Se a distância entre os dois observatórios é de 27 km, a que altura o balão está do solo? No triângulo retângulo BalãoBC : tg 70

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1 EM DO COLÉGIO ANCHIETA RESOLUÇÃO DA 1 a AVALIAÇÃO DE MATEMÁTICA UNIDADE 1 MARÇO DE 019 PESQUISA: PROF. ADRIANO CARIBÉ E PROF. WALTER PORTO RESOLUÇÃO POR PROFA. MARIA ANTÔNIA C. GOUVEIA Questão 01. Suponha que nos pontos A e B da figura abaixo localizam-se dois observatórios num mesmo plano e que, num dado momento, um balão é visto pelos dois sob ângulos de 0º e 0º. Dados: tg 0º = 0,8 tg 0º =, Se a distância entre os dois observatórios é de km, a que altura o balão está do solo? A) 6,8 km C), km E) 0,8 km B), km D),6 km h No triângulo retângulo BalãoBC : tg 0 h tg0. x (I) x No triângulo retângulo BalãoAC : h tg0 h tg0.( x) (II) x De (I) e (II): tg 0. x = tg0.( x),x 0,8( x),x,68 0.8x 1,89x,68 x 1 h,.1 h,6.

2 Questões 0 e 0. (ENEM 01) No jogo mostrado na figura, uma bolinha desloca-se somente de duas formas: ao longo das linhas retas da figura ou dos arcos de circunferências da figura centradas no ponto O e raios variando de 1 a 8 cm. Questão 0. Durante o jogo, a bolinha que estiver no ponto P deverá realizar a seguinte sequência de movimentos: mover-se cm no mesmo sentido utilizado para ir do ponto O até o ponto A e, no sentido anti-horário, um arco de circunferência cujo ângulo central é 10º. Após a sequência de movimentos descrita, a bolinha estará no ponto A) B. B) D. C) E. D) F. E) G. A região circular está dividida em 1 ângulos centrais congruentes, então cada ângulo mede 60 /1 = 0.O percurso está indicado na figura em vermelho. Questão 0. Imaginemos agora, neste jogo, que a bolinha esteja no ponto H e desejemos deslocá-la até o ponto G. Qual é a menor distância que ela pode percorrer? A) 1 cm B) aproximadamente 1 cm C) aproximadamente 11, cm D) aproximadamente 10, cm E) aproximadamente 9, cm

3 O caminho mais curto está representado, em vermelho, na figura acima e mede: 1cm + (.6.,1:) = 1cm + 9,cm = 10,cm. Questão 0. (Enem 01) Um restaurante utiliza, para servir bebidas, bandejas com base quadradas. Todos os copos desse restaurante têm o formato representado na figura: Considere que AC BD e que é a medida de um dos lados da base da bandeja. Qual deve ser o menor valor da razão BD de portar exatamente quatro copos de uma só vez? A) B) 1 C) D) E) 8 para que uma bandeja tenha capacidade Considerando r r r r BD r, então, AC r e = r r r r r l BD r r

4 Questão 0. (EBMSP-016.1) Na figura, tem-se a reprodução de parte de um painel em que cada região sombreada é interior a um quadrado e exterior a um quadrante de círculo inscrito no quadrado. Sendo a medida do lado do quadrado maior igual a 8u.c., as três regiões sombreadas totalizam uma área que mede: (Use = ) A) u.a. B) 6 u.a. C) 8 u.a. D) 0 u.a. E) u.a. Inicialmente, na figura original denomine-se todos os pontos importantes para o desdobramento da figura: Observando a figura ao lado conclui-se que a medida da área 6 S1 8² S1 6 16π. S 1 é dada por.r² S ABCD. Considerando que BE, diagonal do quadrado EHBL, mede 8. 8 Como BE x, então, 8 x x x. Calculando o valor de S1: ² ² S. S 8π FB, diagonal do quadrado FIBJ, mede Como FB y, então, y y. ² Então, S ² S 16 π. Finalmente: S S S 6 16π 8π K 8 RESPOSTA: Alternativa C. 1 π.

5 Questão 06. (INSPER 01) A figura abaixo mostra o alvo de uma academia de arco e flecha. A pontuação que um jogador recebe ao acertar uma flecha em cada uma das faixas circulares está indicada na respectiva faixa. O raio do círculo maior mede 60 cm, o do menor mede 10 cm e a diferença entre os raios de quaisquer dois círculos consecutivos é de 10 cm. Todos os círculos têm o mesmo centro. A soma das áreas das faixas em cinza na figura é igual a A) 900 cm. C) 100 cm. E) 100 cm. B) 1100 cm. D) 100 cm. A soma das áreas, em cm, das faixas em cinza na figura é igual a: S S S S S S círculo raio S 100 OA círculo raio OC círculoraio OB círculoraio OE círculoraio OD S S 100 Questão 0. (UFMG 01) Nos séculos XVII e XVIII, foi desenvolvida no Japão uma forma particular de produzir matemática. Um dos hábitos que a população adotou foi o de afixar em templos placas contendo problemas, em geral de geometria. Essas placas, conhecidas como sangaku, apresentavam o problema com ilustrações e a resposta, sem registrar a solução dos autores. O seguinte problema foi adaptado de um desses sangakus: considere ABCD um retângulo com AB = 0 e AD = 10; tome uma circunferência de centro O tangente aos lados AB, BC e CD do retângulo, e seja BD uma de suas diagonais, interceptando a circunferência nos pontos P e Q. A corda PQ mede: A) B) 8 C) D) 6 E) 9

6 1. Associando à figura um sistema de coordenadas cartesianas cuja origem coincide com o vértice A do retângulo ABCD, percebe-se que o centro da circunferência é o ponto O(1, ), que seu raio é.. EF//AB tem como extremidade o ponto médio do lado ponto médio da diagonal BD xq =10.Tem-se Q = (1, ). A equação da circunferência é (x 1) + (y ) =. 1 A equação da reta que contém a diagonal BD é: y x 10 Para determinar as coordenadas do ponto P resolve-se o sistema abaixo: 1 y x 10 (x 1) (y ) x x 1 0x x x 0x x 0 x 10x x 8x x x xq 10 ou xp 18 yp 1 P(18, 1). Sendo Q = (10, ) e P = (18, 1), PQ = RESPOSTA: ALTERNATIVA A. BC, logo Q é o e xq é abscissa do ponto médio de AB, assim Questão 08. (EBMSP 01/1) O Homem Vitruviano de Leonardo da Vinci é usado como referência estética de simetria e proporção no mundo todo. Na figura, tem-se um sistema de coordenadas cartesianas no qual foram desenhados uma circunferência, de centro C, e um quadrado, como se observa na figura do Homem Vitruviano. Assim sendo, o raio da circunferência é A) B), C) D) E) O lado do quadrado ADEF mede. Logo no triângulo retângulo ABC, AB =, BC = r e CA = r. r² ² ( r)² r² 168r r² 8r 0 r,. O raio da circunferência é,. RESPOSTA: ALTERNATIVA B. 6

7 Questão 09. (UNEB 001) igual a Na figura, x e y são os valores das medidas dos lados do triângulo de área igual a 18 u.a. O valor de y x é A) B) 6 C) 0 1 D) 0 1 E) Como a área mede 18u.a. e BC = 1u.c.: 1h 18 1h 6 h h 1 No AHB, sen 0 x 6. x x Aplicando a Lei dos Cossenos ao ABC, cujos lados medem x =6, y e 1: y cos0 y Agora: y 180. y x (0 1 6 ) y x 0 1 Questão 10. Calcule o raio do círculo inscrito num triângulo de lados 6 cm, cm e cm. A) cm B) cm C) cm D) cm E) NRA Se o perímetro de um triângulo é representado por p, portanto, p é o seu semiperímetro. A área de um triângulo em função do raio do círculo nele inscrito, pode ser calculado usando os triângulos determinados pelo centro do círculo e os vértices do triângulo nos quais as alturas são raios do círculo. a. r b. r c. r ( a b c). r p. r S S S S S p. r r p Pela relação de Heron, a área de um triângulo é: S p( p a)( p b)( p c) S p(p a)(p b)(p c) Como r r. p p Aplicando esta relação na questão: RESPOSTA: Alternativa A. ( 6)( )( ) 6 r r r.

8 Questão 11. (FGV) Uma senha é formada por 8 caracteres, permutando-se os elementos do conjunto {a, b, c, d, e, 1,, }. Quantas senhas diferentes podem ser formadas de modo que na a posição haja uma letra e na 6 a posição um algarismo? A) 0 0 C) 0 E) 1 00 B) D) 0 a posição 6 a posição Letra Algarismo N o de possibilidades 6 1 Para a segunda posição existem opções diferentes e para a sexta posição opções. Escolhida a letra e o algarismo para ocupar, respectivamente, a segunda posição e a sexta posição, para as outras seis posições restam seis opções ( letras e algarismos) permutadas de todas as formas possíveis, logo o total de senhas diferentes será:.. 6! = RESPOSTA: Alternativa B. Questão 1. (ESPM) O número de anagramas da palavra COLEGA em que as letras L, E e G aparecem juntas, em qualquer ordem, é igual a: A) B) 1 C) 10 D) 60 E) C O L E G A Observar que a questão consiste inicialmente em determinar a quantidade de anagramas formada por quatro símbolos distintos: C, O, LEG, A, logo, o número de possibilidades é! =. Porém as letras do símbolo LEG aparecem em qualquer ordem, tem-se então,! = 6 opções diferentes para este símbolo. Finalmente, o número de anagramas que satisfazem às características exigidas na questão é. 6 = 1. RESPOSTA: Alternativa B. Questão 1. (FATEC 016) No Boxe, um dos esportes olímpicos, um pugilista tem à sua disposição quatro golpes básicos: o jab, o direto, o cruzado e o gancho. Suponha que um pugilista, preparando-se para os Jogos Olímpicos do Rio, em 016, queira criar uma sequência com 6 golpes, empregando necessariamente dois jabs, dois cruzados, um direto e um gancho. Mas ele deseja iniciar a sequência com um direto ou um gancho. Assim, o número máximo de sequências que ele poderá criar, obedecendo às condições definidas, será de A) 60. B) 10. C) 180. D) 0. E) 0. INÍCIO QUANTIDADE DE GOLPES Direto ou gancho Jabs Cruzado Direto Gancho 1 1 8

9 A permutação dos k elementos de um conjunto com, alguns elementos que se repetem k 1 vezes, k vezes, k! 1, k, k,,k k n...,k n vezes, é calculada usando a fórmula: Pk. k!. k!. k!...k! k! 10 1, k, k, k Então, no caso em questão, tem-se:!. P. 60!.!.1!.1! RESPOSTA: Alternativa A. 1 n Questão 1. (Escola Bahiana de Medicina e Saúde Pública) Cada uma das 1 pessoas inscritas para participar de um trabalho voluntário recebeu um crachá com um número de identificação distinto de 1 a 1 de acordo com a ordem de inscrição. Desejando-se organizar grupos formados por três pessoas que não estejam identificadas por três números consecutivos, o número máximo possível de grupos distintos que se pode formar é A) 0 B) C) 0 D) 1 E) 10 O total de possibilidades de se organizar as 1 pessoas em grupos de é determinado por 1! C 1, 0.!.( 1 )!. Os modos das 1 fichas serem organizadas a por três números consecutivos, formam o conjunto abaixo constituído de 10 elementos: A = {(1,, ), (,, ), (,, ), (,, 6), (, 6, ), (6,, 8), (, 8, 9), (8, 9, 10), (9, 10, 11), (10, 11, 1)} Finalmente, o número máximo possível de grupos distintos que podem ser formados com três pessoas que não estejam identificadas por três números consecutivos, é 0 10 = 10. RESPOSTA: Alternativa E. Questão 1. (IBMEC) LOTOGOL é um jogo de loteria em que o apostador marca seu palpite de placar em jogos de futebol de uma rodada. Ganha premiação aquele que acerta, ou dos palpites. Estas são as instruções do jogo: Como jogar Acerte a quantidade de gols feitos pelos times de futebol na rodada e concorra a uma bolada. Para apostar, basta marcar no volante o número de gols de cada time de futebol participante dos jogos do concurso. Você pode assinalar 0, 1,, ou mais gols (esta opção está representada pelo sinal +). Os clubes participantes estão impressos nos bilhetes emitidos pelo terminal. Exemplo de aposta ( Adaptado) 9

10 O número total de diferentes apostas que podem ser feitas no LOTOGOL é igual a A) 6 B) 10 C) D) 10 E) Para cada jogo, isolodamente, existem. = possibilidades de resultados. Para o conjunto dos jogos existem então,.... = 10 possibilidades de resultados diferentes. 10