Câmpus Caxias do Sul

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1 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul Câmpus Caxias do Sul CARACTERIZAÇÃO GEOMÉTRICA DE OPERADORES LINEARES DE R 2 E R 3 Trabalho de Conclusão de Curso Licenciatura em Matemática Érick Scopel Caxias do Sul 2014

2 ÉRICK SCOPEL CARACTERIZAÇÃO GEOMÉTRICA DE OPERADORES LINEARES DE R 2 E R 3 Trabalho de Conclusão de Curso apresentado como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática, pelo Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul Câmpus Caxias do Sul. Área de concentração: Matemática. Orientadores: Me. Nicolau Matiel Lunardi Diehl IFRS. Me. Rodrigo Sychocki da Silva IFRS. Caxias do Sul, Novembro de 2014.

3 Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul, Câmpus Caxias do Sul. 51 S422c Scopel, Érick. Caracterização Geométrica de Operadores Lineares de R 2 e R 3 / Érick Scopel; orientadores, Nicolau Matiel Lunardi Diehl, Rodrigo Sychocki da Silva. - Caxias do Sul, RS, p. Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação) - Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul, Câmpus Caxias do Sul. Graduação em Matemática. Inclui referências. Inclui lista de figuras. 1. Matemática. 2. Álgebra Linear. 3. Operadores Lineares. 4. Teoria de Jordan. I. Diehl, Nicolau Matiel Lunardi. II. Silva, Rodrigo Sychocki da. III. Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul. Graduação em Matemática. IV. Título. Ficha catalográfica elaborada pela bibliotecária Jaçanã Pando CRB 10/1936.

4 ÉRICK SCOPEL CARACTERIZAÇÃO GEOMÉTRICA DE OPERADORES LINEARES DE R 2 E R 3 A banca examinadora, abaixo assinada, aprova o Trabalho de Conclusão de Curso: Caracterização Geométrica de Operadores Lineares de R 2 e R 3 elaborado por Érick Scopel como requisito parcial para obtenção do grau de Licenciado em Matemática, pelo Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul Câmpus Caxias do Sul. Prof. Dr. Diego Marcon Farias - UFRGS. Prof. Esp. Nícolas Moro Müller - IFRS. Prof. Dr. Rene Carlos Cardoso Baltazar Junior - FURG. Caxias do Sul, 25 de Novembro de 2014.

5 Agradecimentos Agradeço primeiramente aos meu orientadores Nicolau Matiel Lunardi Diehl e Rodrigo Sychocki da Silva pelos momentos oportunizados para criação deste trabalho onde, sem dúvida, aprendi muito mais do que essas páginas podem trazer. Além disso, agradeço pela compreenção e ajuda em todos momentos que tive dificuldades para condução deste trabalho. Também agradeço a todos os outros professores que, de alguma forma, tiveram participação deste projeto. Agradeço ao Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Rio Grande do Sul - Câmpus Caxias do Sul pela oportunidade de cursar o curso de Licenciatura em Matemática onde, sem este, nunca teria feito tal trabalho. Também agradeço ao colega Lucas Dutra pela parceria e companherismo durante esses quatro anos. Agradeço a minha família pelo apoio em todos momentos em que estava estudando ou escrevendo este trabalho, em especial a minha namorada pela ajuda com a tradução do resumo e pela paciência e entendimento que este Trabalho de Conclusão de Curso (TCC) leva dias, domingos, sábados, finais de semana para ser escrito.

6 Resumo O trabalho versa sobre uma caracterização geométrica de operadores lineares de R 2 e R 3. Com a Teoria de Jordan aplicada a matrizes associadas aos operadores, pode-se caracterizar as transformações olhando para as matrizes quadradas de ordem dois, quando o operador for em R 2, e quadradas de ordem três quando for em R 3. É encontrada uma matriz de Jordan que seja equivalente a matriz associada ao operador e assim é dito como este operador se comporta em determinadas regiões. Com essa teoria escreve-se os operadores lineares de formas mais simples e assim os classifica em classes. Além disso, os operadores tem aplicações relevantes no estudo de Fractais, Deformações, Morfismos e Computação Gráfica. Na Computação Gráfica, por exemplo, a teoria de operadores é utilizada na manipulação de imagens que envolvem rotações, cisalhamentos, dilatação e compressão e alteração de cores, que são exemplos de transformações lineares. É comum encontrar nos livros de álgebra linear transformações dos tipos citados. Mas, a pergunta natural a se fazer é: toda a transformação linear é desse tipo? Este trabalho visa responder a esta pergunta, uma vez que os livros de álgebra linear descrevem estas transformações em capítulos iniciais e nos finais trazem a teoria de Jordan, porém, não a utilizam para responder diretamente a tal pergunta. Perceberemos neste trabalho, que os operadores lineares de R 2 e R 3 atuam como dilatações, compressões, cisalhamentos e rotações, quando olhamos para os vetores da base de Jordan. Palavras-chave: Operadores Lineares. Teoria de Jordan. Classes.

7 Abstract The work concerns a geometric characterization of linear operators in R 2 and R 3. With the Jordan s Theory applied to the matrices associated to the operators, can be characterize the transformations looking to square matrices of order two when the operator is in R 2, and square of order three when in R 3. It is found an array of Jordan that is equivalent to the matrix associated to the operator and so is said like this operator behaves in certain regions. With this theory we write the linear operators the simpler forms and thus classify them into kinds. In addition, operators have relevant applications in the study of Fractals, Deformations, Morphisms and Computer Graphics. In Computer Graphics, for example, the theory is used in manipulation of image involving rotation, shearing, expansion and compression, and changing colors, which are examples of linear transformations. It is common to find in the books of linear algebra transformations of the types mentioned but the natural question to ask is: all linear transformation is that? This work aims to answer this question, since the books of linear algebra describe these transformations in initial chapters and final chapters bring the theory of Jordan, but not use it to directly answer this question. We realize this work, the linear operators R 2 and R 3 act as expansion, compression, shear and rotation, when we look at the Jordan basis vectors. Keywords: Linear Operations. Jordan s Theory. Kinds.

8 Lista de Figuras 1 Dilatação dos vetores v 1 e v Dilatação da área delimitada pelos vetores v 1 e v Dilatação dos vetores v 1 = (1, 0) e v 2 = ( 1, 1) Dilatação dos vetores v 1 = (1, 0) e v 2 = ( 1, 1) Compressão dos vetores v 1 e v Compressão da área delimitada pelos vetores v 1 e v Contração dos vetores v 1 = ( 1, 1) e v 2 = (2, 1) Área delimitada pela compressão nos vetores v 1 = ( 1, 1) e v 2 = (2, 1) Dilatação do vetor v 1 e compressão do vetor v Área da dilatação do vetor v 1 e compressão do vetor v Dilatação do vetor v 1 = ( 1, 1) e compressão do vetor v 2 = (2, 3) Área delimitada pela dilatação do vetor v 1 = ( 1, 1) e compressão do vetor v 2 = (2, 3) Dilatação de v 2 e cisalhamento de v Área delimitada pela dilatação de v 2 e cisalhamento de v Dilatação no v 2 = (3, 6) e um cisalhamento do vetor v 1 = (1, 1) Área delimitada pelo dilatação no v 2 = (3, 6) e cisalhamento do vetor v 1 = (1, 1) Cisalhamento na direção v 1 e contração na direção v Área delimitada pelo cisalhamento na direção v 1 e contração na direção v Cisalhamento na direção v 1 = (1, 1) e uma contração na direção v 2 = ( 10 3, 5 9) Área delimitada pelo cisalhamento na direção v 1 = (1, 1) e uma contração na direção v 2 = ( 10 3, 5 9) Rotação dos vetores v 1 e v Área delimitada pela rotação dos vetores v 1 e v Rotação dos vetores v 1 = (1, 1) e v 2 = (1, 1) em α = Área delimitada pela rotação dos vetores v 1 = (1, 1) e v 2 = (1, 1) em α = Dilatação da área limitada Compressão da área limitada

9 Sumário 1 Introdução 9 2 Metodologia 11 3 Embasamento Histórico 13 4 Teoria preliminar Espaço Vetorial e Subespaço Vetorial Bases Soma Direta Transformações Lineares Matriz de uma Transformação Linear Sistema Linear Autovetor e autovalor Diagonalização Matriz de Jordan Caracterização Geométrica via Teoria de Jordan Operadores de R Operadores de R Conclusão 59

10 9 1 Introdução Neste trabalho estudamos os Operadores Lineares de R 2 e R 3 que são Transformações Lineares do tipo A : V V, onde V é um espaço vetorial. Objetivamos com esse trabalho responder o seguinte problema norteador: como caracterizar geometricamente os Operadores Lineares do R 2 e do R 3? Por exemplo, um dado operador faz uma homotetia em alguma direção? Em particular, queremos saber a imagem de um paralelogramo por um operador linear de R 2 ou de um paralelepípedo por um operador linear de R 3. Com a Teoria de Jordan aplicada a matrizes associadas aos operadores, podemos caracterizar as transformações olhando para as matrizes quadradas de ordem dois, quando o operador for em R 2, e quadradas de ordem três quando for em R 3. Podemos encontrar uma matriz de Jordan que seja equivalente a matriz associada ao operador e assim, dizer como este operador se comporta geometricamente. Podemos ver em Lima (2012) que se quisermos definir uma transformação linear A : R n R n basta escolher, para cada 1 j n, um vetor v j = (a 1j, a 2j,, a nj ) e dizer que v j = Ae j é a imagem da base canônica pela transformação linear A. De fato, basta definir a transformação para uma base qualquer. Estudaremos esses operadores entendendo como eles atuam em uma base determinada pela matriz de Jordan, chamada base de Jordan. Com essa teoria podemos escrever os operadores lineares de formas mais simples e assim, classificá-los em classes. Veremos que, todos estes operadores lineares se baseiam em dilatações, compressões, rotações e cisalhamentos, observando a matriz de Jordan dos operadores. Além disso, os operadores tem aplicações relevantes no estudo de Deformações e Morfismos 1, Fractais 2 e Computação Gráfica. Na Computação Gráfica 3, por exemplo, a teoria de operadores é utilizada na manipulação de imagens que envolvem rotações, cisalhamentos, dilatação e compressão e alteração de cores, que são exemplos de transformações lineares. O trabalho possui seis capítulos, sendo esta introdução o primeiro. Abordamos a metodologia no capítulo 2, onde descrevemos as etapas de realização deste trabalho e como foi feita a pesquisa, partindo de um problema norteador e, através de teorias já criadas, passamos a resolve-lô. Utilizamos uma pesquisa bibliográfica para conduzir nosso trabalho, pois pensamos que esta seria eficiente em responder a pergunta levantada por este trabalho. 1 O trabalho Transformações no Plano: Uma Aplicação do Estudo de Matrizes com o Uso de Planilhas Eletrônicas. aborda morfismos e deformações.[2] 2 O trabalho Estudando matrizes a partir de transformações geométricas, apresenta casos com fractais. [9] 3 O trabalho A Importância das Matrizes e Transformações Lineares na Computação Gráfica traz a importância de trnsformações lineares na computação gráfica.[6]

11 10 Uma breve contextualização histórica sobre álgebra linear é feita no capítulo 3. Nela percebemos uma evolução no pensamento álgebrico até chegarmos aos descobrimentos de Peano, que consolidaram a álgebra linear. A teoria premilinar encontra-se no capítulo 4 que traz conceitos e definições, como: espaço vetorial, subespaço vetorial, base, transformação linear, matriz de uma transformação linear, sistema linear, polinômio característico, autovetor, autovalor, diagonalização e teoria de Jordan. O capítulo 5 traz as aplicações da teoria de Jordan aos operadores lineares de R 2 e R 3. Trazemos os operadores lineares divididos em classes, segundo a Teoria de Jordan. Também trazemos a caracterização geométrica dessas classes, exemplos e figuras que proporcionam um olhar geométrico para os operadores lineares. A conclusão do trabalho se encontra no capítulo 6, onde concluímos que respondemos nossa pergunta inicial e que, os operadores lineares de R 2 e R 3, se baseiam em transformações lineares conhecidas, como dilatações, compressões, rotações e cisalhamentos.

12 11 2 Metodologia Para conduzir nosso trabalho, inicialmente fizemos uma pesquisa bibliográfica. Pensamos que essa metodologia seria a mais adequada para propiciar a resposta da pergunta inicial como caracterizar geometricamente os Operadores Lineares do R 2 e do R 3? pois a teoria base para o corpo do trabalho já encontra-se consolidada em livros, teses, artigos, dissertações. Segundo Gil (2010) uma pesquisa bibliográfica segue as seguintes etapas: i) escolha do tema; ii) levantamento bibliográfico preliminar; iii) formulação do problemas; iv) elaboração do plano provisório de assunto; v) busca das fontes; vi) leitura do material; vii) fichamento; viii) organização lógica do assunto; ix) redação do texto.(gil, 2010, pg.45) Estas etapas citadas serviram de referência durante a elaboração do trabalho. O tema álgebra linear se faz necessário para propiciar uma tentativa de responder a questão central deste trabalho. Após um levantamento premiliar da teoria matemática, formulamos a problematização do trabalho a fim de nortear as ações seguintes. Esse levantamento foi feito em caráter exploratório, analisando a teoria acerca do problema. Isso acarretou em uma clareza maior para a compreensão do problema. Com o problema definido, podemos conduzir o trabalho com mais precisão e foco, estabelecendo objetivos claros. Foram analisados trabalhos e fontes que constavam tanto a parte matemática (álgebra linear) quanto suas aplicações voltadas a solução da problematização esperada. Com isso, foi possível fazer um fichamento dos assuntos bases para o entendimento do trabalho. Os assuntos selecionados são: Espaço Vetorial, Subespaço Vetorial, Bases, Transformações Lineares, Matriz Associada a Transformação Linear, Sistema Linear, Autovalor, Autovetor, Polinômio Característico, Determinante, Diagonalização e Teoria de Jordan. É importante salientar que livros considerados de excelência estão sendo usados para as escritas dos assuntos anteriores, entre eles [1] e [8]. A organização dos assuntos em capítulos se justifica quando pensamos em uma estrutura lógica, isto é, para chegar no objetivo do trabalho, temos que construir definições e resultados que possibilitam a compreensão do restante do texto. Assim, temos o embasamento suficiente para o restante do desenvolvimento do trabalho. Para conduzir a caracterização por classes, utilizaremos matrizes de Jordan que são equivalentes as matrizes associadas aos operadores lineares. Assim, através da Teoria de Jordan, classificaremos em casos (classes) todos possíveis operadores lineares de R 2 e do

13 12 R 3. É importante salientar que a utilização da Teoria de Jordan para a caracterização geométrica de operadores lineares não foi encontrado em outros textos já produzidos.

14 13 3 Embasamento Histórico A álgebra linear é um campo recente dentro da matemática, começou a ser pensado como o conhecemos hoje por Leonhard Euler 4, por volta de 1750, quando discutiu o paradoxo de Cramer e revolucionou o pensamento da época sobre sistemas lineares. Segundo Katz (2010), este paradoxo baseava-se em duas proposições: (1) Uma curva algébrica de ordem n é univocamente determinada por n(n+3) 2 dos seus pontos. (2) Duas curvas algébricas de ordens n e m instersectavam-se em nm pontos. (KATZ, 2010; pg.788) Uma curva algébrica plana é o lugar dos pontos cujas coordenadas cartesianas satisfazem a uma equação do tipo f(x, Y ) = 0, onde f é um polinômio não constante. 5 Euler discute a primeira proposição e conclui que esta era baseada em uma afirmação nem sempre verdadeira. Esta afirmação era que n equações com n incognitas sempre tem uma única solução, como se acreditava. Euler percebe que esta afirmação não é sempre válida. Mesmo não escrevendo nenhum teorema sobre esse assunto em sua obra Introdução à Álgebra, Euler traz exemplos do tipo: { 3x 2y = 5 6x + 4y = 10 onde notou que essas equações não determinavam únicos valores para as incógnitas x e y. Segundo Katz (2010), Euler acabou concluindo que para que n incógnitas sejam determinadas por n equações, é necessário acrescentar a condição de que essas equações sejam todas diferentes e também não estejam compreendidas nas demais. Apesar de não ter definido compreendida de forma explícita, parece que Euler tinha conhecimento do conceito de característica de uma sistema linear. Mesmo Euler resolvendo o paradoxo, foi preciso mais um século para que os sistemas indeterminados, também chamados de inconsistentes, fossem compreendidos. Em 1843, Hamilton 6 criou a primeira álgebra não-comutativa, a álgebra dos quatérnios 7. Esse fato, ligado a todo seu estudo, fez abrir as portas da álgebra moderna, como conhecemos hoje. 4 Matemático suiço nascido na Basiléia ( ). Segundo [3] Euler foi um escritor prolífero, tendo seu nome em praticamente todos os ramos da matemática. 5 Veja mais em sobre curvas algébricas em [10]. 6 Willian Rowan Hamilton ( ) foi um físico e matemático irlandês. É conhecido por criar a teoria dos quatérnios, segundo [7] 7 Os quartérnios são considerados um anel de divisão, ou um corpo não comutativo, conforme [5]

15 14 Segundo Eves (2004): [...] a grande importância dos quatérnios na história da matemática reside no fato de que sua criação por Hamilton em 1843 libertou a álgebra de suas amarras com a aritmética dos números reais, abrindo assim as comportas da álgebra abstrata. (EVES, 2004; pg. 555) Cayley 8 uniu a ideia de Matriz (anteriormente conhecida) com o sistema linear. Ele provou, em 1858, o teorema conhecido como Teorema de Cayley-Hamilton, mostrando que para a matriz M f associada ao operador M [ ] a b M f = c d é solução do polinômio característico do operador linear M : V V, ou seja, se p for o polinômio característico de M : V V, para V espaço vetorial complexo de dimensão finita, então p(m f ) = 0. Cayley, juntamente com Sylvester 9, fizeram importantes contribuições na área da álgebra, como teoria das transformações, formas canônicas, teoria dos números, matrizes, entre outros. Outros nomes da matemática foram fundamentais para a evolução da álgebra como Hermann Günter Grassmann, Augustus de Morgan, Charles Hermite e Josiah Willard Gibbs. Foi do trabalho desses matemáticos que surgiu a Álgebra Vetorial. Segundo Eves (2004), deve-se esse trabalho especialmente a Josiah Willard Gibbs ( ), em 1881, que definiu a soma de vetores, o produto vetorial e a ideia de sentido, direção e comprimento dos vetores. Anos mais tarde, Peano 10 definiu noções para a álgebra linear. Segundo Katz (2010) as noções básicas de álgebra linear, incluindo as de independência linear de combinações lineares, foram usadas em diversos ramos da matemática durante o século dezenove, mas foi apenas em finais do século que uma definição abstrata de espaço vetorial foi formulada. O primeiro matemático a dar tal definição foi Giuseppe Peano no seu Calcolo geometrico de (KATZ, 2010; pg.1027) Peano também definiu sistema linear e sua dimensão, utilizando a ideia da independência linear. Dizemos então, que a álgebra linear como conhecemos hoje, começa a ser estruturada em 1888, sendo assim uma área nova dentro da matemática. 8 Arthur Cayley ( ), matemático inglês, é conhecido pelo desenvolvimento da álgebra das matrizes, de acordo com [3] 9 James Joseph Sylvester ( ) matemático inglês que, estimulado por Cayley, escreveu vários artigos que contribuiram para à álgebra, como teoria das transformações, conforme [3] 10 Giuseppe Peano ( ), matemático italiano conhecido pelos axiomas de espaço vetorial, segundo [7]

16 15 4 Teoria preliminar Esse capítulo apresenta a fundamentação teórica necessária para o restante do trabalho. Escrevemos este com uma sequência lógica com o objetivo de construir o conhecimento prévio necessário para compreendermos como se desenvolverão as ideias ao longo do trabalho. Em sua maioria, as definições, lemas e teoremas apresentados no corpo do texto foram adaptadas de [1] e [8]. 4.1 Espaço Vetorial e Subespaço Vetorial Nesta seção, apresentaremos uma noção da região onde a álgebra linear se desenvolve, os Espaços Vetoriais. Definição 4.1. Seja V um conjunto de elemento (chamados vetores), munido da operação soma (+) e multiplicação (.) por um escalar de R (corpo) definidas de modo que valham as seguintes propriedades: Para todo v 1, v 2, v 3 V e α, β R i) v 1 + v 2 V e αv 1 V (fechamento) ii) (v 1 + v 2 ) + v 3 = v 1 + (v 2 + v 3 ) e (αβ)v 1 = α(βv 1 ) (associatividade) iii) v 1 + v 2 = v 2 + v 1 (comutatividade) iv) existe 0 V tal que v 1 + ( v 1 ) = 0 (elemento neutro) v) α(v 1 + v 2 ) = αv 1 + αv 2 (distributividade para os vetores) vi) (α + β)v 1 = αv 1 + βv 1 (distributividade para os escalares) vii) existe 1 R tal que v 1 1 = v 1 (estabilidade) Neste caso, dizemos que V (+,.) é um espaço vetorial sobre R, denotamos simplesmente por V este espaço vetorial. Nota: seja V um espaço vetorial em R. Se temos v V e 0 R, notamos que 0v = 0. De fato, 0v = (α + ( α))v = αv αv = 0 Definição 4.2. Seja W um subconjunto de V espaço vetorial. Se W tem a estrutura de espaço vetorial com as operações de V, então W é subespaço vetorial. Lema 4.3. Seja W ; W V é um subespaço vetorial de V se w 1, w 2 W onde, para α R, temos: i) αw 1 W ii) w 1 + w 2 W

17 16 Note que, os subespaços vetoriais têm que conter a origem e também, todo subespaço é um espaço vetorial em si mesmo. 4.2 Bases Esse tópico é de suma importância para a continuação do trabalho, pois temos por objetivo caracterizar um operador linear de R 2 e R 3 analisando o que acontece em uma certa base (base de Jordan). Conforme vemos em Lima (2012), uma vez fixada uma base num espaço vetorial de dimensão n, seus elementos são meramente combinações lineares dos n vetores básicos, com coeficientes univocamente determinados. (Lima 2012, pg. 25) Definição 4.4. Sejam W = {w 1, w 2,, w n V e α 1, α 2,, α n combinação dos elementos de W por uma soma finita da forma R definimos a α 1 w 1 + α 2 w α n w n. Definição 4.5. Seja W = {w 1, w 2,, w n um subconjunto de um espaço vetorial V. O conjunto W é linearmente dependente se existirem escalares α 1, α 2,, α n R, não todos nulos, tais que α 1 w 1 + α 2 w α n w n = 0. Definição 4.6. Seja W um subconjunto de V espaço vetorial. Dizemos que o conjunto W é linearmente independente quando não é linearmente dependente. Definição 4.7. Seja W um subconjunto de um espaço vetorial V. Dizemos que o conjunto W gera o espaço V se para todo v V existem α 1, α 2,, α n R e w 1, w 2,, w n W tais que α 1 w 1 + α 2 w α n w n = v. Dizemos então, que W é um subespaço gerador de V. Definição 4.8. Seja V um espaço vetorial. Dizemos que um conjunto ordenado B é base de V quando: i) B é um conjunto linearmente independente. ii) o subespaço gerado por B é igual a V. Lema 4.9. Todo espaço vetorial V {0 gerado por um subconjunto S = {v 1, v 2,, v n possui uma base. Demonstração. Primeiramente tiramos os elementos (se existir) de S que são linearmente dependentes com os elementos restantes. Retirando os elementos, os elementos restantes de S ainda geram V. Assim, teremos um conjunto linearmente independente S que gera V.

18 17 Nota: o espaço vetorial 0 não possui base. O próximo teorema serve de subsídio para o corolário 4.11 que é importante para o desenvolvimento do texto. Teorema Seja o conjunto S = {v 1, v 2,, v n gerador do espaço vetorial V. Se W = {w 1, w 2,, w j com W V é linearmente independente, então j n. Demonstração. Suponhamos que j > n. Como S gera V, temos que w 1 = λ 1 v 1 + λ 2 v λ n v n sendo, ao menos, um dos escalares λ 1,, λ n diferente de zero. Podemos supor que λ 1 0. Temos assim que {v 2,, v n, w 1 gera V. De fato, se v V, existem escalares α 1,, α n tais que v = α 1 v 1 + α 2 v α n v n. Mas então, mostrando o afirmado. [ ] 1 v = α 1 (w 1 λ 2 v 2 λ n v n ) + α 2 v α n v n λ 1 De maneira análoga, w 2 = β 2 v 2 + β 3 v β n v n + β 1 w 1, com ao menos um dos escalares β 2,, β n diferente de zero. Supondo β 2, verificamos então que o conjunto {v 3, v 4,, w 1, w 2 gera o espaço V. Repetindo o procedimento, observamos que gera o espaço V. Em particular, {w 1, w 2,, w n Mas então, w n+1 = γ 1 w n + + γ n w n. γ 1 w 1 γ n w n + 1w n+1 + 0w n w j = 0 o que contradiz {w 1, w 2,, w j ser um conjunto linearmente independente. Corolário Se os vetores v 1, v 2,, v m geram o espaço vetorial V e os vetores w 1, w 2,, w n são linearmente dependentes, então m n. Este corolário é uma mera reformulação do Teorema Definição Se B = {b 1, b 2, b 3,, b n for uma base do espaço vetorial V, dizemos que V tem dimensão n e escrevemos dimv = n. Teorema Todo subconjunto linearmente independente de um espaço vetorial V de dimensão finita pode ser completado para formar uma base de V.

19 18 Demonstração. Se S = v 1, v 2,, v j não gerar V, então existe um vetor v j+1 V que é LI com o conjunto S. O conjunto E = v 1, v 2,, v j, v j+1 é LI. Se E não for base de V, repetimos o procedimento, um número finito de vezes, até obter a base de V. Note que o Teorema 4.2 nos diz que existem várias bases para o espaço V. Definição Sejam V um espaço vetorial e B = {b 1, b 2, b 3,, b n uma base de V. Se v V, então existem escalares α 1, α 2,, α n R tais que v = α 1 b 1 +α 2 b 2 + +α n b n. O vetor (α 1, α 2,, α n ) é a representação de v na base B e α 1, α 2,, α n são as coordenadas de v na base B. Teorema Seja v V e B = {b 1, b 2, b 3,, b n base de V espaço vetorial. representação de v na base B é única. A Demonstração. Podemos escrever v V como v = α 1 b 1 + α 2 b α n b n, sendo B = {b 1, b 2,, b n base de V. Supomos que o mesmo vetor v seja escrito da forma v = β 1 b 1 +β 2 b 2 + +β n b n, então temos que v = α 1 b 1 +α 2 b 2 + +α n b n = β 1 b 1 +β 2 b 2 + +β n b n. Daí (α 1 β 1 )b 1 + (α 2 β 2 )b 2 + (α 3 β 3 )b (α n β n )b n = 0. Como B é base então α 1 = β 1, α 2 = β 2,, α n = β n. Portanto, as coordenadas de um certo vetor v V em uma base arbitrária é única. Definição Seja e i R n, com 1 i n, o vetor cuja i-ésima coordenada é igual a 1 e as outras nulas. O conjunto B = (e 1, e 2,, e n ) é denominado de base canônica do espaço R n. 4.3 Soma Direta Nesta seção, veremos como um espaço vetorial pode ser decomposto como uma soma de subespaços vetoriais independentes. Definição Sejam X, W subconjuntos de um espaço vetorial V. Denotamos por X + W o conjunto de todos os vetores x + w, com x X e w W. Proposição Sejam X, W subespaços de V. Então X + W é subespeço de V. O subespaço X + W é chamado soma dos subespaços X e W. Demonstração. Se v 1 = x 1 + w 1 e v 2 = x 2 + w 2 forem elementos de X + W e λ seja uma contante, então temos que λv 1 + v 2 X + W. Logo, segue do lema 4.8. Definição Sejam X, W subespaços de V. O subespaço V = X +W é a soma direta dos subespaços X e W se cada elemento de v V puder ser escrito de maneira única como v = x + w. Nesse caso denotamos V por V = X W.

20 19 Proposição O subespaço V = X + W é uma soma direta dos subespaços X, W se, e somente se, X W = {0. Demonstração. Supomos que V = X W. Se z X W, então v = w + x também pode ser escrito como v = (w + z) + (x z). Como a decomposição de v é única, temos que x = x + z e w = w z e assim, temos z = 0. Suponhamos que x 1 +w 1 e x 2 +w 2 sejam decomposições de v V. Então x 1 x 2 = w 2 w 1 pentencem a X W. Logo temos x 1 x 2 = 0 = w 2 w 1, o que garante o unicidade de decomposição. Teorema Seja V um espaço vetorial de dimensão finita. Então vale: i) todo subespaço W de V possui dimensão finita. ii) todo subespaço W possui um complemento X V, isto é, existe um subespaço X de V tal que V = X W. Demonstração. Segundo o lema 4.9, temos uma base {w 1, w 2,, w j de W. Aplicando o teorema 4.13 temos uma base {w 1, w 2,, w j, v 1, v 2,, v n j para V. Defina X como o espaço de todas as combinações lineares dos elementos v 1, v 2,, v n j. Claramente Xé um subespaço de V e X V = {0. Pela proposição 4.20, temos V = X W. 4.4 Transformações Lineares A compreensão desta seção é fundamental para alcançarmos o objetivo geral do trabalho, visto que a teoria das transformações lineares será essencial para o desenvolvimento do restante do texto. Definição Sejam V e W espaços vetoriais com as operações soma (+) e multiplicação (.). Uma transformação linear A : V W é uma relação que associa a cada elemento v V um elemento Av = w W de modo que para quaisquer v 1, v 2 V e α R, valem: A(v 1 + v 2 ) = A(v 1 ) + A(v 2 ) = Av 1 + Av 2 A(αv 1 ) = αa(v 1 ) Chamamos Av = w W de imagem de v pela transformação A. Definição Dado A : V W e B : V W transformações lineares, definimos a soma de duas transformações como A + B : V W onde (A + B)v = Av + Bv para todo v V.

21 20 Definição Dado A : V W transformação linear, definimos o produto de uma transformação linear por um escalar α R sendo αa : V W onde (αa)(v) = αa(v) para todo v V. Definição Seja A : V V uma transformação linear do espaço vetorial V em si próprio. Chamaremos esse tipo de transformação linear de operador linear em V. Definição Seja a transformação linear A : V R,com valores numéricos, uma transformação linear do espaço V em R. Chamaremos esse tipo de transformação linear de funcional linear em V. Definição Um operador linear A chama-se nilpotente quando, para algum n N, tem-se A n = 0. Definição Um operador linear A nilpotente tal que A n = 0 e A n 1 0. Chamamos n de índice de nilpotência. Definição Um operador linear A : V V é chamado idempotente se A 2 = A. Teorema Sejam V e W espaços vetoriais e B = {b 1, b 2, b 3,, b n uma base de V. Podemos estabelecer A : V W transformação linear. A todo b B, façamos corresponder um elemento arbitrário w W. Então existe uma única transformação tal que Ab = w para cada b B. Demonstração em [8] página Matriz de uma Transformação Linear Uma das formas de trabalhar com álgebra linear é através das Matrizes. Essas podem ser associadas a uma Transformação Linear em determinada base. Ao observar a matriz associada a transformação linear, é possível caracterizar a transformação, ou melhor, dizer o que esta faz em uma determinada base. Segundo o Teorema 4.30 temos que uma transformação linear fica determinada através de uma matriz [a ij ] M (m n) sendo seus vetores-coluna imagens da transformação dos vetores da base canônica de R n. A partir de agora, abordaremos transformações lineares com espaços de mesma dimensão, ou seja, utilizaremos essencialmente operadores lineares. Teorema Seja um operador linear A : R n R n. Toda aplicação linear A é da n forma y i = [a ij ]x j, onde x = (x 1, x 2, x 3,..., x n ) R n e y = (y 1, y 2, y 3,..., y n ) R n e y = Ax. j=1

22 21 Demonstração. Consideramos a base canônica {e 1, e 2, e 3,..., e n do R n. Então, temos que x = (x 1, x 2, x 3,, x n ) R n é escrito da forma x = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e x n e n = n x j e j. Como A é linear, j=1 ( n ) n y = Ax = A x j e j = x j Ae j j=1 j=1 Denotamos a i-ésima coordenada do vetor A(e j ) por a ij, isto é a ij = (A(e j )) i. Assim, a i-ésima coordenada de y é n y i = x i a ij j=1 Note que, no Teorema 4.31 foi utilizado de modo explícito a base canônica do R n por {e 1, e 2, e 3,..., e n. Os coeficientes [a ij ] formam um arranjo quadrado, da seguinte forma: a 11 a 12 a 1n a A f = 21 a 22 a 2n a n1 a n2 a nn denominamos tal arranjo de matriz associada a A, que é uma matriz A f (n n) onde n é o número de linhas e de colunas. O elemento a ij é a entrada correspondente a linha i e a coluna j. Como temos a quantidade de linhas igual a de colunas, dizemos que A f é quadrada. Chamamos de submatriz de A f uma matriz obtida de A f sendo omitida algumas linhas e/ou colunas. Lema Sejam A, B : R n R n. Então (A + B) ij = A ij + B ij e (λa) ij = λa ij. Demonstração. Temos, por definição, que b ij é a i-ésima coordenada do vetor B ej e a ij é a i-ésima coordenada do vetor A ej. Assim, se somarmos as coordenadas, obtemos b ij + a ij. Por outro lado, temos B ej + A ej = (A + B) ej de modo que a i-ésima componente do vetor (A + B) ej é b ij + a ij. Da mesma forma, a i-ésima componente do vetor (λa)(e ij ) é λ multiplicado pela i-ésima componente do vetor A ej. Definição Denotaremos por M n n, o espaço das matrizes n n de coeficientes reais. Definição Seja A M n n, dizemos que A é invertível se existir uma matriz B tal que AB = BA = I,

23 22 em que I denota a matriz identidade n n. Denotamos, portanto, B = A 1 e chamamos A 1 de inversa da matriz A. Podemos ver as transformações lineares com o uso de matrizes. Em uma transformação A : R n R n, consideramos a matriz associada a A em uma determinada base, ou seja, A f = [a ij ] M n n em vez da transformação linear A. Teorema Sejam B = {b 1, b 2, b 3,, b n e B = {b 1, b 2, b 3,, b n duas bases de R n espaço vetorial. Seja A : R n R n um operador linear onde A f é a matriz associada a A na base B e A f é a matriz associada a A na base B. Então existe C invertível tal que A f = CA f C 1 Demonstração. Seja v R n, B e B bases de R n nas condições do teorema e A f é a matriz associada a A na base B e A f é a matriz associada a A na base B. Note que C é a matriz de mudança de base de B para B, e C 1 é a inversa de C e é a matriz de mudança de base de B para B. Denotando A f (v) = A f v B e A f (v) = A f v B. Como v B = C 1 v B temos A f (v) = C 1 A f(v) A f C 1 v B = C 1 A f(v) Multiplicando esta última igualdade por C à esquerda, obtemos A f = CA f C 1. Note que C é uma matriz de mudança de base de B para B, e C é uma matriz de mudança de base de B para B. Definição Sejam B e B bases do espaço vetorial R n, temos que existe uma matriz de troca de base de B e B, que chamaremos de C. v = Cw onde v é o vetor das coordenadas na base B e w é o vetor das coordenadas na base B. Definição Seja A : R n R n um operador linear onde C é a matriz de troca da base B para B tal que A f = CA fc 1. Se C M n n tal que A = CAC 1, então A é semelhante a A.

24 Sistema Linear Vamos enunciar um resultado nessa seção que será útil para um melhor entendimento da próxima seção. Teorema Seja A M n n. O conjunto S das n-uplas X de R n que são soluções do sistema homogêneo AX = 0 é um subespaço vetorial de R n. Demonstração. O vetor nulo pertence a S pois temos A0 = 0. Se X, Y S, então X + Y S, pois A(X + Y ) = AX + AY = 0 Se X pertence a S e α R n, então αx S, pois A(αX) = αax = α0 = Autovetor e autovalor Esta seção é importante para entender o conceito de matriz de Jordan associada a um operador. Definição Sejam A M n n, v R n, v 0 e λ R. Se Av = λv para algum λ R, dizemos que v é autovetor de A e que λ é o autovalor associado a este autovetor. Note que Av = λv Av λv = 0 (A λi)(v) = 0 onde I é matriz identidade de grau n, é um sistema linear homogêneo. Para os tópicos seguintes, necessitamos saber calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem dois e três. Definição Seja A uma matriz quadrada de ordem dois. Definimos o determinante de A por a 11 a 12 deta = a 21 a 22 = a 11a 22 a 12 a 21 Definição Seja A uma matriz quadrada de ordem três. Definimos o determinante de A por

25 24 deta = a 22 a 23 a 32 a 33 a 11 a 21 a 23 a 31 a 33 a 12 + a 21 a 22 a 31 a 32 a 13 Nota: existem outros métodos para o cálculo de determinantes como, por exemplo, o método de Sarrus. Definição Sejam A M n n, v R n e λ R, tais que (A λi)(v) = 0. Dizemos que o conjunto solução de (A λi)(v) = 0 é um autoespaço associado ao autovalor λ. Teorema Seja A M n n e v R n, v 0. (A λi)(v) = 0 tem solução não trivial se, e somente se, det(a λi) = 0 Demonstração. Seja v 0 e (A λi)(v) = 0. O sistema tem uma solução não trivial se, somente se, as colunas da matriz (A λi) são linearmente depententes, isto ocorre se, e somente se, det(a λi)(v) = 0 Definição Seja A M n n. Dizemos que det(a λi) é o polinômio característico. Nota: o polinômio característico de uma matriz A de dimensão n, tem grau n e é um polinômio na indeterminada λ. Definição Definimos como multiplicidade algébrica de λ i o número de vezes que o λ i é raiz do polinômio característico. 4.8 Diagonalização Diagonalização é o processo de transformar uma matriz não diagonal em uma matriz que é equivalente a uma matriz diagonal. Esse processo é utilizado, em especial, para cálculos de potências de matrizes. Definição Seja V espaço vetorial e A : V V um operador linear. Um subespaço S V é chamado invariante do operador A se: A(S) S Definição Seja V espaço vetorial e A : V V um operador linear. Se S V é subsespaço invariente pelo operador A de dim(s) = 1, então S é dito subespaço próprio. Teorema Seja V espaço vetorial de dimenão n e A : V V um operador linear. Supomos que S e T são subespaços invariantes de dimnesão k e n k respectivamente, tais que: V = S T. Então existe uma representação matricial de A na forma:

26 25 A f = [ D 0 0 D ] onde D é uma matriz k k e D uma matriz (n k) (n k). Demonstração. Seja {e 1, e 2,, e k base de S e {e k+1, e k+2,, e n base de T. Como V é soma direta de S e T, temos que {e 1, e 2,, e k, e k+1,, e n é base de V (vide teorema 4.13). Podemos escrever então: A(e i ) = A(e α ) = k n C j i e j + E β i e β, i = 1, 2,, k j=1 β=k+1 k n Fαe j j + Dαe β β, α = 1, 2,, n j=1 β=k+1 Mas por hipótese temos que A(S) S e A(T ) T, portanto temos E β i = Fα j = 0 para i, j, α, β e, portanto, a representação de A na base indicada é: [ ] C 0 A f = 0 D Definição Seja A : V V um operador linear. Dizemos que A é diagonalizável se qualquer uma das seguintes condições equivalentes se verifica: i) Existe uma base de V, relativamente à qual a matriz A f é diagonal; ii) V decompõe-se numa soma direta de subespaços próprios de A. 4.9 Matriz de Jordan Nem todas matrizes são diagonalizáveis portanto, nesta seção, veremos que dada qualquer uma matriz A associada a um operador linear, existe uma mudança de coordenadas (ver 4.51) que deixa a matriz A f mais simples. Ou seja, queremos encontrar uma representação matricial mais diagonal possível, e isto é dado pela forma canônica de Jordan. Dada uma matriz A então procuramos C e C 1 tais que J = CAC 1. Definição Sejam λ 1, λ 2,..., λ j os autovalores distintos de uma matriz J M n n.

27 26 A matriz J está na forma canônica de Jordan, se J J J = 0 0 J J k J k onde 1 i k, e para cada i J i = λ i λ i λ i λ i λ i k i k i O bloco J i é um bloco de Jordan associado ao autovalor λ i. Note que o polinômio característico da matriz J é da forma p(z) = (z λ 1 ) k1 (z λ j ) k j. Assim, a quantidade de vezes que um autovalor λ i aparece na diagonal é justamente a sua multiplicidade algébrica, ou seja, é a multiplicidade como raiz do polinômio característico. Teorema Seja A : R n R n um operador linear. Então existe uma base C de R n na qual A é representado por uma matriz J, diagonal em blocos, cujos blocos diagonais, além daqueles associados a autovetores reais e que são como na definição da forma de Jordan, também podem ter a forma J α,β = D α,β I D α,β I D α,β D α,β I 2 onde D α,β = [ α β β α ] D α,β sendo α + iβ um autovalor complexo e I 2 a matriz identidade 2 2.

28 27 Demonstração em [1] página 137. Proposição Seja A : V V um operador linear. Seja {v 1, v 2,, v k o conjunto de autovetores de A e seja {λ 1, λ 2,, λ k os autovalores associados aos v i autovetores. A base de Jordan de A é A j = {b 11,, b 1d1, b 21,, b 2d2,, b k1,, b kdk com b ij onde i = 1,, k e j = 1,, d i. i) Os vetores b idi são autovetores de A, onde A(b idi ) = λ i b idi ; ii) Para j {1,, d i 1 vamos ter A(b ij ) = λ i b ij + b ij+1 ; iii) A j é base de V. Definição Se j {1,, d i 1 dizemos que os b ij autovetores. da proposição anterior são quase Como comentado na introdução, neste trabalho caracterizaremos geometricamente os operadores lineares de R 2 e R 3. Sabemos que as matrizes associadas a esses operadores são quadradas de ordem 2 ou quadradas de ordem 3, respectivamente. A pergunta que fazemos é: sabemos como são essas matrizes? Ou melhor, quais são as possíveis matrizes de Jordan que são equivalentes as matrizes dos operadores? Começamos com o caso as matrizes quadradas de ordem 2. Para responder a pergunta, devemos ver qual a multiplicidade algébrica que o(s) autovalor(es) assumem. Percebemos que o polinômio característico de um operador linear de R 2 é, no máximo, de grau dois, ou seja, temos que um autovalor real de um operador linear de R 2 pode ter multiplicidade 1 ou 2. Temos também o caso do autovalor ser complexo, assim sabemos que ele vem aos pares, ou seja, se λ 1 = a + bi é raiz do polinômio, então λ 1 = a bi também é. Se temos dois autovalores reais distintos com multiplicidade um, a matriz de Jordan necessariamente é [ ] λ 1 0 J = 0 λ 2 ou seja, é diagonal.de fato, basta observarmos que a dimensão do núcleo associado a cada λ i, com i = 1, 2, é 1, ou seja, temos um autovetor para cada autovalor, sendo a matriz C de base de Jordan formada pelos autovetores. Se tivermos um autovalor real com multiplicidade algébrica 2, temos duas opções para a matriz de Jordan, que são: [ ] λ 1 0 J = 0 λ 1 ou

29 28 J = [ λ λ 1 ]. Na primeira matriz, a dimensão do autoespaço associado a λ 1 é 2, ou seja, (A f λ 1 I)v = 0 têm duas soluções linearmente independentes, que são autovetores e formam a matriz C. Além disso, a dimensão do núcleo ser dois nos diz que temos dois blocos na matriz de Jordan que são, necessariamente, de tamanho 1. Na segunda matriz, temos que a dimensão do núcleo associado a λ 1 é 1 e, além disso, o núcleo é nilpotente de índice dois, ou seja, (A f λ 1 I) 2 = 0. A base de Jordan contará com um autovetor e um quase autovetor. Além do mais, a dimensão do núcleo 1 nos diz que temos somente um bloco. Se os autovalores são complexos, então a matriz é [ ] α β J = β α como percebemos no Teorema4.51. Para o caso de operadores de R 3, o pensamento é análogo. Podemos ter 3 autovalores distintos, com multiplicidade algébrica 1 e com isso, o núcleo associado a cada autovalor tem dimensão um, ou seja, (A λ i I) 1 v = 0 não têm duas soluções linearmente independentes para cada i = 1, 2, 3. Assim, a matriz de Jordan é diagonal, como a seguinte J = λ λ λ 3 Quando temos um autovalor real λ 1 com multiplicidade algébrica 2 e autovalor real λ 2 com multiplicidade algébrica 1, temos duas opções: J = λ λ λ 2 J = ou λ λ λ 2 Com o autovalor λ 2, o núcleo tem dimensão 1 e o bloco é de tamanho um, contendo somente o próprio autovalor. Agora, como o λ 1 tem multiplicidade algébrica 2, temos um bloco ou dois blocos, como anteriormente no caso R 2. Notamos também que quando temos dois autovalores complexos, então temos um terceiro autovalor real de tamanho 1, necessariamente, como vemos na matriz a seguir:

30 29 J = α β 0 β α λ 2 Agora, quando temos um único autovalor real λ 1 com multiplicidade algébrica 3, temos três opções: J = J = J = λ λ λ 1 ou λ λ λ 1 ou λ λ λ 1 A primeira matriz corresponde ao caso onde a dimensão do núcleo associado ao autovalor real é igual a 3, ou seja, temos 3 blocos na diagonal, cada uma com um único elemento λ 3. Além disso (A λ 1 I)v = 0 tem como solução três vetores linearmente independentes, daí temos que (A λ 1 I)v = 0, v R 3 e assim A λ 1 I = 0 A = λ 1 I. Ou seja, A é matriz diagonal. O segundo caso, temos que a dimensão do núcleo associado a λ 1 é igual a 2, ou seja, temos dois blocos na diagonal. Esses blocos devem ser [ um com] tamanho um por um, λ 1 1 com o λ 1 como único elemento e, o outro bloco será pois senão, cairemos 0 λ 1 no caso anterior. Além disso, o índice de nilpotência do núcleo associado a λ 1 é 2 e o número de autovetores linearmente independentes da matriz C é dois, não podendo A ser diagonalizável. Quando a dimensão do núcleo associado ao autovalor é 1, temos um único bloco sobrando a terceira matriz como opção. Observamos que, o índice de nilpotência é 3 e temos dois quase autovetores na base de Jordan..

31 5 Caracterização Geométrica via Teoria de Jordan Este capítulo trata da aplicação da Teoria de Jordan aos operadores lineares que atuam nos espaços vetoriais de R 2 e R 3. Veremos os possíveis casos de matrizes de Jordan e faremos uma caracterização geométrica destes casos. Assim, caracterizaremos todos os operadores lineares, uma vez que conseguimos associar uma matriz de Jordan equivalente a uma matriz associada ao operador Operadores de R 2 O Teorema 4.51 nos diz que um operador A : R 2 R 2 pode ser representado por uma matriz J, quando temos uma matriz C invertível e a seguinte igualdade é satisfeita A f = CJC 1 ou J = C 1 A f C Vamos olhar para a matriz J, que é uma matriz equivalente a A f, atuando sobre a matriz C, para caracterizar geometricamente os operadores lineares. Segundo a Teoria de Jordan, a matriz J M 2 2 pode ser de uma das seguintes formas: (i) J = [ λ λ 2 ] onde λ 1 e λ 2 são autovalores distintos. (ii) J = [ λ λ 1 ] onde λ 1 é autovalor com multiplicidade algébrica 2. (iii) J = [ α β β α ] onde λ 1 = α + βi e λ 2 = α βi são autovalores. (iv) J = [ λ λ 1 ] onde λ 1 é autovalor de multiplicidade algébrica 2. Caso (i) Nesse caso, podemos subdividí-lo em outros três casos: quando λ 1 > 1 e λ 2 > 1, λ 1 > 1 e 0 < λ 2 < 1 e 0 < λ 1 < 1 e 0 < λ 2 < 1.

32 31 Vamos considerar v 1 = (a, c) e v 2 = (b, d) os autovetores associados aos autovalores λ 1 e λ 2 respectivamente. Neste caso, temos a matriz C da seguinte forma: C = [ a c b d ] Nossa transformação linear A : R 2 R 2 age sobre os autovetores fazendo uma dilatação ou compressão dependendo de λ i, ou seja, temos A(v i ) = λ i v i onde i {1, 2, onde ocorre ou uma dilação, se λ 1 > 1, ou compressão, se 0 < λ 1 < 1. Note que, caso λ i = 0, a imagem o vetor associado ao λ i será o vetor nulo. A transformação age como I (matriz identidade) em v i se λ i = 1 e como I se λ i = 1. Com efeito,temos I(v i ) = 1v i = A(v i ) para λ i = 1 e I(v i ) = 1v i = A(v i ) para λ i = 1. Observamos que se λ i < 0 temos que, além da dilatação e compressão, a transformação inverte o sentido do vetor. Quando temos λ 1 > 1 e λ 2 > 1, ocorre uma dilatação nos vetores v 1 = (a, c) e v 2 = (b, d) da forma λ 1 v 1 = (λ 1 a, λ 1 c) e λ 2 v 2 = (λ 2 b, λ 2 d). A figura 1 abaixo mostra a os vetores v 1 e v 2 e suas transformações, ou seja, A(v 1 ) = λ 1 (v 1 ) = (λ 1 a, λ 1 c) e A(v 2 ) = λ 2 (v 2 ) = (λ 2 b, λ 2 d). Figura 1: Dilatação dos vetores v 1 e v 2 Fonte: Autor. Na próxima figura 2, podemos perceber como fica a região delimitada pelos vetores v 1 e v 2 e suas respectivas transformações.

33 32 Figura 2: Dilatação da área delimitada pelos vetores v 1 e v 2 Fonte: Autor. Exemplo 1 Seja A : R 2 R 2 cuja matriz associada é [ 3 1 A f = 0 2 ]. Para caracterizar geometricamente esse operador, temos que encontrar uma matriz de Jordan que seja equivalente a A f. Para isso, vamos calcular os autovalores e os autovetores associados ao operador linear. O cálculo do polinômio característico é o seguinte: p A (λ) = det(a f λi) assim, temos que p A (λ) = (3 λ)(2 λ), sendo suas raízes λ 1 = 3 e λ 2 = 2. Portanto, os autovalores de A f são 3 e 2. Sabemos que os autovetores são os vetores que satisfazem (A λi)v = 0. Tomando primeiramente λ 1, temos o seguinte sistema: ou seja, (A 3I)v = 0

34 33 [ ] [ ] x = 0 y que gera o seguinte sistema { y = 0 y = 0 cuja uma das soluções é o v 1 = (1, 0), autovetor que escolheremos. Tomando agora λ 2, temos o seguinte sistema: (A 2I)v = 0 ou seja, [ ] [ ] x = 0 y que gera o seguinte sistema Uma solução é v 2 = (1, 1). { x + y = 0. Assim, temos a matriz C cujas colunas são os autovetores v 1 e v 2, respectivamente. Com a matriz C, temos a seguinte igualdade: portanto, J é equivalente a A f. [ ] [ ] [ ] [ ] = {{ {{ {{ {{ J C 1 A f C A figura 3 abaixo mostra como ficaria o operador aplicado aos vetores v 1 = (1, 0) e v 2 = ( 1, 1). Na próxima figura 4, podemos perceber como fica a região delimitada pelos vetores v 1 = (1, 0) e v 2 = ( 1, 1) e suas transformações.

35 34 Figura 3: Dilatação dos vetores v 1 = (1, 0) e v 2 = ( 1, 1). Fonte: Autor. Figura 4: Dilatação dos vetores v 1 = (1, 0) e v 2 = ( 1, 1). Fonte: Autor. Passamos para o próximo caso: 0 < λ 1 < 1 e 0 < λ 2 < 1, temos uma contração da

36 35 [ ] a b região de R 2. Aplicando a transformação na matriz C = teremos uma contração c d nos vetores v 1 = (a, c) e v 2 = (b, d) da forma λ 1 v 1 = (λ 1 a, λ 1 c) e λ 2 v 2 = (λ 2 b, λ 2 d). A figura 5 representa os vetores v 1 e v 2 e a atuação da transformação linear, comprimindo os vetores em um fator 0 < λ 1 < 1. Figura 5: Compressão dos vetores v 1 e v 2. Fonte: Autor. A figura 6 representa a área delimitada pelos vetores v 1 e v 2 e sua transformação.