Ajustando parâmetros livres de um Algoritmo Genético: uso da metodologia Response Surface

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1 Ajustando parâmetros livres de um Algoritmo Genético: uso da metodologia Response Surface Hélcio Vieira Junior, Fabiano Luis de Sousa. Instituto Tecnológico de Aeronáutica, Pça Mal. Eduardo Gomes, , São José dos Campos, SP. Instituto Nacional de Pesquisas Espaciais, Av. dos Astrounáutas, , São José dos Campos, SP. Resumo Algoritmos Genéticos (AGs) são algoritmos de otimização e busca fundamentados no princípio da seleção natural de Charles Darwin. A versão mais rudimentar dos AGs foi a AGS (Algoritmo Genético Simples), na qual é utilizada codificação binária, a seleção da população intermediária é feita por meio da roda de roleta, o operador Crossover é de um ponto, o operador de Mutação é bit-a-bit e a substituição da população é geracional. Apesar de ser bem simples, esta versão é bastante efetiva, desde que seus parâmetros (tamanho da população, probabilidade de Crossover e probabilidade de Mutação) sejam bem escolhidos. O objetivo deste trabalho é mostrar que a metodologia Response Surface Methodology possui bons predicados para a definição dos parâmetros ótimos para um AGS. Palavras-chaves Algoritmos Genéticos, Response Surface Metodology. I. INTRODUÇÃO Algoritmos Genéticos (AGs) são algoritmos de otimização e busca fundamentados no princípio da seleção natural de Charles Darwin. Estes algoritmos foram inicialmente propostos por John Holland em 975 e são fundamentados pela seguinte afirmação de Darwin: Quanto melhor um indivíduo se adaptar ao seu meio ambiente, maior será sua chance de sobreviver e gerar descendentes (Lacerda e Carvalho apud Darwin). A versão mais rudimentar dos AGs foi a AGS (Algoritmo Genético Simples), na qual é utilizada codificação binária, a seleção da população intermediária é feita por meio da roda de roleta, o operador Crossover é de um ponto, o operador de Mutação é bit-a-bit e a substituição da população é geracional. Apesar de ser bem simples, esta versão é bastante efetiva, desde que seus parâmetros (tamanho da população, probabilidade de Crossover e probabilidade de Mutação) sejam bem escolhidos. O objetivo deste trabalho é mostrar que a metodologia Response Surface Methodology possui bons predicados para a definição dos parâmetros ótimos para um AGS. Este artigo está estruturado da seguinte maneira: na seção dois, a metodologia Response Surface Methodology (RSM) é revista; a implementação da RSM a um AGS na avaliação da função teste de Griewang é apresentada na seção três e a seção quatro compreende nossas conclusões. Hélcio Vieira Junior, helcio@ita.br, Fabiano Luis de Souza, fabiano@dem.inpe.br, Tel II. RESPONSE SURFACE METHODOLOGY A metodologia Response Surface Methodology, ou RSM, foi introduzida na década de 5 por Bo e Wilson (95) e pode ser definida como uma coleção de técnicas matemáticas e estatísticas que são úteis para o modelamento e a análise de problemas nos quais a resposta de interesse é influenciada por diversas variáveis e o objetivo é otimizar esta resposta (Montgomery, ). O gol da RSM é obter uma relação funcional aproimada entre a resposta de interesse (saída) e as variáveis independentes (entradas). Normalmente um polinômio de baia ordem é utilizado em alguma região das variáveis independentes. Caso a resposta seja bem modelada por uma função linear das variáveis independentes, a função de aproimação será um modelo de primeira ordem: y = β + βii + ε () i= Após a coleta dos dados e o tratamento estatístico correspondente (regressão linear), temos como resultado o modelo de primeira ordem ajustado: y β β = + () i= A superfície de resposta de primeira ordem ajustada, ou seja, os contornos de y, são uma série de linha paralelas (ilustradas por linhas tracejadas), conforme eemplificado na figura.. y = 5 y = y = 3 y = y = Figura Superfície de resposta de primeira ordem ajustada i Direção de maior crescimento i Região da superfície de resposta de primeira ordem ajustada

2 Medições são realizadas na direção de maior crescimento até que não haja mais aumento na resposta de interesse. Então, um novo modelo de primeira ordem é realizado, uma nova direção de maior crescimento é achada e o procedimento se repete. Eventualmente, o eperimento irá chegar à proimidade do ótimo. Isto é indicado pela falta de adequação do modelo de primeira ordem. Se houver uma curvatura no sistema, então um polinômio de ordem maior deverá ser utilizado para a estimativa do ótimo. Um modelo de segunda ordem é eemplificado abaio: i i ii i ij i j i= i= i< j (3) y = β + β + β + β + ε A equação (3) ajustada, na forma matricial, é: T T y = β + b+ B () T =, T b = ( β β β ) e onde: ( ) β β β β β β B =. β β β A resposta no ponto estacionário de máimo é dada por: T y = β + s b (5) onde = B b. s..., é pouco provável que um modelo polinomial seja uma aproimação razoável da verdadeira relação funcional em todo o espaço das variáveis independentes, mas, para uma pequena região, ele normalmente funciona muito bem (Montgomery, ). Este procedimento (RSM) pode ser visualizado na figura onde em um problema de minimização tivemos três modelos de primeira ordem (centrados nos pontos, e 3 ) e um de segunda ordem (centrado no ponto ). III. RSM APLICADO A UM AGS Implementamos a RSM a um AGS na avaliação da função teste de Griewang. Esta função é dada por: n n i i Mi = + cos i= i= i (6) Figura RSM seqüencial A equação () foi avaliada para n =, com a população inicial do AGS sendo gerada aleatoriamente no intervalo 6 6. O número de avaliações da para cada i 3 rodada do AGS foi limitado em 5*. As três variáveis independentes são: tamanho da população, probabilidade de Crossover e probabilidade de Mutação. Como ponto central do nosso delineamento inicial, arbitramos o ponto ( 8,75,3 ), que significa uma população de 8 indivíduos, uma probabilidade de Crossover de 75% e uma probabilidade de Mutação de 3%. O valor do tamanho da população foi escolhido aleatoriamente, sendo os dois outros parâmetros escolhidos por serem o ponto médio,5, para dos valores normalmente utilizados ([ ] Crossover e [,,5 ] para Mutação). Tabela Delineamento fatorial inicial Tratamento 6,7, - - -,996 6,7, - - 7,69 3 6,8, - -,988 6,8, - 6,933 5,7, - -,99 6,7, - 7,3 7,8, -, 8,8, 7,7 9 8,75,3,8 8,75,3,785 8,75,3,3636 8,75,3,53 3 8,75,3,883

3 Utilizou-se a seguinte Função Objetivo para o RSM: =,9μ +,σ (7) onde μ é a média e σ é o desvio padrão de 5 repetições independentes do AGS. A tabela ilustra o delineamento fatorial inicial. A análise estatística pela técnica ANOVA está ilustrada na figura 3 Observe que o modelo linear descreve bem os dados, logo podemos continuar com a técnica RSM. Tomando como ponto central de um novo delineamento fatorial as coordenadas do melhor valor encontrado anteriormente (tratamento ), obtemos os dados ilustrados pela tabela 3. Aplicando novamente as técnicas estatísticas descritas anteriormente, obtivemos uma nova direção de diminuição da, que gerou os novos tratamentos ilustrados na tabela e figura 6 Segundo Delineamento Figura 3 ANOVA do primeiro delineamento Realizando a regressão linear dos dados da tabela, obtemos o modelo (dos dados codificados) ilustrado na figura Figura Regressão linear do primeiro delineamento Optamos por um incremento de -,3333 na variável PMC, o que gerou a seqüência de novos pontos ilustrada pela tabela e figura 5.,,, 8, 6,,,, Primeiro Delineamento ,,,,8,6,,, Tratamento nº Figura 6 Comportamento da dos dados da tabela. Novamente, tomamos como ponto central as coordenadas do tratamento 39, porém, por já acreditarmos estarmos próimos ao ótimo, optamos por ajustar um modelo de ª ordem aos dados. O delineamento fatorial não se presta ao ajuste de modelos de ª ordem. O delineamento chamado de CCD (Central Composite Design Delineamento Composto Central) é o que contém pontos de amostragem suficientes para a construção de tal modelo. Para maiores informações sobre delineamentos fatoriais e CCD o leitor deve consultar Montgomery (). A análise estatística deste último delineamento mostrou que o modelo de ª ordem descrevia corretamente os dados. Isto nos mostra que estamos bem próimos do ótimo. A figura 7 ilustra a superfície de resposta ajustada aos dados. Tratamento nº Figura 5 Comportamento da dos dados da tabela. Isto pode ser observado pelo p-value do Lac of Fit superior ao valor de,5. A equação de regressão obtida é: =,55,5NC,6PCC+,68PMC. Dividindo todos seus termos por -7,88, temos =,577 +,3NC+,78PCC,3333PMC. Logo, para um incremento de -,3333 na variável PMC, teremos um incremento de,3 na NC e,78 na PCC. Figura 7 Gráfico de superfície de resposta

4 Tabela Resultados colhidos na direção de maior crescimento Tratamento Passo Origem 8,75,3 Incremento ( Δ ),, -,33,3,78 -, Origem + Δ 8,75,67,3,78 -,3333 3,695 Origem + Δ 8,758,33,7,55 -,6667, Origem + 3 Δ 8,75,,,33 -,, Origem + Δ 8,756,67,3,3 -,3333,5 7 Origem + 5 Δ 8,759,33,6,388 -,6667,59 8 Origem + 6 Δ 8,753,,,65 -,,78 9 Origem + 7 Δ 8,757,67,3,53 -,3333,7 Origem + 8 Δ 8,753,33,6,6 -,6666,3 Origem + 9 Δ 8,7535,,9,698-3,,96 Tabela 3 Segundo delineamento fatorial Tratamento 75,73, ,7 3 75,73,3 - -,788 75,763,3 - -,3 5 75,763,3 -, ,73,3 - -, ,73,3 -,7 8 85,763,3 -, ,763,3, ,753,33,5 3 8,753,33, 3 8,753,33, 33 8,753,33,5 3 8,753,33,6 Tabela Resultados colhidos na direção de maior crescimento Tratamento Passo Origem 8,753,33 Incremento ( Δ ),,,3,66 -,,3 35 Origem + Δ 8,753,36,66 -,,3, 36 Origem + Δ 8,753,39,33 -,,6, Origem + 3 Δ 8,753,,99 -,63,9,93 38 Origem + Δ 8,753,5,665 -,8,,9 39 Origem + 5 Δ 8,753,8,83 -,5,5,675 Origem + 6 Δ 8,753,5,997 -,5,8,8 Origem + 7 Δ 8,753,5,6 -,6,,853 Origem + 8 Δ 8,759,57,33 -,67,,385

5 Tabela 5 Delineamento CCD Tratamento 3 78,755,7 -, -, -,,865 78,755,9 -, -,,, ,7535,7 -,, -,, ,7535,9 -,,,,75 7 8,755,7, -, -,,6 8 8,755,9, -,,,85 9 8,7535,7,, -,,7 5 8,7535,9,,,,7 5 8,753,8,,,, ,753,8,,,, ,753,8,,,,99 5 8,753,8,,,,6 55 8,753,8,,,, ,753,8,688,,, ,753,8 -,688,,, ,7538,8,,688,, ,75,8, -,688,,7 6 8,753,5,,,688,73 6 8,753,6,, -,688,83 O ponto ótimo de operação é mostrado na figura 8 na coluna Critical Values. Performance AGS (escala logarítmica),,, Figura 8 Ponto ótimo de operação De posse dos valores ótimos dos parâmetros obtidos pelo RSM ( 8,759,85) 3, realizamos 5 rodadas independentes do AGS. A figura 9 ilustra o desempenho destas 5 rodadas, onde a linha azul representa o valor médio, a linha vermelha o maior valor, a linha verde o menor valor e a linha pontilhada o limite superior do intervalo de confiança de 95% para a média. O esforço computacional gasto para rodar uma instância do AGS, em média, no software MATLAB 7 R, foi: 8,9 seg em um PC AMD Sempron.5 GHz,,5 GB RAM, Win XP SP3; e 9, seg em um laptop Intel Core Duo GHz, GB RAM, Win XP SP3. O valor da função de avaliação foi : F( μ, σ ) =,9*,7585 +,*,6388 =,765 Média Mínimo Nº de avaliações da Máimo 95% CI superior Figura 9- Performance do AGS com n = 8, PC = 75, 9% e PM =,85% Observe que o valor encontrado para a (,765) foi muito próimo ao previsto pela figura 8 (,7838). A tabela 5 trás os melhores valores da função teste de Griewang (6) alcançadas pelas 5 rodadas independentes do AGS ilustradas pela figura 9. 3 Arredondamos aqui, e em todos os momentos anteriores, o valor de n para o inteiro mais próimo. F( μ, σ) =,9μ+,σ

6 Tabela 5 Melhores valores da função teste de Griewang,38,97,369 3,78,7593,678,58,575 3,5658,9883 3,5977 3,63 3, ,776 3,9,57863,9,8937 3,,55 5,96 5,375 5,67 35,357 5,735 6, ,3799 6, ,88 6,5587 7,596 7,687 7,7 37, 7,33 8,3656 8,357 8,536 38,756 8,9797 9,6 9, , ,5 9,35,35,6 3,938,789 5,3586 Tabela 6 Melhor fenótipo ,75,58 -,9,7,9,7,9 -,9,58,6 Finalmente, a tabela 6 mostra o fenótipo da melhor solução alcançada nas 5 últimas rodadas do AGS (repetição 3 da tabela 5 [ f( ) =,5658 ]). IV. CONCLUSÕES Este artigo utilizou a metodologia Response Surface Methodology para a definição dos parâmetros ótimos para um AGS. Na seção dois, a metodologia Response Surface Methodology foi revista e a implementação da RSM a um AGS na avaliação da função teste de Griewang foi apresentada na seção três. Observou-se a metodologia RSM conseguiu inferir os parâmetros ótimos com pouco esforço (6 tratamentos). O valor médio da função teste de Griewang alcançado por 5 repetições independentes do AGS foi de,7585 com um desvio padrão de,6388. Como é sabido que o valor ótimo desta difícil função teste é zero, concluímos que os parâmetros sugeridos pela RSM foram muito bons pois, com apenas 5* avaliações da, chegamos bem próimo ao ótimo global. Outra conclusão alcançada é que o tamanho da população teve pouca influência no resultado do AGS, sendo as probabilidades de Mutação e Crossover os fatores que mais influenciaram no desempenho do algoritmo genético simples implementado. REFERÊNCIAS Bo, G. E. P., Wilson, K. B. (95). On the Eperimental Attainment of Optimum Conditions. Journal of the Royal Statistical Society, B3, - 5. Montgomery, D. C. (). Design and analysis of eperiments 5th Ed. John Wiley & Sons, Publishers, New Yor. Lacerda, E. G. M, Carvalho, A. C. P. L., 999. Introdução aos algoritmos genéticos. In: Sistemas inteligentes: aplicações a recursos hídricos e ciências ambientais [Edited by Galvão, C. O., Valença, M. J. S.], Porto Alegre, Ed. Universidade/UFRGS: Associação Brasileira de Recursos Hídricos, Darwin, C., 859. A origem das espécies e a seleção natural. 5 ed. Hemus Editora.