Programação e Computação para Arquitectura 2010/2011

Transcrição

1 Instituto Superior Técnico Programação e Computação para Arquitectura 2010/2011 Segundo Teste/Primeiro Eame 10/01/2011 Nome: Número: Escreva o seu número em todas as folhas da prova. O tamanho das respostas deve ser limitado ao espaço fornecido para cada pergunta. Se tiver dúvidas de interpretação, faça suposições razoáveis e eplicite-as na sua resposta. Pode usar os versos das folhas para rascunho. A prova tem 9 páginas e a duração é de 60/120 minutos. A cotação de cada questão encontra-se indicada entre parêntesis. Boa sorte. Se pretende fazer o Segundo Teste responda apenas às perguntas 7 e seguintes. Se pretende fazer o Eame responda a todas as perguntas. Em todos os eercícios, pode usar todas as funções descritas na sebenta. 1. (3.0) Considere a seguinte definição matemática para a função produtório: n f( i ) = i=m { 1, se m > n f( m ) n i=m+1 f( i), caso contrário. (a) (0.5) Considera a definição anterior utilizável por um computador. Porquê? É utilizável por um computador porque não requer o uso de imaginação. (b) (0.5) Traduza a definição da função produtório para Auto Lisp. (defun produtorio (f m n) (if (> m n) 1 (* (f m) (produtorio f (+ m 1) n)))) (c) (0.5) A função apresentada na alínea anterior é recursiva? Porquê? A função é recursiva porque está definida em termos dela própria. (d) (0.5) A função apresentada na alínea anterior é de ordem superior? Porquê? A função é de ordem superior porque recebe uma função como argumento. (e) (1.0) Defina a função factorial n! = n (n 1) (n 2) à custa da função produtório. (defun factorial (n) (produtorio (lambda (i) i) 1 n))

2 Número: 2 2. (1.0) Considere a escada esquematizada na seguinte figura e destinada a vencer uma rampa de altura h e ângulo de inclinação α. e P α h Defina a função escada-rampa que recebe o ponto P, o ângulo α, o espelho e e a altura h e que desenha a escada descrita no esquema anterior. (defun escada-rampa (p alfa e h / c p1 p2) (if (<= h 0) nil (progn (setq c (/ e (tan alfa)) p1 (+ p e) p2 (+ p1 c)) (command "_.line" p p1 p2 "") (escada-rampa p2 alfa e (- h e))))) 3. (1.0) Considere a linha poligonal esquematizada em seguida: p β l α Defina uma função denominada linha-poligonal-regular capaz de desenhar este tipo de linhas poligonais. A função recebe como argumentos a posição p, a distância l do ponto p a cada um dos vértices, o ângulo α que o primeiro vértice faz com a horizontal, o ângulo β que separa os vértices entre si e, finalmente, o número de segmentos de recta da linha poligonal. (defun linha-poligonal-regular (p l alfa beta n / p0 p1) (if (= n 0) nil (progn (setq p0 (+pol p l alfa) p1 (+pol p l (+ alfa beta))) (command "_.line" p0 p1 "") (linha-poligonal-regular p l (+ alfa beta) beta (- n 1)))))

3 Número: 3 4. (1.0) Usando a função linha-poligonal-regular descrita na pergunta anterior, defina a função poligono-regular que desenha polígonos regulares (como o que se apresenta em seguida) a partir do ponto p, da distância l do ponto p a cada um dos vértices, do ângulo α que o primeiro vértice faz com a horizontal e do número n de lados do polígono regular. p l α (defun poligono-regular (p l alfa n) (linha-poligonal p l alfa (/ (* 2 pi) n) n)) 5. (2.0) Considere a promenade architecturale apresentada na imagem seguinte. Cada pórtico é constituído por duas colunas e uma arquitrave. Cada coluna é um cilindro e a arquitrave é um paralelípipedo de secção rectangular cuja largura é igual ao diâmetro das colunas. Os pórticos são parameterizados de acordo com a seguinte figura. a l z a c P d p l c r c

4 Número: 4 (a) (1.0) Defina a função portico que, convenientemente parameterizada, desenha um pórtico, i.e., o conjunto formado por duas colunas com uma arquitrave no topo. (defun coluna (p r a) (command "_.clinder" p r a)) (defun lintel (p c l a) (command "_.bo" (+z p (/ c -2.0) (/ l -2.0) (/ a -2.0)) (+z p (/ c +2.0) (/ l +2.0) (/ a +2.0)))) (defun portico (p rc ac lc al) (coluna p rc ac) (coluna (+z p lc 0 0) rc ac) (lintel (+z p (/ lc 2.0) 0 (+ ac (/ al 2.0))) (+ lc rc rc) (+ rc rc) al)) (b) (1.0) Defina a função promenade que, convenientemente parameterizada, constrói uma promenade de pórticos idêntica à apresentada na imagem anterior. Para além dos parâmetros geométricos relevantes, esta função deverá ter também como parâmetro o número de pórticos a construir. (defun alameda (p rc ac lc al dp n) (if (= n 0) nil (progn (portico p rc ac lc al) (alameda (+z p 0 dp 0) rc ac lc al dp (- n 1))))) 6. (2.0) Utilizando o operador foreach, defina a função denominada rectangulo-envolvente que, dada uma lista de coordenadas bi-dimensionais, devolve uma lista com as coordenadas dos cantos inferior esquerdo e superior direito do menor rectângulo capaz de incluir todas as coordenadas dadas. Por eemplo, _$ (rectangulo-envolvente (list ( 0 0) ( 3 4) ( -1 0) ( 2-3))) ((-1-3) (3 4)) (defun rectangulo-envolvente (coords / c min- min- ma- ma-) (setq c (car coords) min- (c c) min- (c c) ma- (c c) ma- (c c)) (foreach c (cdr coords) (setq min- (min min- (c c)) min- (min min- (c c)) ma- (ma ma- (c c)) ma- (ma ma- (c c)))) (list ( min- min-) ( ma- ma-)))

5 Número: 5 7. (2.5) (O Segundo Teste começa aqui!) Considere a imagem seguinte: A imagem representa um abrigo de forma paralelipipédica construído com tubos cilíndricos cortados de modo a que o espaço interior tenha a forma de um quarto de esfera. Note que os tubos cilíndricos possuem uma espessura que é 10% do raio. Note ainda a relação entre o raio do quarto de esfera e o dos cilindros. Defina uma função que constrói o abrigo a partir do centro da esfera, da altura do paralelipípedo e do número de tubos a colocar ao longo da altura. (defun malha-tubos (p c r n m) (if (= m 0) (regiao-vazia) (uniao (linha-tubos p c r n) (malha-tubos (+z p (* 2 r)) c r n (- m 1))))) (defun linha-tubos (p c r n) (if (= n 0) (regiao-vazia) (uniao (subtraccao (cilindro p r (+ p c)) (cilindro p (* 0.9 r) (+ p c))) (linha-tubos (+ p (* 2 r)) c r (- n 1))))) (defun cobertura-tubos (p h n / r0 r1) (setq r1 (/ h 2.0 n) r0 (- h r1)) (subtraccao (malha-tubos (+z p (- r0) 0 r1) h r1 (* 2 n) n) (esfera p r0))) (cobertura-tubos (z 0 0 0) 5 9)

6 Número: 6 8. (1.0) Considere a imagem seguinte onde se pode ver uma sequência de coordenadas que definem uma espiral cónica (à esquerda, em perspectiva e, à direita, em planta). z p r φ p Os pontos da espiral cónica foram produzidos a partir do raio inicial r e do ângulo inicial φ considerando que, a cada ponto, o raio r aumenta de r, o ângulo aumenta de φ e a cota z aumenta de z. Defina a função pontos-espiral-conica que, implementa este processo. A função deverá receber o ponto p do centro da base da espiral, r, φ, r, φ, z e, finalmente, o número n de pontos e deverá computar uma lista com as coordenadas dos pontos. (defun pontos-espiral-conica (p r fi dr dfi dz n) (if (= n 0) (list) (cons (+pol p r fi) (pontos-espiral-conica (+z p dz) (+ r dr) (+ fi dfi) dr dfi dz (- n 1))))) 9. (1.0) Defina a função cilindrifica que recebe uma entidade que representa uma curva (por eemplo, uma linha recta ou uma spline) e um número r e cria um sólido de secção circular de raio r cujo eio é essa curva, tal como está ilustrado na imagem seguinte que mostra o resultado da função quando aplicado a uma spline produzida a partir dos pontos de uma espiral cónica: (defun cilindrifica (ent r) (etrusao-caminho (regiao (circulo ( 0 0) r)) ent))

7 Número: (2.0) Considere a criação de uma malha com a forma de um cone, tal como está ilustrado na imagem seguinte: O cone definido pelos eios das barras da malha possui raio da base r 0 e altura h e é composto por n espirais cónicas que dão m voltas no sentido horário e outras n espirais cónicas que dão m voltas no sentido anti-horário, sendo que cada espiral cónica é definida por um sólido de secção circular de raio r 1 cujo eio é uma spline com k pontos. Defina a função malha-cone que recebe o ponto p do centro da base do cone, o raio r 0 e altura h do cone, o número n de espirais cónicas, o número m de voltas que cada espiral dá, o número k de pontos de cada espiral cónica e, finalmente, o raio r 1 da secção circular de cada espiral cónica. Sugestão: use as funções pedidas nas duas questões anteriores. (defun malha-cone (p r0 h n-espirais n-voltas n-pontos r1 / dfi0 dfi1 dz dr) (setq dfi0 (/ 2*pi n-espirais) dfi1 (/ (* 2*pi n-voltas) n-pontos) dz (/ (float h) (- n-pontos 1)) dr (/ (* -1.0 dz r0) h)) (foreach fi (enumera-n 0 (- 2*pi dfi0) n-espirais) (cilindrifica (spline-pontos (pontos-espiral-conica p r0 fi dr dfi1 dz n-pontos)) r1) (cilindrifica (spline-pontos (pontos-espiral-conica p r0 fi dr (- dfi1) dz n-pontos)) r1)))

8 Número: (2.0) Considere o seguinte esquema de um modelo tridimensional: z h 1 = f() h 0 c 0 0 c 0 c 1 c 1 O modelo consiste num conjunto de cilindros de raio r (representados, no esquema, pelas linhas mais grossas) cujas etremidades são definidas por três sequências com n pontos cada uma: a primeira na direcção Z, a começar na coordenada ( 0, f( 0 ), h 0 ) e a acabar em ( 0, f( 0 ), h 1 ) e as restantes assentes no plano XY ao longo da curva = f(), uma a começar em ( 0 + c 0, f( 0 +c 0 ), 0) e a acabar em ( 0 +c 1, f( 0 +c 1 ), 0) e a outra a começar em ( 0 c 1, f( 0 c 1 ), 0) e a acabar em ( 0 c 0, f( 0 c 0 ), 0). Defina a função tirantes que recebe a função f, a abcissa 0, as altura h 0 e h 1, os comprimentos c 0 e c 1, o raio r e o número de cilindros n e constrói o modelo apresentado. Sugestão: use a função parametrica-n para construir cada sequência de coordenadas. (defun tirantes (f h0 h1 c0 c1 r n / -s +s zs) (setq -s (parametrica-n (lambda () ( (f ))) (- c1) (- c0) n) +s (parametrica-n (lambda () ( (f ))) (+ c0) (+ c1) n) zs (parametrica-n (lambda (z) (z (f ) z)) h0 h1 n)) (mapeia2 (lambda (p0 p1) (cilindro p0 r p1)) -s (reverse zs)) (mapeia2 (lambda (p0 p1) (cilindro p0 r p1)) +s zs))

9 Número: (1.5) Considere a seguinte particularização da função Gaussiana parametrizada pela amplitude a e distância b do centro da curva (note que e é a função eponencial): f() = ae ( b)2 a b Se considerarmos que à medida que nos vamos deslocando ao longo do eio Y, o centro da curva gaussiana oscila segundo uma sinusoide de amplitude c em torno do valor fio b, o resultado é a superfície que apresentamos em seguida: z a b c Assuma, na superfície anterior, que temos a = 1.5, b = 3, c = 0.5 e e ambos variam no intervalo [0, 2π]. Tendo isto em conta, complete a seguinte epressão de modo a criar a superfície anterior no AutoCad: (superficie-curvas (parametrica-m-n (lambda (u v) (z u v 0 2*pi *pi 20)) )) (* 1.5 (ep (- (quadrado (- u (+ 3 (* 0.5 (sin v))))))))