Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática MAT Introdução à Álgebra 2015/I 1 a Lista de Exercícios

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1 1 Universidade Federal de Viçosa Centro de Ciências Exatas Departamento de Matemática MAT Introdução à Álgebra 2015/I 1 a Lista de Exercícios Tópico: Argumentos 1. (a) Argumento inválido. (b) Argumento válido. (c) Argumento válido. (d) Argumento inválido. (e) Argumento válido. (f) Argumento inválido. (g) Argumento válido. (h) Argumento inválido. (i) Argumento válido. (j) Argumento válido. (k) Argumento válido. (l) Argumento inválido. (m) Argumento inválido. (n) Argumento válido. Tópico: Conectivos e Proposições 1. (a) F (b) F (e) V (f) V 2. (a) O rato não entrou no buraco. (b) O gato não seguiu o rato. (c) O rato entrou no buraco e o gato seguiu o rato. (d) O rato entrou no buraco ou o gato seguiu o rato. (e) O rato não entrou no buraco e o gato seguiu o rato. (f) O rato entrou no buraco e o gato não seguiu o rato. (g) Não é verdade que o rato entrou no buraco e o gato seguiu o rato. (h) Não é verdade que o rato entrou no buraco ou o gato seguiu o rato.

2 2 (i) O rato entrou no buraco ou o gato não seguiu o rato. (j) O rato não entrou no buraco ou o gato não seguiu o rato. (k) Não é verdade que o rato não entrou no buraco. (l) Não é verdade que o gato não seguiu o rato. 3. (a) p (b) q (c) ( p) (d) q (e) p q (f) p q 4. (a) Gosto de viajar se e somente se visitar o Chile. (b) Se não visitar o Chile, então não gosto de viajar. (c) Se gosto de viajar e não visitei o Chile, então não gosto de viajar. isitei o Chile e não gosto de viajar. (e) Não é verdade que gosto de viajar e visitei o Chile. (f) Se visitei o Chile, então gosto de viajar. (g) Não gosto de viajar ou não visitei o Chile. Tópico: Valor lógico, tabela-verdade, tautologia e contradição 1. (a) P (V V, V F, F V, F F ) = F V V F (b) P (V V, V F, F V, F F ) = F F F V (c) P (V V, V F, F V, F F ) = F V V F (d) P (V V, V F, F V, F F ) = V F F V 2. (a) P (V V, V F, F V, F F ) = F F V F (b) P (V V, V F, F V, F F ) = V F V V (c) P (V V, V F, F V, F F ) = F V F F (d) P (V V V, V V F, V F V, V F F, F V V, F V F, F F V, F F F ) = V F V V V V V V (e) P (V V V, V V F, V F V, V F F, F V V, F V F, F F V, F F F ) = F V F F V V V F (f) P (V V, V F, F V, F F ) = V V F F

3 3 3. (a) F (b) V 4. Descreva as sentenças abaixo em termos de proposições simples e operadores lógicos. (a) p: Elefantes podem subir em árvores. q: 3 é um número irracional. p q (b) p: É proibido fumar cigarro. q: É proibido fumar charuto. p q (c) p: π > 0 q: π > 1 (p q) (d) p: laranjas são amarelas. q: morangos são vermelhos. p q (e) p: Montreal é a capital do Canadá. q: A próxima copa será realizada no Brasil. (p q) (f) p: Montreal é a capital do Canadá. q: A próxima copa será realizada no Brasil. p q (g) p: Me formarei em Informática. q: Terei consciência da importância do meu diploma perante esta sociedade. p q 5. (a) V (b) F 6. (a) 37 não é um número primo. (b) Bruno não irá ou vai jogar. (c) Nós não venceremos o primeiro e o segundo jogo. (d) Não há sanduíches e eu não vou comer um cachorro-quente. (e) Matemática não é muito legal ou computação não é fundamental.

4 4 7. (a) q (b) q p (c) ( p q) ( q p) (d) ( p q) ( p q) (e) v (f) ( p q) r 8. (a) f (b) v 9. Determine quais das proposições a seguir são tautologias ou contradições: (a) tautologia (b) (c) contradição (d) (e) tautologia (f) tautologia Tópico: implicações e equivalências 1. (a) P Q (b) P Q (c) P Q (d) P Q 2. (a) F (g) V (j) F (b) V (e) V (h) F (c) V (f) V (i) F 3. (a) V (b) V (e) V (f) F Tópico: sentenças abertas e quantificadores 1. Sentenças abertas: b, c e f. 2. (a) ( x N) (x 3 = 27) (b) ( n N) (n > ) (c) ( x I) (d) ( x R) (x é primo par) 3. a) F b) F 4. V 5.

5 5 (a) { 3, 3} (b) {0} (c) { 3} (d) { 4, 5} (e) { 4, 5} (f) { 7, 7} 6. (a) V (d) F (g) F (j) F (m) F (b) F (e) F (h) F (k) V (f) V (i) V (l) V 7. (a) (c) { 1, 1, 3} (e) (b) (d) { 2, 2} (f) {x R /x < 3} 8. V p = {(3, 6), (3, 9), (4, 4), (6, 6)} 9. V p = {(3, 3), (3, 6), (3, 9), (6, 9), (6, 3), (9, 3), (9, 6)} 10. V p = {(3, 3), (3, 6), (4, 5), (5, 4), (6, 3), (6, 6)} 11. V p = {( 1, 0), ( 1, 1), (0, 0), (0, 1), (1, 0)} 12. V p = {(2, 0), (0, 2), ( 2, 0), (0, 2)} 13. (a) {1, 3, 5, 7} (b) {3, 6} 14. (a) { 4, 2, 0, 2, 4} (b) { 4, 3, 2, 1} (c) {2, 4, 6, 8} (d) A (c) { 4, 2, 2, 3, 4} (d) { 3, 2, 0, 2, 3} 15. (a) [ 2, 4/3] (b) [ 2, + ) 16. (a) {1} (b) {0, 1, 2, 3, 5, 7, 9} (c) {1, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} (d) {0, 1, 2, 4, 6, 8} (e) {1, 4, 6, 8} 17. a) 10 b) (a) F (b) F (c) V (d) a) ( x)(p(x)) ( x)(q(x)) b) Tome, por exemplo p : x 2 0 e q : x x Tópico: Condicional, Teoremas e Provas 1.

6 6 (a) p q (c) q p (e) x 8 x 9 (g) p q (b) q p (d) q p (f) x > 6 x = 7 (h) x = 5 x a) Recíproca: Se os vampiros saem de casa à noite, a lua está cheia. Contrapositiva: Se os vampiros não saem de casa à noite, a lua não está cheia. b) Recíproca: Se uma girafa não faz gargarejo, ela tem dor de garganta. Contrapositiva: Se uma girafa faz gargarejo, ela não tem dor de garganta. c) Recíproca: Se na lua construírem uma estação espacial, vou moral lá. Contrapositiva: Se não construírem uma estação espacial na lua, não vou morar lá. d) Recíproca: Se a recíprova de uma definição é verdadeira, então a proposição é uma definição. Contrapositiva: Se a recíprova de uma definição não é verdadeira, então a proposição não é uma definição. e) Recíproca: Se uma função é contínua, então ela é derivável. Contrapositiva: Se uma função não é contínua, então ela não é derivável.