Modelagem de trincas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalizadas no método híbrido dos elementos de contorno

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1 Elvis Yuri Mamani Vargas Modelagem de trincas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalizadas no método híbrido dos elementos de contorno Tese de Doutorado Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do título de Doutor pelo Programa de Pós-graduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil da PUC-Rio Orientador: Prof. Ney Augusto Dumont Rio de Janeiro Setembro de 05

2 Elvis Yuri Mamani Vargas Modelagem de trincas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalizadas no método híbrido dos elementos de contorno Tese apresentada como requisito parcial para obtenção do grau de Doutor pelo Programa de Pósgraduação em Engenharia Civil do Departamento de Engenharia Civil do Centro Técnico Científico da PUC-Rio. Aprovada pela Comissão Examinadora abaixo assinada Prof. Ney Augusto Dumont Orientador Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Prof. Raul Rosas e Silva Departamento de Engenharia Civil PUC-Rio Prof. Alexandre Antonio de Oliveira Lopes Petrosoft Design Prof. Jose Claudio de Faria Telles Universidade Federal do Rio de Janeiro Prof. Leandro Palermo Junior Universidade de Campinas Prof. José Eugenio Leal Coordenador Setorial do Centro Técnico Científico PUC-Rio Rio de Janeiro, 4 de setembro de 05

3 3 Todos os direitos reservados. É proibida a reprodução total ou parcial do trabalho sem autorização do autor, do orientador e da universidade. Elvis Yuri Mamani Vargas Graduou-se em Engenharia Civil na UNSAAC (Universidad Nacional de San Antonio Abad del Cusco Perú) em 005. Em 0 obteve o grau de mestre no curso de Mestrado em Engenharia Civil na PUC Rio na área de Estruturas. Atualmente atua na linha de pesquisa do método híbrido dos elementos de contorno. Mamani Vargas, Elvis Yuri Ficha Catalográfica Modelagem de trincas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalizadas no método híbrido dos elementos de contorno / Elvis Yuri Mamani Vargas; orientador: Ney Augusto Dumont f. ; il. ; 30 cm Tese (doutorado) - Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro, Departamento de Engenharia Civil, 05. Inclui bibliografia. Engenharia civil - Teses.. Elementos de contorno. 3. Métodos híbridos. 4. Mecânica da fratura. 5. Funções de tensão de Westergaard. 6. Fator de intensidade de tensão. 7. Zona plástica. I. Dumont, Ney Augusto. II. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro - Departamento de Engenharia Civil. III. Título. CDD: 64

4 Para meus pais Rosa e Vidal, pelo amor, apoio e estímulo. Para minha irmã Chris pela compreensão e confiança. Ao Peru, pelo legado das culturas antigas. 4

5 5 Agradecimentos Ao Deus por ter me concedido a vida. À CAPES, ao CNPq e à PUC-Rio, pelos auxílios concedidos, sem os quais este trabalho não poderia ter sido realizado. Ao meu professor Ney Dumont pela orientação, confiança e amizade. Ao meu professor Alexandre Lopes pelas importantes contribuições e palavras de apoio. Aos professores da PUC-Rio, pelos ensinamentos transmitidos nos estudo de pósgraduação. Aos professores da UNSAAC no Peru, pelos ensinamentos do fascinante mundo da engenharia. A todos aqueles educadores que foram parte de minha formação tanto pessoal como profissional. Aos meus pais e irmãos pela educação, atenção e carinho. À Melissa por ter me acompanhado nas etapas mais decisivas deste trabalho. A todos os familiares que de uma forma ou de outra me estimularam ou me ajudaram. Aos amigos de infância, juventude e a todos aqueles cuja amizade resistiu ao tempo. Aos amigos das peladas, da dança, do parque da cidade, das salas 60 e 67 na favelinha, aos cusqueños, peruanos, colombianos, bolivianos, equatorianos e tantos outros amigos ganhados no Brasil pelo apoio, paciência e compreensão que tornaram esta jornada mais agradável. Ao Brasil e a sua gente que sempre me fez sentir em casa.

6 6 Resumo Mamani Vargas, Elvis Yuri; Dumont, Ney Augusto (orientador). Modelagem de trincas com o uso de funções de tensão de Westergaard generalizadas no método híbrido dos elementos de contorno. Rio de Janeiro, 05. 9p. Tese de Doutorado - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. Apresenta-se uma formulação do método híbrido dos elementos de contorno para a análise de problemas planos de potencial e de elasticidade que, apesar de completamente geral para domínios finitos, é mais apropriada a aplicações de mecânica da fratura. A formulação exige integrações apenas ao longo do contorno e usa como soluções fundamentais, para interpolar campos no domínio, funções generalizadas do tipo Westergaard, inspiradas numa proposta feita por Tada et al. em 993. Os conceitos de elementos de contorno são semelhantes aos conceitos apresentados por Crouch e Starfield em 983, mas em um contexto variacional que permite interpretações mecânicas das equações matriciais resultantes. Problemas de topologia geral podem ser modelados, como ilustrado para domínios infinitos ou multiplamente conexos. A formulação é diretamente aplicável à solução de problemas de placas com entalhes ou trincas curvas internas ou de bordo, pois permite a descrição adequada de altos gradientes de tensão, sendo uma ferramenta simples para a avaliação de fatores de intensidade de tensão. Além disso, é possível determinar, num processo iterativo, a zona plástica ao redor da ponta de uma trinca. Esta tese tem foco no desenvolvimento matemático da formulação para problemas de potencial e de elasticidade. Vários exemplos numéricos de validação são apresentados. Palavras-chave Elementos de contorno; métodos híbridos; mecânica da fratura; funções de tensão de Westergaard; fator de intensidade de tensão; zona plástica.

7 7 Abstract Mamani Vargas, Elvis Yuri; Dumont, Ney Augusto (Advisor). Crack modeling using generalized Westergaard stress functions in the hybrid boundary element method. Rio de Janeiro, 05. 9p. DSc. Thesis - Departamento de Engenharia Civil, Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro. A particular implementation of the hybrid boundary element method is presented for the two dimensional analysis of potential and elasticity problems, which, although general in concept, is suited for fracture mechanics applications. The formulation requires integrations only along the boundary and uses fundamental solutions to interpolate fields in the domain. Generalized Westergaard stress functions, as proposed by Tada et al in 993, are used as the problem s fundamental solutions. The proposed formulation leads to displacement-based concepts that resemble those presented by Crouch and Starfield, although in a variational framework that leads to matrix equations with sound mechanical meanings. Problems of general topology, such as in the case of unbounded and multiply-connected domains, may be modeled. The formulation, which is directly applicable to notches and generally curved, internal or external cracks, is especially suited for the description of the stress field in the vicinity of crack tips and is an easy means of evaluating stress intensity factors. The plastic phenomenon is taken into account around the crack tip through an iterative process. This thesis focuses on the mathematical fundamentals of the formulation of potential and elasticity problems. Several validating numerical examples are presented. Keywords Boundary elements; hybrid methods; fracture mechanics; Westergaard stress functions; stress intensity factors; plastic zone.

8 8 Sumário Introdução Método Híbrido dos Elementos de Contorno 3.. Formulação do problema 3.. Tensões e deslocamentos assumidos 3.3. Equações matriciais que governam o problema 4.4. Solução do problema 6 3 Mecânica da Fratura Critério Energético de Griffith Campo de tensões próximo à trinca Fator de Intensidade de Tensão Série de Williams Funções de tensão de Westergaard Integral J Zona plástica 35 4 Funções de Tensão de Westergaard Generalizadas Formulação de Tada, Ernst e Paris baseada em deslocamentos Funções de tensão para trincas de comprimento a e rotação θ Semitrinca de abertura elíptica na ponta da trinca Semitrinca de abertura polinomial na face da trinca Semitrinca de rotação na ponta da trinca Semitrinca de rotação na face da trinca Singularidades das funções de tensão 46 5 Formulação para Problemas de Potencial Construção da solução fundamental Integração da matriz H Campo de potenciais e gradientes em pontos internos 53

9 9 6 Formulação para Problemas da Mecânica da Fratura Linear Elástica Expressões analíticas do campo de deslocamentos Expressões analíticas do campo de tensões Avaliação numérica do campo de tensões para uma trinca curva geral Avaliação numérica da abertura da trinca Fator de intensidade de tensão 67 7 Formulação para a Simulação da Zona Plástica Equações básicas Derivação do termo residual para o calculo iterativo Algoritmo de busca linear para a obtenção da fronteira plástica Solução iterativa do problema não linear Avaliação numérica do termo residual Simulação confiável do campo de tensões ao redor da ponta da trinca O problema não-linear: testes e problemas de convergência Considerações finais no cálculo da zona plástica 9 8 Conclusões e Sugestões para Trabalhos Futuros Conclusões Sugestões para trabalhos futuros 94 9 Referências Bibliográficas 96 0 Apêndice Estudo do comportamento das funções de tensão na origem da trinca Estudo de singularidades em problemas de potencial Expressões analíticas para a integração da matriz H em problemas de potencial quando elementos de forma polinomial são usados 6

10 0 Lista de figuras Figura. Sistema de coordenadas e modos de carregamento. 9 Figura. Trinca horizontal numa placa infinita de espessura fina. 3 Figura 3. Contorno Γ ao redor da ponta da trinca. 34 Figura 4. Curvas tensão-deformação, materiais elasto-plásticos. 36 Figura 5. Estimativas da zona plástica ao longo da projeção do eixo da trinca. 37 Figura 6. Uso de trincas de forma elíptica para simular contornos curvos (Adaptado de Dumont e Lopes, 003). 39 Figura 7. Uso de trincas semi-elípticas para simular contornos curvos (Adaptado de Mamani, 0; Dumont e Mamani, 0). 40 Figura 8. Uso de semitrincas elípticas e polinomiais para simular contornos curvos (Adaptado de Mamani e Dumont, 05). 4 Figura 9. Elementos usados para discretizar uma trinca curva geral, em termos de abertura e sobreposição (Adaptado de Mamani e Dumont, 05). 4 Figura 0. Semitrincas de comprimento a e rotação θ usadas para representar efeitos de abertura e rotação relativa (Adaptado de Mamani e Dumont, 05). 44 Figura. Construção de um elemento de descontinuidade a partir de duas semitrincas. 49 Figura. Ilustração dos cinco casos na avaliação numérica da matriz H. 5 Figura 3. Ilustração de um corpo discretizado com elementos de contorno lineares. 5 Figura 4. Recorte para a modelagem numérica de um corpo multiplamente conexo. 54 Figura 5. Potencial ao longo da reta AB da Figura Figura 6. Gradientes em x ao longo da reta AB da Figura Figura 7. Gradientes em y ao longo da reta AB da Figura 4. 56

11 Figura 8. Estudo de convergência ao longo da reta AB da Figura 4 em termos de potenciais. 57 Figura 9. Estudo de convergência ao longo da reta AB da Figura 4 em termos dos gradientes. 57 Figura 0. Ilustração de uma trinca discretizada com n parâmetros nodais (elementos), n + segmentos e n + pontos geométricos. 6 Figura. Trinca horizontal reta em um domínio infinito (Adaptado de Mamani e Dumont, 05). 6 Figura. Campo de tensões para a trinca da Figura discretizada com elementos de forma elíptica (Adaptado de Dumont e Lopes, 00; Mamani, 0). 6 Figura 3. Campo de tensões para a trinca da Figura discretizada com elementos combinados de abertura ou deslizamento (Mamani e Dumont, 05). 63 Figura 4. Campo de tensões para a trinca da Figura discretizada com elementos combinados de abertura e rotação (Mamani e Dumont, 05). 64 Figura 5. Abertura da trinca da Figura usando vários elementos de discretização (Mamani e Dumont, 05). 65 Figura 6. Abertura da trinca da Figura para várias discretizações da trinca (Mamani e Dumont, 05). 66 Figura 7. Deslocamentos de abertura da trinca reta da Figura a (Mamani e Dumont, 05). 67 Figura 8. Fator de intensidade de tensão para a trinca da Figura, a partir dos parâmetros * p e deslocamentos num ponto de coordenadas x = 0.0 (Mamani e Dumont, 05). 69 Figura 9. Fator de intensidade de tensão para a trinca da Figura, a partir de tensões em pontos e por comparação com a série de Williams (Mamani e Dumont, 05). 70 Figura 30. Curva tensão-deformação para a análise elasto-plástica em termos de tensões iniciais (esquerda); e superfície de escoamento em termos de tensões principais (, ) com o estado de tensões I II representado pelo ponto P(, ) (Dumont e Mamani, 03). 76 I II

12 Figura 3. Busca linear (Regula-Falsi) e processo de discretização da zona plástica (Adaptado de Dumont e Mamani, 03). 78 Figura 3. Estudo de convergência para a avaliação da zona plástica, em termos de regula-falsi, para três setores angulares, como mostrado na parte direita da Figura 3 (Dumont e Mamani, 03). 8 Figura 33. Convergência na avaliação do vetor residual de deslocamentos equivalentes *res d, como introduzido na Equação (7.5), para (esquerda) e 6 elementos de trinca e um número crescente de setores (direção angular) (Dumont e Mamani, 03). 8 Figura 34. Estudos de convergência para a avaliação do vetor residual de deslocamentos equivalentes *res d, como introduzidos na Equação (7.5) para (esquerda) e 6 elementos de trinca e diferentes números de pontos de Gauss na direção radial (Dumont e Mamani, 03). 83 Figura 35. A partir do topo: tensões xx, yy e a tensão equivalente de Von Mises eq (em MPa) ao longo do eixo vertical 4 4 ( 0,0 ) y = m m localizada a x 4 = 0 m à direita da ponta da trinca, para varias discretizações da trinca, com seus correspondentes erros na parte direita (Dumont e Mamani, 03). 85 Figura 36. A mesma representação de tensões da Figura 35 dada uma reta vertical 00 vezes maior (Dumont e Mamani, 03). 85 Figura 37. Contornos de zona plástica obtidos elasticamente para o estado plano de deformações (esquerda) e o estado plano de tensões (Dumont e Mamani, 03). 86 Figura 38. Contornos da zona plástica para o estado plano de deformações. Trinca discretizada com ne =, carregamento uniaxial remoto de = 0., aplicado em um passo (esquerda) yy Y e em 5 passos (Dumont e Mamani, 03). 88 Figura 39. Contornos da zona plástica para o estado plano de deformações. Trinca discretizada com ne = 6, carregamento uniaxial remoto de = 0.0, aplicado em um passo (esquerda) yy Y e em 5 passos (Dumont e Mamani, 03). 89

13 3 Figura 40. Contornos da zona plástica para o estado plano de deformações. Trinca discretizada com vários elementos, carrega- mento uniaxial remoto de = 0.0, para um material yy elasto-plástico perfeito (esquerda) e para um material elasto- plástico bi linear com rigidez de endurecimento de E 5 (Dumont Y e Mamani, 03). 89 Figura 4. Contornos da zona plástica para o estado plano de defor- mações. Trinca discretizada com vários elementos de trinca, carrega- mento uniaxial remoto de = 0.0 (esquerda), como obtida por um yy material elasto-plástico (direita) com uma curva tensão-defor-mação não-linear para, dado de acordo com a relação de Ramberg- Y Y Osgood (tensões em MPa) (Dumont e Mamani, 03). 90 Figura 4. Zona plástica elasticamente calculada para vários níveis de carregamento remoto obtidos com ne = 6 elementos de trinca, medidos ao longo de y = 0 (esquerda) e x = 0 (direita) (Dumont e Mamani, 03). 90 Figura 43. Zona plástica elasticamente e plasticamente calculada para vários níveis de carregamento remoto obtidos com ne = elementos de trinca, medidos ao longo de y = 0 (esquerda) e x = 0 (Dumont e Mamani, 03). 9 Figura 44. Casos de integração da Matriz H em problemas de potencial. 7

14 4 Lista de tabelas Tabela. Campo de tensões e deslocamentos para modos I e II (Anderson, 995). 30 Tabela. Resumo das singularidades das funções de tensão propostas. 46 Tabela 3. Numero dos nós das esquinas das diferentes discretizações da Figura 4. 56

15 5 Lista de símbolos Caracteres latinos: A a a c a a n + B b b k, {b} C ij Comprimento do semieixo de uma trinca reta, ponto extremo da elipse Comprimento do semieixo de um elemento de trinca Comprimento crítico da trinca Comprimento do semieixo do primeiro elemento de trinca Comprimento do semieixo do ultimo elemento de trinca Ponto extremo da elipse Comprimento do entalhe elíptico Deslocamentos do sistema interno equivalentes ao campo de deslocamentos referentes às forças de massa Constantes arbitrárias do campo de deslocamentos referentes à solução fundamental C Tensor da relação constitutiva ijkl d j, {d} Deslocamentos nodais do sistema externo * d k, {d*} E E kl, [E] f ij Deslocamentos nodais equivalentes do sistema interno Módulo de Young, módulo de elasticidade Projetor ortogonal Função adimensional de θ F( θ*, λ ) Função adimensional de θ * e λ F i, { F } F kl, [F] G G c H kl, [H] i J Forças de massa prescritas Matriz de flexibilidade do sistema interno Taxa de liberação de energia de deformação Taxa crítica de liberação de energia de deformação Matriz de incidência cinemática Constante complexa Integral J

16 6 K Fator de intensidade de tensão K Fator de intensidade de tensão relacionados aos modos I, II e I, II, III III de fratura K t K kl, [K] k N L p i, {p} * p i, {p*} * p ij, {p*} q i, {q} R r t k, {t} T i, {T} T, {T} i * T i, {T*} Fator de concentração de tensões Matriz de rigidez do sistema externo Constante de potencial Funções de interpolação Forças nodais equivalentes Forças singulares Função de transformação de forças referente à solução fundamental Fluxo Raio do circulo Módulo do vetor posição (raio) Forças nodais do sistema externo, equivalentes às forças de massa Forças de superfície Forças de superfície prescritas Forças de superfície referentes à solução fundamental I, II u Deslocamentos segundo o eixo x de coordenadas devido aos modos I e II de trincamento u i, {u} u, {u} i * u i, {u*} Deslocamentos, potenciais Deslocamentos prescritos, potenciais prescritos Deslocamentos referentes à solução fundamental *n u i, * p u i, *n {u } Deslocamentos totais referentes às forças de massa *p {u } Deslocamentos referentes à solução particular da equação de equilíbrio u ij, [u] * u ij, [u*] Funções de interpolação de deslocamentos Função de transformação de deslocamentos referente à solução fundamental

17 7 U ( ) 0 ε Densidade de energia interna de deformação ij c U0 ( ij ) Densidade de energia interna na forma complementar U Densidade de energia interna na forma complementar, c* 0 ( ij ) V kl, [V] v referente ao sistema interno Matriz cujas colunas formam a base das forças singulares que correspondem a forças nodais equivalentes nulas Espaço nulo I, II v Deslocamentos segundo o eixo x de coordenadas devido aos v 0 v l w W W kl, [W] x i, {x} modos I e II de trincamento Espaço nulo decorrente da ortogonalidade a deslocamentos de corpo rígido Espaços nulos adicionais provenientes de cada par de nós com a mesma coordenada Comprimento da placa Energia de deformação Matriz cujas colunas formam a base dos deslocamentos de corpo rígido Coordenadas cartesianas Caracteres gregos: Trabalho não recuperável associado à deformação ij permanente na ponta da trinca Delta de Dirac Φ Funções de tensão de Airy Φ Função de tensão de Westergaard (modificada ou I, II generalizada) para os modos I e II de trincamento Φ ' I, II Derivada da função de tensão de Westergaard (modificada ou generalizada) para os modos I e II de trincamento Φ '' I, II Segunda derivada da função de tensão de Westergaard para Γ os modos I e II de trincamento Contorno do corpo elástico, contorno arbitrário em torno da ponta da trinca

18 8 Γ J Γ u Γ Região do contorno relacionado à Integral J Região do contorno onde se têm deslocamentos ou potenciais prescritos Região do contorno onde se têm forças ou gradientes prescritos Γ * Contorno referente à solução fundamental Γ 0 Γ 0 Π Π g Π R Ω Região do contorno correspondente à parte externa da superfície esférica Região do contorno contida na superfície esférica Energia potencial total Forma generalizada da energia potencial total Potencial de Hellinger-Heissner Domínio do corpo elástico Ω * Domínio referente à solução fundamental Ω 0 δ ij ε ij γ η j λ ij, λ i Região onde a força singular é aplicada Delta de Kronecker Deformações Trabalho necessário para formar uma nova superfície de trinca Cossenos diretores de um elemento de superfície Multiplicadores de Lagrange µ Módulo de elasticidade transversal ν π θ θ i ρ c Coeficiente de Poisson Constante Ângulo do sistema de coordenadas polares Ângulo de rotação da trinca i em relação ao eixo positivo de x Raio de curvatura Tensão normal Tensão normal aplicada no meio infinito Tensão crítica a partir da qual o crescimento da trinca é instável

19 9 n ij * ij I, II ij *n ij * p ij τ τ τ ij τ I, II ij ξ, η Tensão normal nominal Tensões normais, tensões Tensões normais, tensões devido aos modo I e II de trincamento Tensões referentes à solução fundamental Tensões totais referentes às forças de massa Tensões referentes à solução particular da equação de equilíbrio Tensão cisalhante aplicada Tensão cisalhante aplicada no meio infinito Tensões cisalhantes Tensões cisalhantes devido aos modos I e I de trincamento Coordenadas paramétricas I ( ) Parte imaginária de um número complexo R ( ) Parte real de um número complexo

20 0 Eu tentei 99 vezes e falhei, mas na centésima tentativa eu consegui, nunca desista de seus objetivos mesmo que esses pareçam impossíveis, a próxima tentativa pode ser a vitoriosa. Albert Einstein

21 Introdução A engenharia existe desde tempos antigos. Polias, alavancas e rodas são consideradas as invenções antigas mais importantes, já entre as construções importantes da antiguidade têm-se o Partenon na Acrópole de Atenas, o Coliseu Romano, as Pirâmides do Egito, as cidades Maias e Incas. É suposto que estas construções foram projetadas usando basicamente conhecimentos empíricos do comportamento estrutural de diferentes materiais e configurações geométricas. Com o desenvolvimento da civilização foram aparecendo novos campos do conhecimento humano como a Mecânica dos Materiais e a Teoria da Elasticidade, os quais foram, e são usados no desenho, construção e avaliação de estruturas. Até meados do século passado foram usados coeficientes de segurança altos para evitar falhas nas estruturas. A chegada da era moderna permitiu o uso de novos materiais e a construção de estruturas cada vez mais complexas, este fato gerou a necessidade de técnicas avançadas para o estudo e projeto de estruturas. A necessidade de compreender os efeitos das descontinuidades nos materiais, das transições de geometrias e dos carregamentos pontuais motivaram o surgimento da Mecânica da Fratura, por outro lado o desenvolvimento de poderosos computadores permitiu a rápida evolução dos métodos numéricos para a análise de problemas complexos. No cálculo numérico, o método dos elementos finitos é um dos métodos mais usados na atualidade, no entanto o método dos elementos de contorno tem mais vantagens para a solução de determinado tipo de problemas. Entre as principais vantagens do método quando usado na mecânica da fratura é que a descontinuidade ou trinca é representada somente pela discretização com elementos retos ou curvos no problema bidimensional (planas ou superfícies em um problema tridimensional). No contexto apresentado acima o método híbrido dos elementos de contorno apresentado por Dumont (989) tem se mostrado eficiente para problemas da mecânica da fratura [Dumont e Lopes (003); Dumont e Mamani (0), Sousa et al (03)].

22 Tada, Ernst e Paris (993, 994) propuseram um simples e eficiente método de avaliar Funções de Tensão de Westergaard para a análise de problemas da mecânica da fratura com deslocamentos e tensões prescritas. A investigação foi restrita ao significado matemático na obtenção das funções de tensão e à avaliação de varias formas de abertura de trinca, sempre em termos analíticos. Inspirados nesta proposta Dumont e Mamani (0) desenvolveram funções de tensão generalizadas do tipo Westergaard, funções de forma semielíptica foram usadas como solução fundamental no método híbrido dos elementos de contorno. Este desenvolvimento se mostrou eficiente para o cálculo do campo de tensões próximo à ponta da trinca, não obstante, elementos semielípticos introduzem singularidades desnecessárias ao longo das faces da trinca, tornando-se necessário combinar elementos de trincas de diferentes formas para evitar ou minimizar essas singularidades. A análise adequada do campo de tensões e deslocamentos produzidos pela presença de trincas motivou o desenvolvimento do presente trabalho. A formulação é diretamente aplicável a placas com entalhes ou trincas curvas internas ou de bordo e permite a descrição adequada de altos gradientes de tensão, sendo uma ferramenta simples para a avaliação de fatores de intensidade de tensão. Além disso, é possível determinar, num processo iterativo, a zona plástica ao redor da ponta de uma trinca. Esta tese tem foco no desenvolvimento matemático da formulação para problemas de potencial e de elasticidade. Vários exemplos numéricos de validação são apresentados. Os capítulos e 3 correspondem à revisão bibliográfica, o método híbrido dos elementos de contorno e os conceitos básicos da mecânica da fratura são apresentados brevemente. No capitulo 4 sãos desenvolvidas as funções de tensão de Westergaard generalizadas, as quais serão adequadamente combinadas para desenvolver soluções fundamentais em problemas tanto de potencial quanto de elasticidade. No capitulo 5 é abordado o problema de potencial onde o elemento de forma polinomial é avaliado como solução fundamental. No capítulo 6 é abordado o desenvolvimento da mecânica da fratura linear elástica, e são apresentados alguns exemplos de validação. No capitulo 7 introduz-se a mecânica da fratura elasto-plástica, e apresenta-se uma formulação iterativa para a obtenção da zona plástica, além de exemplos de validação. No capítulo 8 são discutidas algumas conclusões e sugestões para trabalhos futuros.

23 3 Método Híbrido dos Elementos de Contorno O método híbrido dos elementos de contorno (MHEC) foi apresentado em 987, baseado no potencial de Hellinger-Reissner e como uma generalização do método híbrido dos elementos finitos de Pian [Pian (964), Dumont (989)]. A formulação do MHEC requer a avaliação de integrais somente ao longo do contorno e usa soluções fundamentais (Funções de Green) para interpolar campos no domínio. Por conseguinte, um corpo elástico de forma arbitrária pode ser tratado como um único macro-elemento finito com quantos graus de liberdade de contorno, conforme exigido pelo problema. Ao longo do tempo a formulação tem evoluído para muitas aplicações, incluindo problemas dependentes do tempo (Dumont e de Oliveira, 00), mecânica da fratura (Dumont e Lopes, 003; Dumont e Mamani, 0), materiais não homogêneos (Dumont, Chaves e Paulino, 004) e elasticidade gradiente (Dumont e Huamán, 009)... Formulação do problema Dado um corpo elástico submetido a forças de superfície t i na parte Γ do contorno Γ e a deslocamentos u i na parte complementar Γ u. Por simplicidade, não são incluídas forças de corpo [Dumont (0)]. Tenta-se encontrar a melhor aproximação para as tensões e deslocamentos ij e u i, de tal modo que ji, j = 0 no domínio Ω, (.) ui = ui ao longo de Γ u e t i = ij η j = t i ao longo de Γ (.) onde n j é o vetor unitário externo normal ao contorno. Notação indicial é usada... Tensões e deslocamentos assumidos São assumidos dois campos, um campo de deslocamentos e outro de tensões. [Pian (964), Dumont (989)]. O campo de deslocamentos é explicitamente aproximado ao longo do contorno por d u i, onde () d significa

24 4 deslocamentos pressupostos, em termos de funções polinomiais u im com suporte compacto e parâmetros de deslocamentos nodais d [ ] = d m d n d R, para n graus de liberdade de deslocamento do modelo discretizado. O campo independente de s tensões ij, onde () s significa tensões pressupostas, é dado no domínio em termos * de uma série de soluções fundamentais ij m com suporte global, multiplicado por parâmetros de força p = [ ] * * p m * n R aplicado nos mesmos pontos nodais m aos quais os deslocamentos nodais d m estão ligados ( n * = n d s ). Deslocamentos u i são s obtidos a partir de ij. Então, u = u d em Γ de modo que u d i im m s * * ij ijm m d i = ui em u * jim, j 0 Γ e (.3) = p de modo que = em Ω (.4) u = u p + u C p em Ω (.5) s * * r * i im m is sm m * onde u im são soluções fundamentais em termos de deslocamentos correspondentes a * ijm r. O deslocamento de corpo rígido é incluído em termos da função u is multiplicada por uma constante 0)]. Csm em princípio arbitrária [Dumont (003,.3. Equações matriciais que governam o problema O potencial de Hellinger-Reissner, baseado nos dois campos apresentados na Seção., como foi proposto por Pian (964) e generalizado por Dumont (989), conduz a duas equações matriciais que expressam equilíbrios nodais e relações de compatibilidade. Dumont (0) mostrou que a simples, e ainda matematicamente consistente forma de definir estas equações é em termos de dois princípios de trabalhos virtuais independentes entre si, como são apresentados brevemente em seguida..3.. Trabalho Virtual em termos de deslocamentos Na ausência de forças de corpo, o equilíbrio na forma fraca é dado por s d, d d ij δui j Ω = ti δ ui dγ Ω (.6) Γ s s s para =. Assumindo que é dada pela Equação (.4) e ij j i ij d δ u i pela Equação (.3), após integração por partes do primeiro termo da Equação (.6) e aplicação do teorema de Green, obtém-se

25 5 (.7) * * * δ d n ijm n j uin dγ ijm, j uin dω pm = δ d n ti uin dγ Γ Ω Γ Em seguida, para deslocamentos nodais arbitrários δ dn obtém-se a matriz de equações de equilíbrio H p = p or H p = p (.8) * T * mn m n na qual d * [ ] n n H = H nm R, dado pelo primeiro termo em colchetes da Equação (.7), é a mesma matriz potencial do método tradicional dos elementos de contorno [Brebbia, Telles, e Wrobel (984)], e p [ ] = p n n d R, dada pelo segundo termo em colchetes da Equação (.7), são forças nodais equivalentes obtidos da mesma forma que no método dos elementos finitos. A integral de domínio da Equação * (.7) na verdade é omitida, desde que ijm são soluções fundamentais, como na Equação (.4)..3.. Trabalhos virtuais em termos de tensões d Por outro lado, o campo de deslocamentos u i, explicitamente aproximado somente ao longo de Γ segundo a Equação (.3) é tornado compatível com o campo de deslocamentos de domínio trabalhos virtuais: ( ) s u i em termos do seguinte princípio de s d s ui, j ui, j δ ij dω = 0 (.9) Ω s para um campo virtual de tensões δ ij que está em equilíbrio em Ω, segundo a Equação (.4). Aplicando integração por partes e o teorema de Green no termo à esquerda da Equação (.9), chega-se a s d s d ( ui ui ) δ ijη jd Γ ( ui ui ) δ ij, j dω = 0 (.0) Γ Ω Esta equação conduz, após assumir que d Equação (.4) e que u i é dado pela Equação (.3), a * * * mn n mn n s δ ij é aproximado segundo a F p = H d or F p = Hd (.) onde H, que também está na Equação (.8), é conhecida como a matriz de transformação cinemática, e F = [ ] * * F nm * * n n R é a matriz simétrica de flexibilidade. O termo da integral de domínio da Equação (.) é omitido, segundo a Equação * (.4). As matrizes H e F podem ser definidas em forma compacta como

26 6 H F = n u u dγ (.) * mn mn Γ ijm j in in.4. Solução do problema matrizes * Resolvendo para p nas Equações (.8) e (.), chega-se no sistema de T *( ) H F Hd = p (.3) T *( ) onde *( ) H F H K é uma matriz de rigidez. A inversa F tem que ser avaliada * em termos de inversas generalizadas, pois F é singular para um domínio finito Ω (Dumont, 0). Os resultados em pontos internos são expressos em termos das * Equações (.4) e (.5) após a avaliação de p na Equação (.8) ou (.). Para condições de contorno de Neumann, somente a Equação (.8) é necessária, como é o caso da maioria dos problemas da mecânica da fratura propostos na literatura. Esta Seção apresentou o contexto no qual as funções de Westergaard generalizadas das subsequentes seções podem ser usadas e aplicadas.

27 7 3 Mecânica da Fratura A mecânica da fratura é a área da mecânica que estuda o comportamento de materiais e estruturas com presença de trincas, as quais diminuem sua resistência. A mecânica da fratura aplica as teorias da elasticidade e plasticidade na avaliação de tensões e deformações, aos defeitos cristalográficos microscópicos encontrados em materiais reais, a fim de prever a falha mecânica macroscópica dos corpos. No presente capítulo são abordados os conceitos básicos da mecânica da fratura linear-elástica e elasto-plástica, ambas independentes do tempo. 3.. Critério Energético de Griffith Inglis (93) calculou a concentração de tensões em uma placa contendo um furo elíptico. Baseado nesse trabalho e no fato que a resistência real à tração de um material é muito menor que a teórica, Griffith (90) explicou a falha de materiais frágeis. Esta abordagem é conhecida como o Balanço Energético de Griffith e tem sido o ponto inicial para a mecânica da fratura moderna. Griffith realizou experimentos com vidro, e, segundo ele, em materiais idealmente frágeis a trinca se propagaria de maneira instável se a energia de deformação liberada quando a trinca avançasse de um comprimento infinitesimal fosse maior que a energia requerida para formar uma nova superfície de trinca. Assume-se uma placa infinita contendo uma trinca horizontal reta de comprimento a no estado plano de tensões. Para que esta trinca possa se propagar deve existir na placa energia potencial suficiente para ultrapassar a energia de superfície do material. A energia equilibrada de Griffith para um incremento de área da, em condições de equilíbrio pode ser expressa na seguinte forma: de dπ dw = + S = 0 (3.) da da da

28 8 onde E é a energia total, Π é a energia potencial formada pela energia de deformação interna e pelas forças externas, e W S é o trabalho necessário para criar novas superfícies. Partindo da abordagem de Inglis, Griffith propôs f Eγ S = (3.) π a onde γ S é a energia de superfície do material e f é a tensão normal remota aplicada na trinca. Griffith obteve boa aproximação entre a Equação (3.) e ensaios experimentais da resistência à fratura dos vidros, embora a equação de Griffith subestime a resistência à fratura dos materiais, pois a Equação (3.) é válida somente para sólidos frágeis ideais. Irwin (948) e Orowan (948) independentemente modificaram a expressão de Griffith para considerar o efeito plástico nos materiais. 3.. Campo de tensões próximo à trinca Para um determinado número de configurações geométricas e de carga é possível obter expressões analíticas que descrevem o campo de tensões num domínio. Westergaard (939), Irwin (957), Sneddon (946) e Williams (957) foram os primeiros a publicar tais soluções para materiais isotrópicos com comportamento linear-elástico. Seja um sistema polar de coordenadas com a origem coincidindo com a ponta da trinca (Figura a), a estimativa linear-elástica do campo de tensões próximo à ponta da trinca é dada por: m k ( m) ij = fij ( θ ) + Am r gij ( θ ) (3.3) r m= 0 onde ij é o tensor de tensões, r e θ são coordenadas do sistema polar (Figura a), k é uma constante cujo significado físico será definido na próxima Seção e f ij é uma função unidimensional. Os termos de ordem superior dentro do operador de somatório dependem da geometria e são próximos a zero quando r 0.

29 9 y ij Trinca θ * r θ a) Sistema de coordenadas x Modo I Modo II Modo III Figura. Sistema de coordenadas e modos de carregamento. b) Modos de carregamento Existem três modos distintos de carregamento aos quais uma trinca pode ser submetida, como são mostrados na Figura b, estes são: Modo I de fratura: abertura (tensão de tração normal ao plano da trinca). Modo II de fratura: cisalhamento (tensão cortante agindo paralela ao plano da trinca e perpendicular à ponta da trinca). Modo III de fratura: cisalhamento perpendicular (tensão cortante agindo perpendicular ao plano e paralela à ponta da trinca) Fator de Intensidade de Tensão Para um material isotrópico linear-elástico, o campo de tensões num ponto ( θ,r) próximo à ponta da trinca ( r 0 constante ) pode ser aproximado em função de uma K m, chamada fator de intensidade de tensão e definido como m ij Km f π r m ij ( θ ) (3.4) m onde ij é o tensor de tensões para o modo de carregamento m segundo a Figura b. A constante K m depende da geometria e da combinação do carregamento. Para problemas típicos da mecânica da fratura estas constantes estão disponíveis em tabelas, para problemas mais complexos são necessários experimentos e/ou testes numéricos. A Tabela mostra os campos de tensões e deslocamentos próximos à ponta da trinca para os modos I e II. Modo I Modo II xx yy KΙ θ θ 3θ cos sin sin π r KΙ θ θ 3θ cos + sin sin π r KΙΙ θ θ 3θ sin + cos cos π r KΙΙ θ θ 3θ sin cos cos π r

30 30 τ xy u x KΙ θ θ 3θ sin cos cos π r K r cos θ κ sin θ Ι + µ π KΙΙ θ θ 3θ cos sin sin π r K r sin θ κ cos θ ΙΙ + + µ π u K r y sin θ κ cos θ Ι + µ π K r cos θ sin θ ΙΙ κ µ π Tabela. Campo de tensões e deslocamentos para modos I e II (Anderson, 995). Na tabela, µ é o modulo cortante e v o coeficiente de Poisson. κ=3-4ν para estado plano de deformações e κ= (3-ν) (+ν) para estado plano de tensões Série de Williams Paralelo aos estudos de Irwin (957), Williams (957) também demonstrou a natureza universal do campo de tensões próximo à ponta de uma trinca, (Anderson, 995). Considerando a Figura a, que ilustra o sistema polar de coordenadas cuja origem situa-se na ponta da trinca, Williams propôs a função de tensão λ + * * * * Φ = r c sin( λ + ) θ + c cos( λ + ) θ + c3 sin( λ ) θ + c4 cos( λ ) θ, ou Φ = r F( θ, λ) λ + * (3.5) onde c, c, 3, 4 c c são constantes. As funções de tensões de Airy são tais que: Φ = 0 (3.6) sendo Φ = Φ ( r, θ ), a partir das quais as tensões são dadas rr θθ rθ Φ Φ r θ r r Φ = + = r Φ = + r r θ r Φ θ (3.7) Substituindo-se a Equação (3.5) na Equação (3.7), tem-se λ * * rr = r F "( θ ) + ( λ + ) F( θ ) λ * θθ = r λ( λ + ) F( θ ) λ * τ rθ = r λ F '( θ ) (3.8)

31 3 onde * * F '( θ ) é a derivada de F em relação a θ. Para o caso particular da ausência de forças de superfície nas faces da trinca tem-se (0) = ( π ) = τ (0) = τ ( π ) = 0 (3.9) θθ θθ rθ rθ que implica em F(0) = F( π ) = F '(0) = F '( π ) = 0 (3.0) Supondo-se o caso geral, em que as constantes da Equação (3.5) não são nulas, as condições de contorno descritas na Equação (3.0) são satisfeitas somente para sin( πλ ) = 0 (3.) logo, n λ =, onde n =,,3,... (3.) Na Equação (3.5) nota-se a existência de quatro constantes, a priori indeterminadas, aplicando-se a Equação (3.0) podem-se eliminar duas constantes, obtendo-se assim a seguinte função de tensão: n n * n n * n * n * r + Φ = c3 sin( ) θ sin( ) θ c4 cos( ) θ cos( ) θ n + (3.3)` Em problemas da mecânica da fratura é mais conveniente expressar a * função de tensão em termos de θ (ver Figura a). Substituindo θ = θ π na Equação (3.3), obtém-se 3 θ 3θ θ 3θ Φ = r s + t + s r [ θ ] + 3 cos cos sin sin cos... (3.4) onde s i e t i são constantes a serem definidas. Com isto as tensões da Equação (3.8) são dadas por: θ 3θ θ 3θ rr = s t s 4 r θθ rθ 5cos cos 5sin 3sin 4 cos θ... θ 3θ θ 3θ = s t s 4 r cos cos 3sin 3sin 4 sin θ... θ 3θ θ 3θ = s sin sin t cos 3cos 4 r + + s sin θ +... (3.5) As constantes s e mediante as expressões da Equação (3.6). t estão relacionadas aos modos I e II de fratura,

32 3 KI KII s = e t = (3.6) π π Substituindo-se a Equação (3.6) na Equação (3.5) obtêm-se as expressões das tensões em função dos fatores de intensidade de tensão Funções de tensão de Westergaard Westergaard (939) mostrou que um limitado tipo de problemas pode ser resolvido introduzindo uma variável complexa z = x + iy, onde i =. Para um material isotrópico linear-elástico o campo de tensões no modo I de carregamento foi proposto em termos da função de tensão φ I como I = R( φ ) yi( φ ' ) xx I I I = R ( φ ) + yi( φ ' ) yy I I τ = yr( φ ' ) I xy I (3.7) onde R () e I () são parte real e imaginária, respectivamente. Para uma trinca reta de comprimento a submetida a um carregamento biaxial normal remoto (ver Figura a) Westergaard propôs a função de tensão: φ ( z) = I z z a (3.8) Uma solução equivalente para o modo II pode ser obtida a partir de II = R( φ ) yi( φ ' ) xx II II = yi( φ ' ) II yy II τ = I( φ ) yr( φ ' ) xy II II II (3.9) onde φ ( z) = iτ II z z a (3.0) yy 0 y x yy = a a) Placa de Westergaard b) Placa de Westergaard modificada Figura. Trinca horizontal numa placa infinita de espessura fina.

33 33 O modo III poderia também ser considerado a partir de expressões similares. Do mesmo modo, é também possível obter os campos de deslocamentos para o modo I de fratura u v I I ( + ν ) = ( ) R ( * I ) I ( I ) E ( + ν ) = ( ) I ( * I ) R ( I ) E [ ν φ y φ ] [ ν φ y φ ] e os campos de deslocamentos para o modo II de fratura (3.) u v II II onde ( + ν ) = ( ) R ( * II ) I ( II ) E ( + ν ) = ( ) I ( * II ) R ( II ) E [ ν φ y φ ] [ ν φ y φ ] φ * I é a integral da função de tensão φ I, ( φ * I φ I dz (3.) = ou φ = d( φ * ) dz ), v e I I E são os coeficientes de Poisson e elasticidade, respectivamente. Dumont e Lopes (003) propuseram uma pequena modificação ao campo de tensões da trinca da Figura a, adicionaram um termo constante de modo a obter uma força de superfície constante ao longo das faces da trinca e zerar os valores em pontos longe da trinca, como mostrado na Figura b (para o campo de tensões yy ). Com esta modificação as novas expressões para as funções de tensão das Equações (3.8) e (3.0) são dadas pelas Equações (3.3) e (3.4), onde o termo z garante a ausência de saltos da variável complexa devido à mudança de quadrante do sistema local de coordenadas cartesianas. z φi ( z) = z a (3.3) z φii ( z) = iτ z a (3.4) O sentido físico da Equação (3.3) que corresponde ao modo I de carregamento foi mostrado na Figura b, de forma similar poderia ser mostrado o sentido físico da Equação (3.4) que corresponde ao modo II de carregamento.

34 Integral J A abordagem teórica da Integral J foi dada por Rice (968), que mostrou que o valor da integral de energia ao longo de um contorno arbitrário Γ é o mesmo, independentemente do caminho que circunscreve a ponta da trinca. n Trinca y x Γ ds Figura 3. Contorno Γ ao redor da ponta da trinca. Considere-se um corpo homogêneo linear ou não linear de material elástico, livre de forças de corpo e submetido a um campo de deformações bidimensionais (estado plano de deformações ou de tensões generalizado, ou anti-plano de deformações) de modo que todas as tensões ij dependem somente de duas coordenadas cartesianas x e y. Considere-se o contorno arbitrário ao redor da ponta da trinca com caminho Γ em sentido anti-horário como ilustrado na Figura 3. O contorno Γ começa em um ponto qualquer da face inferior e termina na face superior da trinca. Define-se a densidade da energia de deformação W como ( ) ( ) 0 ε W = W x y = W ε = dε (3.5), ij ij onde ε ε é o tensor de deformações infinitesimais. A integral J é dada por: = ij u J = Wdy T ds x Γ (3.6) onde T é o vetor de forças de superfície normais ao longo de Γ ( T i = ij n j ), u é o vetor de deslocamentos e ds é um elemento infinitesimal de comprimento de arco ao longo de Γ. A integral J é a versão mais geral da taxa de liberação de energia G. Para o caso especial de um material linear elástico J = G. Também, pode-se relacionar a integral J com o fator de intensidade (Anderson, 995) através da equação: K I J = (3.7) E para o modo I de carregamento.

35 Zona plástica A análise linear-elástica prevê um campo de tensões infinitas na ponta da trinca. Isto não acontece em materiais reais, dado que as tensões próximas à ponta são finitas devido às deformações inelásticas do material, como plasticidade em metais (ou outro comportamento não linear, como crazing em polímeros) que levam a uma relaxação do campo de tensões ao redor da ponta da trinca Superfícies de escoamento Os critérios de escoamento de Von Mises e de Tresca são os mais usados para prever escoamento em metais. A condição de Von Mises prevê que o comportamento plástico se inicia quando a máxima energia de distorção de um material (segundo invariante deviatório de tensão J ) atinge um valor crítico Por outro lado, a condição de escoamento de Tresca prevê escoamento quando a máxima tensão de cisalhamento atinge um valor crítico. No sistema cartesiano de coordenadas, o critério de escoamento de Von Mises para o início do escoamento é dado pela relação ( ) ( ) ( ) ( ) = τ + τ + τ, (3.8) Y x y y z z x xy xz yz Para o estado plano de tensões e deformações tem-se, respectivamente. = τ, τ = τ = = 0 (3.9) Y x y x y xy yz zx z ( ) = τ, τ = τ = 0, = v + (3.30) Y x y z x y y z z x xy yz zx z x y onde Y é a tensão uniaxial de escoamento, v é o coeficiente de Poisson e ij, τ ij são os tensores de tensões normais e de cisalhamento, respectivamente. Para o caso uniaxial a Equação (3.8) se reduz a = (3.3) Y x No capítulo 7 do presente trabalho são usados os materiais perfeitamente elasto-plásticos, materiais com encruamento linear (bi linear) e o material descrito pela equação de Ramberg-Osgood. A Figura 4 mostra as curvas tensãodeformação unidimensional para os três materiais. k.

36 36 Y Elasto-plástica Y Elasto-plástica Eep Y Elasto-plástica Eep E Elástica Ɛ E Elástica Ɛ E Elástica Ɛ a) Elasto-plástico perfeito b) Elasto-plástico linear c) Ramberg-Osgood Figura 4. Curvas tensão-deformação, materiais elasto-plásticos. As equações que descrevem cada um dos materiais da Figura 4 são Y ε = para < Y, ε = para = Y, Elasto-plástico perfeito E E (3.3) Y ε = para < Y, ε = + Kα para Y, Elasto-plástico linear E E (3.33) n para Y, K ε = < ε = + para Y, Ramberg-Osgood (3.34) E E E Métodos clássicos para o cálculo da zona plástica Uma primeira aproximação da zona plástica é obtida usando uma análise linear-elástica. Contudo estes resultados são imprecisos e irreais devido à redistribuição de tensões necessárias para satisfazer o equilíbrio. Para pequenos deslocamentos é comum utilizar a analise linear-elástica com algumas correções simples. Já para escoamentos maiores, pode-se usar parâmetros adicionais de modo a considerar o comportamento não linear. Os métodos de Irwin e da faixa de escoamento de Dugdale são aproximações clássicas da zona plástica. No método de Irwin uma estimativa de primeira ordem baseada numa analise linear elástica para θ = 0 (Figura 5) é calculada mediante a expressão K I ry =, para estado plano de tensões, ou (3.35) π YS K I ry = π YS ( v), para estado plano de deformações (3.36)

37 37 onde YS é a tensão de escoamento uniaxial. Desconsiderando o encruamento, a distribuição de tensões para plano de tensões) na Figura 5a. r ry é representada pela linha reta yy YS = (estado yy Elastica a ρ YS Elasto-plastica Zona plástica Trinca r y r p r(θ=0) a+ρ YS a) Irwin b) Dugdale Figura 5. Estimativas da zona plástica ao longo da projeção do eixo da trinca. Quando o material escoa, as tensões têm que se redistribuir de modo a satisfazer equilíbrio. rp ry 0 YS dr = 0 yydr, de onde r p KI = dr π r YS 0 r y (3.37) O simples balanço de forças conduz a uma estimativa de segunda ordem do tamanho da zona plástica r p. K I rp =, para estado plano de tensões, ou (3.38) π YS r p K I = π YS ( v) note que r = r. p y, para estado plano de deformações (3.39) A faixa de escoamento proposta por Dugdale (960) e Barenblatt (96) assume uma longa e delgada faixa plástica na ponta da trinca considerando um material sem escoamento no estado plano de tensões (Figura 5b). As primeiras análises consideraram somente uma trinca reta em um meio infinito. A faixa plastificada é modelada assumindo uma trinca do mesmo comprimento da zona plástica, com tensão YS aplicada a cada ponta da trinca (parte inferior da Figura 5b). Sendo a zona plástica proposta π K I ρ =, para estado plano de tensões, ou (3.40) 8 YS

38 38 π K I ρ = 8 YS ( v), para estado plano de deformações (3.4) note a semelhança entre as Equações (3.40) e (3.4) com as Equações (3.38) e (3.39). Os desenvolvimentos de Irwin e Dugdale estimam zonas plásticas semelhantes. As estimativas do tamanho da zona plástica até aqui apresentadas consideram somente o plano paralelo ao eixo da trinca ( θ = 0 ). É possível obter uma estimativa de primeira ordem para a zona plástica ao longo de todos os ângulos aplicando um critério apropriado de escoamento nas equações da Tabela ou na Equação (3.7), para o modo I. Para um material de Von Misses obtêm-se as estimativas de primeira ordem para o modo I, com o raio r em função do ângulo θ (Unger, 995) r r y y ( θ ) K I θ θ = cos + 3sin π YS, para estado plano de tensões, ou (3.4) K θ θ = cos + 3sin π YS, para estado plano de deformações (3.43) I ( θ ) ( v) Uma estimativa de segunda ordem, similar à de Irwin para o eixo da trinca [Equação (3.38) ou (3.39)], nesta vez considerando todos os ângulos pode ser obtida considerando a tensão de escoamento de Von Mises (Sousa, 0). A correção de Irwin, que atende a uma redistribuição de tensões por meio de um comprimento efetivo de trinca, é também simplista e não totalmente correta. Métodos numéricos como o método dos elementos finitos têm sido usados intensamente, contudo os custos computacionais são altos. Os métodos de elementos de contorno têm sido apresentados como uma ferramenta eficiente na avaliação do tamanho e forma da zona plástica.

39 39 4 Funções de Tensão de Westergaard Generalizadas Dumont e Lopes (003) foram os primeiros a apresentar as funções de tensão de Westergaard (após algumas modificações) como solução fundamental no método híbrido dos elementos de contorno. Considere-se uma trinca curva discretizada com, por exemplo, 7 pontos geométricos numerados de 0 a 6 e formando uma série de segmentos como ilustrado na Figura 6a. A curva que representa a trinca da Figura 6a pode ser aproximada por seis elementos lineares, três elementos quadráticos ou dois elementos cúbicos para representar o campo e cinco parâmetros nodais numerados de a 5 para representar a fonte. Estes parâmetros nodais estão relacionados às forças de superfície dadas pelas funções complexas de Westergaard aplicadas como uma sucessão de elementos parcialmente superpostos. Desta forma pode-se aproximar qualquer configuração de abertura (modo I) ou deslizamento (modo II) de trinca pela superposição de descontinuidades elípticas relacionadas a funções de Westergaard. Para problemas de elasticidade, o elemento de trinca com abertura de forma elíptica representa o modo I e a trinca com deslizamento de forma elíptica entre suas faces representa o modo II. point number element number 6 3 a a) Contorno discretizado com 5 elementos b) Elemento elíptico Figura 6. Uso de trincas de forma elíptica para simular contornos curvos (Adaptado de Dumont e Lopes, 003). A principal desvantagem da proposta de Dumont e Lopes é que uma trinca curva não é bem representada pela superposição de elipses. Por exemplo, o grau

40 40 de liberdade 3 é representado pela elipse 3, cujo eixo une somente os pontos e 4. Esta aproximação não é a mais apropriada quando se quer representar contornos curvos, quinas e reentrâncias. Tada et al (993, 994) propuseram um simples e eficiente método de desenvolver as funções de tensão de Westergaard para a análise de problemas de trincas com deslocamentos prescritos. Sua intervenção foi restrita à parte matemática na obtenção destas funções de tensão e à ilustração de varias formas de abertura de trincas, sempre em termos de expressões analíticas. Baseados nos trabalhos apresentados acima, Dumont e Mamani (0) propuseram uma formulação mais geral. Um contorno curvo qualquer (ver Figura 7a) é representado pela superposição de elementos compostos. Estes elementos são formados pela superposição de duas trincas semielípticas dispostas em sentidos opostos, como ilustrado na Figura 7b, não somente para uma melhor representação geométrica da trinca, mas também para simular furos, quinas e reentrâncias. O desenvolvimento matemático para problemas de potencial e de elasticidade, incluindo verificações de consistência e continuidade foi apresentado por Dumont e Mamani (0). Exemplos numéricos que validam a formulação foram apresentados por Mamani (0) element number 3 a a a) Contorno discretizado com 5 elementos b) Elemento semieliptico Figura 7. Uso de trincas semi-elípticas para simular contornos curvos (Adaptado de Mamani, 0; Dumont e Mamani, 0). Dumont e Mamani (03) refletiram sobre a boa representação da ponta da trinca por elementos de forma elíptica (ou semielíptica) e observaram a inclusão desnecessária de singularidades no campo de tensões próximo às faces da trinca, deteriorando inclusive o campo de tensões próximo à ponta da trinca. Deste modo, uma maior discretização leva a uma melhor representação global do problema,

41 4 porém deteriora o campo de tensões locais próximo à trinca. Contornos discretizados com elementos de forma diferente à elíptica têm sido implementados e testados por Dumont e Mamani (0), com resultados globais satisfatórios, que aparentemente não justificavam investigações adicionais. A proposta atual é restringir o uso das trincas de forma semielíptica somente aos elementos que representam as pontas da trinca em estudo (ver Figura 8) e para representar as faces são desenvolvidos elementos de trinca a partir de formas polinomiais (polinômios de Hermite) suaves. A principal vantagem da proposta é que as singularidades do tipo r são introduzidas apenas na ponta da trinca. 4 Crack face element 3 5 a k+ a k k ne element number Crack tip element a k= a 3 a) Contorno discretizado com 5 elementos b) Elementos de face e ponta Figura 8. Uso de semitrincas elípticas e polinomiais para simular contornos curvos (Adaptado de Mamani e Dumont, 05). Os elementos mostrados na Figura 8b podem estar relacionados aos modos I de abertura ou II de deslizamento. Uma solução mais elaborada e exata do problema é obtida acrescentando graus de liberdade que consideram rotação. Estes elementos de rotação são desenvolvidos para representar tanto as faces quanto as pontas da trinca. Estes elementos de rotação podem estar relacionados tanto ao modo I como ao modo II de fratura. A proposta de Dumont e Mamani (0) continua valida para o caso particular da trinca discretizada apenas com um elemento. A Figura 9 mostra os quatro elementos a serem usados (em termos de abertura ou sobreposição) para representar um contorno curvo qualquer.

42 4 z=z (x,z ) plane z=z (x,z ) plane Opening Opening Opening Opening x 0.5 x 0.5 a a a 0.5 x a 0.5 x (x,z ) plane z=-z (x,z ) plane z=-z a) Elemento de abertura na face b) Elemento de abertura na ponta z=z (x,z ) plane z=z (x,z ) plane Overlap Opening Overlap Opening x x a a x a a x (x,z ) plane z=-z (x,z ) plane z=-z c) Elemento de rotação na face d) Rotação adjacente à ponta da trinca Figura 9. Elementos usados para discretizar uma trinca curva geral, em termos de abertura e sobreposição (Adaptado de Mamani e Dumont, 05). As seções apresentadas a seguir são restritas à obtenção matemática das funções de tensão envolvidas para a construção de soluções fundamentais tanto para problemas de potencial (capítulo 5) quanto para problemas de elasticidade (capítulo 6). 4.. Formulação de Tada, Ernst e Paris baseada em deslocamentos. Tada, Ernst, e Paris (993) mostraram que, para uma trinca com abertura prescrita da forma f ( x ) no intervalo [ x, x ] ao longo do eixo x e simétrica em torno deste eixo, no sistema de condenadas cartesiano ( x, y ), pode-se definir a função potencial Φ ( z) em função do argumento complexo z = x + iy, x f ( x) Φ ( z) = dx π (4.) x z x e a partir deste obter os campos de tensões e deslocamentos, como uma generalização da proposta inicial de Westergaard no contexto da mecânica da fratura. Muitas configurações de trincas e tensões foram investigadas por Tada et

43 43 al. O desenvolvimento clássico de Westergaard (939) para uma trinca elíptica de comprimento a é obtido escolhendo-se a função a x f ( x) = (4.) a e avaliando-se a integral da Equação (4.) no intervalo [ a, a]. 4.. Funções de tensão para trincas de comprimento a e rotação θ. Dumont e Mamani (0) desenvolveram uma solução simples: avaliaram a Equação (4.) no intervalo [0,], obtendo assim a função de tensão para uma trinca de forma semielíptica. A rotação e normalização foram consideradas através da introdução de um termo complexo T ( a, θ ), de modo que a variável Z ( z, T ) da Equação (4.3) seja usada como argumento ao invés de z na Equação (4.). iθ i( θ θ ) z r Z = zt e ( x + iy)( cosθ i sinθ ) e (4.3) a a a A função de tensão para uma trinca de forma semielíptica desenvolvida por Dumont e Mamani (0) é resumida na Seção 4.3. Tomando como referência esse trabalho, na Seção 4.4 obtém-se a função de tensão para uma semitrinca de abertura polinomial, as Seções 4.5 e 4.6 mostram as funções de tensão usadas para considerar os efeitos da rotação entre as faces da trinca. Considerando a superposição de efeitos, estas quatro funções (ver Figura 0) servirão de base para formular elementos combinados (ver Figura 9) que serão usados na elaboração de soluções fundamentais tanto para problemas de potencial como para problemas de elasticidade. y x y x y y a a 0.5 θ 0.5 θ 0.5 x 0.5 x a) Abertura elíptica na ponta da trinca b) Abertura polinomial na face da trinca

44 44 y x y x y a y a θ θ x x c) Rotação adjacente à ponta da trinca d) Rotação na face da trinca Figura 0. Semitrincas de comprimento a e rotação θ usadas para representar efeitos de abertura e rotação relativa (Adaptado de Mamani e Dumont, 05) Semitrinca de abertura elíptica na ponta da trinca Deseja-se obter a função de tensão para uma semitrinca de forma elíptica de comprimento a e rotação θ em relação ao eixo de coordenadas x (Figura 0a). A função que descreve a forma da abertura (ou deslizamento) para o caso particular de a = é dada pela Equação (4.4). f ( x) = x, onde ( ) f 0 =, ( ) 0 f =, f '( 0) = 0 e f '( ) = undefined (4.4) A correspondente expressão da Equação (4.) para a função de forma da Equação (4.4) no intervalo [ 0, ], sua primeira e segunda derivada são, respectivamente Z ln ( Z ) Z Z = Z + Φ( Z ) ln π Z π π 4 ( Z ) ( Z) ln Z π π Φ = Z ln Z Z π Z 4 (4.5) (4.6) ( Z ) ln Φ ( Z) = ln Z 3 +, (4.7) π ( Z ) π 3/ ( Z ) π Z ( ) Z em função do argumento complexo Z dado pela Equação (4.3), que considera rotação e normalização Semitrinca de abertura polinomial na face da trinca A função de tensão para a semitrinca de forma polinomial (Figura 0b) é obtida definindo-se a função de forma

45 45 = +, onde f ( 0) =, f ( ) = 0, f '( 0) = 0 e ( ) f x x x 3 ( ) 3 f ' = 0 (4.8) A correspondente expressão da Equação (4.) para a função de forma da Equação (4.8) avaliada no intervalo [0,], sua primeira e segunda derivada são, respectivamente: ( ) ( ) ( Z ) 3Z Z 3Z + Z 5 + Z Φ( Z) = ln ( Z ) + ln ( Z ) (4.9) π π π ( ) ( ) 3Z Z 3Z Z Φ ' ( Z) = ln ( Z) ln ( Z ) + 3 6Z (4.0) π π π Z ( Z ) ( Z ) Φ '' ( Z ) = ln ( Z ) ln ( Z ) + + (4.) π π π π Z dado como argumento a variável complexa Z Semitrinca de rotação na ponta da trinca A função de tensão para a semitrinca de rotação mostrada na Figura 0c é obtida definindo-se incialmente um comprimento a = e escolhendo-se a função de forma f ( x) x x =, onde ( ) f 0 = 0, ( ) 0 f =, f '( 0) = e f '( ) = undefined. (4.) Nota-se que as propriedades desta função de forma na sua ponta são as mesmas que a semitrinca de abertura (deslizamento) elíptica apresentada na Seção 4.3. A expressão da Equação (4.), para a função de forma da Equação (4.), avaliada no intervalo [0,], sua primeira e segunda são, respectivamente. ( ) Z Z Z Z ln Z Z Z Φ ( Z) = ln Z + + (4.3) π π π 8 4 ( Z ) ln ( Z ) Z Z Φ ( Z) = ln Z π Z Z π π ( Z 3) Z ( Z 3) ln ( Z ) ( Z ) π ( ) (4.4) Z 3 π Z + Z + π Z Φ ( Z) = ln Z 3 + (4.5) 3/ π ( Z ) π Z Z dado como argumento a variável complexa Z.

46 Semitrinca de rotação na face da trinca A função de tensão para a semitrinca a ser usada para considerar a rotação relativa entre as faces da trinca (Figura 0d), para o caso a = é obtida a partir da função de forma = +, onde f ( 0) = 0, f ( ) = 0, f '( 0) = e ( ) 3 f ( x) x x x f ' = 0 (4.6) As propriedades desta função de forma na sua ponta são iguais às da semitrinca de abertura (deslizamento) polinomial apresentada na Seção 4.4. A Equação (4.), considerando a Equação (4.8), avaliada no intervalo [0,], e suas respectivas derivadas são ( ) ( ) 3 3 Z Z + Z Z Z + Z Φ ( Z) = ln ( Z ) + ln ( Z ) ( + 9Z 6Z ) (4.7) π π π ( ) ( Z ) 4Z + 3Z 4Z + 3 ln ( Z ) ln Z 5 6Z ( ) ( ) Φ '( Z) = + (4.8) π π 4π ( + 3Z ) ( + 3Z ) Φ ''( Z ) = ln ( Z ) + ln ( Z ) + 6 (4.9) π π π Z dado como argumento a variável complexa Z Singularidades das funções de tensão As singularidades das funções de tensão Φ e suas derivadas são resumidas na Tabela. ORIGEM (Z=0) Função Φ Φ ' = Abertura elíptica Abertura polinomial Rotação elíptica Rotação polinomial ln ( r ) ln ( r ) r r dφ dz sem ln ( r ) PONTA (Z=0) dφ ' Φ '' = Φ Φ ' = dz r r r sem ln ( r ) ln ( r ), r r dφ dz dφ ' Φ '' = dz r 3 sem sem ln ( r ) r r r 3 sem sem ln ( r ) Tabela. Resumo das singularidades das funções de tensão propostas. r

47 47 Neste Capítulo foram desenvolvidas as expressões analíticas das funções de tensão. Estas funções serão usadas na construção das soluções fundamentais tanto para problemas de potencial quanto para problemas de elasticidade dos subsequentes Capítulos. Também foram mostradas as singularidades na origem e na ponta, estudos mais detalhados destas singularidades são apresentados na Seção 0..

48 48 5 Formulação para Problemas de Potencial O principal objetivo do presente capítulo é validar a função de tensão do tipo Westergaard obtida para uma trinca com abertura polinomial (como mostrado na Figura 9a) quando usada como solução fundamental no método híbrido dos elementos de contorno. É apresentado um problema com soluções analíticas conhecidas, para comparação com os resultados numéricos. O conteúdo deste capítulo não tem relação direta com a mecânica da fratura, pois os contornos avaliados não apresentam pontas. O que será apresentado tem valor didático no uso de funções de Westergaard como solução fundamental no método híbrido. 5.. Construção da solução fundamental A solução da equação de Laplace u x u y + = 0 para o estado estacionário de transferência de calor em uma placa homogênea, de espessura constante t, com coeficiente de condutividade k, pode ser obtida em função de Φ, pela seguinte expressão u = Im Φ (5.) k com fluxos referenciados ao sistema global de coordenadas cartesianas ( x, y ) = u x = Φ = u y = Φ qx k Im T qy k Re T ( ) ( ) (5.) e o fluxo normal q = q n q n ao longo de Γ (5.3) n x x y y onde n x e n y são as projeções do vetor normal unitário externo n.

49 49 Considera-se que u é a temperatura no ponto ( x, y ) da placa, q e q são x y fluxos de calor (taxa de transferência de calor por unidade de superfície do corpo) para um fluxo de calor total por unidade de espessura Q / t = que entra na placa. O sistema cartesiano de coordenadas ( x, y ) é introduzido com o propósito de fornecer um tratamento formal do problema: x cosθ sinθ x =, ou y = sinθ cosθ x T x. (5.4) y Em seguida, os fluxos da Equação (5.) são expressos matricialmente como q cosθ sinθ q q x x( 0) T =, ou (0) y sinθ cosθ = qy (0) q T q (5.5) onde os subscritos () (0) indicam que os fluxos estão referenciados ao sistema cartesiano ( x, y ), rotacionado de um ângulo θ : u = = Im Φ qx k (0) x a qy k ( 0) y a ( ) u = = Re Φ ( ) (5.6) Um elemento é formado por dois segmentos retos de comprimentos a e a rotacionados de um ângulo θ e θ, respectivamente, compondo linhas de saltos de potencial (que correspondem a linhas de descontinuidade de deslocamentos ou trincas no caso de elasticidade) ao longo do contorno Γ de um corpo de domínio Ω, com o segmento antes do segmento, como mostrado na Figura a. Sentido do contorno z Abertura Semi-trinca a a Descontinuidade x a a x Plano (x,y) Domínio Abertura Semi-trinca -z a) Descontinuidade geral b) Construção de um elemento de trinca Figura. Construção de um elemento de descontinuidade a partir de duas semitrincas. O caso mais simples é a superposição de duas semitrincas elípticas colineares de comprimentos a = a = formando uma trinca elíptica, similar à proposta original de Westergaard (939) e computacionalmente implementado por Dumont e Lopes (003). A generalização para um elemento formado por duas

50 50 trincas semielípticas (não necessariamente colineares e/ou a a ) foi tratada por Dumont e Mamani (0). A Figura b mostra a superposição em termos de abertura de duas trincas semi-elípticas nos seus planos locais de coordenadas. Como já foi discutido no capítulo anterior, o uso de elementos de forma elíptica tem alguns inconvenientes, o que motivou o desenvolvimento de outros tipos de elementos (ver Figura 9). O efeito combinado do campo potencial devido à superposição das semitrincas e é dado por: u = u u, (5.7) e a superposição de efeitos dos fluxos q = q q e qy = qy qy. (5.8) x x x As justificações matemáticas de singularidade na ponta e na origem do elemento são amplamente discutidas no item 0. do apêndice. Na maioria dos problemas da mecânica da fratura somente condições de contorno de Neumann são necessárias, porém o problema é resolvido apenas pela Equação (.8), sendo necessária somente a matriz H. 5.. Integração da matriz H A expressão geral da matriz H para problemas de potencial é ( ) d H H = q n + q n N J ξ (5.9) ki Γ xk x yk y i onde k é o nó onde a fonte de potencial é aplicada, ou seja, o nó em comum de dois segmentos de contorno adjacentes, k k na esquerda (o segmento, rotacionado de um ângulo θ ) e kk + na direita (o segmento, rotacionado de um ângulo θ ), como ilustrado na Figura. O potencial aplicado varia linearmente no contorno, segundo a função de interpolação N i, do nó i aos nós adjacentes na esquerda e na direita. Em seguida, o intervalo de integração Γ da matriz de coeficientes H ki na Equação (5.9) compreende os dois segmentos de contorno que têm em comum o nó i (ver Figura 3). No caso particular de segmento de contorno reto, J é o correspondente comprimento do elemento, para a variável natural do contorno ξ [0,].

51 5 kp k j i km kp k j km i k kp i j km (a) (b) (c) kp k km j i (b) kp k km i j (e) Figura. Ilustração dos cinco casos na avaliação numérica da matriz H. Comprimento de semi-trinca a 4 a a 7 a 6 a a 5 6 Número de ponto 7 Número de elemento 7 8 Ω + a a 5 a 3 a representa 3 3 a a 9 a 0 0 a Γ 5 a 4 4 a 3 3 Figura 3. Ilustração de um corpo discretizado com elementos de contorno lineares. Deseja-se obter a matriz H para um problema onde o modelo é discretizado com um número total de nós nn, que coincide com o número total de segmentos, como mostrado na Figura 3. A integração da matriz H será avaliada em termos analíticos, cujas respectivas demonstrações são levadas a cabo na Seção 0.3. O algoritmo proposto é: Loop Externo para os saltos de potencial -> k variando de a nn. Determinar os nós adjacentes k + e k, definidos no sentido anti-horário. Em seguida, obter cosθ, sinθ, cosθ, sinθ. Definir a matriz de constantes T, cujos elementos são dados no capítulo 4 [ T T ] T = (5.0)

52 5 Loop Interno para a integração dos segmentos -> i variando de a nn. Determinar os nós subsequente j + e precedente j, a integração será avaliada ao longo dos segmentos ij + e ij. Definir a matriz de constantes A e C cujos elementos são dados pela Equação (7.6) [ A A ] and [ C C ] A = C = (5.) Em seguida, definir a matriz que contem expressões analíticas da integração ao longo dos segmentos adjacentes ao nó i (Seção 0.3) Na[ n, c], Nb[ n, c], Nc[ n, c] e Nd [ n, c ] (5.) Avaliar numericamente a matriz h de na estrutura lógica if. Onde, c =, se refere à semitrinca ou, n =, se refere às extremidades i ou j do segmento onde a integral é avaliada. a) If i = k, caso (a) da Figura. For n de a em um loop aninhado, definir h[ n,] = Na[ n,] h[ n, ] = Nb[ n,] End do loop com variável de controle n. b) Else if j = k, caso (b) da Figura. For n de a em um loop aninhado, definir h[ n,] = Nb[ n,] h[ n, ] = Na[ n,] End do loop com variável de controle n. c) Else if i = k +, caso (c) da Figura. For n de a em um loop aninhado, definir h[ n,] = Nc[ n,] h[ n, ] = Nd [ n,] End do loop com variável de controle n. d) Else if j = k, caso (d) da Figura. For n de a em um loop aninhado, definir h[ n,] = Nd [ n,] h[ n, ] = Nc[ n,] End do loop com variável de controle n. e) Else, caso (e) da Figura. For n de a em um loop aninhado, definir h[ n,] = Nd [ n,] h[ n, ] = Nd [ n,] End do loop com variável de controle n.

53 53 End if (fim da estrutura lógica if) Definir a matriz de projeções unitárias do segmento ij, apresentado na Equação (5.3), n (5.3) = nx ny Os coeficientes dados no vetor [ i, j] H coef da matriz H são obtidos no seguinte loop, para os nós i e j i. Loop para os extremos i e j, com n variando de a Hcoef = n c + n c T[]Im( h[, ]) T T[]Re( h[, ]) n (5.4) c= A matriz H, cujos coeficientes podem já ter alguma contribuição da integração ao longo de algum segmento adjacente, é obtido de H coef como H[ k, i[ n]] = H[ k, i [ n]] + Hcoef (5.5) Fim dos loops com variáveis de controle n, i, k. Para condições de contorno de Neumann o problema é resolvido apenas a partir da Equação (.8), onde podem ser necessários conceitos de inversa generalizada para na obtenção do vetor * p. Para demostrar a consistência do algoritmo na próxima Seção é apresentado um exemplo, cujos resultados numéricos serão comparados com a solução analítica, com a solução fundamental de tipo logarítmica e com a solução de Westergaard de forma semielíptica (Dumont e Mamani, 0) Campo de potenciais e gradientes em pontos internos Uma fonte de potencial logarítmica Φ = ln ( x + 0) + ( y 5) / ( π ) é aplicada no nó F de um contínuo bidimensional infinito, como ilustrado na parte esquerda da Figura 4. Os gradientes nodais equivalentes são avaliados ao longo dos contornos representados pelas linhas cheias, criando assim um problema (para a equação de Laplace) de solução analítica simples e conhecida. O furo, as reentrâncias e as quinas formadas pelos contornos representam algumas dificuldades topológicas para a simulação numérica. O contorno é discretizado

54 54 com um total de 04 nós e a mesma quantidade de segmentos lineares, os quais estão igualmente espaçados entre as quinas numeradas, cujas coordenadas são dadas na parte direita da Figura 4. Uma série de 5 pontos ao longo da reta tracejada AB gerada para a representação de alguns resultados numéricos no domínio. Por simplicidade, e por ser um problema acadêmico, não são especificadas as unidades de medida, podendo-se assumir qualquer sistema de unidades desde que haja coerência nas grandezas. 50 Sistema cartesiano F y A 7 99 B 7 Node X y A 5 0 B 5 8 F -0 5 x Figura 4. Recorte para a modelagem numérica de um corpo multiplamente conexo. O problema mais simples que pode ser resolvido neste exemplo é para as condições de contorno de Neumann, onde o problema é governado apenas pela Equação (.8). Embora a matriz H dada pela Equação (5.9) seja uma matriz singular para um domínio limitado, os gradientes nodais equivalentes p estão * balanceados e o problema de álgebra linear admite apenas uma solução de p, a ser obtida no contexto de matrizes inversas generalizadas (Dumont e Lopes, 003; * Mamani, 0). Após p ser calculado, gradientes e potenciais podem ser obtidos segundo as Equações (.4) e (.5). A parte esquerda da Figura 5 mostra as soluções analítica (Analytic) e numérica (W. pol.) usando elementos de forma polinomial, obtidos em termos de potenciais ao longo do segmento reto AB. Uma vez que o problema tem condições de contorno de Neumann, um potencial constante foi adicionado nos resultados numéricos a fim de que os valores numéricos e analíticos sejam próximos. Também foram feitas comparações com a solução fundamental de Kelvin (Kelvin) e com elementos semielípticos do tipo Westergaard (W. ell.).

55 55 Potential values Analytic Kelvin W. pol W. ell Points along the line segment AB Error potential values (%).E+00 Kelvin.E-0 W. pol. W. ell..e-0.e-03.e-04.e-05.e Points along the line segment AB Figura 5. Potencial ao longo da reta AB da Figura 4. As soluções numéricas mostradas na parte esquerda da Figura 5 estão praticamente superpostas com a solução analítica. Uma melhor interpretação de resultados pode ser obtida a partir dos erros numéricos calculados por vnum vana ε (%) = 00% (5.6) v ana onde v num e v ana representam valores numéricos e analíticos, respectivamente. Os erros calculados segundo a Equação (5.6) e mostrados na parte direita da Figura 5 demonstram que os melhores resultados são aqueles obtidos com as funções de tensão de forma polinomial, inclusive menores que a solução de Kelvin. Valores dos gradientes q x e mostrados na Figura 6 e Figura 7, respectivamente. q y, e seus correspondentes erros são também Gradient x values Analytic 9 Kelvin 8.5 W. pol. 8 W. ell Points along the line segment AB Error gradient x values (%).E+00.E-0.E-0.E-03 Kelvin W. pol..e-04 W. ell..e Points along the line segment AB Figura 6. Gradientes em x ao longo da reta AB da Figura 4.

56 56 Gradient y values Analytic Kelvin W. pol. W. ell Points along the line segment AB Error gradient y values (%).E+00.E-0.E-0 Kelvin.E-03 W. pol. W. ell..e Points along the line segment AB Figura 7. Gradientes em y ao longo da reta AB da Figura 4. Os resultados em termos de gradientes apresentaram um padrão similar aos do potencial. Para o mesmo nível de discretização a solução com elementos polinomiais alcançou melhores resultados que usando elementos semielípticos e, inclusive, do que usando a solução fundamental logarítmica (Kelvin). Isto não necessariamente significa que a solução proposta é melhor que a simples solução logarítmica, a solução proposta não é tão geral quanto à solução logarítmica. Um estudo de convergência é mostrado na Figura 8, para discretizações numéricas com número total de elementos de 30, 58, 4 e 70. As respectivas quinas estão representadas pelos nós da Figura 4 e dadas na Tabela 3. nó nó 7 nó 7 nó 50 nó 69 nó 89 nó 93 nó 99 Nro. nós Tabela 3. Numero dos nós das esquinas das diferentes discretizações da Figura 4. A Figura 8 mostra para cada simulação numérica realizada, a norma do erro Euclidiano de potenciais e gradientes avaliados segundo 5 5 ( ) v a[ i] vn[ i] va[ i] i= i= ε = (5.7) onde [ ] n v i e [ ] v i são os valores numérico e analítico obtidos em cada um dos 5 a pontos ao longo da linha reta AB. Os resultados na Figura 8 estão indicados para as soluções fundamentais de Kelvin (K), elemento elíptico de Westergaard (We) e elemento polinomial de Westergaard (Wp). Os resultados de Kelvin convergem mais rápido que os obtidos com os elementos de forma semielíptica do tipo Westergaard, porém mais lento que a solução de Westergaard com elementos

57 57 polinomiais, como era esperado. No entanto, um padrão de convergência é apresentado tanto para a formulação em termos de funções de Westergaard quanto para a solução de Kelvin. Euclidean Norm of the error.e-03.e-04.e-05.e-06.e u - We 4 u - K 70 u - Wp Number of elements along the boundary Figura 8. Estudo de convergência ao longo da reta AB da Figura 4 em termos de potenciais..e-0.e-0 Euclidean Norm of the error.e-0.e-03.e-04.e-05.e qx - We 4 qx - K 70 qx - Wp Number of elements along the boundary Euclidean Norm of the error.e-0.e-03.e-04.e qy - We 4 qy - K 70 qy - Wp Number of elements along the boundary Figura 9. Estudo de convergência ao longo da reta AB da Figura 4 em termos dos gradientes. Os resultados numéricos apresentados acima validam os desenvolvimentos teóricos. O objetivo final da pesquisa é a obtenção da formulação para a modelagem de trincas o qual é desenvolvido no próximo capítulo.

58 58 6 Formulação para Problemas da Mecânica da Fratura Linear Elástica Para problemas de elasticidade, a construção de soluções fundamentais é menos intuitiva e mais complexa do que para problemas de potencial, uma das complicações é a ação combinada dos modos I e II. Para trincas curvas discretizadas somente com elementos semielípticos Dumont e Mamani (0) verificaram a consistência da formulação, Mamani (0) apresentou vários exemplos para validar a aplicação na mecânica da fratura. Com base nos conceitos abordados por Dumont e Mamani (0) apresenta-se as expressões analíticas do campo de tensões e deslocamentos devido à superposição de efeitos de duas semitrincas opostas formando um elemento de trinca, contido num domínio bidimensional infinito e homogêneo. 6.. Expressões analíticas do campo de deslocamentos Conhecida a função de tensão Φ, que corresponde a uma trinca de forma prescrita (abertura para o modo I e deslizamento para o modo II), o campo de deslocamentos devido aos modos I e II de fratura é matricialmente expresso como (Dumont e Mamani, 0) u (0) y y ( ν ) ReΦ Im Φ ( ν ) Im Φ + ReΦ I II u(0) u (0) a a + ν = I II = (6.) v(0) v(0) E y y ( ν ) Im Φ Re Φ ( ν ) ReΦ Im Φ a a onde E é o módulo de elasticidade, v o coeficiente de Poisson, a o comprimento do eixo da semitrinca e y a coordenada perpendicular ao eixo da trinca. Φ( Z) Φ ' = Z e Φ Z Z Φ '' = ( ) são a primeira e segunda derivada da função Φ, respectivamente. O subscrito ( )(0) quer dizer no sistema local de coordenadas, cuja abcissa coincide com o eixo da trinca.

59 59 Dumont e Mamani (0) desenvolveram a expressão geral do campo de deslocamentos devido à superposição de efeitos de duas trincas semielípticas opostas de comprimentos a e a, e rotações θ e θ. A consistência matemática e a interpretação física também foram discutidas. A expressão proposta pelos autores (com sinal trocado no termo em parêntesis, por conveniência) é ( (0) + (0) ) T T u = T u M T u M p, (6.) onde os subscritos ( ) e ( ) estão relacionados às semitrincas e, que compõem a trinca completa, conforme o modelo da Figura 7b. A matriz T que transforma as coordenadas do sistema global de coordenadas ( x, y ) ao sistema local de coordenadas ( x, y ) é dada x cosθ = y sinθ sinθ x cosθ, ou x = T x, (6.3) y e a matriz M que transforma parâmetros nodais de um sistema global * p a um sistema local p de modo a garantir a compatibilidade de deslocamento na superposição de efeitos, é dada como I p sin θ II = p cosθ onde cosθ p x sinθ, ou p = Mp (6.4) py I p p = II é um vetor de parâmetros de força que contém as contribuições p dos modo I e II, respectivamente, atuando simultaneamente na semitrinca. Para a semitrinca basta substituir o subscrito ( ) pelo subscrito ( ) nas expressões acima. O vetor de parâmetros de força p * * x p = * é o vetor de variáveis py desconhecidas do problema (graus de liberdade) cujo significado físico resulta compreensível em comparação com as expressões iniciais propostas por Westergaard para os modos de fratura I e II (Mamani, 0).

60 Expressões analíticas do campo de tensões De forma similar à Seção 6., a partir da função de tensão Φ e suas primeira e segunda derivadas é obtido o campo de tensões devido aos modos de fratura I e II (Dumont e Mamani, 0) y y ReΦ Im Φ Im Φ + ReΦ I II a a a a xx(0) xx(0) I II y y (0) = yy(0) yy(0) = Re Φ + Im Φ Re Φ (6.5) I II a a a τ xy(0) τ xy(0) y y ReΦ Re Φ Im Φ a a a A expressão geral do campo de tensões que considera a superposição de efeitos de duas semitrincas opostas é ( (0) (0) ) = R M + R M p, (6.6) onde R é a matriz que transforma o campo de tensões (0), orientados segundo o sistema local de coordenadas (eixo da trinca), ao campo de tensões (0) orientados segundo o sistema global de coordenadas θ θ θ θ θ θ τ τ τ I II xx cos sin sin xx(0) xx(0) I I II p yy sin = cos sin yy, (0) yy(0) II = R (0) p p sin θ / sin θ / cos θ I II xy xy(0) xy (0) (6.7) 6.3. Avaliação numérica do campo de tensões para uma trinca curva geral Seja uma trinca curva discretizada com n + pontos geométricos, numerados de a n + e formando uma série de n + segmentos (campo) como ilustrado na Figura 0. A curva que representa a trinca é aproximada por n parâmetros nodais numerados de a n (fonte). Estes parâmetros nodais estão relacionados às forças de superfície dadas pelas funções complexas de Westergaard aplicadas como uma sucessão de elementos parcialmente superpostos.

61 6 length of the semi-crack axis a k= a 3... k=n- k=3 i=4 i=n i=3 k= i= point number i= element number a n k=n i=n+ i=n+ Figura 0. Ilustração de uma trinca discretizada com n parâmetros nodais (elementos), n + segmentos e n + pontos geométricos. Para condições de contorno de Neumann, o problema é governado apenas pela Equação (.8), onde a matriz H é calculada pela integral da Equação (.), e p é o vetor de forças nodais equivalentes. Após o vetor de parâmetros nodais ser avaliado, os campos de tensões e deslocamentos são facilmente avaliados mediante as Equações (.4) e (.5). No primeiro exemplo é estudada a trinca da Figura a discretizada com elementos semielípticos, como proposto por Dumont e Lopes (003) e generalizado por Dumont e Mamani (0). A trinca reta de comprimento a = está contida no domínio bidimensional infinito, isotrópico e contínuo, e é submetida a uma tensão normal remota =, porém somente o modo I é estudado. A trinca é discretizada com 4, 6, 64 e 56 elementos de forma elíptica, todos de igual comprimento. As funções de interpolação usadas para o cálculo da matriz H, ou seja, u in na Equação (.) são lineares. Deseja-se analisar o campo de tensões ao longo da linha tracejada da Figura a, que coincide com o eixo de coordenadas x > 0, cuja origem está na ponta da trinca. A parte esquerda da Figura mostra os resultados numéricos e analíticos, e a parte direita mostra os correspondentes erros numéricos calculados pela Equação (5.6). Os valores numéricos da tensão yy yy são visualmente semelhantes aos valores analíticos, assim, melhores conclusões podem ser obtidas a partir da análise dos erros. Para um ponto x = bastante próximo da ponta da trinca os erros entre as quatro discretizações são bem próximos, sendo o melhor resultado ε ±.0% para a trinca discretizada com 4 elementos. Para um ponto x = 0.0, cem vezes mais distante que o ponto anterior, o erro com 4 elementos é próximo a ± 4.00%, já para a trinca discretizada com 56 elementos o erro ε ± 0.40% é menor, em termos gerais os resultados numéricos convergem à solução analítica somente quando o * p

62 6 ponto em analise é distante da ponta da trinca, porém existe uma natureza flutuante dos resultados numéricos em torno da solução analítica, pelo qual não é possível garantir a convergência de tensões num determinado ponto com o refinamento da discretização. yy = Face element Tip element A a.0 B y x Opening A B Rotation yy = a) Placa infinita Overlap Opening Overlap Opening b) Trinca reta discretizada com 5 elementos Figura. Trinca horizontal reta em um domínio infinito (Adaptado de Mamani e Dumont, 05). Figura. Campo de tensões para a trinca da Figura discretizada com elementos de forma elíptica (Adaptado de Dumont e Lopes, 00; Mamani, 0). O segundo exemplo, corresponde à mesma trinca da Figura a discretizada com elementos polinomiais para representar as faces da trinca e elementos mistos para representar as pontas da trinca, esta discretização é mostrada na parte superior da Figura b para uma trinca reta discretizada com 5 elementos, como exemplo. Os elementos a 4 correspondem a elementos de face e os elementos e a elementos de ponta. As funções de interpolação usadas no cálculo da matriz H, ou seja, u in na Equação (.) têm a mesma forma da abertura * u im do correspondente elemento. Os resultados numéricos da tensão yy plotados na parte esquerda da Figura 3 apresentam pequenas diferenças em relação à solução analítica. Uma analise similar ao exemplo anterior é levada a cabo: para um ponto de coordenada x = o erro ε ± 0.50% com 64 elementos foi bem melhor

63 63 que todas as discretizações, inclusive ao da trinca discretizada com 56 elementos ( 4.50% ). Para o ponto x = 0.0 o menor erro ε 0.90% foi para uma discretização com 6 elementos e o maior ε 8.0% para uma discretização de 4 elementos. Apesar destes resultados não serem melhores que os do exemplo anterior, os resultados da trinca discretizada com elementos mistos parecem ter uma natureza menos oscilatória do que aqueles que foram obtidos usando somente elementos elípticos. Figura 3. Campo de tensões para a trinca da Figura discretizada com elementos combinados de abertura ou deslizamento (Mamani e Dumont, 05). O terceiro exemplo é semelhante ao segundo, aos elementos do exemplo anterior são superpostos elementos para considerar os efeitos da rotação relativa entre as faces da trinca, como exemplificado na parte inferior da Figura b. Em termos do modo I, estes elementos têm uma parte em abertura e outra em sobreposição, esta sobreposição existe somente na representação local, no comportamento global esta sobreposição é eliminada na soma de efeitos com elementos de abertura (parte superior da Figura b). Os resultados numéricos da Figura 4 são visualmente iguais ao analítico. Os erros para o ponto de coordenada x = estão entre ± 4.60% e ± 6.50%, os quais não apresentaram melhoras significativas em relação aos exemplos anteriores. Para o ponto com coordenada x = 0.0 os erros tiveram um melhor comportamento, o erro com 4 elementos foi próximo a ±.70% e o erro com 56 elementos foi menor a ± 0.07%. A melhor característica dos resultados usando-se elementos de abertura com rotação é que as flutuações foram radicalmente diminuídas, isto garante a convergência das tensões em pontos bem próximos da trinca.

64 64 Figura 4. Campo de tensões para a trinca da Figura discretizada com elementos combinados de abertura e rotação (Mamani e Dumont, 05). Os exemplos demonstraram que a trinca discretizada com elementos mistos com rotação conduz a um bom comportamento do campo de tensões, garantindo a convergência para pontos bem próximos à ponta da trinca Avaliação numérica da abertura da trinca Nesta seção é apresentado o estudo da forma de abertura de uma trinca reta: uma primeira análise é feita usando-se o método híbrido dos elementos de contorno e uma segunda análise usando-se o método convencional dos elementos de contorno Abertura de trinca usando o método híbrido dos elementos do contorno Para condições de contorno de Neumann, depois de calculado o vetor de parâmetros nodais * p na Equação (.8) o cálculo do campo de deslocamentos é facilmente obtido mediante a Equação (.5), a menos de uma constante de deslocamentos de corpo rígido. O problema apresentado é para o estado plano de deformações. O primeiro exemplo é para a trinca da Figura a, desta vez com a coordenada x = 0 deslocada para coincidir com o centro da trinca. Uma primeira avaliação é para a trinca reta discretizada com 6 elementos elípticos, na segunda avaliação numérica a trinca é discretizada com elemento mistos (polinomiais nos elementos das faces e semielípticas nos elementos das pontas), na terceira

65 65 avaliação além de serem considerados elementos mistos para representar a abertura da trinca são também considerados elementos para representar os efeitos da rotação relativa entre as faces da trinca. Os resultados são mostrados na Figura 5, onde os valores da abertura foram calculados para ( ν ) E =, de modo a obter uma abertura unitária da solução analítica no centro da trinca, os valores das aberturas foram calculados ao longo de 0 pontos igualmente distribuídos no eixo da trinca. A parte esquerda da Figura 5 mostra a comparação dos resultados numéricos com o analítico e à direita seus respectivos erros calculados como vnum vana ε (%) = 00% (6.8) v ana(max) onde v num e v ana representam valores numéricos e analíticos, neste caso v (max) = é a abertura analítica no centro da trinca. Na parte central da trinca, os piores resultados numéricos foram dos elementos elípticos ( ε ± 0% ) e os melhores dos elementos mistos com rotação ( ε ± 0.% ). ana a) Forma da abertura b) Erro relativo da abertura Figura 5. Abertura da trinca da Figura usando vários elementos de discretização (Mamani e Dumont, 05). O segundo exemplo é o estudo da mesma trinca do exemplo anterior, agora discretizada com 4, 6 e 64 elementos mistos com rotação. Na Figura 6a pode-se observar que os resultados numéricos coincidem visualmente com os resultados analíticos, inclusive para a trinca discretizada com 4 elementos. Segundo a Figura 6b a trinca discretizada com maior quantidade de elementos (64) apresenta maior estabilidade (menor flutuação) do que a trinca discretizada com menor quantidade de elementos (4 e 6).

66 66 a) Forma de abertura b) Erro relativo da abertura Figura 6. Abertura da trinca da Figura para várias discretizações da trinca (Mamani e Dumont, 05) Abertura de trinca usando o método convencional dos elementos de contorno Uma formulação a partir do método dos resíduos ponderados conduz à expressão clássica do método dos elementos de contorno dada pela Equação (Brebbia et al, 984) H mndn = Gmntn ou Hd = Gt, (6.9) onde d é o vetor de deslocamentos nodais (nos nós até 5 na parte direita da Figura, por exemplo) e t são parâmetros nodais de intensidade de forças de superfície aplicados nos mesmos nós. A matriz de transformação cinemática H é exatamente a mesma da Equação (.8) e a matriz G que realiza um tipo de transformação de flexibilidade é dada por G ml = G = u t dγ, (6.0) Γ * im il com deslocamentos * u im dados pelas funções de tensão de Westergaard e as funções de interpolação com suporte local t il, que têm a mesma forma da abertura * u im. O exemplo numérico estudado é a para a mesma trinca do segundo exemplo da Seção 6.4., porém agora resolvido pelo método convencional dos elementos de contorno. A Figura 7a mostra os resultados numéricos da abertura da trinca para discretizações de 4, 6 e 64 elementos igualmente espaçados e seus correspondentes erros são mostrados à direita. Embora os erros sejam um pouco

67 67 maiores do que no método híbrido dos elementos de contorno, no método convencional os erros apresentam maior estabilidade (menor flutuação). a) Forma de abertura b) Erro relativo da abertura Figura 7. Deslocamentos de abertura da trinca reta da Figura a (Mamani e Dumont, 05) Fator de intensidade de tensão Na mecânica da fratura linear elástica, o fator de intensidade de tensão é usado para estimar o campo de tensões próximo à ponta da trinca. O fator de intensidade de tensão ( K ) define a amplitude da singularidade na proximidade da ponta da trinca, isto é, tensões próximas à ponta da trinca aumentam proporcionalmente a K. Além disso, este fator define completamente as condições da ponta da trinca; se K é conhecido, é possível resolver todos os componentes de tensões, deformações e deslocamentos como uma função de r e θ. Este parâmetro K usado para a descrição das condições da ponta da trinca é um dos conceitos mais importantes na mecânica da fratura (Anderson, 995). Soluções fechadas para K têm sido definidas para um número determinado de configurações simples, para situações mais complexas ele pode ser estimado através de experimentos ou analises numéricas. Point matching e os métodos de energia são tradicionalmente usados para avaliar os parâmetros da mecânica da fratura a partir de análises numéricas. Os fatores de intensidade de tensão em termos de tensões são formalmente definidos como K = lim π r ( r,0) I r 0 K = lim π r ( r,0) II r 0 yy yx (6.)

68 68 O fator de intensidade de tensão pode ser calculado a uma determinada distância da ponta da trinca, e extrapolado para r = 0. Alternativamente K pode ser estimado a partir de uma extrapolação da abertura da trinca: µ KI = lim π ruy κ + r 0 r, µ KII = lim π rux κ + r 0 r, ( π ) ( π ) (6.) A Equação (6.) tende a ser mais precisa do que a Equação (6.) devido ao fato de que os deslocamentos nodais podem ser obtidos com melhor precisão do que as tensões. No método clássico dos elementos finitos, esta abordagem de extrapolação precisa de um alto nível de refinamento da malha para obter um nível razoável de precisão. Por exemplo, para uma análise bidimensional com uma malha de 000 graus de liberdade, o método de extrapolação gera tipicamente um erro em torno de ± 5% para K I (Anderson, 995) Fator de intensidade de tensão em termos de * Os valores de K são diretamente obtidos a partir dos elementos do vetor p (dado na Equação (.8)) que correspondem às pontas da trinca. A expressão analítica de * K I como função de p é obtida substituindo-se as expressões da Equação (.4) na Equação (6.) e avaliando-se para r 0, assim π a K p p. (6.3) ( n) * * I ( n) = y( n) + ry( n) a( n) 3 * p Para o modo misto, os fatores de intensidade de tensão problema linear elástico bidimensional são dados pela Equação K I e K II num * * KI ( n) π a( n) sinθ( n) cosθ( n) p x( n) p rx( n) = * * K I ( n) a cosθ ( ) ( n) sinθ +, (6.4) n ( n) py( n) 3 p ry( n) onde, p p * x( n) * y( n) e p p * rx( n) * ry( n) são incógnitas primárias do problema, relacionadas à abertura (ou deslizamento) e rotação. rotações não são consideradas. * p rx( n) 0 * = pry( n) é o caso particular onde as

69 69 Como exemplo numérico, apresenta-se o estudo da mesma trinca da Figura a, cuja solução analítica do fator de intensidade de tensão para o modo I é KI = π. O estudo aqui apresentado é para a trinca reta discretizada com, 4, 6, 64 e 56 elementos. Os resultados são apresentados na Figura 8a, onde uma série de resultados corresponde à trinca discretizada com elementos de forma elíptica e a outra à trinca discretizada com elementos mistos com rotação. O fator de intensidade de tensão K I para a trinca discretizada com um elemento corresponde à solução analítica, Os resultados numéricos para a trinca discretizada com 56 elementos foram melhores para os elementos elípticos ( ± 6% ) em comparação com os resultados para elementos mistos com rotação ( ± 8% ), porém não foi obtida uma regra de convergência em nenhum dos casos K num /K ana Elliptical Mixed with rotation Number of elements * a) K I a partir de p K num /K ana HBEM BEM Number of elements b) K I com MHEC e MEC Figura 8. Fator de intensidade de tensão para a trinca da Figura, a partir dos * parâmetros p e deslocamentos num ponto de coordenadas x = 0.0 (Mamani e Dumont, 05) Fator de intensidade de tensão em termos da abertura da trinca O valor numérico da abertura da trinca, pode ser usado para calcular o fator de intensidade de tensão a partir da Equação (6.), quando a variável r é aproximada por r = ε, sendo ε um valor bem pequeno. Como exemplo numérico apresenta-se a mesma trinca da Figura a cuja solução analítica para o modo I é KI = π, a trinca é discretizada com, 4, 6, 64 e 56 elementos mistos com rotação. O cálculo numérico do fator de intensidade é realizado pelo método hibrido e convencional dos elementos de contorno, cujos resultados são mostrados na Figura 8b. Os fatores de intensidade de tensão foram calculados a partir do ponto r = ε = 0.0 (sobre o eixo x ). Os resultados melhoram à medida em que a discretização da trinca é aumentada, não foi obtido um padrão