Teoria de órbitas periódicas no espectro e condutância de grafos quânticos

Transcrição

1 Teoria de órbitas periódicas no espectro e condutância de grafos quânticos Ricardo Wickert Orientação: Profa. Dra. Sandra D. Prado Programa de Pós-Graduação em Física Instituto de Física Universidade Federal do Rio Grande do Sul Agosto de 2008

2 Resumo 1 Introdução Motivação Descrição do problema Nossa proposta 2 Caos Caos clássico Caos quântico 3 Grafos Definições Op. de Schrödinger Grafos abertos 4 Exemplo Grafo duplo-degrau

3 Motivação: sistemas mesoscópicos Dispositivos nanométricos: nanotubos, quantum dots, etc. Propriedades tradicionais (clássicas) não se aplicam; surgimento de novos efeitos (quânticos) Fenômenos são ditos Universais. Objetivo: obter bons modelos teóricos.

4 Motivação: sistemas mesoscópicos Dispositivos nanométricos: nanotubos, quantum dots, etc. Propriedades tradicionais (clássicas) não se aplicam; surgimento de novos efeitos (quânticos) Fenômenos são ditos Universais. Objetivo: obter bons modelos teóricos.

5 Motivação: sistemas mesoscópicos Dispositivos nanométricos: nanotubos, quantum dots, etc. Propriedades tradicionais (clássicas) não se aplicam; surgimento de novos efeitos (quânticos) Fenômenos são ditos Universais. Objetivo: obter bons modelos teóricos.

6 Motivação: sistemas mesoscópicos Dispositivos nanométricos: nanotubos, quantum dots, etc. Propriedades tradicionais (clássicas) não se aplicam; surgimento de novos efeitos (quânticos) Fenômenos são ditos Universais. Objetivo: obter bons modelos teóricos.

7 Descrição do problema: o limite semiclássico Conexão: fazer h 0 - o limite semi-clássico. Região de coexistência no limiar clássico/quântico. Porém: Mec. Clássica é não-linear: hipersensibilidade às conds. iniciais. Mec. Quântica: operador de Schrödinger é linear. Como conciliar?

8 Descrição do problema: o limite semiclássico Conexão: fazer h 0 - o limite semi-clássico. Região de coexistência no limiar clássico/quântico. Porém: Mec. Clássica é não-linear: hipersensibilidade às conds. iniciais. Mec. Quântica: operador de Schrödinger é linear. Como conciliar?

9 Descrição do problema: o limite semiclássico Conexão: fazer h 0 - o limite semi-clássico. Região de coexistência no limiar clássico/quântico. Porém: Mec. Clássica é não-linear: hipersensibilidade às conds. iniciais. Mec. Quântica: operador de Schrödinger é linear. Como conciliar?

10 Descrição do problema: o limite semiclássico Conexão: fazer h 0 - o limite semi-clássico. Região de coexistência no limiar clássico/quântico. Porém: Mec. Clássica é não-linear: hipersensibilidade às conds. iniciais. Mec. Quântica: operador de Schrödinger é linear. Como conciliar?

11 Nossa proposta: grafos quânticos Sistemas unidimensionais Fácil implementação numérica Apresentam características típicas de modelos complexos

12 Nossa proposta: grafos quânticos Sistemas unidimensionais Fácil implementação numérica Apresentam características típicas de modelos complexos

13 Nossa proposta: grafos quânticos Sistemas unidimensionais Fácil implementação numérica Apresentam características típicas de modelos complexos

14 Resumo 1 Introdução Motivação Descrição do problema Nossa proposta 2 Caos Caos clássico Caos quântico 3 Grafos Definições Op. de Schrödinger Grafos abertos 4 Exemplo Grafo duplo-degrau

15 Caos clássico: definições Sistema é determinístico δ x(t) e λt δ x(0) : separação exponencial de trajetórias: Conceito de mistura: embaralhamento das trajetórias

16 Caos clássico: definições Sistema é determinístico δ x(t) e λt δ x(0) : separação exponencial de trajetórias: Conceito de mistura: embaralhamento das trajetórias

17 Caos clássico: definições Sistema é determinístico δ x(t) e λt δ x(0) : separação exponencial de trajetórias: Conceito de mistura: embaralhamento das trajetórias

18 Caos clássico: bilhar de três discos Trajetórias próximas se separam. Porém confinadas em região finita do espaço de fase. Entropia topológica: 2 n trajetórias de n colisões.

19 Caos clássico: bilhar de três discos Trajetórias próximas se separam. Porém confinadas em região finita do espaço de fase. Entropia topológica: 2 n trajetórias de n colisões.

20 Caos clássico: bilhar de três discos Trajetórias próximas se separam. Porém confinadas em região finita do espaço de fase. Entropia topológica: 2 n trajetórias de n colisões.

21 Caos quântico: evolução Dois estados Ψ 1 > e Ψ 2 > Operador de evolução temporal U(t, t 0 ) Calculamos a superposição: < Ψ 2 (t) Ψ 1 (t) > = < Ψ 2 (t 0 ) U (t, t 0 )U(t, t 0 ) Ψ 1 (t 0 ) > = < Ψ 2 (t 0 ) Ψ 1 (t 0 ) > = A sobreposição é preservada! Onde está o caos?

22 Caos quântico: evolução Dois estados Ψ 1 > e Ψ 2 > Operador de evolução temporal U(t, t 0 ) Calculamos a superposição: < Ψ 2 (t) Ψ 1 (t) > = < Ψ 2 (t 0 ) U (t, t 0 )U(t, t 0 ) Ψ 1 (t 0 ) > = < Ψ 2 (t 0 ) Ψ 1 (t 0 ) > = A sobreposição é preservada! Onde está o caos?

23 Caos quântico: evolução Dois estados Ψ 1 > e Ψ 2 > Operador de evolução temporal U(t, t 0 ) Calculamos a superposição: < Ψ 2 (t) Ψ 1 (t) > = < Ψ 2 (t 0 ) U (t, t 0 )U(t, t 0 ) Ψ 1 (t 0 ) > = < Ψ 2 (t 0 ) Ψ 1 (t 0 ) > = A sobreposição é preservada! Onde está o caos?

24 Caos quântico: níveis de energia Manifestações indiretas do caos no nível quântico, por exemplo, na distribuição discreta dos níveis de energia Origens: estudo do espectro atômico por Wigner, assumindo matrizes com elementos aleatórios RMT Conjectura BGS: conexão entre sistema quântico com dinâmica clássica caótica e resultados preditos pela RMT

25 Caos quântico: níveis de energia Manifestações indiretas do caos no nível quântico, por exemplo, na distribuição discreta dos níveis de energia Origens: estudo do espectro atômico por Wigner, assumindo matrizes com elementos aleatórios RMT Conjectura BGS: conexão entre sistema quântico com dinâmica clássica caótica e resultados preditos pela RMT

26 Caos quântico: níveis de energia Manifestações indiretas do caos no nível quântico, por exemplo, na distribuição discreta dos níveis de energia Origens: estudo do espectro atômico por Wigner, assumindo matrizes com elementos aleatórios RMT Conjectura BGS: conexão entre sistema quântico com dinâmica clássica caótica e resultados preditos pela RMT

27 Caos quântico: níveis de energia (2) Sistemas com análogo clássico regular: P(X) = e X. Sistemas com análogo clássico caótico: P(X) = π 2 Xe π 4 X 2.

28 Caos quântico: fórmula do traço Fórmula do traço de Gutzwiller: d(e) d(e) + 1 i Re p T p (E)A n p(e)e n» is n n p (E) «ν pπ 2 T p (E) é o período da órbita primitiva p; A n p é o coeficiente de estabilidade da órbita; S n p = p.d q é a ação da órbita p e suas repetições n; e ν p é a fase de Maslov

29 Resumo 1 Introdução Motivação Descrição do problema Nossa proposta 2 Caos Caos clássico Caos quântico 3 Grafos Definições Op. de Schrödinger Grafos abertos 4 Exemplo Grafo duplo-degrau

30 Grafos: definições Grafo G(V, B): V vértices conectados por B elos.

31 Grafos: definições (2) Matriz de conectividade C i,j (V V ): m se i j, i e j conectados por m elos C i,j = C j,i = 2m se i = j e existem m laços no vértice i 0 se não há conexão entre i e j. Métrica: x b = x i,j denota a distância x do vértice i ao longo do elo b. Elo b tem comprimento L b. Comprimentos dos elos são incomensuráveis: mb L b = 0 só possui solução trivial

32 Grafos: eq. de Schrödinger Operador de Schrödinger em um elo b: [ ( ) d 2 H b = i + A b + V b (x b )] dx b Equação de Schrödinger: d 2 dx 2 ψ b(x) = k 2 b ψ b(x), k b = k 2 V b Soluções: ondas planas contra-propagantes: ψ b (x) = a b e ik bx + c b e ik bx

33 Grafos: condições de contorno ψ deve ser contínua e sem fontes ou sumidouros nos vértices: lim xb x i b ψ b (x b ) = φ i, b S (i) d dx b ψ b i = 0, 1 i V

34 Grafos: condições de contorno ψ deve ser contínua e sem fontes ou sumidouros nos vértices: lim xb x i b ψ b (x b ) = φ i, b S (i) d dx b ψ b i = 0, 1 i V

35 Grafos: condições de contorno ψ deve ser contínua e sem fontes ou sumidouros nos vértices: lim xb x i b ψ b (x b ) = φ i, b S (i) d dx b ψ b i = 0, 1 i V

36 Grafos Abertos Adicionamos M ( V ) fios estendendo-se ao infinito: Dada a onda incidente, como encontrar onda espalhada?

37 Grafos Abertos Adicionamos M ( V ) fios estendendo-se ao infinito: Dada a onda incidente, como encontrar onda espalhada?

38 Grafos Abertos (2) As amplitudes no fio e nos elos se relacionam-se conforme: O i a i,j1. a i,jvi = Σ(i) I i c j1,i. c jvi,i Σ (i) = ρ (i) τ (i) j 1. τ (i) j vi τ (i) j 1 τ (i) j vi σ (i) j 1,j 1 σ (i) j 1,j vi..... σ (i) j vi,j 1 σ (i) j vi,j vi ρ (i) : coeficiente de reflexão da onda no fio; : amplitudes de transmissão fio-elo/elo-fio; τ (i) j σ (i) j,j : coeficientes de transmissões entre os elos.

39 Grafos Abertos: matriz de espalhamento c i,j = r,s ( 1 S ) 1 B (k) D (s,j)τ (j) s (i,r),(s,j) I j O i = ρ (i) I i + j τ (i) j c ij onde S B (k) = D(k) R, com D ij,i j (k) = δ i,i δ j,j eik bl b é responsável pelas fases R ji,nm = δ n,i C j,i C i,m σ (i) ji,im introduz as amplitudes

40 Grafos Abertos: matriz de espalhamento (2) Combinando todos os fios, obtemos a matriz V V : S (V ) i,j = δ i,j ρ (i) + r,s = δ i,j ρ (i) + r,s = δ i,j ρ (i) + ( τ (i) r 1 S ) 1 B (k) D (s,j)τ (j) s (i,r),(s,j) τ (i) r ( ) 1 S B n (k) n=0 p T i j B p e i(sp+νp) (i,r),(s,j) D (s,j) τ (j) s = Amplitude de saída em termos da propagação interna.

41 Grafos Abertos: matriz de espalhamento (2) Combinando todos os fios, obtemos a matriz V V : S (V ) i,j = δ i,j ρ (i) + r,s = δ i,j ρ (i) + r,s = δ i,j ρ (i) + ( τ (i) r 1 S ) 1 B (k) D (s,j)τ (j) s (i,r),(s,j) τ (i) r ( ) 1 S B n (k) n=0 p T i j B p e i(sp+νp) (i,r),(s,j) D (s,j) τ (j) s = Amplitude de saída em termos da propagação interna.

42 Grafos Abertos: matriz de espalhamento (2) Combinando todos os fios, obtemos a matriz V V : S (V ) i,j = δ i,j ρ (i) + r,s = δ i,j ρ (i) + r,s = δ i,j ρ (i) + ( τ (i) r 1 S ) 1 B (k) D (s,j)τ (j) s (i,r),(s,j) τ (i) r ( ) 1 S B n (k) n=0 p T i j B p e i(sp+νp) (i,r),(s,j) D (s,j) τ (j) s = Amplitude de saída em termos da propagação interna.

43 Grafos Abertos: matriz de espalhamento (2) Combinando todos os fios, obtemos a matriz V V : S (V ) i,j = δ i,j ρ (i) + r,s = δ i,j ρ (i) + r,s = δ i,j ρ (i) + ( τ (i) r 1 S ) 1 B (k) D (s,j)τ (j) s (i,r),(s,j) τ (i) r ( ) 1 S B n (k) n=0 p T i j B p e i(sp+νp) (i,r),(s,j) D (s,j) τ (j) s = Amplitude de saída em termos da propagação interna.

44 Resumo 1 Introdução Motivação Descrição do problema Nossa proposta 2 Caos Caos clássico Caos quântico 3 Grafos Definições Op. de Schrödinger Grafos abertos 4 Exemplo Grafo duplo-degrau

45 Grafo duplo-degrau fechado Modelo didático, variação estudada em M. Quântica I. Ray splitting: energias acima do potencial Resolvemos as condições de contorno para encontrar os autovalores a partir das raízes de: tan k 1 L 1 + tan k 2 L 2 = 0 Calculamos a distribuição de primeiros vizinhos (NND) para os primeiros 5 mil autovalores, com L 1 = 3, L 2 = 5, V 1 = 1.0 e V 2 = 2.0.

46 Grafo duplo-degrau fechado Modelo didático, variação estudada em M. Quântica I. Ray splitting: energias acima do potencial Resolvemos as condições de contorno para encontrar os autovalores a partir das raízes de: tan k 1 L 1 + tan k 2 L 2 = 0 Calculamos a distribuição de primeiros vizinhos (NND) para os primeiros 5 mil autovalores, com L 1 = 3, L 2 = 5, V 1 = 1.0 e V 2 = 2.0.

47 Grafo duplo-degrau fechado Modelo didático, variação estudada em M. Quântica I. Ray splitting: energias acima do potencial Resolvemos as condições de contorno para encontrar os autovalores a partir das raízes de: tan k 1 L 1 + tan k 2 L 2 = 0 Calculamos a distribuição de primeiros vizinhos (NND) para os primeiros 5 mil autovalores, com L 1 = 3, L 2 = 5, V 1 = 1.0 e V 2 = 2.0.

48 Grafo duplo-degrau fechado: histograma

49 Grafo duplo-degrau aberto: coef. transmissão Variação aberta para estudar problema de espalhamento Resolvemos as condições de contorno para encontrar o coeficiente t : transmissão do lado direito do potencial t = 8k 1e ik(l 1+L 2 ) k 2 k den den = k 2 1 ei(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k k 2 1 e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k k 2 1 ei(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 2 + e i( e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 2 k 2 + e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 2 k 2 + k 2 1 e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k + k +k 2 2 e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k k 2 2 e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k 1 + k 2 1 ei(k 2L 2 k 1 L 1 ) k + e +e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k 2 k 2 e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k 2 k 2 k 2 2 e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 1 + k 1 e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 2 k 2 2 e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k + k 2 1 ei(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k 2 + e

50 Grafo duplo-degrau aberto: coef. transmissão Variação aberta para estudar problema de espalhamento Resolvemos as condições de contorno para encontrar o coeficiente t : transmissão do lado direito do potencial t = 8k 1e ik(l 1+L 2 ) k 2 k den den = k 2 1 ei(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k k 2 1 e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k k 2 1 ei(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 2 + e i( e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 2 k 2 + e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 2 k 2 + k 2 1 e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k + k +k 2 2 e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k k 2 2 e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k 1 + k 2 1 ei(k 2L 2 k 1 L 1 ) k + e +e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k 2 k 2 e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k 2 k 2 k 2 2 e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 1 + k 1 e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 2 k 2 2 e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k + k 2 1 ei(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k 2 + e

51 Grafo duplo-degrau aberto: coef. transmissão Variação aberta para estudar problema de espalhamento Resolvemos as condições de contorno para encontrar o coeficiente t : transmissão do lado direito do potencial t = 8k 1e ik(l 1+L 2 ) k 2 k den den = k 2 1 ei(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k k 2 1 e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k k 2 1 ei(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 2 + e i( e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 2 k 2 + e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 2 k 2 + k 2 1 e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k + k +k 2 2 e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k k 2 2 e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k 1 + k 2 1 ei(k 2L 2 k 1 L 1 ) k + e +e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k 2 k 2 e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k 2 k 2 k 2 2 e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 1 + k 1 e i(k 2L 2 k 1 L 1 ) k 2 k 2 2 e i(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k + k 2 1 ei(k 2L 2 +k 1 L 1 ) k 2 + e

52 Grafo duplo-degrau aberto: Condutância G = e h tr(t t )

53 Grafo duplo-degrau aberto: transformada de Fourier Órbitas não-newtonianas!

54 Grafo duplo-degrau aberto: fórmula do traço Seguindo o formalismo matricial, obtemos: G(k) = G(k) + 1 2π Re p Bpe ν iν(sp+µp) (2) ν=1 B p = τ (1) 13 σ(3) A 13,31 σ(3) B 13,32 σ(3) C 23,31 σ(3) D 23,32 σ(1) E 31,13 σ(2) F 32,23 τ (2) 32 : coeficientes de reflexão e/ou transmissão entre elos ij e nm no vértice V : variam conforme a energia σ (V ) ij,nm A, B,... F : contadores do número de vezes em que houve reflexão ou transmissão no vértice em questão. G(k) = k 4 : média suave (via ajuste numérico).

55 Grafo duplo-degrau aberto: fórmula do traço Seguindo o formalismo matricial, obtemos: G(k) = G(k) + 1 2π Re p Bpe ν iν(sp+µp) (2) ν=1 B p = τ (1) 13 σ(3) A 13,31 σ(3) B 13,32 σ(3) C 23,31 σ(3) D 23,32 σ(1) E 31,13 σ(2) F 32,23 τ (2) 32 : coeficientes de reflexão e/ou transmissão entre elos ij e nm no vértice V : variam conforme a energia σ (V ) ij,nm A, B,... F : contadores do número de vezes em que houve reflexão ou transmissão no vértice em questão. G(k) = k 4 : média suave (via ajuste numérico).

56 Grafo duplo-degrau aberto: fórmula do traço Seguindo o formalismo matricial, obtemos: G(k) = G(k) + 1 2π Re p Bpe ν iν(sp+µp) (2) ν=1 B p = τ (1) 13 σ(3) A 13,31 σ(3) B 13,32 σ(3) C 23,31 σ(3) D 23,32 σ(1) E 31,13 σ(2) F 32,23 τ (2) 32 : coeficientes de reflexão e/ou transmissão entre elos ij e nm no vértice V : variam conforme a energia σ (V ) ij,nm A, B,... F : contadores do número de vezes em que houve reflexão ou transmissão no vértice em questão. G(k) = k 4 : média suave (via ajuste numérico).

57 Grafo duplo-degrau aberto: fórmula do traço Seguindo o formalismo matricial, obtemos: G(k) = G(k) + 1 2π Re p Bpe ν iν(sp+µp) (2) ν=1 B p = τ (1) 13 σ(3) A 13,31 σ(3) B 13,32 σ(3) C 23,31 σ(3) D 23,32 σ(1) E 31,13 σ(2) F 32,23 τ (2) 32 : coeficientes de reflexão e/ou transmissão entre elos ij e nm no vértice V : variam conforme a energia σ (V ) ij,nm A, B,... F : contadores do número de vezes em que houve reflexão ou transmissão no vértice em questão. G(k) = k 4 : média suave (via ajuste numérico).

58 Grafo duplo-degrau aberto: fórmula do traço (2)

59 Grafo duplo-degrau aberto: fórmula do traço (3)

60 Conclusões Evidência de caos em um modelo unidimensional. Menor esforço numérico Simplificado ao ponto da integrabilidade Conceito de ray splitting Necessidade de incluir órbitas não-newtonianas. Coeficientes r e t dependentes da energia Melhor estudo do limite semiclássico Fórmula do traço não envolve aproximações: exata

61 Conclusões Evidência de caos em um modelo unidimensional. Menor esforço numérico Simplificado ao ponto da integrabilidade Conceito de ray splitting Necessidade de incluir órbitas não-newtonianas. Coeficientes r e t dependentes da energia Melhor estudo do limite semiclássico Fórmula do traço não envolve aproximações: exata

62 Conclusões Evidência de caos em um modelo unidimensional. Menor esforço numérico Simplificado ao ponto da integrabilidade Conceito de ray splitting Necessidade de incluir órbitas não-newtonianas. Coeficientes r e t dependentes da energia Melhor estudo do limite semiclássico Fórmula do traço não envolve aproximações: exata

63 Conclusões Evidência de caos em um modelo unidimensional. Menor esforço numérico Simplificado ao ponto da integrabilidade Conceito de ray splitting Necessidade de incluir órbitas não-newtonianas. Coeficientes r e t dependentes da energia Melhor estudo do limite semiclássico Fórmula do traço não envolve aproximações: exata

64 Conclusões Evidência de caos em um modelo unidimensional. Menor esforço numérico Simplificado ao ponto da integrabilidade Conceito de ray splitting Necessidade de incluir órbitas não-newtonianas. Coeficientes r e t dependentes da energia Melhor estudo do limite semiclássico Fórmula do traço não envolve aproximações: exata