Exercícios de Procura e Planeamento 2013/2014

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1 Exercícios de Procura e Planeamento 203/204 Fausto lmeida

2 ula Prática de PP apítulo 2 apítulo 2 Estratégias ásicas de Procura Heurística Exercício onsidere o seguinte espaço de estados, com estado inicial, em que os valores dos ramos correspondem ao custo da transição e os dos nós se referem à função heurística E F 6 G 0 H Responda às seguintes questões:. heurística é admissível? 2. esenhe as árvores de procura correspondentes às estratégias de procura apresentadas abaixo. Numere os seus nós indicando a ordem de expansão/exploração. Indique junto a cada nó, quando relevante, o valor do custo (g), da heurística (h) e valor total (f). Em caso de empate, os nós à esquerda são expandidos em primeiro lugar. a. Largura Primeiro b. usto Uniforme c. Profundidade Primeiro d. Retrocesso e. Gananciosa f. * g. F/T com limite de 3 nós para F com f(n)=g(n)+h(n); h. T/F com limite de profundidade para T e com f(n)=g(n)+h(n) para F; i. Estágios em que o limite de memória para F é 3 e só é mantido o melhor nó da fronteira durante a recuperação e com f(n)=g(n)+h(n) para F; j. Trepar-a-olina; k. Trepar-a-olina Estocástico (ou à Primeira Escolha), com um máximo de 3 iterações em que a seguinte sequência de números aleatórios: {2, 2, 2,,,, 2, 2,, 2, 2, 2,,...} é usada para escolher o primeiro ou o segundo sucessor.

3 ula Prática de PP apítulo 2 Exercício 2 onsidere o seguinte espaço de estados, em que os valores dos ramos correspondem ao custo da transição e os dos nós se referem à função heurística. h=2 Estado Final 4 h=9 h=8 h= E F G I J K h=7 h=0 h=3 h=8 h=7 h=0 H h=6 esenhe as árvores de procura correspondentes às estratégias de procura apresentadas abaixo. Numere os seus nós indicando a ordem de expansão. Indique junto a cada nó, quando relevante, o valor do custo (g), da heurística (h) e valor total (f). Em caso de empate, os nós à esquerda são expandidos em primeiro lugar. a. Gananciosa b. * c. Largura primeiro; d. F/T com limite de 3 nós para F; e. T/F com limite de profundidade para T; f. Estágios em que olimite de memória para F é 3; g. Estágios em que o limite de memória para F é 3 e só é mantido o melhor nó da fronteira durante a recuperação; h. Trepar-a-olina;

4 ula Prática de PP apítulo 2 Exercício 3 onsidere o seguinte espaço de estados, em que os valores dos ramos correspondem ao custo da transição E F G I J K L M N O P Q R S T H Nó h E 9 F 8 G H 2 I 3 J 3 K 2 L 5 M N 2 O P 2 Q 2 R 3 S 4 T 3 U 5 V U V esenhe as árvores de procura correspondentes às estratégias de procura apresentadas abaixo. Numere os seus nós indicando a ordem de expansão. Indique junto a cada nó, quando relevante, o valor do custo (g), da heurística (h) e valor total (f). Em caso de empate, os nós à esquerda são expandidos em primeiro lugar. a. Trepar-a-olina; b. Gananciosa c. * d. F/T com limite de 6 nós para F, a procura F usada é o *; e. T/F com limite de profundidade 2 para T, a procura F usada é o *; f. Estágios em que olimite de memória para F é 6 e só é mantido o melhor nó da fronteira durante a recuperação, a procura F usada é o *; g. Estágios em que o limite de memória para F é 6 e só são mantidos os melhores 2 nós da fronteira durante a recuperação, a procura F usada é o *; h. Híbrida em que é utilizada a procura com retrocesso globalmente e o * localmente. O limite de memória do * é 3 nós. ssinale os nós em que se dá início a uma nova procura *.

5 ula Prática de PP apítulo 2 Exercício 4 onsidere um espaço de estados para o qual a função que, a partir de um estado com valor n inteiro, devolve o conjunto dos sucessores, é dada por: sucessores(n)={2n, 2n+}. onsidere ainda que os estados em que n >= nfinal não têm sucessores e que em caso de empate a estrat]egia de procura deve escolher o estado cujo n é menor. Para as procuras informadas considere que o custo de caminho c(n,n)= e que a função heurística mede a diferença, em valor absoluto, entre o valor de um estado e o do estado final, i.e. f(n)=abs(n-nfinal). Para n-nfinal igual a 2 desenhe as árvores de procura correspondentes às estratégias de procura apresentadas abaixo. Numere os seus nós indicando a ordem de expansão. Indique junto a cada nó, quando relevante, o valor do custo (g), da heurística (h) e valor total (f) a. Largura Primeiro b. usto Uniforme c. Profundidade Primeiro d. Retrocesso e. Gananciosa f. * g. Estágios em que o limite de memória para F é 3 e só é mantido o melhor nó da fronteira durante a recuperação; h. F/T com limite de 3 nós para F; i. T/F com limite de profundidade para T;

6 ula Prática de PP apítulo 2 Exercício 5 onsidere o grafo representado em baixo em que os quadrados representam nós N e os círculos nós OR. Os nós terminais são as folhas que estão representadas com um traco duplo. Realise um procura não informada neste grafo N/OR usando uma estratégia de retrocesso para percorrer o grafo. Numere os seus nós indicando a ordem de exploração. Use o procedimento de rotulagem para marcar os nós como resolvidos ou insolúveis e para obter o grafo solução se ele existir. Em caso de empate, os nós à esquerda são explorados em primeiro lugar.

7 ula Prática de PP apítulo 2 Exercício 6 onsidere o grafo representado em baixo em que os quadrados representam nós N e os círculos nós OR. Todas as folhas são resolúveis. Realise um procura não informada neste grafo N/OR usando uma estratégia de retrocesso para percorrer o grafo. Numere os seus nós indicando a ordem de exploração. Use o procedimento de rotulagem para marcar os nós como resolvidos ou insolúveis e para obter o grafo solução se ele existir. Em caso de empate, os nós à esquerda são expandidos em primeiro lugar. E F G H I J K L M N O P

8 ula Prática de PP apítulo 2 Exercício 7 Os grafos N/OR nas figuras seguintes corresponde a problemas em que as qualidades de um grafo-solução cuja raiz é o nó n é dada pelas funções Q apresentadas, sendo as qualidades dos nós terminais dadas pela função v. Os nós N são quadrados e os nós OR círculos. Os sucessores de um dado nó são representados por n... n i. Execute procuras O* nos grafos apresentados desenhando cada um dos subgrafos explorados nas várias iterações do algoritmo. ssinale em cada subgrafo a base-solução considerada antes de se expandir o próximo nó, bem como o valor da função de avaliação para cada nó gerado. heurística utilizada é a função h, que apresenta a estimativa de qualidade do grafo solução cuja raiz é o nó indicado. onsidere que a função f2 escolhe o nó com maior valor heurístico. Todos os nós terminais são solúveis. v(n) Q(n) = min Q(n i) max Q(n i) se n for um nó terminal se n for um nó N se n for um nó OR E F G H I v(n) J M P Q R T U J K L M N O h(n) E F G H I K L N O S P Q R S T U v(n) Q(n) = Σ Q(n i) max Q(n i) se n for um nó terminal se n for um nó N se n for um nó OR E F G H v(n) I L M N O P I J K L M h(n) E F G H J K N O P

9 ula Prática de PP apítulo 2 v(n) Q(n) = Σ Q(n i) max Q(n i) se n for um nó terminal se n for um nó N se n for um nó OR E F G H I v(n) I L M N O J K L h(n) E F G H J K M N O

10 ula Prática de PP apítulo 3 apítulo 2 Estratégias vançadas de Procura Heurística Exercício onsidere o seguinte espaço de estados, em que os valores dos ramos correspondem ao custo da transição. E 2 3 F G H Nó H 2 2 E 2 F 0 G 7 H I 0 J 0 3 I J esenhe as árvores de procura correspondentes às estratégias de procura apresentadas abaixo. Numere os seus nós indicando a ordem de expansão. Indique junto a cada nó, quando relevante, o valor do custo (g), da heurística (h) e valor total (f). Em caso de empate, os nós à esquerda são expandidos em primeiro lugar. a. I* b. RFS c. SM* com limite de 3 nós d. Procura em feixe local com k=2 e começo em e

11 ula Prática de PP apítulo 3 Exercício 2 onsidere o seguinte espaço de estados, em que os valores dos ramos correspondem ao custo da transição. K E L 2 F G H S M 2 N O P Q esenhe as árvores de procura correspondentes às estratégias de procura apresentadas abaixo. Numere os seus nós indicando a ordem de expansão. Indique junto a cada nó, quando relevante, o valor do custo (g), da heurística (h) e valor total (f). Em caso de empate, os nós à esquerda são expandidos em primeiro lugar. 2 2 T V I a. I* b. RFS c. SM* com limite de 4 nós d. Procura em feixe local com k=2 e começo em e U J R Nó h E 3 F 4 G 4 H 5 I 4 J K 5 L 0 M 2 N 5 O 2 P 2 Q 2 R 0 S 5 T U 5 V 0

12 ula Prática de PP apítulo 3 Exercício 3 onsidere o seguinte espaço de estados em que cada estado tem dois sucessores. onsidere que, de acordo com uma dada heurística, o sucessor do ramo esquerdo é melhor que o sucessor do ramo direito. E F G H I J K L M N O iga qual a ordem de exploração do espaço de estados usando uma estratégia: a. LS b. ILS c. S d. Sondagem iterativa em que o próximo sucessor para a iteração i é escolhido de acordo com a fórmula: número-aleatorio(i) mod n, sendo n o número de sucessores e sendo a sequência de números aleatórios a considerar: {93, 3, 8, 65, 99, 72, 34, 68, 33, 52, 43, 27, 4,...} e. Retrocesso limitado com alcance=2, aleatoriadade: usar acima. f. Profundidade primeiro com recomeços, limite 5 nós expandidos e 5 recomeços, aleatoriedade: usar acima. g. Largura iterativa estocástica, aleatoriedade ver acima e número(i)<(c-)*00, usar step=0,2.

13 ula Prática de PP apítulo 4 apítulo 4 Problemas de Satisfação de Restrições Exercício Temos um quadrado d 2x2 e queremos colocar em cada posição um número de 0 a 9 tal que cada quadrado tenha adjacentes números uma unidade menores que ele se à direita ou abaixo. V V3 V2 V4 a) Identifique quais as variáveis envolvidas e os respectivos domínios. presente também as restrições em causa e o correspondente grafo de restrições. b) Resolva o problema apresentado recorrendo ao algoritmo de backtracking. ssuma que as variáveis são atribuídas por ordem numérica, e os valores são experimentados por ordem numérica. plique o algoritmo apenas até criar 0 linhas, na representação escolhida na disciplina. c) Resolva o problema tal como descrito em b) combinado com forward checking. d) plique o algoritmo -3 ao grafo de modo a obter consistência de arco. e) epois de aplicar o -3 resolva o problema recorrendo ao algoritmo de backtracking tal como descrito em b).

14 ula Prática de PP apítulo 4 Exercício 2 Está a tentar resolver o problema de palavras cruzadas apresentado abaixo e vai para tal recorrer a técnicas de satisfação de restrições. 2 3 FT LE EEL HEEL 4 5 HIKE HOSES 6 7 KEEL KNOT 8 LSER LEE LINE SILS SHEET STEER TIE a) Identifique quais as variáveis envolvidas e os respectivos domínios. presente também as restrições em causa e o correspondente grafo de restrições. b) Resolva o problema apresentado recorrendo ao algoritmo de backtracking com forward checking. ssuma que as variáveis são atribuídas por ordem numérica, e os valores são experimentados por ordem alfabética. plique o algoritmo apenas até criar 0 linhas, na representação escolhida na disciplina. c) plique o algoritmo -3 ao grafo de modo a obter consistência de arco. d) epois de aplicar o -3 resolva o problema recorrendo ao algoritmo de backtracking tal como descrito em b).

15 ula Prática de PP apítulo 4 Exercício 3 figura seguinte corresponde a um mapa em que estão assinaladas diferentes áreas. Pretende-se colocar em cada uma das áreas um inteiro entre e 8, sabendo-se que o número na área tem que ser metade do número da área (usando divisão inteira) e que o número da área tem que ser menor que o número da área. a. Indique quais as variáveis envolvidas e respectivos domínios, bem como o grafo de restrições do problema. b. Realize uma procura com retrocesso sem fazer propagação de restrições. s variáveis e os valores devem ser escolhidos usando uma ordenação alfabética/numérica crescente. c. Realize uma procura com retrocesso utilizando o algoritmo Olhar-em-frente ( Forward checking ). s variáveis e os valores devem ser escolhidos usando uma ordenação alfabética/numérica crescente. d. plique o algoritmo -3 ao problema, indicando claramente os domínios obtidos no final do algoritmo. e) epois de aplicar o -3 resolva o problema recorrendo ao algoritmo de backtracking tal como descrito em b).

16 ula Prática de PP apítulo 4 Exercício 4 figura seguinte corresponde a um mapa em que estão assinaladas diferentes áreas. Pretende-se pintar cada uma das áreas com vários tons de vermelho: laro, Médio ou Escuro, de forma a que duas áreas adjacentes não estejam pintadas do mesma tom. Para além disso o tom de tem que ser mais claro que o de e o tom de tem que ser mais claro que o de. E F a) Indique quais as variáveis envolvidas e respectivos domínios, bem como o grafo de restrições do problema. b) Realize uma procura com retrocesso sem fazer propagação de restrições. s variáveis e os valores devem ser escolhidos usando uma ordenação alfabética crescente. c) Realize uma procura com retrocesso utilizando o algoritmo Olhar-em-frente ( Forward checking ). s variáveis e os valores devem ser escolhidos usando uma ordenação alfabética crescente. d) plique o algoritmo -3 ao problema, indicando claramente os domínios obtidos no final do algoritmo. e) epois de aplicar o -3 resolva o problema recorrendo ao algoritmo de backtracking tal como descrito em b).

17 ula Prática de PP apítulo 4 Exercício 5 ado o seguinte problema cripto-aritmético: S E N + M O R E M O N E Y a) Indique quais as variáveis envolvidas e respectivos domínios, bem como o grafo de restrições do problema. b) Realize uma procura com retrocesso sem fazer propagação de restrições. s variáveis e os valores devem ser escolhidos usando uma ordenação alfabética crescente. plique o algoritmo apenas até criar 0 linhas, na representação escolhida na disciplina. c) Realize uma procura com retrocesso utilizando o algoritmo Olhar-em-frente ( Forward checking ). s variáveis e os valores devem ser escolhidos usando uma ordenação alfabética crescente. plique o algoritmo apenas até criar 0 linhas, na representação escolhida na disciplina.

18 ula Prática de PP apítulo 6 apítulo 5 Procura com outras fontes de conhecimento Exercício onsidere a seguinte definição dos tipos sub-obj e prob, para representar, respectivamente, um sub-objectivo e um problema em ommon Lisp: (defstruct sub-obj op-fns goal-fn) (defstruct prob initial-state sub-goals) O campo op-fns é a lista de operadores que devem ser utilizados para atingir o subobjectivo. O campo goal-fn é a função que identifica o estado que satisfaz o subobjectivo. O campo initial-state é o estado inicial do problema. O campo sub-goals é uma lista de instâncias de sub-obj correspondendo aos subobjectivos que devem ser resolvidos (pela sua ordem na lista) para resolver o problema. onsidere ainda definida a função procura que recebe três argumentos: um estado, uma lista de operadores e um predicado que recebe um estado. função procura efectua uma procura no espaço de estados definido pelos seus argumentos e devolve NIL se não conseguir encontrar uma solução, ou a lista com os estados no caminho desde o estado inicial até ao estado que satisfez o predicado, inclusivé. efina a função procura-sub-obj que recebe uma instância de prob e faz uma procura desde o estado inicial do problema resolvendo todos os sub-objectivos em sequência. Note que o estado inicial de cada sub-procura é o estado que corresponde ao último sub-objectivo satisfeito. Se algum dos sub-objectivos não tiver solução a função devolve NIL, caso contrário devolve a lista com o caminho desde o estado inicial até ao estado final.

19 ula Prática de PP apítulo 6 apítulo 6 Planeamento Exercício figura em baixo define um problema do mundo dos blocos e dois operadores STRIPS. Inicio Fim OP : (TION : Move(b,x,y), PREON : On(b,x) lear(b) lear(y), EFFET: On(b,y) lear(x) On(b,x) lear(y)) OP : (TION : MoveToTable(b,x), PREON : On(b,x) lear(b), EFFET: On(b,TLE) lear(x) On(b,x)) a. efina um novo operador STRIPS que mova um bloco de cima da mesa para cima de outro bloco. b. Usando o algoritmo POP e os operadores STRIPS definidos anteriormente encontre o plano parcialmente ordenado que é solução do problema. Identifique de forma clara as ameças e a forma como foram resolvidas.

20 ula Prática de PP apítulo 6 Exercício 2 ado o seguinte problema de planeamento: Estado inicial: Em(Suplente,Mala), Em(Vazio,Eixo) Estado Final: Em(Suplente, Eixo) ction(tirar(suplente, Mala), PREON: Em(Suplente, Mala), EFFET: Em(Suplente,Mala) Em(Suplente, hão)) ction(tirar(vazio, Eixo), PREON: Em(Vazio, Eixo), EFFET: Em(Vazio, Eixo) Em(Vazio, hão)) ction(montar(suplente, Eixo), PREON: Em(Suplente, hão) Em(Vazio, Eixo), EFFET: Em(Suplente, hão) Em(Suplente, Eixo)) ction(eixarenoite, PREON:, EFFET: Em(Suplente, hão) Em(Suplente, Eixo) Em(Suplente, Mala) Em(Vazio, hão) Em(Vazio, Eixo)) a. Usando o algoritmo POP e os operadores L definidos encontre o plano parcialmente ordenado que é solução do problema apresentado a seguir. Identifique de forma clara as ameças e a forma como foram resolvidas. b. esenhe o grafo de planeamento para este problema. c. Usando o algoritmo GRPHPLN e o grafo de planeamento desenhado construa um plano que permita atingir o objectivo.

21 ula Prática de PP apítulo 6 Exercício 3 ado o seguinte problema de planeamento: Estado inicial: Lixo MãosLavadas Silêncio Estado final: Jantou Presente Lixo ction(ozinhar, PREON: MãosLavadas, EFFET: Jantou) ction(embalar, PREON: Silêncio, EFFET: Presente) ction(levar, PREON:, EFFET: Lixo MãosLavadas) ction(recolhalixo, PREON:, EFFET: Lixo Silêncio) a. esenhe o grafo de planeamento para este problema. b. Usando o algoritmo GRPHPLN e o grafo de planeamento desenhado construa um plano que permita atingir o objectivo.