ESTABILIDADE & SINTONIA

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1 ESTABILIDADE & SINTONIA MV ( t ) = d CV K c E ( t ) + E ( t') dt' T d + TI dt I 2 v TC No! or v2 Yes! Nós afetamos a estabilidade quando implementamos o controle. Como garantir a estabilidade do sistema?

2 ESTABILIDADE & SINTONIA Primeiro vamos definir estabilidade: Um sistema é estável se toda entrada limitada i resulta uma saída limitada i Exemplos Entradas Processo Exemplos Saídas.5.5 limit tada Feed T F T2 T4 T5 T3 T6 P L Vapor product limit tada F2 Process fluid F3 Steam A L. Key Liquid product ilimita ada ilimita ada

3 ESTABILIDADE & SINTONIA G(s) () = Y(s)/X(s) () () Vamos rever como determinar a estabilidade de um modelo Sejam α, α 2, raízes do polinômio denominador de G(s) α t α t ) p Y( t) = A + A e + A e ( B + B t + B t + e + Raízes reais e distintas α qt... + [ C cos( t ) + C sin( ω t )] e + ω 2 Raízes complexas... Se todos α i estão???, Y(t) é estável Se algum α i está???, Y(t) é instável α t Raízes reais repetidas

4 ESTABILIDADE & SINTONIA Malha de controle D(s) G d (s) SP(s) + - E(s) G C (s) MV(s) CV m (s) G v (s) G P (s) + + CV(s) G S S( (s) Resposta ao Set point Resposta ao disturbio CV ( s) SP( s) = + G G p p ( s) G ( s) G v v ( s) G ( s) G c c ( s) ( s) G S ( s) CV ( s) D( s) = + G p G ( s) G v d ( s) ( s) G c ( s) G S ( s) O denominador determina a estabilidade do sistema em malha fechada! Ele é chamado de equação característica.

5 ESTABILIDADE & SINTONIA Determinação das Raízes para verificar estabilidade Control. Proporcional Vamos calcular as raízes da equação característica. + G ( s) G ( s) G ( s) G ( s) = p v c S KCKP K C(. 39 ) + = + = τs + 5s ( ) ( ) s + 75s + 5s K = c F S solvent F A pure A AC

6 ESTABILIDADE & SINTONIA Representação das partes real e imaginária i i das raízes da equação característica Im maginary Kc Quando K C é aumentado, algumas raízes se aproximam e cruzam para a região instável Real Estável Instável

7 ESTABILIDADE & SINTONIA O denominador determina a estabilidade do sistema em malha fechada! CV ( s) SP( s) Resposta ao setpoint = + G G p p ( s) G ( s) G v v ( s) G ( s) G c c ( s) ( s) G S ( s) 3 2 Para o misturador: 25s + 75s + 5s K c = Método de Estabilidade de Bode O cálculo l das raízes é simples. Entretanto, t t o que fazer quando o sistema tem tempo morto e aparece e -θs na equação. Portanto precisamos de um outro método. O método que vamos ver é o método de estabilidade de Bode.

8 ESTABILIDADE & SINTONIA Estabilidade de Bode: Para entender vamos imaginar um experimento (introduzimos apenas onda senoidal) SP(s) E(s) MV(s) + + G C (s) G v (s) G P (s) - + Loop CV m (s) open G S (s) CV(s) F S solvent F A pure A AC malha aberta

9 ESTABILIDADE & SINTONIA Estabilidade de Bode: Fechamos a malha e retiramos a excitação SP(s) E(s) MV(s) + + G C (s) G v (s) G P (s) - + Malha CV m (s) fechada G S (s) CV(s) Em que condições o sistema será estável (instável)? Se a onda tiver depois de um ciclo amplitude maior; então ela irá crescer cada vez que ela complete o percurso ao longo da malha. O sistema será áinstável. Agora: em que frequência a onda se reforça?

10 ESTABILIDADE & SINTONIA Estabilidade de Bode: Oscilação permanente sem excitação SP(s) E(s) MV(s) + + G C (s) G v (s) G P (s) - + Loop CV m (s) closed G S (s) CV(s) Agora: em que frequência a onda se reforça? Quando a onda sofre um atraso de 8 devido à dinâmica dos elementos, o feedback reforçar a oscilação (lembre do sinal-). Essa é a frequência crítica.

11 ESTABILIDADE & SINTONIA Estabilidade de Bode: determinação da condição de estabilidade SP(s) E(s) MV(s) + + G C (s) G v (s) G P (s) - + Loop CV m (s) closed G S (s) CV(s) G OL (s) inclui todos os elementos da malha fechada. Na frequência crítica: G OL (ω c j) =-8 Condição na razão de amplitudes: G OL (ω c j) < p/ estabilidade G OL (ω c j) > p/ instabilidade

12 ESTABILIDADE & SINTONIA Estabilidade de Bode: determinação da condição de estabilidade Frequência Crítica ( Gp j c ) ( Gc j c ) φ ( ω ) +φ ( ω ) = 8 ( G ( j ) ) arctg ( Im( G ( j )/Re( G ( j ) ) φ ω = ω ω c c c Critério de estabilidade G ( jω ) G ( jω ) < p c c c

13 ESTABILIDADE & SINTONIA Estabilidade de Bode: Seja os 3 tanques de mistura com um tempo morto de 5 minutos G OL (ω c j) = -8 G OL (ω c j) < for stability G OL ( s) = G c ( s) G v ( s) G p ( s) G s ( s) = K P e θ s ( + τs ) 3 K c + T s I Processo K P =. 39 % A/% open τ = 5 min θ = 5 min K Controlador (PI) c = 3% open/% A T I = min

14 ESTABILIDADE & SINTONIA Critério de Bode: G OL (ω c j) = -8 G OL (ω c j) < p/ estabilidade 2 Am mplitude Ratio G OL (ω c j) =.75 Conclusão: Estável Frequency, w (rad/time) -5 Phase Angle (deg grees) Frequência Critica Frequency, w (rad/time)

15 ESTABILIDADE & SINTONIA Margem de ganho e Margem de Fase Margem de ganho: MG G ( jω ) G ( jω ) = AR p c c c c MG = AR Margem de fase: MF ( p ) ( c ) c φ G ( jω ) +φ G ( jω ) = 8 + MF ω é tal que G ( jω) G ( jω ) = p c

16 ESTABILIDADE & SINTONIA Exemplo: Margem de ganho = 2 G p () s = (s+ )(2s+ )(3s+ ) G c K c(2 s + ) () s = 2s Queremos calcular Kc para MG = 2 2( jω c) + o φ = 8 ( 3.45 rd ) 2( j ) +φ ωc ( ( jω c) + )( 2( jω c) + )( 3( jω c) + ) ω c =.5774 K c 2( jω c) + 2( jω ) ( jω ) + 2( jω ) + 3( jω ) + ( )( )( ) c c c c =.5 K c =.333

17 Exemplo ESTABILIDADE & SINTONIA

18 ESTABILIDADE & SINTONIA Exemplo: Margem de fase = 3 G p () s = (s+ )(2s+ )(3s+ ) G c K c(2 s + ) () s = 2s 2( j ω+ ) o φ 5 ( 2.68 rd) 2( j ) +φ = ω ( ( jω ) + )( 2( jω ) + )( 3( jω ) + ) ω=.39 K c 2( jω+ ) 2( jω) ( jω ) + 2( jω ) + 3( jω ) + ( )( )( ) = K =.889 c

19 Exemplo ESTABILIDADE & SINTONIA

20 ESTABILIDADE & SINTONIA Sintonia de Ziegler e Nichols Define-se, Ku =, onde ω u está em rd/min. G ( jω ) p 2π u P = φ ( Gp jωu ) ω u u φ ( ω ) = 8 Daí eles recomendam a seguinte sintonia: Controlador K c T I (min) T d (min) Proporcional K u /2 - - Prop. + Integral K u /2.2 P u /.2 - Prop. + Int. + Deriv. K u /.7 P u /2 P u /8

21 ESTABILIDADE & SINTONIA Exemplo: Sintonia de Ziegler & Nichols G p () s = (s+ )(2s+ )(3s+ ) Queremos sintonizar i o PI e o PID φ = 8 ( ( jω u) + )( 2( jω u) + )( 3( jω u) + ) ω = rd / min P = K = u u u Controlador PI K = / 2.2 = 4.54 T = 5.236min c Controlador PID K = T = 3.42min T =.785min c I D I

22 ESTABILIDADE & SINTONIA Exemplo: Sintonia de Ziegler & Nichols

23 Malhas em Cascata Exemplo: Controle da temperatura to tanque manipulando a vazão de óleo de aquecimento

24 Malhas em Cascata Exemplo: Controle da temperatura to tanque manipulando o setpoint da malha vazão de óleo de aquecimento

25 Malhas em Cascata Sem cascata Com cascata

26 Sintonia das malhas em cascata - O controlador secundário pode ser proporcional p puro. - O controlador primário deve ter modo integral para evitar offset na variável controlada - A sintonia é feita sequencialmente. O controlador secundário é sintonizado primeiro. O controlador primário fica aberto. Depois sintonizamos o primário com o secundário fechado.

27 Reator de leito fixo Malhas em Cascata: Outros exemplos

28 Malhas em Cascata: Outros exemplos Forno de aquecimento

29 Malhas em Cascata: Outros exemplos Fundo de coluna de destilação

30 Sem ação antecipatória Controle Antecipatório

31 Com ação antecipatória Controle Antecipatório

32 Controle Antecipatório: Reator leito fixo

33 Controle Antecipatório: Reator lit leito fixo

34 Controle Antecipatório: Forno de aquecimento

35 Controle Antecipatório: Nível de água em caldeira

36 Sem compensador Compensador de Tempo Morto θs Gc() s G() s e Gd() s CV () s = SP() s + D() s θs θs + G ( s) G( s) e + G ( s) G( s) e s + G ( s) G( s) e θ = c c c

37 Com compensador Compensador de Tempo Morto θs s G () () ( ) () () () c s G s e θ + e G s Gc s Gd s CV () s = SP () s + D () s + GsG () () s + GsG () () s c c

38 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS

39 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Exemplo: Tambor de flash - V afeta T P e L V afeta T, P e L - V 2 afeta P e T - V 3 afeta L e P

40 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Processos industriais tem várias variáveis que precisam ser controladas. ld O engenheiro hi tem que. Indicar onde sensores são necessários 2. Estudar quais variáveis podem ser manipuladas 3. Decidir como as CVs e MVs serão emparelhadas (interligadas via o projeto de controle) Felizmente a maioria dos métodos vistos até aqui para Felizmente, a maioria dos métodos vistos até aqui para sistemas SISO se aplicam, mas temos que aprender mais!

41 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Existem dois enfoques: Vamos nos concentrar por enquanto no MULTIMALHAS Multimalhas: Vários PIDs independentes F Centralizado T L F T Centralized Controller A A L

42 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS O que é diferente quando nós temos várias MVs e CVs? INTERAÇÃO!! Definição: Um processo multivariável tem interação quando as entradas (manipuladas) afetam várias saídas (controladas). T A Esse processo tem interação?

43 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Como podemos avaliar quanta interação existe? Um método: - Modelagem Fundamental F A, x A F S, x AS = F M, x AM F F A A + x A Fundamental (nl) F S + = F S F x M AS = F M x AM F ' = F' + F' M A S Fundamental linearizado Fx Fx x' F F S A ' A A ' AM = ( ) A F ( ) S s + FA F ss s + FA ss

44 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Como podemos avaliar quanta interação existe? Outro método - Modelagem empírica (resposta ao degrau) Degrau no refluxo com vapor constante frac) XD (mol frac) XB (mol Time (min) Time (min).35 x x R (m mol/min).3.25 V (m mol/min) Time (min) Time (min)

45 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Como podemos avaliar quanta interação existe? O t ét d M d l í i ( t d ) Outro método - Modelagem empírica (resposta ao degrau) ) (. ) (. ) ( e e s s F R x D ) (. ) (. ) ( ) (. ) (. ) (. s F e s F e s x s F s e s F s e s x s s V R D = + + = F R F V ) (. ) (. ) ( s F s s F s s x V R B = V x B

46 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Como determinar quanta interação existe? Use o modelo; se ele puder ser colocado na forma diagonal, então não há interação. CV K MV CV = K MV CV n K 33 MV 3 S i t l t ( )f d di l i i l Se existem elementos ( ) fora da diagonal principal, então existe interação.

47 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Vamos o diagrama de blocos de um processo típico. Quais são as MVs, CVs, e disturbio, D? F R F R (s) G (s) + + XD(s) F XF q XD F D G 2 (s) G 2 (s) G d (s) G d2 (s) XF(s) F V FRB F RB (s) G 22 (s) + + XB(s) XB FB

48 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Caso do reator não isotérmico. Quais são as MVs, CVs, e disturbios, D? v T A Reator G (s) G 2 (s) G 2 (s) + + G d (s) G d2 (s) v2 G 22 (s) + +

49 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS GRAUS DE LIBERDADE Para um bom projeto é condição necessária: Número de válvulas número de CVs v8 F2 F T T3 T4 v3 T5 F3 T6 F4 F5 P v v2 L v5 v7 v6 T7 L T2 T8 Hot Oil T9 Hot Oil F6 OK, mas isso não garante que podemos controlar as CVs que queremos controlar!

50 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS CONTROLABILIDADE Um sistema é controlável se as CVs podem ser mantidas nos seus setpoints, no estado estacionário, apesar dos disturbios que entram no sistema. Modelo para sistema 2x2 CV K K2 MV Kd = D CV = + K K MV K d 2 Um sistema é controlável lquando a matriz de ganhos do processo pode ser invertida, i.e., quando o determinante de K.

51 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Para o exemplo da coluna de destilação: x D 3s 2s. 747e. 667e xd( s) = FR ( s) FV ( s) 2s + 5s + F R 3. 3s 2s. 73e. 253e xb ( s) = FR ( s) FV ( s). 7s +. 2s + F V Det (K) =.54 x -3 x B Pequeno mas não nulo (os ganhos são pequenos) O sistema é controlável!

52 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Para o exemplo do CSTR não isotérmico As CVs são controláveis o independentemente? e e e? Existe interação? A B -r A = k e -E/RT C A A interação é forte v T A Em geral, a temperatura e a conversão podem ser influenciadas independentemente. O sistema é controlável. C B v2

53 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Para o exemplo do CSTR não isotérmico As CVs são controláveis simultâneamente? Existe interação? v A B -r A = k e -E/RT C A v2 T C B A Ambas as válvulas tem o mesmo efeito sobre as duas variáveis; a única diferença é a magnitude da variação na vazão (μ=constante). C B T K = = K μ K μ K MV MV Det (K) = ; não controlavel!

54 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Para o CSTR com duas reações consecutivas As CVs são controláveis independentemente? Existe interação? A B+2C -r A = k e -E/RT C A v C B C C A A v2 CB K K2 MV C = = 2K 2 K MV C 2 2 Det (K) = ; não controlavel!

55 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS VAMOS OBSERVAR O COMPORTAMENTO DINÂMICO. Quantos experimentos são necessários para sintonizar os controladores? 2. Que controlador deve ser implementado primeiro? MV (s) G (s) + + CV (s) G 2 (s) G d (s) D(s) G 2 (s) G d2 (s) MV 2 (s) G 22 (s) + + CV 2 (s)

56 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Vamos analisar um sistema simples com interação CV (s) CV2 (s) = s. e. 75e + 2s + 2s. s.. 75e. e + 2s + 2s.. s MV (s) MV2(s s ) Vamos usar o emparelhamento com os maiores ganhos: MV (s) CV (s) e MV 2 (s) CV 2 (s)

57 Resultados com apenas um controlador (K C = 2., T I = 3) O sistema é estável mas bastante agressivo..5 IAE = 2.53 ISE =.5448 IAE = ISE = CV.5 Feedback control for SP change CV Why did this change? SAM = SSM = SAM = SSM = MV.5 MV Time Time

58 Resultados com dois controladors (ambos c/ Kc = 2., TI = 3) O sistema é instável!! As malhas individuais são estáveis 5 IAE = ISE = IAE = ISE = CV CV SAM = SSM = SAM = SSM = MV MV Time Time

59 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Em geral, o comportamento de uma malha depende da interação e sintonia da(s) outra(s) malha(s). SP (s) - + G c (s) MV (s) G (s) G 2 (s) + + G d (s) CV (s) Lembre que o denominador define a estabilidade. D(s) MV 2 (s) G 2 (s) G d2 (s) + G c2( (s) G 22( (s) SP 2 (s) CV 2 (s) CV (s) SP (s) numerator(s) = + G (s)g (s) + G (s)g (s) + G (s)g (s)[g (s)g (s) G (s)g c c2 22 c c (s)]

60 CONTROLE DE PROCESSOS MULTIVARIÁVEIS Em geral, o comportamento de uma malha depende da interação e sintonia da(s) outra(s) malha(s). Single-loop inside the dashed lines would be stable. 4 Obs: Kc2, LOO OP 2 CONTRO OLLER GAIN 3 2 Stable for 2x2 Unstable for 2x2. TI=3paraosdois controladores 2. KC < 3.75 estavel para as malhas individualmente 3. KC = 2. estavel para uma malha só 4. KC = 2. instável para as duas malhas juntas!! Kc, LOOP CONTROLLER GAIN 5. Esses resultados são para o exemplo mostrado mas os conceitos são gerais

61 Se as duas CVs tem a mesma importância, afrouxamos os di dois controladores ld igualmente. (Kc = Kc2 =.95; TI = TI2 = 3.) IAE = ISE = IAE = ISE =.47 CV Um pouco lento para chegar no SP CV Efeito da interação em CV SAM = SSM = 8.89 SAM =.734 SSM = MV 5.5 MV Time Time

62 Se CV é mais importante, tornamos Gc mais agressive e G2 Gc2 mais frouxo. (Kc =.4 and Kc2 =.5; TI = TI2 = 3.) IAE = ISE = IAE =.2283 ISE = 3.23 CV Resposta mais rápida em direçãoaosp CV Aumenta o efeito da interação SAM = SSM = SAM =.763 SSM = MV Time MV Time

63 Se CV2 é mais importante, tornamos Gc2 mais agressivo e G Gc mais frouxo. (Kc =.5 and Kc2 =.4; TI = TI2 = 3.) IAE = ISE = IAE = ISE =.3957 CV Muito lento p/ chegar a SP CV Menor disturbio devido à interação SAM = SSM = SAM =.763 SSM = MV MV Time Time