UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO. Reitora: Profa. Dra. SUELY VILELA. Vice-Reitor: Prof. Dr. FRANCO M. LAJOLO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS

Transcrição

1 São Carlos, v.9 n

2 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Reitora: Profa. Dra. SUELY VILELA Vice-Reitor: Prof. Dr. FRANCO M. LAJOLO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS Diretor: Profa. Dra. MARIA DO CARMO CALIJURI Vice-Diretor: Prof. Dr. EDUARDO MORGADO BELO DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA DE ESTRUTURAS Chefe do Departamento: Prof. Dr. SERGIO PERSIVAL BARONCINI PROENÇA Suplente do Chefe do Departamento: Prof. Dr. MOUNIR KHALIL EL DEBS Coordenador de Pós-Graduação: Prof. Dr. MARCIO ANTONIO RAMALHO Editor Responsável: Prof. Dr. MÁRCIO ROBERTO SILVA CORRÊA Coordenadora de Publicações e Material Bibliográfico: MARIA NADIR MINATEL minatel@sc.usp.br Editoração e Diagramação: FRANCISCO CARLOS GUETE DE BRITO MARIA NADIR MINATEL MASAKI KAWABATA NETO MELINA BENATTI OSTINI RODRIGO RIBEIRO PACCOLA TATIANE MALVESTIO SILVA

3 São Carlos, v.9 n

4 Departamento de Engenharia de Estruturas Escola de Engenharia de São Carlos USP Av. Trabalhador Sãocarlense, 400 Centro CEP: São Carlos SP Fone: (16) Fax: (16) site:

5 SUMÁRIO Métodos simplificados para a verificação de punção excêntrica Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro 1 Análise experimental de ligações duplo T com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves 3 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à ação de força centrada Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo 47 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade física modelagem e metodologia de aplicação a projetos Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa 77 Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos unidimensionais com dois parafusos por nó André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr 109 A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior 19

6

7 ISSN MÉTODOS SIMPLIFICADOS PARA A VERIFICAÇÃO DE PUNÇÃO EXCÊNTRICA Juliana Soares Lima 1 & Libânio Miranda Pinheiro Resumo Nas recomendações da NBR 6118:1978 relativas à punção, não eram previstos os casos em que ocorre transferência de momentos desbalanceados entre a laje e o pilar. Como a influência desses momentos pode ser bastante significativa para a análise da punção, algumas diretrizes foram incluídas na Revisão da NBR 6118, versão de 000. Este trabalho apresenta um estudo dessas disposições sobre a chamada punção excêntrica, ressaltando-se algumas omissões quanto ao cálculo das tensões solicitantes na face do pilar e além da região armada para punção. São propostas complementações e métodos simplificados para a consideração dos efeitos dos momentos. Por fim, resolve-se um exemplo de cálculo, demonstrando os procedimentos apresentados e comparando-os com aqueles propostos pela Revisão da NBR Palavras-chave: lajes; punção; momentos desbalanceados; ligação laje-pilar. 1 INTRODUÇÃO Quando um momento desbalanceado é transferido em uma ligação laje-pilar, parte se dá por flexão, parte por torção e parte por cisalhamento. Essa distribuição pode ser considerada por uma variedade de métodos e depende essencialmente das dimensões do pilar e da espessura da laje. Para a punção, em especial, interessa a parcela transferida por cisalhamento. Nas recomendações da NBR 6118:1978, relativas à punção, não eram previstos os casos em que ocorre transferência de momentos desbalanceados. Mas como a influência desses momentos pode ser bastante significativa, sua análise foi incluída na Revisão da NBR 6118 (000). Em trabalho anterior, GUARDA, LIMA & PINHEIRO (000) apresentaram essas novas diretrizes da NBR 6118 (000), resolvendo, inclusive, um exemplo de cálculo. Posteriormente, LIMA (001) estudou mais detalhadamente esses procedimentos, identificando algumas omissões relacionadas ao cálculo das tensões solicitantes. Neste trabalho, são apresentadas algumas sugestões para contornar essas omissões, enfatizando-se a possibilidade de utilização de métodos simplificados. 1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, jslima55@uol.com.br Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, libanio@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

8 Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro PUNÇÃO EXCÊNTRICA SEGUNDO A REVISÃO DA NBR 6118 O modelo empírico da NBR 6118 (000) para a verificação da punção é baseado no método da superfície de controle, que consiste em comparar tensões de cisalhamento atuantes em superfícies consideradas críticas, com tensões resistentes do concreto. Essas superfícies críticas estão relacionadas às regiões com possibilidade de ruína por punção, localizadas entre a face do pilar e o início da armadura, dentro da região armada e além dela. Quando não for prevista armadura de punção, duas verificações devem ser feitas: verificação da compressão do concreto, no contorno C; verificação da punção, no contorno C. Quando for prevista armadura de punção, três verificações devem ser feitas: verificação da compressão do concreto, no contorno C; verificação da punção, no contorno C ; verificação da punção, no contorno C. Os contornos críticos C, C e C encontram-se, respectivamente, na face do pilar, à distância d da face do pilar e à distância d da última linha de armadura de punção. A determinação de cada um dos contornos críticos C, C e C varia de acordo com a posição do pilar na estrutura (Figura 1). Pilar Interno Pilar de Borda Pilar de Canto C' C' C d C" d d C" C d C d C' d d d C" d d d d Figura 1 - Perímetros críticos. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

9 Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica 3 O cálculo das tensões solicitantes nos casos de punção excêntrica foi apresentado por GUARDA, LIMA & PINHEIRO (000) e por LIMA (001). Um resumo das expressões utilizadas encontra-se na Tabela 1. Vale lembrar que, no caso de pilares de canto, devem ser feitas verificações separadas para cada uma das direções, sendo estudadas duas situações de cálculo. Tabela 1 - Expressões para o cálculo das tensões solicitantes. Situação de Cálculo Tensão Solicitante Pilar interno com momento em uma direção Pilar interno com momentos nas duas direções Pilar de borda sem momento no plano paralelo à borda livre Pilar de borda com momento no plano paralelo à borda livre Pilar de canto τ τ τ τ τ Sd Sd Sd Sd Sd FSd K M = + u d W d p Sd FSd K1 M = + u d W d p1 Sd1 FSd K1 MSd = + u * d W d p1 FSd K1 M = + u * d W d p1 Sd FSd K1 MSd = + u * d W d p1 K M + W d p Sd K M + W d p Sd Nas expressões da Tabela 1, têm-se: F Sd - força normal de cálculo; u - perímetro crítico do contorno considerado; u* - perímetro crítico reduzido do contorno considerado (Figura ); d - altura útil da laje; K, K 1 e K - coeficientes que fornecem a parcela de momento transferida por cisalhamento (Tabela ), e que dependem da relação c 1 / c entre as dimensões do pilar (Figura 3); para pilares de borda com momento no plano paralelo à borda livre, K depende da relação c / c1; Tabela - Valores do coeficiente K. c 1 /c 0,5 1 3 K 0,45 0,60 0,70 0,80 c 1 - dimensão do pilar na direção da excentricidade ou na direção perpendicular à borda; c - dimensão do pilar na direção perpendicular à excentricidade ou na direção da borda; Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

10 4 Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro Perímetro crítico u a 1,5d ou 0,5c 1 d d c c Borda livre da laje c 1 d d Borda livre da laje c 1 d d Perímetro crítico reduzido u* Bordas livres da laje c d a 1,5d ou 0,5c d d Perímetro crítico u d Perímetro crítico reduzido u* Figura - Perímetros críticos reduzidos do contorno C para pilares de borda e de canto. M sd c 1 c Figura 3 - Dimensões c 1 e c. M Sd, M Sd1 e M Sd - momentos desbalanceados de cálculo; para pilares de borda e de canto: M Sd - momento no plano paralelo à borda livre; M Sd - momento resultante de cálculo, dado pela expressão M = (M M *) 0 ; M Sd1 - momento desbalanceado de cálculo, no plano perpendicular à borda livre; M Sd * - momento resultante da excentricidade do perímetro crítico reduzido u* em relação ao centro do pilar, no plano perpendicular à borda livre, ou seja, M * = F e * ; e* - excentricidade do perímetro crítico reduzido (Figura 4), dada por u* u* e * = e dl dl. 0 0 Sd Sd1 Sd Sd Sd De acordo com esta definição, a NBR 6118 (000) apresenta apenas as expressões da Tabela 3, correspondentes ao contorno crítico C. Nenhuma indicação é feita para os contornos C e C. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

11 Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica 5 a 1,5d ou 0,5c 1 b a d d c 1 / e* c Borda livre da laje d c 1 d Perímetro crítico reduzido u* c1 d c e* d a d a1 1,5d ou 0,5c1 a 1,5d ou 0,5c a1 d Perímetro crítico reduzido u* Figura 4 - Excentricidade do perímetro crítico reduzido do contorno C, para pilares de borda e de canto. Tabela 3 - Valores de e* para o contorno C. Situação de Cálculo Excentricidade Pilares de borda Pilares de canto c1 a a e* = c1 a e* = 1 a c1 c + + c d + 8 d a + c + π d 1 + a c + 4 a 1 ( a + a + π d) 1 d + 8 d + π d c 1 + π d c 1 Observa-se que, para pilares de borda e de canto, não é necessário utilizar o momento no plano perpendicular à borda livre com seu valor integral. A excentricidade do perímetro crítico provoca um momento M Sd * de sentido oposto ao de M Sd1, podendo até anular o efeito deste. A favor da segurança, mesmo que M Sd * seja maior que M Sd1, o que significaria alívio da tensão de cisalhamento atuante, esta situação não é considerada ( M M * 0 ). Sd1 a, a 1 e a - menor valor entre 1, 5 d e 0,5 c ; Sd W p, W p1 e W p - módulos de resistência plástica do perímetro crítico, nas direções paralelas aos momentos correspondentes, dados por W e dl, onde dl é o comprimento infinitesimal de u e e é a distância de dl ao eixo que passa pelo centro do pilar e em torno do qual atua M Sd. De acordo com essa definição, a NBR 6118 p u = 0 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

12 6 Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro (000) apresenta apenas as expressões da Tabela 4, relativas ao contorno crítico C. Nenhuma indicação é feita para os contornos C e C. Tabela 4 - Valores de W p para o contorno C. Situação de Cálculo W p c Pilares internos 1 Wp = + c1 c + 4 c d + 16 d + π d c1 c Pilares de borda - W 1 c1 c p1 Wp1 = + + c d + 8 d + π d c1 c Pilares de borda - W p Wp = + c1 c + 4 c1 d + 8 d + π d c 4 Pilares de canto W p1 c1 = 4 c1 c + + c d + 4 d π d c VALORES DE W p PARA OS CONTORNOS C E C A omissão da NBR 6118 (000) sobre a obtenção das expressões de W p para os contornos C e C pode acarretar o uso de valores indevidos desse parâmetro para as verificações na face do pilar e além da região armada, não devendo persistir na versão definitiva da NBR No CEB MC-90 (1993), no qual a verificação de punção da NBR 6118 (000) é baseada, não ocorre esse problema. Para o contorno C, fica claro que deve ser calculado um W p correspondente ao perímetro crítico u, de forma análoga ao W p para o contorno u. Resolvendo-se a integral de definição, podem ser obtidas as expressões de W p da Tabela 5, para cada situação de cálculo, sendo p a distância da face do pilar até a última linha de conectores. Para o contorno C, o CEB MC-90 (1993) apresenta a tensão solicitante em termos de uma força de compressão efetiva, F Sd,ef, que considera o efeitos dos momentos fletores. Rearrumando sua expressão para um formato similar ao da NBR 6118 (000), tem-se: τ Sd FSd K M = + u o d u o Wp u Sd d Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

13 Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, Tabela 5 - Valores de W p. Situação de Cálculo W p Pilar interno (W p ) p c p 4 p d 16 p c c d d 16 d c 4 c c c W p + π π = ' Pilar de borda (W p1 ) p1 p c p p d 8 p c c d d 8 d c c c c W + π π = ' Pilar de borda (W p ) p p c p p d 8 p c c d d 8 d c 4 c c 4 c W + π π = ' Pilar de canto (W p1 ) p1 p 4 c p p d 4 p c c d d 4 d c c c 4 c W + π π = ' Nota-se que o CEB MC-90 (1993), apesar de não fornecer expressão direta para o cálculo do W p no contorno C, utiliza uma redução do próprio W p do contorno C para o cálculo da tensão solicitante na face do pilar 3. Pode-se escrever então: p o po W u u W = (1) Para pilares de borda e de canto, devem ser utilizados os perímetros críticos reduzidos: p o po W u u W = * * () Mas assim como foi feita uma redução do W p para se calcular o W po, pode-se pensar numa majoração do W p para se obter o W p. Essa interpretação é bastante prática, pois permite que os valores de W p sejam calculados de uma forma mais simples que aquela apresentada na Tabela 5. Assim sendo, pode-se escrever: p wp p W u u W = η ' ' (3) Para pilares de borda e de canto: 3 Deve-se ressaltar que essa redução do W p do contorno C não corresponde à aplicação da integral de definição ao perímetro crítico u o.

14 8 Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro u'* Wp ' = ηwp Wp (4) u * sendo η wp - coeficiente para correção do W p em função da situação de cálculo. Para determinar os valores de η wp, foram utilizadas as expressões: W p ' Wp η wp = u' para pilares internos; u W p ' Wp η wp = u'* para pilares de borda e de canto. u * Foram resolvidos diversos exemplos para cada situação de cálculo, supondose W p dado pela Tabela 5 e s e d, sendo s e o espaçamento entre os conectores mais afastados do pilar. Variou-se a altura útil da laje entre 1 e cm, a menor dimensão da seção do pilar entre 0 e 30 cm, a maior dimensão até cinco vezes a outra, e manteve-se a distância da última linha de armaduras à face do pilar em pelo menos d. Com base nesses dados e na análise estatística de LIMA (001), observouse que podem ser adotados os valores de η wp apresentados na Tabela 6. Mas vale ressaltar que esses valores ainda podem ser melhorados, a partir de outras análises mais refinadas e que considerem uma amostragem maior e mais diversificada. Tabela 6 - Valores de η wp. Situação de Cálculo c 1 c c 1 > c Pilar interno (W p ) 1,6 1,3 Pilar de borda (W p1 ) 1,5 1,1 Pilar de borda (W p ) 1,3 1,3 Pilar de canto (W p1 ) 1,3 1,1 Assim, tanto a redução quanto a majoração do W p, para a determinação de W po e W p, respectivamente, podem ser introduzidas na versão definitiva da NBR Para cálculos mais rigorosos, entretanto, recomenda-se a adoção das expressões completas de W p, apresentadas na Tabela 5. 4 VALORES DE e* PARA OS CONTORNOS C E C A omissão da NBR 6118 (000) sobre a obtenção das expressões de e* para os contornos C e C, assim como no caso do W p, também pode acarretar a escolha de Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

15 Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica 9 valores indevidos para as verificações na face do pilar e além da região armada, devendo ser solucionada na versão definitiva da NBR Uma primeira idéia seria aplicar a integral de definição de e* aos contornos C e C. Com isso, são obtidas as expressões da Tabela 7, para pilares de borda, e da Tabela 8, para pilares de canto. Observa-se, entretanto, que o cálculo de e* segundo essas expressões pode se tornar um pouco trabalhoso. Fazendo-se uma analogia à solução apresentada para o Wp, pode-se propor que as excentricidades dos perímetros críticos reduzidos dos contornos C e C sejam escritas da seguinte forma: sendo: u o * eo* = ηe1 e * (5) u * u'* '* = η e e * (6) u * e η e1, η e - coeficientes para correção de e* em função do contorno estudado. Para a determinação de η e1 e η e, as seguintes expressões foram utilizadas: e o * η e * e 1 = e u * o u * η e = e'* e * u'* u * Tabela 7 - Valores de e* para pilares de borda. Contorno Crítico Excentricidade do perímetro crítico e* C C c1 c c1 a a + e o * = a + c c1 a a e '* = c1 c + + c d + 8 d + π d c1 + π p c1 + c p + 8 d p + + p a + c + π d + π p Foram resolvidos diversos exemplos com as mesmas características citadas no item 3, supondo-se e o * e e * calculados pela Tabela 7 e pela Tabela 8, e, novamente, s e d. Com base nesses dados e na análise estatística desenvolvida por LIMA (001), observou-se que podem ser adotados os valores de η e1 e de η e apresentados na Tabela 9. Mas vale ressaltar que esses valores também podem ser melhorados, a partir de outras análises mais refinadas e que considerem uma amostragem maior e mais diversificada. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

16 10 Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro Tabela 8 - Valores de e* para pilares de canto. Contorno Crítico Excentricidade do perímetro crítico e* C C c e * = o 1 a c1 a e '* = 1 a (a 1 a a + a + a ) c c a d + 8 d + π d c π p c + a p + 8 d p + π p a1 + a + π d p Tabela 9 - Valores de η e1 e de η e.. Coeficiente s c 1 c c 1 > c η e1 0,5 1,0 η e 1,0 0,8 Assim, tanto a redução quanto a majoração do e*, para a determinação de e o * e e *, respectivamente, podem ser introduzidas na versão definitiva da NBR Para cálculos mais rigorosos, entretanto, recomenda-se a adoção das expressões completas, indicadas na Tabela 7 e na Tabela 8. 5 MÉTODO SIMPLIFICADO PARA A PUNÇÃO EXCÊNTRICA No item, foram apresentadas expressões para o cálculo das tensões solicitantes quando atuam momentos fletores desbalanceados, além da força normal. Essas expressões, entretanto, podem se tornar inconvenientes quando se desejar uma análise mais imediata do problema. Nesses casos, a utilização de um método mais simplificado para a verificação da punção excêntrica pode ser interessante. Uma alternativa é a adoção de um coeficiente majorador da tensão atuante causada pela força normal, que leve em consideração o efeito da excentricidade, como é permitido pela FIP (1999) e pelo EC- (1999). Assim, sendo: F Sd τ Sd = β (7) u d β - coeficiente para a consideração do efeito da excentricidade. Pode-se imaginar que o valor de β sofre variações de acordo com a situação de cálculo e o contorno crítico estudados. De uma maneira geral, com base no cálculo de τ Sd pelo método mais rigoroso já apresentado, pode-se escrever: Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

17 Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica 11 no contorno C : FSd K + u d β = 1 ( M F e* ) Sd1 W p1 d F Sd Sd u d no contorno C: K M + W d p Sd β = FSd K + u d o 1 ( M F e *) Sd1 W p1,o u F d o Sd Sd d o K MSd + W d p,o no contorno C : FSd K + u' d β = 1 ( M F e'* ) Sd1 W p1 ' d F Sd Sd u' d K M + W ' d p Sd Para que os valores de β em cada contorno fossem obtidos a partir dessas expressões, foram resolvidos diversos exemplos para cada situação de cálculo, supondo-se s e d. As características desses exemplos foram as mesmas citadas no item 3, a menos da maior dimensão da seção do pilar, limitada a três vezes a outra. Com base nesses dados e na análise estatística feita por LIMA (001), notou-se que podem ser adotados os valores de β da Tabela 10. Mas vale ressaltar, mais uma vez, que esses valores ainda podem ser melhorados a partir de outras análises mais refinadas, e que considerem, principalmente, uma variação maior do carregamento. Sugere-se, então, a introdução desse método simplificado para o cálculo de τ Sd, na versão definitiva da NBR Tabela 10 - Valores de β. Situação de Cálculo c 1 c c 1 > c C C C C C C Pilar interno, com carregamento simétrico 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 1,0 Pilar interno, com momento aplicado 1, 1, 1,1 1, 1, 1,1 Pilar de borda 1,5 1,3 1, 1,7 1,4 1,1 Pilar de canto 1,7 1,4 1,1 1,5 1, 1,1 6 EXEMPLO DE CÁLCULO Para exemplificar a utilização dos critérios para a verificação da punção, foram estudadas as regiões dos pilares P1, P5 e P6, indicados na Figura 5. Os arranjos das armaduras de punção encontram-se na Figura 6. Os esforços foram obtidos a partir da Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

18 1 Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro resolução da placa por elementos finitos, utilizando o programa SAP 90. Adotaram-se os seguintes valores: f ck = 30 MPa, c =,0 cm e d = 14,75 cm P1 (30/30) P (40/30) P3 (40/30) P4 (30/30) 30 P5 (40/30) P6 (30/40) P7 (30/40) P8 (40/30) 570 h = P9 (40/30) P10 (30/40) P11 (30/40) P1 (40/30) P13 (30/30) P14 (40/30) P15 (40/30) P16 (30/30) Figura 5 - Forma do pavimento do exemplo (dimensões em centímetros) - LIMA (001). 10 cm 10 cm 10 cm 7 cm 7 cm 10 cm 10 cm 10 cm 8,3 cm 7 cm 10 cm 10 cm 10 cm so 0,5d = 7,375 7,0 cm sr 0,75d = 11,06 10 cm se d = 9,5 8,3 cm a = 15 cm so = 7 cm sr = 10 cm se = 8,3 cm = Armadura adicional a = 15 cm so = 7 cm sr = 10 cm se = 8,3 cm = Armadura adicional Figura 6 - Arranjo dos conectores tipo pino para os pilares estudados - LIMA (001). 6.1 Pilar P6 (pilar interno) F Sd = 1,4 39 = 461kN M Sd1 M Sd = 1, = 1838 kn cm = 1,4 300 = 403 kn cm Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

19 Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica 13 u o = 140 cm, u = 35 cm e u ' = 558 cm K 1 = 0,55 e K = 0, Contorno C Tensão solicitante (Tabela 1): Pela Tabela 4: 30 W p1 = , ,75 + π 14,75 30 = 1071cm 40 W p = , ,75 + π 14,75 40 = cm Pela eq.(1): 140 W p1,o = 1071 = 444 cm W p,o = = 470 cm 35 Assim, de acordo com a Tabela 1, obtém-se: 461 0, , τ Sd = + + = 0,3 + 0, , , , ,75 kn τ Sd = 0,76 =,76 MPa cm Tensão solicitante (eq.7): Pela Tabela 10, β = 1,. Assim: τ 461 kn = 1, = 0, ,75 cm Sd =,68 MPa Nota-se que o método simplificado para o cálculo de τ Sd conduziu a um bom resultado, apesar de sua grande simplificação Contorno C Tensão solicitante (Tabela 1): 461 0, , τ Sd = + + = 0, , , , , ,75 kn τ Sd = 0,118 = 1,18 MPa cm Tensão solicitante (eq.7): Pela Tabela 10, β = 1,. Assim: Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

20 14 Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro τ 461 kn = 1, = 0, ,75 cm Sd = 1,15 MPa Observa-se que o método simplificado para o cálculo de τ Sd forneceu novamente um resultado próximo daquele obtido com a expressão da Tabela Verificação do contorno C Tensão solicitante (Tabela 1): Pela eq.(3), tomando-se η wp = 1, 6 para W p1, e η wp = 1, 3 para W p, de acordo com a Tabela 6: 558 W p1' = 1, = 815 cm W p ' = 1, = 4458 cm 35 Assim: 461 0, , τ Sd = + + = 0, ,00 + 0, , , ,75 kn τ Sd = 0,065 = 0,65 MPa cm Calculando-se os valores de W p1 e de W p a partir da expressão indicada na Tabela 5, tem-se: W W p1 p 30 ' = 40 ' = , , , , , , π 14, π = 3096 cm + π 14, π = 3036 cm E assim: 461 0, , τsd = + + = 0, ,00 + 0, , , ,75 kn τ Sd = 0,064 = 0,64 MPa cm Tensão solicitante (eq.7): Pela Tabela 10, β = 1,1. Assim: τ 461 kn = 1,1 = 0, ,75 cm Sd = 0,6 MPa Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

21 Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica 15 Observa-se que os valores de W p1 e de W p obtidos pela eq.(3), apesar de conservadores, não são muito distantes daqueles calculados a partir da Tabela 5, mas são muito mais facilmente calculados. O importante, entretanto, é que as tensões solicitantes obtidas nos dois casos são bastante parecidas. Acredita-se que a boa aproximação dos resultados justifica o uso do método simplificado, o mesmo ocorrendo para o cálculo de τ Sd pela eq.(7), que forneceu um bom resultado em relação àquele obtido com a expressão da Tabela Pilar P5 (pilar de borda) F Sd = 1,4 178 = 49 kn M Sd1 M Sd = 1, = kn cm = 1,4 049 = 869 kn cm M = M (perpendicular à borda livre) Sd1 Sdx M Sd = MSdy (paralelo à borda livre) c 1 = 40 cm (perpendicular à borda livre) c = 30 cm (paralelo à borda livre) a = 0 cm u o * = 70 cm, u * = 163 cm e u '* = 79 cm K 1 = 0,633 e K = 0, Contorno C Tensão solicitante (Tabela 1): Pela Tabela 3: e* = , , π 14,75 + π 14,75 40 = 33,68 cm Pela eq.(5), tomando-se η 1, 0, de acordo com a Tabela 9: 70 e o * = 33,68 = 14,46 cm 163 e 1 = Logo, M M Sd Sd * = F Sd = (M e * = 49 14,46 = 3600 kn cm Sd1 o M Sd *) = ( ) = 8350 kn cm Pela Tabela 4: W p1 = , ,75 + π 14,75 40 = 5879 cm 30 W p = , ,75 + π 14,75 30 = 6916 cm 4 Pela eq.(1): 70 W p1,o = 5879 = 55 cm 163 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

22 16 Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro 70 W p,o = 6916 = 970 cm 163 Assim, 49 0, , τ Sd = + + = 0,41 + 0,14 0, , , ,75 + kn τ Sd = 0,41 = 4,1 MPa cm Tensão solicitante (eq.7): Pela Tabela 10, β =1, 7. Assim: τ 49 kn = 1,7 = 0, ,75 cm Sd = 4,10 MPa Considerando-se e o * calculado através da expressão da Tabela 7, tem-se: e * = o = 14,9 cm Nota-se o valor obtido com a eq.(5) está bastante próximo deste, sendo, entretanto, muito mais facilmente calculado. O mesmo ocorre para o cálculo de τ Sd pela eq.(7), cujo resultado se aproxima bastante daquele obtido segundo a Tabela Verificação do contorno C Tensão solicitante (Tabela 1): M M Sd Sd * = F Sd = (M e* = 49 33,68 = 8386 kn cm Sd1 M Sd *) = ( ) = 3564 kn cm Assim: 49 0, , τ Sd = + + = 0, ,06 + 0, , , ,75 kn τ Sd = 0,143 = 1,43 MPa cm Tensão solicitante (eq.7): Pela Tabela 10, β =1, 4. Assim, τ 49 kn = 1,4 = 0, ,75 cm Sd = 1,45 MPa Observa-se que o cálculo de τ Sd pelo método simplificado conduziu novamente a um bom resultado em relação àquele obtido com a expressão da Tabela 1. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

23 Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica Verificação do contorno C Tensão solicitante (Tabela 1): Pela eq.(6), tomando-se η 0, 8, de acordo com a Tabela 9: 79 e '* = 0,8 33,68 = 46,1 163 Logo, M M Sd Sd * = F Sd = (M e = cm e'* = 49 46,1 = kn cm Sd1 M Sd *) = ( ) = 466 kn cm Pela eq.(4), tomando-se η wp = 1, 1 para o W p1, e η wp = 1, 3 para o W p, de acordo com a Tabela 6: 79 W p1' = 1, = cm W p ' = 1, = cm 163 Assim, 49 0, , τ Sd = + + = 0, ,00 0, , , ,75 + kn τ Sd = 0,067 = 0,67 MPa cm Calculando-se a excentricidade pela expressão da Tabela 7, tem-se: , ,75 + π π 14, , e'* = π 14,75 + π 37 = 57,43 cm Logo: M Sd * = F Sd M sd = (M M sd = 0 sd1 e'* = 49 57,43 = kn cm M sd *) = ( ) = 350 kn cm 0 Calculando-se W p1 e W p pelas expressões da Tabela 5, têm-se: W p1 40 ' = , ,75 + π 14, π , = cm Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

24 18 Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro W p 30 ' = , ,75 π , π 14, = 1873 cm E assim, 49 0, , τ Sd = + + = 0, , , , ,75 + kn τ Sd = 0,065 = 0,65 MPa cm Tensão solicitante (eq.7): Pela Tabela 10, β = 1, 1. Assim, τ 49 kn = 1,1 = 0, ,75 cm Sd = 0,66 MPa Observa-se que os valores de W p1 e de W p obtidos pela eq.(4), apesar de conservadores, não são muito distantes daqueles calculados a partir da Tabela 5, o mesmo ocorrendo para o e * obtido pela eq.(6), em relação ao da Tabela 7. O mais importante, entretanto, é que novamente as tensões solicitantes calculadas para os dois casos são bastante parecidas, justificando, mais uma vez, o uso do método simplificado. E quanto ao cálculo de τ Sd pela eq.(7), observa-se que o resultado obtido também ficou próximo daqueles correspondentes à expressão da Tabela Pilar P1 (pilar de canto) F Sd = 1,4 77 = 108 kn M Sdx M Sdy = 1, = 608 kn cm = 1, = 590 kn cm a1 = a = 15 cm u o * = 30 cm, u * = 76 cm e u '* = 134 cm K 1 = 0,6 As duas situações de cálculo estão representadas na Figura 7. M Sd1 = MSdx M Sd1 = MSdy a situação a situação Figura 7 - Situações de cálculo para o pilar P1. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

25 Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica 19 Mas como o pilar é quadrado, c 1 = c, e as excentricidades e os valores de K e de W p são iguais para as duas direções. O determinante da situação mais crítica é, portanto, apenas o valor do momento M sd, que é maior no primeiro caso. Se o pilar fosse retangular, seria necessário se calcular a tensão solicitante segundo as duas situações de cálculo, para então se descobrir a mais crítica Contorno C Tensão solicitante (Tabela 1): Pela Tabela 3: e* = , ,75 ( π 14,75) + π 14,75 30 = 30,7 cm Pela eq.(5), tomando-se η 0, 5, de acordo com a Tabela 9: e 1 = 30 e o * = 0,5 30,7 = 6,06 cm 76 Logo: MSd * = F M = (M sd Sd sd1 eo* = 108 6,06 = 655 kn cm M *) = ( ) = 547 kn cm sd Pela Tabela 4: π 14,75 30 W p1 = , ,75 + = 315 cm 4 Pela eq.(1): 30 W p1,o = 315 = 134 cm 76 Assim: τ 108 0,6 547 kn = + = 0,44 + 0,179 = 0, , ,75 cm Sd = 4,3 MPa Calculando-se a excentricidade pela expressão da Tabela 8, tem-se: o = e * = ( ) 11,5 cm Logo: M M Sd sd * = F = (M Sd sd1 eo* = ,5 = 115 kn cm M *) = ( ) = 4867 kn cm sd Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

26 0 Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro E assim: τ 108 0, kn = + = 0,44 + 0,160 = 0, , ,75 cm Sd = 4,04 MPa Tensão solicitante (eq.7): Pela Tabela 10, β =1, 7. Assim, τ 108 kn = 1,7 = 0, ,75 cm Sd = 4,15 MPa Mais uma vez percebe-se que, apesar do valor conservador de e o * obtido com o uso da eq.(5) não estar próximo daquele obtido a partir da Tabela 8, a diferença entre as tensões solicitantes calculadas nos dois casos é pequena. E quanto ao método simplificado para o cálculo de τ Sd, ele forneceu, novamente, um bom resultado em relação àqueles obtidos com a expressão da Tabela Contorno C Tensão solicitante (Tabela 1): M M Sd sd * = F Sd = (M E assim, τ sd1 e* = ,7 = 3318 kn cm M sd *) = ( ) = 764 kn cm 108 0,6 764 kn = + = 0, ,036 = 0, , ,75 cm Sd = 1,3 MPa Tensão solicitante (eq.7): Pela Tabela 10, β =1, 4. Assim: τ 108 kn = 1,4 = 0, ,75 cm Sd = 1,35 MPa Nota-se que o resultado da eq.(7) para τ Sd se aproxima bastante daquele obtido pela Tabela 1, sendo, entretanto, muito mais facilmente calculado Contorno C Tensão solicitante (Tabela 1): Pela eq.(6), tomando-se η 1, 0, de acordo com a Tabela 9: 134 e '* = 30,7 = 54,16 cm 76 Logo: M M Sd sd * = F Sd = (M sd1 e = e'* = ,16 = 5849 kn cm M sd *) = ( ) = 33 kn cm Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

27 Métodos simplificados para a verificação da punção excêntrica 1 Pela eq.(4), tomando-se η wp = 1, 3, de acordo com a Tabela 6: 134 W p1 ' = 1,3 315 = 7163 cm 76 Assim, τ 108 0,6 33 kn = + = 0, ,001 = 0, , ,75 cm Sd = 0,56 MPa Calculando-se a excentricidade pela expressão da Tabela 8, tem-se: , , π π 14, , e'* = = 54,47 cm π π 14,75 + Logo: M M Sd sd * = F Sd = (M e'* = ,47 = 5883 kn cm M *) = ( ) = 199 kn cm sd1 sd Calculando-se W p1 pela expressão da Tabela 5, tem-se: W p1 30 ' = 4 E assim, τ π 14, , , π , = 8659 cm ,6 199 kn = + = 0, ,001 = 0, , ,75 cm Sd = 0,56 MPa Tensão solicitante (eq.7): Pela Tabela 10, β = 1, 1. Assim: τ 108 kn = 1,1 = 0, ,75 cm Sd = 0,60 MPa Observa-se que valor do W p1 obtido com a eq.(4), apesar de conservador, está novamente próximo daquele obtido a partir da expressão da Tabela 5, sendo muito mais facilmente calculado. O mesmo acontece com o valor de e * obtido pela eq.(6), em relação àquele da Tabela 8. Desta vez, inclusive, nem se pode considerar diferenças entre os valores das tensões solicitantes calculadas nos dois casos. E quanto ao cálculo de τ Sd pela eq.(7), observa-se que, mais uma vez, o resultado obtido ficou próximo daqueles correspondentes à expressão da Tabela 1. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

28 Juliana Soares Lima & Libânio Miranda Pinheiro 7 CONCLUSÕES Observou-se que a omissão da Revisão da NBR 6118 (000) quanto ao cálculo do W p e do e* nos contornos C e C poderia acarretar o uso de valores indevidos desses parâmetros para as verificações na face do pilar e a d da região armada. Sugeriu-se, então, um método simplificado para a determinação de W po, W p, e o * e e *, a partir dos coeficientes η wp, η e1 e η e. Também se propôs um método simplificado para a obtenção das tensões solicitantes nos casos de punção excêntrica, através de um coeficiente majorador da tensão provocada pela força normal, chamado de β. A adoção desse coeficiente, apesar de conduzir a valores um pouco conservadores em alguns casos, facilita bastante avaliação dos efeitos da transferência de momentos desbalanceados. Apesar dos bons resultados obtidos, como demonstrado no exemplo do item 6, vale ressaltar que os valores dos coeficientes propostos ainda podem ser melhorados, através de análises que utilizem uma amostragem maior e mais diversificada que aquela adotada por LIMA (001). 8 AGRADECIMENTOS Ao CNPq, pelas bolsas de mestrado e de pesquisador. 9 REFERÊNCIAS ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (000). Revisão da NBR Projeto de estruturas de concreto. COMITÉ EURO-INTERNACIONAL DU BÉTON. (1993). CEB-FIP model code London: Thomas Telford. COMITE EUROPEEN DE NORMALISATION. (1999). Eurocode - Design of concrete structures. Part 1: General rules and rules for buildings. Brussels: CEN. (1 st draft) FEDERATION INTERNATIONALE DE LA PRÉCONTRAINTE. (1999). Practical design of structural concrete. London: SETO. (FIP Recomendations). GUARDA, M. C. C.; LIMA, J. S.; PINHEIRO, L. M. (000). Novas diretrizes para a análise da punção no projeto de lajes lisas. In: SIMPÓSIO EPUSP SOBRE ESTRUTURAS DE CONCRETO, 4., São Paulo. Anais... São Paulo: CD-Rom. LIMA, J. S. (001). Verificações da punção e da estabilidade global de edifícios de concreto: desenvolvimento e aplicação de recomendações normativas. São Carlos. Dissertação (Mestrado) - Escola de Engenharia de São Carlos - Universidade de São Paulo. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 1-, 007

29 ISSN ANÁLISE EXPERIMENTAL DE LIGAÇÕES DUPLO T COM ALMAS COPLANARES, PERPENDICULARES E ENRIJECIDAS Yuri Ivan Maggi 1 & Roberto Martins Gonçalves Resumo Este trabalho apresenta e discute o comportamento de perfis T parafusados de acordo com os resultados obtidos durante o programa experimental desenvolvido como parte da Tese de Doutorado intitulada Análise do Comportamento Estrutural de Ligações Parafusadas Viga-Pilar com Chapa de Topo Estendida no programa de pósgraduação do Departamento de Estruturas da Escola de Engenharia de São Carlos, USP. Três séries de ligações duplo T, com almas co-planares, perpendiculares e enrijecidas, totalizando 50 protótipos, foram testados à tração com o objetivo de simular possíveis configurações de vigas e pilares em ligações parafusadas com chapa de topo. Dentro de cada série, a espessura das mesas dos perfis T e o diâmetro dos parafusos foram variados, permitindo a obtenção de diferentes modos de colapso. Os deslocamentos e deformações nas mesas dos perfis T são apresentados e os resultados obtidos são analisados comparativamente entre os protótipos, discutindo-se os modos de falha, a influência da variação da geometria no comportamento dessas ligações, a interdependência do comportamento entre mesa e parafusos e o efeito alavanca, enfatizando-se os modelos analíticos adotados pelo Eurocode-3 e a utilização dos perfis T equivalentes no dimensionamento da chapa de topo à flexão. Palavras-chave: estruturas; aço; ligações; perfis T ; análise experimental; Eurocode. 1 INTRODUÇÃO O comportamento semi-rígido das ligações viga-pilar em estruturas metálicas inicialmente introduzido nos procedimentos da AISC (1980) no início da década de 80 e mais tarde na metodologia de dimensionamento do Eurocode-3 (1993) tornou-se um aspecto de significativa importância na análise estrutural uma vez identificada sua influência no comportamento global das estruturas. Na busca de modelos capazes de representar as ligações com maior precisão quanto à rigidez e à resistência, inúmeros estudos têm sido realizados na tentativa de 1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, ymaggi@unicenp.edu.br Professor Associado do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, goncalve@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

30 4 Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves incorporar o comportamento semi-rígido das ligações aos procedimentos de dimensionamento, estabelecendo-se as variáveis que o influenciam, sua interdependência e os estados limites últimos aplicáveis. No entanto, a natureza complexa das ligações parafusadas requer a aplicação de modelos avançados para sua representação, o que dificulta o desenvolvimento de metodologias que considerem modelos tridimensionais com todas as não-linearidades existentes. As ligações com chapa de topo, geralmente consideradas rígidas, podem ser utilizadas como exemplo para as considerações feitas acima já que podem apresentar os mais variados comportamentos rotacionais dependendo de parâmetros geométricos, como espessura da chapa de topo, diâmetro e posicionamento dos parafusos, entre outros, além do elevado grau de iteração dos diversos componentes que, geralmente, são tratados de forma isolada. Esse comportamento complexo é traduzido em modelos simplificados e, citando-se o dimensionamento da chapa de topo à flexão, o Eurocode-3 (1993) propõe a utilização de perfis T equivalentes para os quais a determinação de resistência é mais simples. Atualmente, existem diversos métodos que podem ser utilizados no cálculo da resistência última de perfis T parafusados levando em consideração, principalmente, a identificação e quantificação dos esforços de alavanca. Segundo Swanson (1999), dentre os modelos existentes o proposto por Kulak et al. (1987) é o que provê melhores resultados quando comparado à resultados experimentais e, juntamente com o trabalho desenvolvido por Zoetemeijer & deback (197), foi aplicado aos modelos analíticos utilizados pelo Eurocode-3 (1993) para determinação dos modos de falha em perfis T. A metodologia proposta pelo Eurocode-3 (1993) para a modelagem e dimensionamento das ligações representa um marco de importante referência para os estudos desenvolvidos na última década com a introdução do método das componentes, extremamente didático e generalista. Com relação à flexão da chapa de topo e da mesa do pilar, especificamente, reproduz-se três possíveis modos de falha, esquematizados na figura 1, aplicáveis aos perfis T e relacionados ao comportamento conjunto entre chapa de topo e parafusos na região tracionada da ligação. A formulação analítica tem base em métodos de energia envolvendo a distribuição de tensões plásticas em torno dos parafusos, tanto na chapa de topo quanto na mesa do pilar, e a análise dessas linhas de escoamento leva à determinação do comprimento efetivo de um perfil T que representa a resistência de cada linha de parafusos, ou de um grupo de linhas, considerando: i. Modo 1 - Plastificação da mesa do perfil T na região dos parafusos; ii. Modo - Colapso dos parafusos com plastificação da intersecção mesa/alma; e iii. Modo 3 - Colapso dos parafusos. Figura 1 - Modos de falha de perfis T parafusados. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

31 Análise experimental de ligações duplo T com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas 5 A analogia proposta entre o comportamento dos perfis T e das chapas de topo sob flexão merece atenção por reproduzir, qualitativamente, os mecanismos envolvidos na região tracionada de ligações parafusadas com chapa de topo. No entanto, cabe ressaltar que se trata de uma simplificação para um comportamento altamente complexo, principalmente à medida que o comportamento da chapa de topo à flexão e a resposta dos parafusos à tração tornam-se interdependentes, passando do modo de falha 3 para o modo e 1 com significativo aumento do efeito alavanca o que, segundo Bursi & Jaspart (1998), demonstra a necessidade de refinamentos dos modelos analíticos, principalmente para ligações com chapas mais finas. Desta forma, este trabalho apresenta parte de um programa experimental desenvolvido com perfis T parafusados, comumente denominados de T-stubs, com o objetivo de gerar observações paramétricas sobre o comportamento dessas ligações, relacionando-as às ligações com chapa de topo. Assim, apresentam-se resultados referentes ao comportamento força-deslocamento, discutindo-se a influência da variação da espessura das mesas dos perfis T, do diâmetro dos parafusos, da posição relativa entre as almas dos perfis conectados e a presença ou não de enrijecedores, além das variações dos modos de falha. PROGRAMA EXPERIMENTAL Com relação à metodologia geral adotada no estudo experimental é importante ressaltar que o objetivo dessa série de ensaios não é a de caracterizar o perfil T como um componente isolado, mas sim de observar seu comportamento como parte de uma ligação, simulando a flexibilidade da chapa de topo conectada à mesa do pilar pelos parafusos. Por esse motivo os protótipos foram testados unindo-se os perfis T aos pares. A figura apresenta, esquematicamente, uma ligação duplo T. Figura - Tipologia usual da ligação duplo T. Ao todo foram realizados 50 ensaios com 5 configurações diferentes de ligação, testadas aos pares e divididas em três grupos. O primeiro grupo, denominado de TSC, é formado por perfis T com almas coplanares, sem enrijecimento, simulando a região da chapa de topo na altura da mesa tracionada da viga, com variações de geometria a fim de se obter diferentes modos de falha. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

32 6 Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves O segundo grupo, denominado de TSI, é formado por perfis T dispostos com as almas perpendiculares para simular o posicionamento da mesa da viga com relação à alma do pilar nas ligações com chapa de topo. O terceiro e último grupo, denominado de TSIE, utiliza a mesma formação do grupo TSC, com a inclusão de enrijecimento em um dos lados no plano perpendicular à alma. Ambos têm como objetivo fornecer dados para análises comparativas com o grupo TSC. A geometria dos protótipos dos grupos TSC, TSI e TSIE podem ser visualizadas na figura 3 e as configurações para cada grupo, respectivamente, nas tabelas 1, e 3. A A TSC Furos (variáveis) 400 tch tch B t1 t A 300 TSI 19 1, Corte A ,5 Furos (variáveis) 38 B A TSIE 19 1,5 130 Corte B ,5 400 t1 t 400 Figura 3 - Geometria dos protótipos dos grupos TSC, TSI e TSIE Dimensões em mm t ch, t 1 e t variáveis. Tabela 1 - Configurações do grupo TSC (dimensões em mm). Protótipo d b d Furo t ch quant. TSC1 1,5 14,0 1,5 TSC 1,5 14,0 16,0 TSC3 1,5 14,0 19,0 TSC4 16,0 18,0 1,5 TSC5 16,0 18,0 16,0 TSC6 16,0 18,0 19,0 TSC7 16,0 18,0,4 TSC8 19,0 1,0 16,0 TSC9 19,0 1,0 19,0 TSC10 19,0 1,0,4 TSC11 19,0 1,0 5,0 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

33 Análise experimental de ligações duplo T com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas 7 Tabela - Configurações do grupo TSI (dimensões em mm). Protótipo d b d Furo t 1 t quant. TSI1 16,0 18,0 1,5 19,0 TSI 16,0 18,0 16,0 19,0 TSI3 16,0 18,0 19,0 19,0 TSI4 16,0 18,0,4 19,0 TSI5 19,0 1,0 16,0,4 TSI6 19,0 1,0 19,0,4 TSI7 19,0 1,0,4,4 TSI8 19,0 1,0 5,0,4 t ch Tabela 3 - Configurações do grupo TSIE (dimensões em mm). Protótipo d b d Furo t 1 t quant. TSIE1 16,0 18,0 16,0 16,0 TSIE 16,0 18,0 16,0 19,0 TSIE3 19,0 1,0 16,0,4 TSIE4 19,0 1,0 19,0 19,0 TSIE5 19,0 1,0 19,0,4 TSIE6 19,0 1,0 19,0 5,0 t ch Chapas de aço ASTM-A36 foram utilizadas na confecção dos perfis T, conectados com parafusos de alta resistência ASTM-A35. Forças iniciais de protensão foram aplicadas nos parafusos de todos os modelos com o auxílio de torquímetros, segundo as recomendações da NBR-8800 (1986). Para a análise do comportamento das ligações ensaiadas, dois grupos de dados foram observados: as deformações das mesas dos perfis T em torno dos parafusos e as aberturas relativas em uma das bordas e na região central. Para a definição da distribuição dos extensômetros, inicialmente, foi realizado um ensaio piloto utilizando um protótipo da série TSC, com mesa de 16.0 mm de espessura e parafusos de 16.0 mm (TSC5), também utilizado para a verificação da simetria dos protótipos, da metodologia de fixação e protensão dos parafusos e da velocidade de ensaio. Extensômetros também foram utilizados nos parafusos para a verificação da protensão e calibração do torquímetro. Um esquema da instrumentação é apresentado na figura 4. De maneira geral, o comportamento do protótipo durante o ensaio foi o esperado, havendo uma abertura visível das mesas na intersecção mesa-alma. Com os dados coletados nas rosetas observou-se uma assimetria no protótipo, conseqüência da falta de alinhamento entre a mesa e a alma, o que ocorreu sistematicamente para todos os protótipos. No entanto, foi possível detectar padrões de deformação para as mesas, decidindo-se por concentrar extensômetros nas proximidades de um dos furos do lado 1, considerados suficientes para coletar dados de plastificação nessa região. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

34 8 Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves Figura 4 - Esquema da instrumentação do ensaio piloto. Como as solicitações máximas ocorreram nas proximidades da intersecção mesa-alma, dois extensômetros foram utilizados na posição das rosetas e 4, na direção perpendicular à alma. Adicionalmente, foram utilizados 4 transdutores de deslocamento, posicionados simetricamente em relação ao lado 1 e, para a obtenção do deslocamento relativo entre as mesas. A figura 5 apresenta um detalhe da instrumentação final em um protótipo da série TSC. Figura 5 - Visão geral da instrumentação e detalhes do posicionamento dos transdutores. 3 RESULTADOS EXPERIMENTAIS 3.1 Grupo TSC almas coplanares Observando-se, inicialmente, a variação da espessura da mesa dos perfis T, a figura 6 apresenta as curvas força-deslocamento para os protótipos TSC1, TSC e TSC3, com parafusos de 1,5 mm. A rigidez dos protótipos, por meio das curvas forçadeslocamento, será utilizada como indicativo do comportamento global dessas ligações e também de suas variações. Para o subgrupo dos protótipos TSC1 à TSC3 observa-se pouca variação da rigidez inicial, conseqüência da protensão dos parafusos. O protótipo TSC1, com mesa de 1,5 mm de espessura, é mais dúctil e apresenta maior contribuição da mesa na Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

35 Análise experimental de ligações duplo T com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas 9 deformabilidade da ligação. Com o aumento da espessura da mesa, os parafusos têm sua capacidade de deformação maximizada, havendo limitações para a deformabilidade do protótipo TSC3. Esse comportamento pode ser associado a dois fatores: o primeiro, com relação à solicitação dos parafusos, tem razão direta na diminuição do efeito alavanca uma vez que a mesa tem menor deformabilidade à flexão, aumentando a capacidade resistente dos protótipos TSC e TSC3; o segundo indica a grande dependência do comportamento da ligação à rigidez relativa entre a mesa e os parafusos, uma vez que a mesa do protótipo TSC3, de 19,0 mm, permite que os parafusos sejam solicitados preferencialmente à tração, com uma queda acentuada de resistência antes do colapso devida à plastificação mais uniforme da seção líquida dos parafusos TSC1 (tch=1,5 mm) TSC (tch=16,0 mm) TSC3 (tch=19,0 mm) Força (kn) Deslocamento (mm) Figura 6 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC com parafusos de 1,5 mm. Na figura 6 representa-se o deslocamento total da ligação duplo T, incluindo-se as deformações da alma. Neste caso, representa-se o deslocamento do atuador hidráulico que foi utilizado como referência para as relações forçadeslocamento de todos os protótipos desta série. As figuras 7(a) e 7(b) apresentam, respectivamente, as deformações dos protótipos TSC1 e TSC3 após o colapso, percebendo-se claramente a mudança de configuração das mesas com o aumento da espessura. Apesar de haver uma indicação visível do desaparecimento do efeito alavanca nos parafusos, a ductilidade do protótipo TSC3 é diminuída sensivelmente, reafirmando a rigidez elevada à flexão da mesa de 19,0 mm com relação à rigidez axial dos parafusos de 1,5 mm, que seguem o comportamento observado nos diagramas força-deslocamento da caracterização dos parafusos com solicitações predominantes de tração. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

36 30 Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves (a) TSC1 (b) TSC3 Figura 7 - Deformações dos protótipos TSC1 e TSC3 após o colapso. Dessa forma, é possível caracterizar o modo de falha 3, representando a ruptura dos parafusos como estado limite último, visível no protótipo TSC3. Convém ressaltar que todos os protótipos do programa experimental foram ensaiados até o colapso dos parafusos, mesmo para as ligações em que a mesa apresentou deformações elevadas, para as quais caracteriza-se o modo de falha 1. Devido às condições do ensaio e às imperfeições dos protótipos, não se observou a ruptura conjunta de todos os parafusos, caracterizando-se como colapso a ruptura de um ou mais parafusos tracionados na ligação. Dentro do sub-grupo com parafusos de 16,0 mm, as curvas forçadeslocamento dos protótipos TSC4, TSC5, TSC6 e TSC7 estão mostradas na figura 8. Chama-se a atenção para o fato de que os resultados dentro desse sub-grupo, considerando os protótipos de cada par, não são tão uniformes quanto os observados para o primeiro sub-grupo, com parafusos de 1,5 mm Força (kn) TSC4 (tch=1,5 mm) TSC5 (tch=16,0 mm) TSC6 (tch=19,0 mm) TSC7 (tch=,4 mm) Deslocamento (mm) Figura 8 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC com parafusos de 16,0 mm. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

37 Análise experimental de ligações duplo T com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas 31 Analisando-se as curvas na figura 8 é possível se observar um pequeno escorregamento nos protótipos TSC4, TSC5 e TSC6, causado pelas imperfeições de montagem comentadas no capítulo anterior. Como grande parte dos protótipos apresentou falta de alinhamento entre as almas e também falta de perpendicularidade entre mesa e alma, observou-se a ocorrência de solicitações de flexão nas mesas no momento da fixação no atuador. Neste caso, surgiram forças adicionais, paralelas às mesas, que devem ter provocado o escorregamento à medida que a força de protensão inicial nos parafusos era superada. Para o protótipo TSC7 não se observou esse escorregamento. No entanto, o primeiro protótipo do par não foi solicitado até a ruptura dos parafusos pois, antes disso, houve o esmagamento e deslizamento da rosca, conseqüência de se ter utilizado um parafuso com pequeno comprimento de rosca. Com relação à rigidez deste sub-grupo, comportamento semelhante aos observados entre os protótipos TSC e TSC3 ocorre entre os protótipos TSC4 e TSC5. Para os protótipos TSC6 e TSC7, o efeito alavanca é menor permitindo que os parafusos sejam solicitados predominantemente à tração, com aumento da capacidade de deformação. Para referenciar os modos de falha previstos para os protótipos descritos acima, na tabela 4 apresentam-se os valores da capacidade resistente à tração (T) e a quantificação das forças de alavanca (Q) das ligações duplo T calculados segundo o Eurocode 3 (1993) para cada parafuso. Tabela 4 - Capacidade resistente, forças de alavanca e modos de falha do grupo TSC calculados segundo o Eurocode 3 (1993). Protótipo T (kn) Q (kn) Modo de falha TSC1 56,73 19,1 TSC 68,65 7,8 TSC3 75,93-3 TSC4 65,43 6,17 1 TSC5 95,58 8,8 TSC6 106,44 17,96 TSC7 119,16 5,5 Analisando-se mais detalhadamente a resposta deste sub-grupo, o protótipo TSC4, assim como o protótipo TSC1 do sub-grupo anterior, tem na mesa a maior fonte de deformabilidade para a ligação. De fato, o estado limite último do protótipo TSC1 é previsto para o modo de falha, enquanto o protótipo TSC4 apresenta o modo de falha 1. A variação do modo de falha e a variação da deformabilidade dos parafusos e da mesa dos perfis T pode ser visualizada na figura 9, que ilustra as deformações nas mesas dos protótipos TSC4, TSC5 e TSC6. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

38 3 Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves (a) TSC4 (b) TSC5 (c) TSC6 Figura 9 - Deformações nas mesas dos protótipos TSC4, TSC5 e TSC6 após o colapso. Com os gráficos das figuras 6 e 8 e os valores apresentados na tabela 4, as seguintes observações podem ser feitas com base na resistência e na deformabilidade dos protótipos. i. Os limites de resistência para os perfis T são função da capacidade resistente dos parafusos e do efeito alavanca, ou seja, do tipo de solicitação a que estão sujeitos os parafusos. Quanto maior o diâmetro dos parafusos e maior a espessura da mesa, maior a capacidade resistente à tração da ligação duplo T ; ii. Os limites de deformação axial também são função do efeito alavanca, mas são influenciados, principalmente, pela relação entre a deformabilidade dos parafusos e a deformabilidade da mesa dos perfis T. Assim, quando a ligação passa do modo de falha 1 para o modo de falha, há uma diminuição da deformabilidade, observada entre os protótipos TSC4 e TSC5. No entanto, entre o modo de falha e o modo de falha 3, duas situações distintas podem ocorrer: na primeira, quando a deformação à flexão da mesa é muito inferior à deformação axial dos parafusos, há uma queda contínua na ductilidade dos protótipos; na segunda, havendo uma relação mais equilibrada entre mesa e parafusos há também um ganho de ductilidade, devido à deformabilidade da mesa. Essas observações, apesar de qualitativas, indicam a existência de uma relação ótima entre espessura de mesa e diâmetro de parafusos para a maximização da deformabilidade e manutenção de requisitos mínimos de resistência. Outra observação interessante pode ser feita com as figuras 10 e 11 que indicam, respectivamente, as forças de tração (T) e a força de alavanca (Q) por parafuso, calculados segundo o Eurocode 3 (1993) e obtidas experimentalmente. Para os protótipos, a força de tração (T) é calculada dividindo-se a força máxima no ensaio pelo número de parafusos da ligação neste caso, 4. As forças de alavanca são obtidas pela diferença entre a força de tração aplicada por parafuso e a força que o parafuso suportaria sob tração simples, ou seja, sem efeitos de alavanca. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

39 Análise experimental de ligações duplo T com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas Força de tração por parafuso (kn) Eurocode Experimental TSC1 TSC TSC3 TSC4 TSC5 TSC6 TSC7 Protótipos Figura 10 - Forças de tração nos parafusos dos protótipos TSC. Força de alavanca por parafuso (kn) Eurocode Experimental TSC1 TSC TSC3 TSC4 TSC5 TSC6 TSC7 Protótipos Figura 11 - Forças de alavanca nos parafusos dos protótipos TSC. Os resultados experimentais, nos gráficos acima, seguem um padrão bem definido para a capacidade resistente e para as forças de alavanca nos parafusos. Esse padrão refere-se a um aumento da resistência à medida que se aumenta a espessura da mesa dos perfis T e o diâmetro dos parafusos e uma diminuição quase proporcional das forças de alavanca com o aumento da espessura da mesa, dentro de um sub-grupo de parafusos. Neste caso, reforça-se a idéia de que a resistência dos protótipos e o efeito alavanca depende significativamente da interação entre parafusos e mesa dos perfis T como contribuintes na deformabilidade da ligação duplo T. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

40 34 Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves Os resultados analíticos, por sua vez, mostram valores desproporcionais com relação às forças de alavanca e, em geral, conservadores com relação à resistência dos perfis T. Tratando-se de modelos analíticos de dimensionamento, o fato de serem conservadores é um ponto positivo ao desconsiderarem imperfeições, tensões residuais e diferenças na resistência dos materiais utilizados, ressaltando-se que os valores analíticos e experimentais se aproximam na medida em que a ligação se aproxima do modo de falha 3. Por outro lado, reforça-se a complexidade de se tratar analiticamente os mecanismos de transferência de esforços e o efeito alavanca. Especificamente para o protótipo TSC4, a previsão da capacidade resistente pelo Eurocode 3 (1993) é significativamente menor que a resistência observada experimentalmente, o que indica uma previsão incorreta do modo de falha. Para complementar a observação dos modos de falha, a figura 1 ilustra, para os protótipos TSC4-1 e TSC5-, as deformações nos extensômetros 1 e, posicionados perpendicularmente à alma nas mesas de um dos lados dos protótipos conforme indicado na figura. Para o protótipo TSC5-, a deformação é significativamente maior no centro com relação à extremidade lateral, indicando a flexão nos dois planos da mesa para esse protótipo e uma tendência de plastificação dos furos para o centro e para a lateral, característica do modo de falha. Como o deslocamento axial do protótipo TSC5- é menor que a do protótipo TSC4-1 e as deformações no protótipo TSC4-1 são menores que as do TSC5-, até com uma maior uniformidade, percebe-se uma modificação na plastificação da mesa, cuja flexão é acentuada na direção perpendicular à alma t ch = 1,5 mm t ch = 16,0 mm Ext(1) - TSC4-1 Ext() - TSC4-1 Ext(1) - TSC5- Ext() - TSC5- Força (kn) Deformação (x10 3 ) Figura 1 - Deformações nas mesas dos protótipos TSC4 e TSC5. O protótipo TSC4- foi pintado com uma mistura de água e cal e, na figura 13, é possível visualizar a formação de uma linha de plastificação entre os furos, Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

41 Análise experimental de ligações duplo T com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas 35 paralela à alma do perfil T, além de um detalhe da ruptura de um parafuso por solicitações de tração combinadas com flexão. Figura 13 - Linhas de plastificação na mesa do protótipo TSC4- e detalhe da ruptura do parafuso. As deformações para os protótipos TSC6 e TSC7 nas mesmas posições da mesa (figura 1) estão mostradas na figura Força (kn) t ch = 19,0 mm Ext(1) - TSC6- Ext() - TSC6-100 t ch =,4 mm Ext(1) - TSC7- Ext() - TSC Deformação (x10 3 ) Figura 14 - Deformações nas mesas dos protótipos TSC6 e TSC7. Para os protótipos TSC6 e TSC7, a flexão na mesa também é pronunciadamente maior na direção perpendicular à alma devido ao aumento da espessura da mesa. Neste caso, as deformações voltam a ser uniformes no centro e na lateral, havendo uma diminuição da flexão na mesa do protótipo TSC7, característica do modo de falha 3. No sub-grupo com parafusos de 19,0 mm não foi possível solicitar todos os modelos até o colapso devido à plastificação da alma dos perfis T, com exceção do Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

42 36 Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves protótipo TSC8 no qual houve a ruptura dos parafusos, evidenciando a existência de forças de alavanca acentuadas neste protótipo, com mesa de 16,0 mm de espessura. Quanto à rigidez inicial, pequenas variações foram observadas neste subgrupo. Como o torquímetro utilizado na protensão dos parafusos de 19,0 mm possuía apenas controle visual do torque, por relógio graduado, pequenas variações da força de protensão podem ter ocorrido, influenciando o trecho inicial das curvas forçadeslocamento, apresentadas na figura 15 para os protótipos TSC8, TSC9, TSC10 e TSC11. Com o escoamento da alma, há uma limitação de resistência para os protótipos TSC9, TSC10 e TSC11, com um aumento significativo da deformabilidade devido ao patamar de escoamento do material da alma. Com o encruamento da alma, poderia se esperar um novo acréscimo de resistência e, possivelmente, a ruptura dos parafusos, mas os ensaios foram interrompidos uma vez que a plastificação da alma já caracteriza um estado limite último. Novamente, observam-se escorregamentos nos protótipos TSC8 e TSC9. Mantendo-se a espessura da mesa constante e variando-se o diâmetro dos parafusos, tem-se como padrão um aumento de resistência e de ductilidade em diferentes proporções, como pode ser observado na figura 16 para os protótipos TSC1 e TSC4, com mesa de 1,5 mm e parafusos de 1,5 e 16,0 mm, respectivamente, e na figura 17 para os protótipos TSC, TSC5 e TSC8, com mesa de 16,0 mm e parafusos de 1,5, 16,0 e 19,0 mm, respectivamente Força (kn) TSC8 (tch=16,0 mm) TSC9 (tch=19,0 mm) TSC10 (tch=,4 mm) TSC11 (tch=5,0 mm) Deslocamento (mm) Figura 15 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC com parafusos de 19,0 mm. Para os protótipos com mesa de 1,5 mm, há um aumento proporcional entre resistência e ductilidade. Para os protótipos com mesa de 16,0 mm, no entanto, a proporção entre as curvas é observada apenas para o aumento de resistência e para a ductilidade entre os protótipos TSC5 e TSC8. A variação da ductilidade do protótipo TSC para o TSC5 é mínima, destacando-se que, no caso do protótipo TSC, a Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

43 Análise experimental de ligações duplo T com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas 37 deformabilidade à flexão da mesa é maior com relação à deformabilidade axial dos parafusos TSC1-1 (db=1,5 mm) TSC4-1 (db=16,0 mm) Força (kn) Deslocamento (mm) Figura 16 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC com mesa de 1,5 mm de espessura variação dos parafusos Força (kn) TSC-1 (db=1,5 mm) TSC5- (db=16,0 mm) TSC8-1 (db=19,0 mm) Deslocamento (mm) Figura 17 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC com mesa de 16,0 mm de espessura variação dos parafusos. 3. Grupo TSI almas perpendiculares Os resultados do grupo TSI são importantes para a verificação do comportamento da ligação duplo T com a mudança de posição entre as almas dos Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

44 38 Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves perfis T, seguindo a configuração usual da ligação com chapa de topo se considerados a viga e o pilar. Enfatizando-se, novamente, aspectos globais, na figura 18 são apresentadas as curvas força-deslocamento para os protótipos TSI. Como os resultados dos pares, para esse grupo, foram mais uniformes que no grupo TSC, indicam-se apenas as curvas obtidas no primeiro ensaio de cada par, a menos do protótipo TSI4-1 que apresentou interferências na coleta de dados, sendo substituído pelo protótipo TSI4-. Para os protótipos TSI5 à TSI8, o ensaio foi interrompido pelos mesmos motivos dos protótipos TSC com parafusos de 19,0 mm. A representação esquemática da geometria dos protótipos da série TSI também é indicada na figura 18. Assim como para os protótipos do grupo TSC, não há modificação da rigidez inicial para o grupo TSI, inclusive para o aumento do diâmetro dos parafusos, conseqüência da força de protensão inicial aplicada. No entanto, ao contrário do grupo TSC, o aumento da espessura da mesa dos perfis T provocou pequenos acréscimos na ductilidade e na resistência das ligações dentro de cada sub-grupo de parafusos. Um ganho de resistência significativo pode ser visualizado com o aumento do diâmetro dos parafusos, de 16,0 para 19,0 mm. A figura 19 apresenta as deformações no protótipo TSI1-1 após o colapso e no protótipo TSI6-1 antes do término do ensaio d b = 19,0 mm Força (kn) d b = 16,0 mm t = 19,0 mm d b = 19,0 mm t =,4 mm Deslocamento (mm) d b = 16,0 mm TSI1-1 (t1=1,5 mm) TSI-1 (t1=16,0 mm) TSI3-1 (t1=19,0 mm) TSI4- (t1=,4 mm) TSI5-1 (t1=16,0 mm) TSI6-1 (t1=19,0 mm) TSI7-1 (t1=,4 mm) TSI8-1 (t1=5,0 mm) Figura 18 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSI. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

45 Análise experimental de ligações duplo T com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas 39 (a) TSI1-1 (b) TSI6-1 Figura 19 - Deformações das mesas dos protótipos TSI1-1 e TSI6-1. É interessante observar que, devido às diferenças de braço de alavanca para os parafusos e da espessura da mesa entre os perfis T desses protótipos, a deformação se concentra em uma das mesas, modificando a interação entre mesa e parafusos na caracterização do colapso. Comparando-se os grupos TSC e TSI pela consideração da menor espessura de mesa, o protótipo TSI1, com mesas de 1,5 e 19,0 mm de espessura e parafusos de 16,0 mm, tem um pequeno ganho de ductilidade com relação ao protótipo TSC4, com mesas de 1,5 mm. O protótipo TSI, com mesas de 16,0 e 19,0 mm, no entanto, apresenta um aumento significativo de ductilidade quando comparado ao protótipo TSC5, com mesas de 16,0 mm, como pode ser visualizado na figura Força (kn) d b = 16,0 mm TSC4-1 (tch=1,5 mm) TSC5- (tch=16,0 mm) TSI1-1 (t1=1,5 mm) TSI-1 (t1=1,5 mm) Deslocamento (mm) Figura 0 - Variação de ductilidade entre os protótipos TSI e TSC. Enfatiza-se que, neste caso, a influência do efeito alavanca na variação do modo de falha dos perfis T é menor e a solicitação nos parafusos passa a ser menos influenciada por esforços de flexão quando comparadas aos protótipos TSC4 e TSC5. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

46 40 Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves Assim, caracteriza-se a flexão mais pronunciada na direção perpendicular à alma dos perfis T como um padrão de deformação para as mesas, não influenciada significativamente pela interação em mesa e parafusos. No entanto, é possível observar uma variação nos padrões de plastificação da mesa, que ocorreu de forma sistemática para o grupo TSI. A figura 1 ilustra a plastificação nas mesas do protótipo TSI1- juntamente com detalhes dos parafusos após a ruptura. Figura 1 - Plastificação e detalhes dos parafusos no protótipo TSI1-. Na figura 1 identificam-se marcas que indicam a tendência de plastificação dos furos para a borda nas mesas, na direção perpendicular à alma do perfil T e para a região central da borda entre os furos. No detalhe dos parafusos, a seção de ruptura indica a menor influência da flexão destes componentes. Esse padrão foi verificado para todos os protótipos do grupo TSI. As linhas de plastificação nos protótipos TSI e TSI3 podem ser visualizadas nas figuras (a) e (b). (a) TSI- (b) TSI3- Figura - Linhas de plastificação nas mesas dos protótipos TSI- e TSI3-. Para observar a variação nas deformações das mesas entre os protótipos TSC e TSI, apresenta-se, na figura 3, os dados coletados nos extensômetros 1,, 3, e 4, indicados na figura, na direção perpendicular à alma para cada lado da ligação dos protótipos TSI3-1 e TSC6-, ambos com mesas de 19,0 mm de espessura e parafusos de 16,0 mm. Para o protótipo TSI3-1 há uma diminuição significativa para a deformação no lado 1, pelo aumento de flexibilidade da mesa no lado. As deformações no lado, Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

47 Análise experimental de ligações duplo T com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas 41 com relação ao protótipo TSC6-, apresentam um aumento significativo no centro da mesa nos estágios iniciais de plastificação. No entanto a deformação no centro tende a uniformizar-se com a deformação na borda, o que indica a flexão predominante segundo a direção perpendicular à alma, apesar da plastificação ter iniciado na região central em direção aos furos Força (kn) d b = 16,0 mm t ch = t 1 = 19,0 mm Ext(1) - TSC6- Ext() - TSC6- Ext(1) - TSI3-1 Ext() - TSI3-1 Ext(3) - TSI3-1 Ext(4) - TSI Deformação (x10 3 ) Figura 3 - Deformações nas mesas dos protótipos TSI3-1 e TSC6-. Considerando-se a utilização dos modos de falha para os perfis T no dimensionamento da chapa de topo à flexão, aplicados usualmente às ligações duplo T, a variação da tipologia pela perpendicularidade entre as almas dos perfis T não modifica de forma significativa a resistência dos protótipos. No entanto, observou-se variações nos padrões de plastificação das mesas e na interação entre mesa e parafusos, o que conduziu à variações na magnitude do efeito alavanca e da ductilidade dos protótipos. 3.3 Grupo TSIE almas enrijecidas Para o grupo TSIE foi possível observar a influência do enrijecimento da alma que não modifica significativamente o comportamento global da ligação com relação ao grupo TSC, a menos de um ganho de resistência. A figura 4 apresenta as curvas força-deslocamento para os protótipos do grupo TSIE, ressaltando que os protótipos com parafusos de 19,0 mm não foram ensaiados até o colapso. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

48 4 Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves d b = 19,0 mm d b = 16,0 mm 450 Força (kn) d b = 16,0 mm d b = 19,0 mm TSIE1-1 (t=16,0 mm) TSIE- (t=19,0 mm) TSIE3-1 (t=,4 mm) TSIE4- (t=19,0 mm) TSIE5- (t=,4 mm) TSIE6-1 (t=5,0 mm) t 1 = 16,0 mm t 1 = 19,0 mm Deslocamento (mm) Figura 4 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSIE. Para os protótipos com parafusos de 16,0 mm, o aumento da espessura da mesa provoca uma leve diminuição da ductilidade, com um pequeno aumento de resistência. Para o sub-grupo com parafusos de 19,0 mm, o aumento da capacidade resistente é visível. Na figura 5 apresenta-se uma comparação entre as curvas forçadeslocamento dos protótipos TSIE1-1 e TSC5-, ambos com mesas e parafusos de 16,0 mm. Para esses dois protótipos, observa-se o aumento da capacidade resistente com a inclusão do enrijecimento, ressaltando-se a manutenção da ductilidade entre os protótipos TSIE1-1 e TSC5-, o que também ocorre de maneira sistemática entre os dois grupos. A inclusão do enrijecimento diminui de forma significativa a deformabilidade da mesa para o lado enrijecido da ligação duplo T. Neste caso, espera-se que as deformações sejam concentradas na mesa não enrijecida, cuja plastificação deve acontecer em taxas mais elevadas. No entanto, não há indicações de que os padrões de plastificação na mesa dos protótipos TSIE sofram modificações quando comparados aos protótipos similares do grupo TSC, já que não há variações significativas de ductilidade como observado na figura 5. Outro indicativo de que os padrões de plastificação não são alterados é o aumento de resistência da ligação que, apesar de pequena, sugere uma diminuição do efeito alavanca. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

49 Análise experimental de ligações duplo T com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas Força (kn) d b = 16,0 mm t ch = t = 16,0 mm TSIE1-1 TSC Deslocamento (mm) Figura 5- Curvas força-deslocamento para os protótiopos TSIE1 e TSC5. Para exemplificar a configuração das deformações para o grupo TSIE, na figura 6 são ilustradas duas vistas para o protótipo TSIE1-1 logo após o colapso dos parafusos. (a) Visão lateral (b) Visão frontal Figura 6 - Deformações nas mesas do protótipo TSIE1-1 após o colapso. 3.4 Comparação geral entre os grupos Apenas para ilustrar, de forma geral, a variação de comportamento entre os protótipos de ligações duplo T, a figura 7 apresenta as curvas força-deslocamento para os três grupos, especificamente para os protótipos com parafusos de 16,0 mm. Em uma comparação geral, é possível se concluir que a capacidade resistente das ligações duplo T, independentemente da tipologia analisada, tem uma faixa de variação cujo patamar superior é bem definido, em função da capacidade resistente dos parafusos à tração. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

50 44 Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves Força (kn) TSC4-1 (tch=1,5 mm) TSC5- (tch=16,0 mm) TSC6- (tch=19,0 mm) TSC7- (tch=,4 mm) TSI1-1 (t1=1,5 mm) TSI-1 (t1=16,0 mm) TSI3-1 (t1=19,0 mm) TSI4- (t1=,4 mm) TSIE1-1 (t=16,0 mm) TSIE- (t=19,0 mm) Deslocamento (mm) Figura 7 - Curvas força-deslocamento para os protótipos TSC, TSI e TSIE com parafusos de 16,0 mm. O patamar inferior é função da intensidade dos efeitos de alavanca, que dependem da interação entre as mesas dos perfis T e os parafusos e, portanto, não é facilmente determinada. No entanto, a tendência de crescimento da resistência com o aumento da espessura da mesa do perfil T é uniforme, mesmo considerando-se as mudanças de tipologia. O mesmo não ocorre com a ductilidade. De acordo com o exposto no capítulo 3, os limites de ductilidade para essas ligações não são tratados pelos modelos analíticos e dependem, novamente, da intensidade dos efeitos de alavanca que, por sua vez, é função da deformabilidade da mesa dos perfis T com relação à deformabilidade dos parafusos. Como a variação de ductilidade não é uniforme, é coerente supor que há variações nos modos de falha em função das variações das linhas de plastificação, utilizadas na metodologia proposta por Zoetemeijer & deback (197) para a equivalência entre os perfis T e a chapa de topo. A observação dos resultados para as ligações duplo T também permite concluir que não há, pelo menos em termos do comportamento global, variações significativas da capacidade resistente e da ductilidade dos protótipos com a variação de tipologia. 4 CONCLUSÕES Neste trabalho foram apresentados os resultados de um programa experimental no qual foram testadas diversas ligações formadas por perfis T parafusados, divididas em três grupos em função da tipologia da ligação. A rigidez axial Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

51 Análise experimental de ligações duplo T com almas coplanares, perpendiculares e enrijecidas 45 das ligações foi analisada, constatando-se a significativa influência da interdependência entre as características geométricas dos flanges e dos parafusos na determinação dos modos de falha, resistência e ductilidade dos perfis T, que são aplicados no dimensionamento das ligações parafusadas com chapa de topo por meio de modelos analíticos simplificados. O efeito alavanca, presente na maioria dos protótipos ensaiados, representa uma variável de difícil quantificação. Sua maior ou menor intensidade também é função da tipologia da ligação, que pode apresentar maior ductilidade à medida que a distribuição de tensões nos flanges é melhor distribuída entre borda e centro, como ocorreu para o grupo TSI com almas perpendiculares. Finalmente, é interessante ressaltar que os resultados gerados pelos ensaios com perfis T serão utilizados em conjunto com resultados numéricos dos modelos correspondentes para gerar discussões em torno do comportamento deste tipo de ligação e de sua representatividade no dimensionamento das ligações com chapa de topo, incluindo-se a análise detalhada das linhas de escoamento nos flanges e a discussão em torno dos modelos analíticos existentes. 5 AGRADECIMENTOS Os autores agradecem o suporte financeiro provido pela FAPESP (Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo) para o desenvolvimento do trabalho de Doutoramento, cujos resultados parciais foram apresentados nesta contribuição. 6 REFERÊNCIAS AMERICAN INSTITUTE OF STEEL CONSTRUCTION. Manual of steel construction. 8.ed. Chicago, ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. (1986). NBR Dimensionamento e construção de estruturas de aço em edifícios. Rio de Janeiro. BURSI, O.S.; JASPART, J.P. Basic issues in the finite element simulation of extended end plate connections. Computer & Structures, n. 69, p , EUROCODE-3. Design of steel structures: Part General rules and rules for buildings - Revised Annex J: Joints in building frames, KULAK, G.L.; FISHER, J.W.; STRUIK, J.H.A. Guide to design criteria for bolted and riveted joints.. ed. John Wiley & Sons, MAGGI, Y.I. (000). Análise numérica, via M.E.F., do comportamento de ligações parafusadas viga-coluna com chapa de topo. São Carlos. Dissertação (Mestrado) Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo. MAGGI, Y.I. (004). Análise do comportamento estrutural de ligações parafusadas viga-pilar com chapa de topo estendida. São Carlos. Tese (Doutorado) Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

52 46 Yuri Ivan Maggi & Roberto Martins Gonçalves SWANSON, J.A. Characterization of the strength, stiffness, and ductility behavior of T-stub connections. Ph.D. Dissertation, Georgia Institute of Technology, ZOETEMEIJER, P.; BACK, J. High strength bolted beam to column connections. The computation of bolts, T-stub flanges and column flanges. Report , Delft University of Technology, Stevin Laboratory, 197. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p. 3-46, 007

53 ISSN ANÁLISE DO COMPORTAMENTO DE BLOCOS DE CONCRETO ARMADO SOBRE ESTACAS SUBMETIDOS À AÇÃO DE FORÇA CENTRADA Fabiana Stripari Munhoz 1 & José Samuel Giongo Resumo Este trabalho estuda o comportamento de blocos rígidos de concreto armado sobre duas, três, quatro e cinco estacas, submetidos à ação de força centrada. Com o objetivo de contribuir na análise de critérios de projeto utilizaram-se resultados obtidos por meio de modelos analíticos e realizou-se análise numérica por meio de programa baseado no Método dos Elementos Finitos. Foi desenvolvida, ainda, uma análise comparativa entre os processos de dimensionamento adotados em projeto, na qual se verificou grande variabilidade dos resultados. Para análise numérica adotou-se comportamento do material como elástico linear e os resultados de interesse foram os fluxos de tensões em suas direções principais. Nos modelos adotados variaram-se os diâmetros de estacas e as dimensões dos pilares, a fim de se verificar as diferenças na formação dos campos e trajetórias de tensões. Concluiu-se que o modelo de treliça utilizado em projetos é simplificado e foram feitas algumas sugestões para a utilização de um modelo de Bielas e Tirantes mais refinado. Foi possível a verificação da influência da variação da geometria de estacas e de pilares no projeto de blocos sobre e a revisão dos critérios para os arranjos das armaduras principais. Para os modelos de blocos sobre cinco estacas com o centro geométrico de uma das estacas coincidente com o centro do pilar, concluiu-se que o comportamento não é exatamente como considerado na prática. Palavras-chave: blocos sobre estacas; fundações; concreto armado; bielas e tirantes. 1 INTRODUÇÃO Os blocos sobre estacas são elementos estruturais de fundação cuja finalidade é transmitir às estacas as ações oriundas da superestrutura (figura 1). O uso deste tipo de fundação se justifica quando não se encontram camadas superficiais de solo local resistentes sendo necessário atingir camadas mais profundas que sirvam de apoio à fundação. São estruturas tridimensionais, ou seja, todas as dimensões têm a mesma ordem de grandeza, tornando seu funcionamento complexo. O comportamento 1 Mestre em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, fs-munhoz@uol.com.br Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, jsgiongo@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

54 48 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo mecânico do conjunto aço/concreto, a determinação de vinculações e a existência da interação solo/estrutura são problemas que agravam o grau de complexidade. Esses elementos estruturais, apesar de serem fundamentais para a segurança da superestrutura, geralmente, não permitem inspeção visual quando em serviço, sendo assim, importante o conhecimento de seu real comportamento. Figura 1 - Bloco sobre quatro estacas. Os métodos para dimensionamento destes elementos utilizados até os dias atuais tratam-os de modo simplificado, além disso, há diferentes parâmetros adotados pelas normas e processos. A norma brasileira NBR 6118:003 considera os blocos sobre estacas como elementos estruturais especiais que não respeitam a hipótese de seções planas, por não serem suficientemente longos para que se dissipem as perturbações localizadas. Classifica o comportamento estrutural de blocos em rígidos e flexíveis. No caso de blocos rígidos o modelo estrutural adotado para cálculo e dimensionamento deve ser tridimensional, linear ou não, e modelos de biela-tirante tridimensionais, sendo esses últimos os preferidos por definir melhor a distribuição de forças nas bielas e tirantes. A NBR 6118:003 não fornece em seu texto um roteiro para verificações e dimensionamento destes elementos. O código americano ACI-318 (1994) adota hipóteses bem simplificadas para o dimensionamento de blocos. Recomenda o uso da teoria da flexão e a verificação da altura mínima do bloco para resistir à força cortante. A norma espanhola EHE (001) fornece expressões que permitem determinar as áreas das barras da armadura para os casos mais freqüentes de blocos sobre estacas, conforme o modelo de treliça adotado. A rotina de projeto de blocos sobre estacas utilizada pelo meio técnico no Brasil, conhecida como Método das Bielas é adaptada do trabalho de Blévot (1967), que indica um modelo de treliça para a determinação da força no tirante e verificações de tensões nas bielas comprimidas. As tensões de compressão são verificadas considerando as áreas do pilar e das estacas projetadas na direção perpendicular ao eixo da biela. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

55 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à Outro procedimento que tem sido utilizado por alguns projetistas de estruturas de concreto é o processo sugerido pelo CEB-FIP (1970). Esse procedimento indica verificações de segurança para tensões normais e tangenciais com esforços solicitantes determinados em seções transversais particulares. Este procedimento diverge da norma brasileira que considera que blocos rígidos não respeitam a hipótese de seções planas. Uma análise criteriosa para definir o comportamento estrutural de blocos sobre estacas é a que considera o modelo de Bielas e Tirantes, afinal, tratam-se de regiões descontínuas, onde não são válidas as hipóteses de Bernoulli. No modelo de Bielas e Tirantes as verificações de compressão nas bielas podem ser feitas com as considerações do Código Modelo do CEB-FIP (1990), pois as regiões nodais têm geometria diferente das sugeridas por Blévot (1967). O modelo de Bielas e Tirantes pode ser adotado considerando o fluxo de tensões na estrutura, utilizando o processo do caminho das cargas. Essas tensões podem ser obtidas por meio de uma análise elástica linear, utilizando métodos numéricos como, por exemplo, o método dos elementos finitos. Segundo Tjhin e Kuchma (00), a orientação mais adequada para a seleção de modelos apropriados de bielas e tirantes pode ser verificada em Schlaich et al. (1987) que propõem arranjar os elementos da treliça do modelo utilizando as trajetórias das tensões principais obtidas a partir de uma solução elástica linear. Essas aproximações permitem verificar os estados limites último e de serviço. O uso de trajetórias de tensões principais para guiar a construção de modelos de bielas e tirantes também foi estendido à geração automática de modelos. Um exemplo disto pode ser visto no trabalho de Harisis e Fardis (1991), que utilizaram uma análise estática de dados de tensões principais obtida de uma análise linear por elementos finitos para identificar localizações de bielas e tirantes. Longo (000) utilizou campos e trajetórias de tensões principais em vigas prémoldadas obtidas de uma análise elástica linear por meio do Método dos Elementos Finitos e conseguiu bons resultados iniciais para adoção de modelos de bielas e tirantes. Autores como Iyer e Sam (1991) estudaram o comportamento de blocos sobre três estacas por meio de uma análise elástica linear tridimensional e concluíram que a analogia de treliça, aplicada a blocos sobre estacas utilizada por Blévot e Frémy (1967), não é satisfatória, pois não conferem com as localizações e magnitudes de tensões máximas com precisão. Em virtude dessas e outras divergências nos métodos analíticos utilizados para cálculo de blocos sobre estacas decidiu-se estudar modelos de blocos, sendo o objetivo deste trabalho, estudar o comportamento de blocos rígidos de concreto armado sobre duas, três, quatro e cinco estacas submetidos à ação de força centrada para sugestão de um modelo de Bielas e Tirantes mais refinado do que o modelo de treliça utilizado atualmente em projetos. Para isto, utilizaram-se resultados obtidos por meio de modelos analíticos e realizou-se uma análise numérica utilizando-se o programa ANSYS (1998) baseado no Método dos Elementos Finitos. Nos modelos, adotados variaram-se os diâmetros de estacas e as dimensões de pilar. Para análise numérica, adotou-se comportamento do material como elástico linear. Os resultados de interesse foram os fluxos de tensões em suas direções principais a fim de se aplicar o modelo de Bielas e Tirantes. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

56 50 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo Provavelmente uma análise não-linear ofereceria algumas vantagens por fornecer resultados mais realistas acerca dos efeitos de perda de rigidez dos elementos estruturais por causa da fissuração e escoamento das armaduras longitudinais, mas com a proposta de quantificar alguns parâmetros, acredita-se que a análise elástico-linear constitui-se em passo inicial imprescindível. MÉTODOS DE CÁLCULO PARA PROJETO DE BLOCOS SOBRE ESTACAS O Método das Bielas desenvolvido tomando por referência a análise de resultados experimentais de modelos ensaiados por Blévot (1967) considera no interior do bloco uma treliça composta por barras tracionadas e barras comprimidas. As forças de tração que atuam nas barras horizontais da treliça são resistidas pela armadura enquanto que as de compressão nas bielas são resistidas pelo concreto. É recomendado para ações centradas, mas pode ser empregado no caso de ações excêntricas, desde que, admita-se que todas as estacas estão submetidas à maior força transferida. O Método do CEB-FIP (1970) é aplicável a blocos cuja distância entre a face do pilar até o eixo da estaca mais afastada varia entre um terço e a metade da altura do bloco. O método sugere um cálculo à flexão considerando uma seção de referência interna em relação à face do pilar e distante desta 0,15 da dimensão do pilar na direção considerada. Para verificações da capacidade resistente à força cortante, define-se uma seção de referência externa distante da face do pilar de um comprimento igual a metade da altura do bloco e, no caso de blocos sobre estacas vizinhas ao pilar, a seção é considerada na própria face do pilar. A norma espanhola EHE (001) adota modelo de cálculo semelhante ao Método das Bielas. A diferença entre os dois métodos ocorre na adoção da altura da treliça para cada modelo e na questão da verificação das tensões de compressão. A EHE (001) sugere que a verificação da resistência do concreto nos nós do modelo, em geral, não é necessária se as estacas são construídas in loco e se a resistência característica do concreto destas e do pilar forem iguais a do bloco. Nos outros casos deve-se realizar verificações adicionais. O código americano ACI-318 (1994) admite os blocos sobre estacas como um elemento semelhante a uma viga apoiada sobre estacas. O procedimento para dimensionamento sugerido é o dimensionamento considerando momento fletor e fazendo à verificação a força cortante em uma seção crítica. O máximo momento fletor é determinado em relação a um plano vertical localizado na face do pilar. A quantidade de armadura longitudinal é determinada pelos procedimentos usuais às vigas de concreto armado. O código indica como essa armadura deve ser distribuída e recomenda o valor de 30 cm para altura mínima de blocos sobre estacas. A verificação à força cortante em blocos sobre estacas, segundo o código americano, deve ser feita em uma seção crítica que é medida a partir da face do pilar com a localização definida conforme o comportamento do bloco, ou seja, quando ocorre comportamento de viga, o bloco é considerado uma viga extensa e a seção crítica é definida por um plano que dista d da face do pilar, sendo d a altura útil do bloco. Quando ocorre comportamento por dois caminhos cisalhantes, a ruína ocorre pela punção ao longo de um cone, a superfície crítica é definida a partir de d/ do perímetro do pilar. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

57 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à APLICAÇÃO DE MODELOS DE BIELAS E TIRANTES O modelo de bielas e tirantes é uma representação discreta de campos de tensões nos elementos estruturais de concreto armado. É idealizado o fluxo de forças internas nas regiões com a consideração de uma treliça que transfere o carregamento imposto no contorno para seus apoios. Esta treliça é composta por uma estrutura de barras comprimidas (bielas) e tracionadas (tirantes) interconectadas por nós. Os modelos de Bielas e Tirantes são fundamentados no Teorema do Limite Inferior da Teoria da Plasticidade. Uma das hipóteses para se aplicar esse teorema é o material exibir comportamento elasto-plástico perfeito, ou seja, para fins de determinação da capacidade limite de carga de uma estrutura é possível dispensar uma análise evolutiva das tensões e das deformações, admitindo-se, simplificadamente, que o material tenha comportamento elasto-plástico perfeito. O projeto de regiões, utilizando o modelo de Bielas e Tirantes, pode oferecer mais do que uma treliça possível representando campos de tensões estaticamente em equilíbrio e plasticamente admissíveis sendo, cada solução, garantida pelo Teorema do Limite Inferior (ou Teorema Estático) da Teoria da Plasticidade (Análise Limite). Machado (1998) apresentou modelos de consolos curtos e muito curtos sem utilizar de maneira formal a Teoria da Plasticidade (Análise Limite), mas baseado em Modelos de Bielas e Tirantes. Os modelos propostos neste trabalho também não usam de maneira formal esta análise, embora o modelo sugerido seja baseado em um Modelo de Bielas e Tirantes, o qual tem solução garantida pelo Teorema do Limite Inferior. Como orientação inicial deve-se seguir de perto os contornos e as trajetórias de tensões elásticas na peça que são obtidas, inicialmente, empregando-se um programa de análise em Elementos Finitos Linear (regime elástico linear sem a consideração da fissuração). O Método dos Elementos Finitos pode ser usado em sua versão linear, a mais simplificada, em conjunto com Método das Bielas e Tirantes fornecendo as trajetórias das tensões para facilitar a definição dos modelos de treliça, os campos de tensões possíveis, ou pode ser usado na construção efetiva de um modelo para a análise aproximada, desconsiderando a fissuração da peça. O programa CAST, desenvolvido recentemente por Tjhin e Kuchma (00) para projeto de regiões D, utiliza contornos de tensão e trajetórias de tensões principais obtidas de uma análise elástica linear para a seleção da treliça do modelo. Schlaich et al. (1987) explicam que este processo de orientar o modelo de bielas e tirantes ao longo dos caminhos de forças indicados pela teoria da elasticidade negligencia um pouco a capacidade última de carga que poderia ser utilizada por uma aplicação da teoria de plasticidade. Por outro lado, tem a vantagem principal que o mesmo modelo é usado para o estado limite último e de serviço. Se por alguma razão o propósito da análise é determinar a força última, o modelo pode ser adaptado facilmente a esta fase de carregamento trocando suas bielas e tirantes para obter um valor maior e mais real da resistência da estrutura. Neste caso, porém, a capacidade de rotação não elástica do modelo tem que ser considerada. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

58 5 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo 4 ANÁLISE NUMÉRICA Os modelos foram submetidos a uma análise elástica linear via Método dos Elementos Finitos utilizando o programa computacional ANSYS. 4.1 Modelos adotados Foram analisados 9 modelos de blocos sobre duas, três e quatro estacas, submetidos à ação de força centrada. Os modelos foram agrupados em cinco séries conforme a quantidade de estacas e força aplicada, como pode ser visto na tabela 1: Tabela 1 - Modelos analisados. Tipo de Bloco Série Número de Força modelos aplicada (kn) estacas B estacas C estacas D estacas E A fim de se estudar a formação dos campos de tensões, foram adotados modelos variando-se o diâmetro das estacas (30 cm, 35 cm e 40 cm) e as dimensões de pilares para blocos com a mesma geometria e carregamento. Para blocos sobre uma e cinco estacas alteraram-se também as alturas dos modelos. Foram adotados resistência característica do concreto de 0 MPa e aço CA-50. A ligação do bloco com a estaca foi considerada de 10 cm e as demais condições geométricas são apresentadas nas figuras. e 3. a=170 l le =30 =110 le=30 b=60 bp ap lc d=40 h=50 d'=10 φest φest Série B duas estacas Figura - Modelos de blocos sobre duas estacas (medidas em centímetros). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

59 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à l=10 lcy l 3/=103,9 bp ap lcx d=60 h=70 d'=10 φest φest Série C três estacas a=190 a=190 le=35 l=10 le =35 le=35 l=10 le =35 lcy b=190 bp b=190 bp ap ap d=70 h=80 d h d'=10 d'=10 φest φest φest φest Série D quatro estacas Série E cinco estacas Figura 3 - Modelos de blocos sobre três, quatro e cinco estacas (medidas em centímetros). Na tabela são apresentados os parâmetros geométricos de cada modelo, ou seja, dimensões do bloco (a, b), altura útil (d), distância entre eixos de estacas (l), Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

60 54 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo distância da face do pilar ao eixo da estaca mais afastada (l c ), dimensões de pilares (a p e b p ) e diâmetro das estacas (φ est ). Tabela - Parâmetros Geométricos (medidas em centímetros). Bloco Distâncias Pilar e estaca Série Modelos a b d l l cx l cy a p b p φ est B C D E B ,68-34,64 34,64 30 B ,68-34,64 34,64 35 B ,68-34,64 34,64 40 B ,00-60,00 0,00 30 B ,00-60,00 0,00 35 B ,00-60,00 0,00 40 B ,00-70,00 0,00 30 B ,00-70,00 0,00 35 B ,00-70,00 0,00 40 C ,63 50,95 36,74 36,74 30 C ,63 50,95 36,74 36,74 35 C ,63 50,95 36,74 36,74 40 C ,00 31,8 18,00 75,00 30 C ,00 31,8 18,00 75,00 40 C ,50 60,3 75,00 18,00 30 C ,50 60,3 75,00 18,00 40 D ,00 40,00 40,00 40,00 30 D ,00 40,00 40,00 40,00 35 D ,00 40,00 40,00 40,00 40 D ,00 0,00 0,00 80,00 30 D ,00 0,00 0,00 80,00 35 D ,00 0,00 0,00 80,00 40 D ,00 15,00 0,00 90,00 30 E1-1h ,00 40,00 40,00 40,00 30 E1-3h ,00 40,00 40,00 40,00 40 E1-1h ,00 40,00 40,00 40,00 30 E1-1h ,00 40,00 40,00 40,00 30 E-1h ,00 0,00 0,00 80,00 30 E-3h ,00 0,00 0,00 80,00 40 As siglas adotadas para representar os nomes dos blocos têm o seguinte significado: Wx-y, W relaciona a série do modelo (ver tabela 1) que foi dividida conforme o número de estacas, x está relacionada com a seção do pilar, y está relacionado com a seção da estaca (y=1 para φ est =30cm, y= para φ est =35cm, y=3 para φ est =40cm). Em alguns modelos com as mesmas iniciais x e y e variação da Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

61 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à altura, acrescentou-se a letra h e o valor da altura em centímetros. Citando como exemplo o bloco B1-1, B significa que ele pertence à série B (blocos sobre duas estacas), o primeiro 1 significa que ele tem a mesma seção que os demais modelos da mesma série com x=1, e o outro 1 significa estacas com diâmetro de 30 cm. Para os modelos B1-x e C1-x a p e b p são as medidas do lado de um quadrado com uma área equivalente a do retângulo que foram adotadas para os demais modelos da mesma série, por isso têm valores com números com mais casas decimais. 4. Modelagem numérica Para a análise seguiram-se algumas etapas: definição das propriedades dos materiais, do tipo de elemento finito a se utilizar, da malha, das ações e condições de contorno. Em quase todos os modelos foi possível aproveitar a simetria para a modelagem, apenas para os modelos de blocos sobre três estacas não foi possível. Para os modelos de blocos sobre quatro e cinco estacas aproveitou-se a simetria em uma direção, modelando-se metade do bloco; no caso de blocos sobre duas estacas aproveitou-se a simetria nas duas direções, modelando-se 1/4 dos blocos. Adotaram-se para os modelos de blocos estacas com seção quadrada, mas com área equivalente aos referidos diâmetros. Essa medida foi tomada para facilitar a construção da malha numérica, e foi muito útil, já que não interferiu nos resultados de interesse. Os pilares e as estacas foram modelados com a mesma altura do bloco, procedimento este, normalmente adotado em ensaios experimentais. As propriedades dos materiais, considerando avaliação global dos modelos, foram adotadas conforme a NBR 6118:003, coeficiente de Poisson (ν) de 0, e módulo de elasticidade tangente do concreto conforme a expressão 1: c ck c E = 5600 f E = 504 kn / cm (1) O programa ANSYS possui uma vasta biblioteca de elementos finitos com a finalidade de fornecer ao usuário condições para resolver problemas diversos. Neste trabalho o elemento SOLID 65 foi utilizado para discretizar o bloco, pilar e estacas. Este elemento é tridimensional constituído por oito nós, cada nó possuindo três graus de liberdade referentes às translações das coordenadas x, y e z. Para discretização dos elementos, adotou-se uma malha com espaçamento entre nós de aproximadamente 5 cm para os modelos da série B, 10 cm para modelos da série D e E e 14 cm para os modelos C. Não foi possível utilizar uma malha mais refinada, pois com o aumento do número de elementos, inviabilizou o processamento do modelo numérico. Os modelos da série C (blocos sobre três estacas) foram os mais difíceis de modelar por não ter simetria, utilizou-se uma malha grande, além disso, optou-se por excluir da modelagem os elementos triangulares que foram gerados na malha nas periferias, já que, nestes locais, não havia tensões significativas. Isso se justifica, pois, na modelagem inicial esses elementos triangulares não foram excluídos e causaram dificuldades no processamento dos modelos, já que exigiram uma malha mais refinada. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

62 56 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo A figura 4 explicita as malhas utilizadas em um modelo de cada série de blocos analisados. Série B duas estacas Série C três estacas Série D quatro estacas Série E cinco estacas Figura 4 - Malha de elementos finitos utilizada. A ação foi aplicada como pressão na área referente ao pilar. Como condições de contorno restringiram-se todos os nós na face das estacas no plano xz, nas duas direções e na direção normal a este plano, ou seja, restringiram-se as três direções. A intenção de impedir a rotação dos modelos devese ao fato de analisar o comportamento do bloco, mantendo condições coerentes a de um ensaio experimental. O uso da simetria foi indispensável para a modelagem, pois sem esse recurso o número de elementos aumentaria, o que, conseqüentemente aumentaria o tempo e o trabalho computacional. A condição de simetria foi aplicada referente aos planos que foram cortados. 5 ANÁLISE DE RESULTADOS As análises realizadas foram divididas em duas etapas. Primeiramente os modelos foram verificados por meio de três métodos analíticos. Nesta etapa verificaram-se as diferenças no cálculo das áreas das barras das armaduras. Na segunda etapa deste trabalho consideraram-se os resultados obtidos pela análise numérica. Foi feita análise gráfica dos campos de tensão de compressão e Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

63 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à com isso foram possíveis algumas comparações com os modelos analíticos. Além disso, observaram-se as divergências, tanto na formação do campo de tensão de compressão, quanto nos valores de tensão máxima de tração, quando são variadas dimensões de pilares e estacas. 5.1 Resultados analíticos Os blocos sobre duas, três, quatro e cinco estacas foram dimensionados por três métodos analíticos, de BLÉVOT (1967), CEB-FIP(1970) e EHE (001). Para as áreas de armaduras calculadas, é importante observar que neste trabalho não se verificou a ancoragem das mesmas em nenhum dos modelos. Os valores das forças nos tirantes (R st ) e das áreas de armadura são apresentados na tabela 3. O CEB-FIP não fornece o valor da força R st, por não ser baseado em modelo de Biela e Tirante e o cálculo da armadura foi feito com as expressões utilizadas para cálculo de flexão em vigas. Para os modelos de blocos sobre três, quatro e cinco estacas a armadura foi calculada segundo os lados dos blocos, portanto os valores fornecidos na tabela 3 referem-se à área de armadura que deve ser colocada em cada lado. O procedimento do CEB-FIP sugere verificações em duas direções, então, adotou-se a mesma armadura para as duas direções, escolhendo a maior delas. Tabela 3 - Valores de R st e A s. BLÉVOT CEB-FIP EHE Modelos R st (kn) A s (cm ) A s (cm ) R st (kn) A s (cm ) estacas 3 estacas 4 estacas B1-1/ B1-/ B ,0 9,46 8,00 483,8 9,68 B-1/ B-/ B-3 408,3 8,17 6,8 417,7 8,35 B3-1/ B3-/ B3-3 38,7 7,65 5,61 391,5 7,83 C1-1/ C1-/ C ,9 3,74 3,66 8, 4,56 C-1/ C-3 04,9 4,10 4,01 45,9 4,9 C3-1/ C ,05 3,00 4,09 19,1 3,84 D1-1/ D1-/ D1-3 50,0 5,00 4,65 94,0 5,88 D-1/ D-/ D-3 75,0 5,50 5,36 33,5 6,47 D3-1 75,0 5,50 5,36 33,5 6,47 E1-1h80/ E1-3h80 71,4 5,43 5,05 35,3 4,71 5 estacas E1-1h95 3,5 4,47 4,14 193,8 3,88 E1-1h ,0,80 3,5 167,7 3,9 E-1h80/ E-3h80 98,6 5,97 5,83 58,8 5,18 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

64 58 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo Os métodos analíticos para dimensionamento conduziram a diferentes resultados para a área de armadura, fornecendo valores com diferenças que chegaram até 30% para modelos de blocos sobre duas estacas. Para os blocos sobre duas, três e quatros estacas, o método da EHE (001) apresentou as maiores áreas de armadura e o Método do CEB (1970), as menores, ou seja, as diferenças foram maiores entre esses dois métodos. Entre os Métodos de Blévot (1967) e CEB (1970) também ocorreram diferenças grandes, nos modelos de blocos sobre duas estacas chegaram a mais de 30%, para um dos modelos de blocos sobre três estacas houve uma diferença um pouco maior (a área de armadura calculada com os critérios do CEB foi 36% maior que a calculada com as indicações de Blévot), isso ocorreu por causa do posicionamento do pilar e das diferentes considerações dos dois métodos. Para os modelos de blocos sobre cinco estacas, de modo geral, o método que apresentou maiores áreas de armadura foi o de Blévot e as maiores diferenças ocorreram entre Blévot (1967) e EHE (001), essa diferença foi da ordem de 15%. 5. Resultados numéricos Os resultados numéricos de interesse neste trabalho são os campos de tensões com valores máximos e mínimos nas direções principais, que fornecem uma noção do funcionamento das estruturas. Por meio das trajetórias de tensões principais é possível montar um modelo de Bielas e Tirantes. As trajetórias mínimas principais (tensão principal direção 3), geralmente de compressão, podem orientar as posições das bielas comprimidas. As trajetórias máximas principais (tensão principal direção 1) podem orientar o posicionamento dos tirantes. No item serão apresentadas essas trajetórias para os modelos analisados, e são, por meio delas, em conjunto com a análise dos campos de tensão, que serão apresentadas algumas sugestões para modelos de bielas e tirantes mais refinados para blocos sobre uma, duas, três, quatro e cinco estacas. Analisaram-se os campos de tensões principais máximas e mínimas. As tensões máximas representadas pelas tensões na direção 1 (tração) e as mínimas são representadas pelas tensões na direção 3 (compressão). Para cada série de modelos de estacas foram feitas algumas constatações quando se variam os diâmetros das estacas ou a dimensão dos pilares ou a altura dos blocos Blocos sobre duas estacas Análise de modelos de blocos com mesma geometria de pilar variandose diâmetro das estacas Neste item foram feitas comparações entre os modelos em que se variou o diâmetro das estacas, ou seja, dividindo-se os modelos em três grupos: (1) B1-1, B1- e B1-3; () B-1, B- e B-3 e (3) B3-1, B3- e B3-3. As constatações que seguem são as mesmas para os três grupos distintos, já que, nas análises feitas ocorreram as mesmas situações. Analisando primeiramente os campos de tensão na direção principal 3, que representam as tensões de compressão, pode-se observar a formação das bielas de compressão, como pode ser visto na figura 5. Além disso, observou-se a grande Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

65 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à concentração de tensões nas regiões nodais, próximas ao pilar e próximas às estacas. B1-1 (φ est = 30 cm) B1- (φ est = 35 cm) B1-3 (φ est = 40 cm) B-1 (φ est = 30 cm) B- (φ est = 35 cm) B-3 (φ est = 40 cm) B3-1 (φ est = 30 cm) B3- (φ est = 35 cm) B3-3 (φ est = 40 cm) Figura 5 - Formação das bielas de compressão. Uma importante constatação refere-se à formação das bielas de compressão. Os campos de tensão de compressão na região nodal superior, obtidos com a análise numérica, formaram-se além da seção do pilar, como pode ser observado na figura 5. Conforme o Modelo de Blévot (1967), a biela se forma partindo da área do pilar e, no entanto, não foi isso que ocorreu. Por meio de uma aproximação gráfica pode-se notar melhor as diferenças que ocorreram entre o modelo numérico e o analítico, conforme figura 6. Na figura 6 as linhas contínuas em vermelho mostram a formação das bielas proposta pelo modelo de Blévot. As linhas em azul mostram uma idealização dos campos de compressão obtidos por análise numérica. Observa-se que o ângulo das bielas formado pelas linhas azuis tracejadas (modelo numérico) seria bem maior que o formado pelas linhas vermelhas contínuas. Além disso, conforme o modelo numérico a região nodal logo abaixo do pilar tem uma altura bem maior. É lógico que essas conclusões baseadas em análises gráficas são bem aproximadas, mas, mesmo assim são válidas. Uma outra constatação relaciona os campos de tensão de compressão com o diâmetro das estacas. Observou-se que a tensão de compressão ao longo da biela Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

66 60 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo diminuiu conforme se aumentou o diâmetro da estacas, esta diferença foi notada entre os blocos com estacas de diâmetros de 30 cm e 40 cm. 45 Figura 6 - Bielas de compressão, modelo numérico e modelo de Blévot. Com relação às tensões principais na direção 1, observou-se que essas máximas tensões de tração ocorrem na face inferior do bloco, como era esperado, no local onde se posiciona a armadura principal do bloco. A figura 7 ilustra os campos de tensão máxima em um dos modelos adotados. Figura 7- Campos de tensão de tração. Relacionando as tensões máximas de tração com os diâmetros das estacas, observou-se que as tensões aumentaram conforme se diminuiram os diâmetros das estacas. A tabela 4 traz os valores de tensão máxima de tração obtidos para cada grupo de blocos analisados. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

67 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à Tabela 4 - Tensões máximas de tração. Grupos Modelos φ est (cm) Tensão de tração máxima (MPa) B ,8 1 B1-35 4,4 B ,0 B ,0 B- 35 3,6 B ,3 B ,6 3 B3-35 3,4 B ,0 As diferenças entre os valores de tensão máxima chegaram a 0%. No cálculo analítico isso não aconteceria, pois a força no tirante, com a qual se calcula a área de armadura, independe do diâmetro da estaca Análise de modelos de blocos com mesma geometria e mesmo diâmetro das estacas variando-se a dimensão de pilares Esta análise refere-se aos modelos de blocos com mesmas dimensões e mesmo diâmetro de estaca, mas com dimensões de pilares diferentes. Os grupo de blocos analisados refere-se aos modelos: (1) B1-1, B-1 e B3-1, () B1-, B- e B-3 e (3) B1-3, B-3 e B3-3. Os modelos B1-x e B-x têm pilares com área equivalente, sendo o primeiro com área quadrada e o segundo retangular, já o modelo B3-x tem pilar com área retangular mais alongada. A importância desta análise deve-se ao fato de, a maioria dos métodos de cálculo serem aplicados somente para blocos sobre estacas com pilares de seção quadrada. Ocorreu que, em um modelo de bloco com mesma geometria e seção de pilar diferente, as tensões de tração foram distintas, portanto, não é muito realista a consideração que muitos métodos fazem utilizando seções quadradas equivalentes para pilares retangulares. Estas constatações podem ser observadas na tabela 5 que mostra os valores de tensões máximas de tração para cada grupo de modelos analisados. Tabela 5 - Tensões máximas de tração. Grupos Modelos Seção Pilar Tensão de tração (cmxcm) máxima (MPa) B1-1 34,64 x 34,64 4,8 1 B-1 0,00 x 60,00 4,0 B3-1 0,00 x70,00 3,6 B1-34,64 x 34,64 4,4 B- 0,00 x 60,00 3,6 B3-0,00 x70,00 3,4 B1-3 34,64 x 34,64 4,0 3 B-3 0,00 x 60,00 3,3 B3-3 0,00 x70,00 3,0 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

68 6 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo Observou-se que as máximas tensões de tração diminuem conforme se alonga a seção do pilar. Tomando como exemplo o modelo B-1, aplicando o Método das Bielas e considerando uma seção quadrada equivalente, a armadura adotada seria a mesma que para o modelo B1-1, portanto, talvez seja conservativo adotar esta estratégia de seções equivalentes para blocos sobre duas estacas. 5.. Blocos sobre três estacas Para análise de bloco sobre três estacas adotaram-se modelos com estacas de diâmetros diferentes, e pilares de seção retangular e seção quadrada equivalentes, ou seja, os modelos C1-1, C1- e C1-3 têm pilares de seção quadrada; os modelos C-1 e C-3 pilares de seção retangular, com a mesma área que os anteriores, e, os modelos C3-1 e C3-3 a mesma seção retangular que os anteriores, mas agora no outro sentido. A intenção era observar os campos de tensão nestes modelos e notar as diferenças que existem nestes casos. Foram analisadas vistas e cortes pré-determinados para os modelos de blocos sobre três estacas, para melhor visualização dos campos de tensão, conforme a figura 8. B C A A PLANTA C B Vista1 VISTA1 Vista de Baixo Figura 8 - Vistas esquemáticas dos modelos de blocos sobre três estacas Análise de modelos de blocos com mesma geometria de pilar variandose o diâmetro das estacas Neste item analisaram-se modelos de blocos com diferentes diâmetros de estacas, dividindo-se os modelos em três grupos distintos: (1) C1-1, C-1 e C3-1, () C1- e C-3 e (3) C1-3 e C3-3. A figura 9 mostra os campos de tensão dos modelos do grupo (1). Analisando os campos de tensão para os modelos do grupo (1) constatou-se que a distribuição das forças de compressão é bem coerente com o modelo de Blévot (1967), mas as regiões nodais são bem distintas. Como era esperado, com o aumento do diâmetro das estacas, a tensão de compressão ao longo da biela diminuiu, isto se Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

69 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à justifica afinal com o aumento da área da biela ocorre uma diminuição de tensão. Estas mesmas constatações foram feitas para os grupos () e (3). CORTE AA C1-1(φ est = 30 cm) CORTE CC C1-(φ est = 35 cm) C1-3(φ est = 40 cm) Figura 9 - Campos de tensão de compressão blocos sobre três estacas. Por meio da figura 10 pode se observar as formações dos campos de tensão de tração (direção principal) para os modelos de blocos sobre três estacas. CORTE AA C1-1(φ est = 30 cm) CORTE CC C1-(φ est = 35 cm) C1-3(φ est = 40 cm) Figura 10 - Campos de tensão de tração blocos sobre três estacas. Com relação às tensões de tração máximas para os modelos com pilares retangulares (grupo 1) constatou-se que essas aumentaram conforme se diminuíram os diâmetros das estacas, as diferenças entre os valores máximos, de forma geral, não foram significativas. Estas observações também se aplicam ao grupo 3; para o grupo, as tensões diminuíram conforme se diminuiu o diâmetro das estacas. Essas constatações têm sua validade, mas é importante ressaltar que os grupos de modelos têm seções diferentes de pilar e, essa variação na seção, tem grande importância na formação dos campos de tensão conforme será visto no item seguinte. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

70 64 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo 5... Análise de modelos de blocos com mesma geometria e mesmo diâmetro das estacas variando-se a dimensão de pilares Neste item analisaram-se modelos de blocos com diferentes seções de pilares, dividindo-se os modelos em dois grupos distintos: (1) C1-1, C-1, C3-1 e () C1-3, C- 3, C3-3. A figura 11 apresenta os campos de tensões de compressão dos modelos do grupo 1. É mostrada uma vista de cima (face superior) dos modelos onde pode se observar as diferentes formas de distribuição de um modelo para o outro. C1-1 (36,74x36x74) C-1 (18x75) C3-1 (75x18) Figura 11 - Campos de tensão de compressão blocos sobre três estacas (vista de cima). A figura 1 apresenta os campos de tensões de tração dos modelos do grupo 1. É mostrada uma vista da parte inferior dos modelos, onde pode se observar os contornos dos campos de tensão de tração para os modelos com diferentes seções de pilares. C1-1 (36,74x36x74) C-1 (18x75) C3-1 (75x18) Figura 1 - Campos de tensão de tração blocos sobre três estacas (vista de baixo). Com relação às tensões de tração os valores máximos para todos os modelos estudados ocorreram aproximadamente no centro do bloco, mas sua formação, como era esperado, diferiu muito de acordo com as mudanças nas seções dos pilares Blocos sobre quatro estacas Para melhor visualização dos campos de tensão foram analisados vistas e cortes pré-determinados para os modelos de blocos sobre quatro estacas, a figura 13 ilustra quais foram as vistas e cortes feitos nos modelos. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

71 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à Figura 13 - Vistas esquemáticas dos modelos de blocos sobre quatro estacas Análise de modelos de blocos com mesma geometria de pilar variandose o diâmetro das estacas Neste item foi feita uma análise dos campos de tensão de compressão (tensão principal na direção 3) para modelos de blocos sobre quatro estacas e comparada com o modelo analítico que utiliza analogia de treliça. Além disso, observaram-se as divergências, tanto na formação do campo de tensão de compressão, quanto nos valores de tensão máxima de tração (tensão principal na direção 1), quando se variam dimensões de estacas. Para esta análise utilizaram-se apenas 6 dos 7 modelos dividindo-os em dois grupos: (1) D1-1, D1- e D1-3 e () D-1, D- e D-3. Observando-se os elementos mostrados no corte AA obtiveram-se as configurações de campos de tensão de compressão mostrados na figura 14, as diferenças nas formações das bielas, devem-se às diferentes geometrias dos pilares. D1-1 (φ est = 30 cm) D1- (φ est = 35 cm) D1-3 (φ est = 40 cm) D-1 (φ est = 30 cm) D- (φ est = 35 cm) D-3 (φ est = 40 cm) Figura 14 - Campos de tensão de compressão nos modelos de blocos sobre 4 estacas (corte AA). Da mesma forma que para os blocos sobre duas estacas, constatou-se que os campos de tensão de compressão nas regiões nodais formam-se além da seção do pilar e estacas, conforme é considerado no Modelo de Blévot (1967). Observou-se ainda que, com o aumento do diâmetro das estacas, as intensidades das tensões de Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

72 66 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo compressão diminuíram, isso era esperado e se justifica, pois há uma dissipação maior das tensões de compressão, portanto, maiores intensidades. Com relação às tensões de tração, houve diferenças nos valores de tensões máximas de tração conforme aumentaram-se os diâmetros das estacas, mas não foram significativas como nos modelos de blocos sobre duas estacas. Os campos de tensão de tração apresentaram aspecto semelhante em todos os modelos, como é mostrado na figura 15. Vista de Baixo Vista 1 Corte AA Figura 15 - Campos de tensão de tração no modelo D Análise de modelos de blocos com mesma geometria e mesmo diâmetro das estacas variando-se a dimensão de pilares Os modelos D1-x e D-x têm pilares com área equivalente, sendo o primeiro com área quadrada e o segundo retangular, já o modelo B3-x tem pilar com área retangular mais alongada. Observando-se a figura 14, pode-se perceber que, conforme mudou-se a geometria do pilar, houve diferença na distribuição de tensões de compressão. Ocorreram diferenças significativas entre os modelos de blocos com pilares quadrados e retangulares. A intensidade da tensão de compressão ao longo da biela foi maior nos modelos com pilares de seção quadrada e diminuiu conforme alongouse a seção do pilar. Comparando-se os modelos de blocos sobre quatro estacas com pilar retangular de área 0cm x 80cm e com pilar quadrado de área equivalente 40cm x 40cm obtiveram-se valores máximos de tensões de tração muito próximos, o que não ocorreu nos modelos de blocos sobre duas estacas. Neste caso, seria possível a utilização de seções quadradas de área equivalente para blocos com pilares de seção retangular. Logicamente para o modelo B3-1, com seção um pouco mais alongada (0cm x 90cm), os valores foram um pouco menores, como era esperado. Estas constatações podem ser observadas na tabela 6, que mostra os valores de tensões máximas de tração para o grupo de modelos analisados. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

73 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à Tabela 6 - Tensões máximas de tração. Grupos Modelos Seção Pilar Tensão de tração (cmxcm) máxima (MPa) D x 40 1,898 1 D-1 0 x 80 1,890 D3-1 0 x 90 1, Blocos sobre cinco estacas Para os blocos sobre cinco estacas também foram feitas análises comparando modelos com diferentes diâmetros de estacas e seções de pilares, mas, a constatação mais importante foi na análise das reações das estacas em modelos com diferentes alturas. Ocorreram diferenças significativas na comparação dos modelos numéricos com o modelo analítico. Na adoção de modelos com diferentes alturas também pode-se comprovar as diferenças nas formações dos campos de tensão de compressão mostradas na figura 16, que ilustra um corte passando no centro dos modelos. E1-1h80 θ=45º E1-1h95 θ=50º E1-1h110 θ=55º Figura 16 - Campos de tensão de compressão nos modelos de blocos sobre 5 estacas. Os modelos foram adotados conforme o ângulo de inclinação das bielas, modelo E1-1h80 possui ângulo de inclinação de 45º, E1-1h95 de 50º e E1-1h110 de 55º. Estes ângulos estão contidos no intervalo sugerido pelo Método das Bielas (45º a 55º) A figura 16 mostra que, quando o ângulo de inclinação das bielas está em seu limite inferior (45º), uma parcela maior de tensões de compressão dirigem-se para a estaca central. Conforme aumenta-se este ângulo, as tensões são melhores distribuídas para as demais estacas. Esta constatação pode ser melhor conferida quando se compara as reações obtidas em cada estaca. Em cada um dos modelos de blocos sobre cinco estacas foi aplicada uma força centrada de 1900 kn. Portanto, a reação em cada estaca, considerada no modelo analítico, é igual a 380 kn, já que, para modelos de blocos com ação de força centrada a reação em cada estaca é considerada o valor da força aplicada dividido pelo número de estacas. A figura 17 mostra como foi considerada a numeração das estacas no modelo. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

74 68 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo Figura 17 - Numeração das estacas nos modelos de blocos sobre cinco estacas. Nos modelos numéricos a reação obtida em cada estaca divergiu dos modelos analíticos, como é mostrado na tabela 7. Tabela 7 - Reações nas estacas dos modelos numéricos de blocos sobre três estacas. Modelos θº Reação nas estacas (kn) E1-1h ,01 360,01 459,96 360,01 360,01 E1-1h ,41 367,41 430,36 367,41 367,41 E1-1h ,84 371,84 41,64 371,84 371,84 E1-3h ,10 344,10 53,60 344,10 344,10 E-1h ,66 361,66 453,36 361,66 361,66 E-3h ,09 347,09 511,64 347,09 347,09 Sendo: θ = ângulo de inclinação das bielas Conforme a tabela 7 nos modelos numéricos, a reação na estaca central (estaca 3) foi muito maior do que nas outras estacas. Notou-se, analisando os modelos E1-1h80, E1-1h95 e E1-1h110 que, conforme aumenta-se a altura do bloco, o valor da reação na estaca 3 é menor, ou seja, esse modelo de bloco sobre cinco estacas teria que ser muito mais rígido para que a distribuição de força normal fosse coerente com o modelo analítico. O modelo E1-1h110 tem o ângulo de inclinação das bielas de 55º, ou seja, o valor máximo que é permitido pelo Método de Blévot (1967) para que se garanta que a transmissão de forças se dê pelo Modelo de Bielas e Tirantes. Mediante as constatações decidiu-se pela modelagem de mais um modelo de blocos sobre cinco estacas que foi nomeado E1-1h150 (d = 140 cm) e que teve a mesma geometria do modelo E1-1h80, mas, neste caso, a altura adotada foi de 150cm. Para essa altura adotada no novo modelo, o ângulo de inclinação das bielas é de aproximadamente 63º, ou seja, bem maior que o intervalo permitido. A tabela a seguir mostra as reações encontradas para estacas do bloco E1-1h150. As reações nas estacas obtidas no modelo E1-1h150 foram valores bem mais próximos do modelo numérico, mas ainda assim a estaca 3 (central) apresentou maior valor que as demais. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

75 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à Tabela 8 - Reações nas estacas do modelo E1-1h150. Reação nas estacas (kn) Modelo θº E1-1h ,3 377,3 391,08 377,3 377,3 Após essas verificações pode-se constatar que esse modelo de bloco sobre cinco estacas não é confiável, já que teria que atingir ângulos maiores que 63º para a inclinação das bielas. 6 MODELAGEM UTILIZANDO BIELAS E TIRANTES É fato que para a definição de um modelo de Bielas e Tirantes deve-se seguir como orientação inicial os contornos e as trajetórias elásticas de tensões na peça que são obtidas inicialmente empregando-se um programa de análise em Elementos Finitos Linear. Longo (000) utilizou modelos numéricos obtidos do Método dos Elementos Finitos para obtenção de modelos de Bielas e Tirantes, sendo que os modelos foram desenhados na própria tela do computador sobre os desenhos de trajetórias de tensão. Da mesma maneira que Longo (000), com os modelos obtidos neste trabalho procurou-se sugerir um modelo mais refinado do que os analíticos existentes, mas não se pode generalizar, já que, o modelo adotado é função da geometria e das ações atuantes em seu contorno; estruturas com mesmas ações e geometrias diferentes são modeladas diferentemente. Portanto, nos modelos sugeridos não se definiu, por exemplo, espessura das bielas já que isso dependeria da seção de estacas e pilares adotados. Neste item não foram analisados os modelos de blocos sobre cinco estacas, já que, concluiu-se que este tipo de disposição de estacas não é adequada Blocos sobre duas estacas A figura 18 apresenta as trajetórias de tensão nas direções principais 1 (tração) e 3 (compressão) obtidas para um dos modelos. Tensão Principal 1 (tração) Tensão Principal (compressão) Figura 18 -Trajetória de Tensões Principais Modelo B1-1. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

76 70 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo Nos modelos adotados para blocos sobre duas estacas, apesar das diferentes seções adotadas para estacas e pilares a trajetórias de tensão é semelhante, divergindo obviamente nas regiões nodais. A figura 19 mostra as trajetórias de tensões em todas as direções obtidas para alguns dos modelos. B1-1 B-1 B3-1 Figura 19 -Trajetórias de tensões principais. Fazendo uma análise conjunta dos campos de tensão e das trajetórias de tensões obtidas conclui-se, que o modelo sugerido por Adebar et al.(1990) mostrado na figura 0, seria bem coerente com os modelos estudados e estes para obteria-se a treliça mostrada na figura 1. O modelo refinado sugerido pelo autor sugere um tirante onde os campos de tensão de compressão se expandem e são produzidas tensões de tração. Essa constatação pode ser feita para os modelos estudados observando-se as trajetórias de tensão principal na direção 1. Figura 0 - Trajetórias de tensões elástico-lineares e Modelo refinado de Bielas e Tirantes sugerido por Adebar et al. (1990). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

77 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à Proposta de Modelo de Bielas e Tirantes para Trajetórias de tensões elástico-lineares blocos sobre duas estacas Figura 1 - Trajetórias de tensões elástico-lineares e Modelo refinado de Bielas e Tirantes para blocos sobre duas estacas. Para a treliça apresentada é necessária a verificação das regiões nodais, conforme as recomendações do Código Modelo do CEB-FIP (1990), para isto, é preciso definir as larguras das bielas que chegam nos nós. O arranjo da armadura fica definido pelo tirante localizado na parte inferior do modelo. O tirante inclinado pode ser considerado de concreto, e deve ser feita a verificação da resistência à tração do mesmo Blocos sobre três estacas A figura apresenta as trajetórias de tensão nas direções principais 1 (tração) e 3 (compressão) obtidas para um dos modelos de blocos sobre três estacas. CORTE AA CORTE CC Tensão Principal 1 (tração) Tensão Principal 3 (compressão) Figura - Trajetória de Tensões Principais Modelo C1-1. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

78 7 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo De forma geral, a distribuição de tensão de compressão (formação das bielas) foi semelhante para todos os modelos podendo-se adotar uma solução semelhante. As trajetórias de tensões de tração, para os blocos sobre duas estacas, foram mais intensas na parte superior do mesmo, apresentando tensões inclinadas ao longo da altura. Portanto, para a adoção de um modelo de bielas e tirantes poderia utilizar a mesma treliça, utilizada para blocos sobre duas estacas mudando, logicamente, o posicionamento do tirante inferior. A forma das bielas e o tirante inclinado no meio seriam iguais aos sugerido na figura 1. A posição dos tirantes na face inferior dos blocos deve ser estudada para cada caso. É mostrada na figura 3 uma vista de baixo das trajetórias de tensões principais de tração. C1-1 (36,74x36x74) C-1 (18x75) C3-1 (75x18) C1-3 (36,74x36x74) C-3 (18x75) C3-3 (75x18) Figura 3 - Trajetória de Tensões Principais Direção 1 (tração) Vista Inferior. É possível imaginar como deve ser a disposição das armaduras dos tirantes com as trajetórias de tensão mostradas na figura 3. Para todos os modelos com a melhor disposição de armadura encontrada que atenderia a distribuição das trajetórias de tensões seria segundo os lados dos blocos (ligando as estacas). Havia dúvidas se, no caso de pilares alongados, a disposição de armadura seria a mesma que para pilares quadrados, mas concluiu-se que essa disposição pode atender aos dois modelos. Talvez, em conjunto com uma armadura de distribuição, os modelos trabalhariam melhor já que, as tensões máximas ocorrem no centro do bloco, essa armadura distribuiria melhor para a armadura principal disposta segundo os lados. O uso desse tipo de distribuição justifica-se também aos ensaios experimentais feitos por Miguel (000) que utilizou, em um de seus modelos, uma disposição de armadura segundo os lados do bloco, somadas a uma armadura em malha e, constatou que o uso de barras distribuídas diminui as fissuras na base do bloco Blocos sobre quatro estacas A figura 4 apresenta as trajetórias de tensão nas direções principais 1 (tração) e 3 (compressão) obtidas para um dos modelos de blocos sobre quatro estacas. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

79 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à Tensão Principal 1 (tração) Tensão Principal 3 (compressão) Figura 4 - Trajetória de Tensões Principais Modelo D1-1 (corte AA). Como era esperado, a trajetória de tensões principais nos modelos de blocos sobre quatro estacas foi semelhante para todos os modelos. Para o modelo de bielas e tirantes pode se adotar uma treliça semelhante a que foi adotada pra blocos sobre duas estacas, mas equilibrada, neste caso para quatro estacas. As tensões principais de tração ocorreram no centro do bloco. A figura 5 mostra a configuração das trajetórias de tensões principais na direção 1 (tração), vista de baixo, para alguns modelos adotados. D1-1 D-1 D3-1 Figura 5 - Trajetória de tensões de tração Vista Inferior. Com as trajetórias de tensões mostradas na figura 5 é possível a sugestão de uma disposição adequada para as armaduras dos tirantes inferiores. Para todos os modelos adotados notou-se que uma distribuição bem coerente seria armar o bloco segundo os lados (unindo as estacas), como pode ser visto na figura 6. Figura 6 - Trajetórias de tensões de tração e sugestão para disposição de armadura dos tirantes para blocos sobre quatro estacas. Da mesma maneira que para blocos sobre três estacas é interessante a adoção de uma armadura de distribuição em conjunto com a armadura principal distribuída segundo os lados. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

80 74 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo A sugestão desse tipo de disposição de armadura atende aos requisitos propostos na NBR 6118:003, que sugere que a armadura principal dos blocos deva ser disposta essencialmente em faixas definidas pelas estacas em proporção de equilíbrio com as bielas. 7 CONCLUSÃO A importância deste trabalho foi mostrar que os métodos utilizados para projeto de blocos sobre estacas apresentam divergências entre si. Esta constatação pôde ser feita em virtude dos diferentes resultados encontrados no cálculo das áreas de barras de armadura e para as verificações de tensões de compressão. Os modelos numéricos apresentaram os resultados esperados demonstrando a importância em adotar-se um modelo analítico mais refinado que leve em consideração parâmetros como diâmetro de estacas e seções de pilares. Além disso, deve-se adotar uma verificação de compressão nas regiões nodais, próximos ao pilar e próximas às estacas, semelhantes aos modelos de Bielas e Tirantes. Ficou comprovado que a adoção de uma análise numérica simplificada, considerando comportamento elástico linear, era necessária, já que existem poucos trabalhos tratando desse assunto, e, além disso, é o primeiro passo para adoção de um modelo de Bielas e Tirantes. Constatou-se que a treliça adotada pelo Método das Bielas (Blévot, 1967) é um modelo coerente para projeto de blocos sobre estacas e é o mais simples. Por meio das trajetórias de tensões e com os contornos de tensão obtidos para cada modelo foi possível posicionar bielas e tirantes e sugerir um modelo mais refinado, além disso, foi possível a verificação da influência do diâmetro das estacas e das seções de pilares no projeto de blocos sobre estacas e pôde-se sugerir arranjos de armadura. Com relação ao comportamento dos modelos pôde-se verificar que o modelo de Biela e Tirante sugerido não é nenhuma novidade, já que outros autores já tinham constatado em trabalhos experimentais que as bielas de compressão romperam por esmagamento do concreto; acreditando-se que a ruptura do tirante diagonal de concreto era o mecanismo crítico envolvido nas ruínas por cisalhamento dos blocos ensaiados. Por isso, entende-se a importância em adotar-se a treliça sugerida, fazendo a verificação do tirante diagonal, se não for possível a adoção de tirante de concreto (fazendo-se a verificação à tração do concreto) deve-se adotar uma armadura diagonal. Outro ponto importante é a geometria da treliça que deve ser diferente conforme a seção do pilar; a maior parte dos métodos analíticos considera para blocos com pilares de seção retangular, uma seção quadrada equivalente, e essa pode ser uma solução conservativa, em alguns casos, portanto, deve-se estudar caso a caso. A seção da estaca também deve ser considerada, já que, nos modelos analisados, quando se aumenta a seção, as tensões nas bielas diminuem, e, conseqüentemente, diminuem as tensões nos tirantes. Com relação aos blocos sobre cinco estacas pôde-se constatar que, na adoção de modelos com estacas distribuídas segundo os vértices de um quadrado e Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

81 Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à uma estaca no centro geométrico, o comportamento não é exatamente como considerado na prática. Considerando fatores como a fissuração, os resultados poderiam ser ainda piores, ou seja, a distribuição de tensão seria ainda mais distinta. Com as análises efetuadas foi possível verificar que o modelo de bloco sobre cinco estacas, adotado neste trabalho, não é confiável, já que teria que atingir ângulos maiores que 63º para a inclinação das bielas. Aumentando muito a altura ficaria descaracterizado o tratamento desse modelo como bloco sobre estacas, devendo-se talvez, ser tratado como viga-parede. Além disso, não é vantagem econômica utilizar um bloco de fundação com uma altura muito elevada. Sendo assim, o mais correto é adotar outra disposição de estacas, quando houver a necessidade de utilizar blocos sobre cinco estacas, como por exemplo, blocos com estacas dispostas nos vértices de um pentágono. 8 AGRADECIMENTO Os autores agradecem à CAPES pelo apoio financeiro, sem o qual esta pesquisa não poderia ter sido realizada. 9 REFERÊNCIAS ADEBAR, P.; KUCHMA, D.; COLLINS, M. P. (1990). Strut-and-tie models for design of pile caps: an experimental study. ACI Structural Journal, v.87, p. 81-9, Jan./Feb. ANSYS User s Manual - Theory Manual (1998). ANSYS revision 5.5. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. NBR 6118:003 Projeto de estruturas de concreto. Rio de Janeiro. AMERICAN CONCRETE INSTITUTE (1994). ACI 318M Building code requeriments for reinforced concrete. Detroit, USA. BLÉVOT, J.; FRÉMY, R. (1967). Semelles sur pieux. Annales d Institut Technique du Bâtiment et des Travaux Pulblics, Paris, v.0, n. 30, p. 3-95, fev. COMITÉ EURO INTERNATIONAL DU BÉTON (1970). CEB-FIP Recommandations particulières au calcul et à l exécution dês semelles de fondation. Bulletin D Information, Paris, n.73. COMITÉ EURO INTERNATIONAL DU BÉTON (1990). CEB-FIP model code for concrete structures. Bulletin D Information, Paris, n , July. COMISIÓN PERMANENTE DEL HORMIGÓN (001).Ministerio de Fomento. Centro de Publicaciones. Instrucción de hormigón estructural (EHE), Madrid. HARISIS, A., FARDIS, M. N. (1991). Computer-Aided Automatic Construction of Strutand-Tie Models. Structural Concrete, IABSE Colloquium, Stuttgart, International Association for Bridge and Structural Engineering, Zürich, p , Mar. IYER, P. K.; SAM, C. (1991). 3-D elastic analysis of three-pile caps. Journal of Engineering Mechanics, ASCE, v. 117, n. 1, p , Dec. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

82 76 Fabiana Stripari Munhoz & José Samuel Giongo LONGO, H. I. (000). Modelagem de estruturas de concreto pelo modelo de bielas e tirantes utilizando o método dos elementos finitos. In: JORNADAS SUL-AMERICANAS DE ENGENHARIA ESTRUTURAL, 9., 1 CD-ROM. MACHADO, C. P. (1998). Consolos curtos e muito curtos de concreto armado. São Paulo. Tese (Doutorado) Escola Politécnica, Universidade de São Paulo. MIGUEL, M. G. (000). Análise experimental e numérica de blocos sobre três estacas. São Carlos. Tese (Doutorado) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. MUNHOZ, F. S. (004). Análise do comportamento de blocos de concreto armado sobre estacas submetidos à ação de força centrada. São Carlos. Dissertação (Mestrado) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. SCHLAICH, J., SCHAFER, K., JENNEWEIN, M. (1987). Towards a consistent design of structural concrete. PCI Journal, v.3, n.3, p , May/June. TJHIN, T. N.; KUCHMA, D. (00). Computer-Based Tools for Design by Strut-and-Tie Method: Advances and Challenges. ACI Structural Journal, p , Sep./Oct. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

83 ISSN ANÁLISE DE PAVIMENTOS DE EDIFÍCIOS DE CONCRETO ARMADO COM A CONSIDERAÇÃO DA NÃO-LINEARIDADE FÍSICA MODELAGEM E METODOLOGIA DE APLICAÇÃO A PROJETOS Richard Sarzi Oliveira 1 & Márcio Roberto Silva Corrêa Resumo O presente trabalho objetiva colaborar na melhoria dos procedimentos destinados à aplicação dos modelos não-lineares ao dimensionamento estrutural. Os estudos desenvolvidos estão didaticamente divididos em duas áreas do conhecimento. Na primeira delas, dedicada às leis constitutivas que representam os materiais aço e concreto, são estudadas as possíveis abordagens da não-linearidade física, e desenvolvidos modelos uni e biaxiais destinados à análise do Estado Limite Último, bem como dos Estados Limites de Serviço de abertura de fissuras, e de deformação ao longo do tempo. Na segunda parte, voltada ao dimensionamento de elementos de pavimentos de edifícios, são apresentadas e discutidas as metodologias atualmente empregadas. O método semi-probabilístico é analisado quanto à sua aplicabilidade e, ao final, uma proposta original é apresentada. Em seguida, o método do coeficiente global de segurança é apresentado com maior ênfase, destacando-se os seus pontos favoráveis e desfavoráveis. São apresentados estudos originais envolvendo o comportamento do coeficiente global de segurança sob diversas solicitações de projeto. Palavras-chave: concreto armado; não-linearidade física; elementos finitos. 1 INTRODUÇÃO O meio científico tem desenvolvido, no decorrer dos últimos tempos, importantes ferramentas para o processamento da análise não-linear de elementos estruturais de concreto armado. Em contrapartida, a exploração dessas teorias no campo prático, notadamente no dimensionamento de estruturas correntes (como, por exemplo, um pavimento de edifício), encontra-se pouco explorada. Da mesma forma os códigos modelo, responsáveis pela normalização do cálculo estrutural, não dispõem ainda de procedimentos seguros que auxiliem o dimensionamento considerando-se o comportamento não-linear dos materiais. 1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, rsarzi@sc.usp.br Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, mcorrea@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

84 78 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa ASPECTOS SOBRE A FORMULAÇÃO DOS ELEMENTOS.1 Elemento finito de barra Neste trabalho são empregados os elementos finitos de barra de Euler com seis graus de liberdade (gdl) por nó na representação dos elementos estruturais lineares de pórtico tridimensional, como mostrado na Figura.1. Figura.1 - Elemento de barra de pórtico tridimensional - coordenadas locais. onde: u x, u y, u z - translações segundo os eixos x, y e z, respectivamente; θ x, θ y, θ z - rotações em torno dos eixos x, y e z respectivamente; x - coordenada genérica no domínio do elemento; l i - comprimento do elemento finito. Os elementos são dotados de campos de deslocamentos transversais (u y e u z ) cúbicos, e longitudinais (u x ) lineares em seu domínio: ux( x) = a1 + a x (.1) uy x b b x b x b4 x (.) uz ( x ) = c1 + cx + c3x + c4 x 3 (.3) As rotações θ x são descritas através de um campo linear no domínio do elemento, e as demais são dependentes das derivadas dos deslocamentos transversais: θ x (x) = d 1 + d x (.4) θ y (x) = c +.c 3 x + 3.c 4 x (.5) θ z (x) = b +.b 3 x + 3.b 4 x (.6). Modelos aplicados à análise de vigas Os modelos descritos a seguir são ambos aplicáveis às vigas usuais de pavimento, ou seja, vigas de seção transversal retangular, e tê (T). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

85 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade Seção transversal não estratificada Esse modelo aborda o comportamento mecânico do elemento segundo relações entre o esforço interno de momento fletor e a curvatura. A matriz de rigidez [k i ], e os vetores de forças nodais equivalentes f e de forças internas f, são: ext i T T [ i ] = [ Bi ] [ Ci ][ Bi ] dv = [ Bi ] E.I[ Bi ]. V l i k dx (.7) ext ext { } { } T T f + [ N ] { b } dv + [ N ] { p } 0 f i = concentrada,i i i i i ds (.8) V S l i int T T { } = ([ B ] { σ }) [ B ] { M }. i i i = f dx (.9) V 0 i onde: E - módulo de deformação longitudinal; I - momento de inércia; {M i } - campo de esforço interno de momento fletor do elemento i. i int i.. Seção transversal estratificada Permite a aplicação de modelos constitutivos individualizados à representação dos materiais e das sua inter-relações de interação (Figura.). Figura. - Elemento de viga estratificado; diagrama de deformações normais. A integral de volume que origina a matriz de rigidez é desmembrada em uma integral no comprimento sobre um somatório discreto da contribuição de cada uma das camadas na rigidez da seção transversal. As propriedades físicas e mecânicas das camadas são constantes ao longo da largura do elemento. li m T T T j [ k ] [ B i ] [ C ][ B ] dv = ([ B i ] { Z } [ E ]{ Z }[ B ]) b. dx i V i i = (.10) 0 onde: b = b w, b f - largura da alma e da mesa da viga, respectivamente; j { Zi } = { 1 z 0 0} ; i j= 1 i i i i Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

86 80 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa Os vetores são expressos como: l i m int T { } [ ] { } T T j = B σ dv = [ B ] { Z } { σ } f i i i i i i dx (.11) V 0 j= 1 l i ext ext T { } = { f } + b. [ N ].{ p }. i conc,i f dx (.1) 0 i i.3 Modelos aplicados à análise de pilares A modelagem dos pilares submetidos à flexão oblíqua composta pode se dar através de modelos não-estratificados, segundo diagramas de interação momentonormal-curvatura (EL-METWALLY; EL-SHAHHAT; CHEN (1989)). Outra possibilidade, implementada neste trabalho, emprega a estratificação simultânea da seção transversal segundo suas direções principais (ASSAN (1990))..3.1 Seção transversal filamentada A Figura.3 ilustra uma seção transversal filamentada típica. Figura.3 - Elemento de pilar filamentado; diagrama de tensões normais. Matriz de rigidez de um filamento de concreto T T T j,k [ ] [ B i ] [ C ][ B ] dv [ B i ] { Z } [ E ]{ Z }[ B ] i = i i = V l i k dx (.13) onde: { Z } { z jk, i i y jk, = 1 0 i } jk, y i jk,, z i ; 0 - coordenadas y e z do ponto médio do filamento j,k. i i i i Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

87 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade Matriz de rigidez de um filamento de aço li fs T T s [ ] [ B i ] [ C ][ B ] dv [ B i ] [ C ][ B ] k dx (.14) i = i i = V l l 1 z i 0 yi l l 0 yiz i C i i i ( ) l l l l yi yiz i 0 yi l l s l l onde: [ ] z ( ) = i z E A i 0 Do mesmo modo, escreve-se o vetor de forças internas do elemento: li m j m l k i ms int T T j,k T j,k T s l { } = [ B ] { σ } dv = [ B ] { Z } { σ } + [ B ] [ C ] { σ } i V i i 0 i i i i f (.15) j= 1 k= 1 i 0 i i l= 1 i.4 Elemento finito de placa delgada T3AF Neste trabalho são empregados os elementos T3AF (Figura.4) de formulação livre, anteriormente implementados por CORRÊA (1991). Figura.4 - Elementos triangular T3AF, e quadrilateral - coordenadas locais. O campo dos deslocamentos transversais u z é cúbico, e composto por um conjunto de modos básicos aliado a modos superiores. [ ]{ } [ ]{ } u = N α + N α (.16) z rc rc h h onde: u z - campo dos deslocamentos transversais no domínio do elemento; [ N rc ] = [ ξ1 ξ ξ3 ξ1ξ ξξ3 ξ3ξ1 ] - polinômio completo até o grau que corresponde aos modos rígidos e de deformação constante; N h = ξξ 1 ξ1 ξ ξξ3 ξ ξ3 ξ3ξ1 ξ3 ξ1 - modos superiores; [ ] [ ] ( ) ( ) ( ) { αrc},{ αh} - coeficientes associados; ξ i - coordenadas homogêneas de área..4.1 Seção transversal não estratificada O modelo de momento fletor por curvatura aplicado ao elemento de placa apresenta as mesmas características já comentadas no item referente à barra. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

88 8 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa A matriz de rigidez generalizada [ k α,i ] de um elemento finito i, consiste em T utilizarem-se modos básicos completos ([ k α rc,i ] = [ Brc ] [ C][ Brc ]dv ) em conjunto com modos superiores ([ k α h,i ] = [ Bh ] [ C][ Bh ]dv [ ] V T [ k ] [ ] αrc,i PrcG h T [ G P ] [ k ] T V ) linearmente independentes: k α,i = (.17) h rc αh,i onde: [ h T ] [ rc rc ] [ ][ h ] T G P = B C B dv - submatriz de rigidez que acopla o modo básico ao V [P rc ] = [ kui][ Grc],. superior. Para o elemento T3AF, essa matriz apresenta coeficientes nulos devido à imposição da ortogonalidade em força (CORRÊA (1991));.4. Seção transversal estratificada A Figura.5 ilustra um elemento genérico de concreto armado estratificado. Figura.5 - Elemento de placa estratificado; diagrama de tensões normais. Os conceitos apresentados neste item constituem uma pequena introdução ao assunto. Maiores esclarecimentos sobre as formulações apresentadas podem ser encontrados em CORRÊA (1991). 3 TÓPICOS SOBRE AS IMPLEMENTAÇÕES Neste item são apresentados os modelos efetivamente implementados, bem como os aspectos relevantes dessas implementações no sistema computacional para ANáliSe de Estruturas Reticuladas (ANSER). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

89 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade Modelos para as vigas Para a análise das vigas, foram implementados os modelos não-estratificados propostos pelo CEB-FIP MC90, e por CORRÊA (1991), além do modelo estratificado. 3. Modelos para os pilares Para a análise dos pilares utiliza-se a seção transversal filamentada. Além dos modelos constitutivos para o aço e o concreto (Figura 3.1), são também incorporados os modelos de aderência, e os efeitos do tempo sobre o comportamento. Figura Modelos constitutivos uniaxiais para o concreto e o aço. onde: f y - resistência de escoamento do aço à tração; ε y = f y /E s - deformação específica de escoamento do aço; E s - módulo de deformação longitudinal do aço. Os parâmetros dos modelos podem ser calculados pelo CEB-FIP MC90, ou mesmo pela NBR-6118, de acordo com a classe de resistência de cada material (Tabela 3.1). Já os parâmetros do modelo de dano não são relacionáveis à resistência característica do concreto e, por esse motivo, devem ser obtidos experimentalmente. É de extrema importância para a análise de estruturas de concreto armado o correto posicionamento da linha neutra na seção transversal com o progresso do carregamento. Existem pelo menos duas formas para a abordagem do problema, exemplificadas a seguir para o caso de um elemento de viga submetido à flexão simples, na 1 a iteração do 1 o incremento de um carregamento externo que lhe impõe um estado curvaturas. A cada um dos pontos de integração ou, simplesmente PGs, deverá corresponder um valor de curvatura, e um estado de deformações associado. Admitindose, inicialmente, que a linha neutra corte a seção transversal na metade da sua altura geométrica (Figura 3.), e empregando os modelos constitutivos dos materiais, determinam-se as tensões e as forças internas correspondentes a cada PG. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

90 84 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa Tabela Valores dos parâmetros do concreto e do aço. Parâmetro CEB-FIP Model Code 1990 NBR-6118 ε c1 0,00 0,000 ε cu σ c = 0,5.f c no diagrama do CEB-90 não consta ε m 0,000 não consta f c =f cm f ck + Δf (com Δf 8MPa) f ck + Δf (com Δf 3,5 MPa) f t =f ctm 030,.( fck ) 3 ( MPa) k f ck. para fck 18MPa 10 k. ( 006,. fck + 07, ) para fck > 18MPa 1, sec. re tangular k = 15, sec. " T" f E c 4 cm 15, x10 ( MPa) f 3, 5 ( MPa) E c1 f cm 0, 00 ck + f cm (não consta) 0, 000 f y f yk (sugestão deste autor) f yk (sugestão deste autor) E s MPa MPa α 05, α 07, não consta Figura 3. - Estados de deformação, tensão e forças (1 a iteração do 1 o incremento). Esse vetor de forças internas {N i, M i }, comparado ao vetor das forças externas {N e, M e }, resulta em um vetor de resíduos Ψ={ΔN, ΔM} composto por força normal e momento fletor, já que a força cortante é obtida pelo equilíbrio dos momentos fletores. Como se trata de flexão simples (N=0), o resíduo de normal nos dois PGs deve ser anulado através de um dos procedimentos a seguir (Figura 3.3): a primeira alternativa, consiste em manter a curvatura obtida para a iteração em função do estado de deslocamentos, e movimentar a LN para até que seja satisfeita a condição de N i =0 (uma vez que N e =0). Estabelecida essa condição calcula-se, para a posição atualizada da LN, o vetor de forças internas e o respectivo vetor resíduo Ψ={ΔM} (pois ΔN=0). Obedecendo a esse procedimento são acertadas, independentemente, as posições das linhas neutras nos dois PGs; Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

91 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade a segunda é mais simples, e consiste na reaplicação do vetor resíduo Ψ={ΔN, ΔM} à estrutura. Desse modo, a própria parcela do resíduo referente à normal (ΔN) fica responsável pelo reposicionamento da LN na seção transversal. Figura Ilustração do vetor resíduo sobre o domínio da barra. A primeira apresenta convergência com um menor número de iterações (cerca de 70%) em relação à segunda. No entanto, a sua aplicação à casos de flexão composta (N i 0) se torna mais complexa devido à inclinação da LN com os eixos principais de inércia da seção transversal. A segunda alternativa é mais simples de ser implementada, porém apresenta convergência com maior número de iterações comparativamente à primeira alternativa. A utilização de um campo de deslocamentos longitudinais linear para o elemento finito gera um campo constante de forças normais. Desse modo, ao se realizarem as integrações das tensões normais no domínio do elemento segundo os dois PGs, chega-se a um resíduo de normal equivalente à média obtida nos dois PGs. 1 li T l N N N + N ΔN = [ B ] { σ } dv = i 1 1 i i { ΔN1 ΔN } = 1 V 0 l i (3.1) Esse valor médio, no entanto, é maior, em módulo, que o resíduo verificado no PG menos solicitado (Figura 3.3), o que na prática deve provocar um novo resíduo nessa seção transversal, de sinal contrário ao anterior. Sucessivamente, para o PG menos solicitado, há a inversão do sinal do resíduo a cada iteração, mas sempre convergindo para a solução. Por outro lado, sendo o valor médio menor, em módulo, que o resíduo observado no PG mais solicitado, o mesmo torna-se insuficiente para colocar a LN em uma posição capaz de anular o resíduo de normal nessa seção. Esse PG mais solicitado apresenta uma convergência monotônica para a LN, já que não ocorre a inversão de sinal do resíduo para essa seção transversal. Por esse motivo, a convergência para o elemento e para a própria estrutura torna-se mais dispendiosa em termos do número de iterações comparativamente à primeira alternativa Atualização da matriz de rigidez A análise dos elementos lineares de concreto armado pode ser efetuada de acordo com três procedimentos de solução: matriz de rigidez inicial, método de Newton-Raphson, ou Newton-Raphson modificado. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

92 86 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa 3.3 Modelos para as lajes No campo dos momentos fletores e das curvaturas foram implementados os modelos propostos pelo CEB-FIP MC90 e por CORRÊA (1991), adotando o momento equivalente de von Mises ( M eq =.( M x + M y M x.m y ) +. M xy ). 3 Doravante, especial destaque é dado à implementação do modelo estratificado. As armaduras longitudinais estão submetidas exclusivamente à ação de tensões normais e, como no caso das vigas, respondem à relação constitutiva elastoplástica perfeita. As camadas de concreto simples têm o comportamento mecânico regido por um modelo misto. Para os estados de compressão biaxial, aplica-se o critério de von Mises, que apresenta resultados bastante razoáveis na representação desse comportamento. Para os estados envolvendo a tração, emprega-se o modelo de fissuração dispersa fixa, monitorado pelo critério de Rankine, responsável pelo cut-off da superfície de von Mises (Figura 3.4). A superfície elástica do critério de von Mises (superfície 1) pode ser adotada no limite de 30% da resistência à ruptura (f c ). O encruamento é do tipo positivo isótropo, estabelecido em função da deformação plástica equivalente (strain-hardening), e a evolução (encruamento) das superfícies de carregamento até o limite da ruptura é regida pela parábola de Madrid. A regra da normalidade do vetor fluxo plástico, na qual r( { σ},{ q} ) = fσ, é aqui adotada para o encruamento das duas superfícies. Sua aplicabilidade é mais indicada a materiais que não apresentem variação volumétrica com a plastificação, como é o caso do aço anteriormente à ruptura. No entanto, o emprego dessa regra à descrição do comportamento do concreto tem proporcionado bons resultados (CHEN;CHEN(1975)). Figura Superfícies do modelo implementado: von Mises e Rankine Atualização da matriz de rigidez (von Mises) A parcela da atualização da matriz de rigidez referente às camadas de concreto que satisfazem ao critério de von Mises é obtida através da matriz elástica tangente modificada. d d {} σ {} ε = [ Ξ] () γ ([ Ξ] j+ 1()[ γ P]{ σ} j+ 1 )[ Ξ] j+ 1( γ)[ P]{ σ} j+ T {} σ [ P][ Ξ] j+ 1()[ γ P]{} σ + j+ 1 ( ) j+ 1 j+ 1 j+ 1 j+ 1 β 1 T (3.) Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

93 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade β e θ = 1 k j+ 1. γ (para k variável). 3 T + = k σ P σ 3θ onde: j 1 ( j+ 1 ){} j+ 1[ ]{} j Aspectos sobre a formulação da superfície de Rankine A superfície elástica de Rankine (superfície ) é definida pela resistência à tração do concreto (f t ). FEENSTRA;DE BORST (1995) trazem a formulação completa para o critério de Rankine, incluindo o amolecimento a partir da superfície de ruptura. No entanto, este trabalho apresenta um enfoque peculiar à análise das camadas de concreto submetidas a estados de tração. Admita-se uma camada de concreto solicitada por um determinado estado plano de tensões que gerem, pelo menos, uma tensão principal positiva superior ao limite de ruptura f t, promovendo o surgimento de uma ou mais fraturas do tipo I. Nessas condições, de acordo com a teoria de fissuras dispersas, a placa de concreto perde as características de comportamento bidimensional acoplado (pois ν 0), e passa a se comportar independentemente nas duas direções principais. O comportamento mecânico segundo essas direções passa a ser governado por relações uniaxiais. Esse comportamento pós-fissuração também é previsto por autores cujos trabalhos estão ligados estritamente ao projeto de lajes de concreto armado. Além da hipótese de desacoplamento do comportamento biaxial apresentada no parágrafo anterior, observa-se que a superfície de Rankine é delimitada paralelamente aos eixos principais. Pela regra da normalidade, então, o retorno de um estado de tentativa elástica à superfície de carregamento se dá paralelamente a um desses eixos. No caso de o estado de tentativa exceder o limite f t nas duas direções principais, o retorno se daria ao vértice da superfície de carregamento, o que está de acordo com o proposto por FEENSTRA;DE BORST (1995), com base na generalização de KOITER (1953) 3 apud PROENÇA(1988) para a abordagem do escoamento de pontos com derivada indefinida (Figura 3.5). Figura Retornos à superfície de Rankine (FEENSTRA;DE BORST(1995)). A curva de amolecimento adotada para a superfície de Rankine é idêntica à do modelo uniaxial (Figura 3.1). No entanto essa curva deve agora ser calibrada com base no conceito de energia de fratura. O comprimento equivalente h eq é calculado de acordo com o proposto por FEENSTRA;DE BORST (1996): 3 KOITER,W.T.(1953). Stress-strain relations, uniqueness and variational theorems for elastic-plastic materials with a singular yield surface. Q. Appl. Math. n. 11, p apud PROENÇA(1988). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

94 88 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa h = α h. A (3.3) eq onde: para elementos com campos lineares α = 1 para elementos com campos quadrati cos A - área do elemento finito. h ; A energia de fratura G f utilizada para calcular os parâmetros da curva de amolecimento são os sugeridos pelo CEB-FIP MC90 (Tabela 3.) de acordo com a classe do concreto e o diâmetro máximo do agregado graúdo. Tabela 3. - Energia de fratura G f (N.m/m ). tamanho máximo do agregado classes do concreto (mm) C1 C0 C30 C40 C50 C60 C70 C Cabe observar que a determinação do comprimento equivalente através da expressão 3.3 ameniza, mas não resolve o problema da dependência de malha. Os autores advertem que a expressão tem proporcionado bons resultados para malhas consideradas usuais, o que não é garantido para um refinamento qualquer. Para a análise do vértice entre as duas superfícies, cujas características são similares às do vértice da superfície de Rankine, é aplicada a generalização proposta por Koiter. Como resultado, o retorno de um estado de tentativa inicial pertencente à região delimitada pelos versores normais às duas superfícies concorrentes (Figura 3.6) se dá indiretamente ao vértice. Primeiro, há uma projeção intermediária do estado de tentativa {σ} t sobre a bissetriz do ângulo formado pelas direções dos vetores de fluxo plástico das duas superfícies naquele ponto. Em seguida, esse estado intermediário retorna ao vértice das superfícies de carregamento. Figura Procedimentos de retorno às superfícies - caso do vértice. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

95 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade Atualização da matriz de rigidez (Rankine) Por ocasião da fissuração, o concreto passa a apresentar ortotropia, cuja orientação coincide com a dos eixos principais (1 e ). A cada um dos eixos estão relacionados valores tangentes dos módulos de deformação do concreto (E T,1, E T, e β cr.g T,1 ), obtidos da análise uniaxial de cada direção principal isoladamente (lembrando que, neste caso, ν 0). O ponderador β cr contempla a contribuição do engrenamento dos agregados na transmissão da tensão de cisalhamento na fissura. C ep C = 1 0 C 0 (3.4) 0 0 C33 [ ] ep A matriz de rigidez é atualizada através da matriz [ C] xy relacionada ao sistema de eixos principais da seguinte forma: onde: [ ] ep T ep [ C] [ T] [ C] [ T] devidamente xy = 1 (3.5) ( α) sen ( α) sen( α) cos( α) ( α) cos ( α) sen( α) cos( α) ( α) cos( α).sen( α) cos( α) cos ( α) sen ( α) cos ( ) T = sen ;.sen α - ângulo formado entre o eixo principal 1 e o eixo x (>0 se anti-horário). 4 CONSIDERAÇÃO DOS EFEITOS NO TEMPO O objetivo deste item é a formulação de um modelo simples, mas suficientemente preciso para a análise dos esforços, deslocamentos, tensões e deformações de uma estrutura ao final de um determinado período de tempo. O fenômeno básico para a apresentação das formulações é a fluência à compressão manifestada desde um instante inicial t 0, ao instante de interesse t (t=t 0 +Δt). Nos respectivos instantes, não havendo restrições às deformações específicas do concreto, as deformações podem ser escritas como: σ ε (4.1) c ( t 0 ) = E c ( t 0 ) () t = ε ( t ) + ε ( t, t ) c ε (4.) c c 0 onde: ε c ( t 0 ) - deformação instantânea em t 0 ; ε c () t - deformação no instante t; ( t 0, t) cc 0 ε - fluência específica do concreto entre t 0 e t; cc σ c - tensão de compressão no concreto (constante entre t 0 e t); E c ( t 0 ) - módulo de deformação longitudinal do concreto em t 0. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

96 90 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa A deformação do concreto no instante t também pode ser definida como a superposição da fluência ocorrida entre t 0 e t com a deformação inicial em t 0, empregando-se o coeficiente de fluência: onde: ( t 0, t) c () t = ε ( t ).1 [ + ϕ( t, t )] ε (4.3) c 0 0 ϕ - relação entre a deformação por fluência e a deformação inicial. A implementação dos efeitos do tempo tem como base os parâmetros do modelo de fluência proposto pelo CEB-FIP MC Fluência Retomando a expressão 4.3, a hipótese para o instante t 0 =8 dias, leva a um coeficiente de fluência ( ϕ 8 ) calculado pelo CEB-FIP MC90 como: ( t, t) = ϕ β ( t ) ϕ (4.4) c t 0 onde: = ϕ. β( f ). β( ) ϕ ; 0 UR cj t 0 UR 1 ϕ UR = ; 1 0,15. ( h 0 )3 16,8 β ( f cj ) = ; f cj 1 β ( t 0 ) = ; 0,1 + ( t ) 0, 0f t T - idade inicial fictícia; f cj - resistência média do concreto à compressão, prevista para os j dias; h 0 - espessura fictícia da peça Aplicação aos elementos lineares A metodologia empregada neste trabalho baseia-se na decalagem do diagrama tensão-deformação do concreto entre os instantes t 0 e t. Com a hipótese da independência entre o coeficiente de fluência (ϕ) e a respectiva tensão no concreto (σ c ), FUSCO,P.B.(1981) sugere que, por efeito da fluência, o diagrama tensão-deformação do concreto deva sofrer uma transformação afim, de razão ϕ, paralelamente ao eixo de ε c (Figura 4.1). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

97 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade Figura Influência da fluência sobre o modelo do concreto Aplicação aos elementos de placa Para a análise dos elementos de placa submetidos aos efeitos da fluência, foram mantidas as mesmas premissas adotadas para os elementos lineares. As relações constitutivas que exprimem os comportamentos típicos de estado plano (tração-tração, tração-compressão e compressão-compressão), têm apenas alterada a rigidez no que concerne ao módulo de deformação longitudinal. Os estados desacoplados (tração+tração e tração+compressão) seguem as mesmas leis constitutivas uniaxiais apresentadas no item ASPECTOS SOBRE O DIMENSIONAMENTO 5.1 Introdução O dimensionamento de estruturas empregando-se modelos constitutivos mais representativos para os materiais tem sido, nos últimos anos, objeto de grande interesse dentre os órgãos internacionais de regulamentação. De acordo com o CEB: Bulletin d Information n o 7,... dados teóricos e experimentais atualmente demonstram que a hipótese da análise elástico-linear pode se apresentar tanto a favor como contra a segurança. Esse aspecto é inaceitável para a execução de um projeto seguro e econômico. O objetivo desta parte do trabalho é o de apresentar o estado da arte da análise não-linear física aplicada ao projeto de estruturas, descrevendo as principais metodologias cujo emprego ao dimensionamento tem sido estudado. Ao final, são apresentados exemplos práticos envolvendo estruturais isolados. 5. Métodos disponíveis Atualmente, são duas as correntes de pensamento que fundamentam as metodologias atualmente em pauta. A primeira delas, liderada pelo pesquisador Giorgio Macchi, defende a continuidade do método semi-probabilístico, apesar de não descartar a necessidade de algumas adaptações necessárias. A segunda, tendo à frente Gert König e Josef Eibl, adota uma postura revolucionária, e defende o conceito de um coeficiente de segurança global relativo aos materiais. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

98 9 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa 5..1 Método semi-probabilístico Os aspectos que dificultam a aplicação e, de certo modo, o entendimento da lógica implícita no método, estão relatados a seguir Composição do carregamento Uma primeira possibilidade de consideração do carregamento surge da analogia com a análise de estruturas considerando-se a não-linearidade geométrica (NLG), onde é comum o particionamento de γ f (Figura 5.1). Figura Aspecto da majoração do esforço parcial de projeto (M d,parcial ). Aplicado à análise de estruturas cujos comportamentos atendam a uma lei constitutiva limitada por um valor último, esse procedimento pode levar ao estado ilustrado na Figura 5.1. Supondo que, ao final da análise a seção esteja submetida a um esforço suficientemente próximo a M u, tal que a pós multiplicação desse esforço por γ f3 possa conduzir a M>M u, significa admitir que a capacidade resistente pré-estabelecida para a seção é incompatível com o valor do carregamento aplicado. Esse problema, já observado por OLIVEIRA (1997), gera um procedimento iterativo na busca da convergência entre o momento fletor de projeto (M d ), e o valor da capacidade última resistente arbitrada para a seção transversal (M d,u ). A opção mais plausível, então, parece ser a aplicação do carregamento total de projeto (majorado por γ f ) para a obtenção dos esforços, o que eliminaria o problema da possível superação de M d,u Valores para as propriedades dos materiais Valores característicos, ou de projeto, envolvem aspectos probabilísticos ligados à segurança da estrutura no ELU, e por isso não exprimem o comportamento em serviço esperado. No ELU, no entanto, de acordo com o método semi-probabilístico, as características mecânicas dos materiais devem ser minoradas pelos coeficientes de segurança. Isso pode levar, na maioria dos casos, ao mesmo problema assinalado na Figura 5. pois, ao final da análise respeitando-se os valores dos esforços obtidos com as propriedades médias dos materiais, estes devem ser minorados pelos coeficientes de segurança. Por outro lado, a adoção das propriedades de projeto dos materiais em toda a estrutura pode conduzir a resultados pouco confiáveis e fisicamente distorcidos, uma vez que a análise contemplaria uma estrutura mais deformável que a estrutura real, prejudicando o aspecto da redistribuição de esforços. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

99 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade Figura 5. - Aspecto da minoração do esforço característico (M k ) Propostas para o dimensionamento Ao definir as propriedades de projeto do concreto altera-se, além da capacidade resistente teórica (f ck f cd ), também a relação constitutiva do material. Isso inviabiliza a caracterização de uma relação constitutiva que seja capaz de ambos: representar coerentemente as redistribuições de esforços (de acordo com as propriedades médias), e ainda estar limitada a um valor convencional (f cd ). A definição de uma relação constitutiva para o aço é menos conflitante, haja visto a invariabilidade (mesmo que convencional) de seu módulo de deformação longitudinal (E s ) com a resistência ao escoamento (Figura 5.3). Figura Diagrama tensão-deformação para o aço CA-50ª Proposta de alteração da rigidez inicial Essa proposta, apresentada por CÂMARA et al. (1994) e depois adotada por SANTOS (1997) mantém, para o aço, o valor de projeto convencional obtido com γ s =1,15, mas promove uma modificação da lei constitutiva do concreto. O módulo de elasticidade, calculado na origem com base no valor médio da resistência, é afetado por um fator γ c =1,0 como preconiza o CEB-FIP MC90 consoante à determinação dos deslocamentos. A tensão de ruptura é a de projeto convencional (f cd =f ck / γ c, com γ c =1,50), como mostra a Figura 5.4 devidamente adaptada ao γ c =1,40. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

100 94 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa Proposta da limitação da tensão máxima Neste trabalho, propõe-se a composição de duas relações constitutivas, ou seja, uma lei baseada no valor médio de resistência até que seja atingida a tensão de projeto (f cd ). Em seguida, a curva tensão-deformação segundo os valores médios é substituída por uma relação elastoplástica perfeita limitada (Figura 5.4). 4,0 3,5 3,0 CEB-FIP MC90 - val. médios CEB-FIP MC90 - val. de projeto proposta deste trabalho SANTOS (1997),5,0 1,5 tensão (kn/cm ) 1,0 0,5 deform ação 0,0 0,000 0,001 0,00 0,003 0,004 0,005 Figura Diagramas para o concreto C-30 (CEB-FIP MC90). 5.. Método dos coeficientes globais A proposta de emprego do método dos coeficientes globais tem o objetivo, segundo o texto do CEB: Bulletin d Information n o 39, de estabelecer uma metodologia consistente que seja aplicável a todo tipo de modelo ou de estrutura. O conceito de coeficiente global (γ gl ) doravante empregado quer referir-se apenas à parcela da segurança relativa à resistência da estrutura, de modo que: (.Q + γ.g) R γ q g (5.1) γ gl onde: R é a capacidade resistente da estrutura empregando-se as propriedades médias dos materiais. A maior discussão quanto ao emprego do método restringe-se à definição do valor do coeficiente global a ser empregado. Se as propriedades médias dos materiais forem definidas simplificadamente como: f f cm ym = 1,1.f = 1,1.f ck yk (5.) pode-se mostrar que o γ gl para uma seção transversal de concreto armado situa-se, aproximadamente, entre 1,65 (quando a ruptura se dá pela armadura de flexão) e 1,650 (quando a ruptura se dá pelo concreto), se for empregado γ c =1,5. No entanto, quando a Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

101 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade ruptura da seção se dá pela concomitância dos dois modos, não existe uma descrição para o coeficiente (Figura 5.5). M pl/m pl,d 1,650 1,65? ρ ruptura pelo aço ruptura pelo concreto Figura Diagrama idealizado para o γ gl esperado para uma estrutura de concreto armado submetida à flexão. Carregamento proporcional. onde: M pl momento de plastificação obtido com os valores médios dos materiais; M pl,d momento de plastificação obtido com as propriedades de projeto. Esses valores, apresentados por EIBL;SCHMIDT-HURTIENNE (1997), também podem ser caracterizados analiticamente: aço concreto f yk f ck f yd = ; f ym = 1,10. f yk f cd = ; f cm = 1,10. f ck (5.3) 1,15 1,5 f ym f cm onde: = 1,10.1,15 = 1, 65 = 1,10.1,5 = 1, 650 f f yd De um modo geral, as vigas são projetadas para um ELU definido pela deformação excessiva das armaduras de flexão, enquanto que os pilares, preferencialmente, pelo esmagamento do concreto. Nessa linha de raciocínio, LOURENÇO et al. (199) propõem uma análise global segmentada, de acordo com o modo de ruptura: γ gl = 1,5 se a ruptura for pelo concreto (1,5 pois os autores propõem f cm =f ck ), e γ gl = 1,15 para a ruptura por deformação excessiva da armadura. A solução encontrada pelos membros do CEB Task Group.1 Non-linear design methods and safety concepts, e sobre a qual pesam as maiores críticas, foi a de adaptar o valor da resistência média do concreto (f cm ) de acordo com pesquisas finalizadas e em andamento na Universidade de Leipzig (KÖNIG et al. (1997) 4 apud CEB: Bulletin d Information n o 39). Segundo os autores, o valor da resistência média do concreto, medido in-situ é de 0,85 do respectivo valor característico medido em laboratório. f cm = 0,85. f ck (5.4) Uma vez aceita a validade da relação 5.4, os coeficientes referidos a ambos os tipos de ruptura passam a ser bastante próximos e, para efeito prático, iguais a 1,7. aço concreto cd 4 KÖNIG,G.;SHOUKOV,D.;JUNGWIRTH,F.(1997). Sichere beton production für stahlbetontragwerke, Intermediate report, March. apud CEB: Bulletin d Information n o 39. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

102 96 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa f f = 1,15 f = (5.5) 1,5 yk ck yd = ; f ym 1,10. f yk f cd ; f cm = 0,85. f ck f ym f cm onde: = 1,10.1,15 = 1, 65 = 0,85.1,5 = 1, 75 f f yd A adaptação do método aos coeficientes indicados pelos códigos de normalização brasileiros é apresentada a seguir. O coeficiente de segurança aplicado ao aço é γ s =1,15. O coeficiente aplicado ao concreto, de acordo com a NBR-8681/84 deve valer γ c =1,4, o que leva a um valor de ruptura pelo concreto de: f f cm cd = 0,85.1,4 = 1,19 (5.6) Se o objetivo final é o de manter fixo o coeficiente de segurança, quer seja a ruptura pelo concreto ou pelo aço, deve-se agora alterar o valor médio para o escoamento do aço, de modo a se obter um coeficiente de 1,19. 1,19 f ym =.f ck = 1,035. f ck (5.7) 1,15 A seguir, são realizadas uma série de aferições com o objetivo de explorar melhor as respostas mecânicas de seções transversais, agora empregando-se γ c =1,4. A amplitude dos estudos constam da Tabela 5.3, e os resultados apresentados, convém ressaltar, dão apenas um indicativo sobre o comportamento estrutural. Tabela Resumo dos casos analisados com γ c =1,4. cd Os resultados obtidos são apresentados nas figuras a seguir. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

103 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade ,00 1,190 sem armadura de compressão 1,180 1,170 1,160 Mpl / Mpl,d 1,150 1,140 1,130 1,10 C-0 C-5 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 1,110 1,100 1,090 0,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Figura γ gl. FSr-01 a FSr-07. 1,0 1,19 armadura de compressão (porta estribos: φ 6,3 mm): ρ' = 0,05% 1,18 1,17 1,16 Mpl / Mpl,d 1,15 1,14 1,13 1,1 1,11 C-0 C-5 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 1,10 1,09 0,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Figura γ gl. FSr-08 a FSr-14. 1,0 1,19 armadura de compressão: ρ' = 0,5 % 1,18 1,17 1,16 Mpl / Mpl,d 1,15 1,14 1,13 1,1 C-0 C-5 C-30 1,11 C-35 C-40 1,10 C-45 C-50 1,09 0,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Figura γ gl. FSr-15 a FSr-1. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

104 98 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa 1,0 1,19 armadura de compressão: ρ' = 0,50 % 1,18 Mpl / Mpl,d 1,17 1,16 1,15 1,14 C-0 C-5 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 1,13 1,1 1,11 1,10 1,09 0,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Figura γ gl. FSr- a FSr-8. 1,0 sem armadura de compressão 1,19 1,18 Mpl / Mpl,d 1,17 1,16 C-0 C-5 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 1,15 1,14 1,13 0,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Figura γ gl. FSt-01 a FSt-07. 1,0 armadura de compressão mínima: ρ'=0,100 a 0,197% 1,19 1,18 Mpl / Mpl,d 1,17 1,16 1,15 C-0 C-5 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 1,14 1,13 0,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Figura γ gl. FSt-08 a FSt-14. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

105 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade ,0 armadura de compressão: ρ'=0,50% 1,19 Mpl / Mpl,d 1,18 1,17 1,16 C-0 C-5 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 1,15 1,14 1,13 0,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Figura γ gl. FSt-15 a FSt-1. 1,0 armadura simétrica: ρ' = ρ Mpl / Mpl,d 1,19 1,18 C-0 C-5 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 1,17 1,16 0,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Figura γ gl. FNC, e=10 cm. 1,0 1,19 armadura simétrica: ρ' = ρ C-0 C-5 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 Mpl / Mpl,d 1,18 1,17 1,16 0,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Figura γ gl. FNC, e=30 cm. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

106 100 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa 1,0 armadura simétrica: ρ' = ρ 1,19 C-0 C-5 C-30 C-35 C-40 C-45 C-50 Mpl / Mpl,d 1,18 1,17 1,16 0,000 0,005 0,010 0,015 0,00 0,05 0,030 0,035 0,040 taxa de armadura - ρ Figura γ gl. FNC, e=40 cm. De um modo geral, os diagramas indicam que o emprego do coeficiente global de segurança relativo aos materiais apresenta um bom potencial a ser explorado, principalmente se resolvidos alguns dos problemas aqui observados. As seções submetidas à flexão simples mostraram-se bastante sensíveis à introdução de armadura negativa, revelando-se, para as seções retangulares, o menor coeficiente γ gl (1,09 para ρ =0,5%). Nas seções T submetidas à flexão simples, o efeito da introdução da armadura foi menos intenso, e o coeficiente γ gl apresentou um valor mínimo igual a 1,13 para ρ =0,5%. As seções sob flexão normal composta apresentaram tanto maior variabilidade do coeficiente γ gl quanto maior a excentricidade da força normal. Há que se ressaltar que, em todos os casos estudados, houve uma maior estabilidade de γ gl à medida em foram empregados concretos de classes superiores. O comportamento descrito para γ gl, bem como as conclusões parciais, são aplicáveis tão somente à análise de seções ou de estruturas isostáticas cujo comportamento no ELU coincide com o de uma seção transversal típica. O emprego dessas idéias ao dimensionamento de estruturas hiperestáticas, onde a redistribuição dos esforços seja possível, pode levar a um comportamento ainda melhor para γ gl, mas que deve ser corretamente qualificado e quantificado através de análises de confiabilidade estrutural. HENRIQUES (1998) analisa dois casos de vigas de concreto armado sob o enfoque da confiabilidade empregando o método de simulação de Monte Carlo: viga biengastada e viga apoiada-engastada. Foram consideradas como variáveis aleatórias as resistências à compressão do concreto e de escoamento do aço à tração, além da altura da viga (podendo variar até 0,7 cm). A resistência média à compressão do concreto foi considerada de acordo com a CEB-FIP MC90, ou seja: f cm =f ck +8,0 MPa. Os resultados, para diversas classes de concreto, e diversas taxas de armadura, mostram que a relação entre o coeficiente global (referido aos materiais) para a estrutura (γ gl,est. ) e para a seção (γ gl ), dentre os casos analisados, é igual ou superior a 1 (parâmetro a). Um resumo das curvas propostas por Henriques, relativamente à profundidade da linha neutra (x/d) na seção onde ocorre o ELU, é apresentado na Figura Nota-se que o parâmetro a supera a unidade para x/d entre 0,35 e 0,5. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

107 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade Figura Relação a = γ gl,est. / γ gl Particularização às lajes A natureza tensorial dos esforços observados nas lajes, que acabam por impossibilitar a caraterização de um comportamento mecânico típico de seção transversal, dificulta o avanço no estudo do coeficiente global de segurança relativo aos materiais para esse elemento estrutural. Um estudo (determinístico) sobre a segurança envolvendo as lajes de concreto armado deveria contemplar uma gama razoável de variáveis fartamente combinadas entre si, destacando-se: relação entre os lados, condições de apoio, espessura, resistência característica do concreto e do aço, e taxas de armadura. Obviamente, um estudo com essas características consumiria um período de tempo tal que, por si só, inviabilizaria a sua inclusão neste trabalho. O que se faz, paleativamente, com o objetivo único de mostrar a aplicabilidade do método também com relação às lajes, é estabelecer alguns valores para γ gl relacionados a uma laje quadrada (400cm x 400 cm) apoiada nos quatro lados. O concreto empregado é o C-30; o aço é o CA-50A. Foram empregadas apenas armaduras positivas, com as mesmas praticadas nas direções x e y. 1,36 1,35 1,34 M pl / M pl,d 1,33 1,3 1,31 1,30 1,9 0,000 0,001 0,00 0,003 0,004 0,005 0,006 0,007 0,008 0,009 0,010 taxa de armadura - ρ Figura γ gl para uma laje quadrada apoiada. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

108 10 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa Os resultados retratam um bom comportamento de γ gl para a estrutura analisada (laje apoiada). O menor valor observado, de 1,93 (para uma taxa ρ=1,0%), é cerca de 5% inferior ao maior deles: 1,350 para ρ=ρ min =0,116%. 5.3 Exemplos de aplicação Os exemplos são baseados nas características mecânicas dos materiais: concreto C-30 (f ck =30 MPa); e aço CA-50A, cujas propriedades médias e de projeto constam da Tabela 5.4. Para o aço, os valores médios de resistência à tração e à compressão são os próprios valores característicos, uma vez que essas propriedades apresentam pequena variabilidade. O módulo de elasticidade pode ser considerado invariável. Os valores relativos ao concreto são obtidos através das relações do CEB-FIP MC90 sendo que, para o valor da resistência à tração característica (f ctk ), adota-se a média entre os valores superior e inferior indicados, o que na prática corresponde à própria resistência à tração média (f ctm ). Tabela Características mecânicas dos materiais empregados nos exemplos. concreto aço propr. módulo de def. longitudinal E c =3355 kn/cm E s =1000 kn/cm médias resistência à compressão f cm =3,80 kn/cm f yk =50,00 kn/cm resistência à tração f ctm =0,9 kn/cm f yk =50,00 kn/cm propr. módulo de def. longitudinal E c =3355 kn/cm E s =1000 kn/cm de resistência à compressão f cd =1,8 kn/cm f yd =43,48 kn/cm projeto resistência à tração f ctd =0,1 kn/cm f yd =43,48 kn/cm O carregamento é composto apenas de cargas uniformemente distribuídas: uma carga permanente g=5,0 kn/m, e uma sobrecarga q=5,0 kn/m. ELS (CQP): F d,serv = (1,0x5,0+0,x5,0) kn/m F d,serv = 6,0 kn/m (5.8) ELS (CR): F d,serv = (1,0x5,0+1,0x5,0) kn/m F d,serv = 30,0 kn/m (5.9) ELU (última): F d,u = 1,4x5,0+1,4x5,0 kn/m F d,u = 4,0 kn/m (5.10) Nestes exemplos, a porcentagem de plastificação imposta estará sempre referida à porcentagem de diminuição da armadura de flexão tracionada Viga apoiada-engastada O segundo exemplo refere-se à viga apresentada na Figura Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

109 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade Figura Viga apoiada-engastada - exemplo. a) dimensiona-se a estrutura em regime elástico-linear atendendo ao ELU entre os domínios 3 e 4. M -, d = kn.cm d=44 cm; h=47 cm; A s =13,19 cm ; A s =0,6 cm M +, d = kn.cm d=44 cm; h=47 cm; A s =0,6 cm ; A s =6,8 cm b) determina-se a flecha instantânea e, principalmente, a flecha no tempo infinito, considerando-se: a armadura do item a); propriedades médias dos materiais; carregamento de serviço (combinação quase-permanente) por simplicidade, ϕ 8 =,5 (adotado). f 0 = 0,77 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento) f = 1,3 cm < l/50 (=,4 cm) c) para a combinação última normal, utilizando o diagrama tensão-deformação para o concreto proposto na Figura 5.4 (diagrama com as propriedades médias, seccionado no valor de f cd ) e as propriedades de projeto do aço, verificam-se as deformações máximas (nas seções críticas): seção de M + máx : concreto: ε c min = -0,00077 ; aço: ε s max = 0,00189 seção de M - máx : concreto: ε c min = -0,0010 ; aço: ε s max = 0,008 Como ambas as deformações estão dentro do espectro permitido para o ELU, admite-se que a estrutura esteja segura para a configuração adotada. A NB1-revisão 000 traz uma proposta para a verificação de possíveis redistribuições impostas à estrutura. Reduzindo-se um momento fletor de M para δm em uma determinada seção transversal, a relação entre o coeficiente de redistribuição δ e a posição da LN nessa seção (x/d), para o momento reduzido δm, é dada por: ( x / d) ( x / d) δ 0,44 + 1,5. para concretos com f ck 35 MPa (5.11) δ 0,56 + 1,5. para concretos com f ck > 35 MPa (5.1) O coeficiente de redistribuição deve, ainda, obedecer aos seguintes limites: δ 0,75 em qualquer caso; δ 0,90 para estruturas de nós móveis. E a posição da linha neutra deve, no ELU, satisfazer aos seguintes limites: x/d 0,50 para concretos com f ck 35 MPa Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

110 104 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa x/d 0,40 para concretos com f ck > 35 MPa Supondo que a seção do engaste esteja solicitada no estádio III, a profundidade da LN deve valer: x=1,40 cm, ou seja, x/d=0,486. Essa posição de LN satisfaz aos quesitos mínimos mas, de acordo com a expressão 5.11, não permite redistribuições, pois δ = 1,05. Estabelecendo uma a análise não-linear, torna-se possível a imposição de plastificações à viga quantificando-se, coerentemente, as redistribuições decorrentes. d) como foi dimensionada com os esforços obtidos em regime elástico-linear, a viga deve apresentar reservas quanto aos aspectos de flechas e de deformações. Isso pode viabilizar a imposição de plastificações em determinadas regiões, buscando um melhor aproveitamento das características geométricas e mecânicas da viga. Com esse objetivo, propõe-se uma plastificação de 18% (o que eqüivaleria a uma redução de 1% no momento de cálculo segundo as tabelas de dimensionamento) para a seção do engaste, mantendo-se a armadura da região de momento positivo. M d - = kn.cm d=44 cm; h=47 cm; A s, M d + A s, =0,6 cm ; A s =9,30 cm =10,81 cm ; A s =0,6 cm Com essa nova distribuição de armaduras, retorna-se ao item b) do procedimento de verificação, agora denominado b1) (primeira iteração): b1) f 0 = 0,67 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento) f = 1,11 cm < l/50 (=,4 cm) c1) seção de M + máx : concreto: ε c min = -0,00086 ; aço: ε s max = 0,0007 seção de M - máx : concreto: ε c min = -0,00331 ; aço: ε s max = 0,00391 Sugere-se um decréscimo de aproximadamente 37% na taxa de armadura, ou de 9% em relação ao momento fletor (de acordo com a NB1-revisão 000) para a região do engaste, que passaria a estar submetida à ação de um momento fletor M d =13387 kn.cm (ΔM d = =-5513 kn.cm). Essa plastificação acresce o momento fletor máximo positivo de aproximadamente ΔM d /=756,5 kn.cm. M d - = kn.cm d=44 cm; h=47 cm; A s, M d + = kn.cm d=44 cm; h=47 cm; A s, =8, cm ;A s =0,6 cm ; =0,6 cm ;A s =8, cm ; Como procedido anteriormente, retorna-se ao item b): b) f 0 = 0,76 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento) f = 1,1 cm < l/50 (=,4 cm) c) seção de M + máx : concreto: ε c min = -0,00088 ; aço: ε s max = 0,0017 seção de M - máx : concreto: ε c min = -0,00304 ; aço: ε s max = 0,0045 As aberturas de fissuras para as três opções analisadas (considerando-se Φ 1 mm), e para as regiões do vão e do engaste, constam da Tabela 5.5. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

111 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade Tabela Abertura de fissuras para a viga apoiada-engastada (mm). opção w r - vão w r - engaste inicial 0,16 0,17 1 0,13 0,17 0,15 0,1 As aberturas das fissuras apresentaram-se com diferentes valores para os três casos analisados. De um modo geral, a pior condição foi observada para a opção na região do engaste, que apresentou uma abertura de 0,1 mm. Os resultados para o coeficiente global γ gl, apresentados na Tabela 5.6, confirmam a armadura inicial como uma das possíveis ao projeto seguro, e habilitam as demais opções como sendo seguras. Tabela Valores de γ gl para a viga apoiada-engastada. opção armaduras (cm ) carregamento carregamento γ gl A s A s caract. médias caract. de proj. inicial 6,8 13,19 55,0 kn/m 43,6 kn/m 1,6 1 9,30 10,81 63,0 kn/m 45, kn/m 1,39 8, 8, 58,1 kn/m 41,6 kn/m 1, Laje simplesmente apoiada A laje empregada neste exemplo é aquela apresentada na Figura Figura Laje apoiada nos quatro lados - exemplo 4. Supondo ser uma laje de pavimento usual de concreto armado, o carregamento convencional, bem como a combinações empregadas para o dimensionamento no ELU e a verificação dos ELS devem ser: g:,5 kn/cm (peso próprio, supondo h=10 cm); 1,0 kn/cm (revestimento); q: 3,0 kn/cm (sobrecarga). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

112 106 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa ELU: 1,4x(,5+1,0)+1,4x3,0 = 9,1 kn/m ; ELS: 1,0x(,5+1,0)+0,x3,0 = 4,1 kn/m. O pré-dimensionamento, a partir dos esforços obtidos a partir das hipóteses da elasticidade, é feito de acordo com as tabelas de PINHEIRO (1996). M x = M y = 6,15 kn.m/m; A sx = A sy = 1,6 cm /m. Considerando essa configuração de armaduras, as flechas calculadas nos instantes t 0 e t= foram (considerando-se, simplificadamente, ϕ 8 =,5): f 0 = 0,15 cm (flecha no instante de aplicação do carregamento) f = 0,50 cm < l/50 (=,3 cm) O dimensionamento considerando-se a espessura h=10 cm leva à uma taxa de armadura pequena, o que sugere o mau aproveitamento do concreto. Alternativamente, adota-se uma nova espessura para a laje, agora de 9 cm, o que significa uma altura útil d=8,1 cm. As novas armaduras são: A sx = A sy = 1,8 cm /m. Para a nova configuração, os deslocamentos calculados são de: f 0 = 0,0 cm f = 0,66 cm Para as duas taxas de armadura, foram calculados os coeficientes globais γ gl, que ficaram em 1,31 para a opção h=10 cm, e 1,30 para h=9,0 cm. 6 CONCLUSÃO Os elementos finitos, bem como os modelos constitutivos empregados na descrição do comportamento mecânico dos elementos estruturais, mostraram-se suficientemente precisos para a representação dos estados limites último e de serviço abordados neste trabalho. Devido à maior capacidade de representação, os elementos finitos estratificados receberam maior ênfase em detrimento daqueles formulados no campo dos momentos fletores e das curvaturas (elementos não-estratificados). A obtenção de uma metodologia segura para o dimensionamento considerandose as leis constitutivas não-lineares ainda está por ser consolidada. A metodologia semiprobabilística, ou mesmo a do coeficiente global, são ainda passíveis de duras críticas, e necessitam ser melhor estudadas antes que o seu uso prático seja estabelecido. O futuro dessa área aponta para a confiabilidade estrutural como ferramenta para a viabilização de uma metodologia determinística segura. 7 REFERÊNCIAS ASSAN, A. E. (1990). Vigas de concreto armado com não linearidade física. In: CONGRESSO IBERO LATINO-AMERICANO SOBRE MÉTODOS COMPUTACIONAIS PARA ENGENHARIA, Rio de Janeiro. v., p Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

113 Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1978). NB-1 - Projeto e execução de obras de concreto armado. Rio de Janeiro. ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS (1984). NBR Ações e segurança nas estruturas. Rio de Janeiro. CAMARA, J; VINAGRE, J.; PINTO, A. (1994). Metodologia para verificação da segurança em análises não-lineares. In: ENCONTRO NACIONAL - BETÃO ESTRUTURAL, 1994, Porto, Portugal, p CEB-FIP Model code final draft. Bulletin D Information, n , CEB-FIP. Bulletin D Information, n. 9 New developments in non-linear analysis methods, CEB-FIP. Bulletin D Information, n. 39 Non-linear analysis / Safety evaluation and monitoring, CHEN, A. C. T.; CHEN, W. F. (1975). Constitutive relations for concrete. Journal of the Engineering Mechanics Division, v.101. CORRÊA, M. R. S. (1991). Aperfeiçoamento de modelos usualmente empregados no projeto de sistemas estruturais de edifícios. São Carlos. Tese (Doutorado) Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo. EIBL, J.; SCHMIDT-HURTIENNE, B. (1997). General outline of a new safety format, In: CEB-FIP Bulletin D Information, n. 9 New developments in non-linear analysis methods, p EL-METWALLY, S. E.; EL SHAHHAT, A. M.; CHEN, W. F. (1989). 3-D Nonlinear analysis of R/C slender columns. Computers & Structures, v.37, n. 5, p FEENSTRA, P. H.; DE BORST, R.(1995). A plasticity model and algorithm for mode-i cracking in concrete. International Journal for Numerical Methods in Engineering, v.38, p FEENSTRA, P. H.; DE BORST, R.(1996). A composite plasticity model for concrete. International Journal of Solids and Structures, v.33, n.5, p FUSCO, P. B. (1986). Estruturas de concreto: solicitações normais..ed. Rio de Janeiro: Guanabara Dois. HENRIQUES, A. A. R. (1998). Aplicação de novos conceitos de segurança no dimensionamento do betão estrutural. Porto, Portugal. Tese (Doutorado) - Engenharia Civil - Universidade do Porto, Portugal. KOITER, W. T. (1953). Stress-strain relations, uniqueness and variational theorems for elastic-plastic materials with a singular yield surface. Q. Appl. Math., n. 11, p LOURENÇO, P. B.; PÓVOAS, R. H. C. F.; FIGUEIRAS, J. A. (199). Compared study of nonlinear finite element analysis and the strut-and-tie model for concrete structures. A designer perspective. In: INTERNATIONAL CONFERENCE ON EDUCATION, PRACTICE AND PROMOTION OF COMPUTER METHODS IN ENGINEERING USING SMALL COMPUTERS. 4., Proceedings... China, p Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

114 108 Richard Sarzi Oliveira & Márcio Roberto Silva Corrêa OLIVEIRA, R. S. (1997). Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração da não-linearidade física. São Carlos. Dissertação (Mestrado) Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo. OLIVEIRA, R. S. (001). Análise de pavimentos de edifícios de concreto armado com a consideração de não-linearidade física: modelagem e metodologia de aplicação a projetos. São Carlos. Tese (Doutorado) Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo. PINHEIRO, L. M. (1996). Concreto armado: tabelas e ábacos. São Carlos: Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo PROENÇA, S. P. B. (1988). Sobre modelos matemáticos do comportamento não linear do concreto: análise crítica e contribuições. São Carlos. Tese (Doutorado) Escola de Engenharia de São Carlos Universidade de São Paulo. SANTOS, J. C. V. N. (1997). Avaliação dos efeitos de a. ordem em edifícios de betão armado. Lisboa, Portugal. Tese (Doutorado) - Engenharia Civil - Universidade Técnica de Lisboa, Portugal. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

115 ISSN AVALIAÇÃO DA RIGIDEZ ROTACIONAL EM ESTRUTURAS PLANAS DE MADEIRA CONCEBIDAS POR ELEMENTOS UNIDIMENSIONAIS COM DOIS PARAFUSOS POR NÓ André Luis Christoforo 1 & Francisco Antonio Rocco Lahr Resumo Neste trabalho, é desenvolvido um programa através do método dos deslocamentos, em que o mesmo leva em consideração a influência do efeito da semi-rigidez rotacional nas ligações formadas por dois parafusos sobre o comportamento mecânico da estrutura. Esta configuração de parafusos é devidamente escolhida em função de sua corrente aplicação em estruturas de madeira, principalmente em estruturas auxiliares ou de cobertura. Vários exemplos de estruturas típicas de cobertura são executados considerando-se as três formas que o presente programa analisa, evidenciando-se a importância do comportamento semi-rígido sobre as ligações. Palavras-chave: ligações semi-rígidas; método dos deslocamentos; estruturas de madeira. 1 INTRODUÇÃO As ligações são os elementos responsáveis pela redistribuição dos esforços entre os elementos estruturais. Na engenharia, foram elaborados alguns modelos teóricos ideais de cálculo para as ligações, baseando-se em algumas hipóteses simplificadoras de cálculo, como a que considera que os esforços solicitantes são transmitidos integralmente entre os elementos, evidenciando-se o comportamento teoricamente indeformável das ligações. Estes modelos ideais ou tradicionais são: a rótula e o engaste perfeito. Com o advento da análise experimental, o engenheiro descobriu que não só os materias empregados na construção da ligação eram responsáveis pela sua rigidez, em virtude desta variar de acordo com a disposição dos mesmos. De acordo com RIBEIRO (1997) o estudo das ligações teve início na Inglaterra no início do século XIX, com WILSON & MOORE, onde foram ensaiadas ligações rebitadas do tipo viga-coluna, com a finalidade de analisar o seu comportamento considerando a relação momento-rotação. 1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas, frocco@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

116 110 André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr Um trabalho de suma importância foi o de JOHNSTON & MOUNT (194), que analisaram pórticos com ligações semi-rígidas. Posteriormente, SHOROCHNIKOFF (1950) verificou a influência das forças por ação do vento em ligações semi-rígidas para o mesmo tipo de estrutura. LOTHERS (1951) propôs equações para representar a restrição elástica de ligações semi-rígidas. FRYE & MORRIS (1975) utilizaram processos iterativos para obter o comportamento das ligações. KRISHNAMURTHY ET al. (1979) aplicaram o método dos elementos finitos (MEF) na obtenção de curvas de momento-rotação para ligações com chapa de aço. JONES ET al. (1980) verificaram a influência das ligações semi-rígidas em colunas de aço. SIMITSES & VLAHINOS (198), também estudaram a estabilidade de pórticos planos com ligações semi-rígidas. As características estruturais das ligações semi-rígidas foram obtidas a partir de ensaios em escala real. MARAGHECHI & ITANI (1984) verificaram que as rigidezes axial e rotacional das ligações têm influência apreciável nas solicitações das/ barras, enquanto que a rigidez ao cisalhamento tem seu efeito desprezível. A deformabilidade das ligações entre os elementos estruturais de madeira são geralmente determinadas por meio de resultados experimentais, e muito raramente são elaborados modelos analíticos que representem o comportamento da resistência e da rigidez da ligação. Os resultados baseados apenas em procedimentos puramente experimentais são na maioria das vezes muito caros e, além disso, existe limitação na aplicação dos resultados, por serem aplicados a ligações com as mesmas dimensões e detalhamentos. Uma outra forma da determinação qualitativa e quantitativa na rigidez da ligação é desenvolver uma modelagem analítica que consiga retratar o comportamento da mesma, entretanto, como ligação revela uma certa complexidade na questão do seu comportamento, é necessário que se faça juntamente com a modelagem uma análise experimental para a validação desta modelagem teórica. Uma outra alternativa para a determinação da deformabilidade das ligações é por meio de procedimentos numéricos, procedimentos estes utilizados para o estudo das ligações parafusadas, como proposta do presente trabalho. Esses surgiram e ganharam amplitude de uso a partir do advento dos computadores, quando então, vários métodos numéricos surgiram na tentativa da resolução de problemas estruturais que anteriormente eram calculados de forma analítica. A análise numérica do comportamento semi-rígido das ligações começou com WEAVER & GERE (1986) com o método da flexibilidade. A partir deste método, foi possível determinar os coeficientes de semi-rigidez rotacional e de translação na matriz de rigidez de um elemento de barra de pórtico. Posteriormente, foram feitas análises experimentais em estruturas de madeira, com o objetivo de testar e validar suas formulações teóricas desenvolvidas. GESUALDO (1987), estudou a contribuição das deformações das ligações na rigidez da estrutura por meio de um ensaio de um modelo de viga treliçada de madeira (Aspidosperma polyneuron), com dez metros de comprimento, em duas maneiras diferentes: interligadas por anéis de aço e interligadas por cavilhas partidas de madeira (Eucalyptus citriodora), com força abaixo do limite de proporcionalidade. O estudo teórico restringiu-se na implementação numérica de um algoritmo em um Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos,, v. 9, n. 41, p , 007

117 Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos programa para estruturas planas que contabilizasse a deformação pela não linearidade geométrica para um nó concebido por n parafusos. Foram contabilizados os efeitos de mola rotacional e axial, desprezando-se o efeito da mola com rigidez transversal ao elemento por causa da pequena influência que esta gera na ligação, quando comparada com as duas outras anteriormente citadas. A comparação dos resultados teóricos com as dos resultados experimentais mostrou-se aceitável, confirmando, portanto, a importância da contribuição das deformações das ligações na rigidez da estrutura. FERREIRA (1999) desenvolveu uma metodologia analítica para o cálculo de deformabilidades de ligações típicas de concreto pré-moldado, levando-se em conta os mecanismos básicos de deformação na ligação. Foram estudadas duas ligações típicas viga-pilar de concreto pré-moldado e posteriormente foram desenvolvidas as formulações analíticas que representavam o comportamento de ambas; a primeira ligação é formada com o auxílio de uma almofada de elastômero e chumbador (cálculo analítico da deformabilidade ao cisalhamento da ligação) e a segunda ligação é tida como resistente à flexão formada com o auxílio de chapas soldadas (cálculo analítico da deformabilidade à flexão da ligação). Para os protótipos com almofada de elastômero e chumbador, foram em média, 3 % superiores aos valores obtidos com relação aos dados experimentais, e a resistência ao cisalhamento atingiu valores entre 96 e 100 % com relação aos obtidos experimentalmente. A ligação com chapa soldada apresentou uma rigidez da ordem de 83 % da rigidez monolítica e o valor calculado da rigidez à flexão secante foi de 5 % superior à rigidez apresentada pela ligação. Em função dos dados experimentais obtidos, chegou-se à conclusão de que a análise analítica das ligações desses tipos, na questão das medidas das suas deformabilidades, representaram o problema de forma coerente e concisa em função da pequena margem de erros entre os resultados analíticos e experimentais obtidos. ZHAO ET al (000) introduziram o conceito e aplicação do sistema nodal Oktalok. O método de projeto proposto foi baseado na suposição que os nós são presos na extremidade e a rigidez rotacional é zero. Contudo, a capacidade estimada do pórtico pode aumentar significativamente, dependendo da rigidez rotacional dos nós. Os testes de rigidez e as simulações do elemento finito foram usados para determinar a rigidez rotacional dos nós Oktalok. Os testes de flambagem de coluna e análises de elemento finito não linear foram realizados para determinar a capacidade das colunas em condições últimas, utilizando ligações semi-rígidas. Uma simples fórmula para o fator efetivo de comprimento de flambagem da coluna foi baseada nas investigações teóricas e experimentais descritas acima. DESENVOLVIMENTO DA MATRIZ DE RIGIDEZ MODIFICADA A análise numérica do modelo será desenvolvida a partir da modificação da matriz de rigidez de um elemento prismático e unidimensional, analisado em um plano. Este elemento possui três graus de liberdade por nó, sendo dois graus quanto a translação e um grau quanto à rotação, de acordo com a figura.1.a. A modificação da rigidez rotacional nas extremidades do elemento estrutural será efetuada através da introdução de coeficientes, obtidos a partir da modificação matemática da rigidez das mola S ), de acordo com a figura.1.b. ( R Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

118 11 André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr SRi 6 (a) 5 (b) SRj Figura.1 - Elemento com três graus de liberdade. Considerando-se para os valores desses coeficientes números grandes, isto é, 9 próximo de 10, a matriz de rigidez modificada será aquela tradicionalmente utilizada para estruturas planas com três graus de liberdade. No caso dos valores dos 9 coeficientes serem considerados números pequenos, isto é, próximo de 10, a matriz de rigidez será aquela obtida para estruturas planas com dois graus de liberdade. Desta maneira, os valores intermediários têm o comportamento das estruturas planas com ligações semi-rígidas. A obtenção da matriz de rigidez do elemento para um elemento com ambas as extremidades semi-rígidas, será apresentada a seguir. A figura..a mostra um elemento com ligação semi-rígida, em ambas as extremidades. Será considerado S S ( Ri ) como sendo a rigidez rotacional da extremidade "i" do elemento e ( Rj ) a rigidez rotacional da extremidade "j" do mesmo. O comprimento do elemento é (L), a área da seção transversal é (A), o momento de inércia em relação ao eixo 3 é (I) e o módulo de elasticidade é (E). A matriz de rigidez do elemento é determinada no seu sistema de coordenadas locais (1- -3). Os coeficientes da matriz de rigidez do elemento são obtidos a partir da matriz de flexibilidade, utilizando-se a compatibilidade de Weaver e Gere (1986). eixo EI eixo1 i AL j eixo3 SRi, S Ai (a) SRj, SAj D 1 1 D 11 (b) 1 D D 1 (c) Figura. - Elemento com ambas as extremidades semi-rígidas: determinação da matriz de rigidez. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos,, v. 9, n. 41, p , 007

119 Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos Matriz de rigidez considerando-se apenas a rigidez rotacional Para obter os coeficientes de flexibilidade da extremidade j, o elemento é engastado elasticamente na extremidade i e livre na extremidade j como mostrado nas figuras..b e..c. Uma força unitária é aplicada na direção e na extremidade j como mostrado na figura..b. Os coeficientes de flexibilidade, ( D 11 ) e ( D 1 ), na extremidade j são obtidos como segue. O deslocamento vertical na extremidade j devido à força unitária é chamado de D11 e será composto de duas partes: 1) Deslocamento na extremidade j devido à força unitária F : u 3 F L D11 u = (1) 3EI ) Deslocamento da extremidade j devido à rotação na extremidade i causado por F : u 3) Momento na extremidade i devido à F : u Fu Fu M = F L M L i u i = a) Rotação na extremidade i devido à F : u Fu F F F M i M i u u u = S Riθ i θ = i S Ri F L u θ i = S Ri () (3.a) (3.b) c) Deslocamento da extremidade j devido à rotação na extremidade i causada por F : u D = L D = θ Fu θ 11 θ i 11 L S Ri L (4) Deslocamento vertical total na extremidade j é 3 L D 11 = + 3EI L S Ri D θ 11 D F u 11 + D11 =, portanto: (5) A rotação na extremidade j devido à força unitária F u é chamado de D 1 e será composta de duas partes: 1) Rotação na extremidade j devido à F : u θ F u 1 L = EI (6) ) Rotação na extremidade j devido à rotação na extremidade i causada por F : u Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

120 114 André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr θ θ = 1 L S Ri (7) 3) Rotação total na extremidade j é L D 1 = + EI L S Ri D Fu θ 1 = θ 1 + θ 1, portanto: (8) Aplicando-se, agora, um momento unitário na direção do eixo 3 na extremidade j como mostrado em figura..c, os coeficientes de flexibilidade, D 1 e D, na extremidade j são obtidos como segue. O deslocamento vertical na extremidade j devido ao momento unitário chamado de D 1 e será composto de duas partes: 1) Deslocamento na extremidade j devido à M : u D M 1 u L = EI ) Deslocamento da extremidade j devido à rotação na extremidade i causado por M : u M u é (9) a) Momento na extremidade i devido à M : u M u M i = 1 b) Rotação na extremidade i devido à M : u M M θ M i M i M u = S θ θ R i M i u u = u = 1 S Ri S R u (10) (11.a) (1.b) c) Deslocamento na extremidade j devido à rotação na extremidade i causado por M : D u 1 = S θ 1 L Ri (13) Deslocamento vertical total na extremidade j é L L 1 D = + EI S Ri D θ 1 D M u 1 + D1 =, portanto: (14) A rotação na extremidade j devido ao momento unitário D e será composta de duas partes: M u é chamado de 1) Rotação na extremidade j devido à M : u Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos,, v. 9, n. 41, p , 007

121 Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos θ M u = L EI (15) ) Rotação na extremidade j devido à rotação na extremidade i causada por M : u θ 1 θ i = (16) S Ri 3) Rotação na extremidade j devido à própria rotação da mesma extremidade causada por M : u θ 1 j θ = (17) S Rj Rotação total na extremidade j é D θ θ + M u θi j = + θ θ, portanto: L 1 1 S D = + + EI S Ri Rj (18) Para facilitar as expressões das equações e, posteriormente, as matrizes, foram introduzidos os parâmetros adimensionais conforme a seguir: e = Ri e = Rj Rij EI LS EI LS Ri ; ; Rj 1 + e Ri e Rj e = + e = 1 + e Ri1 Ri e = 1 + e Rj 1 Rj e = 1 + e Ri Ri e = 1 + e Rj Rj e = 1 + 3e Ri 3 Ri e = 1 + 3e Rj 3 Rj ; ; ; ; ; ; ; (19.a) (19.b) (19.c) (0.a) (0.b) (0.c) (0.d) (0.e) (0.f) Substituindo-se as equações (19 ) e ( 0 ) nas equações ( 5 ), ( 8 ), (14 ) e (18) e após algumas simplificações, os coeficientes de flexibilidade ficam da seguinte forma: D D D D L e Ri 3 = ; 3EI L e Ri = ; EI L e Ri = ; EI Le Rij =. EI (1.a) (1.b) (1.c) (1.d) Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

122 116 André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr [ ] F jj [ F ] jj [ ] jj A matriz de flexibilidade, F D = D L = EI 11 1 D D 1 L e 3Le Ri 3 3Le 6e 6 Ri Rij Ri, para a extremidade j será da seguinte forma: () (3) F jj Invertendo a matriz [ ] da equação (3), obtem-se a matriz de rigidez S jj modificada [ ], para a extremidade j : [ S ] jj = C onde: C = L 6e Rij - 3Le 3 Ri - 3Le L e EI Ri Ri 3 [ 4e + 3( 4e e 1) ] Rij Ri Rj (4.a) (4.b) A matriz de rigidez completa [ S M ], sem considerar a rigidez axial é obtida por Weaver e Gere (1986): S ii S ij [ S M ]= (5) S ji S jj S S Onde: [ ii ], [ ij S ], [ ji S ] e [ jj ], são todas submatrizes de [ S M ]. Os S jj coeficientes em [ ] são definidos como as ações de restrição na extremidade j do elemento devido aos deslocamentos unitários na mesma extremidade. Os coeficientes S ij em [ ], são ações de restrição na extremidade i devido ao deslocamentos unitário S jj na extremidade j e eles estão em equilíbrio com os termos em [ ]. Os coeficientes S ji em [ ] consistem em ações de restrição na extremidade j devido aos S deslocamentos unitários na extremidade i. Os coeficientes em [ ii ] são ações de restrição na extremidade i devido ao deslocamento unitário na extremidade i e eles S ji estão em equilíbrio com os termos em [ ]. S jj A matriz de rigidez modificada [ ] foi determinada e é apresentada pela equação (4.a). As outras três submatrizes de [ S M ] podem ser determinadas pela transformação de eixos. Estaticamente equivalente, as forças na extremidade i, podem ser obtidas através da matriz de transformação [T ], onde: [ T ] = 1 L 0 1 (6) Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos,, v. 9, n. 41, p , 007

123 Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos S ] [ T ] [ ij [ S ] ij S Nessas condições a submatriz [ ij ] pode ser determinada a partir da relação = [ S jj ], assim tem-se: = C 6e 3Le Rij Ri 3Le L Ri (7) Como a matriz de rigidez [ S S M ] é simétrica à submatriz [ ji ], a mesma deve S ser igual à transposta de [ ij S ]. Assim, transpondo [ ji S ] = [ ij T ] tem-se: [ S ] ji = C 6e 3Le Rij Ri 3Le L Ri (8) A submatriz restante [ S S ii ] pode ser determinada a partir de [ ji ] usando a [ S ] [ ] [ ] relação ii = T S ji [ ], isto dá: 6eRij 3LeRi S ii = C ( 9) 3LeRi L erj3 Desta forma, todas as submatrizes de [ S M ] da equação (5), foram determinadas. Assim, a matriz de rigidez modificada de um elemento, sem a inclusão da rigidez axial, é apresentada como: [ S M 6e 3Le ] = C 6e 3Le Rij Rj Rij Ri 3Le Rij LeRj 3 3Le L Rj 6e 3Le 6e Rij Rij Rj 3Le Ri 3 Le 3Le L Ri Ri LeRi 3 (30) Através do princípio da superposição de efeitos, as coordenadas axiais ao elemento de pórtico (figura 3.5.), desconsiderando-se sobre estas o efeito semi-rígido, serão determinadas através do método dos deslocamentos (coeficientes de rigidez) e posteriormente, estes coeficientes serão alocados na matriz de rigidez do elemento modificada. Para o elemento com dois graus de liberdade, observe a figura..1. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

124 118 André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr Figura Elemento com dois graus de liberdade. Aplicando-se um deslocamento unitário na coordenada 1 e mantendo-se nulo o deslocamento na coordenada 4, chega-se aos seguintes coeficientes re rigidez: EA K 11 = e L EA K 14 L = ( 31) Aplicando-se um deslocamento unitário na coordenada 4, e mantendo-se nulo o deslocamento na coordenada 1, chega-se aos seguintes coeficientes de rigidez: EA K 41 = e L EA K 44 = ( 3) L A matriz de rigidez para um elemento de barra de pórtico será representada 0 pela matriz [ S M ] da equação (33), com os termos da matriz [ S M ] da equação (30), juntamente com os coeficientes rigidez axial provenientes das equações (31) e (3), dispostos corretamente em função da ordem seqüencial dos graus de liberdade atribuídos ao elemento. [ 0 S M ] = - AE L 0 0 AE L Ce 3CLe 0 Rij - 6Ce 3CLe Rj Rij Rj 3CLe CL e 0 0 3CLe CL Rj Rj3 Rj AE - L 0 0 AE L Ce - 3CLe 0 6Ce Rij Rij - 3CLe Rj Rj 0 0 3CLe CL - 3CLe Rj CL e Rj Ri3 (33) 3 ANÁLISE DO COMPORTAMENTO SEMI-RÍGIDO PARA UM MODELO SIMPLES Para analisar o comportamento da ligação semi-rígida, foi considerado uma barra engastada nas duas extremidades e aplicada uma força concentrada (F) no seu centro, como mostrada na figura 3.1. Os dados obtidos nessa análise valem para o Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos,, v. 9, n. 41, p , 007

125 Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos comportamento individual de cada barra, independente do tamanho da estrutura ou da sua configuração. F (kn) i L L j Figura Barra bi-engastada nas extremidades. L Variou-se somente a rigidez rotacional ( S R ), mantendo a rigidez axial constante em toda a simulação. Obteve-se assim, a relação Momento x Rigidez para as extremidades da barra, apresentada no gráfico 3.1. Aproveitando-se a variação da rigidez rotacional ( S R ), obteve-se também os deslocamentos no ponto central da viga, onde a relação Deslocamento x Rigidez está apresentado no gráfico 3.. Na ligação semi-rígida, a viga tem rotações nos nós i e j cujos valores variam em função da rigidez ( S R ) adotadas para os mesmos, conforme o gráfico 3.3. Pode-se verificar com os resultados das três relações, que a rigidez se comporta exponencialmente, sempre convergindo para as situações esperadas, que é a de engastamento perfeito ou de uma barra simplesmente apoiada. M en Momento Rigidez S en Gráfico Relação momento x rigidez. M PL / 8 No gráfico 3.1, en = é o momento de engastamento perfeito de uma viga bi-engastada com forca aplicada no ponto central. Para valores de rigidez S menores do que ( en ), o momento comporta-se conforme a curva do mesmo gráfico. Caso a rigidez se aproxime de zero, o momento também converge para o mesmo valor. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

126 10 André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr d 1 Deslocamento d S 1 Rigidez S Gráfico 3. - Relação deslocamento x rigidez. O gráfico 3., mostra que para S 3, deslocamento é d = PL / 19EI, ou seja, a viga é engastada. Para S 1 0 3, o deslocamento é d = PL / 4EI, ou seja, a viga é bi-apoiada, ficando assim, a curva exponencial para o comportamento semirígido. Rotação θ 3 θ 4 S 3 Rigidez S 4 Gráfico Relação rotação x rigidez. O gráfico 3.3, mostra que para S 4, a rotação é θ = 0, ou seja, a viga S 0 engastadas. Para 3, a rotação é θ = PL / 16EI, ou seja, a viga é bi-apoiada. Neste caso, para valores da rigidez entre zero e S4 o comportamento é semi-rígido. Ressalta-se ainda, que para qualquer estrutura, a rigidez da ligação é adotada inicialmente, 1000 vezes a rigidez da barra, isto é: ( 4E I ) S = b / R b L b onde: S R : Rigidez da ligação. E b : Módulo de elasticidade da barra.. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos,, v. 9, n. 41, p , 007

127 Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos I b : Momento de inércia da barra. L b : Comprimento da barra. 4 CONSIDERAÇÃO DA RIGIDEZ ATRAVÉS DA LIGAÇÃO PARAFUSADA Neste trabalho, foi adotada, para o detalhamento da estrutura, uma ligação típica, utilizando dois parafusos, figura 4.1. A utilização mínima para essa ligação é uma disposição construtiva da NBR 8800 (1986). O afastamento dos parafusos determina um momento resistente na extremidade da barra. Através da entrada de dados conveniente no programa, o mesmo irá verificar o quanto este momento influenciará na ligação e na estrutura como um todo. e p FR FR Figura Detalhe da ligação parafusada. onde: e p é o espaçamento entre parafusos; F R é a força resistente dos parafusos; 4.1 Determinação do momento resistente onde: A força resistente ao corte do parafuso é igual a: Φ = 0,65 para parafusos ASTM A35 e ASTM A490 Φ = 0,60 para parafusos ASTM A307 e ISO 898 R = 0, 4A NV AP f u P f u F R = Φ é a área bruta, baseada no diâmetro nominal dp do parafuso. é a resistência à tração do material do parafuso. A resistência à tração do material do parafuso depende da especificação do próprio parafuso. A tabela 4.1 apresenta os valores de f u aplicáveis. V R NV Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

128 1 André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr Tabela Materiais usados nos parafusos. ESPECIFICAÇÃO RESISTÊNCIA À TRAÇÃO (MPA) DIÂMETRO (MM) ASTM A ASTM A ,7< dp < 5,4 * 75 5,4[ dp < 38,1 * ASTM A ,7[ dp <38,1 * * dp é o diâmetro do parafuso. M = F e R O valor do momento resistente é dado por: R p A distância mínima entre os centros dos furos, não podem ser inferior a,7d p 3d p, sendo utilizado preferencialmente. Além desse requisito, a distância entre as bordas de dois furos consecutivos não pode ser inferior a d p, conforme mostra a figura 4.. d p 3d p Figura 4. - Espaçamento mínimo entre furos. onde: d p é o diâmetro do parafusos. 5 AVALIAÇÃO DOS MOMENTOS DA ESTRUTURA O programa P.S-R (Pórtico Semi-Rígido), desenvolvido no presente trabalho, faz o estudo do comportamento das ligações formadas com dois parafusos por nó de elemento. A correção da rigidez das ligações fica por conta de um processo iterativo. Esta correção se faz apenas quando o momento resistente da ligação passa a ser inferior ao momento solicitante aplicado à mesma. Para a determinação a priori dos esforços na estrutura, as ligações são consideradas como perfeitamente engastadas (modelos ideais); para a determinação dos esforços reais provenientes das forças externas aplicadas à correção das estruturas, e logo após a esta consideração inicial, os esforços de flexão atuantes na ligação são comparados em módulo com a resistência que a mesma oferece. Sabendo-se que o valor do momento resistente é uma função direta do espaçamento e do diâmetro dos parafusos e constante ao longo do processo de análise, ou seja, seu valor será o mesmo para todos os nós. Deve-se atentar para o Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos,, v. 9, n. 41, p , 007

129 Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos dimensionamento mínimo de parafusos previsto por norma, para que a confiabilidade dos resultados não seja prejudicada. Após calcular o momento solicitante e o momento resistente, o programa compara os dois valores: Se, então: S M R recalcula-se toda estrutura, até que os momentos solicitantes em todas as ligações sejam iguais ou inferiores ao momento resistente: Se M > M < M, então: S R M = M o valor do momento continua sendo M S. O programa reduz a rigidez da ligação que foi solicitada além do seu limite, fazendo com que o momento solicitante na mesma seja igual ao resistente, e assim, uma nova rigidez deverá ser computada nos cálculos. O processo iterativo elaborado no programa fará os cálculos de forma em que o momento excedente na ligação propague-se para as demais ligações vizinhas através dos elementos estruturais. Desta forma, a estrutura encontrará uma nova configuração de equilíbrio. S R 6 EXEMPLO DE APLICAÇÃO A figura 6.1, mostra a geometria e o carregamento da estrutura Fink, com um vão de 10,80 m analisada nesse caso, sendo que, para esta estrutura, foi aplicada uma força concentrada no centro da mesma. Os valores dos momentos solicitantes, bem como o deslocamento no meio do vão, estão apresentados nas tabelas 6.1 e 6., respectivamente. Figura Estrutura Fink, L=10,80 m. Para a estrutura fink, mostrada na figura 6.1, foi-se efetuada sobre a mesma, uma análise mais completa do seu comportamento estrutural, isto é, em uma primeira avaliação, admitiu-se a rigidez das barras para verificar somente o comportamento da ligação semi-rígida. Em uma segunda avaliação, procurou-se obter qual o valor da ação externa responsável pelo início das primeiras iterações, isto é, quando a ligação foi solicitada ale m do seu limite de resistência. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

130 14 André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr Posteriormente, numa terceira avaliação, admitiu-se um valor para a ação externa superior às anteriores para que houvessem as devidas iterações e, conseqüentemente, as distribuições dos momentos. Os valores das ações para as três situações descritas anteriormente foram de 15, 300, 700 kn, respectivamente. 6.1 Obtendo-se um pré-dimensionamento das barras Os valores adotados para o cálculo dessa estrutura são: Força concentrada nos nós: 15,00 kn. Área da seção transversal:,5 cm. Momento de inércia: 0,419 cm 4. Módulo de elasticidade: 0500 kn/cm. Diâmetro do parafuso: 1,7 cm. Espaçamento entre parafusos: 5,00 cm. O pré-dimensionamento das barras da estrutura foi realizado no Software SAP 000, conforme a figura 6.. A única força externa concentrada, mencionada anteriormente de 15 kn, está aplicado no nó 10. O Software SAP 000 faz uma relação percentual das forças atuantes na estrutura e os seus valores limites para que as condições normativas sejam satisfeitas, sendo o valor 1, o coeficiente de solicitação máxima. No caso da estrutura Fink, mostrada na figura 6., pode-se verificar que os elementos do banzo superior próximos ao ponto de aplicação da força concentrada, encontram-se em seus respectivos limites de resistência. Observou-se que, após o processamento da estrutura no programa desenvolvido, não se verificou nenhuma iteração, porque o valor do momento resistente das ligações foram muito superiores aos solicitantes. Figura 6. - Pré-dimensionamento das barras. 6. Sem a obtenção do dimensionamento das barras. Para se obter o processo de redistribuição entre os momentos que atuam na estrutura em função da ligação semi-rígida, admitiu-se um valor para a rigidez das barras na estrutura e aplicou-se também um valor de carga compatível para iniciar-se esse processo iterativo. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos,, v. 9, n. 41, p , 007

131 Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos Os valores adotados para o cálculo dessa estrutura são: Carga concentrada nos nós: 700,00 kn. Área da seção transversal:,5 cm. Momento de inércia: 0,419 cm 4. Módulo de elasticidade: 0500 kn/cm. Diâmetro do parafuso: 1,7 cm. Espaçamento entre parafusos: 5,00 cm. Tabela Valores dos momentos solicitantes nos elementos, L=10,80 m. barra Nó(i) Nó(j) Rotulada Semi-Rígida Rígida nó i nó j nó i nó j nó i nó j 1 1 0,00 0,00-1,95 6,55-1,09 81,14 3 0,00 0,00-5,95-19,5-55,11-3, ,00 0,00-19,5 19,5-19,77 19, ,00 0,00 5,95 19,5 55,11 3, ,00 0,00 1,95-6,55 1,09-81, ,00 0,00 1,95 6,15 1,09 8, ,00 0,00-61,96-1,17-91,06-35, ,00 0,00 35,4 61,80 55,74 108, ,00 0,00-61,90-6,04-113,73-111, ,00 0,00 61,90 6,04 113,73 111, ,00 0,00-35,4-61,80-55,74-108, ,00 0,00 61,96 1,17 91,06 35, ,00 0,00-1,95-6,15-1,09-8, ,00 0,00 51,98-0,19 5,91 8, ,00 0,00-61,57-34,31-78,95-43, ,00 0,00 7,4-1,14 1,60-4, ,00 0,00 1,1 61,30 7,88 67, ,00 0,00-1,90-45,10 5,11-1, ,00 0,00 31,54 61,96 41,3 87, ,00 0,00-61,4-6,16-148,6-153, ,00 0,00 61,4 6,16 148,6 153, ,00 0,00-31,54-61,96-41,3-87, ,00 0,00 1,90 45,10-5,11 1, ,00 0,00-1,1-61,30-7,88-67, ,00 0,00-7,4 1,14-1,60 4, ,00 0,00 61,57 34,31 78,95 43, ,00 0,00-51,98 0,19-5,91-8,91 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

132 16 André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr Tabela 6. - Valor do deslocamento no meio do vão, L=10,80 m. Nó Rotulada Semi-Rígida Rígida 3-3,3467-3,350-3, CONCLUSÕES No item 6, a máxima carga para que a estrutura Fink verifique o dimensionamento para as barras, foi de 15 kn; neste caso não houve iteração. Isso acontece devido ao fato de que o momento resistente é muito superior ao momento solicitante, aproximadamente vinte vezes. Portanto, a conclusão primordial a que se pode chegar da análise do comportamento das ligações semi-rígidas, é que a mesma só tem uma influência significativa para estruturas de grande porte, pois a variação do momento para estruturas de pequenos vãos, não terão grande significativa em termos de dimensionamento e de custo. Porém, em termos percentuais, dependendo da configuração da estrutura, pode-se chegar a uma variação de até 40% ou mais, do momento aplicado nos extremos de certos elementos. 8 REFERÊNCIAS ABDALLA, K. M., CHEN, W. F. Expanded database of semi-rigid steel connections. Computers & Structures, v. 56, n. 4, p , ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de estruturas de aço em edifícios: NBR Rio de Janeiro, BARAKTA, M., CHEN, W. F. Design analysis of semi-rigid frames: evaluation and implementation. Engineering Journal - American Institute of Steel Construction, v. 8, n., p , BJORHOVDE, R., COLSON, A., BROZZETTI, J. Classification system for beam tocolumn connections. Journal of the Structure Division, v. 116, n. ST11, p , CARVALHO, L. C. V., ANDRADE, S. A. L., VELLASCO, P. C. G. S. Experimental analysis of bolted semi-rigid steel connections. Journal of Constructional Steel Research, v. 46, n.1/3, p , CHEN, W. F., KISHI, N. Semi-rigid steel beam-to-column connections: data base and modeling. Journal of Structural Engineering, v. 115, n. 1, p , CHRISTOFORO, A. L. Avaliação da rigidez rotacional em estruturas plana de madeira concebidas por elementos unidimensionais com dois parafusos por nós. São Carlos. Dissertação (Mestrado). Escola de Engenharia de São Carlos. Universidade de São Paulo. 137p. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos,, v. 9, n. 41, p , 007

133 Avaliação da rigidez rotacional em estruturas planas de madeira concebidas por elementos CHISTOPHER, J. E., BJORHOVDE, R. Semi-rigid frame design methods for practicing engineers. Engineering Journal - American Institute of Steel Construction, v. 36, n. 1, p. 1-8, COLSON, A. Theoretical modeling of semi-rigid connections behavior. Journal of Constructional of Steel Research, n. 19, p. 13-4, DHILLON, B. S., O MALLEY, J. W. Interactive design of semi-rigid steel frames. Journal of Structural Engineering-ASCE, v. 15, n. 5, p , FAELLA, C., PILUSO, V., RIZZANO, G. A new method to design extended end plate connection and semi-rigid braced frames. Journal of Constructional Steel Research, v. 41, n. 1, p , FU, H. C., SECKIN, M. Rigidity evaluation of wooden warren truss connections. In: INTERNATIONAL CONFERENCE ON TIMBER ENGINEERING, 1988, s.l.: R. Y. Itani, v., p GOTO, Y., MIYASHITA, S. Validity of classification systems of semi-rigid connections. Engineering Structures, v. 17, n. 8, p , GOTO, Y., MIYASHITA, S. Classification system for rigid and semi-rigid connections. Journal of Structural Engineering-ASCE, v. 14, n. 7, p , GRUPTA, R., GEBREMEDHIN, K. G., COOKE, J. R. Analysis of metal plate connected wood trusses with semi-rigid joints. American Society of Agricultural Engineers, v. 35, n. 3, p , 199. JOHNSTON, B. G.; MOUNT, E. H. Analysis of building frames with semi-rigid connections. Translations, ASCE, v. 107, p , 194. JONES, S. W., KIRBY, P. A., NETHERCOT, D. A. Effect of semi-rigid connections on steel column strength. Journal of Constructional Steel Research, v. 1, n. 1, p , KING, W. S. The limit loads of steel semi-rigid frames analyzed with different methods. Computers & Structures, v. 51, n. 5, p , KRISHNAMURTHY, N., HUANG, H. T., JEFFREY, P. K. Analytical M-ø curves for endplate connections. Journal of Structural Division, n. 105, ST1 p , LI, G. Q., MATIVO, J. Approximate estimation of the maximum load of semi-rigid steel frames. Journal of Constructional Steel Research, v. 54, n., p. 13-5, 000. MARAGHECHI, K., ITANI, R. Y. Influence of truss plate connectors on the analysis of light frame structures. Wood Fiber Science, v. 16, n. 3, p. 306-, MONFORTON, G. R., WU, T. S. Matrix Analysis of semi-rigid connected frames. Journal of the Structural Division, v. 87, n. ST6, p RILEY, G., GEBREMEDHIN, K. G., COOKE, J. R. Semi-rigid analysis of metal plateconnection wood trusses using fictious members. Transactions of the ASAE, v. 36, n. 3, p Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n. 41, p , 007

134 18 André Luis Christoforo & Francisco Antonio Rocco Lahr SANTOS, L. B. Influência da rigidez das ligações em estruturas de aço. São Carlos, p. Dissertação (Mestrado em Engenharia de Estruturas) Escola de Engenharia de São Carlos, Universidade de São Paulo. SHI, Y. J., CHAN, S. L., WONG, Y. L. Modeling for moment-rotation characteristics for end-plate connections. Journal of Structural Engineering-ASCE, v. 1, n. 11, p , WEAVER, W. W., GERE, J. M. Matrix analysis of framed structures. New York: Van Nostrand Reinhold Companu, p. ZHAO, X. L., LIM, P., JOSEPH, P., PI, Y. L. Member capacity of columns with semirigid end conditions in Oktalok space frames. Structural Engineering and Mechanics, v. 10, n. 1, p. 7-36, 000. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos,, v. 9, n. 41, p , 007

135 ISSN A AÇÃO DO VENTO EM SILOS CILÍNDRICOS DE BAIXA RELAÇÃO ALTURA/DIÂMETRO Luciano Jorge de Andrade Junior 1 & Carlito Calil Junior Resumo Os silos metálicos cilíndricos de chapas corrugadas e cobertura cônica são as unidades mais utilizadas no Brasil para o armazenamento de produtos granulares. As principais ações variáveis que atuam sobre os silos são as pressões devidas aos produtos armazenados e ao vento, sendo esta ação crítica quando o silo se encontra vazio. Devido à grande eficiência estrutural da forma cilíndrica e à resistência elevada do aço, estas estruturas são leves e delgadas e, portanto, suscetíveis a perdas de estabilidade local e global e arrancamento. Com a finalidade de avaliar estes efeitos foram realizados estudos teóricos e experimentais sobre as ações do vento em silos. O trabalho foi desenvolvido com ensaios de modelos aerodinâmicos e aeroelásticos em um túnel de vento na Universidade de Cranfield, Inglaterra, com o objetivo de determinar os coeficientes aerodinâmicos no costado e na cobertura. Os resultados mostram que os valores dos coeficientes recomendados pela Norma Brasileira de vento, NBR 613 (1990), são adequados para o costado. Para a cobertura cônica, como não são especificados pela NBR, são recomendados valores dos coeficientes aerodinâmicos determinados nos ensaios. Conclui-se também que a colocação externa das colunas é a favor da segurança e que o uso de anéis enrijecedores no costado é indicado e muito importante para a estabilidade local e global da estrutura do silo. Palavras-chave: silos; ação do vento; modelos aerodinâmico; aeroelástico; coeficientes aerodinâmicos. 1 INTRODUÇÃO Os silos metálicos cilíndricos de chapas corrugadas e cobertura cônica são as unidades mais utilizadas no Brasil para o armazenamento de produtos granulares, porque são eficientes, de baixo custo e de fácil montagem, seja em cooperativas ou agroindústrias. Este tipo de silo contém um arranjo estrutural de muitos elementos ligados por parafusos, sendo classificado em função da altura/diâmetro H/D: H/D 0,5 curto; 0,5<H/D 1,5 médio; H/D>1,5 longo. O cilindro, ou costado, é composto em chapas metálicas corrugadas. A cobertura cônica é composta em painéis de chapas metálicas com dobras na direção da geratriz do cone. O costado é assumido rotulado à base, que pode ser rígida e, dependendo das dimensões do silo, é reforçado com colunas 1 Doutor em Engenharia de Estruturas - EESC-USP, landrade_jr@hotmail.com Professor do Departamento de Engenharia de Estruturas da EESC-USP, calil@sc.usp.br Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

136 130 Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior metálicas de seção-u dispostas no perímetro e, opcionalmente, com anéis metálicos tubular ao longo da altura. A cobertura cônica também pode dispor de reforços com vigas radiais e circunferenciais. O fundo é, em geral, plano. Os silos têm dimensões comerciais que variam de 3 m a 3 m de diâmetro por 3 m a 30 m de altura, com volumes de 0 m 3 até m 3. Todo este conjunto encontra-se diretamente apoiado sobre uma base, com o costado fixo por parafusos a um anel rígido de concreto que é independente da base. 1.1 Definição do problema Como conseqüência da grande eficiência estrutural da forma cilíndrica e da resistência elevada do aço, são estruturas leves, de chapas delgadas e de grandes dimensões em relação ao peso-próprio, o que torna este tipo de silo susceptível ao problema de perda de estabilidade local e global da estrutura. Por conseguinte, os estados limites mais importantes para os silos metálicos são as perdas de estabilidade por compressão do costado devidas às ações de atrito com a parede dos produtos armazenados e devidas às pressões do vento (Figuras 1, e 3), e o arrancamento do costado (que se encontraria fixo à base) (Figura 4). Figura 1 - Perda de estabilidade do costado de silos na Austrália (ANSOURIAN 1985). Figura - Perda de estabilidade do costado de um silo na Espanha (RAVENET 199). Sobrepressão Vento Ponto de estagnação θ Sucção H/D = 10 Sucção H/D <,5 C = 1,0 pe C = 0,5 pe Figura 3 - Distribuições de pressões (NBR ). Figura 4 - Efeito de tombamento (RAVENET 199). Neste estudo são avaliados os efeitos do vento nos silos curtos e médios na condição de estarem vazios ou parcialmente preenchidos. Quando estão quase ou Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

137 A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro 131 totalmente carregados os silos metálicos de fundo plano e diretamente apoiados no solo possuem grande massa e dificilmente sofrem danos devidos ao vento. Deste modo, foi realizado um programa de ensaios junto à Universidade de Cranfield, Inglaterra, com o apoio do CNPq, no túnel de vento de camada limite da Faculdade de Aeronáutica (College of Aeronautics), de 9 m de comprimento e seção retangular na câmera de ensaios de 8x4-ft em unidades inglesas, ou 1, x,44 m. Com o estudo dos modelos em túnel de vento, é feita uma avaliação do comportamento deste tipo de estrutura e fornecido um roteiro ao engenheiro estrutural para o cálculo das estruturas dos silos à ação do vento. METODOLOGIA Este tópico contém as descrições dos materiais empregados para a geração do escoamento de ar no túnel de vento e à confecção dos modelos, bem como dos métodos utilizados na determinação dos parâmetros de similaridade, e nas medições das pressões e deslocamentos dos modelos..1 Materiais Os materiais que são empregados para a construção dos dispositivos de geração de turbulência no escoamento de ar são madeira, papelão, PVC e aço. Os dispositivos usados para se obter os perfis são barreira alta, em madeira, grade em barras horizontais de aço arredondadas, geradores de vórtices em madeira e, para a rugosidade do piso do túnel, uma prancha com copos em PVC, duas pranchas com caixas de ovos em papelão, uma prancha com peças formadas por três blocos plásticos de Lego, e metade de uma prancha com peças de um bloco. A função da barreira é prover um déficit inicial de quantidade de movimento representando o efeito de um campo de rugosidade mais longo; a dos geradores de vórtices, é distribuir esta quantidadade pela camada limite em desenvolvimento e influencia na turbulência média e a grade é usada para gerar turbulência média. Os elementos de rugosidade representam a superfície na vizinhança da estrutura real, conforme z 0. Para a determinação das dimensões iniciais dos dispositivos, o silo em escala real é considerado em um terreno típico de fazendas com muitas árvores, cercas e algumas edificações, sendo adotado z 0 = 80 mm conforme (BLESSMANN 1995). De acordo com FANG & SILL (199) o z 0 é proporcional à dimensão h k dos obstáculos, com c 0,1: z 0 = c.h k ( 1) Considerando-se que os modelos estão a uma escala geométrica de 1/4, e os obstáculos em escala real são de h k = 80.(1/0,1) = 800 mm, então a altura exigida para os elementos de rugosidade dentro do túnel é em torno de 800/4, sendo adotado 19 mm. Os geradores de vórtices são calculados de acordo com SIMIU & SCANLAN (1986), e a altura da barreira é obtida experimentalmente, pelo ajuste dos perfis de velocidade e de intensidade de turbulência. A disposição final correspondente é mostrada na figura 5, em que o túnel apresenta seção transversal igual a 440 por 10 mm e o comprimento do campo medido a partir dos geradores ao centro da mesa giratória é 7850 mm. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

138 13 Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior Grade Geradores de vórtices Campo com elementos de rugosidade Barreira Mesa giratória Figura 5 Disposição geral dos dispositivos no túnel. Os modelos são rígido e flexível e os materiais usados são madeira, papel, cobre, PVC, PETP (Polyethlene terephthalate) e poliéster. O modelo rígido é feito em madeira e lâminas de madeira compensada, com pequenos tubos de cobre embutidos na lâmina e usados para tomadas de pressão, tubos em PVC para a conexão entre as tomadas e as válvulas, e entre estas e os transdutores de pressão. As colunas são feitas em madeira e PETP para simular as colunas no costado, e em fios roliços de cobre e φ=1,0 mm para simular as dobras radiais na cobertura cônica. O modelo flexível é composto em poliéster, Melinex, na casca cilíndrica, em PETP nas colunas, com especificações dadas na tabela 1, e madeira balsa e papel na cobertura cônica. O emprego de madeira de baixa densidade (valor relativo à massa da água igual a 0,4) e papel na cobertura é justificado pelo fato de serem simuladas apenas as características de forma geométrica e de massa. Tabela 1 - Especificações para o material usado no Modelo 1,0. Melinex (casca cilíndrica) PETP (colunas) Propriedade E = 4414,5 Mpa E = 3000 Mpa Módulo de Elasticidade σ = 98,1 MPa σ = 80 MPa Tensão de escoamento γ = 1,4 g/cm 3 γ = 1,37 g/cm 3 Densidade. Métodos Os métodos são análise dimensional e teoria da semelhança física, técnicas de ensaios em túnel de vento,medidas de pressões e visualização do escoamento na superfície dos modelos rígidos e medições de deslocamentos por imagens no modelo flexível...1 Análise dimensional O estudo do comportamento de silos cilíndricos à ação do vento envolve uma grande quantidade e diversidade de informações relacionadas às áreas de engenharia de estruturas e de engenharia do vento. A exeqüibilidade desta tarefa está ligada a condições e hipóteses simplificadoras que são obtidas com a análise dimensional, a qual abrange "os casos em que não é possível formular as equações diferenciais do fenômeno" (CARNEIRO 1996). Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

139 A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro 133 Admite-se que o deslocamento radial da parede do silo, δ, é função de onze parâmetros característicos: diâmetro do silo D, massa específica do ar ρ, velocidade média do escoamento U, módulo de elasticidade E, tensão σ k, pressão exercida pelo vento p, uma freqüência das flutuações da velocidade do vento η, a viscosidade dinâmica do ar μ, a massa total da estrutura M, momento de inércia da estrutura I, um intervalo de tempo T c. Os parâmetros E, σ k, p têm as mesmas dimensões. Como resultado da análise dimensional são obtidos os números Π, que são interpretados como relações de escalas das grandezas existentes no protótipo e no modelo, sendo condição de semelhança a igualdade dos Π em ambos modelo e protótipo. Esta condição é definida como fator de escala λ, que é a relação entre a magnitude de uma grandeza física no modelo e a magnitude correspondente no protótipo. Por exemplo, se o modelo é feito 10 vezes menor que o protótipo, então o fator de escala é geométrico e definido λ L = 1/10. São utilizados subscritos para definir as grandezas nas Tabelas e 3 e os fatores de escala λ. Além desses subscritos, m indica modelo, e p protótipo. Tabela - Fatores de escala. λ L = Tabela 3 - Condições de semelhança. FATOR DESCRIÇÃO CONDIÇÃO DE SEMELHANÇA Dm D p Fator de escala Geométrico λ I m I = Fator de escala para o I p Momento de inércia Número Π δ λ Π 1 = δ = 1 D λ L Π Condição: im = 1 Πi p λ δ = λl ρ λ m ρ = Fator de escala para a massa I λ Π = I 1 ρ p específica do ar D 4 4 = λ 4 I = λ L λl λ U m U = Fator de escala da velocidade U p ou cinemático Dη λ Π 3 = Lλη = 1 U λu σ k m UT c λ λ σ = k σ Fator de escala da tensão Π = U λt 4 c k D = 1 p λl η λη = m η p λ η = λ U λl λ U = λl λ M λ Fator de escala de freqüência Π5 = M 1 ρd 3 3 = λ 3 M = λρ λ L λρ λl M m μ λ M = M Fator de escala de Massa Π = λμ 6 = 1 p ρdu λρ λ L λ U μ λ m μ = Fator de escala para a μ p viscosidade dinâmica do ar T c λμ λ L = λρ λu σ k λ Π7 = σ k ρu 1 = λ σ = k λρ λu λρ λu T c λ m T c = T Fator de escala de tempo c p OBS.: O fator de escala serve às grandezas relacionadas pelos fatores de forma.. Simulação em túnel de vento Para propósitos da engenharia estrutural é suficiente modelar o escoamento às condições, admitidas localmente estacionárias, da camada limite atmosférica (ASCE Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

140 134 Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior 1997). No túnel, a turbulência é gerada com uma superfície rugosa e gradiente de pressão nulo. O principal critério é a verificação do perfil de velocidade e da escala de turbulência medidos do escoamento no túnel e comparados àqueles da NBR 613 (1990) e ESDU (1995). Entretanto, as regiões de separação são fortemente influenciadas pela turbulência, logo também é importante a medição da intensidade de turbulência (COOK 198). A metodologia está de acordo com BLESSMANN (1995) e BENDAT e PIERSOL (1971), e está esclarecida à medida que os parâmetros são mostrados. Esses perfis são traçados com as respectivas curvas teóricas, dadas por: () ( ) U z U z ref z = 10 α A intensidade de turbulência é definida como o quociente entre o desvio padrão das flutuações e uma velocidade de referência. Se a velocidade de referência for definida com um valor fixo, então a intensidade da turbulência é normalizada (I N ). σ I N = (3) Uref Onde U ref é a velocidade de referência, tomada a 10 m de altura em escala real. A turbulência do vento é caracterizada pelos turbilhões ou redemoinhos, cujas dimensões são avaliadas a partir das funções de autocorrelação. A partir destas funções são definidas as escalas temporal para o estudo da repetição das rajadas do vento, e espacial, para a caracterização da não uniformidade das rajadas sobre as estruturas. A autocorrelação descreve a dependência de um valor medido no tempo t com outro valor medido no tempo t+τ, para um mesmo ponto. Fisicamente, isto representa a memória do fenômeno das rajadas. Se a curva de autocorrelação for alargada, então a memória é grande; se a curva for estreita, então a memória é curta. Para avaliar a escala temporal, a partir das curvas de autocorrelação normalizada, ρ(τ), calcula-se o tempo característico, T c, do processo aleatório do vento, que é numericamente igual à área sob a curva de autocorrelação longitudinal normalizada. () 0 T c ( z) = ρ ( z; τ dτ (4) 1 ) A escala espacial é obtida a partir da escala temporal, considerando-se a hipótese de Taylor, em que os redemoinhos deslocam-se com a velocidade média do vento. Portanto, a escala espacial da turbulência, a uma certa altura z, é dada pelo comprimento médio dos maiores turbilhões na direção longitudinal, L 1 : L ( z) = U( z). T ( ) (5) 1 c z..3 Medidas de pressões nos modelos rígidos As medidas das pressões são obtidas da diferença entre uma pressão de referência, que é a pressão estática no escoamento livre, e a pressão estática na superfície do modelo. Esta diferença é chamada pressão externa. Onde a pressão Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

141 A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro 135 externa é numericamente igual à pressão ao longe é chamado ponto de estagnação. A pressão de referência é dada por um anel estático definido por três tomadas na seção de trabalho do túnel. O processo de medição é feito por meio de válvulas de busca automática, conhecidas como "scanivalves", e a pressão em cada tomada é medida por transdutores elétricos de pressão ligados a uma placa conversora AC/DC e armazenada no disco rígido de um microcomputador. Os parâmetros para o cálculo dos coeficientes de pressão externa C pe são pressão estática de referência p ref e pressão estática na superfície do modelo p m. A velocidade média de referência U é obtida a partir do perfil de velocidade medido dentro do túnel de vento, no centro da mesa giratória sem o modelo. O valor da pressão estática de referência é obtido com a tomada de pressão do anel estático de referência, ligada à válvula e daí ao transdutor, dentro do modelo. A equação para o cálculo dos coeficientes de pressão é: p m p ref Cpe = (6) 1 ρ0u..4 Medições de deslocamentos por imagens Os deslocamentos na superfície cilíndrica do modelo flexível são medidos com o uso do Método do Reticulado, de acordo com SIROCHI & KRISHNA (1991), e a teoria dos pequenos deslocamentos como mostrada em JONES & WIKES (1989) Método do reticulado O método do reticulado requer linhas de referência sobre a superfície do objeto em observação. As distâncias entre as interseções das linhas são medidas antes e depois do modelo ser submetido à ação, no caso o escoamento de ar no túnel. As linhas de referência aplicadas ao modelo são na forma de um reticulado contínuo em padrão ortogonal, com circunferências ao longo da altura e linhas verticais em torno do perímetro. As linhas podem ser diretamente desenhadas ou aplicadas à superfície. Os deslocamentos normais são determinados pela diferença de medida do comprimento na diagonal e nas linhas laterais. São usadas câmeras de alta resolução, com lentes livres de distorção, para medir os deslocamentos normais e na superfície do modelo Medições de deslocamentos por imagens no modelo flexível No caso dos modelos cilíndricos em estudo são feitas medições apenas dos deslocamentos numa pequena área a meia altura do cilindro, que pode ser admitida plana. Na figura 6, as lentes das câmeras V 1, V e V 3 nas direções 0V 1, 0V e 0V 3 gravam a imagem com um reticulado na superfície do objeto. As coordenadas das lentes das câmeras são (X 11, X 1, 0), (X 1, 0, X 3 ) e (X 31, X 3, 0), respectivamente. Observe-se que 0V 1 = 0V = 0V 3 e as lentes estão focalizadas no mesmo ponto. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

142 136 Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior Figura 6 - Posições V 1, V, V 3 das câmeras. É sabido que há três componentes de deslocamento d 1, d, d 3 e nove gradientes de deslocamento, tal que são necessárias doze medidas. Como em cada vista das câmeras podem ser medidos quatro deslocamentos, sendo dois em cada extremidade da linha, figura 7, então há o número necessário de medidas para o cálculo dos deslocamentos. Q Δx k i1 Q' Δx k i P P' Δx k-1 i1 Δx k-1 i Figura 7 - Deslocamentos para a vista de cada câmera. 3 PROCEDIMENTOS PARA OS ENSAIOS O estudo dos silos sob a ação do vento inicia-se com a constatação do problema de perda de estabilidade do costado e a necessidade de caracterizar o comportamento do silo. Para tanto, o desenvolvimento dos ensaios abrange os dimensionamentos dos protótipos e dos modelos, a geração e caracterização do escoamento de ar, os ensaios dos modelos rígidos para a determinação das pressões externas atuantes, e os ensaios do modelo flexível para o estudo do comportamento da casca cilíndrica à ação do vento. 3.1 Dimensionamento dos protótipos e dos modelos São escolhidas duas relações H/D aos protótipos 0,5 e 1,0 para representarem as estruturas usuais de silos metálicos cilíndricos de chapas Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

143 A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro 137 corrugadas, que são calculadas para suportarem os esforços devidos a qualquer um dos produtos arroz, feijão, milho e soja. A casca cilíndrica constitui-se em chapas metálicas corrugadas, ligadas entre si por parafusos, com a geometria dada nas figuras 8 e 9. As colunas metálicas são aparafusadas às chapas, e calculadas para suportarem os esforços verticais de compressão devidos ao peso da cobertura e ao atrito do produto. Desde que a cobertura não é objeto de estudo, são simuladas as características geométricas em todos os modelos, e a massa da cobertura do modelo flexível. Figura 8 - Geometria das chapas. Figura 9 - Geometria do silo. O cálculo das pressões dos produtos é realizado segundo a ISO (1997), o dos esforços nos silos com base na formulação para o Cálculo dos Esforços em Reservatórios Cilíndricos (ANDRADE JR 1998). A verificação das chapas conforme TRAHAIR et al. (1983), as verificações dos elementos metálicos segundo o texto base para a norma brasileira "Dimensionamento de estruturas de aço constituídas por perfis formados a frio" da ASSOCIACAO BRASILEIRA DE NORMAS TECNICAS - ABNT (000). As dimensões e capacidade dos protótipos foram adotadas em função das maiores demandas comerciais deste tipo de silo, e estão indicadas na tabela 4. Tabela 4 - Dimensões dos protótipos H D b Vol. Total Capacidade dada em número de sacos H/D m m m m 3 de 50 kg, densidade 750 kg/m 3 14,5 9,0 7, 0, ,5 1,5 5,3 1, O dimensionamento dos modelos é feito de acordo com as leis de semelhança deduzidas no item..1. Análise dimensional, admitindo-se que: i) o fator de geometria é λ L = 1/4, e ii) o fator da velocidade do vento é λ U = 1/. O fator geométrico é escolhido em função do tamanho da seção do túnel, das condições de simulação do vento e das respostas dos modelos. Para o flexível, uma escala pequena acarretaria em deslocamentos pouco perceptíveis da casca cilíndrica, e, para os rígidos, uma escala grande exigiria correções significativas das pressões. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

144 138 Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior Os modelos rígidos têm relação H/D=0,5 e 1,0 e são denominados modelo 0,5 e modelo 1,0. As dimensões estão na tabela 5, considerando-se que altura da cobertura cônica é b = 0,5D, e uma taxa de bloqueio igual a 10% da área da seção do túnel. Tabela 5 - Dimensões dos modelos em função dos diâmetros dos protótipos. D Seção - mm b D H b protótipo H/D área - m mm mm mm mm do túnel H ,5 10 x 440 D ,0,97 Em cada modelo há um conjunto de tomadas de pressão continua e igualmente distribuídos a 10 mm a partir do topo do cilindro, até a base e até o ápice da cobertura, sendo definidos modelos com superfícies lisas e com elementos externos. A figura 10 mostra os modelos com elementos externos - colunas no corpo e fios na cobertura. 15,1 10 5,7 9 tomadas 39 tomadas tomadas tomadas 363,8 7,36 545, Figura 10 - Modelos com tomadas de pressão e elementos externos. As dimensões das colunas para o corpo cilíndrico e dos fios para a cobertura cônica são mostradas na tabela 6. São 48 colunas no corpo do modelo 0,5 e 36 colunas no corpo do modelo 1,0, sendo as de 4x7 mm na porção inferior e as de 7x Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

145 A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro 139 mm na porção superior. Nas coberturas, são 1 fios grandes e 1 médios em ambos modelos, e 4 fios curtos adicionalmente à do modelo 0,5. Tabela 6 - Dimensões das colunas e dos fios para os modelos. Dimensões das colunas, mm A largura segue a direção tangencial Fio, φ = 1,0 mm Comprimento Largura Espessura Comprimento Modelo 0, e 161 Modelo 1, O modelo flexível é calculado para atender às condições de semelhança de geometria, de rigidez, de massa, e de aerodinâmica em relação ao protótipo H/D=1,0, e é constituído em uma casca cilíndrica de Melinex com 510 mm de diâmetro e de altura, altura da cobertura igual a 18 mm, figura 11. A casca tem uma espessura nominal de 0,095 mm, correspondente à espessura média da porção intermediária do cilindro (0,4H < média (t) < 0,8H); 36 colunas de PETP de espessura nominal de,0 mm, numeradas a partir da linha de estagnação e considerando-se a simetria, e largura variável em relação à altura, como mostrado na tabela 7. Tabela 7 - Largura variável das colunas do modelo flexível. z largura mm mm 4 11, , , , , , , , , , ,7 85 5, ,3 33 3, ,36 380,94 403,67 47,67 451,67 474,67 498,67 510,67 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

146 140 Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior θ Vento 510 Figura 11 - Modelo flexível. A direção z é vertical e a largura tangencial à casca cilíndrica. A cobertura segue a redução das escalas de geometria e de massa, com a finalidade de enrijecer o topo do cilindro, sendo construída em madeira balsa, para manter a relação massa/volume, e em papel impermeável para o acabamento externo final. 3.3 Geração e caracterização do escoamento no túnel de vento O escoamento de ar gerado no túnel de vento deve atender à redução de escala geométrica e cinemática, de tal modo que seja simulada a porção inferior da camada limite, e sejam definidos os fatores e as condições para o silo e o terreno de modo a serem traçados os perfis de velocidade e de intensidade de turbulência, de acordo com as normas ESDU (1995) e NBR 613 (1990). Também é verificada a escala espacial do vento, que indica as dimensões médias dos maiores turbilhões e são da ordem de 400 mm. 3.4 Ensaios aerodinâmicos dos modelos rígidos Os modelos rígidos atendem às condições aerodinâmica e geométrica, e é admitido que os testes em túnel de vento apresentam as pressões independentes do número de Reynolds. Isto significa que os coeficientes de pressão são iguais no modelo e no protótipo. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

147 A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro 141 Cada teste constituiu-se em posicionar um modelo no centro da mesa giratória, submetê-lo ao escoamento de ar e medir as pressões à medida que o modelo era girado. 3.5 Ensaios estáticos do modelo flexível Os ensaios estáticos com aplicação de força pontual são efetuados e medidos por meio de um transdutor mecânico linear no modelo flexível para servir de parâmetro às medições que são realizadas sob a ação do vento. As medições também são efetuadas a partir das imagens obtidas por câmeras de vídeo para três posições diferentes, V 1, V, V 3, indicadas na figura 13, e focos diferentes, foco 1 e foco, conforme as figuras 1 (a, b, c). Foco Foco Figura 1 (a) - Vista V 1 do modelo flexível indeformado. Figura 1 (b) - Vista V do modelo flexível indeformado. Figura 1 (c) - Vista V 3 do modelo flexível indeformado. Figura 13 - Posições para a câmera relativas à seção do túnel. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

148 14 Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior 3.6 Ensaios aeroelásticos do modelo flexível Os ensaios aeroelásticos seguem o mesmo procedimento de filmagens do ensaio estático, sendo realizados no túnel de vento 8x4-ft, de seção 10 x 440 mm. As velocidades médias no túnel de vento, referidas a 510 mm de altura, são aumentadas gradualmente e o modelo é filmado para as velocidades de 1,8 m/s (6,5 km/h), 3,8 m/s (13,7 km/h), 5,6 m/s (0, km/h) e 6,93 m/s (5 km/h). 4 RESULTADOS A abordagem definida na metodologia e nos procedimentos define os processos dos ensaios para as medições das características do escoamento de ar gerado no túnel de vento, das distribuições de pressões nos modelos rígidos e das configurações de deflexão e dos deslocamentos do modelo flexível. A finalidade é processar e analisar todos os dados obtidos em cada ensaio. 4.1 Perfis de velocidade e de intensidade de turbulência e escalas de turbulência Os dados obtidos no túnel consistem em respostas elétricas do anemômetro de fio quente em volts, convertidas para velocidade em m/s, e normalizadas em relação à velocidade média igual a 14,43 m/s a 38 mm de altura (10 m em escala real). Os resultados são apresentados para a velocidade e a intensidade de turbulência calculadas para atenderem às normas ESDU (1995) e NBR 613 (1990). 50,00 y = 65,68x - 81,09x + 4,61 50,00 45,00 45,00 40,00 40,00 NBR613 35,00 35,00 ESDU Altura z, m 30,00 5,00 0,00 15,00 10,00 NBR613 ESDU 1/4 Polinômio (1/4) Altura, m 30,00 5,00 0,00 15,00 10,00 1/4 Ref 1/4 Polinômio (Ref 1/4) y =,6819x - 104,76x ,5 5,00 5,00 0,00 0,0 0, 0,4 0,6 0,8 1,0 1, 1,4 1,6 Velocidade Normalizada 1,0 = 14,43 m/s Figura 14 (a) - Perfis de velocidade normalizada e linha de tendência. 0, Intensidade de Turbulência, % Figura 14 (b) - Perfis da intensidade de turbulência normalizada. As escalas de turbulência são obtidas a partir da autocorrelação entre as componentes flutuantes em torno da velocidade média, para três faixas de velocidades: 1) baixa, U = 3,94 m/s, ) média, U = 11,40 m/s, e 3) alta, U = 15,56 m/s. As velocidades de referência são medidas a 38 mm de altura. As figuras 14 (a, b) mostram os gráficos para as escalas temporal e espacial da turbulência. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

149 A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro 143 Tempo, s 0,1 0,10 0,08 0,06 0,04 0,0 0,00 0,0995 0,0366 0,054 3,94 11,40 15,56 Velocidade, m/s Figura 15 - Escalas temporais de turbulência. Comprimento, mm 500,00 400,00 300,00 00,00 100,00 0, ,94 11,40 15,56 Velocidade, m/s Figura 16 - Escalas espaciais de turbulência. 4. Distribuições de pressões nos modelos rígidos Os resultados são os coeficientes de pressões externas, calculados para os modelos 0,5 e 1,0, com a altura de referência igual a H para o cilindro e a H+b para a cobertura cônica, em que b=d/4, o modelo 0,5 - H=0,5D=345 mm, e o modelo 1,0 - H=D=510 mm. As pressões dinâmicas de referência para o cálculo dos coeficientes de pressão são 149 Pa a 345 mm, para o cilindro e 188 Pa a 517,5 mm, para a cobertura do modelo 0,5. Para o modelo 1,0 as pressões respectivas são 185 Pa mm, e 198 Pa - 637,5 mm Coeficientes de pressão para o modelo 0,5 Os coeficientes de pressão para o modelo 0,5 são apresentados para o modelo com a superfície lisa e com os elementos externos colunas no cilindro e fios na cobertura. Nas figuras 0 e 1 estão apresentadas as isobáricas dos coeficientes de pressão, C pe, para o modelo 0,5 com superfície lisa e com elementos externos, respectivamente. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

150 144 Luciano Jorge de Andrade Junior & Carlito Calil Junior 4... Coeficientes de pressão para o modelo 1,0 Os coeficientes de pressão para o modelo 1,0 são apresentados para o modelo com a superfície lisa e com os elementos externos colunas no cilindro e fios na cobertura. Figura 17 - C pe para o modelo 1,0 liso. Figura 18 - C pe no modelo 1,0 nervurado Coeficientes de arrasto e de sustentação para os modelos rígidos Conforme a literatura, a resistência de forma é praticamente igual à resistência global do corpo ao escoamento do ar. Deste modo, o cálculo dos coeficientes de arrasto, C a, e de sustentação, C s, é mais adequado pela integração dos coeficientes de pressão. O C a é a resultante dos componentes de C pe na direção do vento, vezes a área projetada do cilindro (HxD) ou da cobertura (Dxb/). O C s é a resultante dos componentes dos C pe na direção perpendicular à do vento, vezes a área projetada da cobertura (πxd /4). No cilindro o C s é considerado nulo devido à simetria do escoamento. A tabela 7 traz os valores de C a com U ref à altura H, de C s com U ref à altura H+b, e dos números de Reynolds. Os valores positivos de C a indicam força de arrasto na direção do vento e C s negativo indica força vertical com sentido para cima. Tabela 7 - Coeficientes de arrasto e de sustentação dos modelos. Modelo U ref, m/s C a, NBR C a H/D Superfície Cilindro Cilindro Cil. Cob. C a Cobertura C s Cobertura 0,5 Lisa 0,50 0,51-0,01-0,55 0,5 Elementos 15,58 17,50 0,70 0,61 0,033-0,50 1,0 Lisa 0,50 0,45-0,030-0,74 1,0 Elementos 17,60 18,90 0,70 0,56-0,019-0,66 R e 7,36x10 5 6,14x10 5 Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007

151 A ação do vento em silos cilíndricos de baixa relação altura/diâmetro Configurações e medidas das deflexões no modelo flexível O modelo flexível foi estudado em dois casos: o primeiro para as forças estáticas aplicadas ao cilindro e o segundo para as forças exercidas pelo vento gerado no túnel. A finalidade é coletar informações sobre as configurações e os valores de deslocamentos estáticos característicos, para servir de base na comparação da ordem de grandeza dos demais deslocamentos devidos à ação do vento Ensaios estáticos As configurações do corpo cilíndrico são mostradas no caso do ensaio estático, para a aplicação das forças nos pontos θ = 0º, z = 55 mm e z = 380 mm, como mostrado nas figuras 19 (a) e (b). Os resultados correspondentes estão na tabela 8, em que as forças aplicadas e os deslocamentos radiais foram efetuados com um transdutor Figura 19 (a) - Modelo flexível com força aplicada em z = 55 mm. Figura 19 (b) - Modelo flexível com força aplicada em z = 380 mm. Tabela 8 - Valores médios dos deslocamentos radiais dos ensaios estáticos medidos com o transdutor. Cota z mm Força N Deslocamento radial, mm Média Desvio padrão 0,49 3,4 0,15 0,98 5,1 0,07 1,37 6, 0,18 0,49 3,9 0,13 0,98 5,4 0, 1,37 6,6 0,1 Os deslocamentos por imagens foram calculados com o foco 1 a partir das três vistas 0V 1, 0V e 0V 3, como mostrado na figura 15. O procedimento para as medidas dos deslocamentos começa com a superposição da imagem digitalizada do modelo deformado sobre a imagem do modelo indeformado. Então, a imagem da camada superior (modelo deformado) é modificada e fica translúcida. A partir deste estágio, a imagem do modelo deformado tem a sua opacidade aumentada até um percentual, em torno de 35%, em que é possível ver as duas imagens, a do modelo em repouso e a do modelo deformado. Os valores dos deslocamentos estáticos obtidos por imagens são mostrados na tabela 9. Cadernos de Engenharia de Estruturas, São Carlos, v. 9, n.41, p , 007