Transmissão de Informação em Redes Complexas

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1 Transmissão de Informação em Redes Complexas Alberione Braz da Silva Fabio Willian Zamoner Roberto Alves Gueleri 9 de junho de 2011 Resumo A transmissão de informação procura modelar a propagação de doenças em populações, vírus em redes de computadores, dentre outras coisas. Assumindo uma população formada por uma rede de indivíduos, este trabalho descreve os modelos epidemiológicos SIS e SIR. Parte-se da descrição de como um indivíduo pode contaminar seus vizinhos e chega-se a uma discussão sobre o comportamento macroscópico da doença sobre a população. É mostrada a influência de algumas topologias de rede sobre a dinâmica de propagação da informação. Traz-se também uma discussão sobre percolação em redes, utilizando-a para caracterizar epidemias e estudando-se como a imunização de indivíduos numa população ou o ataque à computadores numa rede podem afetar a percolação. 1 Introdução A transmissão de informação procura modelar a propagação de doenças em populações, vírus em redes de computadores, boatos, fatos ou rumores em redes sociais, e outras coisas mais. A dinâmica da propagação da informação tem sido um tema muito importante nas pesquisas em matemática computacional, pois envolve estruturas de redes de grandes dimensões, dinâmicas e que buscam padrões de comportamento dentro do processos de transferência [4, 9]. Por estas características da dinâmica de propagação e transmissão da informação, vários sistemas sociais, biológicos e comunicação podem ser descritos através de redes complexas, cujo nós podem representar indivíduos ou organizações, e arestas representam as interações entre eles [15]. 1

2 Apesar do nosso foco ser em matemática computacional, a transmissão da informação, dinâmica de propagação e redes complexas são abordagens essencialmente interdisciplinares podendo tratar desde um processo epidemiológico até um processo viral em computadores. No processo de transmissão de informação, o modelo da rede complexa utilizada pode influenciar no estudo do comportamento coletivo, devido a forma como estão estruturadas as ligações, como acontecem a expansão da rede e se existem preferências nas ligações entre os elementos (nós) etc. [20]. Uma topologia do tipo mundo pequeno, por exemplo, descreve uma rede que tem uma distância pequena entre os elementos, porém com um alto grau de aglomeração mostrando um padrão de interação entre os elementos sem considerar as limitações geográficas. As redes livres de escala têm uma estruturação dinâmica muito especifica que é a tendência de um novo vértice fazer a conexão com vértices de grau elevado, ou seja, as redes livres de escala tem uma estrutura com vértices altamente conectados (HUBs) e muitos outros vértices com poucas conexões [15, 14]. Com esta abordagem e num processo infeccioso, por exemplo, as redes do tipo pequeno mundo tem a propagação da doença local e rápida, podendo atingir grandes distâncias na rede. Enquanto que, neste mesmo processo, as redes do tipo livre de escala estão mais direcionadas a prevenção das epidemias, pois possuem nós mais ativos mais conectados, que podem ser os alvos de ações erradicadoras das doenças (epidemias). No contexto de epidemiologia, o maior desafio dos pesquisadores desta área, hoje, é representar através de modelos de redes complexas as interações entre grupos de pessoas, para caracterizar as propriedades naturais da doença a ser estudada. Neste processo de propagação de epidemia, a rede complexa pode modelar uma estrutura social para descrever o seu comportamento coletivo. A modelagem epidêmica da transmissão de informação, para um melhor entendimento, pode ser dividida em três etapas: 1. Inicia-se a infecção da rede, que é caracterizada por um período de ruídos; 2. Acontece o surto e a propagação da infecção para o resto da rede; e 3. a doença começa a ser combatida. (a) O sistema é conduzido a uma fase ativa e estacionária, fase esta, em que a proporção de indivíduos doentes mantem-se constante; ou (b) o sistema é conduzido a uma fase inativa, ou de absorção, caracterizada pelo desaparecimento completo da doença. 2

3 No processo infeccioso, ainda, a escolha do modelo para caracterizar a dinâmica da transmissão da informação depende das propriedades da doença ou do compartimento atribuído ao indivíduo com o objetivo de simular o comportamento desta mesma doença. Os compartimentos básicos que podem ser atribuídos aos indivíduos são: Suscetíveis, quando os indivíduos estão propensos a adquirir a infecção; Infectados, quando os indivíduos adquiriram a doença efetivamente; e Recuperados, quando os indivíduos saem do processo infeccioso e estão imunes a possíveis recaídas, seja a imunidade temporária ou permanente [11]. Existem outros compartimentos em que os indivíduos podem ser envolvidos, tais como, escondido quando existe um período de latência no comportamento de propagação da infecção, passivamente imune quando existe uma resistência natural ao processo infeccioso, e outras variações dos compartimentos básicos. Em resumo, o modelo de propagação de epidemias por transmissão de informação que for escolhido, definirá o modelo matemático epidemiológico mais preciso para servir como um instrumento conceitual elementar para suportar a compreensão dos impactos das doenças ou da forma que ocorre a ativação e a elaboração de estratégias efetivas para o seu controle e contenção [2, 10, 4]. Assim, os modelos epidemiológicos são muitas vezes concebidos seguindo os padrões de fluxos de transmissão de informação com uma abordagem baseada em rede que pode ser representada matematicamente através de grafos, de tal forma que os elementos do sistema são representados por vértices, e suas possíveis inter-relações representadas por arestas, e explicitando-se os compartimentos atribuídos aos indivíduos em cada uma das fases da doença, tais como suscetível-infectado-suscetível, suscetível-infectado-recuperado, suscetível-escondido-infectado-suscetível, entre outras combinações [2]. Além dos padrões de fluxos dos modelos epidemiológicos, existem outros fatores que podem afetar o comportamento coletivo do processo modelado, onde podemos citar: a idade e a estrutura social da população; a rede de contato entre indivíduos; e as características da meta-população tais como o pedaço de uma estrutura geográfica. Estes fatores são de particular relevância para um modelo epidemiológico real [2]. Apesar da consideração introdutória ter o foco em processos epidemiológicos existem outras formas de transmissões de informações, que podem fazer uso ou não dos modelos epidêmicos e seus compartimentos nas realizações de seus experimentos comportamentais. Um desses exemplos que utiliza os compartimentos e estados do processo de epidemia é o estudo de propagação de vírus 3

4 em redes de computadores. Este trabalho objetiva mostrar alguns modelos de transmissão de informação e sua dinâmica, discutindo-se como essa dinâmica é influenciada pela topologia e pela modificação de alguns elementos da rede. 2 O modelo SIS SIS (Susceptible-Infected-Susceptible) é um modelo utilizado na Epidemiologia para descrever a propagação de alguma doença em uma população [10, 15]. Considera dois tipos (compartimentos) de indivíduos: suscetíveis (saudáveis) e infectados (doentes). Os indivíduos suscetíveis podem tornar-se infectados e vice-versa. Apesar de sua origem na Epidemiologia, o modelo SIS (e outros mais) pode representar a propagação de outros tipos de informação, não apenas doença, desde que haja correspondência entre a informação e os estados suscetível e infectado. A abordagem clássica do modelo SIS considera a população como sendo uma mistura homogênea de indivíduos [10]. Nela, as transições suscetíveisinfectados e infectados-suscetíveis são caracterizadas por taxas, as quais dependem apenas das proporções de indivíduos em cada compartimento. Nesse caso, a evolução do sistema pode ser analisada por meio de equações diferenciais [10]. Uma outra abordagem considera o modelo SIS como um processo de contato [20]. Aqui, a população não é tratada como uma mistura homogênea de indivíduos, mas sim uma rede de indivíduos. A doença só pode ser propagada através das ligações que os indivíduos mantêm entre si. O presente trabalho ocupa-se desta última abordagem para o modelo SIS. 2.1 Funcionamento do modelo SIS Assume-se que, inicialmente, alguns dos indivíduos estão infectados. Assim, a cada instante, cada indivíduo pode encontrar-se em um dos dois compartimentos: suscetível ou infectado. Durante um certo intervalo de tempo t, um indivíduo infectado v i pode permanecer infectado com uma probabilidade λ. Consequentemente, ele pode curar-se com uma probabilidade 1 λ. Caso permaneça infectado, o indivíduo transmite a doença a um de seus vizinhos v j. A probabilidade da escolha do vizinho v j a ser infectado pode ser (1) equivalente entre todos os vizinhos, ou (2) dependente do grau de cada vizinho. Yang et al. [20] dizem que, tradicionalmente, a probabilidade da escolha de cada vizinho v j é equivalente entre todos os vizinhos. Contudo, seu próprio trabalho considera essa probabilidade como sendo dependente do grau de v j. Tal probabilidade depende, portanto, da natureza do problema 4

5 a ser modelado. Visto que a rede de contato define unicamente cada indivíduo, é enorme a quantidade de configurações distintas que o sistema pode assumir. Desse modo, torna-se impraticável a análise exata da evolução desse sistema. Portanto, adotam-se dois modos distintos para essa análise: 1. Aplicando-se a Teoria do Campo Médio [20]. Trata-se de uma aproximação, onde os indivíduos de mesmo grau são todos tratados como tendo o mesmo comportamento, um comportamento médio. Assim, não analisa-se cada indivíduo, mas cada grupo de indivíduos de mesmo grau. Desprezam-se, portanto, as diferenças existentes entre os indivíduos de um mesmo grupo. 2. Empregando-se simulações computacionais [20]. Nesse caso, constrói-se um procedimento capaz de representar o modelo em questão (aqui, o modelo SIS). Espera-se que a ocorrência de várias simulações representem, na média, o comportamento esperado para o sistema em questão. O Procedimento 1 exemplifica um procedimento a ser empregado em simulações computacionais para o modelo SIS. Cada iteração pelo laço principal equivale a um passo (um time-step), durando o intervalo de tempo t, do ponto de vista de um dos indivíduos infectados. Procedimento 1 Procedimento para o modelo SIS. Infecta-se, inicialmente, uma certa quantidade de indivíduos. enquanto houver algum indivíduo infectado faça Toma-se, aleatoriamente, um indivíduo infectado v i. r um número real aleatório entre 0 e 1. se r < λ então Toma-se, aleatoriamente, um vizinho v j do vértice v i. A probabilidade da escolha de cada v j pode ser (1) equivalente entre todos os vizinhos, ou (2) dependente do grau de cada vizinho. v j torna-se infectado, independentemente do estado em que estava. senão v i torna-se suscetível. fim se fim enquanto 2.2 Comportamento macroscópico do modelo SIS Observando-se a rede de indivíduos como um todo, o modelo SIS pode apresentar-se em duas fases: ativa e inativa. A fase ativa é caracterizada 5

6 pela existência de indivíduos infectados, significando que a doença mantêmse presente e continua sendo transmitida entre os indivíduos. A fase inativa, também conhecida como fase de absorção, é caracterizada pelo desaparecimento completo da doença. Com o passar do tempo, uma rede que inicialmente continha parte de seus indivíduos infectados tende a entrar (1) em uma fase ativa e estacionária, ou (2) em uma fase inativa [15, 20]. Uma fase estacionária é caracterizada por uma proporção constante de indivíduos infectados, ou seja, a taxa com que os indivíduos se curam iguala-se à taxa com que a doença é transmitida. Além da sua própria topologia, a fase em que a rede entra é determinada pelo parâmetro λ. Assim, há um limiar para λ, separando as duas fases. Esse limiar é chamado de valor crítico e denotado por λ c. Então, λ > λ c conduz a rede à fase ativa e estacionária, enquanto λ < λ c a conduz à fase inativa. 3 O modelo SIR Semelhantemente ao SIS, o SIR (Susceptible-Infected-Recovered) é um modelo utilizado na Epidemiologia para descrever a propagação de alguma doença em uma população [10, 11]. Considera, porém, três tipos de indivíduos: suscetíveis, infectados e recuperados. Os indivíduos suscetíveis podem tornar-se infectados, que por sua vez podem tornar-se recuperados. Uma vez recuperado, o indivíduo torna-se imune e não mais pode ser infectado. Aqui, há também a abordagem clássica que considera a população como uma mistura homogênea de indivíduos [10]. O presente trabalho ocupase, entretanto, de uma abordagem baseada numa variante daquela descrita anteriormente para o modelo SIS, considerando-se também o terceiro compartimento: recuperados. 3.1 Funcionamento do modelo SIR Assume-se que, inicialmente, alguns dos indivíduos estão infectados e os demais são suscetíveis. Assim, a cada instante, cada indivíduo pode encontrarse em um dos três compartimentos: suscetível, infectado ou recuperado. Durante um certo intervalo de tempo t, um indivíduo infectado v i pode permanecer infectado com uma probabilidade λ. Consequentemente, ele pode curar-se com uma probabilidade 1 λ, tornando-se recuperado e imune. Caso permaneça infectado, o indivíduo transmite a doença a um de seus vizinhos v j, caso v j seja suscetível. Nada acontece se o vizinho escolhido for imune. A probabilidade da escolha do vizinho v j a ser infectado pode ser (1) equivalente entre todos os vizinhos, ou (2) dependente do grau de cada vizinho. 6

7 Isso depende da natureza do problema a ser modelado. A evolução do sistema assim definido pode ser analisada por meio da Teoria do Campo Médio ou por meio de simulações computacionais. O Procedimento 2 exemplifica um procedimento a ser empregado em simulações computacionais para o modelo SIR. Trata-se de uma variante do procedimento mostrado para o modelo SIS. Procedimento 2 Procedimento para o modelo SIR. Inicialmente, numa população contendo somente indivíduos suscetíveis, infecta-se uma certa quantidade desses indivíduos. enquanto houver algum indivíduo infectado faça Toma-se, aleatoriamente, um indivíduo infectado v i. r um número real aleatório entre 0 e 1. se r < λ então Toma-se, aleatoriamente, um vizinho v j do vértice v i. A probabilidade da escolha de cada v j pode ser (1) equivalente entre todos os vizinhos, ou (2) dependente do grau de cada vizinho. se v j for suscetível então v j torna-se infectado. fim se senão v i torna-se recuperado. fim se fim enquanto 3.2 Comportamento macroscópico do modelo SIR Observando-se a rede de indivíduos como um todo, e após um tempo suficientemente longo, a rede entra em uma fase inativa caracterizada pela existência de indivíduos suscetíveis e recuperados somente [11]. Nessa fase, a doença desapareceu da população. Aqui, o parâmetro λ, junto com a topologia da rede, determina a proporção final de indivíduos recuperados, ou seja, a proporção de indivíduos que uma vez foram infectados. 4 Influência da topologia da rede Yang et al. [20] desenvolveram um trabalho que investiga como maximizar a propagação da informação em um processo de contato. Observaram que a propagação é maximizada se a probabilidade da escolha de um vizinho a 7

8 receber a informação (ser infectado) for inversamente proporcional a seu grau. Os autores concluem, assim, que os indivíduos de grau baixo desempenham um papel fundamental na propagação da informação. Tipicamente, as diversas topologias de redes apresentam o limiar λ c > 0 para o modelo SIS [15]. Contudo, segundo Pastor-Satorras e Vespignani [15], algumas classes de redes livres de escala apresentam λ c = 0. Isso significa que, por menor que seja o parâmetro λ, o sistema sempre tende a se manter na fase ativa. Ou seja, se a informação que trafega na rede for alguma doença, essa doença persistirá. Os autores utilizam esse resultado para explicar a persistência dos vírus pela Internet. Também dizem que, por um lado, a infecção persiste na rede, mas por outro, a proporção final dessa infecção é tipicamente pequena, caracterizando um estado endêmico. Huang et al. [11] desenvolveram um trabalho utilizando um tipo particular de modelo SIR e redes modulares. Observaram que a duração da informação na rede é dependente da quantidade de módulos (comunidades) da rede. Aumentando-se a quantidade de módulos, a duração da informação também aumenta, até atingir um valor máximo, a partir do qual o aumento da quantidade de módulos faz reduzir a duração da informação. Os autores chamaram isso de fenômeno ressonante. 5 Percolação em redes Do ponto de vista físico, percolação pode ser definida como um fluido que passa por um meio poroso [18]. O meio será impermeável se a quantidade de poros foi muito pequena impedindo a passagem do fluido. Por outro lado, se a quantidade de poros foi muito grande, o fluido conseguirá propagar pelo meio. Então, é dito que o meio percola se houver uma quantidade grande de poros formando um caminho pelo qual o fluido passa. Quando o meio tem tamanho suficientemente grande, é definido um limiar de percolação que corresponde à fração mínima de poros tal que acima desse limiar o meio sempre percola (permeável) e abaixo do limiar o meio nunca percola (impermeável). Essa transição brusca entre os dois regimes é chamada de transição de percolação. Para simular o processo de percolação, o meio poroso é constituído por pontos abertos (poros) e por pontos fechados. Cada ponto é interligado com outros pontos próximos formando uma rede, isto é, pontos abertos representam vértices ativos e pontos fechados representam vértices inativos. Seja f e (1 - f) as probabilidades de um vértice estar ativo e inativo, respectivamente. Quando f tem valor pequeno, a rede é formada por muitos subgrafos pequenos de vértices ativos. Conforme o valor de f aumenta, surge um componente 8

9 gigante 1, ou seja, um subgrafo de vértices ativos de tamanho proporcional ao tamanho da rede. Logo, a fase de transição é caracterizada por um limiar de percolação que separa a ausência ou a existência de um componente gigante. Na ausência, a rede contém somente pequenos grupos de vértices ativos. Em redes, o processo de percolação é geralmente dividido em dois tipos: percolação de vértices 2 e percolação de arestas 3 [3]. Descrito anteriormente, o primeiro caso considera cada vértice na situação ativa ou inativa com certa probabilidade e as arestas apenas definem as relações entre vértices. No segundo caso, a situação ativa ou inativa está relacionada com cada aresta e os vértices estão sempre ativos. As situações ativas e inativas, tanto de vértices quanto de arestas, variam conforme a abordagem e podem ser simuladas, por exemplo, pela remoção de vértices ou arestas quando inativos. Em ambos os tipos de percolação, o processo está relacionado com o aparecimento de um componente gigante [7]. Na literatura existem vários trabalhos relacionados a essa teoria para análises de rede tais como controle de tráfego [19], controle de propagação de doenças [8], estabilidade de redes [5], entre outros. Na percolação de vértices, uma das formas de determinar a ausência de um componente gigante é verificar se, após cada remoção de vértice, o tamanho do maior subgrafo da rede diminui bruscamente, ou seja, se a quantidade de vértices do maior subgrafo é inferior a um valor pré-determinado. Nem sempre existe um valor exato para o tamanho do componente gigante, por isso é feita uma aproximação levando em conta o tipo de rede e que o tamanho seja proporcional ao da rede completa. Simulações são repetidas várias vezes a fim de obter a média do tamanho do componente gigante. A propagação de doenças é bem caracterizada pela teoria da percolação. O tamanho médio da epidemia equivale aproximadamente ao tamanho do componente gigante da rede. Mas é difícil determinar quando uma epidemia ocorre e por esse motivo epidemiologistas são obrigados a definir um número mínimo de indivíduos infectados para afirmar que uma epidemia ocorreu [12]. É possível mapear o modelo SIR como um processo de percolação de arestas de forma que a probabilidade de uma aresta estar ativa corresponde a probabilidade de um vértice (indivíduo) infectado transmitir a doença para um vértice vizinho [13]. Se a probabilidade de transmissão é alta, a fração de vértices que foram infectados pelo menos uma vez é, no máximo, o tamanho do componente gigante. Considerando que a transmissão da doença inicia a partir de um único vértice, uma epidemia poderia ocorrer se esse vértice infectado pertencesse ao componente gigante. 1 do inglês: giant component 2 do inglês: site percolation 3 do inglês: bond percolation 9

10 Existem diversos métodos baseados no modelo SIR para controle de propagação de doenças através da imunização de indivíduos. Um indivíduo imunizado está no compartimento recuperado(r) e não será mais infectado. Na propagação de doenças em redes livres de escala a tendência é que os vértices com muitas conexões, chamados de hubs, sejam infectados por algum de seus vértices vizinhos e, em seguida, transmitam para outros hubs, infectando uma parcela significativa dos indivíduos da rede. Neste caso, a imunização aleatória de poucos vértices da rede é ineficiente, uma vez que a chance de imunizar os vértices hubs é pequena [1]. Para ter efeito satisfatório, a imunização aleatória precisa ser feita em grande quantidade da população. Por outro lado, a imunização de vértices hubs tem mostrado ser uma estratégica de controle efetiva [8]. Assim, a estratégia de imunização pode ser entendida como um processo de percolação de vértices, tal que os vértices imunizados correspondem aos vértices removidos. A teoria da percolação também é aplicada no estudo sobre estabilidade de redes para verificar a tolerância a falhas e ataques [17]. A falha é simulada com a remoção aleatória de vértices ou arestas enquanto o ataque é simulado pela remoção de vértices ou arestas escolhidos previamente. Conforme vértices são removidos, o tamanho do caminho médio entre vértices aumenta e o tamanho do maior componente diminui. Em relação às falhas aleatórias, as redes livres de escala não correlacionadas são robustas [6], pois a probabilidade de um vértice com grau alto ser removido é menor que a a probabilidade de remover um vértice de menor grau. Isso significa que a chance de um componente gigante se manter é alta e consequentemente o limiar de percolação é baixo. Porém, é evidente que ataques direcionados aos vértices de maior grau quebram a integridade da rede. 6 Considerações finais A principal motivação para o estudo de transmissão de informação em redes complexas é compreender como a topologia da rede influencia na propagação da informação. Algumas redes são mais propensas para propagar informação que outras. Com intuito de exemplificar a dinâmica da transmissão de informação, procurou-se destacar dois modelos epidemiológicos frequentemente usados para representar a propagação de doenças. O primeiro deles é o modelo SIS que, dependendo da probabilidade de transmissão da doença, apresenta uma fase ativa e estacionária ou uma fase inativa. Quando essa probabilidade está acima de um certo limiar, então a doença persiste, caso contrário, a doença desaparece. O segundo é o modelo SIR, que inclui o caso do indivíduo estar 10

11 imunizado, não podendo propagar a doença para outros indivíduos. Este último modelo apresenta uma fase inativa após um tempo suficientemente longo, caracterizada pela existência somente de indivíduos imunizados e de indivíduos nunca infectados. Quando a população subjacente é tratada como uma rede de indivíduos, os modelos SIS e SIR são baseados em processos de contato. Foi visto que a percolação permite determinar fatores propícios para transmissão de informação. Estratégias de imunização de indivíduos de uma rede e estabilidade de redes podem ser simuladas como um processo de percolação de vértices. Neste processo é possível determinar em quais circunstâncias um componente gigante está presente indicando que a rede possui um subgrafo de tamanho proporcional à rede completa. Então, vértices que pertencem ao componente gigante podem se comunicar à maioria dos outros vértices da rede. Esse resultado ajuda a entender o porquê de determinadas redes serem mais tolerantes a falhas e também, no contexto de epidemiologia, como a propagação de doença gera uma epidemia. Referências [1] Albert-László Barabási and Eric Bonabeau. Scale-free networks. Sci. Am., 288(5):50 59, [2] M. Barthélemy, A. Barrat, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. Dynamical patterns of epidemic outbreaks in complex heterogeneous networks. Advances in Physics, [3] S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, and D-U. Hwang. Complex networks : Structure and dynamics. Phys. Rep., 424(4-5): , Fervier [4] M. Boguña, R. Pastor-Satorras, and A. Vespignani. Absence of epidemic threshold in scale-free networks with degree correlations. Physical Review Letters, [5] R. Cohen, K. Erez, Ben D. Avraham, and S. Havlin. Resilience of the internet to random breakdowns. PHYS.REV.LETT, 85, [6] Reuven Cohen, Keren Erez, Daniel ben Avraham, and Shlomo Havlin. Breakdown of the internet under intentional attack. Phys. Rev. Lett., 86(16): , Apr [7] S. N. Dorogovtsev and J. F. F. Mendes. Evolution of networks. Adv. Phys., 51: ,

12 [8] Zhang Hai-Feng, Li Ke-Zan, Fu Xin-Chu, and Wang Bing-Hong. An efficient control strategy of epidemic spreading on scale-free networks. Chinese Physics Letters, 26, [9] ZHANG Hai-Feng, M. Small, and FU Xin-Chu. Different epidemic models on complex networks. Commun. Theor. Phys., [10] Herbert W. Hethcote. The mathematics of infectious diseases. SIAM REVIEW, [11] Liang Huang, Kwangho Park, and Ying-Cheng Lai. Information propagation on modular networks. PHYSICAL REVIEW E, [12] C. Lagorio, M.V. Migueles, L.A. Braunstein, E. López, and P.A. Macri. Effects of epidemic threshold definition on disease spread statistics. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, 388(5): , [13] Nilly Madar, Tomer Kalisky, Reuven Cohen, Daniel B. Avraham, and Shlomo Havlin. Immunization and epidemic dynamics in complex networks. Eur. Phys. J. B, 38(2): , [14] R. Pastor-Satorras and A. Vespignani. Epidemic dynamics and endemic states in complex networks. Physical Review Letters, [15] Romualdo Pastor-Satorras and Alessandro Vespignani. Epidemic spreading in scale-free networks. PHYSICAL REVIEW LETTERS, [16] Romualdo Pastor-Satorras and Alessandro Vespignani. Immunization of complex networks. Phys. Rev. E, 65(3), Feb [17] Albert Reka and Barabási. Statistical mechanics of complex networks. Rev. Mod. Phys., 74:47 97, jun [18] Tânia Tomé and Mário José de Oliveira. Dinâmica Estocástica e Irreversibilidade. Edusp, [19] Dan Wang, Na Cai, Yuanwei Jing, and Siying Zhang. Phase transition in complex networks. In Proceedings of the 2009 conference on American Control Conference, ACC 09, pages , Piscataway, NJ, USA, IEEE Press. [20] Rui Yang, Tao Zhou, Yan-Bo Xie, Ying-Cheng Lai, and Bing-Hong Wang. Optimal contact process on complex networks. PHYSICAL RE- VIEW E,