Transformada Fracional de Fourier sobre GF(p), p 1 (mod 4)

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1 Transformada Fracional de Fourier sobre GF(p), p 1 (mod 4) Juliano B Lima Programa de Pós-Graduação em Engenharia de Sistemas, POLI, UPE, , Recife, PE juliano bandeira@ieeeorg, Ricardo M Campello de Souza Departamento de Eletrônica e Sistemas, CTG, UFPE , Recife, PE ricardo@ufpebr Resumo: A contribuição central deste trabalho é a definição da transformada fracional de Fourier sobre corpos finitos GF(p), em que p 1(mod 4) Esta ferramenta é introduzida a partir de conceitos de trigonometria de corpo finito e do estudo dos autovalores e autovetores da matriz da transformada de Fourier num corpo finito Além de apresentar um procedimento sistemático para construção da referida transformada, neste trabalho, são descritas algumas de suas possíveis aplicações Palavras-chave: Transformada fracional de Fourier, corpos finitos, autovetores 1 Introdução A transformada fracional de Fourier (FrFT) é uma generalização da transformada de Fourier, que corresponde ao cálculo de potências fracionais do operador transformada de Fourier e sua aplicação a uma função ou sinal [1] Nas últimas décadas, a FrFT tem atraído a atenção pesquisadores em áreas como Óptica, Teoria das Comunicações, Criptografia, Processamento Digital de Sinais etc [9], [8], [13] A versão discreta da FrFT, denominada transformada discreta fracional de Fourier (DFrFT), possui grande importância do ponto de vista computacional e sua definição segue diferentes abordagens [1] Recentemente, transformadas fracionais de Fourier em corpos finitos também foram definidas [11], [7] Em [7], particularmente, emprega-se uma abordagem que, de certa forma, corresponde à extensão para corpos finitos da ideia introduzida em [5], além de se considerar conceitos próprios do novo cotexto Neste artigo, a transformada de Fourier de corpo finito (GFrFT) proposta em [7] é reconsiderada A diferença fundamental é que, no presente trabalho, são considerados corpos finitos GF(p), em que p 1 (mod 4) Tal restrição permite a definição de transformadas numéricas, isto é, que realizam um mapeamento de GF(p) para GF(p), evitando corpos de extensão Isso torna mais simples os cálculos e facilita o uso da GFrFT em aplicações como cifragem de imagem e esquemas de comunicação multiusuário Este trabalho é dividido da seguinte forma: após esta introdução, alguns conceitos relacionados à trigonometria e às transformadas de Fourier em corpos finitos são revisados na Seção Na Seção 3, a definição da transformada fracional de Fourier em corpos finitos é apresentada Na Seção 4, algumas possíveis aplicações da GFrFT são discutidas de forma preliminar Na Seção 5, são descritas as principais conclusões deste artigo e mencionadas perspectivas para futuras investigações 647

2 Preliminares Nesta seção, é apresentada uma definição para a função cosseno num corpo finito [4] Uma transformada de Fourier de corpo finito é considerada e sua autoestrutura, cujo conhecimento é fundamental para que se defina a GFrFT, é analisada Definição 1 (Função cosseno de corpo finito) Seja ζ um elemento não nulo de um corpo finito GF(p), p é um primo ímpar A função trigonométrica cosseno de corpo finito relacionada a ζ é calculada módulo p por cos ζ (x) := ζx + ζ x, (1) x =, 1,, ord(ζ), em que ord(ζ) corresponde à ordem multiplicativa de ζ Definição A transformada de Fourier de corpo finito (FFFT) de um vetor x = x[i], i =, 1,, N 1, x[i] GF(p), é um vetor X = X[k], k =, 1,, N 1, X[k] GF(p), calculado módulo p por X[k] = N 1 N 1 x[i]ζ ki, () em que ζ GF(p) é um elemento com ordem multiplicativa ord(ζ) = N A transformada inversa é dada por x[i] = N 1 N 1 X[k]ζ ki, (3) O fator de escala N 1 e a escolha apropriada do elemento ζ tornam unitária a FFFT [7] A relação entre x e X pode ser expressa pela equação matricial i= k= X = xf, (4) em que F é a matriz de transformação, cujo elemento na (k + 1)-ésima linha e na (i + 1)-ésima coluna é dado por F k+1,i+1 = N 1 ζ ki Os principais resultados relacionados aos autovalores e aos autovetores de F, os quais desempenham um papel fundamental na definição da GFrFT, são apresentados a seguir [] Proposição 1 A matriz F possui, no máximo, quatro autovalores distintos, 1, 1, 1, 1, calculados em GF(p), cujas multiplicidades são apresentadas na Tabela 1 Tabela 1: Multiplicidades dos autovalores de F, a matriz da transformada de Fourier de corpo finito com dimensões N N N Mult 1 Mult 1 Mult 1 Mult 1 4n n + 1 n n 1 n 4n + 1 n + 1 n n n 4n + n + 1 n + 1 n n 4n + 3 n + 1 n + 1 n n + 1 Proposição Todo autovetor da matriz F possui simetria par ou simetria ímpar Autovetores pares estão relacionados aos autovalores 1 ou 1; autovetores ímpares estão relacionados aos autovalores 1 ou 1 Neste ponto, observa-se que o fato de se estar considerando corpos finitos GF(p), em que p 1(mod 4), garante que o número 1, que aparece nas Proposições 1 e, pertence a GF(p) O mesmo não aconteceria se se estivesse utilizando p 3(mod 4); seria necessário recorrer ao corpo de extensão GF(p ) 648

3 3 A Transformada Fracional de Fourier em Corpos Finitos Conforme mencionado na introdução deste trabalho, a transformada fracional de Fourier corresponde ao cálculo de potências (não necessariamente inteiras) do operador transformada de Fourier No presente contexto, tal operador é representado pela matriz F A matriz F a, em que a é um número racional, da GFrFT pode, portanto, ser obtida por meio da expansão espectral F a = VΛ a V T (5) Na equação acima, V é uma matriz cujas colunas são autovetores pertencentes a um conjunto ortonormal de autovetores de F e Λ é uma matriz diagonal cujo elemento na i-ésima linha e na i-ésima coluna é um autovalor de F ao qual o autovetor na i-ésima coluna de V está associado; { } T denota a operação de transposição Assim, para que se obtenha F a, precisa-se, basicamente, obter o conjunto ortonormal de autovetores mencionado No entanto, tal conjunto não é único, visto que os autovalores de F são degenerados (Proposição 1) Isso torna necessário algum mecanismo que oriente a escolha deste conjunto, a fim de evitar ambiguidades na definição da GFrFT O procedimento adotado aqui segue aquele proposto em [5] e considera a matriz S = C C C 1 C N 1, (6) em que C n = [cos ζ (n) ] e ζ GF(p) é um elemento não-nulo e com ord(ζ) = N, coincidente com aquele usado para construir a matriz F Mostra-se que as matrizes S e F comutam, o que significa que ambas possuem um conjunto ortonormal de autovetores em comum [7] A obtenção propriamente dita de tal conjunto faz uso da matriz 1 1 P = P T = P 1 = , (7) que decompõe um vetor em suas componentes pares e ímpares A transformação de similaridade [ ] P SP 1 Ev = (8) Od produz as matrizes tridiagonais simétricas Ev e Od, com dimensões N + 1 e N 1, respectivamente ( denota a parte inteira do argumento) Todos os autovalores de cada uma das matrizes Ev e Od são distintos [7] A partir dos respectivos autovetores, constrói-se o único conjunto ortnonormal de autovetores de S, que é também um conjunto ortonormal de autovetores de F e que será utilizado na construção de V De modo mais específico, os autovetores pares de S são obtidos por v k = P [ e T k ] T N, k =,,, (9) 649

4 em que e k é um autovetor de Ev; os autovetores ímpares de S são obtidos por v k+1 = P [ o T k ] T, k =,, N 3, (1) em que o k é um autovetor de Od O autovetor na (i+1)-ésima coluna de V deve estar associado ao autovalor ( 1) i, o (i + 1)-ésimo elemento ao longo da diagonal de Λ (i =, 1,, N 1) Para N par, é preciso suprimir i = N 1 (ou considerar nulo o respectivo autovetor) e incluir i = N Tal ajuste se faz necessário em função das multiplicidades dos autovalores de F (vide Tabela 1) Os passos necessários para a obtenção da expansão espectral de F, a qual possibilita o cálculo de F a, a matriz da GFrFT, são resumidos na Tabela Tabela : Construção da matriz da GFrFT com dimensões N N 1 Escolha de um elemento ζ GF(p), em que p 1(mod 4), tal que ord(ζ) = N; Construção da matriz S de acordo com a Equação (6); 3 Construção da matriz P de acordo com a Equação (7); 4 Obtenção das matrizes Ev e Od a partir da Equação (8), e cálculo dos seus autovalores; 5 Cálculo dos autovetores e de Ev e dos autovetores o de Od; 6 Cálculo dos autovetores v de S: os autovetores pares e ímpares são calculados a partir dos autovetores e e o, respectivamente, de acordo com as Equações (9) e (1); 7 Construção da matriz V, cujas colunas são os autovetores v ordenados segundo os autovalores correspondentes presentes na matriz diagonal Λ; 8 Escolha do parâmetro racional a e cálculo de F a de acordo com a Equação (5) Exemplo 1 Consideremos, neste pequeno exemplo, a construção de uma transformada fracional de Fourier sobre GF(59833) utilizando ζ = 3719 A ordem de ζ é ord(ζ) = N = 6 Após a construção das matrizes S e P, por meio das Equações (6) e (7), são obtidas as matrizes Ev = e Od = [ Os autovalores de Ev são {178, 9164, 3661, 43} e os de Od são {386, 35965} A partir dos autovetores de Ev e Od (o procedimento para obtenção desses autovetores é omitido), são construídos, por meio das Equações (9) e (1), os autovetores v da matriz F Esses autovetores são apresentados na Tabela 3, assim como os respectivos autovalores, na ordem em que eles são dispostos ao longo da diagonal da matriz Λ Como o conjunto de autovetores a ser empregado na expansão espectral de F deve ser ortonormal, os autovetores v precisam, ainda, ser normalizados antes de serem efetivamente utilizados na construção da matriz V presente na Equação (5) Para isso, basta multiplicar cada um desses autovetores pelo inverso de sua norma [7] Com isso, tem-se todas as informações necessárias para a obtenção da matriz F a, para um valor específico de a Fazendo a = 1/, por exemplo, os elementos da diagonal de Λ a são {1, 39, 53431, 6145, 5983, 64} Assim, a matriz F 1/ é dada por F 1/ = ] 65

5 Tabela 3: Conjunto ortogonal de autovetores da matriz F (p = 59833, ζ = 3719, N = 6) k Λ k+1,k+1 = ( 1) k v k 1 [ ] [ ] [ ] [ ] 4 1 [ ] [ ] 4 Aplicações Nesta seção, são apresentadas de forma preliminar duas sugestões de aplicações para a transformada fracional de Fourier de corpo finito A primeira delas consiste na utilização dos autovetores da GFrFT como sequências sobre as quais é possível a transmissão de dados num esquema de comunicação multiusuário [3] A segunda proposta consiste na aplicação da GFrFT para formatação (uniformização) de histogramas para cifragem de imagens digitais [6] 41 Comunicação Multiusuário Baseada na GFrFT A comunicação multiusuário é um procedimento de grande importância para o aproveitamento racional dos recursos disponíveis nas redes de comunicação modernas Técnicas como o CDMA implementam tal procedimento utilizando sequências de espalhamento sobre as quais cada usuário transmite seus dados [1] Após a interferência mútua que essas sequências sofrem no canal de comunicação, elas podem ser separadas (recuperadas) num receptor por meio de um cálculo de correlação O que permite essa separação é, basicamente, a ortogonalidade entre as sequências Tal propriedade é também verificada entre os autovetores da matriz da GFrFT Diante disso, pode-se construir um esquema de comunicação multiusuário associando a cada usuário um autovalor distinto de uma GFrFT Cada usuário transmite seus dados sobre autovetores pertencentes ao subespaço vetorial associado, os quais são gerados pelo produto de cada autovetor obtido na expansão espectral descrita na Seção 3 por fatores de escala Após interferirem num canal somador aditivo sobre o corpo considerado, as sequências enviadas pelos diversos usuários são separadas por meio do cálculo de uma correlação ou solucionando um sistema de equações O exemplo a seguir ilustra este procedimento quando se tem apenas dois usuários Exemplo (Esquema com dois usuários) Consideremos a GFrFT construída no Exemplo 1 Precisa-se apenas de dois autovalores distintos e, para isso, é suficiente fazer a = 1 Neste caso, a GFrFT se reduz à transformada de Fourier de corpo finito usual, o que sugere a escolha dos autovalores λ 1 = 1 e λ = (mod59833) Se x 1 e x forem autovetores associados aos autovalores λ 1 e λ, respectivamente, e sobre os quais os usuários 1 e transmitem seus dados, ao se somarem, eles produzirão a sequência y = x 1 + x Aplicando a transformada a y, obtém-se yf = x 1 F + x F = x 1 x Resolvendo o sistema composto pelas duas últimas equações, recupera-se as sequências x 1 e x por x 1 = (y + yf)/ e x = (y yf)/ A ideia descrita pode ser estendida para um número maior de usuários Basta escolher valores para o comprimento N e para o parâmetro a que garantam que o número de autovalores distintos da matriz da transformada construída é maior ou igual ao número de usuários simultâneos que se deseja que o esquema suporte Esquemas como esse, mas utilizando outras transformadas, têm sido investigados A maior vantagem de se utilizar a GFrFT é o fato de se ter que lidar apenas com valores inteiros na composição e no processamento das sequências dos usuários Isso torna 651

6 ISSN (a) (b) (c) 1 (d) Figura 1: (a) Imagem original lenabmp; (b) Histograma de lenabmp; (c) Imagem com histograma formatado utilizando transformadas de corpo finito; (d) Histograma formatado as implementac o es mais ra pidas e facilita a comparac a o dos esquemas propostos com aqueles baseados em te cnicas que empregam seque ncias bina rias 4 Formatac a o de Histogramas para Cifragem de Imagens Digitais Com a crescente facilidade para distribuic a o de informac a o multimı dia nas redes de comunicac a o, te cnicas que protejam imagens digitais contra manipulac o es na o autorizadas e garantam confidencialidade te m se tornado cada vez mais necessa rias aos usua rios Nesse contexto, os me todos para cifragem de imagens desempenham um importante papel Para evitar ataques estatı sticos sobre uma imagem cifrada, e importante que a mesma tenha passado por uma etapa que tenha descaracterizado o seu histograma original ou, idealmente, que o tenha tornado uniforme A formatac a o de histogramas para cifragem de imagens digitais e feita, basicamente, pela divisa o da imagem em blocos com dimenso es iguais a s da transformada, a qual e aplicada de maneira recursiva Utilizando a transformada inversa, recupera-se a imagem original Como forma de ilustrar os resultados conseguidos com este esquema, na Figura 1, apresentam-se a imagem em 56 nı veis de cinza lenabmp e o seu histograma original, assim como a imagem lenabmp apo s a formatac a o e o respectivo histograma; neste caso, foi utilizada uma transformada do cosseno de corpo finito Testes objetivos atestam a distribuic a o uniforme do histograma formatado e a baixa correlac a o entre pixels vizinhos [6] A possibilidade adicional conseguida pelo uso da transformada fracional de Fourier de corpo finito neste processo consiste em empregar uma seque ncia de valores para o para metro fracional a como uma chave secreta Pode-se definir como chave o vetor a = (ai ), i =, 1,, an, cujos elementos sa o valores que possam ser utilizados como para metros fracionais da transformada a ser empregada O i-e simo bloco da imagem original e, enta o, processado pela transformada com matriz Fai e, a partir daı, a imagem cifrada e com histograma formatado e obtida 5 Concluso es Neste artigo, foi apresentado um procedimento sistema tico para construc a o de transformadas fracionais de Fourier sobre corpos finitos GF(p), em que p 1(mod4) Diversos aspectos teo ricos 65

7 envolvidos na definição da GFrFT foram abordados e sugestões de aplicações da transformada foram fornecidas Atualmente, têm sido investigadas de forma mais completa as propriedades da GFrFT, assim como a sua efetiva aplicabilidade em contextos como os que foram mencionados, o que requer a consideração de uma série de fatores de ordem prática Outras transformadas fracionais em corpos finitos, como a do cosseno e a do seno, também têm sido caracterizadas Relações das transformadas fracionais de corpo finito com grupos de matrizes e suas aplicações em Códigos Corretores de Erro e Criptografia são outros tópicos que se pretende investigar Agradecimentos Esta pesquisa é desenvolvida com recursos da Fundação de Amparo à Ciência e Tecnologia do Estado de Pernambuco (FACEPE), Processo N o APQ /1 Referências [1] L B Almeida, The fractional Fourier transform and time-frequency representations, IEEE Transactions on Signal Processing, vol 4, no 11, pp , November 1994 [] D T Birtwistle, The eigenstructure of the number theoretic transforms, Signal Processing, vol 4, no 4, pp 87 94, July 198 [3] R M Campello de Souza and H M de Oliveira, Eigensequences for multiuser communication over the real adder channel, in Proc Int Telecommun Symp (ITS 6), Fortaleza, Brazil, 6 [4] R M Campello de Souza, H M de Oliveira, A Kauffman, and A J A Paschoal, Trigonometry in finite fields and a new Hartley transform, in Proc IEEE Int Symp Information Theory (ISIT 98) IEEE, 1998, p 93 [5] C Candan, M Alper Kutay, and H M Ozaktas, The discrete fractional Fourier transform, IEEE Trans Signal Process, vol 48, no 5, pp , May [6] J B Lima and R M Campello de Souza, Formatação de histogramas para cifragem de imagens digitais, in Anais do XXIX Simp Bras Telecomunicações, Curitiba, PR, 11 [7], The fractional Fourier transform over finite fields, Signal Processing, vol 9, no, pp , February 1 [8] Z Liu et al, A new kind of double image encryption by using a cutting spectrum in the 1-D fractional Fourier transform domains, Opt Commun, vol 8, no 8, pp , 9 [9] H M Ozaktas, Z Zalevsky, and M Alper Kutay, The Fractional Fourier transform: with Applications in Optics and Signal Processing John Wiley & Sons, 1 [1] S-C Pei, C-C Wen, and J J Ding, Closed-form orthogonal eigenvectors generated by complete generalized Legendre sequences, IEEE Trans on Circuits and Systems I: Regular Papers, vol 55, no 11, pp , December 8 [11], Closed form orthogonal number theoretic transform eigenvectors and the fast fractional NTT, IEEE Trans on Signal Processing, vol 59, no 5, pp , May 11 [1] H Schulze and C Lueders, Theory and Applications of OFDM and CDMA: Wideband Wireless Communications, 1st ed Wiley, 5 [13] R Tao, X-Y Meng, and Y Wang, Transform order division multiplexing, IEEE Transactions on Signal Processing, vol 59, no, pp , February