Síntese de controladores PI multivariáveis centralizados e esparsos

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1 Univeridade Federal de São João Del Rei Centro Federal de Educação Tecnológica de Mina Gerai PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM ENGENHARIA ELÉTRICA - PPGEL Raphael Frediani Soare Síntee de controladore PI multivariávei centralizado e eparo Belo Horizonte 218

2 Raphael Frediani Soare Síntee de controladore PI multivariávei centralizado e eparo Diertação apreentada à banca examinadora deignada pelo Colegiado do Programa de Pó-Graduação em Engenharia Elétrica, aociação ampla entre a Univeridade Federal de São João del-rei e o Centro Federal de Educação Tecnológica de Mina Gerai, como parte do requiito neceário à obtenção do grau de Metre em Engenharia Elétrica. Orientador: Eduardo Nune Gonçalve Belo Horizonte 218

3 Soare, Raphael Frediani S676 Síntee de controladore PI multivariávei centralizado e eparo / Raphael Frediani Soare 218. xvi, 9 f.: il., gráf, tab. Diertação de metrado apreentada ao Programa de Pó-Graduação em Engenharia Elétrica em aociação ampla entre a UFSJ e o CEFET- MG. Orientador: Eduardo Nune Gonçalve. Diertação (metrado) Centro Federal de Educação Tecnológica de Mina Gerai. 1. Análie multivariada Tee. 2. Controladore PID Tee. 3. Algorítmo Tee. 4. Equaçõe diferenciai Tee. I. Gonçalve, Eduardo Nune. II. Centro Federal de Educação Tecnológica de Mina Gerai. III. Univeridade Federal de São João del-rei. IV. Título. CDD Elaboração da ficha catalográfica pela Biblioteca-Campu II / CEFET-MG

4 Dedico o trabalho à minha família.

5 Agradecimento Gotaria de agradecer ao profeor e orientador prof. Eduardo Nune Gonçalve pelo apoio e dedicação, por me aceitar, pela preocupação e buca de trabalho e pequia relevante à ociedade, orientando e compartilhando o eu conhecimento, durante toda a caminhada até a concluão dete trabalho. Etendo ete agradecimento ao Departamento de Engenharia Elétrica e a todo o corpo docente que contribuiram com a realização dete trabalho. Agradeço à FAPEMIG pelo apoio financeiro concedido para o projeto TEC - APQ , no qual eta pequia etá inerida. Agradeço ao meu familiare, pai, mãe e irmão pela educação, apoio, incentivo e preença contante em minha vida. Um agradecimento em particular à minha epoa, Ana, pela compreenão e apoio durante todo o período de realização dete trabalho.

6 Sumário Lita de Símbolo Lita de Abreviaçõe xiii xvi 1 Introdução Motivação Objetivo Sumário da Contribuiçõe Organização da Diertação Formulação do Problema Clae de Planta ou Sitema Controle Dinâmico por Realimentação de Saída Formulação do Problema de Síntee do Controlador Multivariável O Modelo de Referência Outro Objetivo de Controle Metodologia de Síntee População Inicial Mutação Diferencial Cruzamento ou Recombinação Seleção iii

7 3.5 Critério de Parada Peudocódigo Tratamento da Retriçõe Exemplo Ilutrativo Problema de Controle Padrão Shell Formulação do Problema Síntee do Controlador Reultado Concluõe Problema de Controle de Detilação de Petróleo Bruto Formulação do Problema Síntee do Controlador Reultado Concluõe Flotação em Coluna Formulação do Problema Síntee do Controlador Reultado Concluõe Concluõe Finai Concluõe Trabalho Futuro Trabalho Publicado em Evento Científico Referência Bibliográfica 87

8 Reumo Nete trabalho é invetigada e avaliada a íntee de controle PI centralizado e eparo para itema com múltipla entrada e múltipla aída, principalmente itema não quadrado, e com múltiplo atrao de tempo, viando o deempenho da repota de ratreamento e o deacoplamento entre a malha de controle. A formulação do problema de controle e dá como um problema de otimização não linear no epaço do parâmetro do controladore PI, com múltiplo objetivo de controle, coniderando a aproximação de modelo de referência H. O objetivo de controle adicionai que podem er tratado ão a rejeição a perturbaçõe, minimização do eforço de controle e/ou atenuação de ruído de medição. É propota uma abordagem para a obtenção do parâmetro do modelo de referência também baeada em otimização não linear. A metodologia de íntee conidera o algoritmo evolução diferencial para reolver o problema de otimização propoto. A eficiência do controladore projetado é pota à prova em exemplo ilutrativo contendo proceo não quadrado cujo controladore foram projetado utilizando outra metodologia. Demontra-e que reultado melhore podem er obtido utilizando a abordagem propota nete trabalho quando comparado ao outro método baeado em procedimento analítico. Palavra-chave: Sitema multivariávei não quadrado, controle PI centralizado, controle PI eparo, algoritmo evolução diferencial

9 Abtract In thi work, the centralized and pare PI control ynthei i invetigated and evaluated for multiple input and multiple output ytem, mainly non-quare ytem, and with multiple delay time, aiming tracking repone performance and decoupling among control loop. The formulation of the control problem i baed on a nonlinear optimization problem in the pace of the PI controller parameter, with multiple control objective, conidering the H reference model approximation. The additional control objective that can be conidered are diturbance rejection, control effort minimization and/or meaurement noie attenuation. It i alo propoed an approach to obtain the parameter of the reference model baed on nonlinear optimization. The ynthei methodology conider the differential evolution algorithm for olving the propoed optimization problem. The efficiency of the deigned controller i teted in illutrative example containing non-quare procee whoe controller were deigned uing another methodology. It i demontrated that better reult can be achieved uing the approach propoed in thi work when compared to the other method baed on analytical procedure. Keyword: Non-quare multivariable ytem, centralized PI control, pare PI control, differential evolution algorithm

10 Lita de Tabela 4.1 Parâmetro obtido para o modelo de referência do proceo Shell Parâmetro ajutado manualmente para o modelo de referência do proceo Shell Shell - Deempenho do controle do proceo para variaçõe do inai de referência em degrau Shell - Deempenho do controle do proceo para variaçõe do inai de perturbação Detilação - Parâmetro obtido para o modelo de referência com ajute manuai coniderando o controlador PI centralizado Detilação - Melhore emparelhamento para o itema quadrado Detilação - Parâmetro obtido para o modelo de referência com ajute manuai coniderando o controlador PI eparo Detilação - Deempenho do controle do proceo para variaçõe do inai de referência em degrau Detilação - Variância do inai, a partir do intante 6 min, com o controladore PI eparo K 3(), * K 5() * e K 6() * coniderando ruído de medição Detilação - Deempenho do controle do proceo para variaçõe do inai de referência em degrau na preença de ruído de medição Parâmetro obtido para o modelo de referência do proceo de Flotação Parâmetro reajutado do modelo de referência do proceo de Flotação 72 vii

11 4.13 Flotação - Variância do inai, a partir do intante 13 egundo, com o controladore K 1(), * K 2(), * K 3() * e K 4() * coniderando ruído de medição Flotação - Deempenho do controle do proceo com ruído para variaçõe do inai de referência em degrau

12 Lita de Figura 1.1 Controle de itema multivariávei não-quadrado Controle por deacoplador de itema multivariávei não-quadrado Sitema de Controle Generalizado Proceo Padrão de Controle Shell Shell - repota tranitória da aída controlada com K () * para inai de referência em degrau Shell - repota tranitória da variávei manipulada com K () * para inai de referência em degrau Shell - repota tranitória da aída controlada com K 1() * para inai de referência em degrau Shell - repota tranitória da variávei manipulada com K 1() * para inai de referência em degrau Shell - repota tranitória da aída controlada com K 2() * para inai de referência em degrau Shell - repota tranitória da variávei manipulada com K 2() * para inai de referência em degrau Shell - repota tranitória da aída controlada com K 3() * para inai de referência em degrau Shell - repota tranitória da variávei manipulada com K 3() * para inai de referência em degrau ix

13 4.1 Shell - repota tranitória da aída controlada com K 4() * para inai de referência em degrau Shell - repota tranitória da variávei manipulada com K 4() * para inai de referência em degrau Shell - repota tranitória da aída controlada com K 1() * para inai de perturbação Shell - repota tranitória da variávei manipulada com K 1() * para inai de perturbação Shell - repota tranitória da aída controlada com K 2() * para inai de perturbação Shell - repota tranitória da variávei manipulada com K 2() * para inai de perturbação Shell - repota tranitória da aída controlada com K 3() * para inai de perturbação Shell - repota tranitória da variávei manipulada com K 3() * para inai de perturbação Shell - repota tranitória da aída controlada com K 4() * para inai de perturbação Shell - repota tranitória da variávei manipulada com K 4() * para inai de perturbação Unidade de Detilação de Petróleo Bruto Detilação - repota tranitória da aída controlada com K 1() * para inai de referência em degrau Detilação - repota tranitória da variávei manipulada com K 1() * para inai de referência em degrau Detilação - repota tranitória da aída controlada com K 2() * para inai de referência em degrau

14 4.24 Detilação - repota tranitória da variávei manipulada com K 2() * para inai de referência em degrau Detilação - repota tranitória da aída controlada com K 3() * para inai de referência em degrau Detilação - repota tranitória da variávei manipulada com K 3() * para inai de referência em degrau Detilação - repota tranitória da aída controlada com K 4() * para inai de referência em degrau Detilação - repota tranitória da variávei manipulada com K 4() * para inai de referência em degrau Detilação - repota tranitória da aída controlada com K 3() * para inai de referência em degrau e ruído de medição Detilação - repota tranitória da variávei manipulada com K 3() * para inai de referência em degrau e ruído de medição Detilação - repota tranitória da aída controlada com K 5() * para inai de referência em degrau e ruído de medição Detilação - repota tranitória da variávei manipulada com K 5() * para inai de referência em degrau e ruído de medição Detilação - repota tranitória da aída controlada com K 6() * para inai de referência em degrau e ruído de medição Detilação - repota tranitória da variávei manipulada com K 6() * para inai de referência em degrau e ruído de medição Deenho equemático da coluna de flotação Flotação - repota tranitória da aída controlada com K 1() * para inai de referência em degrau Flotação - repota tranitória da variávei manipulada com K 1() * para inai de referência em degrau

15 4.38 Flotação - repota tranitória da aída controlada com K 2() * para inai de referência em degrau Flotação - repota tranitória da variávei manipulada com K 2() * para inai de referência em degrau Flotação - repota tranitória da aída controlada com K 3() * para inai de referência em degrau Flotação - repota tranitória da variávei manipulada com K 3() * para inai de referência em degrau Flotação - repota tranitória da aída controlada com K 4() * para inai de referência em degrau Flotação - repota tranitória da variávei manipulada com K 4() * para inai de referência em degrau

16 Lita de Símbolo Igual por definição; Pertence a; A C B D Forma abreviada da realização da matriz de tranferência G() = C(I A) 1 B + D;. Norma H ;. 2 Norma H 2 ; c d ε η λ n ω n r τ d u u v w x Vetor de aída da planta no domínio do tempo; Vetor de ditúrbio no domínio do tempo; Vetor de retriçõe para otimização ecalar; Número de variávei de otimização; Vetor de ponderação para otimização ecalar; Vetor de ruído de medição no domínio do tempo; Frequência natural; Vetor de inai de referência no domínio do tempo; Atrao puro de tempo; Vetor de variávei manipulada no domínio do tempo; Vetor de oluçõe tentativa; Vetor de oluçõe mutante; Vetor de entrada exógena no domínio do tempo; Vetor de variávei de etado no domínio do tempo; xiii

17 x y Vetor de variávei de otimização; Vetor de variávei de aída medida (entrada do controlador) no domínio do tempo; z Vetor de variávei de aída controlada relacionada ao deempenho no domínio do tempo; ζ C() C r F F Fator de amortecimento; Matriz de tranferência do controlador; Taxa de cruzamento; Fator de ecala aplicado obre o vetor diferença na operação de mutação; Conjunto de controladore com uma etrutura epecificada que etabiliza o itema de controle em malha fechada; I (m) Número inteiro peudoaleatório com ditribuição uniforme dicreta em {1,...,m}; K() Matriz de tranferência do controlador PI, PID, eparo ou produto de D() por C(); N N g P () Número de indivíduo da população; Número de geraçõe no algoritmo DE; Matriz de tranferência da planta generalizada; R n Conjunto do vetore de número reai de dimenão n; T m () T p Matriz de tranferência do modelo de referência; Contante de tempo da componente de 1ª ordem do modelo de referência de 3ª ordem; T z T zw () Parâmetro aociado ao zero do modelo de referência; Matriz de tranferência em malha fechada relacionando o vetor de aída z com o vetor de entrada w; T Matriz de tranferência aociada ao deempenho H que é um determinado bloco de T zw ;

18 T 2 Matriz de tranferência aociada ao deempenho H 2 que é um determinado bloco de T zw ; U (a;b) Número peudoaleatório uniformemente ditribuido no intervalo (a,b);

19 Lita de Abreviaçõe DE Differential Evolution; EOTF Effective Open-Loop Tranfer Function ; ETF HGO Equivalent Tranfer Function; Heavy Ga Oil; IMC Internal Model Control ; LGO Light Ga Oil; MIMO Multiple-Input Multiple-Output ; NRG Non-quare Relative Gain Array ; PID PSO QUERO RESID RGA Proporcional, Integral, Derivativo; Particle Swarm Optimization; Queroene; Óleo Reidual; Relative Gain Array; SISO Single-Input Single-Output ; SVD Singular Value Decompoition; xvi

20 Capítulo 1 Introdução O itema com múltipla entrada e múltipla aída (MIMO, do inglê multipleinput multiple-output ), múltiplo atrao de tempo e acoplamento entre a malha de controle ão comun em proceo indutriai. Ete itema podem er quadrado, quando o número de entrada é igual ao número de aída, p = q, ou não-quadrado, quando o número de entrada difere do número de aída, p q, conforme apreentado na figura 1.1. Alguma da configuraçõe do itema de controle multivariávei podem e apreentar como decentralizada, por deacoplador, centralizada ou epara utilizando, por exemplo, uma etrutura de controle PID. r 1 u 1 d d 1 n d n 1 c r 2 r q Controle multivariável K() p x q u 2 u p Sitema multivariável P() q x p n 2 c 2 + c q + n q + + Figura 1.1: Controle de itema multivariávei não-quadrado. No cao de itema quadrado, a etrutura PI/PID decentralizada é a mai popular 1

21 Capítulo 1. Introdução 2 devido a ua implicidade, um menor número de parâmetro, robutez contra falha no enore/atuadore e facilidade de compreenão, conforme apreentado em Dittmar et al. (212) e referência lá contida. No controle decentralizado (ou multi-malha), baeado no emparelhamento de entrada e aída, um itema MIMO é decompoto em um número equivalente de itema com uma entrada e uma aída (SISO, do inglê ingle-input ingle-output ). Neta abordagem, o controladore ão projetado para cada itema SISO individualmente utilizando-e de método direto, identificação do último ponto da repota em frequência do proceo multivariável e o eu delocamento para um determinado local no plano complexo, técnica de otimização não-lineare com retriçõe, ou ainda modelo efetivo não-paramétrico com otimização não-convexa (Huang et al.; 23; Campetrini et al.; 29; Dittmar et al.; 212; Jin and Liu; 214b). A definição de qual variável manipulada irá controlar qual aída da planta, ou a definição do melhor emparelhamento poível, pode er obtida utilizando o método de matriz de ganho relativo (RGA, do inglê Relative Gain Array) introduzido por Britol (1966). Em itema não-quadrado, como o problema padrão de controle Shell (Vlacho et al.; 22) com 3 entrada e 2 aída, ou o problema de controle da unidade de detilação de óleo cru (Muke et al.; 1991), com 5 entrada e 4 aída, uma da alternativa para aplicação do controle PID decentralizado é remover a aída meno ignificativa, no cao de p < q, ou ajutar para manual a entrada extra, no cao de p > q. O acrécimo de entrada e aída pode er dipendioo, enquanto que removê-la pode reduzir o deempenho do itema ou ainda torná-lo intável (Chen et al.; 211; Jin and Liu; 214b). Em Chang and Yu (199), o conceito do RGA é etendido a itema MIMO não-quadrado conhecido como matriz de ganho relativo não-quadrado (NRG, do inglê Non-quare Relative Gain Array ). O NRG pode er um critério de ecolha de um ubitema quadrado a partir de um itema não-quadrado. No cao de proceo não-quadrado ou proceo com forte interaçõe entre a malha de controle, é intereante coniderar etrutura de controle mai complexa como controle por deacoplador

22 Capítulo 1. Introdução 3 ou controle centralizado. A etrutura de controle por deacoplador é apreentada na figura 1.2. Nete cao, o controlador é a combinação do controle PID decentralizado e o deacoplador, K() = D p ()C(). O objetivo do deacoplador é produzir uma matriz de tranferência quadrada H() = [h i,j ()] q q = P ()D p () próximo a uma matriz de tranferência diagonal. Nete cao, o i-éimo controlador PID, C i (), i = 1,...,q, pode er facilmente intonizado com bae em técnica de intonia para uma entrada e uma aída, coniderando omente a função de tranferência h i,i (). Há vário método diferente diponívei K() d1 d n d n 1 r + 1 u 1 u 1 c 1 C () + 1 n r u u Sitema c C () Deacoplador + 2 D multivariável p() p x q P() q x p nq r u c + q u p p q C () + q Figura 1.2: Controle por deacoplador de itema multivariávei não-quadrado. para o cálculo do deacoplador, tanto no cao de proceo quadrado (Gagnon et al.; 1998; Cai et al.; 28; Shen and Sun; 212) e não-quadrado (Chen et al.; 211; Jin et al.; 214). Algun método aplicado a itema quadrado podem er etendido a proceo não-quadrado coniderando a operação da peudo-invera. Para obter um deacoplador, D p (), mai imple, a invera ou peudoinvera pode er aproximada com bae em funçõe de tranferência equivalente (ETF, do inglê Equivalent Tranfer Function) (Cai et al.; 28). Eta abordagem leva em conta o fato de que quae todo o proceo indutriai ão etávei em malha aberta e exibem comportamento não ocilatório para entrada em degrau unitário, o que poibilita a implificação do elemento da função de tranferência de ordem elevada, analiticamente ou de forma empírica, por modelo de primeira ordem mai atrao de tempo para fin de análie e

23 Capítulo 1. Introdução 4 projeto de controle (Cai et al.; 28). O método de íntee analítico baeado em ETF é muito intereante devido a implicidade ma não pode er aplicado a todo o tipo de proceo, além de não lidar diretamente com múltiplo objetivo de controle. No cao de controladore PID centralizado, todo o elemento do controlador p x q ão bloco PI/PID, que conectam toda a aída a toda a entrada, apreentando como devantagem a ua complexidade (Sarma and Chidambaram; 25; Ganeh and Chidambaram; 21; Shen et al.; 214; Wang et al.; 215). Uma eturutura intermediária entre o controladore PID decentralizado e o controladore PID centralizado ou por deacoplador é o controlador PID eparo (Shen et al.; 21; Jin et al.; 213). No controlador PID eparo algun elemento da matriz de tranferência do controlador multivariável podem er nulo implificando a implementação. A quetão a er repondida é qual o controlador eparo mai imple que reulta em um deempenho imilar ao apreentado por uma etrutura de controlador mai complexa e como intetizá-lo (Shen et al.; 21). Nete entido, no trabalho de Jin et al. (213) ão aplicado o conceito de função de tranferência em malha aberta efetiva (EOTF, do inglê Effective Open-Loop Tranfer Function), o método de controle por modelo interno (IMC, do inglê Internal Model Control ) e a combinação da capacidade de procura global do algoritmo de otimização por enxame de partícula (PSO, do inglê Particle Swarm Optimization) com a exatidão da otimização local do novo algoritmo de Luu e Jaakola (NLJ, do inglê New Luu and Jaakola) para a íntee de controladore PID eparo com filtro de primeira ordem com atrao e a etrutura de um controlador epecífico para itema não-quadrado. 1.1 Motivação Normalmente, em projeto de controladore, no deparamo com ituaçõe em que há conflito entre o diferente objetivo de itema de controle. Além dio, quando e trata de itema MIMO encontrado em divero proceo indutriai, a interação

24 Capítulo 1. Introdução 5 exitente entre a malha de controle é um fator a mai extremamente relevante que deve er levado em conideração na íntee de controladore. Junta-e ainda o fato de que em itema MIMO, a íntee de controladore deve coniderar o número de variávei de entrada e aída, coniderando e o proceo ão quadrado ou não-quadrado. O controladore PI/PID ainda ão a técnica dominante utilizada no nívei mai baixo de itema de controle (Xiong et al.; 27), utilizado em itema SISO ou MIMO, endo que nete último, a maioria utilizada é em itema de controle decentralizado ou multi-malha. Recentemente, a etratégia de controle centralizada foi aplicada para itema não-quadrado com atrao de tempo (Wang et al.; 215). Em Rao and Chidambaram (26), ão projetado controladore PI centralizado combinado com compenador de atrao tipo preditor Smith para itema não-quadrado. Motivado pelo fato mencionado, ea diertação propõe implementar e avaliar uma técnica de íntee de controladore PI/PID para proceo MIMO, quadrado ou não-quadrado, baeada em um problema de otimização não-linear que poa lidar com qualquer etrutura de controle, atrao de tempo e múltiplo objetivo. Na formulação do problema de otimização, é coniderada a abordagem da aproximação H do modelo de referência pela matriz de referência em malha fechada relacionando o inai de referência e a aída do proceo para garantir o deacoplamento entre a malha de controle e a epecificaçõe quanto a repota de ratreamento. Outro objetivo de controle podem er formulado utilizando a norma H 2 ou H da matrize de tranferência em malha fechada. Eta abordagem foi aplicada com uceo para a íntee de controladore PI deacopladore robuto decentralizado em Gonçalve et al. (212), para controle robuto de itema quadrado em Siqueira et al. (214) coniderando o algoritmo cone-elipoidal para otimização e controladore deacopladore para itema não-quadrado em e Silva (217). Uma da dificuldade da etratégia de aproximação de modelo de referência é a determinação do modelo de referência mai adequado para cada problema, que reulte em um bom compromio entre o diferente objetivo de

25 Capítulo 1. Introdução 6 controle. A maioria da etratégia de íntee apreentam parâmetro de intonia para obtenção dete compromio. No cao de modelo de referência, pode er neceário um maior número de parâmetro de intonia. Outra motivação dete trabalho é avaliar a aplicação de técnica de otimização não-linear para auxiliar na ecolha do parâmetro de intonia do modelo de referência. Como método de otimização não-linear, foi ecolhido o algoritmo evolução diferencial (DE, do inglê Differential Evolution) baeado em experiência prévia e em ua implicidade de implementação e uo. 1.2 Objetivo O objetivo deta diertação é etudar e avaliar a íntee de controladore PI centralizado ou eparo via otimização multiobjetivo não-linear por meio do algoritmo evolução diferencial. O eguinte objetivo epecífico ão coniderado: ˆ Definir uma matriz de tranferência como um modelo de referência que garanta o deempenho da repota de ratreamento e o deacoplamento entre a malha de controle coniderando atrao de tempo; ˆ Avaliar a aplicação de técnica de otimização não-linear para auxiliar na ecolha do parâmetro de intonia do modelo de referência. ˆ Definir a clae de problema a qual a metodologia e aplica e repreentá-la por uma etrutura multiobjetivo de otimização coniderando a norma H e H 2 apropriada a cada objetivo; ˆ Ajutar o algoritmo evolução diferencial para olução do problema de otimização propoto; ˆ Comparar o deempenho da diferente etrutura de controle;

26 Capítulo 1. Introdução 7 ˆ Evidenciar a eficácia da metodologia de íntee propota por meio de imulaçõe comparando a outra técnica exitente na literatura. 1.3 Sumário da Contribuiçõe A principai contribuiçoe dete traballho ão: ˆ Avaliar o procedimento de íntee por otimização para controladore PI eparo e centralizado. O procedimento propoto permite ao projetita encontrar um controlador batando o ajute de algun parâmetro tai como: o modelo de referência; ponderaçõe obre o objetivo; número de iteraçõe; precião. ˆ Propor uma metodologia para encontrar o modelo de referência mai adequado ao projeto de intonia do controlador. Modelo de referência de primeira, egunda ou terceira ordem poderão er obtido coniderando o proceo multivariável a er controlado. O parâmetro iniciai para tete do modelo de referência poderão er obtido por otimização. Uma matriz de tranferência diagonal é coniderada para garantir o deacoplamento entre a malha. ˆ Etudo comparativo entre diferente etrutura de controle para avaliar a aplicabilidade de controladore centralizado e eparo. A metodologia propota poibilita a obtenção de controladore PI/PID centralizado ou eparo por otimização, cujo deempenho poderá er comparado e inferir a melhor etrutura a er utilizada entre ela. ˆ Propor a melhor etrutura do controlador eparo. Além da comparação entre a etrutura de controle, cao e aponte o controlador PI eparo como uma poibilidade, dentre a configuraçõe permitida, a metodologia poderá er utilizada para a ecolha da melhor etrutura PI eparo.

27 Capítulo 1. Introdução Organização da Diertação O capítulo 2 apreenta a formulação do problema a er coniderado, utilizando uma repreentação em epaço de etado. Algun apecto teórico importante que ervem de bae para a metodologia propota ão mencionada. O problema de controle é formatado como uma planta generalizada padrão. A repreentação da matriz de tranferência em malha fechada que relaciona a variávei controlada e entrada exógena, bem como quai deta variávei poderão er ecolhida é motrada com a repectiva norma que deverão er minimizada dependendo do objetivo de controle. Conidera-e ainda nete capítulo, a formulação do problema de otimização multiobjetivo que poderá er não-convexo, não-diferenciável e multimodal além do parâmetro de ajute da função objetivo. O modelo de referência também é coniderado com alguma obervaçõe quanto a ua ecolha. O capítulo 3 decreve o algoritmo evolução diferencial utilizado para olução do problema de otimização não-linear tratado neta metodologia. Ete algoritmo inclui operadore computacionai imillare ao empregado em algoritmo evolucionário padrõe: mutação, cruzamento ou recombinação e eleção. Cada uma deta etapa ão apreentada além do peudo-código e parâmetro importante como o critério de parada e tratamento de retriçõe. O capítulo 4 trata do reultado obtido por meio de imulaçõe computacionai aplicada a exemplo ilutrativo. Cada exemplo é apreentado, definindo-e a entrada exógena e variávei de deempenho. Todo o parâmetro configurado ão apreentado. A etrutura de controle que melhor e airam na imulaçõe de cada exemplo ão motrada aim como a tabela comparativa com o índice de deempenho definido. Finalmente, o capítulo 5 apreenta a concluõe gerai dete trabalho e propota de etudo futuro.

28 Capítulo 2 Formulação do Problema Ete capítulo decreve a formulação de um problema multiobjetivo para a íntee de um controle multivariável por otimização não-linear. A notação compacta aplicada para repreentar a matriz de tranferência em epaço de etado é coniderada: G() = C(I A) 1 B + D = A C B D. (2.1) 2.1 Clae de Planta ou Sitema O método propoto e aplica à toda a clae de itema multivariávei lineare invariante no tempo incluindo itema: ˆ Quadrado ou não-quadrado. Conforme mencionado no capítulo 1, o itema MIMO podem er quadrado, quando o número de entrada é igual ao número de aída, p = q, ou não-quadrado, quando o número de entrada difere do número de aída, p q. Ete último, apreenta epecial interee e nete entido abordagen como a NRG (Chang and Yu; 199) ou a decompoição em valore ingulare (SVD, do inglê Singular Value Decompoition) (Lau et al.; 1985) ão utilizada na íntee de controladore multivariávei para itema não-quadrado. A utilização de otimização não-linear permite a procura de um controlador PI/PID adequado 9

29 Capítulo 2. Formulação do Problema 1 para itema quadrado e não-quadrado que atenda múltiplo objetivo de controle. ˆ Atrao puro de tempo. O atrao de tempo no itema multivariável foram incluido e aproximado por funçõe racionai por meio da aproximação de Padé de terceira ordem em que τ d e τd 1 τ d 2 + τ 2 d 1 2 τ d (2.2) 1 + τ d 2 + τ d τ d repreenta o atrao de tempo, tanto na matriz de tranferência do proceo como no modelo de referência. O problema de controle dete trabalho conidera o itema de controle generalizado conforme a figura 2.1. w u P z y K Figura 2.1: Sitema de Controle Generalizado. O itema em tempo contínuo, linear e invariante no tempo, P (), pode er decrito pelo modelo em epaço de etado x = Ax + B u u + B w w, z = C z x + D zu u + D zw w, (2.3) y = C y x + D yw w, em que x R n é o vetor de etado, u R p é o vetor de variávei manipulada (a aída do controlador), w R nw é o vetor de entrada exógena (inai de referência r R q, ditúrbio d, e ruído de medição n R q ), z R nz é o vetor de aída

30 Capítulo 2. Formulação do Problema 11 controlada (variávei relacionada ao deempenho como aída da planta c R q e variávei manipulada u) e y R q é o vetor de aída medida que ão a entrada do controlador por realimentação dinâmica de aída. 2.2 Controle Dinâmico por Realimentação de Saída Coniderando o controle dinâmico por realimentação de aída com a ação de controle do tipo U() = K()Y (), podemo repreentar o controlador PI/PID centralizado ou eparo por K() A k C k B k D k, (2.4) e a matriz de tranferência em malha fechada que relaciona a variávei controlada, z, e entrada exógena, w, por T zw () = A f C f B f D f. (2.5) Eta matriz de tranferência, por ua vez, pode er calculada por A f = A + B ud k C y B k C y B f = B w + B u D k D yw B k D yw [ C f = C z + D zu D k C y [ D f = B u C k A k, D zw + D zu D k D yw ]., D zu C k ], (2.6)

31 Capítulo 2. Formulação do Problema 12 Podemo coniderar como variávei de deempenho a aída do proceo e a variávei manipulada e como entrada exógena o inai de referência, ditúrbio e ruído de medição. Dete modo, a matriz de tranferência em malhada fechada pode er dividida em ei bloco: C() U() = T cr() T cd () T cn () T ur () T ud () T un () R() D() N(). (2.7) 2.3 Formulação do Problema de Síntee do Controlador Multivariável Na avaliação do deempenho do itema de controle, norma de itema como H 2 e H, ão batante útei. A norma L 2 de um vetor de inai contínuo no tempo, w, é w 2 = w i 2 dt. (2.8) Se a integral é finita, então w L 2. A norma H de uma matriz de tranferência, T zw (), repreenta o pior cao da relação entre a energia do vetor de aída, z, e do vetor de entrada, w: T zw = max w L 2,w i z 2 w 2. (2.9) Uma da interpretaçõe da norma H 2 de uma função de tranferência é que ela e refere a norma L 2 do vetor de aída quando o vetor de entrada for compoto por inai de ruído branco. Maiore informaçõe obre norma e análie funcionai podem er encontrado em Zhou and Doyle (1998). Nete trabalho é coniderada a formulação do problema da íntee de um controlador geral multivariável como um problema de otimização multiobjetivo que combina trê

32 Capítulo 2. Formulação do Problema 13 diferente objetivo: K * () = arg min K() E(,K) T (,K) (2.1) T 2 (,K) 2 Sujeito a: K() F, onde F é o conjunto de controladore com uma etrutura epecificada que etabiliza o itema de controle em malha fechada. O erro de aproximação, E(,K), é definido como o erro entre o modelo de referência, T m (), e a matriz de tranferência em malha fechada, T cr (), relacionando o vetor de aída da planta, c, e o vetor do inai de referência, r: E(,K) T m () T cr (,K). (2.11) Nete problema, T e T 2 ão matrize de tranferência aociada ao deempenho H e H 2, repectivamente, que ão determinado bloco de T zw. Coniderando que erá adotado uma técnica de otimização ecalar, o problema de otimização multiobjetivo (2.1) foi formulado como um problema de otimização ecalar genérico como e egue: K * () = arg min K() λ e E(,K) + λ T (,K) + λ 2 T 2 (,K) 2 Sujeito a: E(,K) ε e T (,K) ε (2.12) T 2 (,K) 2 ε 2 K() F, endo o vetor de ponderação λ = [λ e λ λ 2 ] T e o vetor de retriçõe ε = [ε e ε ε 2 ] T aplicado para formular o problema multiobjetivo como um problema de otimização ecalar. Por meio de uma ecolha apropriada de λ e ε é poível alcançar o equilíbrio deejado entre a trê funçõe objetivo. Como geralmente deeja-e um controlador que atenda a determinada epecificaçõe de projeto, tal como erro mínimo de aproximação

33 Capítulo 2. Formulação do Problema 14 de modelo, eforço de controle limitado entre outro, não é neceário aplicar uma técnica de otimização multiobjetivo para gerar uma população de controladore na quai a maioria erá decartada. Eta caracterítica da formulação do problema da íntee do controlador erá melhor ilutrada no capítulo 4, com a apreentação de exemplo. 2.4 O Modelo de Referência A metodologia propota nete trabalho paa pela minimização do erro de aproximação entre a matriz de tranferência em malha fechada que relaciona a aída controlada, vetor c, com a referência, vetor r, e um modelo de referência. Há uma importante regra no problema da íntee de um controlador multivariável: o modelo de referência deve er uma matriz diagonal T m,1 ()... T m,2.... T m () =, (2.13) T m,q () para garantir o deacoplamento entre a malha de controle. Se E(,K), então o inal de referência r i terá influência mínima obre a outra aída do proceo, c j, i j, e a repota tranitória de ratreamento de c i erá determinada pela matriz de tranferência diagonal, T m,i, i = 1,...,q. O parâmetro da funçõe de tranferência da matriz do modelo de referência ão o parâmetro de intonia da íntee que permitem obter um compromio entre objetivo de controle. Nete trabalho é propoto a determinação de tai parâmetro atravé de um problema de otimização multiobjetivo coniderando funçõe de egunda ou terceira

34 Capítulo 2. Formulação do Problema 15 ordem de acordo com o problema: T m.i () = ω2 n,i(t z,i + 1)e τ d i, (2.14) 2 + 2ζ i ω n,i + ωn,i 2 ou T m,i () = ω 2 n,i(t z,i + 1)e τ d i (T p,i + 1)( 2 + 2ζ i ω n,i + ω 2 n,i ) (2.15) em que T z,i, ζ i, ω n,i e T p,i com i = 1... q, ão o parâmetro de otimização acrecentado ao parâmetro do controlador. O atrao de tempo τ di ão fixado como endo valor de atrao do elemento da matriz de tranferência do proceo cujo o cálculo do NRG apontou o melhor emparelhamento entre a aída e a entrada. Na impoibilidade do cálculo do NRG, quando, por exemplo, o itema e motra intável em malha aberta com pólo na origem, optou-e pelo menor valor de atrao de cada aída em relação à entrada conforme o modelo do proceo. O modelo de referência multivariável em epaço de etado na forma compacta é: T m () = C m (I A m ) 1 B m + D m = A m C m B m D m. (2.16) A obtenção do modelo de referência pode er realizada em dua etapa. Inicialmente, utiliza-e como objetivo, minimizar o erro de aproximação E(,K,T m ) para encontrar um erro pequeno o batante que garanta um deacoplamento aceitável entre a malha. O problema de otimização (2.12) é modificado da eguinte forma: K * () = arg min K,T m E(,K,T m ) Sujeito a: K() F max i Real(λ i (A m )) σ (2.17) ζ min,j ζ j ζ max,j, j = 1... q, endo que F é o conjunto de controladore com uma etrutura epecificada que etabiliza

35 Capítulo 2. Formulação do Problema 16 o itema de controle em malha fechada, Real(λ) : C R é a parte real de λ, λ i (A m ) é o i-éimo autovalor de A m, matriz de tranmião do etado do modelo de referência, ζ min,j e ζ max,j, ão repectivamente o j-éimo valore mínimo e máximo de ζ j da funçõe de tranferência de egunda ordem e σ < é o limite uperior da parte real de λ i (A m ). Eta última retrição pretende fazer com que o polo do modelo de referência ejam alocado a uma ditância mínima do eixo imaginário no emiplano equerdo para garantir um tempo de acomodação mínimo da repota tranitória. O valore de ζ min,i, ζ max,i e σ ão parâmetro à ecolha do projetita, endo a única variávei de otimização que podem er retrita. Cao o controlador e o modelo de referência obtido reultem em uma repota tranitória atifatória, com critério de deempenho aceitávei, finaliza-e a obtenção do modelo de referência neta etapa e, incluive, o projeto. Cao não atendam, uma egunda etapa pode er realizada coniderando a retrição ε e cujo valor mínimo aceitável para tete é o erro de aproximação encontrado na etapa anterior. Eta etapa tem por finalidade garantir o menor erro de aproximação com um menor tempo de repota poível. Aim, mai uma vez o problema de otimização é modificado tomando a eguinte forma: K * () = arg min K,T m max i Real(λ i (A m )) Sujeito a: K() F E(,K,T m ) ε e (2.18) ζ min,j ζ j ζ max,j, j = 1... q. Apó eta egunda etapa, o valore encontrado do parâmetro do modelo de referência ão o valore a partir do quai ajute poderão er realizado para encontrar um melhor compromio entre o divero critério de deempenho, coniderando etrutura de controladore PI centralizado ou controladore PI eparo.

36 Capítulo 2. Formulação do Problema Outro Objetivo de Controle Além da repota tranitória de ratreamento, outro objetivo ão tratado: rejeição a ditúbio, atenuação de ruído e minimização do eforço de controle. A ecolha dete objetivo depende do tipo de entrada exógena do itema. A matrize de tranferência T (,K) e T 2 (,K) ão bloco apropriado de T zw (,K) na equação (2.7) endo a ecolha determinada pelo tipo de problema a er tratado. A etrutura erão abordada no capítulo 4 em que erão coniderado ou incluido ete objetivo.

37 Capítulo 3 Metodologia de Síntee O algoritmo Evolução Diferencial, introduzido por Storn and Price (1997), é um algoritmo de otimização não-linear, evolucionário, etocático e baeado em população para reolver funçõe com valore reai. O algoritmo DE inclui operadore computacionai como o empregado por algoritmo evolucionário padrão: mutação, cruzamento ou recombinação e eleção. Seja U (a;b), um número peudoaleatório uniformemente ditribuído no intervalo aberto (a,b); I (m) um valor inteiro peudoaleatório extraído da ditribuição uniforme dicreta em {1,...,m}; x R η o vetor de variávei de otimização e N o número de indivíduo (oluçõe candidata) da população. Defina a população na k-éima iteração, X k = {x k,i ; i = 1,...,N}, endo a i-éima olução: x k,i = θ k,i,1. θ k,i,η. (3.1) O operadore do algoritmo DE ão decrito na equência. 18

38 Capítulo 3. Metodologia de Síntee População Inicial O método DE começa com uma população inicial de oluçõe candidata aleatória uniformemente ditribuída dentro do epaço de buca retrito pelo limite mínimo e máximo precrito de cada variável, θ 1,i,j [m j, m j ]: θ 1,i,j = U (mi,m i ), (3.2) i = 1,...,N, j = 1,...,η. 3.2 Mutação Diferencial Conidere o índice r 1 r 2 r 3 i dado por r j = I (N), j = 1,...,3. A i-éima olução mutante é obtida baeada na eguinte operação de mutação diferencial: v k,i = x k,r1 + F i (x k,r2 x k,r3 ), (3.3) i = 1,...,N, em que F i é um fator de ecala aplicado obre o vetor diferença. Nete trabalho, adotou-e F i = U (,5;1) para cada vetor diferença. 3.3 Cruzamento ou Recombinação A recombinação entre o indivíduo da k-éima população, X k, e da população mutante, V k, gera a população tentativa, U k : v k,i,j, u k,i,j = θ k,i,j, e U (,1) C r ou j = δ i cao contrário, (3.4) para j = 1,...,η, i = 1,...,N, endo C r [,1] a taxa de cruzamento. Adotou-e nete trabalho C r =,9. O índice δ i = I (η) garante u k,i x k,i.

39 Capítulo 3. Metodologia de Síntee Seleção O próximo pao do algoritmo é a operação de eleção para determinar e o alvo, x k,i, ou o vetor de tentativa, u k,i, obrevive na próxima geração: u k,i, e f(u k,i ) f(x k,i ) x k+1,i = x k,i, cao contrário, (3.5) i = 1,...,N. 3.5 Critério de Parada Geralmente o critério de parada de algoritmo evolucionário é um número máximo fixo de geraçõe, N g, também adotado nete trabalho. Coniderou-e também um critério de parada baeado na diferença entre o valore máximo e o mínimo da função objetivo: max i f(x k,i ) min j f(x k,j ) ε g. Adotou-e ε g = 1 6. O número de geraçõe N g erá apreentado conforme cada tete realizado no capítulo Peudocódigo Dado M R η 2, a matriz onde a j-éima linha define o limite iniciai da variável, [θ j, θ j ], e N, o tamanho da população, o algoritmo DE pode er decrito como:

40 Capítulo 3. Metodologia de Síntee 21 k 1 X k Criar_P opulacao_inicial(m,n) F x F uncao_objetivo(x k ) Enquanto critério de parada não for atingido para i 1,...,N Gerar r 1 r 2 r 3 i {1,...,N} F i U (,5;1) v k,i x k,r1 + F i (x k,r2 x k,r3 ) fim para i 1,...,N δ i I (η) u k,i recombinacao(θ k,i, v k,i, δ i, C r ) fim F u F uncao_objetivo(u k ) X k+1 Selecao(X k, U k, F x, F u ) k k + 1 fim 3.7 Tratamento da Retriçõe O algoritmo DE é deenvolvido para reolver problema de otimização irretrito. Para lidar com problema de otimização com retriçõe é neceário inclui-la na função objetivo pelo método de penalidade. Seja f = λ e E(,K) + λ T (,K) + λ 2 T 2 (,K) 2, f 1 = max i Real(λ i (A f )), Real(λ) : C R a parte real de λ e λ i (A f ) o iéimo autovalor de A f apó a realização mínima de T zw, f 2 = max{ T i,1,..., T i,p }, T i,j o j-éimo tempo integral, e f 3 = max{ E(,K) ε e, T (,K) ε, T 2 (,K) 2

41 Capítulo 3. Metodologia de Síntee 22 ε 2 }. Coniderou-e a eguinte função objetivo modificada no algoritmo DE: f(k) = f 1, e f 1, f 2, e f 1 <, f 2 >, f 3, e f 1 <, f 2, f 3 >, f, e f 1 <, f 2, f 3. (3.6) Na eleção entre a oluçõe alvo e tete, a olução que reulta em um itema em malha fechada intável é pior que uma olução que reulta em um itema em malha fechada etável ma com tempo integral negativo no controlador PI/PID, que por ua vez é pior que uma olução que viola a retriçõe ε, que é pior que uma olução factível. Quando e compara dua oluçõe que violam a mema retriçõe, a melhor olução é aquela que etá mai próxima da região factível. O algoritmo DE também pode er utilizado para a obtenção do modelo de referência decrito no capítulo 2, eção 2.4, coniderando-e inicialmente f = E(,K,T m ) ou, cao neceário, f = max i Real(λ i (A m )), além da retriçõe da variávei de otimização coniderada e indicada em (2.17) e (2.18) repectivamente.

42 Capítulo 4 Exemplo Ilutrativo Nete capítulo, a metodologia de projeto propota foi aplicada por meio de imulaçõe computacionai em exemplo ilutrativo. Todo o tete foram realizado utilizando o Matlab e o Simulink, endo que nete último coniderou-e bloco de atrao de tempo ao invé de aproximaçõe de Padé. A integral do erro ao quadrado foi utilizada como índice de deempenho para comparar o diferente controladore no exemplo que e eguem endo definida como: ISE i [r i c i ] 2 dt, (4.1) ISE t m ISE i (4.2) i=1 4.1 Problema de Controle Padrão Shell Formulação do Problema Conidere o proceo fracionador de óleo peado apreentado na figura 4.1. Ete proceo foi publicado pela Shell como um problema de controle padrão pela primeira vez em 1986 para avaliação de nova teoria e tecnologia de controle (Vlacho et al.; 23

43 Capítulo 4. Exemplo Ilutrativo 24 22). O proceo é originalmente multivariável não-quadrado (5 x 7) cujo principal objetivo é manter a aída c 1 e c 2 dentro da epecificaçõe enquanto, ao memo tempo, a entrada u 3 deve er minimizada e a aída c 7 deve er mantida em valore mínimo de -,5 todo o tempo. Além dio, a aída c 1 deve er mantida dentro do intervalo de ±,5 todo o tempo, enquanto o ditúrbio não medido d 1 e d 2 devem er rejeitado ainda que o enore c 1 e c 2 falhem. Sem levar em conta a aída auxiliare, ete itema pode er linearmente modelado por uma matriz de tranferência 2 x 3 mai ditúrbio (matriz de tranferência 2 x 2) (Vlacho et al.; 22; Shen et al.; 214; Jin et al.; 214; Jin and Liu; 214a): C() = 4,5e ,39e ,77e ,72e ,88e ,9e U() + 1,2e ,52e ,44e ,83e D(). (4.3) A contante de tempo e atrao de tempo etão em minuto. O atrao de tempo foram aproximado por Padé de terceira ordem conforme a equação (2.2), por er o melhor reultado que e aproxima ao atrao real apó alguma imulaçõe, e a realização mínima dete itema em epaço de etado poui ordem 4. O modelo do proceo multivariável (4.3) foi coniderado poi é o utilizado por Shen et al. (214) em eu trabalho cujo método é comparado neta eção da diertação. A variávei manipulada etão ujeita a aturação (±,5) e limitaçõe da taxa de variação (±,5 por minuto) (Vlacho et al.; 22). A entrada u 3 deve er minimizada. A entrada de ditúrbio d 1 e d 2 não ão medida, porém, limitada com d 1,5 e d 2,5 (Vlacho et al.; 22). Além dio, c 1 deve er mantida na faixa,5 c 1,5 todo o tempo, enquanto que para c 2 não há requiito obre a repota tranitória (Vlacho et al.; 22). O vetor de entrada exógena é definido como w = [r 1 r 2 d 1 d 2 ] T. A variávei de deempenho ão definida inicialmente como z = [c 1 c 2 u 1 u 2 1u 3 ] T, onde o peo 1 é aplicado à entrada u 3 para reforçar a ua minimização em relação a

44 Capítulo 4. Exemplo Ilutrativo 25 Retriçõe Ditúrbio d 1 d 2 Variávei manipulada û 1 û 2 û 3 u 1 u 2 u 3 Fracionador de óleo peado Proceo Shell P() c 1 c 2 c 3 c 4 c 5 c 6 c 7 Auxiliar Regulação de c e c 1 2 Minimização de u 3 Figura 4.1: Proceo Padrão de Controle Shell. outra dua variávei manipulada. O vetor de inai medido é definido como o erro de ratreamento: y = [r 1 c 1 r 2 c 2 ] T. Para ete itema, além do erro de aproximação, foram coniderado T (,K) = T cd (,K) e T 2 (,K) = T ud (,K) que relacionam a aída,c, e entrada,u, da planta, repectivamente, com o ditúrbio d Síntee do Controlador Conforme mencionado no item 2.4, a metodologia propota nete trabalho paa pela minimização do erro de aproximação entre a matriz de tranferência em malha fechada, que relaciona a aída controlada e o inai de referência, e um modelo de referência que é definido como uma matriz de tranferência diagonal T m () = T m,1() T m,2 (). O modelo de referência coniderado etá conforme o apreentado na equação (2.14) que conidera funçõe de tranferência de egunda ordem como elemento da matriz. Foi coniderada uma realização no epaço de etado da matriz de referência com aproximação de Padé de terceira ordem do atrao de tempo. Dua etrutura de controladore ão coniderada: PI centralizado e PI eparo.

45 Capítulo 4. Exemplo Ilutrativo 26 Todo o parâmetro e conideraçõe utilizada na íntee bem como o controladore obtido ão apreentado a eguir. Controlador PI centralizado A repreentação do controlador PI centralizado em termo do parâmetro de otimização é: K() θ 1 θ 2 θ 3 θ 4 θ 5 θ 6 θ 7 θ 8 θ 7 θ 8 θ 9 θ 1 θ 9 θ 1, (4.4) θ 11 θ 12 θ 11 θ 12 onde θ j = 1/T i,j e θ 6+j = k p,j, j = 1,...,6. Inicialmente, o modelo de referência é obtido por meio do problema de otimização (2.17). Definimo a retriçõe da variávei de otimização ζ min,1 = ζ min,2 =,1, ζ max,1 = ζ max,2 =,9 e σ =,4. O atrao de tempo coniderado foram τ d1 = 27 e τ d2 = 14. Coniderando um número de geraçõe N g = 1., o erro de aproximação encontrado foi de E(,K *,T m) * =,592. O erro de aproximação obtido foi utilizado como referência para a retrição ε e no problema de otimização (2.18) com o intuito de e obter um modelo de referência que apreentae um menor tempo de ubida da variávei controlada. Ete valor foi ajutado para ε e =,6 obtendo o eguinte parâmetro do modelo de referência, para um número de geraçõe N g = 2. trancrito para a tabela 4.1.