Fenômenos de Transporte III. Aula 06. Prof. Gerônimo

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1 Fenômenos de Transporte III ula 6 Prof. Gerônimo

2 6..- Difusão pseudo-estacionária num filme gasoso estagnado Figura a seguir ilustra um capilar semipreenchido por líquido puro volátil. Supondo que sobre esse líquido exista um filme gasoso estagnado B, deseja-se avaliar o coeficiente de difusão do vapor de nessa película. pós um intervalo de tempo considerável, nota-se a variação do nível do líquido, a partir do topo do capilar desde Z (t = ) até Z (t = t ). equação que descreve o fluxo mássico de um soluto desde Z até Z em um filme de gás estagnado B em um tubo capilar de dimensões infinitas é: N,.D,B d d B Z ( t = ) Z ( t = t )

3 O fluxo de na direção oposta de é: d N D, Z B N,Z d onsiderando o fluxo de B estagnado, temos: N B, Z N B, Z N N,Z,Z D ( Z Z d B D d ) d B,t,S d N N,Z,Z D Ln D Ln Ln B B,t,t,S,S

4 .D,B,t N, Ln Z Z ( ),S Z = altura entre o topo da coluna e a superfície do líquido antes de iniciar o processo de difusão de em B ( t = ); Z = altura entre o topo da coluna e a superfície do líquido após iniciar o processo de difusão de em B ( t = qualquer );,t = fração molar de no topo do tubo;, S = fração molar de na superfície do líquido; = concentração molar global na coluna gasosa; D,B = coeficiente de difusão de em B. Em muitas operações de transferência de massa, uma das condições de contorno pode mover-se com o tempo. O modelo pseudo-estacionário pode ser usado quando a difusão varia em pequena quantidade sobre um longo período de tempo. ssim, o fluxo molar N,Z em regime pseudo-estacionário será dado por: N, d d.v.. ( ) dt dt 4

5 Substituindo a equação ( ) na equação ( ) para regime pseudo-estacionário, temos: d. dt.d Z,B Z Ln,t, S ( ) = concentração mássica de ; = massa molecular de. Determine o tempo final de difusão de em B (ou num instante qualquer) e o coeficiente de difusão D,B para um determinado instante qualquer. d. dt.d Z,B Ln,t,S t dt ρ..d,b Ln,t,S Z Z.d 5

6 Ln..D ρ t Ln..D ρ t,s,t,b,s,t,b Ln..D ρ t,s,t,b Onde: t é tempo final de difusão da espécie em B desde Z a Z, ou: Ln..t ρ D,S,t B, Onde: D,B é o coeficiente de difusão da espécie em B no tempo t, desde Z a Z. ( 4 ) ( 5 ) 6

7 Exemplo : célula de rnold é um dispositivo que, de forma simples, permite a medição de coeficientes de difusão mássica. Na figura a seguir, é mostrado um esboço da célula. r (B) N, Z, nível em t = Líquido Z, nível em t = t 7

8 No experimento, em um intervalo de tempo t = t, mede-se a quantidade de líquido evaporado através da variação do nível Z = Z Z. difusividade de em B é então determinada por: D B..Ln em que é a massa específica do líquido ; a sua massa molar; é a concentração molar global na coluna gasosa;,t e,s são as frações molares de no topo da célula e sobre a superfície do líquido, respectivamente.,t,s.t Z. Z O modelo que permite essa relação tem como hipóteses: sistema binário ( + B ); o gás B insolúvel em ; fluxo difusivo de ao longo da célula dado pela seguinte equação: regime pseudo-estacionário; sistema a T e P constantes; difusividade D,B constante. d N,.D,B N, d N B, 8

9 a) Determine a difusividade mássica de clorofórmio () no ar (B), sabendo que, em um experimento com uma célula de rnold, em horas (6. s), a distância entre a superfície do clorofórmio e do topo da célula passou de Z = 7,4 cm ( t = ) para Z = 7,84 cm ( t = t ). onsidere que no topo da célula escoava ar puro, ou seja,,t =, e que na superfície do clorofórmio as condições eram de saturação. temperatura e a pressão mantiveram-se constantes e iguais a 98 K e, kpa, respectivamente. pressão de vapor do clorofórmio nessa temperatura é igual a 6,6 kpa. presente o resultado da difusividade em m /s utiliando o mesmo número de algarismos significativos empregados para representar a distância Z. b) Qual é a característica do processo que permite a adoção de regime pseudo-estacionário na sua modelagem? Dados: 48 Kg/m, 9 Kg/Kmol,,49 Kmol/m VP P,S 6,6 kpa a), S,6 P, kpa Z Z D..,B,t.Ln.t,s 48 Kg/m D,B.. 9 Kg/Kmol,49 Kmol/m.Ln.6 s,6 D,B 9,8. 6 m /s,784m,74m b) É o fato de a taxa de evaporação ser muito pequena. 9

10 Exemplo 4: Um capilar de cm de altura contém cm de etanol. alcule o tempo necessário para que o nível do álcool decresça em, cm, considerando que o capilar esteja preenchido por ar seco e estagnado a atm e 5. Suponha que o vapor de etanol seja totalmente arrastado no topo do capilar. Nessas condições, são conhecidos: ρ,787 g/cm ; P vap Etanol; B r seco 6,75 mmhg ; r seco,t = 46,69 g/mol N, cm cm Etanol Z = 8cm, nível em t =,,S = P VP /P Z = 8,cm, nível em t = t,,s = P VP /P

11 Solução: t ρ..d,b Ln, t,s vap, S P P 6,75 mmhg 76 mmhg,5 P [gmol/cm ] T atm 8,5atm.cm / gmol.k 98,5K 4,88x 6 gmol/cm D B, cm /s (Tabela... remasco)

12 746,8 s ou horas t 8, 8,,5 Ln /s., cm gmol/cm 46,69g/gmol.4,88x,787g/cm t Ln..D ρ t -6,S, t,b

13 6..4- Difusão pseudo-estacionário num filme gasoso estagnado. evalidação do experimento da esfera isolada. diferença básica entre os estados estacionários (regime permanente) e o pseudoestacionário é que o último considera a variação espacial no tempo de uma das fronteiras da região onde ocorre a difusão. taxa de evaporação do líquido (ou da sublimação de um sólido) de um certo corpode-prova, em coordenadas esféricas é dado pela seguinte equação: ρ dv W, r dt ( 6 ) na qual é a massa específica de, e V é o volume do corpo-de-prova considerado: V 4 dv 4 d ( 7 )

14 Substituindo (6) em (7) torna-se: ρ d 4, r ( 8 ) dt W omo há decréscimo de, a equação ( 8 ) é posta como: ρ d 4, r ( 9 ) dt W equação (9) fornece, por exemplo, a taxa molar de evaporação de uma gota líquida ou da sublimação de um sólido como consequência da variação do raio do corpo-de-prova de uma esfera. Entretanto, a taxa molar decorrente da distribuição da concentração do soluto no meio difusivo é dado pela equação (8) (ula 5): W, r 4..DBLn ( 8 ) 4

15 Igualando-se a equação (8) com a equação (9) e integrando, obtém-se: ) (t (t) ρ.t Ln.D ρ t Ln.D d dt Ln.D dt d ρ Ln.D dt d 4 Ln..D 4 B (t) ) (t t B (t) ) (t t B B B 5

16 Portanto, o coeficiente de difusão D B é dado por: D B.t ρ Ln t t ( ) Quando a contribuição convectiva puder ser considerada despreível em face à difusiva e não se encontrar traços do soluto antes de começar o fenômeno difusivo no meio considerado, iguala-se a equação () (ula 5) com a equação (9) e integra-se: W 4..D ( ), r B ρ d, r 4 ( 9 ) dt W 6

17 ) (t (t) ρ.t.d ρ t.d d dt.d dt d ρ.d dt d ρ 4..D 4 B (t) ) (t t B (t) ) (t s t B B B ρ.t D t t B ( ) 7

18 Exemplo : efaça o exemplo, considerando o fenômeno pseudoestacionário. onsidere o término do experimento em t = min. Solução: o observar os dados do exemplo anterior, verifica-se: t = ; (t ) =,85cm e para t = min; (t) =,8cm =,457x -7 gmol/cm omo no exemplo, o meio convectivo foi despreível, pelo fato de e =. ssim o coeficiente de difusão é calculado pela seguinte equação: D B.t ρ t t D B (,47x 7 gmol/cm,4g/cm (,85cm) )(x6s) 8,6g/gmol (,8cm) D B,765cm /s 8

19 Há de se perceber que esse resultado é para T = 45,5K (7) e o parâmetro de comparação é T = 5 (98,5K). dmitindo a predição do D B para essa nova temperatura, temos: D D D B T98,5K B T98,5K B T98,5K D B T45,5K,765cm,59 cm /s T T /s,75 98,5K 45,5K omo o valor experimental é igual a D B =,6cm /s, determina-se o desvio relativo por:,75 D. D. cal. exp. exp.,9% x%,59,6 x%,6 Verifica-se que ao adotar o modelo do regime pseudo-estacionário houve uma diminuição do valor do desvio relativo. Neste caso foi considerado a variação do raio do naftaleno, o qual torna o modelo mais preciso para o cálculo do D B. 9

20 6..5- ontradifusão equimolar Este fenômeno ocorre, por exemplo, na simultaneidade da condensação e evaporação de espécies químicas distintas, mas de características físicoquímicas semelhantes como o beneno e tolueno. Para cada mol de tolueno condensado, um mol de beneno evapora. Outra situação é aquela em que há dois reservatórios ( e ) interligados por um tubo. Nesses reservatórios estão contidas misturas binárias e B. No reservatório, >> B ; situação inversa para o reservatório, B. o provocarmos o contato entre os reservatórios, teremos para cada mol de que migra de para ; um mol de B irá de para. N, N B, Figura : ontradifusão equimolar (reservatórios interligados)

21 relação entre os fluxos molares das espécies e B é: a qual caracteria a contradifusão equimolar. Distribuição de concentração de : N, = - N B, ( ) omo o regime de transferência é permanente e o meio difusivo não é racional, a equação da continuidade de que rege a contradifusão equimolar, é dado por: t.n ''' dn,.n ( ) d

22 Pela equação, observe que devemos conhecer o fluxo molar de, o qual é obtido depois de substituir a igualdade da equação na equação do fluxo molar da espécie, ou seja: d N, Z DB N, Z N d NB,Z B, Z N, Z D B d d N d D ( ) B d, Z

23 Substituindo a equação na equação e considerando o sistema a temperatura e pressão constantes: d d ( 4 ) solução da equação 4 é uma distribuição linear da concentração de : () ( 5 ) s condições de contorno advêm da análise da Figura : : : em em ; ; ( 6 )

24 4 plicando as condições de contorno (6) na equação (5), obtém-se o seguinte sistema de equações: esolvendo o sistema (7), chega-se nas seguintes constantes: ( 7 ) ( 8 ) ( 9 )

25 Substituindo as soluções das constantes e na equação 5, obtém-se a distribuição da concentração do soluto : ( ) Fluxo de matéria de : O fluxo global de é obtido da equação em conjunto coma as condições de contorno 6. Visto que o fluxo é constante, temos: Z N, Z d D B d Z 5

26 D B N, Z ( ) o admitirmos que o fenômeno da transferência de massa ocorra em um meio gasoso ideal, podemos faer = P /T. Desse modo, o fluxo global de é dado, em termos de pressão parcial de : D B N, Z P P T( ) ( ) partir da equação, para a espécie B, temos: N, Z NB, Z D B NB, Z P P T( ) ( ) 6

27 Estas equações, e implicam que a concentração molar (ou fração molar) e a pressão parcial de qualquer gás variam linearmente durante a contradifusão equimolar. É interessante notar que a mistura é estacionária numa base molar, mas não é estacionária em uma base mássica, a menos que as massas molares de e B sejam iguais. Embora a vaão líquida molar através do canal seja ero, a vaão mássica líquida da mistura através do canal não é ero e pode ser determinada através de: m m m B W W B B ( 4 ) Pela equação temos: N, Z N B, Z Se multiplicarmos pela área da seção transversal do tubo por onde escoam os gases, fica: N Z W N, B,Z, WB, ( 5 ) 7

28 plicando a relação 5 na equação 4, fica: m m m B W ( B ) ( 6 ) Note que a direção da vaão mássica líquida é a direção do escoamento do gás com a maior massa molar. Um dispositivo de medida de velocidade, como um anemômetro, colocado no canal indicaria uma velocidade de v = ṁ/, onde é a densidade (ou concentração mássica) total da mistura no local da medida. Exemplo : pressão em uma tubulação que transporta gás hélio a uma taxa de kg/s é mantida a atm pela ventilação de hélio para a atmosfera através de um tubo de 5 mm de diâmetro interno, que se estende 5 m no ar, como mostrado na Figura. Supondo que ambos, o hélio e o ar atmosférico, estão a 5, determinar: (a) a vaão mássica de hélio perdido para a atmosfera através do tubo, (b) a vaão e a fração mássica de ar que se infiltra na tubulação, (c) a velocidade do escoamento no fundo do tubo onde este está ligado à tubulação que vai ser medida por um anemômetro em regime permanente 8

29 r (B) P = atm T = 5 He x = 5 m 5 mm Hélio () P = atm T = 5 He r ṁ = kg/s x = Suposições: - Existem condições de funcionamento permanentes. - O hélio e o ar atmosférico são gases ideais. - Não ocorrem reações químicas no tubo. 4- concentração de ar na tubulação e a concentração de hélio na atmosfera são insignificantes, de forma que a fração molar do hélio é na tubulação e na atmosfera (vamos verificar essa hipótese depois). 9

30 Dados: O coeficiente de difusão do hélio no ar (ou ar no hélio) em condições atmosféricas normais é D B = 7,x -5 m /s. s massas molares do ar e do hélio são 9 e 4 kg/kmol, respectivamente. constante universal dos gases = 8,4 kpa.m /kmol.k Solução: Este é um processo típico de contradifusão equimolar, uma ve que o problema envolve dois grandes reservatórios de misturas de gases ideais ligados entre si por um canal e as concentrações das espécies em cada reservatório (a tubulação e a atmosfera) permanecem constantes. a) vaão mássica de hélio perdido para a atmosfera através do tubo. área do escoamento, que é a área da seção do tubo, é: πd 4 π(,5m) 4,96x 5 m

31 Notando que a pressão parcial do hélio é de atm ( = ) no fundo do tubo (x = ) e ero ( = ) no topo (x = 5m), a sua vaão (ou taxa) molar é determinada a partir da equação como: W W W,, N,,,96x 8,4kPa.m,85x DB T( kmol/s ) P 5 5 m 7,x m /s /kmol.k 98K (5m) P atm,kpa atm Portanto, a vaão mássica do hélio, ṁ, é dado por: m m m W,85x kmol/s4kg/kmol,54x kg/s

32 (b) a vaão e a fração mássica de ar que se infiltra na tubulação. Observando que W = -W B, durante um processo contradifusão equimolar, a vaão molar de ar para dentro da tubulação é igual a vaão molar do hélio dentro da tubulação. Portanto, a vaão mássica de ar para dentro da tubulação é: m m m B B B W fração mássica de ar na tubulação é: B B,85x kmol/s 9kg/kmol,x kg/s w w B B m m B total 5,6x,x,x kg/s,54x kg/s o que valida a suposição inicial de ar despreível na tubulação.

33 c) vaão mássica líquida através do tubo capilar. m m líquida líquida m m B 9,66x,54x kg/s,x kg/s fração de massa do ar no fundo do tubo é muito pequena, como demonstrado anteriormente e, assim, a densidade da mistura em x = pode simplesmente ser considerada a densidade do hélio, que é de: He He P T,67,kPa 4kg/kmol 8,4kPa.m /kmol.k 98K kg/m Então, a velocidade média do escoamento na parte do fundo do tubo se torna: v v mliq ρ,x 9,66x,67 kg/m 4kg/kmol 5 m/s kg/s