UFABC - Física Quântica - Curso Prof. Germán Lugones. Aula 11. Soluções da equação de Schrödinger: potencial degrau

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1 UFABC - Física Quântica - Curso Prof. Germán Lugones Aula 11 Soluções da equação de Schrödinger: potencial degrau 1

2 Partícula em presença de um potencial degrau Imaginemos um potencial com o perfil na figura abaixo, onde sua variação ocorre de maneira significativa somente num pequeno intervalo em torno de x = 0, sendo assim aproximadamente constante nos domínios I e II. Esse potencial resulta em uma força impulsiva que atua somente num pequeno intervalo, δ x δ. Fora desse intervalo o potencial nos domínios I e II é constante de modo que não há força resultante sobre a partícula. 2

3 No caso em que δ 0, o potencial adota a forma: V(x) = 0 para x < 0 V(x) = V 0 para x > 0 As soluções da Eq. de Schrödinger são bastante diferentes dependendo de se: - E > V 0 - E < V 0 3

4 Caso com E > V 0 Resolveremos primeiro o caso 1 (E > V 0 ) com a partícula incidindo desde a esquerda. REGIÃO I: Temos x<0,v =0 e a equação a ser resolvida é: ou d 2 ~ 2 d 2 2m dx 2 I (x) =E I (x) dx 2 I (x) = k 2 1 I (x), k 2 1 = 2mE ~ 2 4

5 Nesse caso é conveniente escrever solução geral de funções oscilatórias com as formas exponenciais que representam onda incidente e onda refletida I (x) = Ae ik 1 x + Be ik 1 x = inc (x) + ref (x) A razão disso é porque ao se introduzir a dependência temporal multiplicando a autofunção pelo fator exponencial e iet/ħ = e i!t para obter a função de onda (x, t) = (x) e i ~ Et = (x) e iwt tem-se: inc (x, t) =Ae ikx iwt ref (x, t) =Be ikx iwt Dessa forma existem dois tipos de onda na região I: uma onda que se move para a direita com amplitude A; e, uma onda que se move para a esquerda 5 com amplitude B.

6 REGIÃO II: partícula move-se para a direita com energia cinética K = E V 0 x>0, V =V 0 e a equação a ser resolvida é ou ~ 2 d 2 2m dx 2 II (x) +V 0 II (x) =E II (x) d 2 dx 2 II (x) = k 2 2 II (x), k 2 2 = 2m (E V 0) ~ 2 Nesse caso é conveniente escrever a solução geral de funções oscilatórias com as exponenciais II (x) = Ce ik 2 x + De ik 2 x = Ce ik 2 x = tra (x) Na região II as partículas movem-se para a direita de modo que D = 0. 6

7 Usamos agora as condições de contorno: I (0) = II (0) d I dx (0) = d II dx (0) Lembrando que: I (x) = Ae ik 1 x + Be ik 1 x II (x) = Ce ik 2 x as condições de contorno levam às seguintes relações: A + B = C k 1 A k 1 B = k 2 C 7

8 Dessas expressões obtemos: B = k 1 k 2 k 1 + k 2 A C = 2k 1 k 1 + k 2 A A solução mostra que de fato há onda refletida, i. e., B 0. 8

9 Consideremos o feixe incidente constante e determinemos os coeficientes de reflexão R e de transmissão T. Em ambos os domínios, I e II, as funções de onda descrevem partículas livres. A energia é conservada nos processos de reflexão e transmissão. Portanto, as frequências das funções em I e II devem ser as mesmas inc (x, t) = Ae ik 1 x iwt ref (x, t) = Be ik 1 x iwt tra (x, t) = Ce ik 2 x iwt 9

10 Os coeficientes R e T são definidos pelas razões R_ v 1 B B B B v1a*a A*A R _ B*B _ k 1 k 2l * (k1 k 2 k 1 k 2 2 T A*A \k1 + k2) \k1 + k2) k 1 + k2) _ v 2 C*C _ v 2 ( 2k1 )2 1 A*A v l I\k l + k2) v E > V onde pi hk1 p2 hk2 v 1 = = e m m and v 2 = _ m m são as velocidades da partícula nas regiões I e II respectivamente. Logo: T _ k 2 (2k 1 ) 2 4ki k 2 k 1 (k1 + k2)2 = (k1 + k2)2 E > Vo Veja que se verifica R + T =1. 1 (

11 A medida que E cresce k 2 k 1 e o coeficiente! R vai a zero. Em suma, os coeficientes R e T dão as probabilidades de que uma partícula de energia E > V 0 seja refletida ou transmitida. 11

12 Caso com E < V 0 A diferença agora é que no domínio II a equação de Schrödinger é ou ~ 2 d 2 2m dx 2 II (x) +V 0 II (x) =E II (x), d 2 dx 2 II (x) =apple 2 2 II (x), apple 2 = p 2m (V0 E) ~, onde o fator que multiplica ψ II (x) do lado direito na equação diferencial acima é positivo. 12

13 Com isso a solução geral é II (x) =Ce apple 2 x + De apple 2 x A condição de convergência lim x ψ II (x) = 0 implica que D = 0. Assim, a autofunção decresce exponencialmente. II (x) =Ce apple 2 x A solução na região I tem a mesma forma que no caso anterior, portanto: I (x) = Ae ik 1 x + Be ik 1 x II (x) = Ce apple 2 x 13

14 As condições de contorno I (0) = II (0) d I dx (0) = d II dx (0) agora fornecem A + B = C ik 1 (A B) = apple 2 C ) A B = i apple 2 k 1 C Essas duas relações permitem escrever A e B em termos de C A = C 2 B = C 2 1+i apple 2 k 1 1 i apple 2 k 1 14

15 Assim, a função de onda fica: < : 8 < (x) = : C 2 1+i apple 2 k 1 e ik 1 x + C 2 1 i apple 2 k 1 e ik 1 x, x apple 0 Ce apple 2 x, x 0 Multiplicando de ψ(x) pelo fator e iet/ħ = e i!t tem-se a função de onda Ψ(x,t) = ψ(x) e iet/ħ : (x, t) = (x) e iwt = ( C2 1+i apple 2 k 1 e ik 1 x iwt + C 2 1 i apple 2 k 1 Ce apple 2 x iwt, x 0 e ik 1 x iwt, 15

16 O coeficiente de reflexão R é: R B*B (1 ik2 /kl) *( 1 ik2/kl) A*A (1 + ik 2/k i)*(1 + ik2/ki) R (1 + ik 2/k i)(1 ik2/ki) _ 1 (1 ik2/ki)( 1 + ik2/ki) Portanto, não há partículas transmitidas: T = 1 R = 1 1 = 0. No entanto, como a função de onda é não nula em x>0 há uma probabilidade não nula de se encontrar a partícula nessa região que seria proibida pela mecânica clássica. 16