Laboratório Computacional de Física: uma Experiência de Ensino Integrado de Matemática Numérica e Física em Engenharia 1

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1 Labratóri Cmputacinal de Física: uma Experiência de Ensin Integrad de Matemática Numérica e Física em Engenharia 1 Rubia M. Denardi Universidade Católica de Peltas, Escla de Infrmática Rua Félix da Cunha 412, Peltas, Brasil, rubiad@atlas.ucpel.tche.br Graçaliz P. Dimur Universidade Católica de Peltas, Escla de Infrmática Rua Félix da Cunha 412, Peltas, Brasil, liz@atlas.ucpel.tche.br Ana Amélia da C. Fagundes Universidade Católica de Peltas, Escla de Educaçã Rua Flix da Cunha 412, Peltas, Brasil, meluca@atlas.ucpel.tche.br Marc Antni F. Lessa Universidade Católica de Peltas, Escla de Educaçã Rua Felix da Cunha 412, Peltas, Brasil, mflessa@atlas.ucpel.tche.br ABSTRACT This wrks reprts the preliminary results btained frm experiment cncerning teaching integratin f Numerical Calculus and Physics curses fr Engineering students at Cathlic University f Peltas. The develpment f an interactive electrnic bk, using the sftware Maple and Internet resurces, is presented. The bk is abut numerical slutin f equatins and interplatin, with an interactive applicatin in the calculatin f RMUV - Rectilinear Mvement Unifrmly Varied. It is an interactive didactic material, cnsisted f theretical cncepts, examples, applicatins and exercises abut the subjects abve, which can be reslved with the help f the packages implemented in Maple. Engineering and Mathematics students are using the bk and the implemented prgrams, which have been integrated in a Web Page. Keywrds: curriculum integratin, numerical calculus, mathematical applicatin, sftware Maple, interactivity. RESUMO Este trabalh relata s resultads preliminares de uma experiência n ensin integrads de matérias de Cálcul Numéric e de Física para s Curss de Engenharia da Universidade Católica de Peltas. Apresenta-se desenvlviment de um livr eletrônic interativ, realizad cm auxíli d sftware matemátic Maple V e recurss da Internet. O livr cntempla cnteúds sbre sluçã numérica de equações e interplaçã, cm uma aplicaçã interativa n cálcul d MRUV - Mviment Retilíne Unifrmemente Variad. Cnsiste de um material didátic interativ, cmpst de cnceits teórics, exempls, aplicações e exercícis sbre s cnteúds trabalhads, que pdem ser reslvids cm auxíli ds pactes implementads n Maple. O livr e s prgramas implementads fram integrads em uma página da Web, e estã send utilizads pels aluns ds curss de Engenharia e Matemática em aulas de labratóri e através da Internet. Palavras-chave: ensin integrad, cálcul numéric, aplicações matemáticas, sftware Maple, infrmática na educaçã, interatividade. 1 Este trabalh fi parcialmente financiad pela FAPERGS e CNPq

2 1 INTRODUÇÃO 2 O bjetiv deste trabalh é integrar ensin de Física e de Cálcul Numéric ns curss de Engenharia da Universidade Católica de Peltas, prprcinand desenvlviment de materiais didátics e ferramentas cmputacinais interativs, cm auxíli de sftware matemátic e de recurss da Internet, que pssibilitem a prática de atividades semi e nã presenciais, cm desenvlviment de trabalhs cperativs, prmvend principalmente a aprendizagem autônma ds aluns. As ferramentas utilizadas fram sftware matemátic Maple [5,6,8] e recurss da Internet, utilizand cnceit de material didátic interativ prpst pel prjet ENSINET 2 - Ensin ds Fundaments Matemátics da Cmputaçã Via Internet na UCPel [1,3]. O material desenvlvid é utilizad em disciplinas de Física, ds curss de Engenharia Civil, Elétrica e Eletrônica, de Matemática, e na disciplina de Matemática Cmputacinal, d curs de Infrmática. O artig está rganizad cnfrme descrit a seguir. Na seçã 2, descreve-se papel da Internet e d sftware Maple cm ferramentas de integraçã curricular. Na seçã 3 descreve-se livr eletrônic. As aplicações na Física sã intrduzidas na seçã 4. Discutem-se s resultads na seçã 5. Na seçã 6 apresentam-se as cnclusões e cnsiderações finais. 2 O SOFTWARE MAPLE E A INTERNET COMO FERRAMENTAS DE INTEGRAÇÃO O Maple [5,6,8] é um sftware matemátic, que ferece cndições de cálculs numérics, manipulações algébricas e simbólicas, cm uma linguagem de prgramaçã funcinal. Dispnibiliza diverss prcediments e pactes para áreas específicas da matemática e estatística, cm álgebra linear, cálcul, matemática discreta e cmputacinal, etc. A variedade de pactes que integram ambiente, cntend uma ampla bibliteca de funções e perações, assim cm a facilidades d ambiente de prgramaçã d Maple, favrecem desenvlviment de nvs pactes para aplicações inicialmente nã dispníveis. Ist permite que Maple pssa ser utilizad amplamente cm ferramenta para auxiliar em diversas aplicações em Matemática, Estatística, etc., em curss de Matemática, Engenharia, Infrmática, etc. A intrduçã de sftware de cmputaçã algébrica n ensin de Matemática vem send adtada em diversas universidades [15]. Sã várias as experiências psitivas que pdem ser verificadas [9,10,14]. Nestas experiências, s sftwares de cmputaçã algébrica, cm Maple e Mathematica, pr exempl, auxiliam as aplicações em Matemática, facilitand cálculs e manipulações algébricas cmplicads. Ist pssibilita que nvas práticas de interpretaçã e de aprendizagem autônma pssam ser experimentadas, auxiliand n desenvlviment da capacidade d indivídu racicinar diante de situações que envlvam a resluçã de prblemas expresss matematicamente (algritms, fórmulas, sluções estranhas, gráfics, etc.). O cmputadr nã deve ser inserid na educaçã cm uma máquina de ensinar, cm seqüência de instruções prgramadas (infrmatizaçã instrucinista), mas sim cm uma infrmatizaçã cnstrucinista que permita a reflexã e cnstruçã de idéias a partir da relaçã prfessr, cmputadr, alun e cnheciment. Deve-se levar em cnta que cmputadr nã é principal referencial d prcess de ensin-aprendizagem, mas serve apenas cm uma ferramenta auxiliar [15]. Na cncepçã adtada neste trabalh, utiliza-se sftware Maple nã smente cm a ferramenta para auxíli nas experimentações matemáticas, mas também cm ambiente principal n desenvlviment da versã inicial d material didátic interativ, que é realizada pels aluns tutres. Durante desenvlviment da disciplina, a versã inicial d material didátic interativ é cmpletada e persnalizada pels própris aluns crrentes. Cada alun pde pernnalizar seu livr, inserind nvs exempls, aplicações e bservações próprias, cm prpst em [1,3]. Neste trabalh, Maple e a Internet fram utilizads cm ferramentas de integraçã curricular, para a integraçã de matérias das disciplinas de Matemática Cmputacinal e Física. Prprcinaram-se meis para desenvlviment de um livr eletrônic interativ e de uma página de api à sua utilizaçã pela Internet, pssibilitand que s aluns interajam cm essas matérias em um ambiente cmputacinal, utilizem seus cnheciments em aplicações integradas, e facilitand a prática de atividades nã presenciais pela Internet, cnfrme as idéias em [3,4,7,11,12,13]. 2

3 3 Veja utras experiências realizadas cm sftware Maple e Internet, na Escla de Infrmática da Universidade Católica de Peltas (UCPel), em O LIVRO ELETRÔNICO INTERATIVO A elabraçã d livr eletrônic 3 fi feita segund cnceit de material didátic interativ prpst em [1,3]. O livr é apiad pr pactes implementads n Maple. A implementaçã n Maple se dá através de prcediments que sã agrupads em pactes. Fram criads três pactes auxiliares: lagrange, mruv e raizes. O pacte lagrange destina-se à matéria de Interplaçã Plinmial. O pacte mruv é cmpst pr quatr prcediments: tmedi_vmedia_aceler, psic, velc, aceler, e destina-se às aplicações da matéria de Interplaçã n cálcul d MRUV Mviment Retilíne Unifrmemente Variad. O pacte raizes é cmpst pr nze prcediments: bissec, nbissec, falsaps, falsamd, nfalsaps, newtnr, nnewtnr, secante, nsecante, muller e nmuller, para tratament de métds para cálcul de raízes de equações. O livr apresenta uma parte teórica d cnteúd (veja Figura 3.1 e Figura 3.2 para um exempl relativ à intrduçã d Métd da Bisseçã para cálcul de raízes de equações), links para visualizaçã ds prcediments criads, exempls cm a utilizaçã ds cmands vists na teria (cm na Figura 3.3) e exercícis prpsts (cm na Figura 3.4). Cm auxíli d livr interativ, alun ainda pderá utilizá-l para acrescentar as próprias antações da matéria. O principal bjetiv d desenvlviment desse material é pssibilitar autnmia para alun criar suas próprias situações de aprendizagem. A característica fundamental desse tip de material didátic é a pssibilidade de que cada alun faça suas próprias antações, mdifique s prcediments prgramads para a sluçã ds exercícis, crie seus própris exempls e situações, e implemente nvs prcediments para slucinar s prblemas que ele prpôs. A final de cada seçã, alun pde salvar tdas as mdificações realizadas na estrutura básica de seu livr eletrônic, estimuland assim a experimentaçã e a participaçã d alun n frmat final da sua versã pessal d livr eletrônic. Figura 3.1 Apresentaçã d Métd da Bisseçã para cálcul de raízes de equações. 3 Versã inicial dispnível em

4 4 Figura 3.2 Ilustraçã gráfica d Métd da Bisseçã para cálcul de raízes de equações. Figura 3.3 Exempl de utilizaçã ds prcediments bissec e nbissec d pacte raízes.

5 5 Figura 3.4 Exempls de exercícis prpsts as aluns. Raízes de Equações O primeir capítul d livr eletrônic trata sbre raízes de equações, u zers de funções. Os métds iterativs para cálcul das raízes de equações algébricas u transcendentes abrdads neste capítul sã classificads segund a denminaçã encntrada em [2]: Métds de Quebra: Bisseçã, Falsa-Psiçã e Falsa-Psiçã Mdificad; Métds de Pnt Fix: Newtn-Raphsn; Métds de Múltipls Passs: Secante e Müller. Os métds de quebra sã s mais intuitivs gemetricamente; n entant, sã s que cnvergem mais lentamente. Esses métds sã assim chamads prque a partir de um interval que cntenha uma raiz de f(x) = 0 vai-se subdividind esse interval em utrs menres, cm a cndiçã de que ainda cntenham a raiz prcurada. Para s métds de quebra fram implementads s seguintes prcediments: bissec(f,a,b,n,err), nbissec(f,a,b,n,err), falsaps(f,a,b,n,err), nfalsaps(f,a,b,n,err), falsamd(f,a,b,n,err), nde [a,b] é interval inicial que cntém a raiz de f(x) = 0, n é númer máxim de iterações permitidas e err é definid de acrd cm a precisã desejada. Os prcediments nbissec e nfalsaps, além de calcularem a raiz exata u aprximada, mstram tdas as iterações efetuadas. Uma alternativa para s métds de quebra é apresentada pels Métds de Pnt Fix (MPF). Dizems que um pnt u é pnt fix da funçã g: quand tems g(u) = u. Um MPF pde ser criad transfrmand-se a equaçã f(x) = 0, cuja raiz é prcurada, na equaçã equivalente x = g(x). Nesta equaçã, a partir de uma aprximaçã inicial x 0, gera-se a seqüência {x k } de aprximações para a raiz a ser encntrada, pela relaçã: x i+ i = g( xi ). Fram implementads dis prcediments para métd de Newtn-Raphsn, que sã:

6 newtnr(f,x0,nmax,err), nnewtnr(f,x0,nmax,err), nde x0 é uma aprximaçã inicial da raiz de f(x) = 0, nmax é númer máxim de iterações permitidas e err é definid de acrd cm a precisã desejada. 6 Os métds de múltipls passs sã chamads de unipntuais cm memória, pis, a cntrári ds anterires, estes métds usam s valres de f e suas derivadas, se fr cas, ns pnts anterires. O exempl mais cnhecid é métd das Secantes [2]. N métd das Secantes partims de duas aprximações iniciais x 0 e x 1 e determinams a reta que passa pr (x 0, f(x 0 )) e (x 1, f(x 1 )). A interseçã dessa reta cm eix x = 0 determina a próxima aprximaçã x 2. Cntinuams prcess a partir de x 1 e x 2. Para métd das Secantes fram implementadas s prcediments: secante(f,x0,x1,nmax,err), nsecante(f,x0,x1,nmax,err), nde x0 e x1 sã as aprximações iniciais da raiz de f(x) = 0, nmax é númer máxim de iterações permitidas e err é definid de acrd cm a precisã desejada. O métd de Müller é uma extensã d métd da Secante. A idéia d métd é a seguinte: tmam-se três pnts distints (x 0,p(x 0 )), (x 1,p(x 1 )) e (x 2,p(x 2 )) e btém-se plinômi interpladr g(x) sbre esses três pnts. O nv valr x 3 será btid determinand-se as raízes de g(x). Cm s pnts (x 1 p(x 1 )), (x 2,p(x 2 )) e (x 3, p(x 3 )), repete-se prcess, até que se tenha alcançad a exatidã desejada [2]. Para algritm de Müller fram implementads s prcediments: muller(f,m1,m2,m3,n,err),nmuller(f,m1,m2,m3,n,err), nde m1,m2,m3 sã as aprximações iniciais da raiz de f(x) = 0, n é númer máxim de iterações permitidas e err é definid de acrd cm a precisã desejada. Veja a Figura 3.5 para um exempl de aplicaçã d Métd de Muller. Interplaçã Figura 3.5 Exempl de aplicaçã d Métd de Müller. O segund capítul d livr trabalha cm interplaçã. A interplaçã é uma das técnicas mais antigas e básicas d cálcul numéric, largamente utilizada para cálcul de valres das funções transcendentes. É muit utilizada para s cass nde é realmente difícil calcular valr da funçã u ainda quand nã cnhecems a expressã da funçã, mas pssuíms um cnjunt de valres que em geral sã btids através de experiments [2]. Cm aplicaçã ds métds de interplaçã trabalhads fi desenvlvid um prgrama para cálcul d MRUV (Mviment Retilíne Unifrmemente Variad), descrit cm detalhes na seçã seguinte.

7 Seja a funçã f: R R, cnhecida apenas ns pnts da Tabela 3.1. Supnha que se deseja saber valr f(x) n pnt x [x i, x j ], x p x j ; i,j = 0, 1,..., n. 7 Tabela 3.1 Valres cnhecids da funçã f x 0 x 1 x 2 x 3... x n f 0 f 1 f 2 f 3... f n Utilizand-se a Interplaçã Linear, traçam-se segments de reta (plinômis de primeir grau) através de cada par de pnts da tabela. Para tant, determina-se um plinômi de primeir grau f ( x) a0 + a1x ( x, f ( )) e ( x f ( x ) =, que cntenha s pnts i x i i+ 1, i+1. Encntram-se s valres de a 0 e a 1, reslvend-se um sistema linear de duas equações cm duas incógnitas, btend-se: a0 = xi+ 1 * f ( xi ) xi * f ( xi+ 1), a1 = xi+ 1 xi f ( xi+ 1) - f ( xi ). xi+ 1 xi Na Interplaçã Quadrática, traça-se um plinômi d segund grau através de cada cnjunt de três pnts: x i-1, x i, 2 x i+1, nde entã f(x) é dada pr: ( x) a a x a f = x, resultand em um sistema de 3 equações (SELA) cuja sluçã determina s valres de a 0, a 1 e a 2. Para as aplicações cm interplações linear e quadrática fi utilizad prcediment interp(x,y,v), já existente n Maple, nde x representa uma lista u um vetr de valres para x, y é também uma lista u um vetr que alca s valres de y e v é a variável da expressã. Na interplaçã linear trabalha-se cm duas entradas para cada lista, x e y, para bterms a funçã interpladra de primeir grau. Na interplaçã quadrática precisa-se de três entradas para cada lista, u seja, três entradas para x e três entradas para y, para bter uma funçã de segund grau. Sempre se utiliza uma entrada a mais d que grau que se deseja bter. Utilizam-se s plinômis de Lagrange para facilitar a determinaçã d plinômi interpladr, sem cálcul d SELA. Fi implementada a funçã lagrange(x,y,v), para cálcul d plinômi interpladr, nde x representa uma lista u um vetr de valres para x, y também uma lista u um vetr que alca s valres de y e v é a variável da expressã. Veja uma aplicaçã na Figura 3.6. Figura 3.6 Aplicaçã d prcediment lagrange.

8 4 APLICAÇÕES EM FÍSICA 8 Atualmente Labratóri de Física da Universidade Católica de Peltas dispõe de váris sftwares para ensin de física, utilizads pr aluns ds curss da área de Ciências Exatas e Tecnlógicas e da área de Educaçã. Para ensin de cinemática, mais especificamente para estud de mviment retilíne unifrmemente variad (MRUV), está dispnível um prgrama implementad em linguagem Pascal. Percebend-se a necessidade de melhrar a interface d prgrama em questã, surgiu a idéia de implementaçã em linguagem de prgramaçã Maple. Esta linguagem fi esclhida pr ter uma interface amigável, principalmente n md gráfic, assim cm pr seus recurss matemátics. A implementaçã d prgrama Maple permitiu planejament de aplicações integradas n ambiente Labratóri de Física (veja Figura 4.1), envlvend matérias de Cálcul Numéric e Física, utilizand-se livr eletrônic e recurss da Internet. Em aulas n Labratóri de Física, s aluns seguem alguns prcediments para cálcul d MRUV. É realizad um experiment, n qual dispõem de um trilh, um vlante e um crnômetr para bterem temp gast em determinads deslcaments. Os dads cletads pels aluns sã antads em uma tabela, cnfrme a Tabela 4.1. As psições variam de 0 a 100 cm, send que para cada psiçã alun deverá cntar temp três vezes. Ele mesm faz cálcul d temp médi, velcidade média e aceleraçã. Também elabra s gráfics em papel milimetrad. Depis de ter cmpletad tds s exercícis da flha, alun passa a micrcmputadr para cnferir suas respstas n prgrama MRUV. Figura 4.1 Ambiente de aplicações integradas

9 9 Tabela 4.1 Dads cletads pels aluns 4 Psiçã t1(s) t2(s) t3(s) tm(s) Vm(cm/s) ac(cm/s 2 ) 10 cm cm cm cm cm cm cm cm cm cm Prcediment para cálcul d temp médi, velcidade média e aceleraçã O prcediment para entrada de psições e seus respectivs valres de temp fi implementad de uma maneira muit simples, mas que atende as necessidades d alun, que é cnferir s resultads btids cm a cleta ds dads. Para cada psiçã, alun mede três temps para, a seguir, calcular temp médi, velcidade média e aceleraçã para cada linha da tabela. O prcediment que faz cálcul destas medidas é tmedi_vmedia_aceler(x,t,nl) e slicita as seguintes entradas: psiçã(x), lista de 3 temps(t), númer da linha da tabela(nl). N interir d prcediment estã alcadas quatr variáveis glbais, que sã: tm, ps, vm e ac. Sã variáveis de tip lista que recebem respectivamente s valres de temp, psiçã, velcidade e aceleraçã. Essas variáveis glbais pdem ser chamadas fra d prcediment u em utrs prcediments (veja Figura 4.2), n cas s gráfics. Prcediments para s gráfics Os prcediments gráfics recebem cm entradas s dads btids a partir d prcediment tmédi_vmedia_aceler. Sã três s prcediments gráfics pertencentes a pacte mruv: psic(t,x), velc(t,v) e aceler(t,a). Ns prcediments gráfics, usuári nã precisa entrar cm s valres de t, x e a (que crrespndem respectivamente as valres d temp médi, velcidade média e aceleraçã). Basta referenciar as variáveis tm, ps e ac, pis cm sã glbais, já estã alcadas desde mment da primeira execuçã d prcediment tmedi_vmedia_aceler, cm mstra exempl da Figura 4.3. Prtant, s prcediments gráfics só pderã ser executads após cálcul d MRUV, u seja, depis d cálcul d temp médi, velcidade média e aceleraçã. 4 Fnte: Labratóri de Física

10 10 Figura 4.2 Exempl d cálcul de tm, ps e ac Figura 4.3 Exempl de prcediment gráfic Em tds s prcediments fi usad recurs da interplaçã para a btençã de curvas d mviment, e também prcediment pintplts, pertencente a pacte plts d Maple, para a visualizaçã ds pnts crrespndentes a cada medida encntrada. Para a utilizaçã ds prcediments gráfics, além de carregar pacte mruv, carrega-se também pacte plts. Este últim pacte pssui várias funções gráficas, cm exempl pintplts. Na funçã psic(t,x) sã slicitads três valres para cada variável, pis fi usad recurs da interplaçã quadrática, especificamente prcediment interp(x,y,z), para a btençã da parábla d mviment. Ns prcediments velc(t,v) e aceler(t,a), trabalha-se cm dis valres para cada variável devid a us da interplaçã linear, para a btençã da reta d mviment.

11 5 RESULTADOS Durante segund semestre de 2000 fi apresentad as aluns das disciplinas de Física I ds curss de Engenharia Civil, Elétrica e Eletrônica e para curs Licenciatura em Química da UCPel nv prgrama para cálcul d MRUV. 11 Na aplicaçã d instrument de avaliaçã bservu-se e levu-se em cnsideraçã a falta de cnheciment na utilizaçã d cmputadr pr parte d alun. Os aluns ds curss de Engenharia já tinham feit experiment e utilizad prgrama de MRUV em Pascal para a bservaçã e cmparaçã cm s dads btids na experiência. Os aluns da licenciatura em Química utilizaram s dis prgramas a mesm temp. Slicitu-se que eles bservassem e cmparassem s dis prgramas quant às instruções iniciais, facilidade de entrada de dads, crreçã de dads, elabraçã ds gráfics e cmparaçã entre a curva experimental (curva btida a partir ds dads d experiment feit pel alun) e a curva teórica (curva btida através da interplaçã). Quant às instruções de us bservu-se que n prgrama em Pascal elas estã fracinadas em várias telas, facilitand a leitura pr parte ds aluns, a cntrári d Maple, que se apresentam as instruções em uma única tela. N que diz respeit à entrada de dads, cnstatu-se que embra s aluns nã apresentassem dificuldade em nenhum ds dis prgramas, Pascal e Maple, n primeir prcediment é mens trabalhs. Na crreçã de dads prgrama em Maple apresentu-se mais simples e dinâmic d que Pascal, que realmente entusiasmu s aluns. Além diss, cnfrme pde ser verificad pela análise da Figura 4.3 (prgrama Maple) e Figura 5.1 (prgrama Pascal), ficu evidente que s resultads frnecids pel prgrama Maple sã muit mais exats d que s d prgrama Pascal (cm já era esperad), refletind em traçads de curvas mais fieis. Este aspect é imprtante, pis a inexatidã d prgrama Pascal freqüentemente trazia frustrações às expectativas ds aluns n mment em que cnferiam seus resultads. Figura 5.1 Falta de exatidã d prgrama Pascal ns prcediments de interplaçã. 6 CONCLUSÕES E CONSIDERAÇÕES FINAIS Cnsidera-se que este trabalh fi mais um pass n estabeleciment de um prcess de ensin integrad, entendid ns terms apresentads anterirmente, prpst em [3,4]. As aplicações de Matemática Numérica em Física, selecinadas pr prfessres dessas duas áreas, integradas em um ambiente implementad cm clabraçã de aluns e prfessres da Infrmática, que, pr sua vez, fi testad e avaliad

12 pr aluns de Engenharia e Química, cnstituem um exempl cncret que a integraçã pretendida é pssível e as barreias entre as diversas áreas d cnheciment pdem ser superadas. 12 Ressalta-se a imprtância, para a realizaçã deste trabalh, da utilizaçã de recurss de sftware e de cmunicaçã - aqui centrads n Maple e na Internet. Salienta-se que desenvlviment d material educacinal interativ, cm livr eletrônic desenvlvid, visa, nã apenas a distribuiçã ds cnteúds das disciplinas, mas também a prmçã da iniciativa e a integraçã ds aluns, assim cm a integraçã das diversas matérias envlvidas. A aplicaçã de recurss matemátics em utras áreas (Engenharia, Física, Química, etc.) através d sftware Maple, d livr eletrônic e d ambiente Labratóri de Física, pssibilita as aluns de utrs curss adaptarem-se cm ambiente cmputacinal de ensin. Assim, cnsidera-se que é imprtante e viável uma prpsta pedagógica que clque n eix central d currícul as atividades de estud e pesquisa autnmamente desenvlvidas pels aluns. A participaçã crescente ds aluns n seu própri prcess de aprendizagem e de seus clegas é um fatr mtivadr e geradr de uma cnsciência da respnsabilidade e da capacidade de cada um, e d grup cm um td, na cnstruçã da base d futur prfissinal. REFERÊNCIAS 1. Alves, G. V., Miranda, R. M., Islabã, M. H., Dimur, G. P., Csta, A. C. R., Duarte, G. D. Materiais Didátics Interativs para Ensin Integrad ds Fundaments da Cmputaçã. In: CLEI Cnferencia Latinamericana de Infrmatica, 2000, Atizapán de Zaragza. Memrias... Cidade d Mexic: TEC de Mnterrey, v.1. p Claudi, D.M.; Marins, J. M. Cálcul Numéric Cmputacinal. 2 ª ediçã. Sã Paul: Atlas p. 3. Dimur, G. P., Csta, A. C. R., Rdrigues, F. P. M. Uma Experiência de Ensin Integrad ds Fundaments Matemátics da Ciência da Cmputaçã. Revista Brasileira de Infrmática na Educaçã, Flrianóplis, n.7, p.1-12, ESIN/UCPel. Prjet Pedagógic da Escla de Infrmática. Peltas: ESIN/UCPel, p. (dispnível pr WWW em 5. Heak, A. Intrductin t Maple. New Yrk: Springer p. 6. Heal, K. M.; Hansen, M. L.; Rickard, K. M. Maple V: Learning Guide. Springer: New Yrk, (Série Waterl Maple) 7. Hernandez, F. ;Ventura, M. A rganizaçã d currícul pr prjets de trabalh. Prt Alegre: Editra Artes Médicas, ( 5 a ediçã) 8. Mnagan, M. B. et al. Maple V: Prgramming Guide. Springer: New Yrk, (Série Waterl Maple) 9. Oliveira, P. W.; Silveira, F. R.; Claudi, D.M. Gemetria Analítica: Um enfque cmputacinal. Prt Alegre: FAMAT/PUCRS, p. 10. Rdrigues, A. R. S. Intrduçã às Funções Reais : um enfque cmputacinal. Ri de Janeir: Departament de Métds Matemátics da UFRJ, p. 11. Rdrigues, F. P. M. Os Curss de Infrmática da UCPel. In: Wrkshp sbre Educaçã em Infrmática e Cngress Iber-American de Educaçã Superir em Infrmática, 4., 1995, Canela. Prt Alegre: II/UFRGS, p Rdrigues, F. P. M. Prática d Prfessr n Ensin de Infrmática. Peltas: EDUCAT, 1998a. 112p. 13. Rdrigues, F. P. M. Alguns indícis de invações n ensin de Infrmática na Universidade Católica de Peltas. In: Cngress da SBC, 18., 1998, Bel Hriznte. Anais... Bel Hriznte: SBC, 1998b. p Silveira, F. A. R. Utilizaçã d Mathematica cm Ferramenta de Api a Ensin de Matemática. Prt Alegre: PUCRS, (Dissertaçã de Mestrad) 15. Taneja, I. J. MAPLE V Uma Abrdagem Cmputacinal de Ensin de Cálcul. Flrianóplis: Ed. Da UFSC, p.