FUNÇÃO AFIM E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA E FÍSICA NO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO

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2 FUNÇÃO AFIM E RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE MATEMÁTICA E FÍSICA NO 1º ANO DO ENSINO MÉDIO Autor: Carlos Eduardo Meira dos Santos 1 Orientadora: Leônia Gabardo Negrelli 2 Resumo: Neste artigo são apresentados os resultados de um trabalho desenvolvido com uma turma de 1 ano do Ensino Médio no Colégio Estadual Ottília Homero da Silva, situado em Pinhais, município da região metropolitana de Curitiba, no Paraná. Com o objetivo de ensinar o conteudo função afim foi empregada a estratégia de resolução de problemas proposta por Polya, promovendo a interdisciplinaridade entre matemática e física. Foram fomulados e propostos problemas envolvendo situações comumente exploradas na disciplina de física e que permitem uma abordagem do conceito de função afim. Um conjunto de seis problemas foi utilizado no decorrer de aulas regulares, numa turma com vinte e oito alunos. Após a apresentação e discussão de um problema e de estratégias de resolução que poderiam ser empregadas, os alunos, reunidos em grupos produziram soluções e fizeram seus registros. O professor fazia intervenções, explicando os conteúdos, questionando e/ou incentivando os alunos sobre as estratégias e conhecimentos que poderiam utilizar para chegar à resolução do problema em questão. Além dos problemas resolvidos em sala de aula, cujos registros feitos pelos alunos foram recolhidos e avaliados, outros problemas foram propostos para que resolvessem em casa e entregassem ao professor que, ao comparar os registros de um mesmo aluno, na resolução de problemas diferentes, pudesse detectar avanços, entendimentos e/ou limitações dos estudantes. Os resultados obtidos com essa experiência foram motivadores para a execução de outros encaminhamentos didáticos semelhantes, uma vez que o trabalho interdisciplinar, a explicitação e a discussão das estratégias empregadas para a resolução de problemas de matemática impede a passividade dos alunos durante as aulas, o que também impulsiona o professor a buscar uma proposta de ensino mais eficaz. Palavras chave: Função afim; Resolução de problemas; Física; Ensino Médio. 1. Introdução Neste trabalho abordamos o conceito de função e o conteúdo função afim por meio de resolução de problemas que contemplam conceitos comumente estudados na disciplina de Física. Em livros didáticos de matemática para o Ensino Médio há propostas de abordagens diferentes, feitas por autores diversos, para um mesmo conteúdo. Em alguns desses livros o 1 Professor PDE do Colégio Estadual Ottília Homero da Silva, Pinhais-PR. 2 Professora da Universidade Tecnológica Federal do Paraná, Curitiba-PR.

3 objeto matemático de interesse de nosso estudo é apresentado como um tipo de função polinomial, mais precisamente, como uma função polinomial do 1º grau; em outros é denominado função afim. Para o desenvolvimento desse trabalho foram formulados problemas envolvendo Física e Matemática e ao realizar as atividades previstas com alunos, o conceito de função afim não foi apresentado antes dos problemas. A elaboração e a formalização do conceito de função como relação de dependência entre variáveis, ou como proporcionalidade, foram conduzidos de modo a permitir a exploração do significado prático de se identificar uma constante de proporcionalidade em determinada situação, o conceito de taxa de variação. A interpretação geométrica de tal tipo de função também foi sendo explorada na medida em que foram sendo resolvidos os problemas. Com estas atividades prévias e explorando particularidades de fenômenos que uma função afim pode ajudar a descrever, os alunos começaram a perceber relações funcionais antes não observadas. Em concordância com os Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio (PCNEM) percebemos, a partir de nossa experiência como docente, que As funções estudadas isoladamente perdem o caráter historicamente integrador que lhe é intrínseco. O conceito de Função e a sua representação em gráficos permitem descrever e estudar o comportamento de fenômenos tanto do cotidiano, como de áreas do conhecimento como a Física, a Geografia, a Economia e tantas outras. (BRASIL, 1999). Conforme Barreto (2008) o conceito de função é considerado um dos mais importantes da Matemática, pois seus aspectos mais simples estão presentes nas noções básicas de várias ciências. Uma forma de abordar esse conceito como um conteúdo escolar, e que tem se revelado desafiadora em nossa prática profissional, é a resolução de problemas. Segundo Polya (1997, p. 01), resolver um problema é encontrar um caminho onde nenhum outro é conhecido de antemão, encontrar um caminho a partir de uma dificuldade, encontrar um caminho que contorne um obstáculo, para alcançar um fim desejado, mas não alcançável imediatamente, por meios adequados.

4 Ao propor atividades de resolução de problemas para os alunos, um dos primeiros passos foi fazer com que eles identificassem a situação problema. Apresentei seis problemas, um a um, que buscavam integrar conteúdos de física, comumente ensinados no 1º ano do Ensino Médio, com conteúdos de matemática ensinados nesse mesmo ano. Foram dois problemas de Dinâmica e quatro de Cinemática. Os dois problemas de Dinâmica envolviam constante de elasticidade e os de Cinemática envolviam movimento retilíneo uniforme (MRU) e lançamento vertical. Embora destaquemos os conteúdos físicos, o foco principal foi ensinar o conteúdo função afim. Pela natureza dos problemas propostos para este trabalho-pesquisa foi elaborado um caderno que teve como base a interdisciplinaridade. Os problemas naturalmente promoviam a interligação do conteúdo matemático função afim com conteúdos da disciplina de física, tornando efetiva a proposta dos PCNEM segundo os quais, A interdisciplinaridade não tem a pretensão de criar novas disciplinas ou saberes, mas de utilizar os conhecimentos de várias disciplinas para resolver um problema concreto ou compreender um determinado fenômeno sob diferentes pontos de vista. Em suma, a interdisciplinaridade tem uma função instrumental. Trata-se de recorrer a um saber diretamente útil e utilizável para responder às questões e aos problemas sociais contemporâneos. (BRASIL, 1999, p. 89). Para o desenvolvimento do trabalho foram utilizadas fotocópias dos problemas apresentados no caderno didático. Com os alunos já divididos em grupos, a postura do professor foi de colaborador na resolução dos problemas. Nesta primeira fase do trabalho, apenas foi colocado no quadro negro as ideias certas ou erradas dos alunos, promovendo as discussões cabíveis a cada sugestão, tendo como pano de fundo as seguintes etapas propostas por Polya (1997) para resolução de problemas: compreensão, elaboração do plano, aplicação do plano e conferência do resultado. Na sequencia os alunos resolveram um segundo problema, porém individualmente. problemas resolvidos em grupo foram entregues na mesma aula. As soluções dos Já para o segundo problema foi dado um tempo maior de resolução. Os alunos puderam levar o enunciado para casa, ler e reler várias vezes para buscar a compreensão, e propor uma solução. A seguir apresentamos considerações acerca dos problemas e as resoluções propostas pelos alunos.

5 2. APRESENTAÇÃO E DISCUSSÃO DAS ATIVIDADES As atividades foram desenvolvidas em uma turma de 1º ano do Ensino Médio noturno de Educação Geral com 28 alunos no começo do ano letivo de 2013, momento em que havia certo número de alunos matriculados e que ainda não frequentavam as aulas. No decorrer das atividades, alguns desses alunos começaram a frequentar as aulas. Foi feita a avaliação do registro dos alunos, o que nos deu indicações acerca do empenho, compreensão e habilidade de mobilizar seus conhecimentos, novos e anteriores, na resolução do problema proposto. A seguir apresentamos as considerações acerca de cada um dos seis problemas propostos Os problemas de constante elástica Os problemas 1 e 2 tiveram em comum a situação de deformação de molas a partir da aplicação de uma força (peso) em sua extremidade. As molas ficam penduradas com seu tamanho original e após a aplicação de vários pesos diferentes, verifica-se um fenômeno de variação no comprimento da mola. Essa variação é proporcional ao peso nela posto. Neste problema identifica-se uma função, que segundo Dante (2010) pode ser classificada como Função Linear, uma função f: lr lr definida por f(x) = ax, para todo x ϵ lr. Nesses dois primeiros problemas, tive o desafio de efetivar as etapas propostas por Polya, promovendo compreensão, seguida da elaboração de um plano, aplicação do plano e conferência do resultado encontrado. Foi proposto aos alunos que registrassem essas etapas no caderno e procurassem aplicálas em todas as situações-problema que seriam apresentadas. O primeiro passo proposto por Polya gerou muitas discussões na tentativa de arranjar técnicas para buscar a compreensão e uma dessas técnicas que se destacou foi a explicitação dos conjuntos numéricos envolvidos e a representação do problema na forma de desenhos ou esquemas. A explicitação dos conjuntos estava embasados no estudo dos conjuntos e relações de pertinência estudados no começo do ano letivo, e a construção de esquema e esboço de

6 desenhos apareceram como uma forma mais livre e criativa de explorar o problema, revelando detalhes do problema que ajudavam na sua fragmentação e consequente compreensão. A elaboração de tabelas também teve um papel importante na percepção por parte dos alunos das relações de proporcionalidade entre as variáveis, e esta acabou por se tornar um mecanismo corriqueiro para examinar os conjuntos de valores envolvidos nos problemas. A partir das construções de tabelas surgiram espontaneamente, sem que fosse sugerido pelo professor, a representação de conjuntos por meio de diagramas de Venn. A seguir dois exemplos de registros dos alunos. Figura 1: Registro de anotação espontânea de alunos. As relações numéricas demonstradas nesses dois quadros fizeram com que os alunos percebessem as relações de proporcionalidade, mas quando foram questionados sobre os limites destas ocorrências deram respostas como:- depende do material da mola ; - depende do tamanho da mola, o que permitiu reexplorar o conceito de variável e relação de dependência de variáveis. Os registros desse 1 problema na forma de esquemas ficaram muito parecidos. Em geral, semelhante ao que mostra a figura a seguir.

7 Figura 2: Registro de desenho feito pelo aluno. No gráfico a seguir podemos observar a evolução dos alunos medidas numa escala de 0 a 3 entre o primeiro problema e o segundo, lembrando que o segundo eles fizeram sozinhos e levaram para casa. A ausência de alguma cor indica a não participação do aluno nesta atividade e sua avaliação. Figura 3: Resultado da avaliação dos registros das resoluções pelos alunos. Dos 30 alunos que constam no livro de chamada da turma do 1º C noturno, destes foram separado 13 alunos que fizeram a resolução dos dois primeiros problemas de constante elástica, e podemos observar que 8 melhoraram no segundo problema (individual), 2 obtiveram os mesmos

8 resultados no 1º e no 2º problema e 3 alunos tiveram queda entre o 1º e o 2º. Notemos que houve significativo avanço no registro dos alunos Os problemas de dinâmica Nestes dois problemas de dinâmica, envolvendo movimento retilíneo uniforme (MRU) e velocidades constantes, apesar dos alunos repetirem o processo utilizado nos dois primeiros problemas para compreensão (desenhando um esquema e explicitando os conjuntos), a relação de proporcionalidade do primeiro problema foi facilmente identificada. Já no segundo problema houve certo grau de dificuldade, provavelmente pela diversidade de unidades de medida apresentadas (m/s e km/h). Houve a necessidade de trabalhar conversão de unidades m/s e km/h e os alunos fixaram o número 3,6 para esta conversão. Lembrando-os que, converter 54 km/h em m/s até que era fácil, pois dava um número inteiro, mas observar o problema que pedia meia hora mais uma hora e vinte minutos tudo em segundo, o número ficaria muito grande. Maiores ainda foram as discussões sobre os tempos em função das distâncias, afinal quando for dividir, por exemplo 303 km por 54 km/h, a resposta a essa hora seriam números não inteiros. O que isto significava na questão de horas? Percebemos o desagrado por parte dos alunos na ocorrência de números racionais, mas com calma e lendo décimos, centésimos e milésimos, foi apresentada a interpretação dos décimos de hora, convertendo em minutos, no exemplo da divisão de 303 km por 54 km/h temos 5, horas. O questionamento que houve foi:- O que isto significa? E alguém na sala respondeu 5h e 6 minutos. A partir dessa observação foi possível discutir e ensinar a conversão de unidades, observando que neste caso o 6 representa décimos de hora, ou seja 6/10 de uma hora, que é 6/10 de 60 minutos, já que uma hora tem 60 minutos. Portanto, basta multiplicar a fração de 6/10 por 60 minutos, o que resulta em 36 minutos. Analogamente, em 5,61 o 61 representa centésimos da hora, o que pode ser escrito como 61/100 vezes 60 minutos, resultando em 36,6 minutos, sendo o 0,6 deste resultado igual a 6/10 do minuto, sendo que cada minuto equivale a 60 segundos.

9 A seguir apresentamos mais dois registros na forma de desenhos para busca da compreensão do problema. Figura 4: Registro feito por um aluno. Figura 5: Registro feito por um aluno. Após muitas discussões sobre as relações existentes entre espaço, velocidade e tempo chegou-se à formulação de que o espaço é velocidade multiplicando o tempo e quando o espaço inicial percorrido é diferente de zero, além da constante de proporcionalidade V aparece o S 0 aparece na relação funcional entre espaço e tempo, o que é expresso pela fórmula S = S 0 + V.T. A partir de então todos passaram a usar esta relação e foi possível mostrar o papel do coeficiente b na função f(x) = ax + b, onde a é a velocidade x é o tempo e o b espaço inicial percorrido. Podemos observar a utilização do espaço inicial na fórmula mesmo que representado por 0 (zero).

10 Figura 6: Registro feito por aluno durante a resolução em sala. Organizados os cálculos ficou evidente o emprego dos conteúdos ensinados na resolução do segundo problema, conforme os exemplos seguintes. Figura 7: registro feito por aluno durante a resolução em sala Fonte: O Autor.

11 Nesses últimos exemplos podemos ver um dos cálculos de tempo no qual ocorre um número racional, o que ocasionou uma boa discussão quanto ao significado dos décimos, centésimos e milésimos, permitindo a compreensão acerca da diferença entre um sistema de números decimal e um sistema de números sexagesimal (contagem de horas). O gráfico a seguir mostra os resultados obtidos nas duas avaliações dos problemas de MRU, sendo o primeiro realizado em grupo e o segundo sendo uma avaliação individual. Nele podemos observar uma evolução entre a 1 a e a 2 a avaliação. Se considerarmos os alunos que fizeram as duas avaliações (15 alunos) oito tiveram queda de desempenho individualmente e sete alunos tiveram desempenhos melhores quando trabalharam sozinhos, o que torna o processo todo relevante já que uma avaliação individual é compreendida como mais difícil do que uma em grupo. Figura 8: Resultados dos registros das resoluções dos problemas pelos alunos 3º Problema 4º Problema 2.3. Os problemas de lançamento vertical A discussão do primeiro problema de lançamento vertical foi além das expectativas, pois no lançamento vertical além de ter uma função afim relacionando velocidade com a velocidade inicial a aceleração (gravidade) e o tempo, existe nele uma função quadrática relacionando também espaço, com

12 que conseguimos até explorar informalmente o conceito de limite e de derivada. Surgiu por parte dos alunos um comentário acerca da maçã de Newton, e então pudemos conversar acerca da gravidade, sobre contribuições de Galileu Galilei e sobre o método científico de pesquisa e a importância dele. Para a exploração e resolução desses problemas da terceira fase (lançamento vertical), novamente retomei com os alunos as ideias de Polya para resolução de problemas e eles, na busca de compreensão, após lerem e relerem os problemas, começaram a fazer desenhos, evidenciando os conjuntos de valores envolvidos. Nestes problemas a atividade de completar uma tabela dada facilitou aos alunos compreender proporções existentes entre velocidade e tempo. Outro conceito que gerou importantes discussões foi a aceleração da gravidade, sendo ela a força que atrai os corpos para a Terra. O valor adotado foi 10 m/s², o que indica a aceleração sendo a variação de velocidade em relação à variação de tempo, ou seja, a velocidade dos corpos variava 10 m/s a cada segundo não importando se ele estava subindo ou descendo. No segundo problema a tabela continha as velocidades de 30 m/s para o tempo 0s, 0 m/s para 3s e 60 m/s para 9s. Os alunos foram questionados quanto ao significado de uma velocidade negativa (- 60 m/s) e deste questionamento surgiram dois comentários. Um aluno afirmou que era por que estava freando e outro verificou que, aumentando o tempo, a velocidades apesar de negativa estava aumentando também. Para ambos foi dada a explicação de que era por causa do sentido do movimento: positivo quando subia e negativo quando descia. Então, um aluno apressado em resolver disse: sendo assim, a fórmula do problema estava errada pois vinha assim v = v 0 + g.t (com o g positivo) e os resultados não batiam e ele mesmo concluiu que tem que ser negativo a aceleração gravitacional. Percebemos aqui uma compreensão a partir de um questionamento correto (por que velocidade negativa?) e da organização das questões dentro de um problema. Respondendo ao aluno ficou claro que, as ideias da representação das fórmulas são na sua grande maioria positiva e o número adotado ali no problema é que seria negativo, pois estou usando a gravidade para frear o objeto lançado. Com isto quase todos observaram que, quando o corpo subia, a aceleração é negativa e quando descia era positiva, pois aumentava a velocidade do corpo. Por fim foi justificado que o sinal para

13 as velocidades só indicava o sentido do movimento. Houve um aluno que desenvolveu os cálculos para preencher a tabela do 2º problema, mas os demais optaram por apenas seguir a sequência lógica, o que interpreto como objeto facilitador da resolução do problema. Figura 9: registro feito por aluno que levou o problema para resolver em casa O preenchimento da segunda tabela foi a que precisou de maior trabalho por parte dos alunos afinal tratava-se de uma função quadrática onde o espaço percorrido estava dado em função do tempo. Foi apresentada aos alunos a formula do espaço em função do tempo (S = S 0 +v 0 t + ½.a.t²), mas neste momento não foi discutido e nem exposto como surge esta relação funcional quadrática, o que seria feito posteriormente, uma vez que o foco deste estudo era a função afim. Para este tipo de função a exploração focou numa revisão de valor numérico de uma expressão algébrica, o que vemos nos exemplos abaixo.

14 Figura 10: Registro feito por aluno em casa. Aqui vemos o não desenvolvimento da potência antes de multiplicar Aqui podemos observar erro nas duas multiplicações Fonte: O autor Os erros que aparecem na figura acima foram, segundo o alunos, erros de distração os quais foram percebidos e corrigidos num atendimento individual ao aluno, que argumentou ter feito os cálculos, muito rápido num intervalo entre suas atividades profissionais. A tabela abaixo mostra como deveria ter sido os valores. Tabela 1: feita pelo professor para correção do problema em sala Tempos (s) Espaços (m) Fonte: O autor Aqui existe ainda o resultado -85 metros para o tempo 9s que, no início gerou estranhamento nos alunos. Novamente foram retomadas as ideias de Polya e a aplicação das técnicas de compreensão. No desenho de como o projetil é lançado para cima, pudemos observar pela tabela 1 que, do tempo 0s até 3s, o projétil sobe e, de 3s até 9s, o projetil desce. Além disso, o limite do movimento subida e descida para o mesmo lugar seria de 0s a 6s. Então, em 9s o projétil deverá descer abaixo de onde foi jogado, representando

15 uma altura negativa. Mas para essa tabela o cálculo de maior desafio para os alunos foi para encontrar o tempo a partir do espaço, o que recaía em uma equação polinomial do 2º grau, onde o desafio foi lembrar como se resolvia uma equação deste tipo. Revisamos conteúdos de 9º ano como a fórmula resolutiva conhecida como fórmula de Bháskara, e a forma canônica de resolver esse tipo de equação. No gráfico a seguir vemos como se saíram os alunos para os dois últimos problemas de lançamento vertical e podemos perceber que o desempenho foi satisfatório, pois mais da metade tiveram melhora de desempenho entre o 1º problema, lembrando que era em grupo, e o 2º problema que era individual. 2,5 Figura 11: Resultados dos registros das resoluções dos problemas pelos alunos. 2 1,5 1 0, º Problema 2º Problema Salientamos que dentro das normas pré-estabelecidas para resolução dos problemas nestes últimos só observamos 9 alunos pois os demais, por diversos motivos, não estiveram presentes nas aulas para desenvolver resoluções de um e de outro problema. Então para acompanhar o desenvolvimento da relação entre o primeiro problema que era em grupo para o segundo que era individual foi exposto somente o resultado dos que fizeram os dois problemas. O gráfico abaixo mostra como foi o desempenho de todos

16 juntos nesta resolução dos problemas de lançamento vertical, observando os que fizeram um só dos problemas ou os dois. Figura 12: Resultados dos registros das resoluções dos problemas pelos alunos 1º Problema 2º Problema Um dos motivos de vários alunos terem feito só um dos dois problemas era justamente eles terem garantido notas boas nos demais problemas, garantindo assim nota acima da média no boletim, tirando lhes o dever de resolver os problemas; atitude lamentável. 3. Considerações finais Este trabalho foi desenvolvido por um único professor da disciplina de matemática, mas poderia ser feito em parceria com o professor de física. Neste caso o autor e também professor de física, embora durante o desenvolvimento deste trabalho atuasse apenas como professor de matemática fazendo da interdisciplinaridade entre matemática e física um ganho para os alunos no aspecto da compreensão dos conceitos, ajudando-os assim, a aprender o conteúdo função afim, dentro de um conjunto de ações (problemas), construídos numa sequência tal que o próprio aluno consegue planejar e executar procedimentos antes apenas apresentados pelo professor. A sequencia das ações são de suma importância e a participação ativa dos alunos mais ainda. Para se ter ambas é preciso explorar e refletir sobre as experiências em sala de aula, buscando conhecer os alunos, acompanhando

17 de perto suas ações, sucessos e dúvidas. Observando as leituras e compreensões extraídas das próprias situações problemas, não fornecendo respostas, mas fazendo perguntas, até chegar a um ponto em que o aluno compreenda o que faz e o professor reconheça o aprendizado dele. Este estudo permitiu constatar que as estratégias de resolução de problemas propostas por George Polya podem elas mesmas ser um conteúdo significativo de os demais conteúdos previstos na formação dos alunos do ensino Médio. Reforçamos que o conteúdo função afim é indispensável na interpretação de fenômenos da física, evidenciando o papel que dado a ele nos PCNEM, afinal o estudo de função permite ao aluno a linguagem algébrica como a linguagem das ciências, necessária para expressar a relação entre grandezas e modelar situações-problemas, construindo modelos descritivos de fenômenos e permitir varias conexões dentro e fora da própria matemática (BRASIL, 2006 p. 121). Em suma, o conjunto das ações sincronizadas e bem fundamentadas, trazem uma alegria tanto de ensinar como de aprender e isto deve ser tal que contagie a todos. 4. Referências BARRETO, M. M. Tendências atuais sobre o ensino de função no ensino médio. PPG-Ensino de Matemática, UFRGS, Porto Alegre, Disponível em: < Acesso em 15 de jun. de BRASIL.. Ministério da Educação (MEC), Secretaria de Educação Média e Tecnológica (Semtec). Parâmetros Curriculares Nacionais para o Ensino Médio. Brasília: MEC/Semtec, BRASIL. Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e tecnológica. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio: Ciência e natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC; SEMTEC, DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicação. São Paulo: Ática, ONUCHIC, L. R. Ensino-aprendizagem da matemática através da resolução de problemas. In: BICUDO, Maria Aparecida Viggiane (Org.). Pesquisa em Educação Matemática- Concepções e Perspectivas. São Paulo: Editora Unesp, p PAIVA, M. Matemática. Ensino Médio. V. 1. São Paulo: Moderna, 2009.

18 POLYA, G. A arte de resolver problemas. Rio de Janeiro: lnterciência, TIPLER, Paul A. Física para Cientistas e Engenheiros - volume 1. Rio de Janeiro: Editora Livros Técnicos Científicos, Ed. LTC 2006 GASPAR, Alberto. Física, volume único: Livro do Professor, São Paulo, Editora Ática, 2005.