Plano de Aulas. Física. Módulo 10 Dilatação térmica

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1 Plano de Aulas Física Módulo 10 Dilatação térmica

2 Resolução dos exercícios propostos Exercícios dos conceitos 8 CAPÍTULO 1 1 a Com o aumento da temperatura, o período de oscilação do pêndulo aumenta, e o relógio, levando mais tempo para completar uma oscilação, atrasa. 2 e Se a 1. a 2, a lâmina preta (externa) se dilata mais que a amarela, consequentemente a espiral se fecha e o ponteiro gira no sentido horário. Se a 1, a 2, lâmina amarela (interna) se dilata mais que a preta, consequentemente a espiral se abre, e o ponteiro gira no sentido anti-horário. 3 c A variação do comprimento de um corpo em função da variação da temperatura é dada por: SL 5 L 0 3 a 3 St Assim, como a latão. a aço ] SL latão. SL aço Tanto no aquecimento quanto no resfriamento, a variação no comprimento da parte de latão da lâmina é maior. Portanto, a figura que melhor representa as formas assumidas pela lâmina é a c. 4 d Dados: St 5 ( ) wc SL L Da lei da dilatação linear: SL 5 L 0 3 a 3 St ] L 5 L 3 a ] a wc 21 5 c Termômetro em equilíbrio com gelo em fusão: t wc L cm Termômetro em equilíbrio com vapores de água em ebulição: t wc L 5 9 cm Da lei da dilatação linear, para uma variação de temperatura de 100 wc: SL 5 a 3 L 0 3 St ] 6 5 a ] a 5 0,02 wc 21 Para determinarmos o comprimento L 35 da coluna de mercúrio quando o termômetro mede 35 wc, podemos calcular a variação do comprimento dessa coluna quando a temperatura é elevada de 0 wc a 35 wc: SL 35 5 a 3 L 0 3 St ] SL , ] SL ,1 cm Mas L 35 5 L 0 1 SL 35 ] L ,1 ] L ,1 cm 6 b Dados: L m; St 5 20 wc; a 5 1, wc 21 Da lei da dilatação linear: SL 5 L 0 3 a 3 St ] SL , ] SL 5 2, m 5 2,4 cm 7 a Coeficiente de dilatação linear do aço: a 5 1/ wc wc 21 Ao ser submetido a uma variação de temperatura de 20w C, a variação no comprimento da torre é, pela lei da dilatação linear: SL 5 L 0 3 a 3 St ] SL ] SL 5 1, m 5 1,0 cm 8 b Dados: L 0 5 2,00 km 5 2, m; a wc 21 Sabendo que: t c 5 5 t F t wf ] t c ] t wc t wf ] t c ] t 7 143,33 wc 5 9 A máxima variação esperada no comprimento da ponte é: SL 5 L 0 3 a 3 St ] SL (43,33 2(240)) ] SL 7 2,0 m 9 A variação linear no comprimento do diâmetro do cilindro é dada por: SL 5 L 0 3 a 3 St ] SL 5 10, (2,7 2 30) ] SL 5 23, cm Assim, o diâmetro final do cilindro é 9,997 cm.

3 10 c Do gráfico, concluímos que, para uma variação de temperatura de 100 wc, a haste de prata de comprimento inicialmente igual a 20,00 cm tem seu comprimento aumentado de 0,04 cm. SL 5 a 3 L 0 3 St ] 0,04 5 a 3 20, ] a wc c Do gráfico, concluímos que, para uma variação de temperatura de 200 wc, a barra de comprimento inicialmente igual a 2,00 m tem seu comprimento aumentado de 0,02 m. SL 5 a 3 L 0 3 St ] 0,02 5 a 3 2, ] a wc a Do gráfico, concluímos que, para uma variação de temperatura de 100 wc, a barra de latão de comprimento inicialmente igual a 50,0 cm tem seu comprimento aumentado de 0,1 cm. SL 5 a 3 L 0 3 St ] 0,1 5 a 3 50, ] a wc 21 CAPÍTULO 2 1 Soma ( ) 5 11 Vamos analisar as situações possíveis para os conjuntos: a t. a v 2 aquecimento p a tampa dilata mais que o vidro p vidro 2 se rompe a t. a v 2 resfriamento p a tampa contrai-se mais que o vidro p vidro 1 se rompe a t, a v 2 aquecimento p o vidro dilata mais que a tampa p vidro 1 se rompe a t, a v 2 resfriamento p o vidro contrai-se mais que a tampa p vidro 2 se rompe Estão corretas, portanto, as afirmativas (01), (02) e (08). 2 d Como a área do orifício é maior que a área do pino, ao serem aquecidos o primeiro aumenta mais que o segundo, pois este aumento é proporcional à área inicial de cada um. Assim, a folga irá aumentar. 3 e Sendo d 5 2a, o coeficiente de dilatação linear a do metal pode ser calculado a partir da lei da dilatação superficial: SA 5 2a 3 A 0 3 St ] 200, a ( ) ] a wc 21 4 c Do enunciado, temos: a wc 21 ] d 5 2a ] d wc 21 SA 5 2,0 cm 2 ; St 5 10 wc A partir da lei da dilatação superficial, vem: SA 5 d 3 A 0 3 St ] 2, A ] A 0 5 4, cm 2 5 b Do enunciado: a 5 2, wc 21 ] d 5 2a ] d 5 4, wc 21 St wc Da lei da dilatação superficial: SA 5 d 3 A 0 3 St ] SA 5 4, A ] SA 5 0,011 3 A 0 A dilatação superficial em relação à área inicial foi de 1,1%. 6 Soma ( ) 5 24 (01) Incorreta. Uma variação de 100 wc corresponde a uma variação de 100 K. (02) Incorreta. Não se pode calcular uma taxa percentual, sem sabermos o valor inicial da temperatura. (04) Incorreta St C 5 5 St F 9 ] St F 9 ] St F wf (08) Correta SA 5 d 3 A 0 3 St ] 0, A 0 5 d 3 A ] d 5 1, wc 21 (16) Correta Sabendo que variações de temperatura na escala Celsius têm o mesmo valor na escala Kelvin, podemos calcular o coeficiente de dilatação superficial em unidades de K 21 : St C 5 ST k K SA 5 A 0 3 d 3 ST K ] SA 5 d ] A 0 ] 0, d ] d 5 1, K 21 7 b Ao ser submetido a uma elevação de temperatura de 20 wc, o raio r do orifício aumenta de: Sr 5 a 3 r 3 20 E o novo raio re passa a ser re 5 r 1 Sr ] re 5 r 1 20ar ] re 5 (20a 1 1)r O raio do disco (R 5 2r), ao ser submetido à mesma variação de temperatura, aumenta de: SR 5 a 3 2r

4 10 E o novo raio Re passa a ser Re 5 2r 1 SR ] Re 5 2r 1 40ar ] Re 5 (20a 1 1)2r Assim, a razão entre Re e re é: Re 5 (20a 1 1)2r re (20a 1 1)r ] Re 5 2 ] Re 5 2re re 8 d Do gráfico, S ,00000 cm 2, St 5 4 wc, SS 5 0,00180 cm 2 SS 5 d 3 S 0 3 St ] 0, d 3 25, ] d 5 1, wc 21 Como d 5 2a, a 5 d/2 ] a wc 21 CAPÍTULO 3 1 a Para que a restauração seja considerada ideal, o coeficiente de dilatação volumétrica do material de restauração deverá ser igual ao coeficiente de dilatação volumétrica do dente. Ao ingerir alimentos quentes ou frios a variação no volume do dente (ou do espaço vazio em que a restauração é colocada) e da restauração deve ser igual. 2 O volume interno do copo varia como se ele fosse maciço, constituído do material de suas paredes. Sendo dados: V cm 3 ; a wc 21 ] D wc 21 St 5 t 2 t 0 ] St ] St wc Aplicando a lei da dilatação volumétrica: SV ] SV 5 1,8 cm 3 3 d O aumento no diâmetro da esfera e no comprimento da barra é linear, dado por: SL 5 a 3 L 0 3 St Ao serem submetidos a uma mesma elevação de temperatura, estando a esfera e a barra à mesma temperatura inicial e sendo o diâmetro da esfera igual ao comprimento da barra, o aumento linear no diâmetro da esfera e no comprimento da barra será o mesmo. Portanto, SL e 5 1. SL b 4 Sendo A m 2 a área inicial da chapa e SA 5 0,36 mm 2 5 3, m 2, o aumento na área quando a chapa é aquecida de St, da lei da dilatação superficial, vem: SA 5 d 3 A 0 3 St ] 3, d St ] d 5 3, St Sendo a 5 d e D 5 3a, o aumento no volume 2 de um paralelepípedo de 1 m 3, do mesmo material, ao ser submetido à mesma elevação de temperatura St é: SV 5 3a 3 V 0 3 St ] SV , St ] SV 5 5, m 3 2 St 5 Sendo V 0 o volume inicial do cubo de ferro, ao ser resfriado, o volume diminui em 0,63%: SV 5 26, V 0 Da lei da dilatação volumétrica, sendo D 5 3a ] D wc , V V 0 3 St ] St wc 6 d Da lei da dilatação volumétrica: 0,06 5 D 3 4,00 3 ( ) ] D wc 21 Como a 5 D, o coeficiente de dilatação linear 3 do material é a wc Do gráfico, concluímos que, ao ser submetido a um aumento de temperatura de 100 wc, a área do disco, que inicialmente era 200,0 cm 2, aumenta 0,6 cm 2. Sendo d 5 2a, da lei da dilatação superficial vem: SA 5 2a 3 A 0 3 St ] 0,6 5 2a 3 200, ] a 5 1, wc 21 O volume inicial do cubo é V cm 3 A variação de volume de um cubo de aresta 20 cm, a 0 wc, feito com o mesmo material do disco, ao ser aquecido para 100 wc é calculada a partir da lei da dilatação volumétrica: SV 5 3a 3 V 0 3 St ] SV 5 4, ] SV 5 36 cm 3.

5 CAPÍTULO 4 1 a D gasolina 5 2, wc 21 ; V L; SV máx 5 0,48 L; t wc A máxima temperatura que o combustível pode alcançar pode ser obtida de: SV máx 5 D 3 V 0 3 (t máx 2 t 0 ) ] 0, (t máx 2 20) ] t máx 5 60 wc 2 Sabe-se que volume inicial do líquido é igual ao volume interno do recipiente (V 0 ). A dilatação aparente do líquido (SV ap ) é igual a 4% do volume do líquido a 0 wc: SV ap 5 0,04 V 0 A dilatação real do líquido (SV) é dada por: SV 5 SV ap 1 SV recipiente D 3 V 0 3 St 5 0,04 3 V 0 1 D recipiente 3 V 0 3 St D 5 0,04 St 1 D recipiente ] D 5 0, ] D 5 5, wc 21 (coeficiente de dilatação real do líquido) 3 b Como D álcool.. D vidro, podemos desconsiderar a contração do vidro devido à diminuição de temperatura. Assim, a variação no volume de álcool foi de: SV 5 D álcool 3 V 0 3 St ] SV 5 1, V 0 3 ( ) ] SV 5 20,022 V 0 Portanto, a diminuição do volume foi de 2,2% em relação ao volume inicial. 4 e A contração de volume SV que a gasolina sofreu é dada pela lei da dilatação volumétrica: SV 5 1, ( ) ] SV L O volume de ar no interior do tanque do caminhão corresponde ao volume de gasolina que se contraiu, portanto é igual a 880 L. 5 Seja V cm 3 o volume inicial de líquido no frasco, e o volume do interior do frasco ocupado pelo líquido. A variação real no volume do líquido (SV) quando a temperatura é elevada de 20 wc a 60 wc é dada por: SV 5 SV ap 1 SV recipiente em que SV ap é a dilatação aparente do líquido, medida nas graduações do recipiente. D 3 V 0 3 St 5 SV ap 1 D frasco 3 V 0 3 St ] D 5 SV ap 1 D frasco 3 V 0 3 St ] V 0 3 St D ] D 5 5, wc 21 6 O volume de álcool que saiu pelo ladrão é, a partir da lei de dilatação volumétrica: SV 5 1, ( ) ] SV 5 0,504 L 7 Seja V cm 3 o volume inicial de líquido no frasco, e o volume do interior do frasco ocupado pelo líquido. A variação real no volume do líquido (SV) quando a temperatura é elevada de 20 wc a 120 wc é dada por: SV 5 SV ap 1 SV recipiente em que SV ap 5 12 cm 3 é a dilatação aparente do líquido, medida nas graduações do recipiente. D 3 V 0 3 St 5 SV ap 1 D frasco 3 V 0 3 St ] D 5 SV ap 1 D frasco 3 V 0 3 St ] V 0 3 St D ] D 5 2, wc 21 Podemos calcular o volume final real a 120 C por meio da expressão: SV real 5 V 0 3 D real 3 St ] ] SV real , ] ] SV real 5 13,62 cm 3 ] V f 2 V ,62 ] ] V f ,62 ] V 5 613,62 cm 3 11

6 Retomada dos conceitos 12 CAPÍTULO 1 1 e Como a B. a A, a variação no comprimento de B será maior que a variação no comprimento de A, então a lâmina bimetálica curvará para a esquerda. 2 a A variação no comprimento da régua é, pela lei da dilatação linear: SL 5 a 3 L 0 3 St ] SL ( ) ] SL 5 0,088 cm 3 c O aumento no comprimento do cano é, pela lei da dilatação linear: SL 5 a 3 L 0 3 St ] SL 5 1, ( ) ] SL 5 2, m 5 2,72 mm 4 e Dados: L m SL 5 5 mm m St 5 25 wc O coeficiente de dilatação linear do metal pode ser obtido da lei da dilatação linear: SL 5 a 3 L 0 3 St ] a ] a wc 21 5 c Dados: t wc p L ,000 m t 5 40 wc p L 5 10,006 m ] SL 5 0,006 m St 5 30 wc O coeficiente de dilatação linear do metal pode ser obtido da lei da dilatação linear: SL 5 a 3 L 0 3 St ] 0,006 5 a 3 10, ] a wc 21 6 a As barras são feitas do mesmo material (coeficiente de dilatação linear a), e são submetidas à mesma variação de temperatura (St): L 0A t wc p L 5 0,75 p L 5 0,75 L 0 A 0 B 0B Forno: SL A 5 a 3 L 0A 3 St ] 0,3 5 a 3 0,75 3 L 0B 3 St (1) SL B 5 a 3 L 0B 3 St (2) Dividindo (2) por (1), obtemos: SL B 0, ,75 ] SL B 5 0,4 cm 7 Do gráfico: L ,0 cm; SL 5 0,5 cm; SJ wc O coeficiente de dilatação linear a do material pode ser obtido por: SL 5 a 3 L 0 3 SJ ] 0,5 5 a ] a 5 6, wc 21 8 e Do gráfico, temos que, para uma variação de temperatura de 400 wc, o comprimento da barra metálica, inicialmente de 100 mm, aumenta 2 mm. SL 5 2 mm L mm St wc O coeficiente de dilatação linear a do material pode ser obtido por: SL 5 a 3 L 0 3 SJ ] 2 5 a ] a wc 21 9 a) Dados: t wc; L ,0 cm; t wc; L 5 101,0 cm Assim, SL 5 1,0 cm e St wc. Da lei da dilatação linear: SL 5 a 3 L 0 3 St ] 1,0 5 a ] a 5 2, wc 21 b) A temperatura indicada pelo termômetro quando seu comprimento é de 100,1 cm, ou seja, quando seu comprimento aumentou de 0,1 cm em relação ao comprimento medido quando t wc, é: SL 5 a 3 L 0 3 (t 2 t 0 ) ] 0,1 5 2, ,0 3 (t 2 20) ] t 5 60 wc 10 Do gráfico: L 5 L 5 L 0A 0 B 0; SL A 5 SL B 5 SL SJ A 5 50 wc, SJ B wc ] SJ B SJ A

7 A lei da dilatação linear para cada barra é: Barra A: SL A 5 a A 3 L 0A 3 SJ A ] SL 5 a A 3 L 0 3 SJ A (1) Barra B: SL B 5 a B 3 L 0B 3 SJ B ] SL 5 a B 3 L 0 3 2SJ A (2) Assim, dividindo (1) por (2), obtemos: 1 5 a A a 3 1 B 2 ] a A a 5 2 B 11 d A alternativa (a) é falsa; os gráficos possuem inclinações distintas, logo, os coeficientes de dilatação são diferentes. A alternativa (b) é falsa, pois: a C a 5 SL C 5 L C 2 L 0. A SL A L A 2 L 0 A alternativa (c) não serve porque a B 5 a A 3 L B 2 L 0. L A 2 L 0 (d) Como a dilatação da barra C é maior, para uma mesma variação de temperatura, necessariamente a C. a A. (e) não é adequada, visto que a C 5 a B 3 L C 2 L 0. L B 2 L 0 CAPÍTULO 2 1 b Sabendo que a Al. a Fe, ao serem aquecidos uniformemente as peças de alumínio se dilatarão mais que as peças de ferro. O disco de ferro se soltará do anel de alumínio, pois o espaço vazio dentro do anel de Al será maior que o disco de Fe depois do aquecimento. O disco de alumínio não se soltará do anel de ferro, pois o disco de Al terá se dilatado mais que o espaço vazio do anel de Fe depois do aquecimento. 2 a Os diâmetros do orifício do disco e do anel diminuem igualmente ao serem colocados na geladeira, seguindo a lei da dilatação linear: SL 5 a 3 L 0 3 St ] SL 5 a 3 d 3 St Assim, depois de retirar o material da geladeira, o aluno pôde observar que tanto o disco quanto o anel continuam encaixando-se no orifício da placa. 3 A área inicial da placa, a 20 wc, é: A cm 2 O coeficiente de dilatação superficial do zinco é: d zinco 5 2a zinco ] d zinco wc 21 Ao ser aquecida até 120 wc, a dilatação superficial sofrida pela placa é: SA 5 d 3 A 0 3 St ] SA ] SA 5 12,48 cm 2 4 e T K Sendo T 5 t C ] t C 5 20 wc Quando a temperatura é aumentada de 20 wc para 100 wc, o corpo se dilata, portanto a área do círculo de raio R aumenta, e aumenta também a distância L. 5 c A partir da lei da dilatação linear, determinamos o coeficiente de dilatação linear do material que constitui a placa: São dados: L 0 5 4,00 m; SL 5 0,01 m; SL 5 a 3 L 0 3 St ] 0,01 5 a 3 4,00 3 St ] a 5 2, St Pela lei da dilatação superficial, determinamos a variação na área da secção reta, lembrando que d 5 2a ] d St SA 5 d 3 A 0 3 St ] SA St ] SA 5 0,08 cm 2 St Portanto, a nova área da secção é 16,08 cm 2. 6 b Dados: St wc d 5 2a ] d ] d K wc 21 Pela lei da dilatação superficial, o aumento na área da chapa foi de: SA 5 d 3 A 0 3 St ] SA A 0 ] SA 5 1, A 0 Assim, o aumento percentual na área foi de aproximadamente 0,2 %. 13

8 14 7 d O acréscimo de temperatura St necessário para que SA 5 0,1A 0 possa ser calculado pela lei da dilatação superficial: SA 5 d 3 A 0 3 St ] 0,1A 0 5 1, A 0 3 St ] St wc 8 e As áreas dos dois quadrados 1 e 2, feitos de cobre (a 1 5 a 2 ), aumentam igualmente. Sendo suas dimensões iguais (lado L), o aumento linear de cada um destes lados é igual para 1 e para 2, quando ambos são submetidos à mesma variação de temperatura. Assim, como os lados aumentam igualmente, o mesmo ocorre com as áreas, então a razão entre a área da chapa e a área do quadrado é 1. CAPÍTULO 3 1 São dados: V cm 3 ; St wc; D vidro a vidro ] D vidro 5 12, wc 21 Pela lei da dilatação volumétrica, a variação no volume do tubo é: SV 5 D vidro 3 V 0 3 St ] SV 5 12, ] SV 5 0,0126 cm 3 O volume do tubo a 50 wc é: V 5 V 0 1 SV ] V ,0126 ] V 5 20,0126 cm 3 2 O volume do paralelepípedo a 10 wc é: V ] V cm 3 a 5 8, wc 21 ] D 5 3a ] D 5 24, wc 21 Quando a temperatura aumenta para 110 wc, o acréscimo SV no volume é de: SV 5 24, ] SV 5 14,4 cm 3 3 b Sendo a densidade do sólido dada por d 5 m V, temos: A 100 wc 4 d ,00 g 3 cm 23 ] V 0 5 m 10,00 A 32 wf 4 t C 5 5 t F 2 32 ] 32 wf 5 0 wc 9 0 wc ] d ,03 g 3 cm 23 ] V 5 m 10,03 m Assim: SV 5 10,00 2 m 10,03 St 5 ( ) wc wc Aplicando a lei da dilatação volumétrica: m 10,00 2 m 10,03 5 D 3 m 10,00 3 (2100) ] 0,03 100,3 5 D 3 10,00 ] D wc 21 O coeficiente de dilatação linear a do sólido é: D 5 3a ] a wc 21 4 a Quando a variação na temperatura é St wc, o volume de um bloco metálico sofre um aumento de 0,6%. Logo, SV 5 0,006V 0 0,006V 0 5 D 3 V ] D wc 21 Como a 5 D/3, o coeficiente de dilatação linear médio do metal é: a wc 21 5 b Haste, ao ser submetida a uma elevação de temperatura de St, a partir de 0 wc: SL 5 0,001L 0 SL 5 a 3 L 0 3 St ] 0,001L 0 5 a 3 L 0 3 St ] a 5 0,001/St Bloco de mesmo material, submetido à mesma variação de temperatura St: Sabe-se que D 5 3a ] D 5 0,003/St A dilatação volumétrica do bloco em relação ao seu volume inicial pode ser obtida da lei da dilatação volumétrica: SV 5 (0,003/St) 3 V 0 3 St ] SV 5 0,003V 0 A dilatação, em relação ao volume inicial, é de 0,3%.

9 6 a Dados: St wc; SV 5 0,0324V 0 0,0324V 0 5 D 3 V ] D 5 3, wc 21 O coeficiente de dilatação linear do material é: a 5 D/3 ] a 5 1, wc wc 21 CAPÍTULO 4 1 João pagou R$ 33,00; Preço da gasolina: R$ 1,10/L 1 L R$ 1,10 x R$ 33,00 x 5 30 L Encheu completamente o tanque com 30 L de gasolina. A dilatação volumétrica da gasolina foi de: SV 5 1, ] SV 5 0,66 L João perdeu então: 1 L R$ 1,10 0,66 L x x 5 R$ 0,73 2 b Sabe-se que o volume inicial de líquido é igual ao volume interno do recipiente (V L). A quantidade de glicerina que transbordou corresponde à dilatação aparente do líquido: SV ap ml 5 0,352 L St wc A dilatação real do líquido (SV) é dada por: SV 5 SV ap 1 SV frasco D 3 V 0 3 St 5 0,352 1 D frasco 3 V 0 3 St 5, ,352 1 D frasco ] D frasco 5 6, wc 21 O coeficiente de dilatação linear do frasco é, então: a 5 D 3 ] a 5 2, wc 21 3 a) Sabe-se que o volume inicial de mercúrio é igual ao volume interno do frasco de vidro (V cm 3 ). Sendo St wc e D mercúrio 5 0, wc 21, o aumento de volume sofrido pelo mercúrio é: SV 5 D mercúrio 3 V 0 3 St ] SV 5 0, ] SV 5 36 cm 3 b) A quantidade de mercúrio que transborda corresponde à dilatação aparente do líquido: SV ap 5 34 cm 3. O aumento de volume sofrido pelo mercúrio (dilatação real) (SV) é dado por: SV 5 SV ap 1 SV frasco D frasco V 0 St D frasco ] D frasco 5 1, wc 21 O coeficiente de dilatação linear do vidro é, então: a 5 D 3 ] a 7 0, wc 21 4 A dilatação real da gasolina é dada por: SV 5 SV tanque 1 SV ap O volume que transborda corresponde à dilatação aparente do líquido. Assim: SV ap 5 SV 2 SV tanque SV ap 5 D gasolina 3 V 0 3 St 2 D aço 3 V 0 3 St (D aço 5 3a aço ) SV ap 5 1, , , , SV ap 5 0,024 m 3 5 A contração de volume sofrida pela gasolina é, pela lei da dilatação volumétrica dos líquidos: SV 5 1, ( ) ] SV L 6 Estando o frasco completamente cheio de mercúrio, a quantidade de mercúrio que transbordará do recipiente (a dilatação aparente SV ap ), se a temperatura for elevada a 100 wc é: SV 5 SV ap 1 SV frasco ] SV ap 5 SV 2 SV frasco Assim: SV ap 5 DV 0 St 2 D frasco V 0 St ] SV ap 5 1, ] SV ap 5 0,39 cm 3 15

10 7 a) A quantidade de líquido que transborda corresponde à dilatação aparente do líquido para a qual: SV ap 5 D ap 3 V 0 3 St ] 6 5 D ap ] D ap 7 3, wc 21 b) Sabe-se que: D líquido 5 D aparente 1 D recipiente Então: D líquido , ] D líquido wc 21 8 Ao submetermos o sistema taça 1 glicerina a uma variação de temperatura St de 18 wc, tanto o recipiente como o líquido têm seu volume aumentado segundo as respectivas leis de dilatação volumétrica: TAÇA: a alumínio 5 2, wk , wc 21 D 5 3a ] D alumínio 5 6, wc 21 V 0taça cm 3 ; St 5 18 wc SV taça 5 D alumínio V 0taça St ] SV taça 5 6, ] SV taça 5 0,14904 cm 3 GLICERINA: D glicerina 5 5, wc 21 ; V 0glicerina cm 3 ; St 5 18 wc SV glicerina 5 D glicerina 3 V 0glicerina 3 St ] SV glicerina 5 5, ] SV glicerina 5 1,09242 cm 3 O volume da taça passa a ser: V taça 5 V 0taça 1 SV taça V taça , ,14904 cm 3 E o volume da glicerina passa a ser: V glicerina 5 V 0glicerina 1 SV glicerina V glicerina , ,09242 cm 3 Assim, a glicerina não transborda. Ainda se poderia preencher a taça, na temperatura final com V vazio 5 V frasco 2 V glicerina 5 120, , ,05662 cm 3 de glicerina 9 c A água irá transbordar se o sistema for submetido a qualquer variação de temperatura. A água apresenta comportamento anômalo entre 0 wc e 4 wc, e ao ser resfriada neste intervalo se expande, diferente de outras substâncias, que ao serem resfriadas se contraem. Ao ser aquecida para uma temperatura maior que 4 wc, também sofrerá expansão, transbordando do copo. Exercícios de integração 1 c O aumento no comprimento do trilho é dado por: SL 5 a 3 L 0 3 St ] SL ( ) ] SL 5 9, m 2 d O encurvar-se das lâminas se dá devido ao aumento no comprimento da parte mais externa da lâmina bimetálica, que deve ter coeficiente a II maior que a I para que as lâminas se fechem. Quanto mais apertado estiver o parafuso, menos a lâmina bimetálica externa terá que se curvar para atingi-lo para que o contato elétrico seja interrompido. Como o aumento no comprimento das lâminas é diretamente proporcional à variação de temperatura (SL 5 a 3 L 0 3 St), quanto mais apertado o parafuso, menor será a temperatura de funcionamento do ferro elétrico e Como o coeficiente de dilatação de L 1 é maior que o de L 2, ao ser submetida a uma elevação de temperatura, a lâmina se curva para a direita. Em seguida, ao ser submetida a uma redução de temperatura maior que a elevação inicial, a lâmina L 1 diminui mais que a lâmina L 2, e ambas se curvam para a esquerda. 4 d A variação no comprimento da haste, ao ser submetida a uma variação de temperatura de 100 wc (do gelo fundente para água em ebulição) é: SL 5 a 3 L 0 3 St ] SL 5 1, ] SL 5 0,06 cm 5 0,60 mm

11 5 b O aumento na temperatura necessário para que o comprimento da barra de 10 metros aumente 3 cm ( m) é: SL 5 a 3 L 0 3 ST ] ST 5 SL ] a 3 L 0 ST ] ST a 3 10 a Se a barra de 1 m, feita do mesmo material (mesmo a) for submetida à mesma variação de temperatura, o aumento no seu comprimento será de: SL 5 a 3 L 0 3 ST ] SL 5 a ] a SL m E o seu comprimento final será: L 5 L 0 1 SL ] L ,003 m 6 a Para o trilho de comprimento inicial igual a 10 m, temos: SL 5 a 3 L 0 3 ST ] 3, a ] a 5 1, wc 21 Para o trilho de comprimento inicial igual a 5 m, feito do mesmo material, temos: SL 5 a 3 L 0 3 ST ] SL 5 1, wc ] SL 5 5, m 5 0,55 mm 7 b Se o erro apresentado é de 0,05%, houve uma variação de 0, L 0 no comprimento da régua em relação ao comprimento inicial L 0. Calculemos a variação de temperatura que causou tal variação no comprimento da régua: SL 5 a 3 L 0 3 ST ] 0, L 0 5 2, L 0 3 St ] St 5 25 wc Como a régua foi aferida a 20 wc, essa medida foi feita quando a temperatura era de 45 wc. 8 Ao ser submetida a um aumento de temperatura de 100 wc, a barra inicialmente de comprimento igual a 10 m, aumenta de 16 mm (SL m). SL 5 a 3 L 0 3 ST ] a ] a 5 1, wc 21 9 e Se A f 5 1,001, então A f 5 1,001A i, e portanto a A i variação na área da placa devido ao aumento na temperatura é: SA 5 A f 2 A i ] SA 5 1,001A i 2 A i ] SA 5 0,001A i Da lei da dilatação superficial: SA 5 d 3 A 0 3 St ] 0,001A i 5 d 3 A i 3 ( ) ] d wc 21 O coeficiente de dilatação linear a do material da placa é: a 5 d 2 ] a ] a wc c Sabendo que o coeficiente de dilatação térmica do latão é maior que o do aço e que inicialmente o diâmetro do eixo de aço é maior que o do orifício do anel de latão, a alternativa que apresenta um procedimento que não permite o encaixe é a (c), pois se ambas as peças forem resfriadas o diâmetro do anel diminuirá mais que o diâmetro do eixo. 11 Para retirarmos a tampa, devemos mergulhar a tampa do frasco no caldeirão de água quente, pois sendo o coeficiente de dilatação do zinco maior que o coeficiente de dilatação do vidro, a tampa dilatará mais que o frasco, soltando-se do gargalo. 12 Um aumento de 3% corresponde a uma variação de 0,03A 0 na área da placa: Aplicando a lei da dilatação superficial e sabendo que d 5 2a ] d wc 21, a temperatura final t deve ser de: SA 5 d 3 A 0 3 St ] 0,03A A 0 3 (t 2 20) ] t wc 13 a) A dilatação do lado da placa é, pela lei da dilatação linear: SL 5 a 3 L 0 3 St ] SL ] SL 5 0,03 cm b) O diâmetro do furo dilata como se fosse constituído do mesmo material que a placa. SL 5 a 3 L 0 3 St ] SL ] SL 5 0,01 cm 17

12 18 14 d A variação de temperatura que o sistema pode sofrer sem que o desempenho do motor seja afetado deve ser tal que: L f pistão, L f cilindro ] (L 0 1 SL) pistão, (L 0 1 SL) cilindro (t 2 25), 85, , (t 2 25) ] (t 2 25) , (t 2 25), 0,065 ] 934, t , , 0, , t, 0, , , t, 0, t, 94,57 C 15 a) A lei da dilatação volumétrica para este corpo é: SV 5 D 3V 0 3 St ] V 2 V 0 5 D 3 V 0 (t 2 t 0 ) Sendo t wc V 2 V 0 5 D 3 V 0 3 t ] V 5 D 3 V 0 3 t 1 V 0 ] V 5 V 0 (1 1 Dt) b) A densidade é dada por d 5 m V. Então V 5 m d. A partir da relação estabelecida no item (a): V 5 V 0 (1 1 Dt) ] m d 5 m d 0 (1 1 Dt) ] 1 5 (1 1 Dt) ] d 5 d (1 1 Dt). d 0 16 O sistema atingiu o equilíbrio térmico a 0 wc. O coeficiente de dilatação volumétrica D do aço é: D 5 3a ] D wc 21. A redução no volume da esfera pode ser calculada pela lei da dilatação volumétrica: d 0 SV V 0 3 ( ) ] SV 5 20,0066V 0 (em que o sinal negativo indica que o volume se reduziu) A redução percentual é de 0,66% em relação ao volume inicial. 17 a 18 c A variação no volume do corpo foi SV 5 0,3 L para este aumento de temperatura. O coeficiente de di latação volumétrica do material que constitui esse corpo é, a partir da lei da dilatação volumétrica: 0,3 5 D ] D wc 21 O coeficiente de di latação linear a do material é: a 5 D/3 ] a 5 1, wc 21 O volume da cavidade varia como se ela fosse constituída do mesmo material que a peça. Da lei da dilatação volumétrica, lembrando que D 5 3a, vem: SV V 0 3 ( ) ] SV 5 0,0324V 0 A variação percentual é de 3,24% em relação ao volume inicial da cavidade, ou seja, aproximadamente 3,2%. 19 d Para temperaturas iguais a J 3 o pistão deverá ser feito do material B, pois de acordo com o gráfico nesta temperatura o diâmetro de B será menor que o de A. 20 As dilatações sofridas pelo tanque e pelo óleo são: TANQUE: D 5 3a ] D wc 21 V 0tanque L SV tanque 5 D V 0tanque St ] St 5 40wC SV tanque SV tanque 5 12 L ÓLEO: D 5 9, wc 21 V 0óleo L SV óleo 5 D V 0óleo St ] St 5 40wC SV óleo 5 9, ] SV óleo L O óleo diesel dilata mais que o tanque de aço, e esta diferença é SV L, portanto 368 L de óleo transbordam.

13 21 As duas barras devem ser submetidas a uma variação de temperatura St que faça com que a soma das dilatações de 1 e 2 seja igual a SL. Sabe-se que as variações no comprimento de cada barra são dadas por: SL 1 5 a 1 3 L 1 3 St e SL 2 5 a 2 3 L 2 3 St Assim: SL 1 1 SL 2 5 SL ] a 1 3 L 1 3 St 1 a 2 3 L 2 3 St 5 SL ] St(a 1 3 L 1 1 a 2 3 L 2 ) 1 a 2 5 SL ] St 5 SL (a 1 L 1 1 a 2 L 2 ) 22 O comprimento L 4 da barra na temperatura T 4 é: L 1 5 L 0 1SL 1 ] L 1 5 L 0 1 a 1 L 0 ST 1 ] L 1 5 L 0 (11 a 1 ST 1 ) em que ST 1 5 T 1 2 T 0 L 2 5 L 1 1SL 2 ] L 2 5 L 1 1 a 2 L 1 ST 2 ] L 2 5 L 1 (11 a 2 ST 2 ) em que ST 2 5 T 2 2 T 1 L 3 5 L 2 1SL 3 ] L 3 5 L 2 1 a 3 L 2 ST 3 ] L 3 5 L 2 (11 a 3 ST 3 ) em que ST 3 5 T 3 2 T 2 L 4 5 L 3 1 SL 4 ] L 4 5 L 3 1 a 4 L 3 ST 4 ] L 4 5 L 3 (11 a 4 ST 4 ) em que ST 4 5 T 4 2 T 3 (De forma geral poderíamos escrever L i 5 L i 2 1 (1 1 a i ST i ) e ST i 5 T i 2 T i 2 1 ) Assim, temos: L 4 5 L 0 [1 1 a 1 (T 1 2 T 0 )] [1 1 a 2 (T 2 2 T 1 )] 3 3 [1 1 a 3 (T 3 2 T 2 )] [1 1 a 4 (T 4 2 T 3 )] Se admitirmos que o valor a é igual ao valor médio dos coeficientes de temperatura apresentados no gráfico, teremos: a 5 a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 4 4 O comprimento da barra à temperatura T 4 será: L 4 5 L 0 1 a L 0 (T 4 2 T 0 ) ] 4 # L 0 (T 4 2 T 0 ) ] L 4 5 L 0 a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 4 4 L 4 5 L 0 E 1 a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 4 # (T 4 2 T 0 ) R 23 b A queda na temperatura fez com que o volume se reduzisse. Esta variação no volume foi de: SV 5 D V 0 ST ] SV 5 1, ( ) ] SV L Portanto, o dono do posto sofreu um prejuízo de 80 L. 24 a) A dilatação aparente do mercúrio corresponde à quantidade que transbordou: SV ap 5 D ap V 0 ST ] 4,8 5 D ap ( ) ] D ap 5 1, wc 21 b) A dilatação real do mercúrio é: SV 5 SV copo 1 SV ap De onde vem a relação: D 5 D copo 1 D ap Lembrando que D copo 5 3a copo ] D copo wc 21. Assim: D 5 1, ] D 5 1, wc c Analisando cada uma das alternativas: I CORRETA Do gráfico, podemos afirmar que entre 0 wc e 37 wc, a variação no comprimento da coluna de mercúrio é constante (é um segmento de reta), portanto, neste intervalo de temperatura o coe ficiente de dilatação do mercúrio é aproximadamente constante. a SL L 0 ST ] Como L 0 é fixo, se a razão entre SL e ST é constante, podemos afirmar que a é constante. # II INCORRETA Do gráfico, temos que: p Quando a altura da coluna de mercúrio é de 10 mm, a temperatura indicada é de 5 wc. p Quando a altura da coluna de água é de 10 mm, a temperatura indicada é de 15 wc. III CORRETA No entorno de 18 wc, o coeficiente de dilatação do mercúrio é praticamente igual ao da água. Se considerarmos um intervalo pequeno, podemos considerar a curva da água como uma reta, cujo coeficiente angular, igual a a, é praticamente igual ao coeficiente angular da reta do mercúrio. 19

14 26 b p O volume de líquido à 20 wc é V cm 3 (volume do bulbo) p À 50 wc o volume aumenta de SV mm 3 5 0,012 cm 3 (volume do cilindro preenchido pelo líquido) p Assim, o coeficiente de dilatação volumétrica médio do líquido vale: SV 5 D V 0 ST ] 0,012 5 D ( ) ] D wc A partir do gráfico, podemos calcular o coeficiente de dilatação aparente do líquido: SV ap 5 V 0 3 D ap 3 St ] D ap 3 30 D ap C 21 Assim, o coeficiente de dilatação cúbica real do líquido é: D r 5 D ap 1 D v ] D r , ] D r 5 4, C Seja v o volume do tanque a 15 wc e f o volume de gasolina no interior do tanque a 15 wc, o volume final à 40 wc, de cada um deles é: TANQUE: V tanque 5 V 0tanque 1 SV tanque ] V tanque 5 v 1 D aço 3 v 3 ST ] V tanque 5 v(11 D aço 3 ST) ] V tanque 5 v(1 1 1, ) ] V tanque 5 1,00025 v GASOLINA: V gasolina 5 V 0gasolina 1 SV gasolina ] V gasolina 5 f 3 v 1 D gasolina 3 f 3 v 3 ST ] V gasolina 5 f 3 v(11 D gasolina 3 ST) ] V gasolina 5 f 3 v( ) ] V gasolina 5 1,0225 f 3 v Para que a gasolina não transborde V tanque e V gasolina devem ser no máximo iguais: V tanque 5 V gasolina ] 1,00025 v 5 1,0225 f 3 v ] f 7 0,978 Ou seja, o valor máximo de f para o qual a gasolina não transborde quando a temperatura atinge os 40 wc é 97,8 % da capacidade total do tanque. 29 Aplicando as leis de dilatação volumétrica para o vidro e para o líquido, obtemos: VIDRO: (a 5 9, wc 21 ] D 5 3a ] D 5 27, wc 21 ) V vidro 5 V 0vidro 1 SV vidro ] V vidro 5 V 0vidro 1 D vidro 3 v 3 ST ] V vidro , (T 2 20) ] V vidro ,027(T 2 20) LÍQUIDO: V líquido 5 V 0líquido 1 SV líquido ] V líquido 5 V 0líquido 1 D líquido 3 v 3 ST ] V líquido , (T 2 20) ] V líquido ,486 (T 2 20) Os dois volumes serão iguais (e o líquido preencherá todo espaço interno do recipiente) a uma temperatura T de: V vidro 5 V líquido ] ,027(T 2 20) ,486 (T 2 20) ] (T 2 20) ] T 7 891,46 wc 20

15 Gabarito Retomada dos conceitos CAPÍTULO 1 1 e 2 a 3 c 4 e 5 c 6 a 7 a 5 6, wc 21 8 e 9 a) a 5 2, wc 21 b) t 5 60 wc 10 a A a 5 2 B 11 d CAPÍTULO 2 1 b 2 a 3 SA 5 12,48 cm 2 4 e 5 c 6 b 7 d 8 e CAPÍTULO 3 1 V 5 20,0126 cm 3 2 SV 5 14,4 cm 3 3 b 4 a 5 b 6 a CAPÍTULO 4 1 x 5 R$ 0,73 2 b 3 a) SV 5 36 cm 3 b) a 7 0, wc 21 4 SV ap 5 0,024 m 3 5 SV L 6 SV ap 5 0,39 cm 3 7 a) D ap 7 3, wc 21 b) D líquido wc 21 8 A glicerina não transborda. Ainda se poderia preencher a taça, na temperatura final com V vazio 5 V frasco 2 V glicerina 5 0,05662 cm 3 de glicerina. 9 c Exercícios de integração 1 c 2 d 3 e 4 d 5 b 6 a 7 b 8 a 5 1, wc 21 9 e 10 c 21

16 11 Para retirarmos a tampa, devemos mergulhar a tampa do frasco no caldeirão de água quente, pois sendo o coeficiente de dilatação do zinco maior que o coeficiente de dilatação do vidro, a tampa dilatará mais que o frasco, soltando-se do gargalo. 12 t wc 13 a) SL 5 0,03 cm b) SL 5 0,01 cm 14 d 15 a) V 5 V 0 (1 1 Dt) d 0 b) d 5 (1 1 Dt) 16 A redução percentual é de 0,66% em relação ao volume inicial. 17 a 18 c 19 d 20 SV óleo L SL 21 St 5 (a 1 L 1 1 a 2 L 2 ) 22 O comprimento da barra à temperatura T 4 será: 23 b L 4 5 L 0E 1 a 1 1 a 2 1 a 3 1 a 4 # (T 4 2 T 0 ) R 24 a) D ap 5 1, wc c 26 b b) D 5 1, wc D 5 4, wc O valor máximo de f para o qual a gasolina não transborde quando a temperatura atinge os 40 wc é 97,8 %. 29 T 7 891,46 wc 4 22