VI - Modelo 'QUASI 2D'

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1 VI - Modelo 'QUASI D' As equações apresentadas nos capítulos IV e V foram deduzidas para a situação de escoamento segundo uma úna direcção. Numa acia idrográfa o escoamento ocorre sore a superfície do terreno e toma a direcção do maior declive. Assim tomando por exemplo o modelo digital do relevo apresentado na figura VI.. Figura VI. - Modelo digital do terreno A acia pode ser dividida em células segundo uma quadrícula de mala regular. Cuas propriedades como os parâmetros que caracterizam o solo e a precipitação são omogéneas no interior de cada célula, podendo no entanto variar de célula para célula Figura VI. - Discretização da acia idrográfa em células Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água 7

2 Conecendo as cotas do centro de gravidade de cada célula, modelo digital do relevo, é possível gerar o mapa de declives. Assim, para ocorrer a saída de um determinado volume de água de uma célula qualquer, e admitindo células de forma quadrada, existem oito direcções possíveis, tal como indado na figura VI.. Figura VI. - Possíveis direcções do escoamento A direcção escolida é aquela segundo a qual o declive é mais acentuado. A representação dos caminos tomados pelo escoamento, segundo os quais se dá a entrada e saída de água e sedimentos para cada célula, é a rede idrográfa. Com ase na topografia do exemplo da figura VI., representa-se na figura VI.4, a rede idrográfa definida pelo critério acima referido Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água

3 Figura VI.4 - Discretização da rede idrográfa Deste modo os centros de gravidade das células podem-se considerar nós e a rede é definida por um conunto de troços. Cada troço tem como atriutos o nó de montante, o nó de usante, declive, largura da ase, declive da margem direita, declive da margem esquerda, rugosidade e ordem. O nó de montante representa o número da célula que fornece caudal ao troço e o nó de usante representa o número da célula à qual o troço fornece caudal. O número de ordem representa o número de troços que existem a montante até à nascente. O procedimento para gerar a rede idrográfa a partir de uma matriz contendo ny linas por nx colunas, contendo as cotas dos centros de gravidade das células, designada por DEM, do Inglês "Domain Elevation Model", é esquematizado no fluxograma da figura VI.5. A su-rotina GeraRedeHidrográfa() tem como resultado três vectores de dimensão Nc, igual ao número de troços em que a rede idrográfa foi discretizada. Os vectores são: no(nc) no(nc) Ordem(Nc) contém o número da célula a montante do troço de rede idrográfa; contém o número da célula a usante do troço de rede idrográfa; contém o número de ordem do troço de rede idrográfa. A su-rotina GeraRedeHidrográfa() recorre a duas su-rotinas auxiliares, a surotina Direc(ix, iy) em que ix e iy representam a lina e a coluna respectivamente de uma célula na matriz DEM, os valores de ix e iy são alterados, passando a representar a lina e a coluna da célula adacente, cua direcção faz o maior declive com a célula anterior. A su-rotina OrdenaRede() ordena os troços de rede idrográfa nos vectores por ordem ascendente do seu número de ordem. Isto é necessário visto a ordem de cálculo ser origatoriamente esta. Por forma a que quando se inia o cálculo do escoamento num troço de ordem c, á todos os de ordem,, c- á terem sido calculados nesse instante. Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água 7

4 GERA REDE HIDROGRÁFICA iy > ny OrdenaRede() Fim Não ix > nx ord = ord Direc(ix, iy) n = nno(ix, iy) n = nno(ix, iy) ord =0 ix = ix iy = iy ix = ix iy = iy n = n Não = > NC Não no() = n e no() = n Sim Sim Não Sim Sim = Ordem(id) = MaxInt(Ordem(id), ord) Sim Nc = Nc Redim Preserve no(nc) Redim Preserve no(nc) Redim Preserve Ordem(Nc) no(nc) = n no(nc) = n Ordem(Nc) = MaxInt(Ordem(Nc), ord) ix = ix iy = iy n <> n Não ix = ix ix = 0 iy = iy Figura VI.5 - Fluxograma da su-rotina GeraRedeHidrográfa 74 Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água

5 O declive S 0 de um troço é definido como: Cota( N) Cota( N) 0 = (VI.) L ( S ) As variáveis (m ) e (m ) representam a tangente do ângulo formado entre a vertal e a margem esquerda e direita do troço respectivamente. A secção transversal supõe-se ter forma trapezoidal assimétra, como representado na figura VI.7. m α α m Margem esquerda Margem direita Figura VI.7 - Secção transversal m m m m Figura VI.8 - Definição da secção transversal Para a definição da secção transversal, considere-se o esquema representado em planta na figura VI.8. sendo: ( ) Ordem = Ordem( nc) nc (VI.) Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água 75

6 em que: nc largura do rasto do último troço, medida no local; largura do rasto do troço corrente; mais um. Ordem() número de ordem do troço corrente; Ordem(nc) número de ordem do último troço. O número de ordem de um troço é o maior número de troços que le estão a montante Desta forma define-se a largura do rasto de todos os troços, como função da sua ordem. Ou sea os troços com números de ordem inferiores, mais próximos das caeceiras terão largura de rasto pequena. Os troços com números de ordem superiores, pertencentes ao canal principal terão largura de rasto maior. Os declives das margens esquerda e direita, m e m, são definidos com ase no esquema apresentado na figura VI.7 como: ( ) m tan α = (VI.) ( ) m tan α = (VI.4) Sempre que pela localização do troço unto ao limite da acia idrográfa a cota de uma célula adacente necessária para a definição de m não estea definida é assumida a simetria da secção transversal ou sea m = m ou m = m consoante aquele que sea possível determinar. rectangular. Sempre que m 0, ou m 0 a secção transversal do troço é considerada A estrutura de dados da rede idrográfa representada na figura VI.4 é a apresentada no quadro VI.. 76 Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água

7 TROÇO NÓ NÓ ORDEM L S0 B M M ID (m) m/m m (m/m) (m/m) Quadro VI. - Dados da rede idrográfa discretizada Na situação em que não é possível definir as variáveis m e m esta assume o código (- ) e para efeitos de cálculo o troço de canal é considerado como tendo geometria rectangular. Isto só se verifa em alguns troços de caeceira. Nos troços de ordens superiores em que o efeito da geometria do canal tem maior influência no comportamento do escoamento a sua geometria é sempre possível definir a secção trapezoidal assimétra. VI. - Factor de sinuosidade adional Ao traçar a rede idrográfa com ase num modelo digital do terreno, a rede otida é uma aproximação da rede real. A diferença entre a rede de cálculo e a rede real aumenta com o aumento da dimensão da célula utilizada no modelo digital do relevo. Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água 77

8 Figura VI.. - Factor de sinuosidade adional O comprimento total das linas de água na rede idrográfa real á superior ao comprimento total das linas de água na rede idrográfa de cálculo, como pode ser oservado na figura VI... Desta forma pode-se definir um factor de correcção que será calculado por: sendo: E real F SA = (VI..) Ecalculo F SA E real E calculo factor de sinuosidade adional; comprimento da lina de água principal, medido sore a cartografia de ase; comprimento da lina de água principal, otido pelo somatório dos comprimentos dos troços que definem essa mesma lina. No cálculo, o comprimento de todos os troços é multiplado por este factor. 78 Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água

9 VI. - Coefiente de rugosidade de Manning-Strkler (Ks) A perda de carga que se verifa no escoamento devida ao atrito entre a água e o leito das linas de água varia com o material e forma do leito e vegetação que se encontra neste. No capítulo V, na dedução da equação da Onda Cinemáta, empregou-se a equação de Manning-Strkler. Numa acia idrográfa, verifa-se que a rugosidade do leito dos troços de lina de água varia com a ordem desse mesmo troço. Os troços de caeceira apresentam o leito mais irregular e com mais vegetação do que os troços de ordens superiores pertencentes às linas de água principais. Com ase nessa constatação adoptou-se por definir o coefiente de rugosidade para os troços de caeceira e para a secção de controlo onde se encontra a estação idrométra. Para os restantes troços, considera-se a variação do coefiente de rugosidade directamente proporcional ao número de ordem do respectivo troço, sendo o coefiente de rugosidade de um troço i dado por: Ks Ks foz Ksca = Ksca ( Ordem ( ) ) (VI..) Ordem nc sendo: troço corrente; Ks Ks ca Ks foz nc ( ) coefiente de rugosidade de Manning-Strkler do troço ; coefiente de rugosidade de Manning-Strkler dos troços de caeceira (ordem ); coefiente de rugosidade de Manning-Strkler do troço final da lina de água principal; número do último troço da rede que representa o troço onde se encontra a estação idrométra. Os coefientes de rugosidade na caeceira e na secção de controlo foram atriuídos de acordo com Cow, 97. Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água 79

10 VI. - Aplação do modelo de onda cinemáta na rede idrográfa A formulação do modelo de onda cinemáta apresentada no capítulo V refere-se á situação de escoamento unidimensional. No caso de o escoamento se efectuar numa rede, a grela numéra apresentada na figura V.. terá que ser transformada numa estrutura semelante à apresentada na figura VI.., onde na vertal se representa a variável tempo. Desta forma cada troço terá tamém dois vectores como atriutos, um representando os caudais no nó de montante e outro representando os caudais no nó de usante. Cada um destes vectores contém tantos elementos quantos os intervalos de tempo considerados no cálculo. Figura VI.. - Representação esquemáta da estrutura de dados A informação espacialmente distriuída, como a cota, classe taxonóma do solo, a classe de uso do solo e a classe de infiltração, resultante da intersecção destas últimas duas, são níveis de informação de uma matriz que representa as propriedade estátas da acia, ou sea propriedades que para o intervalo de tempo de cálculo são invariáveis. A precipitação após ser espacialmente distriuída, é armazenada numa matriz com tantas linas quanto o número de células e tantas colunas quanto o número de intervalos de tempo considerados. 80 Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água

11 Figura VI.. - Representação esquemáta da estrutura dos dados (pormenor) VI.. - Método linear Assim a expressão apresentada no capítulo V, adaptada à rede tem a seguinte forma: ( Q ) ( q ) ( ) () No qno () ( Q ) ( Q ) t α β = β sendo: ( Q ) ( Q ) t α β x nível de tempo; número do troço; (Q ) caudal a montante do troço ; (Q ) caudal a usante do troço ; t x intervalo de tempo; comprimento do troço; α e β têm o mesmo signifado que no capítulo V; q No ) ( Q ) ( Q ) ( Q ) (VI...) t x ( caudal de percurso calculado com ase no excesso de precipitação gerado na célula a montante do respectivo troço. Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água 8

12 VI... Método não linear O método não linear de resolução da equação da onda cinemáta apresentado no capítulo V, adaptado à rede, resulta no seguinte: f e: f t C = x ( Q ) α (( Q ) ) β ( q ) ( q ) No () t t β (( Q ) ) = ( Q ) α (( Q ) ) C x O valor do caudal na secção dois no troço ( (( Q ) ) Q ) No () (VI...) (VI...) será o zero da função. Como a função é não linear, emprega-se um método de resolução numéra de equações como o método de Newton - Rapson. VI.4 - Cálculo da altura do escoamento Conecendo a geometria de todos os troços e respectivos caudais é possível determinar a altura do escoamento. No modelo de onda cinemáta, isto pode ser efectuado pelo cálculo da altura uniforme. Já que este modelo assume que numa determinada secção ocorrem estágios de regime uniforme que se alteram de instante para instante, ver capítulo V. VI.4. - Secção trapezoidal assimétra m α α m Margem esquerda Margem direita Figura VI.4. - Secção trapezoidal assimétra 8 Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água

13 Sendo conecida a largura do rasto e as co-tangentes das margens m e m a largura superfial B será dada por: B = m (VI.4..) m ( ) B = m m (VI.4..) A área da secção transversal é: A = B A = ( m m ) (VI.4..) (VI.4..4) A = [ ( m m )] (VI.4..5) O perímetro molado é calculado com ase em: P ( m ) ( m ) = (VI.4..6) ( m m ) P = (VI.4..7) O raio idráulo é dado pela área sore o perímetro, ou sea: R = A P = [ ( m m )] m m (VI.4..8) Utilizando como lei de resistência do escoamento a fórmula de Manning-Strkler: sendo: Q A Ks R 0 = S (VI.4..9) A K s R S 0 área da secção transversal do escoamento; coefiente de rugosidade; raio idráulo; declive do perfil longitudinal. Sustituindo as expressões VI.4..5, VI.4..7 e VI.4..8 para o cálculo da área, perímetro e raio idráulo na lei de resistência do escoamento, equação VI.4..9, otém-se: A Q = A k S0 (VI.4..0) P Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água 8

14 Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água P S A k Q = (VI.4..) ( ) ( ) ( ) [ ] = Q m m S m m k (VI.4..) A equação VI.4.. é uma equação não linear cua variável independente é. A equação é convergente pelo método das sustituições sucessivas. VI.4. - Secção rectangular Figura VI Secção rectangular Sendo conecida a largura do rasto a largura superfial B será dada por: B = (VI.4..) A área da secção transversal é: A = (VI.4..) O perímetro molado é calculado com ase em: P = (VI.4..) O raio idráulo é dado pela área sore o perímetro, ou sea: P A R = = (VI.4..4) Utilizando como lei de resistência do escoamento a fórmula de Manning-Strkler: 0 S R k A Q = (VI.4..5)

15 sendo: A k R S 0 área da secção transversal do escoamento; coefiente de rugosidade; raio idráulo; declive do perfil longitudinal. Sustituindo as expressões VI.4.., VI.4.. e VI.4..4 para o cálculo da área, perímetro e raio idráulo lei de resistência do escoamento, otém-se: A Q = A k S0 (VI.4..6) P Q 5 k A S0 = (VI.4..7) P k 5 S0 ( ) ( ) Q = 0 (VI.4..8) A equação VI.4..8 é uma equação não linear cua variável independente é. A equação é convergente pelo método iterativo das sustituições sucessivas. VI.5 - Cálculo das isócronas As isócronas são linas de igual tempo de propagação do escoamento até à secção de referência, ou sea a área compreendida entre a secção de controlo e a isócrona correspondente a um instante delimita a área de contriuição correspondente a esse instante. A essa área de contriuição pertencem as células cuo excesso de precipitação atinge a secção de controlo num tempo igual ou inferior ao do instante correspondente à isócrona em questão. O cálculo do tempo que o caudal oriundo de uma célula leva até à secção de controlo é feito com ase no conecimento da celeridade da onda cinemáta. Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água 85

16 VI.5. - Cálculo da celeridade da onda cinemáta Como foi demonstrado no capítulo V, a celeridade da onda cinemáta num determinado troço, e num determinado instante é dada por: ( c ) α β k = β ( Q ) (VI.5..) sendo: e: α = β = 5 ( P ) ( k ) ( S ) s 0 em que as variáveis assumem o seguinte signifado: K s S o P nível de tempo; número do troço. 5 coefiente de rugosidade de Manning-Strkler; declive longitudinal do troço; perímetro molado. (VI.5..) (VI.5..) VI.5. - Cálculo do tempo de propagação do escoamento O tempo de propagação do escoamento de uma célula é o tempo necessário para que o excesso de precipitação dessa célula atina a secção de controlo. Admitindo por simplifação o caudal de percurso nulo, a distância percorrida em função do tempo será dada por: x ( ck ) t = (VI.5..) sendo: x distância percorrida ao longo do canal ; t tempo que a onda leva a percorrer a distância x. Explitando t, otém-se: 86 Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água

17 x t = (VI.5..) ( c ) k O valor de inial corresponde ao nível de tempo da isócrona que se está a calcular e é calculado por: sendo : tiso = (VI.5..) t tiso tempo correspondente à isócrona que se está a determinar; t intervalo de tempo considerado nos métodos numéros para a resolução da equação da onda cinemáta. Sustituindo x pelo comprimento total do troço L e considerando todos os troços a percorrer até cegar à secção de controlo, o tempo que o excesso de precipitação de uma determinada célula leva a atingir a secção de controlo será dado por: sendo: t t cel = t cel = L k ( c ) (VI.5..4) (VI.5..5) L t cel o comprimento real do troço ; tempo de concentração da célula cel. O cálculo de t é repetido para todas as células. Conforme o valor de t, assim se determina entre que isócronas está compreendida a respectiva célula. VI.6 - Considerações sore o cálculo A sequência do cálculo é feita pela ordem crescente do número de ordem dos troços, ou sea primeiro são calculados todos os troços de ordem um, depois todos os troços de ordem dois e assim sucessivamente até ao número de ordem mais elevado na acia idrográfa. O caudal no nó um de cada troço é igual à soma dos caudais nos nós dois do ou dos troços a montante que nele convergem. Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água 87

18 Os caudais são calculados numa primeira fase pelo método linear, e posteriormente são calculados pelo método não linear. Os resultados otidos na primeira fase servem de estimativa inial para a primeira iteração do método não linear. 88 Universidade de Évora - Mestrado em Engenaria do Solo e da Água