Movimento em 1D. Objetivos: Descrever o movimento de um corpo em 1 dimensão; Resolver problemas de movimento em 1D a aceleração constante.

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Adriana Antas Galvão
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1 Movimento em 1D Objetivos: Descrever o movimento de um corpo em 1 dimensão; Resolver problemas de movimento em 1D a aceleração constante.

2 Movimento em 1D Limitações do problema tratado: o corpo não possui forma ou dimensões, é um ponto; a causa do movimento não será abordada aqui; o movimento ocorre apenas ao longo de um único eixo.

3 Posição (x) Considere o movimento de um corpo pontual se deslocando ao longo de um eixo horizontal: t = 2s t = 3s t = 0 t = 1s x (m) Tempo (s) Posição (m) 0,0 2,0 1,0 4,0 2,0-2,0 3,0 2,0

horizontal: t = 2s t = 3s t = 0 t = 1s -2-1 0 1 2

4 Posição (x) Algumas observações sobre este movimento: A posição somente é conhecida nos instante em que esta é medida. Nada se pode afirmar sobre a posição deste corpo entre duas medidas quaisquer. ou seja, no intervalo 0 a 1s nada indica que o corpo esteja entre as posições 2,0m e 4,0m

Nada se pode afirmar sobre a posição deste corpo entre duas medidas

5 Variação da Posição (Δx) Definição: Δ x=x f x i Unidade: [Δ x]=[x f x i ]=m Observações: Na simbologia matemática é de praxe usar a letra grega delta (Δ) para expressar a variação de uma grandeza; Como uma notação pessoal usarei os colchetes, [ ], para simbolizar a extração das unidades das grandezas em seu interior.

para expressar a variação de uma grandeza; Como uma notação pessoal usarei os

6 Variação da Posição (Δx) Calculando as variações de Posição: x (m) Δ x 23 =+ Δ x4,0mδ 12 = 6,0 xδ 04 x=0,0 m 01 =+ 2,0m Intervalo: 0 1s Δ x 01 =x 1 x 0 =4 2=+ 2,0m Intervalo: 1s 2s Δ x 12 =x 2 x 1 = 2 4= 6,0 m Intervalo: 2s 3s Intervalo: 0 3s Δ x 23 =x 3 x 2 =2 ( 2)=+ 4,0 m Δ x 03 =x 3 x 0 =2 2=0,0 m

01 =x 1 x 0 =4 2=+ 2,0m Intervalo: 1s 2s Δ x 12 =x 2 x 1 = 2 4= 6,0 m

7 Velocidade Média (v m ) Definição: v m ou v= Δ x Δ t v= x f x i t f t i Unidade: [v]= [Δ x] [Δ t ] = m s =m/s

8 Velocidade Média (v m ) Calculando as velocidades médias em alguns intervalos: Intervalo 0 1s: v 01 = Δ x 01 = x 1 x 0 = (4 2) =+ 2,0m/s Δ t 01 t 1 t 0 (1 0) Intervalo 1s 2s: v 12 = Δ x 12 Δ t 12 = x 2 x 1 t 2 t 1 = = 6,0m/ s Intervalo 1s 3s: v 13 = Δ x 13 = x 3 x 1 = 2 4 Δ t 13 t 3 t = 1,0 m/s Intervalo 0 3s: v 03 = Δ x 03 = x 3 x 0 = 2 2 =0,0 m/s Δ t 03 t 3 t 0 3 0

t 12 = x 2 x 1 t 2 t 1 = 2 4 2 1 = 6,0m/ s Intervalo 1s 3s: v 13 = Δ x 13 = x 3 x 1 = 2 4 Δ t

9 Equação do movimento Considere o movimento de um corpo onde sua posição, em qualquer instante, é conhecida por meio de uma expressão matemática, com no exemplo a segui: A posição de um corpo é dado pela equação: x(t)=5t 2 20t+ 15 onde x é dado em metros e t em segundos.

expressão matemática, com no exemplo a segui: A posição de um corpo

10 Equação do movimento Para este movimento responda: (a) qual a posição deste corpo nos instantes 0; 1; 2; 3; 4s? (faça o gráfico espaço x tempo do movimento) (b) sua velocidade média nos intervalos: i. 0 a 1s; ii. 1 a 4s; iii.2 a 4s (c) qual a velocidade deste corpo no instante 3s?

(faça o gráfico espaço x tempo do movimento) (b) sua velocidade média

11 Equação do movimento (a) qual a posição deste corpo nos instantes 0; 1; 2; 3; 4s? (faça o gráfico espaço x tempo do movimento) t (s) x (m) x(0)= =15m x(1)= =0 x(2)= = 5 m x(3)= =0 x(4)= =15m

(faça o gráfico espaço x tempo do movimento) t (s) x (m) 0 15 1 0 2-5

12 Equação do movimento (a) sua velocidade média nos intervalos:... Intervalo 0 1s: v 01 = Δ x 01 = x 1 x 0 = (0 15) Δ t 01 t 1 t 0 (1 0) = 15,0 m/s Intervalo 1s 4s: v 14 = Δ x 14 = x 4 x 1 = 15 0 =5,0 m/ s Δ t 14 t 4 t Intervalo 2s 4s: v 24 = Δ x 24 = x 4 x 2 = 15 ( 5) =10,0m/s Δ t 24 t 4 t 2 4 2

15,0 m/s Intervalo 1s 4s: v 14 = Δ x 14 = x 4 x 1 = 15 0 =5,0 m/ s Δ t 14 t

13 Velocidade (v) (c) qual a velocidade deste corpo no instante 3s? Como calcular a velocidade instantânea (em um instante) se a definição que se dispões necessita de dois instantes diferentes? v ii = Δ x ii Δ t ii = x i x i t i t i = 0 0 indeterminado!

a definição que se dispões necessita de dois instantes

14 Velocidade (v) Uma boa forma de resolver este problema é representando graficamente a velocidade do gráfico espaço tempo. Primeiro vou calcular algumas velocidades média, tomando como ponto final sempre o instante 3s, e como inicial os instantes: 0; 1s; 2s; 2,5s; 2,9s; 2,99s; 2,999s; ou seja um instante sempre menor que 3s, mas se aproxima indefinidamente de 3s.

Primeiro vou calcular algumas velocidades média, tomando como ponto final sempre o

15 Velocidade (v) A tabela a segui apresenta os cálculos destas velocidades: t i (s) x i (m) t f (s) x f (m) Δt (s) Δx (m) v m (m/s) ,5-3, ,5 3,75 7,5 2,9-0, ,1 0,95 9,5 2,99-0, ,01 0,0995 9,95 2,999-0, ,001 0, ,995

0 3 0 2 0 0 2-5 3 0 1 5 5 2,5-3,75 3 0 0,5 3,75 7,5 2,9-0,95 3 0 0,1 0,95

16 Velocidade (v) Em seguida estas velocidades serão marcadas no gráfico espaço x tempo, representados por uma reta que liga o instante inicial ao final. Graficamente percebe-se que: a velocidade média é a inclinação da reta que liga o instante inicial ao final, no v gráfico espaço x tempo 0 3s a velocidade instantânea v 1s 3s é v a v 2,99s 3s 2,5 2,9s 3s inclinação 2s 3s no gráfico espaço x tempo, no instante desejado.

Graficamente percebe-se que: a velocidade média é a inclinação da reta que liga o instante inicial ao

17 Velocidade (v) No limite em que Δt 0 a velocidade média se torna a velocidade instantânea v= lim Δ t 0 Δ x Δ t v= d x d t ou v= d d t x Como um operador que atua sobre a posição e me gera a velocidade instantânea.

18 A derivada A seguir é apresentado a fórmula da derivada de polinômios: d d t (t n )=nt n 1 com n um número real qualquer, diferente de 0 Alguns exemplos: d d t (t 3 )=3 t 3 1 =3t 2 d d t (t 5 )=5 t 5 1 =5t 4

19 A derivada Mais alguns exemplos: d d t (t)= d d t (t1 )=1t 1 1 =1 d d t (6t 2 )=6 d d t (t2 )=6 2t 2 1 =12t d d t (3t2 + 5t+ 20)=3 d d t (t 2 )+ 5 d d t d d t (6)=0 Derivada de uma constante é sempre nulo. (t)+ 0=3 2t+ 5=6t+ 5

20 Velocidade (v) Retornando ao problema, a velocidade em 3s pode ser facilmente encontrada: v= d x d t = d d t ( 5 t 2 20 t+15)=5 d t2 d t 20 d t d t + d 15 d t v=5 2t t =10t 20 v(t)=10 t 20 Esta é equação para a velocidade, deste corpo, em qualquer instante! v(3s)= v(3s)=10 m/ s

t d t + d 15 d t v=5 2t 2 1 20 1t 1 1 +0=10t 20 v(t)=10 t 20 Esta é

21 Aceleração Média (a m ) Como feito com a velocidade, a definição da aceleração começa pela aceleração média: a= Δ v Δ t abrindo a expressão: a= v f v i t f t i Observe que as velocidades que aparecem nesta equação são instantâneas! Unidade: [a]= [Δ v] [Δ t] =m/s s =m/s2

22 Aceleração (a) A aceleração instantânea é definida a partir da aceleração média como: a= lim Δ t 0 Δ v Δ t Ou, através da derivada: a= d v d t

23 Aceleração (a) Continuando o exercício anterior, responda: (d) qual a aceleração média deste corpo no intervalo de 1s a 4s? (e) qual a sua aceleração em 3s?

24 Aceleração (a) (d) qual a aceleração média deste corpo no intervalo de 1s a 4s? a= Δ v Δ t = v f v i t f t i onde, para este problema: v(t)=10 t 20 t i =1s v i =v(1s)= = 10m /s t f =4s v f =v(4s)= =20m /s a= 20 ( 10) 4 1 = 30 3 =10m/s2

25 Aceleração (a) (d) qual a sua aceleração em 3s? a= d v d t = d d t (10t 20)=10 d d t (t)+ d d t (20)=10m/ s2 a=10m/s 2 constante! Isto ocorre pois a equação da posição é um polinômio de segundo grau e a cada derivação este polinômio decresce seu grau. x(t)=5t 2 20t+ 15 v(t)=10t 20 a=10m /s 2

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