O USO DE ALGORITMOS GENÉTICOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR RESUMO INTRODUÇÃO

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1 O USO DE ALGORITMOS GENÉTICOS NA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Douglas Peioto de Carvalho,Miquéias Augusto Ferreira Nantes (Alunos do Curso de Matemática da Universidade Anhanguera - Uniderp) Celso Correia de Souza, José Francisco dos Reis Neto (Orientadores, Professores da Universidade Anhanguera - Uniderp) RESUMO A Pesquisa Operacional, ramo da Matemática Aplicada, tem auiliado sobremaneira os administradores de empresas no processo e análise de decisão, permitindo que uma decisão seja analisada e simulada eaustivamente antes da sua real implementação. A Programação Linear, importante braço da Pesquisa Operacional, sem dúvida, é uma das principais ferramentas na gestão de empreendimentos que demandam eficientes tomadas de decisão. A Pesquisa Operacional consiste, basicamente, em construir um modelo matemático de um sistema real eistente como meio de analisar e compreender o comportamento deste, com o objetivo de levá-lo a apresentar o desempenho que se deseja. No presente teto, apresentou-se uma das técnicas mais úteis e desenvolvidas da Pesquisa Operacional, a Programação Linear. Eistem vários aplicativos clássicos na resolução de seus problemas. Mais recentemente surgiram os Algoritmos Genéticos (AG s) que propiciam soluções eficientes para resolução de problemas de Programação Linear, não requerendo nenhuma eigência sobre conhecimentos da conveidade do conjunto das soluções factíveis do modelo. O objetivo desse trabalho foi utilizar os AG s na resolução de Problemas de Programação Linear. Os resultados podem ser considerados bons, visto que os AG s apresentaram solução para o problema atendendo um determinado número de restrições. INTRODUÇÃO A Pesquisa Operacional, ramo da Matemática Aplicada, apresenta uma característica importante que facilita o processo de análise e de decisão em sistemas reais através da utilização de modelos matemáticos. Eles permitem a simulação da solução obtida, permitindo que a decisão seja muito bem avaliada antes de implementada. A economia obtida e a eperiência adquirida pela eperimentação justificam a sua utilização. Problemas de Otimização, que envolvem a maimização ou minimização de funções de variáveis num determinado domínio, normalmente definido por um conjunto de restrições nas variáveis, estão ligados à Pesquisa Operacional, já os problemas de Programação Matemática, que são uma classe particular de Problemas de Otimização, são muito aplicados nos campos da organização e da gestão econômica, em que o objetivo e as restrições são dadas como funções matemáticas e relações funcionais. Problemas de programação linear, inteira, dinâmica e não-linear são subáreas de programação matemática que têm desempenhando um papel fundamental na organização e na gestão econômica de empresas. A programação linear é utilizada para analisar modelos onde as restrições e a função objetivo são lineares, a programação inteira se aplica a modelos que possuem variáveis inteiras (ou discretas), a programação dinâmica é utilizada em modelos onde o problema completo pode ser decomposto em subproblemas menores, a programação estocástica é aplicada a uma classe especial de modelos onde os parâmetros são descritos por funções de probabilidade e, finalmente, a programação não-linear é utilizada em modelos contendo funções não-lineares. Em todas essas técnicas de programação matemática, a solução ótima não pode ser obtida em um único passo, mas sim, em vários passos, que ocorrem iterativamente. É escolhida uma solução inicial, geralmente não ótima, e, através de um algoritmo determina, a partir desta, uma nova solução, que geralmente é melhor que a anterior. Se essa última não for ótima, os passos são repetidos até que a solução ótima seja alcançada, se eistir. Todas essas técnicas

2 de programação matemática dispõem de softwares computacionais consolidados que permitem obter a solução ótima de maneira rápida e a um baio custo. Este trabalho tem como objetivo a utilização dos AG s na resolução de um problema de programação linear, visando a maimização de uma função, obtendo os melhores valores para f() a fim de se obter a melhor atividade no planejamento de uma decisão. MATERIAL E MÉTODOS O problema geral de programação linear, segundo Bregalda (003), é utilizado para otimizar (maimizar ou minimizar) uma função linear denominada função objetivo, sujeita a uma conjunto de equações ou inequações lineares, denominadas restrições. A formulação do modelo matemático a ser resolvido pela técnica da programação linear segue alguns passos básicos: definição das variáveis de decisão envolvidas no problema a ser modelado; definição da função objetivo a ser maimizada ou minimizada; determinação do conjunto de restrições a que a função objetiva está sujeita; finalmente, os valores que as variáveis de decisão podem assumir. Os AG s são conhecidos como uma classe de algoritmos que se baseiam em modelos computacionais inspirados nas idéias de Darwin, que concluiu que nem todos os indivíduos nascem, sobrevivem e reproduzem. Somente os mais aptos são capazes de perpetuarem a espécie (DARWIN, 859). A aplicação dos Algoritmos Genéticos consta dos seguintes passos (ALENCAR E CORRÊA, 006; LINDEN, 008; VIANA, 998): a) Escolha da População - a inicialização da população é feita da forma mais simples possível, fazendo-se uma escolha aleatória independente para cada individuo da população inicial ou por processo heurístico, isto é, simplesmente escolher n indivíduos dentro do espaço de busca. Essa técnica permite gerar uma boa distribuição, cobrindo um espaço maior no espaço de busca, sem interessar se são boas soluções ou não, assim como na natureza, para haver evolução é necessário diversidade. b) Avaliação - a função de avaliação, ou função objetiva, é utilizada para determinar a qualidade de um individuo como solução do problema, ou seja, é uma forma de mensurar quão aptos estão os indivíduos da população. A função de avaliação deve refletir os objetivos a serem alcançados na resolução de um problema e é derivada diretamente das condições impostas pelo problema; c) Seleção - a seleção dos indivíduos da população deve simular o mecanismo de seleção natural, sobrevivência dos mais fortes, em que os pais mais aptos geram mais filhos. O algoritmo permite, também, que alguns indivíduos menos aptos gerem filhos, garantindo a diversidade entre os indivíduos melhores e os piores. Se apenas os melhores indivíduos se reproduzirem a população tenderá a ser cada vez mais semelhante, não ocorrendo à evolução. Há diversas formas de seleção dos indivíduos reprodutores, entre elas foi usada neste trabalho o método da Roleta Viciada que emprega o principio da probabilidade de sobrevivência do mais apto, ou seja, que possui a melhor função objetiva associada. Assim, os indivíduos com alta aptidão recebem uma proporção maior na roleta e os indivíduos com baia aptidão uma porção relativamente menor na roleta. O ato de rodar a roleta deve ser completamente aleatório, podendo ser simulado escolhendo-se um número aleatório r no intervalo [0, ] e comparar seu valor com a probabilidade acumulada q, considerando q 0 0. Assim, se qi r qi deve-se selecionar o individuo i. e) Elitismo - visa preservar os melhores cromossomos de uma geração para outra sem alterações, garantindo sempre melhor solução encontrada em qualquer uma das gerações será i

3 mantida até o final do processo. Geralmente usa-se nos Algoritmos Genéticos uma taa de elitismo de 30% do total de indivíduos gerados. A principal vantagem deste método é que a convergência é garantida, isto é, se o máimo global for descoberto, o Algoritmo Genético converge para esse máimo, entretanto, da mesma forma eiste o risco da estagnação em um máimo local. f) Cruzamento- o cruzamento ou crossover é em processo de recombinação de partes das seqüências de caracteres entre pares de cromossomos, com o objetivo de gerar nova descendência. Esta troca de material genético garante a recombinação da população, possibilitando, assim, uma probabilidade maior de produzir indivíduos mais evoluídos que seus pais. No cruzamento é usual atribuir um percentual PX de indivíduos para cruzamentos, na faia de 5% a 75% da população. Eistem muitos tipos de cruzamento, serão apresentados os mais comuns: j) Mutação - este operador é responsável pela introdução e manutenção da diversidade genética na população. O operador de mutação inverte os valores de bits, ou seja, muda o valor de dado bit de para 0 ou de 0 para, com o objetivo de tentar regenerar algum individuo que possa ter sido eliminado de forma inesperada. Para que uma determinada população não sofra muitas alterações, esta operação é processada para um pequeno percentual PM de seus elementos, em torno de % de todos os genes. Após as operações de cruzamento e mutação, com a obtenção de uma nova população, esta deve ser avaliada nos novos pontos do espaço de busca. Se a solução atual não satisfizer a precisão adotada, repetem-se os passos anteriores para a nova população gerada. RESULTADOS Neste trabalho resolveu-se o modelo de Programação Linear (0). Ma z s / a 0 ; Resolvido esse sistema, inicialmente, utilizando-se Algoritmos Genéticos, que constou da geração de uma população (pop.) inicial de vinte indivíduos para e vinte indivíduos para, formado por uma seqüência aleatória de dezoito bits 0 ou. O Quadro apresenta a população inicial, a função avaliação z F (, ) e uma função de condição, as probabilidade de seleção e as probabilidades acumuladas para a implementação da Roleta Viciada. Quando um par de indivíduos e era gerado aleatoriamente, eles eram testados em uma função condição que avaliava a quantidade de horas gasta para produção, caso ultrapassassem 0 horas seu valor era arbitrado como 0 na função avaliação F (, ). Isso fazia com que esse individuo tivesse 0 de aptidão automaticamente, 0 de probabilidade para próima seleção. Após o uso da roleta foi realizado o elitismo, o cruzamento ou crossover e a mutação. Isso foi repetido até a ª geração na qual se obteve o valor máimo da função. No Quadro estão representados cinco indivíduos da população inicial de 0 indivíduos.

4 Quadro.ª Geração, população inicial,função avaliação e probabilidade de seleção Após onze iterações, feitas em planilhas Ms_ecel 007, o algoritmo convergiu para a 45 e 0, obtendo-se o máimo de No Quadro estão representadas as cinco primeiras linhas da ª. Iteração do algoritmo, quando houve a convergência. Quadro.ª Geração, população final, função avaliação e probabilidade de seleção CONCLUSÕES Os resultados obtidos podem ser considerados ótimos, pois se alcançou o objetivo desse trabalho, que foi a utilização dos Algoritmos Genéticos na resolução de problemas de programação linear. Como o mesmo foi resolvido numa planilha MS Ecel, foi mais trabalhoso e demorado. Resultados mais rápidos podem ser obtidos utilizando um software que permite a elaboração de um programa com essa finalidade, como o Matlab, por eemplo. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS LEOPOLDINO, E. A., 998- Introdução à Pesquisa Operacional, métodos e modelos para a análise de decisão ª Edição. EHRLICH, P. J., 937- Pesquisa Operacional : Curso Introdutório. 5. ed. São Paulo : Atlas, 985. GOLDBERG, David E. Genetic Algorithms in Search, Optimization and Machine Learning. Massachusetts: Addison-Wesley Co, 989. DARWIN, C. On the origin of species by means of natural selection. London, John Murray, 859. ALENCAR, C. E. R. DE; CORRÊA, R. F. Ferramenta de suporte para a decisão de frentes de corte de cana-de-açúcar usando algoritmos genéticos. Trabalho de Conclusão de Curso. Recife: Escola Politécnica de Pernambuco, 006. VIANA, G. V. R. Meta-heuristicas e programação paralela em otimização combinatória. Fortaleza: EUFC, 998. LINDEN, R. Algoritmos genéticos. Rio de Janeiro: Brasport, 008.

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