Determinação dos fatores associados à sobrevida de mulheres com câncer de mama via modelos de longa duração Weibull Modificado

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1 Determação dos fatores assoados à sobrevda de muheres om âer de mama va modeos de oga duração Webu Modfado. Itrodução Ceyto Zaardo de Overa CER, DEs, UFCar 3 Gerso Hrosh Yoshar Júor FMRP/UP 2 4 Ge da va Castro Perdoá FMRP/UP 5 Fraso Louzada Neto CER, DEs, UFCar 6 O âer de mama é a eoasa de dêa mas frequete a ouação fema muda, om um rso aroxmado de 2% de oorrêa durate a vda, aém de uma mortadade de 5% (Park et a., Com os avaços teraêutos, a otrbução ara o aumeto da sobrevda gera em aetes om âer de mama é uma readade (Peto et a., 2000 (Tayor et a., Quado um gruo de aetes é segudo até uma data ré-estabeeda, ara a observação do temo até a oorrêa de um eveto, ode aoteer que a data de térmo do aomahameto uma area do gruo ão teha ada sofrdo o eveto de teresse. e sso oorre ara uma area grade do gruo, ada que se esteda o razo, exstem díos de que um modeo adequado ara a fução de sobrevvêa teóra do temo até a oorrêa do eveto seja um modeo de oga duração. A forma aresetada ea estmatva ão aramétra da fução de rso esse to de estudo da que o modeo deve ser fexíve o setdo de ermtr que a fução de rso seja uma fução resete, deresete, ostate ou em forma de U. Os modeos aramétros usuas (Coosmo e Goo, 2006 ão são arorados ara desrever tas urvas, o etato Perdoá (2006 sugere uma geerazação ara modeos de oga duração, e trata um aso artuar, o modeo Webu modfado de oga duração, omo roosta ara otemar os robemas exstetes a ráta méda. Neste trabaho osderaremos os estudos reazados até o resete mometo em reação ao modeo Webu modfado de oga duração (WMLD, e os asos artuares modeo Webu de oga duração (WLD, modeo Exoea de oga duração(eld bem omo os modeos Webu (W e exoea (E ara um robema de âer de mama. Na seção 2 aresetamos a formuação do modeo e seus asos artuares. Na seção 3 aresetamos a metodooga utzada a estmação dos arâmetros e seeção dos modeos, a seção 4 aresetamos a aação a um robema a área méda, âer de mama. Fazamos a seção 5 om as ousões dos resutados obtdos. 2. Formuação do modeo O modeo Webu modfado de oga duração (WMLD fo aresetado or Perdoá (2006. ua fução de obrevda é dado or, β t ( t α,, β, ex ( αt e sua fução Taxa de faha é dado or, ; ( Agrademeto ao CNPq eo aoo faero 2 Agrademeto ao PIC eo aoo faero 3 eytoza@yahoo.om.br 4 gerso.yoshar@us.br 5 ge@fmr.us.br 6 df@ufsar.br

2 ( t α,, β, λ βt [ e + βt] βt ( αt ( / t + β ex ( αt ex ( αt ; (2 edo α é o arâmetro de esaa, o arâmetro de forma, β é o arâmetro assoado ao fator aeerador e or fm o arâmetro assoado a reseça de oga duração, que ode ser osderado gua a um meos a fração de ura. O modeo roosto ossu város asos artuares já ohedos a teratura que odem desrever ou ão a oga duração tas omo a Webu de oga duração, a Exoea de oga duração, a Webu e a exoea. Quado o arâmetro β é gua a 0, eotramos o modeo Webu de oga duração (WLD, sedo sua fução taxa de faha dada or λ( t; α,, { [ ]} ( t α,, ex ( αt α t ex [ ( αt ] ( αt { ex[ ]} e sobrevda ;. Para β 0 e, eotramos o modeo exoea de oga duração (ELD, e suas fuções são dadas or, λ( t; α, ( t α,, { ex[ αt] } αt ex[ ( αt ] { ex( αt } ;. Cosderado β 0 e eotramos o modeo Webu (W, muto utzado e que ão osdera a reseça de oga duração. uas fuções são dadas or, λ { } ( t ; α, α t e ( t α, ex ( αt ;. E or fm, osderado β 0 e e eotramos o modeo exoea (E, suas fuções são dadas or, λ ( ; α α ( t; α ex{ αt}. e t e Na fgura aresetamos as formas mas omus do rso ara o modeo WMLD quado fxamos α 0.0. No ae esquerdo o rso derese amete e osterormete ossu omortameto umoda a reseça de oga duração. O quadro etra areseta o rso a forma umoda e or fm o quadro da dreta temos o rso deresete. Fgura : Fução de rso do modeo Webu modfado de oga duração, ara os asos: 0.4 e β 0. (ae esquerdo; e β 0, (ae etra; 0.4 e β 0.0 (ae dreto. 3. Iferêa Uma araterísta da aáse de sobrevvêa é a reseça de esura os dados. edo assm, os arâmetros são estmados utzado o estmador de máxma verossmhaça tomado erto udado ao esrever a fução de verossmhaça. A estrutura da fução de verossmhaça ossu uma area referete aos temos de sobrevvêa ode oorreu o eveto, e uma area referete aos temos de sobrevvêa ode oorreu a esura. Desta forma, seja t, t2,..., t uma amostra aeatóra e deedete, a fução de verossmhaça é dada or:

3 A rmera area, r r L( f ( t ; θ ( ; θ t r+ θ (4 f ( ; θ, refere-se aos dados que ão foram esurados, ou seja, aos t temos de sobrevvêa dos dvíduos que sofreram o eveto. Já a seguda area, r+ ( ; θ, refere-se aos dados que foram esurados. Cosderado uma varáve dadora de esura ( δ, em que reebe o vaor se é um temo de sobrevvêa sem esura, ou 0 se o temo for esurado. A fução de verossmhaça ode ser reesrta omo: δ δ [ f ( t ; θ ] [ ( t ; θ ] [ λ( t ; θ ] L( θ ( t ; θ Para eotrar os arâmetros da dstrbução em estudo, basta dervar o ogartmo da fução de verossmhaça, em fução do arâmetro a ser estmado, guaado a zero. Maores detahes odem ser eotrados em Coosmo et. a. (2006, Carvaho et a. (2005 e Louzada-Neto et. a. (2002. Assm, ara uma amostra de varáves aeatóras deedetes X,X2,...,X, assoadas aos temos de sobrevvêa e C,C2,...,C assoadas aos temos esurados, defdo T m(x,c, δ I(T C, a fução de verossmhaça da WMLD é dada or L ( t; α,, β, ( αt ( / t + β ex ( αt βt δ βt ( [ e + βt] ( { ex[ ( αt e ]} As equações eas rmeras dervadas de ada arâmetro guaadas a zero ão ossuem souções aaítas, orem utzamos métodos teratvos, omo or exemo, o método de Newto ou quase-newto (Des, Gay e Wesh,98, ara obtermos aroxmações das estmatvas dos arâmetros. Para urmos as formações dos ossíves fatores assoados a um dvduo vr a exermetar o eveto de teresse, resamos troduzr tas formações o modeo, assoado a ada ovaráve um arâmetros a ser estmado. Para sso, X é a matrz de ovaráves e β um vetor de arâmetros reaoado a ada ovaráve (. Isso sgfa que estamos teressados em modear a deedêa etre a roorção de urados e os fatores assoados ao eveto de teresse, o aso do âer de mama, os fatores assoados às aetes uradas. Podemos modear esta deedêa or um omoete ogísto (Ghtay et a 994, ta que, Neste aso a fução de sobrevda do modeo WMLD é dada or, βt ( t, β, β, β ex ( αt ex( Xβ Xβ + ex( ; (7 δ (5 δ t (6 ex( Xβ ( x + ex( Xβ. Yu et a (2008 roôs troduzr as formações dos fatores de rsos o arâmetro de oga duração e também o arâmetro de esaa quado tratamos de um modeo eaxado à Webu. Desta forma a urva de sobrevda ara o modeo WMLD ara um gruo de dvíduos que estaram exostos aos mesmos fatores de rsos sera dada or,

4 βt ( t;, β, β, β ex ( ex( Xβ t ex( Xβ ex( Xβ + (8 edo que β é um vetor dos arâmetros dos fatores de rso assoado ao efeto da oga duração e β é um vetor dos arâmetros dos fatores de rso assoado ao efeto da urta duração. 3.. eeção de modeos Para um mesmo ojuto de dados ode-se ajustar mas de um modeo de sobrevvêa. edo assm, exste a eessdade de esohemos qua o mehor modeo. Uma forma de esoha do modeo mas satsfatóro são os métodos gráfos (Coosmo et a., 2006, (Carvaho et a., No etato, a aáse gráfa é subjetva, odedo o mesmo gráfo ser terretado de formas dferete. Para resover este robema, uma forma de esohermos o mehor modeo é através do teste de hótese, ode: H0: O modeo de teresse é adequado H: O modeo de teresse ão é adequado Para reazar o teste de hótese, geramete se utza a estatísta da razão de verossmhaças em modeos eaxados (Cox e Hkey, 974 dado or: L( ˆ θ T TRV 2og 2 ( [ og L( ˆ θg og L( ˆ θ M ] L ˆ θg edo L( θˆ T é a Máxma Verossmhaça do modeo a ser testado e ( L θˆ é a Máxma Verossmhaça do modeo gera dos modeos a serem testado, ou seja, os modeos a serem testados devem ser obrgatoramete asos artuares do modeo gera. A estatísta TRV sob H0, ossu aroxmadamete dstrbução qu-quadrado om graus de berdade gua a dfereça do úmero de arâmetros dos modeos sedo omarados. No etato, quado o estudo trata de modeos que ão são eaxados, o teste de hótese tora-se arorado. Uma forma de esoher o mehor modeo é omarado os rtéros AIC (Akake formato rtero (Akake, 978 e BIC (Bayesa formato rtero (hwarz, 978. Os dos rtéros são dados resetvamete or: 2 og[ L( ˆ θ ] + ; BIC 2og[ L( ˆ θ ] + ( AIC 2 edo que d é a soma do úmero de arâmetros do modeo que será testado e é o úmero de dvíduos em estudo. Cauam-se os AIC e BIC ara todas as os modeos estmados. O mehor modeo ajustado aos dados, será aquee que tver meor vaor AIC e BIC. 4. Aação Os temos de sobrevvêas referem-se a 40 aetes roveetes do ambuatóro de mastooga do Hosta das Cías de Rberão Preto da Faudade de Meda de Rberão Preto - ão Pauo Gozzo(2008. Os dados referem-se a temos de sobrevvêa, da rurga até o óbto ou térmo da esqusa em aetes que foram dagostadas om eoasa maga de mama. Cosderamos os dferetes modeos aresetados ara o ajuste sem osderarmos ovaráves, amete. Para esses dados estmamos a urva de sobrevvêa or Kaa-Meer e segudo os modeos WMLD, WLD, ELD, W e E, Fgura 2. Peo gráfo observamos que a fução de sobrevvêa estmada or Kaa-Meer se estabza em aroxmadamete 0,6 devdo a oorrêa de esura do to I. Isto da que modeos de oga duração são os dados ara a resete aação. Grafamete, tato o modeo WLD quato o modeo WMLD ajustam mehor a urva de G

5 sobrevvêa emíra (Kaa Meer, usve o fa da urva que os modeos usuas (W e E ão ajustam adequadamete. O modeo ELD ão areseta um ajuste adequado. Fgura 2: Comaração da urva de sobrevvêa estmada or Kaa-Meer om as urvas de sobrevvêa estmadas ea WMLD, WLD, ELD, W e E Tabea : estmatvas dos arâmetros, MV e vaores dos rtéros de seeção AIC e BIC Modeo α β og( L( ˆ θ AIC BIC WMLD / WLD / ELD / W / E Na Tabea aresetamos as estmatvas dos arâmetros ara ada modeo, e os vaores dos rtéros de seeção. Observamos que os vaores dos rtéros AIC são róxmos os ajustes dos modeos WMLD e WLD, o etato a WLD ada ossu mehor ajuste. Já os modeos ELD ossu maor vaor do rtéro AIC do que os demas. Peo rtéro BIC temos o meor vaor observado ara W, seguda ea WLD e E. 5. Cousão Neste resumo, trabahamos om o modeo Webu modfado de oga duração que fo aresetado or Perdoá (2006. A sua fução taxa de faha é bastate fexíve, ossbtado o ajuste quado temos o rso resete, deresete, umoda ou em forma de U. Ada, esse modeo ossbta um agortmo que artuarza dversos modeos de oga duração ohedos a teratura, tas omo a Webu de oga duração e a Exoea de oga duração, e modeos mas smes omo, or exemo, a Webu e a exoea. A estmação dos arâmetros fo feta eo

6 método da máxma verossmhaça, utzado métodos teratvos ara aroxmações quado eessáro. Os ajustes om mehor desemeho foram observados ara os modeos WMLD e WLD. Comarado estes ajustes om a urva emíra de Kaa Méer otamos que ambas as fuções são semehates os rmeros temos de sobrevda, o etato a WMLD se adere mehor aos temos reaoados à oga duração do que a WLD. Etre os modeos que osderam a oga duração, os rtéros de seeção AIC e BIC dam que a WMLD e WLD ossuem os mehores ajustes. edo assm, em uma róxma etaa remos ororar as ovaráves estes modeos e determaremos os fatores assoados a sobrevdas de muheres om âer de mama. Estes resutados serão aresetados durate o ogresso. 6. Refereas bbográfas [] Akake, H. (978. A Bayesa aayss of the mmum AIC roedure. Aas of the Isttute of tatsta Mathemats. [2] Bbg Yu, Ygwe Peg: Mxture ure modes for mutvarate survva data. Comutatoa tatsts & Data Aayss 52(3: (2008 [3] CARVALHO, M..; ANDREOZZI, V. L.; CODEÇO, C. T.; BARBOA, M. T..; HIMAKURA,. E. Aáse de sobrevda: teora e aações em saúde. Ro de Jaero: FIOCRUZ, 2005, a. ed.,396 [4] COLOIMO, E. A.; GIOLO,. R. Aáse de obrevvêa Aada. ão Pauo: Edgard Buher, 2006, a. ed., 392. [5] COX, D. R.; HINKLEY, D. V. Theoreta tatsts. Chama ad Ha, Lodo, 974. [6] DENNI, J. E.; GAY, D. M.; WELCH, R. E. A adatve oear east-squares agorthm. ACM Trasatos o Mathemata oftware 7, , 98 [7] GHITANY M. E., MALLER R. A. ad ZHOU X., Exoeta mxture modes wth og-term survvors ad ovarates. J. Mutvarate Aa. 49 (994, [8] Gozzo, T. O. (2008. Toxdade ao tratameto qumoter_ao em muheres om âer de mama. Dotorate Thess - Esoa de Efermagem de Rberão Preto, UP, ãoo Pauo, Braz. [9] LOUZADA-NETO, F., & ACHCAR, J. A. (2002. Itrodução à Aáse de obrevvêa e Cofabdade. Margá: Murso: III Jorada Regoa de Estatísta e II emaa de Estatísta. [0] PARKIN DM, BRAY F, FERLAY J et a (2005 Goba aer statsts, CA Caer J C 55: [] PERDONÁ, G.. C. Modeos de rso aados à aáse de sobrevvêa. ão Caros: UP, Tese aresetada ao Isttuto de Cêas Matemátas e de Comutação - ICMC - UP, omo arte dos requstos ara obteção do títuo de Doutor em Cêas - Cêas da omutação e Matemáta Comutaoa. [2] PETO R, BOREHAM J, CLARKE M et a (2000 UK ad UA breast aer deaths dow 25% year 2000 at ages years. Laet 355:822. [3] TAYLOR R, DAVI P, BOYAGE J (2003 Log-term survva of wome wth breast aer New outh Waes. Eur J Caer 39: