como a função y Ψ(y) é linear por partes e é a união de segmentos de retas da forma: y [v l,v l+1 ] L l (y) = α l (y v l ) + u l, l = 1,2,...,n + 1, (3-8) então, a função g(v j ) possui exatamente n zeros, pois em cada intervalo [v l,v l+1 ] existe um zero de g(v j ) e temos n intervalos, ou seja, existe um único y i [v l,v l+1 ] tal que

75 3.2 Demonstração do Teorema g(y i ) = 0 e um único x i [u l,u l+1 ]. Além disso, obtemos: x i = u k+1 +u k+2 2 = (2i 1)r+(2i+1)r 2 = 4ri 2 = 2ri; ) y i = v k+1+v k+2 2 = ρ 1 c (u i+1 + ( 1) i+1 εu(i 1) + u i+2 + ( 1) i+2 εu(i) = (2i 1)r+(2i+1)r 2ρ c O que conclui a demonstração da proposição. = x i ρ c. A Figura 3.2 ilustra o gráfico das funções φ(y) e ξ(y), representadas pelas linhas pretas e vermelhas, respectivamente. Figura 3.2: Gráficos das Funções φ(y) e ξ(y). Observação A Figura 3.2 foi extraída de Braga e Mello [5], página 5. Os n pontos p i = (x i,y i ) R 2, obtidos na Proposição 3.2.2, são os zeros da função distância y 0 L ξ associada ao sistema (J,J +,Ψ). Observação Estudaremos o caso em que η e η + são dados como no Lema Além disso, consideraremos η + < 1 η, embora outras escolhas sejam possíveis. A inclinação da reta y L 1 (y) = α 1 y é dada por α 1 = ρ 1 c (1 + ε 1 r ).Tome ρ c de tal maneira que: v 2 v 1 = 1 (1 + ε 1 u 2 u 1 ρ c r ) < 2 < 1 ρ c η e, v 3 v 2 u 3 u 2 = 1 ρ c (1 ε 1 3r ) > 1 ρ c 2 3 > η+,

76 3.2 Demonstração do Teorema para 0 < ε 1 < r. Logo, 1 ( ( η 3η < η < 0 e 2η + + η )) < tan π η + η < 2 3η +. (3-9) Das inequações em (3-9) e η < η + < 3η, obtemos as seguintes funções: s h 1 (s) = π arctan(2s) π + arctan(2s) s, s h 2 (s) = π arctan( 2 3 s) π + arctan( 2 3 s)s, s h 3 (s) = 1 3s, e o conjunto R = { (η,η + ) R 2 ;η + > h 1 (η ), η < h 2 (η + ) }. Considere agora os seguintes conjuntos: C 1 = { (η,η + ) R 2 ;η + = h 1 (η ) }, C 2 = { (η,η + ) R 2 ;η = h 2 (η + ) }, C 3 = { (η,η + ) R 2 ;η + = h 3 (η ) }, e tome os pontos q 1 = (η,η + ) = (0,0) C 1 C 2 e q 2 = (η,η + ) = ( , ) C 1 C 2 C 3. Estamos considerando apenas seis casas decimais. A Figura 3.3 ilustra o conjunto R representado pela região azul e os conjuntos C 1, C 2 e C 3 representados pelas linhas preta, vermelha e marrom, respectivamente. Figura 3.3: Os conjuntos R, C 1, C 2 e C 3.

77 3.2 Demonstração do Teorema Observação A Figura 3.3 foi extraída de Braga e Mello [5], página 7. Assim, os campos de vetores J X e J + X são transversais ao conjunto L Ψ se (η,η + ) R, isto é, o conjunto L Ψ \ {0} é um conjunto de costura. Logo, se X 0 = (x 0,y 0 ) = (ξ(y 0 ),y 0 ) L Ψ, então existe um tempo mínimo τ > 0 tal que X (τ,x 0 ) L Ψ, mais precisamente, x (τ,x 0 ) = 0. De modo análogo, existe um tempo mínimo τ + > 0 tal que X + ( τ +,X 0 ) L Ψ, isto é, x + ( τ +,X 0 ) = 0. Além disso, os tempos τ e τ + são os mesmos tempos dados em (3-5), isto é, τ = τ (y 0 ) = 1 ω (arctan τ + = τ + (y 0 ) = 1 ω + (arctan ( x0 y 0 ( x0 y 0 ) + π), ) π). Na Figura 3.4 temos que as linhas vermelhas tracejadas estão associadas à Ẋ = J X enquanto as linhas azuis tracejadas estão associadas à Ẋ = J + X. As linhas pretas e laranjas são os gráficos de Ψ(0) 1 e Φ(0) 1, respectivamente. Figura 3.4: Campos Ẋ = J X e Ẋ = J + X e gráficos de Ψ(0) 1 e Φ(0) 1. Observação A Figura 3.4 foi extraída de Braga e Mello [5], página 8. Assim, a seguinte função está bem definida, y 0 δ Ψ(y0 ) = y + ( τ +,X 0 ) y (τ,x 0 ), (3-10)

78 3.2 Demonstração do Teorema onde y + ( τ +,X 0 ) e y (τ,x 0 ) estão definidas em (3-2). Logo, a função y 0 δ Ψ(y0 ) pode ser reescrita como: y 0 δ Ψ(y0 ) = Ψ(y0 ) Ψ(y 0 ) 2 + y 2 0, onde y 0 Ψ(y0 ) = ( e γ τ e γ+ τ +) ( ) = e γ+ τ + e γ τ +γ + τ + 1. (3-11) De (3-10), (3-11) e do Lema 3.2.1, segue que o sistema (J,J +,Ψ) possui n ciclos limite quando δ Ψ(yi ) = 0, i = 1,...,n. Nos resta mostrar a hiperbolicidade destes ciclos limite, para isso, tomaremos os intervalos abertos I i [v i+1,v i+2 ] de tal maneira que y i I i para i = 1,...,n, pois a função y Ψ(y) não é diferenciável em todos os pontos de seu domínio. Assim, para y i I i, a derivada de y 0 δ Ψ(y0 ) com respeito a y 0 é onde y 0 d δ dy Ψ(y0 ) = d 0 dy Ψ(y0 ) Ψ(y 0 ) 2 + y 2 d 0 + Ψ(y0 ) Ψ(y 0 ) 2 + y 0 dy 2 0, (3-12) 0 d dy Ψ(y0 ) = d ( e γ τ e γ+ τ +) = γ e γ τ 0 dy 0 d τ (y 0 ) + γ + e γ+ τ + d τ + (y 0 ). dy 0 dy 0 Da equação (3-8), segue que x 0 = L i+1 (y 0 ) = α i+1 (y 0 v i+1 ) + u i+1 e as derivadas dos tempos τ e τ + determinados na equação (3-5) com respeito a y 0 são d dy 0 τ (y 0 ) = α i+1v i+1 u i+1 ω (L i+1 (y 0 ) 2 + y 0 2 ), d dy 0 τ + (y 0 ) = α i+1v i+1 u i+1 ω + (L i+1 (y 0 ) 2 + y 0 2 ). Portanto, para y 0 = y i I i, utilizando a equação (3-7) e que x i = 2ri e y i = 1 ρ c 2ri, temos: onde Então, d τ (y i ) = 1 dy 0 ω ( 1)i ε 1 S(ρ c,r,ε 1,i), S(ρ c,r,ε 1,i) = d τ + (y i ) = 1 dy 0 ω + ( 1)i ε 1 S(ρ c,r,ε 1,i), ρ c 2 2ri(r + ( 1) i ε 1 )(1 + ρ c 2 ) > 0, i = 1,...,n e 0 < ε 1 < r. (3-13) d dy Ψ(yi ) = γ e γ τ d τ (y 0 ) + γ + e γ+ τ + d τ + (y 0 ) = 0 dy 0 dy 0 ( 1) i ε 1 (η + e γ+ τ + η e γ τ ) S(ρ c,r,ε 1,i). Da equação (3-13) temos que S(ρ c,r,ε 1,i) > 0, temos também que η + e γ+ τ + η e γ τ >

79 3.2 Demonstração do Teorema , além disso, Ψ(yi ) = 0. Assim, utilizando a equação (3-12) segue que, d δ dy Ψ(yi ) = d 0 dy Ψ(yi ) xi 2 + y i Logo, os n ciclos limite são hiperbólicos. Além disso, se i {1,...,n} é par (respectivamente, ímpar) então o ciclo limite associado é estável (respectivamente, instável). Observe que com a escolha em (3-7) o primeiro ciclo limite sempre será um ciclo limite atrator. Note também, que o período de cada ciclo limite é constante e é dado por τ +τ + (3-5) e pode ser tomado igual a 2π, fazendo um reescalonamento do tempo, temos ω = ω + = 1, o que conclui a demonstração do Teorema 3.1. Assim, a Conjectura 2.3.1, enunciada no Capítulo 2, está demonstrada pois através da demonstração do Teorema 3.1, garantimos que dado n N, existe um sistema linear por partes com duas zonas no plano com exatamente n ciclos limite. A seguir, daremos um exemplo de um sistema linear suave por partes no plano que possui exatamente 10 ciclos limite. Exemplo Tome η = 0.3 e η + = 0.5, então ρ c = 1, de fato, basta observar que ρ c = tan (π η+ + η ) η + η ( = tan π 0.1 ) = Na Figura 3.5 temos o conjunto R representado pela região azul e o ponto preto representa o ponto (η,η + ) = ( 0.3,0.5). Figura 3.5: O conjunto R e o ponto (η,η + ) = ( 0.3,0.5). Observação A Figura 3.5 foi extraída de Braga e Mello [5], página 10.

80 3.2 Demonstração do Teorema Para r = 1 tome ε = 0.5. Fixando n = 10, pelo Teorema 3.1, existe um sistema (J,J +,Ψ) com exatamente 10 ciclos limite hiperbólicos. Pela Proposição segue que os pontos da tabela abaixo são os zeros da função distância associada ao sistema (J,J +,Ψ). i x i y i Tabela 3.1: Zeros da Função Distância. A Figura 3.6 ilustra o retrato de fases do sistema (J,J +,Ψ), nas condições do nosso exemplo. Os ciclos limite estáveis (respectivamente, instáveis) estão representados em azul (respectivamente, vermelho). Figura 3.6: Retrato de fases do sistema (J,J +,Ψ). Observação A Figura 3.6 foi extraída de Braga e Mello [5], página 11. Com este Capítulo, demonstramos a existência de uma quantidade arbitrária de ciclos limite hiperbólicos para sistemas lineares suaves por partes no plano cuja descontinuidade é uma poligonal.

81 CAPÍTULO 4 Uma Quantidade Arbitrária de Ciclos Limite não Necessariamente Hiperbólicos Neste capítulo demonstraremos a Conjectura 2.3.1, enunciada no Capítulo 2, através de uma pertubação na zona de descontinuidade com o objetivo de obtermos uma quantidade arbitrária de ciclos limite, diferentemente da demonstração que fizemos no Capítulo 3. Além disso, demonstraremos que podemos ter n ciclos limite sem que sejam todos hiperbólicos. 4.1 Introdução Nos Capítulos 2 e 3 estudamos a seguinte classe de sistemas lineares suaves por partes no plano com duas zonas de descontinuidade: G X, H(X, p) 0, Ẋ = (4-1) G + X, H(X, p) 0, onde. denota a derivada com respeito a variável independente t, chamada tempo, p é o vetor parâmetro. Assumiremos X = (x,y), H(X, p) define a região de descontinuidade e [ ] G ± g ± 11 g ± 12 = g ±, 21 g ± 22 é uma matriz com entradas reais satisfazendo as seguintes condições: H1 g ± 12 < 0; H2 G possui autovalores complexos com parte real negativa e G + possui autovalores complexos com parte real positiva; H3 A função H é pelo menos contínua. Neste capítulo, demonstraremos que a Conjectura é verdadeira realizando uma pequena pertubação no campo de vetores, veja [25]. Além disso, descreveremos a metodologia utilizada para determinarmos a posição dos ciclos limite e suas estabilidades.

82 4.2 Principais Resultados 78 Começaremos a partir da forma normal dada em [18] para sistemas do tipo (4-1) e depois escolheremos valores apropriados para γ > 0 afim de determinarmos quantos ciclos limite quisermos. Tomando, G ± = [ ±2γ 1 γ ] x, y 0 e H(X) = x h(y), y > 0, (4-2) onde h(y) é uma função de classe C 1 tal que h(0) = 0. Além disso, para y > 0, assumiremos as seguintes hipóteses: H 1 h(y) < y ( γ ; H 2 h(y) 2γ ( 1 + γ 2) ) h (y) < y; ( H 3 h(y) 2γ + ( 1 + γ 2) ) h (y) > y. Observação A hipótese γ > 0 é assumida para que as matrizes G ± satisfaçam a hipótese H2. Mostraremos na Seção 4.2 que a hipótese H 1 foi assumida apenas para facilitar os cálculos das soluções, enquanto as hipóteses H 2 e H 3 garantem que os dois campos de vetores possam ser concatenados na variedade de descontinuidade de maneira natural, evitando a existência de conjuntos deslizantes, veja [19]. 4.2 Principais Resultados Nesta seção demonstraremos os principais resultados desde capítulo. Estes resultados consistem no Teorema 4.1, nos Lemas e e nos Corolários 4.2.1, e Os lemas nos auxiliam na demonstração do teorema enquanto os corolários são a demonstração em si da Conjectura 2.3.1, pois ilustram uma quantidade arbitrária de ciclos limite, para k = 1,...,n com n N. Além disso, um dos corolários garante a existência de ciclos limite semi-estáveis. Teorema 4.1 (Novaes - Ponce [25]) Tome γ > 0 e considere os sistemas (4-1) - (4-2) e a variedade de descontinuidade H(X) = 0 como em (4-2), onde h satisfaz as hipóteses H 1 - H 3. Dado um número real positivo y, existe uma solução periódica do sistema (4-1) passando por (h(y ),y ) se e somente se h(y ) = 0. Neste caso, a solução periódica intersepta o eixo-y nos pontos (0,y ) e (0, e γπ y ). Além disso, se h (y ) < 0 (respectivamente, h (y ) > 0) a solução periódica é um ciclo limite estável (respectivamente, instável).

83 4.2 Principais Resultados 79 A demonstração do Teorema 4.1 será feita construindo a função distância para os pontos do tipo (h(y),y). Como o sistema (4-1) possui um foco centrado na origem em ambos os campos de vetores, obteremos a função distância calculando a diferença entre a posição relativa do primeiro retorno na seção {x = 0, y < 0}, considerando que o fluxo comece no ponto (h(y),y). Demonstração: Como estamos considerando y > 0, segue que H(X) = x h(y), logo H(X) = (1, h (y)). Calculando as derivadas de Lie, obtemos: H(X),G + (h(y),y) = +2γh(y) y h (y)h(y)(γ 2 + 1) < 0, H(X),G (h(y),y) = y h(y)(2γ + h (y)(γ 2 + 1)) < 0. As desigualdades acima decorrem das hipóteses H 2 e H 3, respectivamente. Como (G + H)(G H) > 0, segue que os pontos da forma (h(y),y) associados ao fluxo do sistema (4-1) são do tipo costura. Seja ϕ + (t,x,y) = (ϕ + 1 (t,x,y),ϕ+ 2 (t,x,y)) a solução do sistema (4-1) para x > 0, tal que ϕ + (0,x,y) = (x,y) e seja ϕ (t,x,y) = (ϕ 1 (t,x,y),ϕ 2 (t,x,y)) a solução do sistema (4-1) para x < 0, tal que ϕ (0,x,y) = (x,y). Note que, como o sistema (4-1) é linear por partes, as soluções podem ser encontradas facilmente e são dadas por: ϕ ± 1 (t,x,y) = e±γt [(±γx y)sin(t) xcos(t)], (4-3) ϕ ± 2 (t,x,y) = e±γt [( γ 2 x γy + x ) sin(t) ycos(t) ]. Seja π 2 < t l(y) < 3π 2 o menor tempo positivo tal que ϕ 1 (t l(y),h(y),y) = 0 e ϕ 2 (t l(y),h(y),y) < 0. Observe que, se h(y) > 0, então t l (y) > π; se h(y) = 0, então t l (y) = π e se h(y) < 0, então t l (y) < π. De modo análogo, seja 3π 2 < t r (y) < π 2 o maior tempo negativo tal que ϕ + 1 (t r(y),h(y),y) = 0 e ϕ + 2 (t r(y),h(y),y) < 0. Observe que, se h(y) > 0, então t l (y) > π; se h(y) = 0, então t l (y) = π e se h(y) < 0, então t r (y) < π. Da hipótese H 1, segue que y + γh(y) > 0 e y γh(y) < 0, logo podemos determinar os tempos t l (y) e t r (y). Obtemos: ( h(y) t l (y) = π + arctan y + γh(y) t r (y) = π + arctan ( h(y) y γh(y) ), ).

84 4.2 Principais Resultados 80 Assim, ( ( )) h(y) cos(t l (y)) = cos arctan y + γh(y) ( ( )) h(y) sin(t l (y)) = sin arctan y + γh(y) y + γh(y) =, (y + γh(y)) 2 + h(y) h(y) =. (4-4) (y + γh(y)) 2 + h(y) De modo análogo obtemos: y γh(y) cos(t r (y)) = (y γh(y)) 2 + h(y) h(y) e sin(t r (y)) =. (4-5) (y γh(y)) 2 + h(y) Observação Lembremos que arctan(x) = arccos( 1 ) arcsin( x. 1 x 2 1 x 2 ) e arctan(x) = Substituindo as expressões encontradas em (4-4) e (4-5) nas equações dadas em (4-3), obtemos: ( ( ϕ + 2 (t r(y),h(y),y) = e γπ+arctan ( ( ϕ 2 (t l(y),h(y),y) = e γπ arctan h(y) y γh(y) h(y) y+γh(y) )) (y γh(y)) 2 + h 2 (y), )) (y + γh(y)) 2 + h 2 (y). (4-6) Defina a função distância por f (y) = ϕ 2 (t l(y),h(y),y) ϕ + 2 (t r(y),h(y),y). Então, ( ( f (y) = e γπ+γarctan ( ( e γπ γarctan h(y) y γh(y) h(y) y+γh(y) )) y 2 2γyh(y) + (1 γ 2 )h 2 (y) )) y 2 + 2γyh(y) + (1 γ 2 )h 2 (y). (4-7) Observe que se y > 0 é tal que h(y ) = 0, então f (y ) = 0. De fato, f (y ) = (e γπ e γπ )y = 0. Portanto, existe solução periódica passando por (h(y),y). Enunciaremos e demonstraremos a seguir dois lemas nos quais provaremos mais do que precisamos para concluir a demonstração do Teorema 4.1. Deste modo, demonstrando estes lemas, concluiremos a demonstração do teorema desejado. Lema Se para y > 0 temos h(y) > 0 (respectivamente, h(y) < 0), então f (y) > 0 (respectivamente, f (y) < 0).

85 4.2 Principais Resultados 81 Demonstração: Primeiramente, demonstraremos que se h(y) > 0 então f (y) > 0. Para isto, considere para algum y fixo a função: ( ( F y (x) = e γarctan ( ( e γarctan x y γx x y+γx )) y 2 + 2γyx + (1 + γ 2 )x 2 )) y 2 2γyx + (1 + γ 2 )x 2. Assim, f (y) = e γπ F y (h(y)). Note que F y (0) = 0 e F y (x) = δ y (x) δ y ( x), onde δ y (x) = ( e γarctan ( x y γx )) y 2 + 2γyx + (1 + γ 2 )x 2. Observe que estamos trabalhando com a diferença de dois termos positivos para determinarmos o sinal de F y (x), logo podemos trabalhar com a diferença de dois quadrados e desta forma, evitamos as raízes quadradas afim de facilitar os cálculos. Derivando δ y (x) 2 δ y ( x) 2 em relação a x para estudarmos o sinal de F y (x), obtemos: d dx δ y(x) 2 = d dx δ y( x) 2 = ( ( + ( ( e 2γarctan x y γx ( e 2γarctan x y γx )) ( e 2γarctan x y+γx ( e 2γarctan ( x y+γx (y 2 +2yxγ+(1+γ 2 )x 2 ) [(y γx) 2 +x 2 ](y γx) 4 )) (2yγ + 2x(1 + γ 2 ) ), )) (y 2 2yxγ+(1+γ 2 )x 2 ) [(y+γx) 2 +x 2 ](y+γx) 4 )) ( 2yγ + 2x(1 + γ 2 ) ), que é positivo para todo x tal que 0 < x < y γ. Portanto, F y(x) e monótona crescente, assim, segue que f (y) = e γπ F y (h(y)) é positiva. Para o caso em que h(y) < 0, teremos F y ( x) = F y (x) e a demonstração é análoga. Lema Seja y > 0 tal que h(y ) = 0. As seguintes afirmações valem: (i) Se existe ε > 0 tal que h(y) < 0 (respectivamente, h(y) > 0) para y ε < y < y, então a órbita periódica passando por (0,y ) é estável (respectivamente, instável) em seu interior. (ii) Se existe ε > 0 tal que h(y) > 0 (respectivamente, h(y) < 0) para y < y < y +ε, então a órbita periódica passando por (0,y ) é estável (respectivamente, instável) em seu exterior. (iii) Se h (y ) > 0 (respectivamente, h (y < 0)), então existe solução periódica passando por (0,y ). Tal órbita é um ciclo limite estável (respectivamente, instável).

86 4.2 Principais Resultados 82 Demonstração: Primeiramente, demonstraremos a afirmação (i). Consideremos o caso em que existe ε > 0 tal que h(y) < 0 para y ε < y < y. Então, pelo Lema 4.2.1, temos que f (y) < 0. Pelo Teorema da Conservação do Sinal, segue que existe δ > 0 tal que f (y ) < 0 para todo y tal que y y < δ. Logo, a órbita passando por (0,y ) é estável em seu interior. A demonstração é análoga para o caso em que h(y) > 0 para y ε < y < y, e para a afirmação (ii). Agora, nos resta demonstrar a afirmação (iii). Consideremos o caso em que h (y ) > 0 para todo y (y ε,y + ε). Logo h(y) > 0 e pelo Lema 4.2.1, segue que f (y) > 0. Como y > 0, temos que existe ε > 0 tal que y y < δ, donde, y > 0. Tome ε = min{ ε, ε}. Logo, pelos itens (i) e (ii), segue que a órbita periódica passando por (0,y ) é estável em seu interior e exterior. A demonstração é análoga para o caso e que h (y ) < 0. O que conclui a demonstração do Lema. Com as demonstrações dos Lemas e o Teorema 4.1 está demonstrado. A demonstração da Conjectura é consequência direta da demonstração dos três corolários a seguir; tais corolários decorrem do Teorema Corolário (Novaes-Ponce[25]) Se 0 < γ < 5 e h(y) = 2γ (γ 2 + 1)π sin(πy), 0 y 2n+1 ( 1) n, y > 2n+1 então o sistema (4-1) possui exatamente n ciclos limite para algum n N. Estes ciclos limite circundam a origem, que é um equilíbrio do tipo foco. Além disso, tais ciclos intersectam o eixo y nos pontos (0,k) e (0, k exp( πγ)), para k = 1,...,n e são estáveis 2, 2, (respectivamente, instáveis) para k par (respectivamente, ímpar). Demonstração: Para demonstrarmos este corolário, verificaremos que a função h(y) satisfaz as hipóteses H 1 - H 3, pois assim estaremos sob as hipóteses do Teorema 4.1 e o resultado segue. Temos que: h (y) = 2γ (γ 2 + 1)π πcos(πy), 0 y 2n+1 0, y > 2n+1 Assim, se y > 2n+1 2, segue que h (y) = 0. Por outro lado, se 0 y 2n+1 2 obtemos: h (y) 2γ = (γ 2 + 1)π πcos(πy) = 2γ (γ 2 + 1) cos(πy) 2γ (γ 2 + 1). 2γ (γ 2 +1) Mas, como γ > 0, temos h 2n+1 (y), para todo y tal que 0 y 2. Além disso, queremos que a hipótese H 1 seja satisfeita, isto é, queremos que, mas isso é 2. 2, 2γ (γ 2 +1) < 1 γ

87 4.2 Principais Resultados 83 3 válido sempre que 0 < γ < 1 e temos, por hipótese, que 0 < γ < 5. O que verifica H 1. Observe que para y 2n+1 2, segue que: h(y)(2γ ± (1 + γ 2 )h (y)) = 4γ2 (γ 2 sin(πy)(1 ± cos(πy)). + 1)π Afirmação Para 0 < γ < lim 3 γ 5 f (γ) = 8γ 2 (γ 2 +1)π = 3 π 16γπ [(γ 2 +1)π] 2 > 0, γ > tem-se 8γ 2 (γ 2 +1)π < 1 e que a função f (γ) = 8γ2 (γ 2 +1)π Como sin(y) < y, para y > 0, obtemos: h(y)(2γ (1 + γ 2 )h (y)) = < 1. Basta observar que, é crescente para γ > 0, pois 8γ2 (γ 2 + 1) y < y e h(y)(2γ + (1 + γ2 )h (y)) = 8γ2 (γ 2 + 1) y > y. Logo, as hipóteses H 2 e H 3 são válidas para y 2n+1 2. Agora, para y > 2n+1 2, temos que h 0, então h(y)(2γ ± (1 + γ 2 )h (y)) = 4γ2 (γ 2 +1)π ( 1)n 3. Como 0 < γ < 5 segue que 4γ 2 (γ 2 +1)π < 1. Além disso, sabemos que ( 1)n 1 logo, h(y)(2γ + (1 + γ 2 )h (y)) < 4γ2 (γ 2 + 1)π ( 1)n y < y, h(y)(2γ (1 + γ 2 )h (y)) > 4γ2 (γ 2 + 1)π ( 1)n y > y. Portanto, as hipóteses H 2 e H 3 são válidas em ambos os casos. Assim, calculando os zeros da função h e aplicando o Teorema 4.1, segue que o sistema (4-1) possui n ciclos limite para algum n N. Tais ciclos intersectam o eixo y nos pontos (0,k) e (0, k exp( πγ)) para para k = 1,...,n e são estáveis para k par e instáveis para k ímpar. O que demonstra o Corolário A Figura 4.1 exemplifica o sistema do Corolário 4.2.1, onde n = 2 e γ = O ciclo limite representado pela linha contínua é estável, enquanto o ciclo limite representado pela linha tracejada é instável, além disso, as demais órbitas não são fechadas. O conjunto de descontinuidade é representado pela linha tracejada em vermelho que intersecta o eixo y duas vezes para y > 0. Observação Figura extraída de [25], página 3.

88 4.2 Principais Resultados 84 Figura 4.1: Esquerda: Centro não perturbado. Direita: Sistema perturbado. Corolário (Novaes-Ponce [25]) Dado α R tal que 0 < α < 1+ 3 ( ) 2, se γ = 1 e h(y) = αy 2 sin 1y para y > 0 e com h(0) = 0. Então o sistema (4-1) possui exatamente n ciclos limite para algum n N. Estes ciclos limite circundam a origem que é um( equilíbrio ) do tipo foco. Além disso, tais ciclos intersectam o eixo y nos pontos (0, kπ 1 ) e 0, e π kπ, para k = 1,..., n e são estáveis (respectivamente, instáveis) para k par (respectivamente, ímpar). Demonstração: Temos que: α < α < α 2 + 4α + 1 < 3 4α(1 + α) < 2 2α(1 + α) < 1. Além disso, α < 1 pois < 1. Note que para y > 0, temos sin( 1 y ) < 1 y, logo: ( ) h(y) = 1 αy2 sin = α y 2 y sin(1 y ) αy 2 1 y = αy < y. Como γ = 1, a hipótese H 1 é satisfeita. Observe também que como γ = 1, temos que h(y)(2γ ± (1 + γ 2 )h (y)) = 2h(y)(1 ± h (y)).

89 4.2 Principais Resultados 85 ( ) ( ) Além disso, h (y) = 2αysin 1y αcos 1y, logo: Como 2h(y)(1 ± h (y)) = 2αy 2 sin sin( 1 y ) < 1 y e cos( 1 y ) < 1 y, segue que ( )( 1 1 ± 2αysin y ( ) 1 αcos y ( )) 1. y 2h(y)(1 ± h (y)) 2αy 2 1 y ± 4α2 y 3 1 y 2 2α2 y 2 1 y = 2αy ± 4α2 y 2α 2 y. Assim, 2h(y)(1 + h (y)) 2αy + 4α 2 y 2α 2 y = 2αy(1 + 2α) < y, 2h(y)(1 h (y)) 2αy 2α 2 y 2α 2 y = 2αy(1 + 2α) > y. Logo, as hipóteses H 2 e H 3 são válidas. Calculando os zeros da função h, e aplicando o Teorema 4.1, segue que o sistema (4-1) possui exatamente n ciclos limite para algum n N e estes ciclos limite ( circundam ) a origem. Além disso, tais ciclos intersectam o eixo y nos pontos (0, kπ 1 ) e 0, e π kπ, para k = 1,...,n e são estáveis para k par e instáveis para k ímpar. Isto conclui a demonstração do Corolário Corolário (Novaes-Ponce [25]) Se 3 2γ 1 cos(πy), 0 y 2n + 1, 0 < γ < e h(y) = 13 (γ 2 + 1)π 2, y > 2n + 1, então o sistema (4-1) possui exatamente n ciclos limite para algum n N. Estes ciclos limite circundam a origem que é um equilíbrio do tipo foco. Além disso, tais ciclos limite intersectam o eixo y nos pontos (0,2k) e (0, 2k exp( πγ)), para k = 1,...,n e são semiestáveis. Demonstração: Primeiramente verificaremos que a função h satisfaz as hipóteses H 1 - H γ 3. Observe que > 0 pois γ > 0. Além disso, (γ 2 +1)π lim γ 3 13 γ (γ 2 + 1)π = < 1, π 16 e a função f (γ) = γ (γ 2 +1)π é crescente para 0 < γ < 3 13, basta observar que f (γ) = 1 γ > 0 se γ < 1. π(γ 2 +1) 2

90 4.2 Principais Resultados 86 Se y > 2n + 1, então h(y) = 4γ (γ 2 +1)π. Logo h(y) = 4γ (γ 2 + 1)π < 1 < y 3 13, pois y > 2n + 1. Se 0 y 2n + 1, então h(y) = 2γ (1 cos(πy)). Assim, (γ 2 +1)π h(y) = 2γ (γ 2 (1 cos(πy)) + 1)π 2γ (γ 2 + 1)π ( 1 + cos(πy) ) < = < y. 16π 4π 3 13 Portanto, a função h satisfaz a hipótese H 1. Mostremos que h satisfaz H 2. Afirmação h(y)2γ < 1. De fato, lim h(y) lim 3 13 γ Se y > 2n + 1, então h 0. Donde, 2γ γ 3 13 h(y)(2γ (1 + γ 2 )h (y)) = h(y)(2γ) < = 3 2π < 1. 8γ2 (γ 2 + 1)π y < y. Se 0 y 2n + 1, então Note que Assim, h (y) = 1 2γ π (γ 2 + 1)π sin(πy). 1 2γ π (γ 2 < 1 e sin(πy) < y. + 1)π h(y)(2γ (1 + γ 2 )h (y)) = 2γ 2γ (γ 2 (1 cos(πy))(2γ sin(πy))y < y. + 1)π π2 Portanto, a função h satisfaz H 2. Verifiquemos que a função h satisfaz H 3. h(y)2γ < y, logo De fato, pelo que demonstramos acima, segue que para y > 2n + 1 tem-se Se 0 y 2n + 1, temos: h(y)2γ > y. h(y)(2γ + (1 + γ 2 )h 2γ 2γ (y)) > y (γ 2 (1 cos(πy))(2γ sin(πy)) > y, + 1)π π2

91 4.2 Principais Resultados 87 donde, H 3 é satisfeita pela função h. Calculando os zeros da função h segue que estamos sob as hipóteses do Teorema 4.1. Assim, o sistema (4-1) possui n ciclos limite para n N. Tais ciclos limite intersectam o eixo y nos pontos (0,2k) e (0, 2k exp( πγ)), para k = 1,...,n. Estudemos agora, a estabilidade destes ciclos limite. Para isso, estudaremos o sinal da função h(y) e utilizaremos o Lema 4.2.2, pois este lema nos permite estudar a estabilidade dos ciclos limite através do sinal da função h(y). Note que temos h(y) > 0, para todo y. De fato, se y > 2n + 1, então h(y) = 4γ 2γ > 0. Se 0 y 2n + 1, temos h(y) = (γ 2 +1)π (γ 2 +1)π (1 cos(πy)). Mas 2γ (γ 2 +1)π > 0 e 1 cos(πy) > 0, donde o produto é positivo. Aplicando o Lema 4.2.2, temos que se existe ε > 0 tal que y ε < y < y, então a órbita que passa por (0,y ) é instável em seu interior, donde h(y ) = 0. Ainda, se existe ε > 0 tal que y < y < y +ε, então a órbita que passa por (0,y ) é estável em seu exterior, donde h(y ) = 0. Logo, os ciclos limite são semi-estáveis. O que conclui a demonstração do Corolário Portanto, demonstramos a veracidade da Conjectura 2.3.1, através da demonstração dos Corolários 4.2.1, e Além disso, o Corolário nos mostra que os n ciclos limite não são necessariamente hiperbólicos.

92 Ciclos Limite Bifurcando de Centros Descontínuos CAPÍTULO 5 Neste capítulo estudaremos ciclos limite em campos de vetores lineares suaves por partes em R 2 e R 3. Estudaremos, mais especificamente, ciclos limite bifurcando de centros descontínuos definidos em equilíbrios do tipo dobra-dobra em R 2 e R Introdução Como vimos nos capítulos anteriores, a zona de descontinuidade Σ desempenha um papel importante nos sistemas lineares suaves por partes no plano. No Capítulo 2, exibimos um exemplo de um sistema linear suave por partes no plano com sete ciclos limite hiperbólicos, e neste casos Σ foi tomada uma curva poligonal. No Capítulo 3, demonstramos a existência de uma classe de sistemas lineares suaves por partes no plano com duas zonas de descontinuidade com exatamente n ciclos limite hiperbólicos, para qualquer número inteiro positivo n, e neste caso Σ é também uma curva poligonal. No Capítulo 4, demonstramos que também é possível obter n ciclos limite em sistemas lineares suaves por partes no plano com duas zonas de descontinuidade quando fazemos uma pertubação na função H, no entanto estes ciclos limite podem não ser hiperbólicos. Neste capítulo, estudaremos ciclos limite em campos de vetores lineares suaves por partes em R 2 e R 3. Abordaremos, mais especificamente, ciclos limite bifurcando de centros descontínuos definidos em equilíbrios do tipo dobra-dobra em R 2 e R 3, veja [2]. 5.2 O Caso Planar Consideremos o seguinte sistema linear suave por partes no plano: F (X) = (1,2x), y 0, Ẋ = F + (X) = ( 1,2x), y 0. (5-1)

93 5.2 O Caso Planar 89 Para este sistema, a zona de descontinuidade é dada por Σ = H 1 (0), onde H(x,y) = y. Além disso, todos os pontos em Σ são do tipo costura pois H(X, p) = (0,1), assim as derivadas de Lie são dadas por F + H(x,y) = (0,1),(1,2x) = 2x, F H(x,y) = (0,1),( 1,2x) = 2x. Logo, (F + H(x,y))(F H(x,y)) = 4x 2 > 0, x 0. Observe que a origem é um ponto de tangência invisível para ambos os campos de vetores F ±. De fato, basta observar que F + H(0,0) = 0 e (F + ) 2 H(0,0) = 2 enquanto F H(0,0) = 0 e (F ) 2 H(0,0) = 2. O retrato de fases do sistema (5-1) é dado pela Figura 5.1. Figura 5.1: Retrato de fases do sistema (5-1). Observação A Figura 5.1 foi extraída de [2], página 3. Em [8], foram estudadas as perturbações não-lineares dos campos de vetores lineares F e F + em (5-1) mantendo a zona de descontinuidade Σ fixa para se obter um número arbitrário de ciclos limite no sistema não linear perturbado. Neste capítulo, obteremos as mesmas conclusões de Buzzi et al. [8], mas realizaremos um processo diferente, a saber, perturbaremos a curva de descontinuidade Σ mantendo inalterado os campos de vetores lineares F e F + no sistema (5-1). Mais precisamente, temos o seguinte teorema. Teorema 5.1 (Braga-Carvalho-Mello [2]) Considere o sistema (5-1). Dado um inteiro positivo k existe uma pertubação suave da função H, denotada por H k, tal que o sistema linear suave por partes no plano Z k = (F,F +,H k ) possui k ciclos limite hiperbólicos. O mesmo vale se k =.

94 5.2 O Caso Planar 90 Demonstração: Seja M o conjunto de todas as funções H k : R 2 R definidas por H k (x,y) = y h k (x), onde (x,y) R 2 e a função h k satisfaz as seguintes condições: (H1) h k C r (R,R), r Z, r 1 ou r =. (H2) se x 0 então h k (x) = 0 e para x > 0, h k possui finitos zeros se k Z, k 1 ou uma quantidade enumerável de zeros se k =. Além disso, se x 0 > 0 é um zero de h k então h k (x 0) 0, onde denota a derivada de h k com respeito a x. (H3) (F + )H k (x,y) > 0 e (F )H k (x,y) > 0 para todo x > 0. Observação Mostraremos posteriormente na subseção 5.2, através de exemplos, que o conjunto M é não vazio. Afirmação Todos os pontos de Σ k = { (x,y) R 2 ;H k (x,y) = 0 } são do tipo costura. Demonstração: De fato, temos que H k (X, p) = ( h k (x),1). Logo, Assim, F + H k (x,y) = ( h k (x),1),( 1,2x) = h k (x) + 2x, F H k (x,y) = ( h k (x),1),(1,2x) = h k (x) + 2x. (F + H k (x,y))(f H k (x,y)) > 0 (h k (x) + 2x)( h k (x) + 2x) > 0 ( h (h k (x))2 > 4x 2 ) k (x) 2 < x 2, 2 para todo x > 0. Mas por H3, (F + )H k (x,y) > 0 e (F )H k (x,y) > 0 para todo x > 0, donde (F + H k (x,y))(f H k (x,y)) > 0 e assim garantimos a desigualdade final. Isto prova a afirmação. Vale ressaltar que também utilizaremos a hipótese H3 na construção da função distância δ k : (0, ) R do sistema F = (1,2x), H k 0, Ẋ = F + = ( 1,2x), H k 0, (5-2) de modo que cada zero da função δ k corresponda a um ciclo limite hiperbólico de costura, decorrente da hipótese H2. Sejam φ F ± : R R 2 R 2 os fluxos associados as equações diferenciais Ẋ = F (X) e Ẋ = F + (X) respectivamente, onde φ F (t,x) = (x (t,x),y (t,x)) = (t + x,t 2 + 2tx + y), φ F +(t,x) = (x + (t,x),y + (t,x)) = ( t + x, t 2 + 2tx + y). (5-3)

95 5.2 O Caso Planar 91 Sejam p = (x,h k (x)) Σ + k e t + (p) o maior tempo negativo tal que φ F +(t + (p),t) Σ k. De modo análogo, seja t (p) o menor tempo positivo tal que φ F ( t (p),t) Σ + k, onde Σ+ k = {(x,y) Σ k;x > 0} e Σ k = {(x,y) Σ k;x < 0}. Os tempos t + (p) e t (p) são soluções, respectivamente, de y + (t +, p) = 0 e y (t, p) = 0. De fato, resolvendo y + (t +, p) = 0 obtemos t + (p) = x ± x 2 + h k (x). Observe que t 1 + x < x de onde concluímos que t 1 > 0. Além disso, h k (x) < x 2 assim, concluímos que 0 < h k (x) + x 2 < 2x 2. Logo, se t + (p) = x x 2 + h k (x) então t + (p) < x < 0 o que é uma contradição. Portanto t + (p) = x + x 2 + h k (x). De modo análogo, obtemos t (p) = x + x 2 h k (x). Observação Note que da hipótese H3 e como os tempos t + (p) e t (p) estão bem definidos temos: h k (x) = x 0 h k (u)du x h k (u)du x < 2u du = x De t + (p) e t (p) e das equações em (5-3), segue que a função distância é dada por: δ k = x ( t (p), p) x + (t + (p), p) = t (p) + p + t + (p) p = x x 2 h k (x) + x + x 2 + h k (x) = x 2 + h k (x) x 2 h k (x). Logo, se x 0 > 0 é um zero de h k, então δ k 0. Observe que ( ) δ k(x) = 1 h k (x) 2x 2 x 2 h k (x) + h k (x) + 2x, x 2 + h k (x) assim δ k(x 0 ) = h k (x 0) x 0 0 pois pela hipótese H2, temos que h k (x 0) 0. Assim, x 0 > 0 corresponde a um ciclo limite hiperbólico de costura do sistema (5-2). Tal ciclo limite é estável se h k (x 0) < 0 e é instável se h k (x 0) > 0, isto conclui a demonstração do Teorema 5.1. Exemplos Nesta subseção, primeiramente mostraremos que o conjunto M não é vazio e na sequência daremos dois exemplos que ilustram o Teorema 5.1. Seja M ε o conjunto de todas as funções H ε,k : R 2 R definidas por H ε,k (x,y) = y h k (x), onde h k (x) = εg k (x), ε é um número real e a função g k satisfaz as seguintes propriedades: (P1) g k C r (R,R), r Z, r 2 ou r =.

96 5.2 O Caso Planar 92 (P2) Se x > 0, então g k (x) possui uma quantidade finita ou enumerável de zeros. Além disso, se x 0 > 0 é um zero de g k então g k (x 0) 0, onde denota a derivada de h k com respeito a x. quando x +. (P3) Se x < 0, então g k 0. Além disso g k (0) = g k(0) = 0 e g k(x) L R Aplicando o Teorema de Taylor e usando as propriedades P1 e P3, segue que existem números reais positivos δ e µ, com δ suficientemente pequeno para os nossos ( g ) propósitos, tais que k (x) 2 2 µx 2 para x [0,δ]. Pela mesma razão, existe ε > 0 ( h ) suficientemente pequeno para os nossos propósitos tal que k (x) 2 ( g ) 2 = k (x) 2ε 2 2 ε 2 µx 2 < x 2 para todo x > 0 tal que g k(x) < x. Pelas propriedades P1 e P3, segue que dado η = 1 existe x 1 > 0 tal que g k(x) L g k(x) L < 1 para todo x > x 1, isto é g k(x) < 1 L, pois a propriedade P1 garante que g k (x) C r (R,R), enquanto a propriedade P3 garante a existência do limite. Assim, a função contínua g k(x) restrita ao conjunto compacto [0,x 1 ] é limitada por uma constante positiva L 1 > 0. Logo, g k (x) < max{l1,1 L }, x [0, ). (5-4) Assim, a função h k = εg k satisfaz a hipótese H3; isto decorre da desigualdade em (5-4). Logo, M ε M para ε > 0 suficientemente pequeno e portanto M 0. funções: Os dois exemplos a seguir são obtidos escolhendo as seguintes famílias de ( g k (x) = x α e γxβ Π j=1 ( ) ) k x x j u(x), (5-5) g (x) = x α e γxβ sin(ωx)u(x), (5-6) onde α 2 e β 1 são inteiros positivos, γ, ω são números reais positivos, {x 1,... x k } é uma sequência finita de números reais positivos e u : R R é a função degrau unitária, isto é, 0, x < 0, u(x) = 1, x 0. Na Figura 5.2, veja [2], temos o gráfico da função distância associada a função (5-5), assim como seus zeros e os pontos verdes correspondem a ciclos limite estáveis enquanto os ponto vermelhos correspondem a ciclos limite instáveis. Além disso, α = 2, β = 1, γ = 1, n = 5 x j = j, j = 1,...,5 e ε = Já a Figura 5.3, veja [2], ilustra função distância associada a função (5-6) assim como seus zeros e os pontos azuis correspondem a ciclos limite estáveis enquanto os ponto vermelhos correspondem a ciclos limite instáveis. Além disso, α = 2, β = 1, ω = π, e ε = 0.01.

97 5.3 O Caso em R 3 93 Figura 5.2: Função distância associada a função (5-5). 5.3 O Caso em R 3 Figura 5.3: Função distância associada a função (5-6). Consideremos o seguinte sistema linear suave por partes em R 3 : F (x,y,z) = (1, 1,x), z 0, Ẋ = F + (x,y,z) = ( 1 (x + y),1 (x + y), y), z 0. (5-7) Note que a zona de descontinuidade do sistema (5-7) é dada por Σ = L 1 (0), onde L(x,y,z) = z. Além disso, a origem 0 = (0,0,0) é uma T-singularidade para o sistema (5-7). De fato, observe que L(x,y,z) = (0,0,1), F + L(x,y,z) = y e F L(x,y,z) = x, logo F + L(0,0,0) = F L(0,0,0) = 0. Ainda F + L(x,y,z) = (0, 1,0) e

98 5.3 O Caso em R 3 94 F L(x,y,z) = (1,0,0), logo (F + ) 2 L(x,y,z) = 1+x+y e (F ) 2 L(x,y,z) = 1. Donde, (F + ) 2 L(0,0,0) = 1 e (F ) 2 L(0,0,0) = 1. Portanto a origem é uma dobra invisível para F + e F e como (F + L(0,0,0))(F L(0,0,0)) = 0, a origem é uma singularidade invisível. Além disso, S + (x,y,z) = 1 + x + y, S (x,y,z) = 1 e S + (x,y,z) S (x,y,z) é transversal em (0,0,0). O objetivo desta seção é mostrar que o sistema (5-7) é estruturalmente instável e que o fluxo do sistema (5-7), restrito ao plano invariante x + y = 0, tem o mesmo comportamento da Figura 5.1, isto é, todas as órbitas no plano invariante x + y = 0 são do tipo costura, com exceção da origem. Perturbações não-lineares dos campos de vetores lineares F e F + definidos em (5-7) foram estudadas por Carvalho e Teixeira em [12], mantendo o plano de descontinuidade Σ fixo. Além disso, Carvalho e Teixeira provaram a existência de um número arbitrário de ciclos limite no sistema não-linear perturbado. Nesta seção, perturbaremos o plano de descontinuidade Σ e manteremos inalterados os campos vetores lineares F e F + definidos em (5-7) e, ainda assim, obteremos as mesmas conclusões de Carvalho e Teixeira. Mais precisamente, temos o seguinte teorema. Teorema 5.2 (Braga-Carvalho-Mello [2]) Seja Z = (F,F +,L) o sistema definido em (5-7). Dado um inteiro positivo k existe uma pertubação suave da função L, denotada por L k, tal que o sistema linear suave por partes no plano Z k = (F,F +,L k ) possui k ciclos limite hiperbólicos no plano x + y = 0. O mesmo vale se k =. A ideia da demonstração do Teorema 5.2 é aplicar alguma pertubação no sistema (5-7) para produzirmos o mesmo comportamento das pertubações do Σ-centro no caso planar. Faremos tal demonstração na Subseção 5.3, pois primeiramente estudaremos algumas propriedades do sistema (5-7). Propriedades do Sistema Não-Perturbado O comportamento dinâmico do sistema (5-7) foi estudado em [12]. Aqui traremos algumas propriedades do sistemas (5-7) que nos serão úteis para a demonstração do Teorema 5.2. Para maiores detalhes, veja [12]. Propriedade Os eixos x e y dividem Σ = L 1 (0) = { (x,y,0) R 3} em quatro conjuntos: Σ c+ = { (x,y,0) R 3 ;x > 0 e y < 0 }, Σ e = { (x,y,0) R 3 ;x < 0 e y < 0 }, Σ c = { (x,y,0) R 3 ;x < 0 e y > 0 }, Σ s = { (x,y,0) R 3 ;x > 0 e y > 0 }. Propriedade O campo de vetores deslizante normalizado Z s (x,y,z) = (( 1 (x + y))x + y,(1 (x + y))x y,0)

99 5.3 O Caso em R 3 95 possui uma sela-nó na origem. De fato, identificamos Σ como sendo o plano xy e consideramos a mudança de variáveis (u,v) = (x + y,x y). Então Z s (x,y,z) pode ser reescrito como ( u, v) = ( u(u + v), 2v). Este último sistema possui a origem como único ponto de equilíbrio com os autovalores associados λ 1 = 0 e λ 2 = 2, cujos autovetores associados são v 1 = (1,0) e v 2 = (0,1), respectivamente. Assim temos a forma canônica planar de uma sela-nó. Na Figura 5.4, veja [2], temos à esquerda o retrato de fases do campo de vetores deslizante normalizado Z s (x,y,z) enquanto à direita temos o retrato de fase do campo de vetores deslizante associado a Z. Figura 5.4: Campos de vetores deslizante normalizado e campo de vetores deslizante Propriedade O plano π 0 = { (x,y,z) R 3 ;x + y = 0 } é Z-invariante. Além disso, Z π0 é um centro não-degenerado. De fato, basta observar que considerando x = y e dado um ponto (x 0, x 0,0) Σ π 0, a aplicação de primeiro retorno associada a F é dada por ϕ F (x 0, x 0,0) = ( x 0,x 0,0) enquanto a aplicação de primeiro retorno associada a F + é dada por ϕ F +(x 0, x 0,0) = ( x 0,x 0,0). Propriedade Todas as trajetórias de Z tendem ao plano π 0. A motivação por trás da forma canônica particular no sistema (5-7) para representar a T-singularidade vem de Colombo e Jeffrey [14], onde os autores provam que W = Z 0 apresenta uma T-singularidade com comportamento instável, onde: F (x,y,z) = (1, 1,x), z 0, Z 0 (x,y,z) = F + (x,y,z) = ( 1,1, y), z 0. (5-8)