Evolutas e filtros. Noções antigas e problemas modernos. Carlos J. S. Alves. CEMAT Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico

Tamanho: px

Começar a partir da página:

Download "Evolutas e filtros. Noções antigas e problemas modernos. Carlos J. S. Alves. CEMAT Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico"

José Martini Lage
8 Há anos
Visualizações:

1 Evolutas e filtros Noções antigas e problemas modernos Carlos J. S. Alves CEMAT Departamento de Matemática Instituto Superior Técnico

2 Pequeno enquadramento histórico AC Antiguidade (Grécia) Geometria - axiomatização Construção por Régua e Compasso 400 DC 1500 DC 1600 DC 1700 DC Idade Média Desenvolvimento algébrico India, Islão, Europa: tentativa de resolução da equação 3º grau Renascimento Italiano Tartaglia, Cardan, Resolução - equações 3º, 4º grau Desenvolvimento do Cálculo Fermat, Descartes, Leibniz, Newton, Bernoulli Geometria Analítica Régua - Tangente Compasso - Evolutas

resolução da equação 3º grau Renascimento Italiano Tartaglia, Cardan, Resolução - equações 3º, 4º grau

3 Evolutas - motivação geométrica B aproximação local de uma curva através de uma recta (na vizinhança do ponto B) Tangente no ponto B Jacob Bernoulli ( ) 4 Circunferência osculante no ponto B B C f A P aproximação local de uma curva através de uma circunferência (na vizinhança do ponto B) -3 Espiral logarítmica Eadem Mutata Resurgo

osculante no ponto B 3 2 1 B C f -3-2 -1 1 2 3-1 -2 A P aproximação local de uma curva

4 Evolutas - dedução da fórmula Para uma abcissa z encontrar o centro (x, y) (x,y) da circunferência osculante y y em que T(x) = Há f ( z f ( z h) = T ( z + h) = T ( z 1. f'(x) h)( x ( z + h)( x ( z h)) + h)) que resolver o sistema e fazer h 0. Z-h z Z+h Funções Curvas 2D

5 Evolutas - exemplos Parábola f(x) = x 2-3x-1 Posição dos centros de curvatura Elipse (2 cos(t), sin(t) ) Astróide (cos 3 (t), sin 3 (t) ) Variação do raio de curvatura Ciclóide (t-sin(t), 1-cos(t)) Evoluta ~ Involuta

6 Evolutas - outros exemplos Catenária (fios suspensos) Espiral logarítmica (evoluta ~ involuta) espiral de ouro Tractrix (trela do cão)

7 Evolutas - exemplo de aplicação... determinação de centros de curvatura Historicamente, muitas estruturas foram desenhadas recorrendo a régua e compasso.... Como recuperar essa informação? Esquema de construção de um navio Uma elipse pode ser desenhada aproximadamente colocando o compasso nos centros de curvatura

foram desenhadas recorrendo a régua e compasso.... Como recuperar essa informação?

8 Evolutas - exemplo de aplicação é possível determinar como foi feito um desenho? Esquema de construção de um navio

9 Evolutas - Um problema de arqueologia A partir de poucas medições tentar saber como foi desenhado o casco de um barco: 3 centros - Bulgária 1 centro - Portugal Apenas dispomos de alguns pontos Inconclusivo face aos dados - dados - Filipe Castro (U.Texas-Austin) - simulação - C.A. & S. Valtchev (IST)

1500 15000 10000 5000 0-5000 -10000 50 0-1500 -1000-500 0 500 1000 1500 Apenas dispomos de alguns pontos.

10 Evolutas - Exemplos de aplicação Até que ponto é circular a baía de S. Martinho do Porto? Apenas podemos retirar pontos... Precisamos de uma função 2 vezes diferenciável Possíveis soluções: - Interpolação / mínimos quadrados - Regularização por filtros...

.. Precisamos de uma função 2 vezes diferenciável Possíveis

11 Regularização - filtros Como lidar com informação imprecisa, com ruído? f(x)=sin(x)+0.1sin(15x) perturbação O cálculo da evoluta é largamente afectado pela perturbação Evoluta com perturbação Evoluta sem perturbação

12 Regularização - filtros Filtro simples (grau 0) 4 3 original 4 3 ε +ε ε= ε=0.2 ε=0.4

13 Regularização - filtros Filtro simples (grau 0) ε 1/(2ε) +ε Não é possível definir uma derivada clássica funções de Heaviside >>> deltas de Dirac A função de filtro R ε permite regularizar a função original f. f(0) = < f, δ > = R f(x) δ(x) dx f(0) < f, R ε > = R f(x) R ε (x) dx = [-ε,ε] f(x) 1/(2ε) dx = f(ξ) [-ε,ε] 1/(2ε) dx = f(ξ), com ξ [ ε,ε] (teorema do valor intermédio em integrais) Outros pontos (y qualquer) f(y) = < f, δ(. y) > < f, R ε (. y) >

f(0) = < f, δ > = R f(x) δ(x) dx f(0) < f, R ε > = R f(x) R ε (x) dx = [-ε,ε] f(x) 1/(2ε) dx = f(ξ) [-ε,ε] 1/(2ε)

14 Regularização - filtros Filtro simples (grau 1) 1/ε É possível definir uma derivada seccionalmente ε +ε ε +ε As mesmas ideias podem ser aplicadas à derivação: Mas não uma 2ª derivada >>> deltas de Dirac < f ', R > = [-ε,ε] f '(x) R(x) dx = [-ε,ε] f(x) R'(x) dx = < f, R' > (integração por partes: notar que R(± ε)=0) Isto permite introduzir a noção de derivaçãofraca derivação para funções não diferenciáveis no sentido clássico

$Isto permite introduzir a noção de derivaçãofraca derivação para funções não diferenciáveis no sentido$

15 Regularização - filtros Filtro simples (spline) Filtro geral (exponencial) C 1 C ε +ε Permite aproximar 2ª derivada, com funções seccionalmente polinomiais ε +ε Permite aproximar qualquer derivada a figura: R(x) = K exp (-1/(1-x 2 )) para x <1, R(x) = 0, caso contrário >> é infinitamente diferenciável, mas não é analítica K~2.25 (normaliza área=1)

aproximar qualquer derivada a figura: R(x) = K exp (-1/(1-x 2 )) para x <1, R(x) = 0,

16 Evolutas com filtros aplicação às medições pontuais que definem a linha de água na fotografia aérea da baía Linha que une os pontos medidos (que definem a baía) Pontos da linhaevoluta definidos após regularização por filtro de ordem 2

une os pontos medidos (que definem a baía) 100 0-100 0 200 400 600 800

17 Outras curvas Diacáusticas (curvas definidas por envelope de refracção) Aplica-se à refracção pela lei de Snell-Descartes (exemplos de lentes e raios de refracção associados) -4

$-2-6 Aplica-se à refracção pela lei de$

Documentos relacionados

Curva de Um Cabo Suspenso

Curva de Um Cabo Suspenso Rios, João Vianey Vasconcelos Silva, Maria Ilsangela Praciano - Pereira, T 13 de novembro de 2008 Departamento de Matemática Universidade Estadual Vale do Acaraú - UVA Pré-Prints