TOPOGRAFIA II CÁLCULO DE ÁREA

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1 TOPOGRAFIA II CÁLCULO DE ÁREA

2 PROCESSO GRÁFICO Cálculo de áreas Neste processo a área a ser avaliada é dividida em figuras geométricas, como triângulos, quadrados ou outras figuras, e a área final será determinada pela somatória de todas as áreas das figuras geométricas. A figura 1 ilustra a aplicação do método gráfico, através do processo de divisão da área em quadrículas e em figuras geométricas equivalentes. 2

3 PROCESSO COMPUTACIONAL Cálculo de áreas Atualmente é uma forma bastante prática para o cálculo de áreas. Baseado no emprego de algum programa gráfico, como por exemplo, o AutoCAD, no qual são desenhados os pontos que definem a área levantada e o programa calcula esta área, por métodos analíticos. 3

4 PROCESSO MECÂNICO Utiliza-se um equipamento denominado de planímetro (figura 2). Este consiste em dois braços articulados, com um ponto fixo denominado de polo e um cursor na extremidade dos braços, o qual deve percorrer o perímetro do polígono que se deseja calcular a área. Também apresenta um tambor giratório. De acordo com CINTRA (1996), "pode-se demonstrar que o giro do tambor, e portanto, a diferença de leituras, é proporcional à área envolvida pelo contorno percorrido". 4

5 A área será dada por: Área = k. (Lf - Li) onde: k é a constante do aparelho para um dado comprimento do braço graduado; Lf é a leitura final; Li é a leitura inicial. O valor de K pode ser determinado planimetrando-se uma área conhecida (S) diversas vezes (n). k = (n. S)/ (Lf - Li) De acordo com CINTRA(1996) o pólo deve ser posicionado fora da área que esta sendo avaliada, caso contrário, deve-se adicionar à área o chamado "círculo zero", fornecido pelo fabricante. 5

6 PROCESSOS ANALÍTICOS Cálculo de áreas Neste método a área é avaliada utilizando fórmulas matemáticas que permitem, a partir das coordenadas dos pontos que definem a feição, realizar os cálculos desejados. O cálculo da área de poligonais, por exemplo, pode ser realizado a partir do cálculo da área de trapézios formados pelos vértices da poligonal (fórmula de Gauss). Através da figura 3 é possível perceber que a área da poligonal definida pelos pontos 1, 2, 3 e 4 pode ser determinada pela diferença entre as áreas 1 e 2. 6

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8 A área 1 pode ser calculada a partir das áreas dos trapézios formados pelos pontos 2', 2, 1, 1 e 1', 1, 4, 4'. Na figura 4 é apresentada a fórmula de cálculo da área de um trapézio qualquer. 8

9 Para facilitar a compreensão, será calculada a área do trapézio formado pelos pontos 2', 2, 1, 1' (figura 5). A área do trapézio será dada por: 9

10 A equação pode ser representada genericamente por: ou também de outra forma, conforme equação cuja dedução fica 10

11 CÁLCULO DA ÁREA DE UM TRIÂNCULO QUALQUER, CONHECENDO-SE APENAS AS MEDIDAS DOS LADOS Também conhecido como fórmula de Heron, permite o cálculo da área de um triângulo utilizando-se apenas das medidas de seus lados. Consideremos a figura do triângulo genérico a ser utilizado na demonstração: 11

12 1. - O primeiro passo é encontrar o valor de cos Â. Para isso, vamos aplicar Pitágoras no triângulo AHB para encontrar o comprimento de AH. 12

13 2. Agora, utilizando o triângulo ABC, aplica-se a Lei dos Co-senos relativo ao ângulo Â: 13

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18 Terrenos de formas irregulares (Curva) - FÓRMULA SIMPSON A fórmula de Simpson é utilizada para calcular áreas que apresentam formas irregulares (formas não conhecidas geometricamente), como mostra a figura abaixo: 18

19 Para calcular esses tipos de áreas utiliza-se a fórmula a seguir: onde: d = Distância entre ordenas E = Somatória das ordenadas externas I = Somatória das ordenadas ímpares internas p = Somatória das ordenadas pares 19

20 1 Normas de utilização da fórmula de Simpson: O primeiro passo e traçar uma reta base, a partir da qual vão ser traçadas as ordenadas de forma PERPENDICULAR. 20

21 a) As ordenadas devem ser numeradas a partir de 1 (a primeira deve ser Y 1 ). b) As partes formas entre as ordenadas devem ter uma distância homogênea (d). c) As partes devem ser sempre um número PAR de divisões (dando como resultado número ímpar de ordenadas). d) O número de partes mínimo é de 4 (resultando 5 ordenadas). e) A distância entre ordenadas não deve ultrapassar 1 cm, em escala de até 1:100, e não mais de 0,5 cm em escalas maiores que 1:100 (1:200, 1:500, etc.) 21

22 2 Significados da fórmula de Simpson: a) d = distância entre as ordenadas. 22

23 b) E = somatório do comprimento das ordenadas extremas = Y 1 + Y

24 c) I = somatório do comprimento das ordenadas impares internas = Y 3 + y 5 + Y 7 + Y 9. 24

25 d) P = somatório do comprimento das ordenadas pares = Y 2 + y 4 + Y 6 + Y 8 + Y

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