Método Numérico Discretização da Equação Geral de Transporte

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1 4 Método Numérico ara dtrminar os campos d vlocidad, prssão tmpratura rsultants do scoamnto d um jato spiralado incidindo m uma placa qunt, utilizou-s o programa comrcial FLUENT (Flunt, 200), o qual é basado no método d Volums Finitos. O Método dos Volums Finitos (MVF) é uma das técnicas d discrtização mais vrsátis utilizadas na dinâmica dos luidos computacional. Esta técnica tm como primiro passo dividir o domínio computacional m vários volums d control, ond a variávl d intrss stá localizada no cntróid do volum d control. O próximo passo é intgrar a orma dirncial das quaçõs d govrno sobr cada volum d control, ond são utilizados pris d intrpolação para dscrvr a variação da variávl procurada (vlocidad, prssão, tmpratura /ou outras grandzas d intrss) ntr os cntróids d cada volum d control. A quação rsultant é chamada d quação d discrtização. Dsta orma, a quação d discrtização xprssa o princípio da consrvação para a variávl procurada dntro do volum d control. A caractrística mais atrant do MVF é qu a solução rsultant satisaz a consrvação d quantidads como massa, quantidad d movimnto, nrgia spécis, sndo totalmnt satisita para qualqur volum d control, assim como para todo o domínio computacional qualqur númro d volums d control. Msmo a solução m uma malha grossira aprsnta consrvação das variávis intgradas. Métodos numéricos dvm satisazr algumas propridads intrdpndnts: consistência, stabilidad convrgência. A consistência implica qu o problma discrto é uma aproximação do dirncial. Um método d solução é stávl s os rros da solução diminum durant o procdimnto d solução. Convrgência implica qu a mdida qu a malha é rinada, a solução do problma discrto aproxima-s da solução do problma dirncial. D acordo com o torma d quivalência d Lax aprsntado m Tannhill (997), qu é

2 Método Numérico 9 válido para dtrminados problmas linars d valor inicial, a sguint rlação é vrdadira: consistência + stabilidad <=> convrgência. Nos casos não linars, a convrgência não é garantida, porém, a prsnça da stabilidad do método acilita substancialmnt a obtnção d solução convrgida. ara aproximar as quaçõs dirnciais slcionou-s dirnts squmas. No caso da mtodologia d turbulência RANS oram utilizados os squmas owr Law (atankar, 980) UICK (Lonard Mokhtari, 99). O squma owr-law é mais stávl d ácil convrgência, nquanto qu o squma UICK é mais prciso. Em gral, a solução ra inicializada com o squma owr-law num sgundo momnto, buscando aumntar a ordm d prcisão da discrtização, o squma UICK ra adotado. Já para a mtodologia LES é undamntal utilizar plo mnos um squma d sgunda ordm, o squma d Dirnças Cntrais oi mprgado. Nas simulaçõs RANS o acoplamnto vlocidad prssão oi rsolvido com o algoritmo SIMLE (atankar, 980), nquanto qu nas simulaçõs LES, plo ato d srm transints, o algoritmo ISO (Issa, 986) oi utilizado com a inalidad d s obtr uma maior stabilidad nas simulaçõs. Finalmnt, para rsolvr o sistma algébrico mprgou-s a técnica d Multigrid (Hutchinson & Raithby, 986), juntamnt com o algoritmo d Gauss- Sidl (atankar, 980). 4. Discrtização da Equação Gral d Transport D modo a dscrvr as técnicas d discrtização, a quação d transport para uma quantidad transportada gnérica é considrada. Todas as quaçõs d consrvação têm a orma dsta quação; através da substituição apropriada para, da diusividad d um trmo ont gnérico S S c S p. u j t x j x j Sc S p x j (4.) Tal como oi mncionado antriormnt o Método dos Volums Finitos consist m intgrar a quação d transport, Eq. (4.) sobr cada volum d control, grando uma quação d discrtização qu xprss a li d consrvação

3 Método Numérico 92 no volum d control. A discrtização das quaçõs d govrno do scoamnto pod sr obtida intgrando a Eq. (4.) m um volum d control limitado por uma supríci chada S. Aplicando o torma d divrgência d Gauss, tm-s d A u jn jda A n jda Sc S p d (4.2) t x j ond n j é o vtor normal à supríci do volum d control, apontando para ora do lmnto, da é a magnitud do lmnto d ára da supríci d control. Considrando um volum d control i com N i acs, tm-s Ni N i i ( u j n j A) ( n j A) Sc S pi i (4.3) t i x j ond signiica qu a grandza dv sr avaliada na ac do volum d control. O númro d células vizinhas d cada volum d control dpnd da malha construída, sndo normalmnt igual ao númro d acs qu orma o volum d control. A Fig. 4. ilustra uma célula típica, triangular bidimnsional. r r 0 A Figura 4. Volum d control tipo, na discrtização da quação d transport. Os valors discrtos do campo scalar são obtidos nos cntros dos volums d control i (0 da Fig. 4.), cuja posição é dada por: xi xd, i i (4.4) rscritos O somatório rrnt ao luxo líquido convctivos da Eq. (4.3) podm sr

4 Método Numérico 93 Ni N A NB ( u j n j A) m m A A B (4.5) B A B ond m ( un A) (4.6) é o luxo d massa qu cruza a ac, sndo u n o componnt d vlocidad normal à ac. A B corrspondm às acs ond os luxos sam ntram, rspctivamnt Os valors das acs são ncssários nos trmos advctivos da Eq. (4.5) dvm sr intrpolados através dos valors cntrais dos volums d control i. No prsnt trabalho oram utilizados os sguints squmas: owr-law, uick Dirnças Cntrais. ara os trmos diusivos da Eq. (4.3) utiliza-s o squma d Dirnças Cntrais. 4.. Esquma owr-law O squma owr-law (atankar, 980) é um ajust d li d potência do squma Exponncial dsnvolvido por Spalding (atankar, 980), o qual é basado na solução xata da quação convcção-diusão unidimnsional, sm onts m rgim prmannt. O luxo total (convctivo diusivo) na ac é aproximado d orma acoplada por, J u m o o a (4.7) x a D A( ) m,0 (4.8) ond A D ; A( 0,, L 0 5 m / D é o númro d clt, sndo D a condutância m (4.9) o luxo d massa avaliados na ac do volum d control L é a distância ntr os dois cntróids o adjacnts a montant a jusant da ac m considração. O

5 Método Numérico 94 símbolo a, b rprsnta o máximo ntr a b Esquma Dirnças Cntrais O squma d Dirnças Cntrais (Cntral dirncing schm) é basado na xpansão d séri d Taylor, aprsntando sgunda ordm d prcisão. Est squma surgiu como uma das primiras tntativas d s ncontrar o valor da variávl nas acs do volum d control. O valor da variávl na ac do volum d control é calculado da sguint orma no squma d Dirnças Cntrais 0 0. r0. r (4.0) 2 2 sndo os índics o rrnts às células qu compartilham a ac (Fig. 4.), os gradints 0 são calculados utilizando-s N i i A n (4.) i r é o vtor dircionado do cntro do volum d control à ac corrspondnt do volum d control. A Eq. (4.0), a qual dscrv o squma d Dirnças Cntrais, é uma scolha idal para Simulação d Grands Escalas (LES), pois é um squma qu aprsnta baixa diusão numérica. A dsvantagm dst squma é qu conduz a oscilaçõs isicamnt incornts na solução do problma, além d introduzir prturbaçõs qu podm diicultar a convrgência. A solução dst problma é trabalhar com uma variant do método, o método d dirnças cntrais limitado (boundd cntral dirncing schm), o qual é basado no Diagrama das Variávis Normalizadas (Normalizd Variabl Diagram - NVD ) proposto por Lonard (99). ara ilustrar o procdimnto para limitar o squma d dirnças cntrais é convnint introduzir a normalização d Lonard (99), a qual para scoamnto no sntido indicado na Fig. 4.2 é

6 Método Numérico 95 W E W (4.2) u xw x xe.. W E w Figura 4.2 Volum d control unidimnsional. A Figura 4.3 aprsnta um diagrama da variávl na ac normalizada d acordo com os principais squmas d intrpolação utilizadas no procsso d stabilização o método d Dirnças Cntrais..,5,0 0,5 (/2;3/4) (;) Dirnça Cntral UICK Upwind Sgunda Ordm Upwind rimira Ordm 0,0-0,5 0,0 0,5,0,5 ˆ Figura 4.3 Diagrama das variávis normalizadas, NVD (Choi t. al., 995). O critério do squma d Dirnças Cntrais Limitado (DCL) é dinir uma unção crscnt contínua ou a união d trchos d unçõs contínuas crscnts H, rlacionando o valor normalizado intrpolado d ac ao valor normalizado do cntro do nó a montant, ou sja, H. Dst modo o critério d DCL stablc os limits da unção H, dtalhados a sguir: i para 0, H é limitada inriormnt pla unção supriormnt plo valor unitário qu passa plos pontos 0,0,. ii para 0, H é igual a.

7 Método Numérico 96 A importância do DCL é orncr uma condição ncssária suicint para garantir uma solução sm oscilaçõs. D acordo com Lonard (99), as principais caractrísticas rlativas à unção d intrpolação H no NVD (Figura 4.3) são i S a unção H passa plo ponto, ntão a prcisão é d sgunda ordm, ii S a unção H passa plo ponto, com inclinação S igual a 0,75 (para malha uniorm), ntão a prcisão é d trcira ordm. Os ators gométricos d intrpolação podm sr dinidos m trmos das dimnsõs do volum d control, d acordo com C C C 2 ; 2 Y C2 C C C C C 2 S (4.3) 2 ond C W C 2 (4.4) E Nst trabalho oi utilizado o squma proposto por Zhu & Rodi (99), qu mprga parts d unçõs linars qu passam plos pontos 0,0,, sgundo o NVD (Figura 4.3), ou sja a b c d s s s 0 0 ou (4.5) ond a 0 ; Y b ; c Y d Y (4.6) A Eq. (4.3) indica qu as constants da Eq. (4.6) variam d acordo o tamanho do volum d control. O squma d Zhu & Rodi (99) é composto plos squmas Upwind d Sgunda Ordm, Dirnça Cntral Upwind d rimira Ordm. D acordo com Lonard (99), st squma é d sgunda ordm.

8 Método Numérico Esquma UICK O squma d discrtização UICK, uadratic Upstram Intrpolation or th Convction Kinmatics oi proposto por Lonard (979) utiliza um pril quadrático para avaliar os luxos nas acs dos volums controls, sndo qu dois pontos localizam-s a montant da ac um ponto à jusant. Lonard & Mokhtari (99) otimizaram o squma utilizando uma média pondrada das intrpolaçõs através das aproximaçõs d Dirnças Cntrais Upwind d Sgunda Ordm. or xmplo, para a ac do volum d control aprsntado na Fig. 4.2, considrando qu a dirção do scoamnto é da squrda para a dirita, o valor da variávl convctada é dado por: E E W 2 W E E W W (4.7) Na Eq. 4.7, caso quival ao squma Dirnça Cntral, caso 0 rsulta no squma Upwind d Sgunda Ordm. O squma UICK tradicional (Lonard,979) é obtido com / 8. Tipicamnt, st squma é mais prciso qu os rstants utilizados m malhas struturadas, sndo qu possui um rro d truncamnto d 3ª Ordm os rros d alsa diusão são rduzidos signiicativamnt. No ntanto, dpndndo do modo como é ormulado, podrá conduzir a coicints da matriz d discrtização ngativos a problmas d convrgência Discrtização Tmporal por A xprssão gnérica para a volução tmporal d uma variávl é dada F t (4.8) ond F é o trmo corrspondnt à part convctiva diusiva do luxo através da ac do volum, além do trmo d gração. Na aplicação dst trabalho, nas

9 Método Numérico 98 simulaçõs LES, oi utilizada discrtização tmporal d sgunda ordm. A discrtização tmporal d sgunda ordm é obtida a partir d uma xpansão m séri d Taylor, utilizando o instant d tmpo prsnt n, passado n- uturo n+. 4 n n n 2 n tf (4.9) ond o trmo F dv sr obtido no instant d tmpo uturo. Rcomnda-s a utilização d um passo d tmpo qu garanta o númro d Courant, basado na vlocidad máxima u Co u t x max max /, abaixo d,0. O procsso d discrtização rsulta num sistma d quaçõs algébricas para cada volum d control, do tipo a c anbnb b (4.20) o nb ond o sub-índic nb rr-s às células vizinhas, a a nb são os coicints principal vizinhos linarizados para solução a solução d d rspctivamnt. nb 4.2. Discrtização das Equaçõs d Navir-Stoks As quaçõs d Navir Stoks: quação da continuidad quação d quantidad d movimnto, govrnants do scoamnto são casos particularizados da quação d transport, Eq. (4.). ara discrtizar a quação d quantidad d movimnto, todo o squma proposto na sção 4.2 pod sr aplicado. orém, como a prssão não é conhcida é convnint xplicitar a prssão na quação discrtizada. O componnt x da quação d quantidad d movimnto pod sr dinida como: a puc0 a nb unb p n A b nb (4.2) sndo qu o campo d prssão os luxos d massa nas acs não são conhcidos dvm sr obtidos como part da solução. Not qu é ncssário conhcr o

10 Método Numérico 99 valor da prssão na ac, ntr as células 0 da Fig. 4.. O algoritmo d discrtização utilizado plo Flunt utiliza squma co-localizado, isto é, os valors d prssão vlocidad ncontram-s armaznados no msmo ponto, no cntro do volum d control. Dssa orma, a prssão na ac é intrpolada através da xprssão proposta por Rhi & Chow (983) p pco / a p, c pc / a o p, c (4.22) / a p, c / a o p, c ond a p,c 0 a p,c são os coicints obtidos na quação d quantidad d movimnto, Eq. (4.2), associados aos rspctivos cntróids dos volums d control. O luxo d massa também dv sr conhcido nas acs, st dv sr dtrminado d orma a garantir consrvação d massa, a qual pod sr scrita na orma discrtizada como N i un A 0 (4.23) ara satisazr a Eq. (4.23) é ncssário rlacionar a vlocidad normal à ac do volum d control, u n, com as vlocidads armaznadas no cntro da célula. ara isso, u n é intrpolado através d uma xprssão (Rhi & Chow, 983) qu utiliza os coicints a da quação d quantidad d movimnto, Eq. (4.2), como ators d ajust, assim u n c0 c uˆ d p p (4.24) ond uˆ a u a p, c u nc ; a p, c0 nc0 u a p, c0 p, c d A (4.25) a a / 2 p, c0 p, c O trmo û contém inluência das vlocidads d ambas as células vizinhas, p p u u são, rspctivamnt, as prssõs as vlocidads, c0 c n, C n 0 C

11 Método Numérico 00 normais dntro d dos volums d control, situados a cada lado da ac da Fig Acoplamnto prssão-vlocidad Com a inalidad d rsolvr o acoplamnto prssão-vlocidad oram utilizados os algoritmos SIMLE (atankar,980) ISO (Issa, 986). Ests algoritmos utilizam passos com stimativa corrção, basados no método d Chorin (Chorin, 968, 969). Ambos os métodos dtrminam o campo d vlocidad a partir d um campo d prssão stimado, rsolvndo a quação d consrvação d quantidad d movimnto. O campo d prssão dv sr corrigido d orma a satisazr a quação d consrvação d massa. Considra-s qu o campo d vlocidad u * é obtido da quação d quantidad d movimnto s o campo d prssão or p*. O algoritmo SIMLE (Smi-Implicit Mthod or rssur Linkd Equations) dsnvolvido por atankar (980) rlaciona a corrção da vlocidad u * u u com a corrção d prssão consrvação d quantidad d movimnto, como p * c p o c p o c a partir da quação d o u d pc p o c (4.26) A corrção d prssão é obtida d orma a garantir consrvação d massa. A órmula d corrção d vlocidad é substituída na quação discrtizada d consrvação d massa, rsultando m a N ' ' pc anb pnb b ; b i 0 u * A (4.27) nb ond o trmo b corrspond à ont d massa qu dv s anular quando o squma convrgir. Uma vz qu a solução da quação d corrção d prssão é obtida, a prssão do cntro do volum d control o luxo d massa nas acs dos volums d control são corrigidos através d,

12 Método Numérico 0 p * ' ' p p ; u u d p p (4.28) * ' c0 c0 pc c 0 0 c 0 c sndo, p c0 o ator d rlaxamnto da prssão. Considrando dois nívis d corrção, obtém-s o algoritmo ISO (rssur-implicit with Splitting o Oprators) dsnvolvido por Issa (986), o qual gra uma stimativa mlhor do campo d vlocidad prssão quando comparada com o algoritmo SIMLE, já qu utiliza dois nívis d corrçõs d prssão vlocidad. O procdimnto é análogo ao SIMLE, porém, dois nívis d corrção d vlocidad prssão são utilizados. Uma vantagm do algoritmo ISO implmntado no Flunt com rlação a stimativa d corrção d luxo d massa é a utilização d uma corrção associada à não ortogonalidad da malha. Est procsso rrnciado como Skwnss Corrction rduz signiicativamnt a diiculdad d convrgência associado com malhas altamnt não struturadas. O algoritmo ISO rqur um maior tmpo d computação por itração, mas pod diminuir drasticamnt o númro d itraçõs ncssárias para a convrgência, spcialmnt para problmas transints. Dsta orma o algoritmo d ISO é rcomndado para problmas transints, pois apsar d lvar mais tmpo m uma itração, spra-s qu irá rqurr mnos itraçõs qu o algoritmo SIMLE. ara casos prmannts rcomnda-s o algoritmo SIMLE. Uma comparação ntr os dois algoritmos mostra qu o método computacional ISO mostra uma signiicativa rdução d tmpo d 60% m rlação ao SIMLE, indpndntmnt do passo d tmpo ou do rinamnto da malha. 4.3 Mtodologia d Solução do Sistma Algébrico Com o objtivo rsolvr o sistma algébrico, FLUENT utiliza o squma Multigrid d Corrção Aditiva, proposto por (Hutchinson & Raithby, 986), o qual aclra a convrgência através d corrçõs m uma séri d nívis d rinamnto da malha. A utilização do squma Multigrid rduz signiicativamnt o númro d itraçõs o tmpo d procssamnto ncssário para obtr uma solução convrgida, particularmnt quando a malha contém um

13 Método Numérico 02 grand númro d volums d control. O método Multigrid basia-s na obsrvação d qu cada aixa d rqüência do rro dv sr suavizada no spaçamnto mais adquado para tal. ara qu os componnts do rro d baixa rqüência possam sr liminados com iciência, o método Multigrid procura trabalhar com uma sqüência d malhas M, M2,..., Mn, cada vz mais grossas, ond ntão o rro pod sr rapidamnt suavizado. Em cada nívl d malha, os componnts do rro corrspondnts são icintmnt rduzidos, aclrando o procsso d convrgência. A técnica Multigrid prmit qu o rro global sja diminuído por mio do rinamnto d uma sqüência d malhas sucssivas. Est método é basado no princípio d qu o rro global (baixa rqüência) corrspondnt a uma malha ina possa sr rprsntado m uma malha grossira (mnos rinada). Visto qu os cálculos podm sr ralizados m um dcaimnto xponncial m trmos d tmpo computacional mmória d armaznamnto m malhas mais grossiras, xist o potncial para uma liminação icint d rro global. Um xmplo d uma sqüência d malhas para a mtodologia d solução do squma Multigrid é aprsntado a sguir. Figura 4.4 Sqüência d malhas para o squma Multigrid. O sistma algébrico dv convrgir a cada nívl d malha. O rsíduo normalizado R da quação d transport discrtizada, Eq. (4.20) pod sr scrito através da sguint rlação

14 Método Numérico 03 anb nb b a c o N T nb R (4.29) [ a c ] o NT ara todos os casos analisados nst trabalho, considrou-s a solução convrgida para R 0 6 no nívl mais ino.