Carlos Friedrich Loeffler 1, Markcilei Lima Dan 2

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1 UMA NOVA ABORDAGEM COM A FORMULAÇÃO COM QUASE-DUPLA RECIPROCIDADE DO MÉTODO DOS ELEMENTOS DE CONTORNO EM PROBLEMAS DE CONVECÇÃO FORÇADA EM ESCOAMENTOS POTENCIAIS Carlos Fredrch Loeffler 1, Markcle Lma Dan 2 1 Unversdade Federal do Espírto Santo DEM PPGEM Av Fernando Ferrar, s.n., Vtóra, ES carlosloeffler@bol.com.br 2 Unversdade Federal do Espírto Santo DEM PPGEM Av Fernando Ferrar, s.n., Vtóra, ES dan_m.l@bol.com.br Resumo A estratéga da formulação com Quase-Dupla Recprocdade do Método dos Elementos de Contorno para solução de problemas de convecção forçada mostrou-se plenamente satsfatóra, resolvendo com ótma precsão problemas de escoamento potencal com velocdades varáves para valores medanos do número de Peclet, superando as lmtações das formulações precedentes tanto em precsão quanto na flexbldade na consderação das condções de escoamento. Neste trabalho estabelece-se uma formulação alternatva, onde se busca escrever a equação ntegral de governo em termos de uma função potencal de velocdades e, usando a tátca de ntegração por partes, desdobrar-se a ntegral de domíno resultante do termo advectvo em outras três ntegras de contorno exatas e apenas uma ntegral de domíno para posteror nterpolação. Este é o ponto básco para alcançar melhores resultados. Empregando elementos de contorno constantes, é apresentada a solução numérca de um problema bdmensonal e, de manera a ratfcar o desempenho da formulação desenvolvda, seus resultados são comparados com os valores analítcos dsponíves. Palavras-Chave: Método de Elementos de Contorno, Quase-Dupla Recprocdade, Convecção Forçada, Smulação Numérca. Abstract The Quas-Dual Boundary Element formulaton acheves very good results n convectve heat transfer for potental flud flow wth medan Peclet numbers, ndependent of the velocty fleld beng constant or varable. Ths formulaton showed better acuracy and flexblty n comparson wth former alternatve boundary formulatons. In ths work the Quas-Dual approach s used, but the man purpose s to rewrte the governng ntegral equaton n terms of the potental velocty functon and to dvde ths ntegral n four terms. Three of them are ntegrated wthout aproxmatons and the last one s transformed accordng to the Quas-Dual formulaton procedure. Ths s the am to acchved better results than wth other formulatons. Usng constant boundary elements, the numercal soluton of two-dmensonal problems s shown and these results are compared wth analytcal ones, n order to prove the good perfomance of the proposed formulaton. Keywords: Boundary Element Method, Quas-Dual Recprocty, Dffusve-Advectve problems, Numercal Smulaton.

2 1. Introdução Exstem mutos problemas mportantes na engenhara ndustral envolvendo transferênca de energa e massa, nos quas o fenômeno da transferênca de calor pela smples dferença de temperatura entre as partes de um meo contínuo a dfusão - assoca-se ao fenômeno da advecção, onde uma quantdade de energa térmca é transferda pelo movmento deste meo, que pode ser o escoamento de um fludo ou o transporte de partculados. Esta correlação entre estes dos modos dstntos e nterlgados de transferênca de calor é denomnada de convecção. Há stuações bastante complexas onde a convecção aparece como ponto mas mportante na defnção de um problema físco, como os processos de soldfcação de produtos sderúrgcos pelo lngotamento contínuo e os problemas de mstura, dspersão ou transporte de substâncas dstntas. Estes últmos podem ocorrer em meos abertos, como a dspersão de poluentes em bacas hdrográfcas, ou em meos fechados, como nos dutos onde combustíves e substâncas correlatas são conduzdos entre locas dstantes. Nesta últma categora podem se enquadrar os casos convectvos mas mportantes lgados à ndústra de petróleo. Va de regra, os dferencas de temperatura e o escoamento do produto pela tubulação são sufcentes para gerar gradentes térmcos que afetam tanto a potênca necessára ao efetvo transporte da substânca quanto mplcam em questões de ntegrdade estrutural que nterferem em sua vda útl, passando por uma sére de outros problemas de nteresse. O presente trabalho assm se justfca plenamente, por estar dentro de um contexto onde se busca o desenvolvmento de modelos numércos que permtam uma melhor smulação de um problema tão mportante, vasto, complexo e de nteresse multdscplnar, onde se destaca na atualdade a engenhara de petróleo. A escolha do Método dos Elementos de Contorno basea-se na sua enorme smplcdade, baxo custo e elevada precsão de resultados, verfcados em dversas aplcações correlatas. 2. Equação de Governo Consdere um volume de controle elementar bdmensonal por onde flu um escoamento potencal no qual um ponto X tem coordenadas representadas pelo par (x 1,x 2 ). Em notação ndcal, a equação dferencal que caracterza o problema de transferênca de calor por condução e advecção no meo fludo é dada por: Kθ, = (1) vθ, Na equação anteror θ é a temperatura, K é um escalar assocado às propredades térmcas do meo contínuo e homogêneo e v denota as componentes de velocdade do fludo. As condções de contorno são defndas por: θ = θ em u (condção essencal (2) Kθ, n θv n = f em q (condção natural) (3) 3. Formulação Integral O ponto de partda para a formulação proposta requer a transformação da equação (1), na forma apresentada abaxo, com base na condção de ncompressbldade do escoamento: Kθ, = (v θ), (4) Multplcando-se a equação (4) por uma função auxlar u (ξ;x) e ntegrando no domíno, tem-se: K θ, u d = (vθ), u d (5) Na equação anteror, u (ξ;x) é a denomnada solução fundamental, utlzada amplamente nas formulações do Método dos Elementos de Contorno. Neste trabalho é utlzada a solução fundamental correspondente à Equação de Posson, consderando um meo nfnto e uma fonte concentrada no ponto X= ξ, conforme apresenta Brebba (1978). O lado esquerdo da equação (5) quando trabalhado pela aplcação de ntegral por partes e Teorema da Dvergênca, conduz a um resultado bastante conhecdo, cuja demonstração pode ser colhda em Brebba et al (1984): [ ( qu θq ) d - c()( ζ θ ζ) ] K θ, u d = K (6)

3 Da mesma forma, aplcando-se o esquema de ntegração por partes no lado dreto da equação (5), tem-se: (v θ), u d = ( vθu ), d v θu, d (7) A prmera ntegral do lado dreto da equação (7) é transformada numa ntegral de contorno também através da aplcação do Teorema da Dvergênca. Com sto, reescreve-se a equação (5) numa forma equvalente em que resta apenas uma ntegral de domíno: [ ( qu θq ) d - c( ζ)() θ ζ ] = vn θu d K v θu, d (8) Propõe-se agora uma nova forma de operaconalzar a ntegral de domíno resultante. Através das consderações que regem o escoamento potencal, conforme apresenta Shames (1973), pode-se escrever: v θu, d = Φ, θu, d Na equação precedente Φ consttu a função potencal de velocdades. Transferndo-se agora a dervada da função para o produto θu, através da aplcação de ntegral por partes, resulta em: (9) Φ = ( ) ( ) Φ, θu, d Φθu,, d Φ θu,, d (10) A prmera ntegral de domíno do lado dreto da equação (10) é transformada mas uma vez em termos de varáves de contorno pela aplcação do Teorema da Dvergênca. Desenvolvendo a dervada do produto que aparece na segunda ntegral, reescreve-se a equação anteror como: Φ, θu, d = Φθu, n d Φθ,u,d+ Φθu, d Pela defnção da solução fundamental utlzada, ou seja: ( ) (11) u, = ( ζ, x ) (12) As propredades da função Delta de Drac conduzem a: Φ, θu, d= Φθu, nd Φθ,u,d + c( ζ) Φ( ζ) θ( ζ) (13) 4. Aplcação da Quase-Dupla Recprocdade Resta anda uma ntegral de domíno, que deve ser tratada pela formulação Quase-Dual, conforme apresenta Massaro e Loeffler (2001) e, também, Loeffler e Mansur (2003). Faz-se então a segunte aproxmação: Logo: Φθ, αη = αψ, j j j j p p p p (14) Como u, j α p obtém-se: j j Φ, θu, d Φθu, nd αpψ p,u,d + c( ζ) Φ( ζ) θ( ζ) (15) j é constante ao longo do domíno, pode ser retrado da ntegral. Intercambando a dervada de ψ com p j j j Φ, θu, d Φθu, nd α p ( ψpu, ), d- ψpu, d- + c( ζ) Φ( ζ) θ( ζ) (16) Pela aplcação do Teorema da Dvergênca e propredades da solução fundamental pode-se escrever: j j j Φ, θu, d Φθu, nd α p ψpqd c( ζ) ψp( ζ) + + c( ζ) Φ( ζ) θ( ζ) (17)

4 Substtundo-se a equação (17) na equação (9) e, por sua vez, esta na expressão (8), tem-se, fnalmente, a equação escrta toda em termos ntegras e valores de contorno: j j j ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) p p ( ) p ( ) K c ζ θ ζ + θq -qu d = Φθq - vnθu d + c ζ Φ ζ θ ζ - α ψ qd + c ζ ψ ζ (18) 5. Dscretzação da Equação Integral Os procedmentos de dscretzação com o MEC são bastante báscos e podem ser encontrados na lteratura sobre o Método, e além das referêncas já ctadas, pode-se reportar a Kytbe (1995) e a Brebba e Walker (1980). Usando o método da colocação chega-se à segunte equação matrcal: Hθ Gq + Bθ Sθ = HΨ α (19) O vetor α pode ser elmnado utlzando-se da equação (14) que aplcada a um domíno já dscretzado fornece: -1 α = ( ) η Φθ, (20) Substtundo-se este resultado na equação (19) tem-se: -1 Hθ -Gq+Bθ-Sθ =-HΨ η ( Φθ, ) (21) Resta anda uma dervada espacal, que pode ser elmnada utlzando-se um esquema de nterpolação smlar ao usado por Partrdge (1993/): θ = Fβ (22) Dervando-se esta equação tem-se: θ, = F, β (23) Obtendo-se β da equação (22), pode-se escrever: θ, = F, F 1 θ (24) Substtundo (24) em (21) tem-se: -1-1 ( ) Hθ -Gq+Bθ -Sθ =- HΨ η Φθ,F,F θ (25) Ou melhor: Hθ Gq + Bθ Sθ = Mθ (26) A equação anteror consttu um sstema de equações lneares que pode ser resolvdo computaconalmente. 6. Exemplo de Aplcação Para uma demonstração do desempenho da formulação exposta, consdere um volume de controle bdmensonal, de lados guas, no qual somente condções de contorno essencas são prescrtas. Exstem componentes cartesanas de velocdade v e w nas dreções x e y, respectvamente, conforme exposto na fgura 1:

5 v y w x Fgura 1. Característcas físcas e geométrcas do volume de controle O campo de temperaturas mposto nas fronteras é dado segundo a função: θ = e vx e wy (27) O fluxo dfusvo é calculado pela segunte expressão: dθ q = K dx (28) Consderando a constante de dfusvdade térmca com valor untáro, os fluxos dfusvos nas dreções x e y são dados analtcamente por: q x dθ dx vx wy = = ve e (29) dθ dy vx wy q y = =we e (30) A análse da qualdade os resultados é feta, ncalmente, consderando-se a capacdade de convergênca dos resultados numércos em função do refnamento da malha utlzada. Com este propósto foram empregadas dscretzações com 20, 40, 80 e 160 pontos nodas. Neste trabalho utlzou-se elementos de contorno com nterpolação constante. Consderou-se ncalmente o número de Peclet como gual a dos e calculou-se o erro médo percentual para cada malha, computando apenas os valores do fluxo de calor nos pontos nodas stuados nas faces vertcas, onde ocorrem os fluxos de maor ntensdade.tomou-se como medda de erro em cada ponto nodal o segunte quocente: Ε = q numérco -q Q analítco analítco (31) No denomnador da expressão anteror é consderado o maor valor de fluxo analítco na face. Na fgura 2 são mostrados os resultados obtdos. Observa-se que para um malha bastante smples, com 20 nós, os resultados já são bastante razoáves para o valor do número de Peclet empregado. O erro médo percentual decresce a valores ínfmos, numa taxa de convergênca gualmente satsfatóra Erro(%) Num ero de E lem. de Cont. Fgura 2. Erro percentual obtdo no fluxo de calor, para as faces vertcas, com o refnamento da malha.

6 O próxmo teste qualfca o desempenho do método tomando a malha mas refnada (160 nós) e aumentando o valor do número de Peclet. Nestas condções, o efeto do fenômeno advectvo começa a preponderar sobre a dfusão. Tomando-se uma vez mas as faces vertcas, cujos valores de fluxo dfusvo são bem mas sgnfcatvos, e a mesma medda de erro o gráfco mostrado na fgura 3 reflete o comportamento da solução numérca Erro(%) Num ero de P eclet Fgura 3. Erro percentual no fluxo de calor, para as faces vertcas em função do Número de Peclet Pode-se observar o bom comportamento da formulação, pos que os erros calculados são bastante acetáves, fcando abaxo de 1% na faxa de valores de Peclet guas a 12, resultados estes bem superores aos apresentados por outras formulações smlares do Método dos Elementos de Contorno. 7. Conclusões A formulação do Método dos Elementos de Contorno baseada na Dupla Recprocdade tradconal tem séras dfculdades para tratar os problemas de convecção forçada mesmo para números de Peclet baxos, que se explca pelas grandes dstorções ocasonadas por duas nterpolações que são nela realzadas, fetas para representar o fenômeno convectvo. Na formulação aqu proposta, embora as mesmas nterpolações estejam presentes, o uso recursvo das ntegrações por partes permtu a geração de um número adconal de ntegras que não são afetadas por esse tpo de aproxmação, garantndo uma redução sgnfcatva dos erros. A flexbldade no tratamento de problemas que possuem campos de velocdade varável, embora não tenha sdo aqu mostrada por falta de espaço, credenca a formulação a ser uma alternatva compettva com outros métodos para o tratamento numérco desta categora de mportantes problemas em engenhara. 8. Referêncas BREBBIA, C.A,The Boundary Element Method for Engneers, Pentech Press, London., BREBBIA, C.A., WALKER, S., Boundary Element Technques n Engneerng, Newnes-Butterworths, London, BREBBIA, C.A., TELLES, J.C.F. and WROBEL, L.C., Boundary Element Technques Theory And Applcatons In Engneerng, Sprnter-Verlag, New York, KYTBE, P.K., An Introducton to Boundary Element Methods, CRC Press, Boca Raton, NARDINI, D., BREBBIA, C.A., A New Approach to Free Vbraton Analyss usng Boundary Elements, Proceedng of the Fourth Internatonal Semnar, Boundary Element Methods n Engneerng, Southampton,1982. LOEFFLER, C.F., MANSUR, W.J. Quas-Dual Recprocty Boundary Element Method for Incompressble Flow: Applcaton to the Dffusve-Advectve Equaton, submetdo e aprovado para publcação no Internatonal Journal for Numercal Methods n Engneerng. MASSARO, C.A.M.,LOEFFLER, C.F., Boundary Element Formulaton Appled n the Soluton of Convectve- Dffusve Heat Transfer Problems, XVI Congresso Braslero de Engenhara Mecânca (anas em CFD ROM), Uberlânda, PARTRIDGE, P.W., BREBBIA, C.A. and WROBEL, L.C., The Dual Recprocty, Boundary Element Method, Computatonal Mechancs Publcatons and Elsever, London, SHAMES, I. H. Mecânca dos Fludos, Edtora Edgard Blücher, São Paulo, 1973.