UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL UNIJUÍ LEONARDO BORTOLON MARASCHIN

Transcrição

1 UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL UNIJUÍ LEONARDO BORTOLON MARASCHIN MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM ROBÔ GANTRY COM ACIONAMENTO PNEUMÁTICO Ijuí, RS BRASIL. 25

2 LEONARDO BORTOLON MARASCHIN MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM ROBÔ GANTRY COM ACIONAMENTO PNEUMÁTICO Dissertação apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Modelagem Matemática da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ), como requisito parcial para a obtenção do título de Mestre em Modelagem Matemática. Orientador: Dr. Antonio Carlos Valdiero Coorientador: Dr. Luiz Antonio Rasia Ijuí, RS BRASIL 25

3 UNIVERSIDADE REGIONAL DO NOROESTE DO ESTADO DO RIO GRANDE DO SUL DCEEng DEPARTAMENTO DE CIÊNCIAS EXATAS E ENGENHARIAS PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM MODELAGEM MATEMÁTICA MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM ROBÔ GANTRY COM ACIONAMENTO PNEUMÁTICO Elaborada por LEONARDO BORTOLON MARASCHIN Como requisito para obtenção do grau de Mestre em Modelagem Matemática Comissão Examinadora Prof. Dr. Antonio Carlos Valdiero UNIJUÍ (Orientador) Prof. Dr. Jocarly Patrocínio de Souza- PPGPPF/UPF Prof. Dr. Rafael Zancan Frantz- UNIJUÍ Prof. Dr. Luiz Antonio Rasia UNIJUÍ (Co-Orientador) Ijuí/RS, 3 de julho de 25

4 A minha família, aos professores e colegas, em especial ao orientador Dr. Antonio Carlos Valdiero.

5 AGRADECIMENTOS A Deus por me dar saúde e a oportunidade de cursar o mestrado. A minha família, pela ajuda e o incentivo aos estudos. Ao meu orientador Doutor Antonio Carlos Valdiero pela orientação, a paciência e a amizade. Ao meu co-orientador Doutor Luiz Antonio Rasia pela orientação, a amizade e principalmente a explicação da parte eletrônica do robô Gantry. Aos meus colegas do Mestrado da turma de 23 pela amizade e pelo trabalho em equipe. A CAPES pelo apoio financeiro no curso de mestrado. A UNIJUÍ pela infraestrutura disponível e aos docentes que ajudaram a construir o conhecimento necessário para construir este trabalho. A secretária Geni pela ajuda e amizade durante o período do mestrado. A todas as pessoas contribuíram para o desenvolvimento da dissertação.

6 Para os crentes, Deus está no princípio das coisas. Para os cientistas, no final de toda reflexão Max Planck

7 RESUMO Este trabalho apresenta a modelagem matemática e a estratégia de controle de posição de um robô pneumático para fins de aplicações industriais, incluindo-se os resultados de testes experimentais. Tal robô foi desenvolvido no Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS) da Unijuí Câmpus Panambi. Atuadores pneumáticos são sistemas muito atrativos para diversas aplicações, em especial na robótica, porque eles têm a vantagem de baixo custo, leveza, durabilidade e são limpos, também possuem facilidade de manutenção, têm boa relação força/tamanho e flexibilidade de instalação, e além disso o ar comprimido está disponível na maioria das instalações industriais. Entretanto, sistemas de posicionamento pneumático possuem algumas características indesejáveis as quais limitam o uso destes em aplicações que requerem uma resposta precisa. Estas características indesejáveis são causadas pela compressibilidade do ar e pelas não linearidades presentes em sistemas pneumáticos, tais como o comportamento não linear da vazão mássica nos orifícios da válvula e sua zona morta, além do atrito nas vedações do cilindro pneumático. Neste trabalho obtém-se um modelo matemático não linear de ª ordem (total) para os dois primeiros graus de liberdade do robô que tem a estrutura cinemática do tipo Gantry. Os parâmetros da zona morta e do atrito foram obtidos experimentalmente e o modelo proposto foi validado em malha aberta para a primeira junta. É implementada uma estratégia de controle clássico com compensação da não linearidade da zona morta em testes experimentais com malha fechada e planejamento da trajetória desejada senoidal e trapezoidal, sem e com a compensação da zona morta, cujos resultados ilustram as características do controlador utilizado e a importância da compensação da zona morta. Este trabalho de pesquisa contribui para o desenvolvimento e o controle de posição de robôs pneumáticos de baixo custo para aplicação industrial. Palavras-chave: Robôs pneumáticos, Robô Gantry, Controle de posição, Validação experimental.

8 ABSTRACT This work presents the mathematical modeling and the position control strategy of a pneumatic robot for the purpose of industrial applications, including the experimental results. This robot was developed at the Innovation Center in Automatic Machinery and Servo Systems (NIMASS) of Unijuí Câmpus Panambi. Pneumatic actuators are very attractive systems for various applications, particularly in robotics, because they have the advantage of low cost, light weight, durability and are clean, also have ease of maintenance, have good relationship power to size, installation flexibility, and more over compressed air is available in most industrial plants. However, pneumatic positioning systems have some undesirable characteristics which limit the use thereof in applications requiring precise response. These undesirable characteristics are caused by the compressibility of air and the nonlinearities present in pneumatic systems, such as the non-linear behavior of the mass flow in the holes of the valve and a dead zone, in addition to the friction of the pneumatic cylinder seals. In this work we obtain a non-linear mathematical model of th order (total) for the first two degrees of freedom robot having kinematic gantry type structure. The parameters of the dead zone and friction were obtained experimentally and the model proposed was validated in open loop to the first joint. Classic-control strategy with compensation of non linearity of the dead zone is implemented in experimental tests were performed with closed loop and planning sinusoidal and trapezoidal, desired trajectory with and without the compensation of the dead zone, whose results illustrate controller characteristics of the used and the importance of compensation of the dead zone. This research work contributes to the development and the position control of low cost pneumatic robots for industrial application. Key-words: Pneumatic robots, Gantry robot, Position control, Experimental validation.

9 LISTA DE FIGURAS Figura Desenho interno de uma válvula direcional proporcional Figura 2 Efeitos prejudiciais do atrito no seguinte de trajetória Figura 3 - Desenho esquemático de um robô pneumático Gantry para polimento de peças.. 24 Figura 4 Fotografia do protótipo de um robô pneumático Gantry para polimento de peças Figura 5 Bancada de Instrumentação com a placa eletrônica dspace para aquisição de sinais e controle Figura 6 Protótipo inicial do Robô Gantry sem as melhorias Figura 7 Protótipo do Robô Gantry com a primeira melhoria... 3 Figura 8 Protótipo do Robô Gantry com a segunda melhoria Figura 9 Protótipo do Robô Gantry com a terceira melhoria Figura Protótipo do Robô Gantry com a quarta melhoria Figura Robô Gantry com indicação de algumas partes Figura 2 Robô Gantry com descrição de algumas partes Figura 3 Desenho da Guia Linear TRH Figura 4 Representação dos sistemas de coordenadas de referência em cada elo de acordo com a convenção de Denavit-Hartenberg (D-H) indicadas no robô Gantry com acionamento pneumático Figura 5 Representação do atrito de estático Figura 6 Representação do atrito de Coulomb Figura 7 Representação do atrito viscoso Figura 8 Representação do atrito de arraste Figura 9 Representação do atrito de Stribeck Figura 2 Combinação das características do atrito em regime permanente Figura 2 Representação gráfica da zona morta presente nas servoválvulas Figura 22 Diagrama de blocos utilizados na identificação da zona morta presente na servoválvula Figura 23 Diagrama de blocos do acréscimo do offset no sinal de controle... 5 Figura 24 Representação gráfica da inversa da zona morta suavizada linearmente... 5 Figura 25 Diagrama de blocos da compensação da zona morta suavizada linearmente... 5

10 Figura 26 Diagrama de blocos utilizados na compensação da zona morta presente na servoválvula Figura 27 Trecho do sinal de controle da servoválvula utilizada para determinação do zme Figura 28 Comportamento das pressões e a zona morta esquerda na servoválvula Figura 29 Trecho do sinal de controle da servoválvula utilizada para determinação do zmd Figura 3 Comportamento das pressões e a zona morta direita na servoválvula... 6 Figura 3 Comportamento das pressões e a zona morta esquerda na servoválvula Figura 32 Comportamento das pressões e a zona morta direita na servoválvula Figura 33 Zona morta baseada no centro da servoválvula... 6 Figura 34 Zona morta baseada no centro da servoválvula Figura 35 Zona morta na servoválvula centrada Figura 36 Zona morta na servoválvula 2 centrada Figura 37 Zona morta residual na servoválvula Figura 38 Trecho percorrido no º grau de liberdade com o sinal de controle em malha aberta de 4 volts Figura 39 Trecho com velocidade constante no atuador no sinal de controle em malha aberta de 4 volts Figura 4 Força pneumática no atuador no sinal de controle em malha aberta de 4 volts 66 Figura 4 Mapa estático do atrito no º grau de liberdade do robô Gantry Figura 42 Curva experimental do mapa estático do atrito no º grau de liberdade do robô Gantry... 7 Figura 43 Validação do sinal de controle em malha aberta de 4 V Figura 44 Validação da trajetória realizada na º junta com o sinal de controle em malha aberta de 4 V Figura 45 Validação da força pneumática do sinal do controle 4 V em malha aberta Figura 46 Diagrama do controle em malha aberta Figura 47 Diagrama do controle em malha fechada Figura 48 Diagrama de blocos dos controles utilizados nas trajetórias senoidais Figura 49 Diagrama de blocos dos controles utilizados nas trajetórias tipo trapeizodal Figura 5 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle proporcional com um ganho de kp =

11 Figura 5 - Erro de seguimento na junta 2 realizado pelo controle proporcional com um ganho de kp = Figura 52 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle proporcional com um ganho de kp = Figura 53 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle proporcional com um ganho de kp =... 8 Figura 54 - Erro de seguimento na junta 2 realizado pelo controle proporcional com um ganho de kp = Figura 55 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle proporcional com um ganho de kp = Figura 56 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle proporcional com um ganho de kp = Figura 57 - Erro de seguimento na junta 2 realizado pelo controle proporcional com um ganho de kp = Figura 58 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle proporcional com um ganho de kp = Figura 59 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle PI com ganhos em kp = e ki = Figura 6 - Erro de seguimento na junta 2 realizado pelo controle Pi com ganhos de kp = e ki = Figura 6 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle Pi com ganhos de kp = e ki = Figura 62 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle PI com ganhos de kp = e ki = Figura 63 - Erro de seguimento na junta 2 realizado pelo controle PI com ganhos de kp = e ki = Figura 64 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle PI com ganhos de kp = e ki = Figura 65 - Trajetórias realizadas na junta do robô Gantry em uma senoide com o período de 25s Figura 66 - Erros de seguimentos na junta em uma senoide com o ciclo de 25s Figura 67 - Sinais dos controles enviados para servoválvula no período de 25s... 9 Figura 68 - Trajetórias realizadas na junta do robô Gantry em uma senoide com o período de s... 9

12 Figura 69 - Erros de seguimentos na junta em uma senoide com o ciclo de s... 9 Figura 7 - Sinais dos controles enviados para servoválvula no período de s... 9 Figura 7 - Trajetórias realizadas na junta 2 do robô Gantry em uma senoide com o período de 25 s Figura 72 - Erros de seguimentos na junta 2 em uma senoide com o ciclo de 25s Figura 73 - Sinais dos controles que foram transmitidos para servoválvula 2 no ciclo de 25s Figura 74 - Trajetórias realizadas na junta 2 do robô Gantry em uma senoide com o período de s Figura 75 - Erros de seguimentos na junta 2 em uma senoide com o ciclo de s Figura 76 - Sinais dos controles que foram transmitidos para servoválvula 2 no ciclo de s Figura 77 - Trajetórias tipo trapezoidal realizadas na junta do robô Gantry Figura 78 - Erros de seguimentos na junta na trajetória tipo trapezoidal Figura 79 - Sinais que foram transmitidos para servoválvula na trajetória tipo trapezoidal 97 Figura 8 - Trajetórias tipo trapezoidal realizadas na junta 2 do robô Gantry Figura 8 - Erros de seguimentos na junta 2 na trajetória tipo trapezoidal Figura 82 - Sinais que foram transmitidos para servoválvula 2 na trajetória tipo trapezoidal 99 Figura 83 Certificado de Trabalho-Destaque no Salão do Conhecimento 24 XIX Jornada de Pesquisa... 2

13 LISTA DE TABELAS Tabela Componentes do protótipo do robô Gantry Tabela 2 Parâmetros de Denavit-Hartenberg Tabela 3 Variação das juntas (d i ) do robô Gantry Tabela 4 Zona morta da válvula direcional proporcional e Tabela 5 Experimentos realizados para sinais de controle positivos em malha aberta Tabela 6 Experimentos realizados para sinais de controle negativos em malha aberta Tabela 7 Parâmetros do mapa estático do atrito na º junta do robô Gantry Tabela 8 Parâmetros da vazão máxima da servoválvula utilizados na simulação computacional... 7 Tabela 9 Parâmetros das propriedades do ar comprimido... 7 Tabela Parâmetros do cilindro pneumático do º grau do robô Gantry Tabela Posições das juntas do robô Gantry na trajetória determinada por pontos... 96

14 LISTA DE SÍMBOLOS Alfabeto Latino A Área da Câmara A do cilindro [m 2 ] A 2 Área da Câmara B do cilindro descontada a haste [m 2 ] A Câmara A do cilindro B Câmara B do cilindro B Coeficiente de amortecimento viscoso [Ns/m] C d Coeficiente de arraste [Ns 2 /m²] C p Calor específico do ar a pressão constante [cal/g. ºC] C v Calor específico do ar a volume constante [cal/g. ºC] D Diâmetro do êmbolo do cilindro [m] D h Diâmetro da haste do cilindro [m] e(t) Erro de seguimento [m] F atr Força de atrito [N] F atr,ss Força de atrito em regime permanente [N] F c Força de atrito Coulomb [N] F s Força de atrito estático [N] f (y) Função não linear dependente da posição f 2 (y) Função não linear dependente da posição F p Força pneumática gerada no atuador [N] g ss (y ) Função que descreve parte das características do atrito em regime permanente g (p a, sgn(u T )) Função não linear dos componentes dependentes do sinal de controle g 2 (p a, sgn(u T )) Função não linear dos componentes dependentes do sinal de controle k d k i k p Ganho derivativo Ganho integral Ganho do controlador proporcional L Comprimento do curso total do cilindro [m] lc Largura de suavização utilizada na compensação [V] M Massa total acoplada ao êmbolo do atuador [kg]

15 md Inclinação direita da zona morta me Inclinação esquerda da zona morta p atm Pressão atmosférica [Pa] p a, y 3 Pressão na câmara A do cilindro [Pa] p b, y 4 Pressão na câmara B do cilindro [Pa] p s Pressão de suprimento [Pa] q ma Vazão mássica na câmara A do cilindro [kg/s] q mb Vazão mássica na câmara B do cilindro [kg/s] R Constante universal dos gases [Jkg/K] T Temperatura do ar [K] U T Sinal de controle (volts) [V] U zm Sinal de controle com a zona morta [V] U czm Sinal de controle da zona morta compensada [V] V a V b Volume na câmara A do cilindro quando o êmbolo está na [m 3 ] posição inicial (y = ) Volume na câmara B do cilindro quando o êmbolo está na [m 3 ] posição inicial (y = ) w Componente plástica do deslocamento [m] x v Posição do carretel da servoválvula [m] y d Posição desejada do êmbolo do atuador [m] y, y Posição do êmbolo do atuador [m] y, y 2 Velocidade do atuador [m/s] y s Velocidade de Stribeck [m/s] y Aceleração do atuador [m/s²] y 5, z Microdeformações médias das rugosidades entre as superfícies [m] elásticas de contato (pré-deslizamento) y min Posição mínima do atuador [m] y max Posição máxima do atuador [m] y f Posição final do atuador [m] z ba Deslocamento de força de quebra [m] zero Posição central da servoválvula [V] z max Valor máximo das microdeformações [m] zmd Limite direito da zona morta [V] zme Limite esquerdo da zona morta [V] z ss Microdeformações em regime permanente [m]

16 Alfabeto Grego α Coeficiente constante da função exponencial β ench β esv γ Coeficiente de vazão para a câmara enchendo Coeficiente de vazão para câmara esvaziando Relação entre os calores específicos do ar σ Coeficiente de rigidez das microdeformações [N/m] σ Coeficiente de amortecimento das microdeformações [Ns/m] σ 2 Coeficiente de amortecimento viscoso [Ns/m] Símbolos Variação (. ) Derivada primeira (.. ) Derivada segunda (... ) Derivada segunda

17 SUMÁRIO INTRODUÇÃO Contextualização Revisão bibliográfica Justificativa Objetivos Metodologia Organização do trabalho DESCRIÇÃO DA BANCADA EXPERIMENTAL Melhorias realizadas no protótipo do robô pneumático Gantry Descrição do protótipo do robô pneumático Gantry Discussões MODELAGEM MATEMÁTICA Modelagem cinemática Modelagem do atuador pneumático Modelagem do atrito Modelagem da zona morta Modelagem dinâmica Discussões RESULTADOS DE TESTES EM MALHA ABERTA Identificação dos parâmetros da não linearidade de zona morta e sua compensação Identificação dos parâmetros do atrito Validação experimental do modelo para a primeira junta Discussões RESULTADOS DE TESTES DE CONTROLE DE POSIÇÃO EM MALHA FECHADA Descrição dos controladores clássicos Implementação dos controladores P, PI e da compensação da zona morta Procedimento de ajuste dos ganhos dos controles de posição Resultados do controle com trajetória senoidal Resultados do controle com trajetória tipo trapezoidal Discussões...

18 6 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS... REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS... 2 APÊNDICE A Diagrama de blocos dos controles utilizados nas trajetórias senoidais... 9 APÊNDICE B Diagrama de blocos dos controles utilizados nas trajetórias tipo trapezoidal..... APÊNDICE C Resumo expandido publicado (MARASCHIN et al., 24c)... APÊNDICE D Artigo publicado (MARASCHIN et al, 24b)... 3 ANEXO A Catálogo da Guia Linear TRH ANEXO B Catálogo do Cilindro Pneumático DNC--5-PPV ANEXO C Catálogo do Sistema Transdutor Linear MLO-POT--TLF ANEXO D Catálogo do Cilindro sem Haste ANEXO E Catálogo da Unidade de Conservação ANEXO F Catálogo do Sensor de Pressão ANEXO G Catálogo do Cilindro Pneumático DNC-4-6-PPV ANEXO H Catálogo da Esmerilhadeira Angular ANEXO I Catálogo da Válvula Direcional Proporcional... 3 ANEXO J Catálogo da Articulação Esférica... 3

19 9 INTRODUÇÃO. Contextualização Este trabalho apresenta a modelagem matemática e o controle de posição de um manipulador robótico pneumático de cadeia cinemática do tipo Gantry para aplicação industrial de manuseio e acabamento de peças. Esta pesquisa científica é um dos resultados obtidos no Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS) do Departamento de Ciências Exatas e Engenharias (DCEEng) no Câmpus Panambi da Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ). De acordo com Valdiero (22), robô industrial é um dispositivo mecânico que pode ser programado para desempenhar uma variedade de tarefas de manipulação e locomoção sob o comando de um controle automático (CERONI e NOF, 999). Robôs são considerados como representantes típicos de sistemas mecatrônicos, os quais integram aspectos de manipulação, sensoriamento, controle e comunicação. Um conceito moderno para o termo mecatrônica é apresentado em Stecki (2) e refere-se ao projeto e uso de sistemas eletrônicos e computacionais na engenharia mecânica, os quais possibilitam a máquina comportar-se de forma inteligente diante de tarefas não repetitivas e não padronizadas. Tais sistemas mecatrônicos têm como características principais a separação explícita entre controle e potência (interconectados através das informações dos sinais dos sensores); o aumento da complexidade do sistema; a segurança inerente dependente da confiabilidade de hardware e da análise de estabilidade; e o enfoque no desenvolvimento de estratégias de controle, visando a compensação das características não lineares dos componentes mecânicos que prejudicam o desempenho. A pneumática deriva do termo grego pneumatikos, que significa fôlego, utiliza o gás pressurizado ou ar comprimido na ciência e tecnologia. Nos últimos anos a pneumática vem ganhando espaço e se tornou uma das principais tecnologias de automação da indústria e sua aplicação tem potencial em diversos setores (BAVARESCO, 28). Atuadores pneumáticos são sistemas muito atrativos para diversas aplicações, em especial na robótica, porque eles têm a vantagem de baixo custo, leveza, durabilidade e são

20 2 limpos quando comparados com os atuadores hidráulicos, também possuem facilidade de manutenção, têm boa relação força/tamanho e flexibilidade de instalação, e, além disso, o ar comprimido está disponível na maioria das instalações industriais (GUENTHER et al., 26; BOBROW et al., 998; WEICKGENANNT et al., 2; QIONG et al., 2; WANG et al., 2). Os servoposicionadores pneumáticos também apresentam menor risco de contaminação ambiental e de operação em relação aos sistemas hidráulicos, visto que, se ocorrer no sistema hidráulico um vazamento de óleo, isso poderá gerar sérios danos ambientais, ainda maiores se este óleo for inflamável, destaca Suzuki (2). Na última década estão sendo estudadas com grande ênfase as características não lineares de atuadores pneumáticos por vários pesquisadores (PERONDI, 22; ANDRIGHETTO et al., 26; ENDLER, 29; RITTER, 2, VALDIERO et al., 2; PÖRSCH, 22; ZAMBERLAN, 23; RICHTER, 23; VIECELLI, 24; SANTOS, 24; RICHTER et al., 24; SCHOENMEIER et al., 24). Uma contribuição apresentada por Perondi (22) em sua tese de doutorado tratou das deficiências dos controladores tradicionais, verificadas e superadas através do projeto adequado de algoritmos não lineares de controle. Também equacionou o atrito baseando-se no modelo Lugre, com o qual se pode observar e trabalhar com as principais características não lineares do atrito para fins de compensação em tempo real. Andrighetto et al. (26) enfatiza que um sistema servo pneumático tem muitas desvantagens que podem ser superadas pelo sistema de controle. As principais não linearidades em sistemas servopneumático são a equação da vazão de ar através do orifício da válvula, a compressibilidade do ar e os efeitos do atrito entre as superfícies em contato nas vedações do atuador. Valdiero (2) expressa o quão importante é o estudo das não linearidades presentes nos sistemas mecânicos, as quais causam limitações no desempenho do controle preciso, portanto destacando-se uma das necessidades é de identificação e compensação da zona morta a partir da observação da dinâmica do comportamento das pressões nos orifícios das válvulas. Este trabalho abrange a modelagem matemática dos dois primeiros graus de liberdade de um robô cartesiano (tipo Gantry) acionado por atuadores pneumáticos e mostra a importância da compensação da não linearidade da zona morta. A inclusão da modelagem matemática da dinâmica do atuador pneumático fundamenta-se no modelo matemático não linear de 5ª ordem apresentado por Richter (23). A seção seguinte apresenta uma breve revisão bibliográfica sobre robôs pneumáticos disponíveis na literatura recente.

21 2.2 Revisão bibliográfica A modelagem matemática tem como objetivo a visualização e a compreensão do comportamento dinâmico do robô, com isso pode-se prever os movimentos do efetuador final (garra robótica ou ferramenta) segundo Ferruzzi (23). Através do uso da modelagem a humanidade teve um grande avanço tecnológico, pois com ela foi possível diminuir os gastos e obter respostas com mais rapidez na produção em série de produtos, tais como microcomputadores, veículos e diversos outros bens de consumo. Conforme Alfaro (26), um robô é um dispositivo autônomo ou semi-autônomo que realiza trabalhos de acordo com um controle humano, controle parcial com supervisão, ou de forma autônoma. Ele foi inicialmente criado para desempenhar funções perigosas e danosas para as pessoas, mas com o avanço da ciência atualmente realiza atividades mais complexas com maior precisão e rapidez. Os robôs podem ser classificados em: móveis, manipuladores e a combinação destes últimos dois. Sendo que um robô industrial é um manipulador, com propósito geral, constituído estruturalmente de vários segmentos mecânicos rígidos ligados em série por juntas e tendo na extremidade uma garra ou ferramenta, conforme Valdiero (22). Com ele as indústrias puderam automatizar algumas linhas de produção e assim aumentaram a produção e a qualidade dos produtos. Os cinco tipos principais de braços em robótica de manipulação são: cartesiano (onde se caracteriza o tipo especial chamado Gantry), cilíndrico, polar, revolução e SCARA (SILVA, 999). Existem várias vantagens de utilizar o robô com braço cartesiano, entre elas estão o aumento da produtividade, a maior qualidade do produto final, a segurança das pessoas, além de serem facilmente adaptáveis para grandes dimensões. Este tipo de robô é muito empregado em diversas áreas da indústria, sendo bastante usado na manipulação de cargas, nas máquinas de corte a laser e na usinagem CNC (Computer Numeric Control). Conforme Bavaresco (27), os atuadores ou acionadores podem ser distribuídos em: pneumáticos, óleo-hidráulicos, hidro-hidráulicos, elétricos rotativos (DC e DA), elétricos lineares. Onde os atuadores pneumáticos são dispositivos que convertem a energia de ar comprimido em energia mecânica (MEHMOOD et al., 2; BOLLMANN, 997; ANDRIGHETTO, 999). As vantagens do sistema pneumático são facilidade para transporte em tubulações, facilidade de armazenamento por serem compressíveis em reservatórios, além de matéria prima não poluente, observando Vale (2).

22 22 Porem os sistemas de posicionamento pneumático possuem algumas características indesejáveis as quais limitam o uso destes em aplicações que requerem uma resposta precisa (GUENTHER et al., 26; ALLGAYER, 2). Estas características indesejáveis derivam da alta compressibilidade do ar (WEICKGENANNT et al., 2) e das não linearidades presentes em sistemas pneumáticos, tais como o comportamento não linear da vazão mássica nos orifícios da válvula e sua zona morta (VALDIERO et al., 2), além do atrito nas vedações do cilindro linear (ANDRIGHETTO et al., 26). A zona morta é causada pela sobreposição do ressalto do carretel da servoválvula no do orifício da passagem do ar comprimido, conforme Figura, porque a largura do carretel é maior que a abertura da servoválvula. Figura Desenho interno de uma válvula direcional proporcional Fonte: Bavaresco (27). Em sistemas de posicionamento pneumático as forças de atrito na superfície de deslizamento do pistão são bastante dependentes das características físicas das superfícies em contato, tal como das propriedades e da geometria dos materiais, e das condições de lubrificação (GUENTHER et al., 26), sendo a controlabilidade da posição do sistema pneumático inferior ao sistema elétrico (LI et al., 2). Segundo Armstrong e Canudas de Wit (2) o atrito prejudica o seguimento de trajetória através de alguns efeitos, sendo que os principais são o stick-slip, o hunting, o standstill e o quadrature glitch.

23 23 Na Figura 2 observa-se que o fenômeno stick-slip ocorre quando tem uma alternância entre o movimento de deslizamento e o repouso, o efeito hunting é a oscilação do movimento que acontecem em torno de uma posição constante, a perda de movimento chamada standstill sucede quando o sistema é mantido parado por um intervalo de tempo ao passar pela velocidade nula e o erro de seguimento num movimento de vários eixos é o quadrature glitch.. Figura 2 Efeitos prejudiciais do atrito no seguinte de trajetória (a) stick-slip (b) hunting (c) standstill (d) quadrature glitch Fonte: Valdiero (25) A seguir apresenta-se um breve levantamento dos robôs acionados pneumaticamente e a importância de suas aplicações industriais. As informações foram obtidas a partir de artigos científicos publicados em revistas e eventos internacionais (RAOUFI e SURGENOR, 25; SAMHOURI et al., 25; DEHGHAN e SURGENOR, 23; LISHA et al., 23; GUANGYUE et a., 23; WAIT e GOLDFARB, 24; MEHMOOD et al., 24). Raoufi e Surgenor (25) avaliaram experimentalmente a habilidade de um robô Gantry pneumático para esmerilhar as arestas de peças de aço, cujo desenho esquemático do robô é

24 mostrado na Figura 3. Este robô tem apenas dois graus de liberdade apesar de possuir três juntas acionadas por atuadores pneumáticos, pois os eixos Y e Z estão na mesma direção 24.Figura 3 - Desenho esquemático de um robô pneumático Gantry para polimento de peças. Fonte: Adaptado de Raoufi e Surgenor (25) Um sistema de inferência neuro-fuzzy adaptativo foi usado por Samhouri et al. (25) para sintonizar on-line um controlador PID para este robô pneumático usado para o polimento de bordas de peças de aço, cuja fotografia do protótipo é mostrada na Figura 4. Figura 4 Fotografia do protótipo de um robô pneumático Gantry para polimento de peças. Fonte: Adaptado de Raoufi e Surgenor (25)

25 25.3 Justificativa Em aplicações de robótica com interação com o meio, tem-se o desafio do controle de posição e força. No controle de força com realimentação, muitas vezes necessita-se do sinal de medição de força e/ou torque e o uso de sensores de força e torque podem se tornar oneroso. Conforme Valdiero (22), a força de carga e/ou interação nos sistemas pneumáticos pode ser estimada por meio da força pneumática determinada com a utilização sensores de pressão de mais baixo custo, sendo que possíveis força de gravidade e de atrito podem serem estimadas através de testes experimentais ou determinação das condições da tarefa. Nos robôs com acionamento elétrico, a medição da força e/ou torque só é possível através de sensores de força e de torque que possuem um alto custo e dificuldade de instalação, dessa forma o controle de força se torna bem mais caro do que nos robôs pneumáticos. Na realização de atividades onde há risco de ocorrer uma explosão, segundo Li et al. (2) o robô com acionamento pneumático apresentam vantagens significantes em relação ao robô com acionamento elétrico, como a baixa geração calor e a não produção do campo magnético, dessa forma a possibilidade surgir uma faísca é praticamente nula. Além disso, para executar as funções de polimento, lixamento e de pintura, os manipuladores pneumáticos são mais seguros do que os elétricos, pois o ar é compressível e funciona como uma mola. Enquanto os manipuladores elétricos para realizar as tarefas citadas precisam de um controle preciso de posição, para evitar o que danifique o meio de interação. Entretanto, conforme Ritter et al. (2) e Maraschin et al. (24c) existem várias não linearidades presentes no atuador pneumático que prejudica o seu desempenho, por isso há um grande campo de pesquisa na modelagem e nas formas de compensação das características não lineares presentes, ampliando o potencial de aplicações da robótica..4 Objetivos Este trabalho tem como objetivo principal desenvolver e validar a modelagem matemática do comportamento dinâmico de um robô Gantry com três graus de liberdade acionado por atuadores pneumáticos para ser utilizado em processos de lixamento.

26 26 Para obter o objetivo principal deverão ser alcançados os seguintes objetivos específicos: Realizar melhorias construtivas no robô Gantry com acionamento pneumático; Apresentar os principais componentes da bancada experimental; Modelar e identificar os parâmetros do atrito; Modelar, identificar e compensar a zona morta presente nas servoválvulas do acionamento; Desenvolver um modelo matemático que descreva o comportamento dinâmico do protótipo; Realizar simulações computacionais usando software Matlab; Validar o modelo matemático desenvolvido e realizar testes na bancada experimental do robô pneumático Gantry; Socializar os resultados obtidos na forma de publicações na comunidade cientifica..5 Metodologia A metodologia utilizada é composta de revisão bibliográfica, de melhorias no protótipo do robô pneumático, do desenvolvimento da formulação do modelo matemático, da realização de simulações computacionais do modelo e da implementação do controle clássico com a obtenção de resultados experimentais. A revisão bibliográfica foi baseada na literatura científica recente e nos antecedentes do grupo de pesquisa. As principais pesquisas antecedentes do grupo estão sistematizadas em várias dissertações de mestrado (BAVARESCO, 27; MIOTTO, 28; ENDLER, 29; RITTER, 2; PÖRSCH, 2; RICHTER, 23). Para realizar os testes experimentais no protótipo foi usado a Bancada de instrumentação, mostrado na Figura 5, composta de uma placa alemã dspace DS 4, configurada para taxas de amostragem e de aquisição de ms, que está integrada a um microcomputador. Sendo que os movimentos horizontais e verticais desse robô foram capturados pelos sistemas transdutores lineares e enviados em forma de sinais analógicos para a placa citada, após ocorrer o processamento no computador do sinal recebido, a placa dspace envia os sinais analógicos para as válvulas direcionais proporcionais que liberam a

27 passagem do ar comprimido, com isso controla-se o avanço e recuo dos cilindros pneumáticos e a posição final da ferramenta. 27 Figura 5 Bancada de Instrumentação com a placa eletrônica dspace para aquisição de sinais e controle Para a construção dos diagramas de blocos e a simulação computacional foi utilizado o software Matlab/Simulink, sendo que o método numérico utilizado foi o Runge-Kutta de 4ª ordem com o passo de integração de ms. Os testes experimentais necessários a esta dissertação foram desenvolvidos na infraestrutura disponível na UNIJUÍ no Câmpus Panambi, em especial no Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS), em uma bancada de testes experimentais composta por um robô Gantry com acionamento pneumático..6 Organização do trabalho O presente trabalho está organizado em seis capítulos. O capítulo 2 descreve a bancada experimental do robô, o capítulo 3 desenvolve a modelagem matemática do robô pneumático

28 28 de juntas lineares cartesianas acionadas por cilindros pneumáticos comandados por servoválvulas, incluindo-se a não linearidade de zona morta e do atrito. No capítulo 4 têm-se os resultados obtidos em malha aberta na bancada de testes, tais como a identificação da zona morta na servoválvula, a identificação dos parâmetros do atrito e a validação do modelo matemático na º junta do robô. O controle do robô pneumático é apresentado no capítulo 5, onde tem-se os resultados em malha fechada para um controlador clássico com e sem um esquema não linear para compensação da zona morta. No capítulo 5 também tem o planejamento de trajetórias, a compensação de zona morta e os resultados do planejamento de trajetória com e sem zona morta compensada no controle proporcional-integral. O capítulo 6 apresenta as conclusões e perspectivas futuras. E por fim, têm-se as referências bibliográficas e os anexos.

29 29 2 DESCRIÇÃO DA BANCADA EXPERIMENTAL A bancada experimental estudada é composta por uma estrutura cinemática tipo cartesiana com três graus de liberdade e possui acionamento pneumático. Sendo que os deslocamentos das juntas prismáticas do robô são capturados por uma placa eletrônica dspace de aquisição de sinais e controle, montada em um microcomputador, que está integrado ao software Matlab. Segundo Gilat (22) o nome do programa citado originou da fusão das palavras Matrix Laboratory (Laboratório de Matrix), pois na sua base operacional é utilizado matrizes. O Matlab possui uma linguagem de alto nível, sendo bastante usado em cálculos matemáticos, modelagens e simulações. O Robô Gantry usado nesta dissertação teve como base o protótipo anterior (LOCATELI, 28), conforme Figura 6, onde foi modificado com a inclusão de melhorias construtivas, conforme mostrado na seção seguinte. Figura 6 Protótipo inicial do Robô Gantry sem as melhorias.

30 3 2. Melhorias realizadas no protótipo do robô pneumático Gantry Primeiramente foram desmontados os três graus de liberdade da bancada experimental, após isso foi trocado no primeiro e segundo grau de liberdade as guias formadas por buchas de nylon e tubo industrial por guias lineares com patins com abas, mostrados na Figura 7, com isso foi melhorado a precisão do robô. Figura 7 Protótipo do Robô Gantry com a primeira melhoria. Logo após foi colocado o terceiro grau de liberdade, que foi usado por Bavaresco em 27 na sua dissertação, no protótipo do robô Gantry. Mas foi fixada uma lixadeira elétrica no terceiro elo, segundo Figura 8, desta da bancada experimental. Na terceira melhoria foi trocado o cilindro pneumático que movimentava o primeiro elo do protótipo por outro, conforme Figura 9, com maior curso e diâmetro, dessa forma foi aumentado o volume de trabalho e a força pneumática do robô. Depois foi trocado o terceiro grau de liberdade do protótipo por outro, mostrado Figura, que foi construído pelo Lopes (25), onde foi fixada uma lixadeira pneumática. Também foi colocado um regulador de pressão proporcional para controlar a força do cilindro pneumático instalado no terceiro elo da bancada experimental.

31 3 Figura 8 Protótipo do Robô Gantry com a segunda melhoria. Figura 9 Protótipo do Robô Gantry com a terceira melhoria.

32 32 Figura Protótipo do Robô Gantry com a quarta melhoria. Por último foi colocado uma articulação esférica na ponta do cilindro pneumático instalado no elo zero do robô Gantry, após isso foi observado que o movimento do primeiro elo ficou mais suave na primeira junta do protótipo. O robô Gantry utilizado nesta dissertação serve como plataforma de testes para verificação dos modelos matemáticos e das estratégias de controle de posição, encontra-se no NIMASS na Unijuí Câmpus Pânambi e está descrito mais detalhadamente na seção seguinte que já o apresenta após o reprojeto e a implementação de melhorias no protótipo realizadas nesta dissertação de mestrado. 2.2 Descrição do protótipo do robô pneumático Gantry O robô cartesiano, ilustrado nas Figura e Figura 2, foi construído em uma estrutura fixa do tipo pórtico, com três graus de liberdade, sendo que as juntas são prismáticas e ainda possui uma servoválvula de controle direcional para cada cilindro pneumático de dupla ação. Para manter o ar comprimido limpo e lubrificado na bancada experimental é utilizada uma unidade de conservação.

33 33 Figura Robô Gantry com indicação de algumas partes Figura 2 Robô Gantry com descrição de algumas partes

34 34 Os componentes indicados anteriormente no robô Gantry com acionamento pneumático têm as suas especificações descritas na Tabela. Nos anexos serão mostrados os catálogos dos principais componentes do protótipo. Item Componente Tabela Componentes do protótipo do robô Gantry Fabricante Código Catálogo Guia Kalatec TR Cilindro pneumático com haste Transdutor de deslocamento linear Cilindro pneumático sem haste Unidade de conservação Reservatório de ar comprimido Sensor pressão Transmissor de pressão de Festo Festo Rexroth DNC-- 5-PPV (6349) MLO- POT- -TLF (52632) Festo Proar Festo Gefran RA 8.5. SDE- D-G2- R8-C- PU-M8 (529958) TKG E M DM 9 Patins Kalatec TRH5FL Cilindro pneumático com haste Esmerilhadei ra angular Festo Chiaperini Pneumática s DNC-4-6-PPV (63357) CH E-A Especificações Espessura: 3 mm Largura: 5 mm Comprimento: 2 mm Capacidade carga dinâmica: 897 kgf Capacidade de carga estática: 863 kgf Diâmetro da haste: 25 mm Diâmetro do cilindro: mm Curso: 5 mm Força teórica avanço (6 bar): 472 N Resolução do trajeto:, mm Curso: mm Diâmetro: 25 mm Curso: mm Força teórica: 5 N Grau de filtração: 5 μm Vazão nominal padrão:.7 l/min Volume: 2,5. -3 m 3 Faixa de medição de pressão: bar Faixa de medição de pressão: bar Espessura: 2 mm Largura: 47 mm Comprimento: 2 mm Capacidade carga dinâmica: 897 kgf Capacidade de carga estática: 863 kgf Diâmetro da haste: 6 mm Diâmetro do cilindro: 4 mm Curso: 6 mm Força teórica avanço (6 bar): 754 N Disco: 5 RPM: Pressão de trabalho (psi): 9

35 Válvula direcional proporcional Regulador de pressão Regulador de pressão proporcional Suporte para eixo Festo Werk- Schott Pneumática SMC Samick MPYE-5- /8-HF- -B (5693) 22- R2C2 ITV35-33F4N3- X5 SK25 6 Eixo Samick NI-WV 7 8 Rolamento fechado com flange cilíndrica Articulação esférica Samick Festo LMEF25 UU SGS- M2x,5 (9264) Função de válvula: 5/3 vias, fechada Vazão nominal padrão: 7 l/min Vazão (7bar): 28 l/min Pressão de trabalho: até bar Vazão: 4 l/min Pressão de trabalho:,5 até bar Espessura: 24 mm Base: 7 mm Diâmetro: 25 mm Comprimento: 3 mm Capacidade carga dinâmica: 98 N Capacidade de carga estática: 56 N Movimento máximo da rótula: 5 As partes chamadas de guia () e patins (9) mostrado na Figura 3 formam juntas a Guia Linear TRH, que servem para aplicações de exigem precisão e têm baixíssima manutenção (KALATEC, 25). Figura 3 Desenho da Guia Linear TRH

36 Discussões Neste Capitulo foram descritas as melhorias realizadas no protótipo do robô pneumático do tipo Gantry, inclusive a realizada pelo Cristiano Rafael Lopes em 25 no terceiro grau de liberdade. Também foram mostradas as especificações dos principais componentes da bancada experimental. Os resultados do desenvolvimento deste protótipo estão descritos em MARASCHIN et al. (24a). Como futuras melhorias, recomenda-se a colocação de uma tela ao redor do elo zero do robô, para evitar acidentes com os operadores do protótipo.

37 37 3 MODELAGEM MATEMÁTICA Neste capítulo apresenta-se a modelagem matemática do robô pneumático tipo Gantry, composto de juntas prismáticas acionadas por atuadores pneumáticos, cada um composto por uma servoválvula direcional e um cilindro de dupla ação, considerando as não linearidades presentes no sistema. Na seção 3. é mostrada a modelagem cinemática e a determinação dos parâmetros do protótipo do robô utilizando-se a convenção de Denavit-Hartenberg (D-H). Na seção 3.2 temse o modelo matemático de 5º ordem não linear do atuador pneumático. A seção 3.3 é apresentada a modelagem do atrito presente na bancada experimental. A modelagem da não linearidade da zona morta presente na servoválvula está na seção 3.4. A penúltima seção apresenta modelagem dinâmica do robô. Por fim, na última seção tem as discussões referentes a modelagem do robô Gantry. 3. Modelagem cinemática Para realizar a modelagem cinemática direta e inversa do robô utilizou-se a convenção de Denavit Hartenberg (SCIAVICCO, 996). Na Figura 4 podem ser visualizados os sistemas de coordenadas (X i, Y i, Z i ) de referência em cada elo e os eixos das juntas do robô. O cálculo da posição e orientação das coordenadas ligadas com a ponta de atuação em relação às coordenadas ligadas à base é cinemática direta (VALDIERO, 25). Sendo que a i é a distância entre Z i- e Z i, θ i é o ângulo entre X i- e X i em torno de Z i-, α i é o ângulo entre Z i- e Z i medido em X i, d i é a ordenada medida ao longo de Z i- que localiza o eixo X i em relação ao X i- e neste robô cartesiano o parâmetro d i é variável. Os parâmetros D-H do protótipo estão descritos na Tabela 2. Tabela 2 Parâmetros de Denavit-Hartenberg elo i a i (m) θ i (rad) α i (rad) d i (m) elo π 2 d elo 2 π 2 π 2 d 2 elo 3 d 3

38 38 A variação de d, d 2 e d 3 nas juntas, conforme Tabela 3, mostram o volume de trabalho do robô Gantry. Tabela 3 Variação das juntas (d i ) do robô Gantry d d 2 d 3 Variação (m) a,495 a,83 a,6 Figura 4 Representação dos sistemas de coordenadas de referência em cada elo de acordo com a convenção de Denavit-Hartenberg (D-H) indicadas no robô Gantry com acionamento pneumático. Para construir as matrizes de transformação homogênea que relaciona o movimento de um elo i em relação ao elo i-, usa-se a Equação.

39 39 cosθ i A i senθ i = i senθ i cosα i cosθ i cosα i senα i senθ i senα i cosθ i senα i cosα i a i cosθ i a i senθ i d () i Substituindo os valores da Tabela 2 nas Equações anterior, obtêm-se as Equações 2, 3 e 4 que estão logo abaixo: A = d (2) A 2 = d 2 (3) A 2 3 = d 3 (4) Para determinar a matriz de transformação homogênea que relaciona sistema de referência do efetuador final com o da base fixa, usa-se seguinte Equação 5. T n = A A 2 A n n (5) Substituindo os valores das Equações 2, 3 e 4 na Equação 5, obtemos a Equação 6. T 3 = d 3 d 2 d (6) As relações de posição e orientação final do robô nas Equações 7, 8, 9 e. X 3 = (7)

40 4 Y 3 = (8) Z 3 = (9) P x d 3 P 3 = P y = d 2 () P z d Na cinemática inversa usam-se os dados e a orientação do efetuador final, para calcular as variáveis de junta. Nesse robô Gantry calcula-se as ordenadas (d i ) do efetuador final, medidas ao longo de z, conforme está na Equação, 2 e 3. d 3 = P x () d 2 = P y (2) d = P z (3) A cinemática diferencial do robô relaciona as velocidades de junta com as velocidades lineares e angulares do efetuador final, conforme a equação 4. P x P y v = P W = P z = J r q = J p i q J i W oi (4) x W y W z Onde J r é a matriz jacobiana do robô rígido e q o vetor das velocidades no espaço das juntas. Sendo que para determinar os elementos da matriz jacobiana da junta i prismática, utiliza-se se a equação 5 e 6.

41 4 J pi = Z i (5) J oi = (6) Para obter os valores das equações 5 e 6 observa-se a equação 7. A i i = X i Y i Z i P i (7) A matriz jacobiana do robô rígido e o vetor das velocidades das juntas deste robô Gantry, podem ser escritos segundo a equação 8.. J r q = J d p J p2 J p3. d J o J o2 J 2 (8) o3 d 3 Então a velocidade da junta pode ser mostrada pela equação 9. v = d 3 d 2 d (9) 3.2 Modelagem do atuador pneumático O modelo não linear de 5ª ordem, conforme Richter (23), a seguir é descrito pelas Equações 2 a 24, na forma de variáveis de estado, considerando y = y, y 2 = y, y 3 = p a, y 4 = p b e y 5 = z. y = y 2 (2) y 2 = F atr(y 5, y 2 ) M + A M y 3 A 2 M y 4 (2)

42 42 γa γrt y 3 = y V a + A y 2 y 3 + q V a + A y ma (U T, y 3 ) (22) y 4 = γa 2 γrt y V b A 2 y 2 y 4 q V b A 2 y mb (U T, y 4 ) (23) σ y 5 = y 2 α(y 5, y 2 ) g ss (y 2 ) sgn(y 2)y 5 (24) Sendo que y é a posição do êmbolo, y 2 é a velocidade, y 3 e y 4 são as pressões nas câmaras A e B do cilindro, y 5 é a dinâmica das microdeformações, q ma e q mb são as vazões mássicas nas câmaras A e B do cilindro, Va e Vb os volumes das câmaras A e B, T é a temperatura do ar de suprimento, R é a constante universal dos gases e γ é a relação entre os calores específicos do ar. Endler (29) propôs as Equações 25 e 26 para determinar as vazões q ma e q mb, através de testes experimentais. q ma (U T, p a ) = g p a, sgn(u T ) arctg(2u T ) (25) q mb (U T, p b ) = g 2 p b, sgn(u T ) arctg(2u T ) (26) Onde g e g 2 são funções sinal dadas pelas Equações 27 e 28. g p a, sgn(u T ) = β p a = (p s p a )β ench se U T (p a p atm )β esv se U T < (27) g 2 p b, sgn(u T ) = β p b = (p s p b )β ench se U T < (p b p atm )β esv se U T (28) Sendo que p s é a pressão de suprimento, p atm a pressão atmosférica, β ench e β env são coeficientes constantes característicos respectivamente do enchimento e do esvaziamento das câmaras do cilindro.

43 Modelagem do atrito A dinâmica não linear do atrito está presente em todos os sistemas mecânicos que possuem movimento, causa atrasados na trajetória desejada e pode instabilizar o sistema. Segundo Valdiero (22), o modelo do atrito possui diversas características clássicas compostas pelo atrito estático, de Coulomb, viscoso e de arraste. Também é formado por fenômenos mais complexos, como o atrito de Stribeck, atrito estático crescente, memória de atrito e deslocamento de predeslizamento. O atrito estático ocorre quando a velocidade é zero e impede o movimento com a mesma magnitude de força (ou torque) aplicada u(t) até um valor máximo de força de atrito estático Fs, conforme Equação 29. F estático (t) = u(t), se u(t) < F s (29) F s δ y (t) sgn u(t), se u(t) F s Onde y (t) é a velocidade e δ(y (t)) é a função impulso descrita pela Equação 3., se y (t) = δ y (t) =, se y (t) (3) A função impulso é usada para mostrar que o atrito estático ocorre apenas em repouso, sendo que a força de atrito estático é aproximadamente proporcional ao deslocamento de predeslizamento, segundo Figura 5. Figura 5 Representação do atrito de estático Fonte: Valdiero (22)

44 44 O atrito de Coulomb foi desenvolvido pelo francês Coulomb no final do século XVIII, sendo que é independente da área de contato, produz uma força oposta ao movimento relativo e é proporcional à força normal de contato, segundo Equação 3. F Coulomb (t) = F c sgn y (t) quando y (t) (3) Sendo que F c é a magnitude do atrito de Coulomb e não depende da intensidade da velocidade relativa y (t), mostrado na Figura 6. Figura 6 Representação do atrito de Coulomb Fonte: Valdiero (2) O atrito viscoso foi pesquisado pelo britânico Reynolds no inicio século XIX, ocorre numa situação com boa lubrificação e é linearmente proporcional à velocidade, conforme Equação 32. F viscoso (t) = By (t) (32) Onde B é o coeficiente de amortecimento viscoso, pode ser visto na Figura 7.

45 45 Figura 7 Representação do atrito viscoso Fonte: Valdiero (25) O atrito de arraste proporciona resistência no movimento de um corpo através de um fluido, sendo proporcional ao quadrado da velocidade e geralmente acontece em um escoamento turbulento, descrito na Equação 33. F arraste (t) = F D y (t) 2 sgn(y (t)) (33) Sendo que F D é o coeficiente de arraste. Na Figura 8 nota-se que em baixas velocidades o valor do atrito de arraste torna-se pequeno e assim pode ser desprezado. Figura 8 Representação do atrito de arraste Fonte: Valdiero (22) O atrito de Stribeck foi descoberto pelo alemão Richard Hermann Stribeck no inicio do século XX, é um fenômeno não linear que ocorre em baixas velocidades e tem a inclinação

46 46 negativa, conforme pode ser observado na Figura 9. No trecho onde ocorre esse atrito citado geralmente acontece o efeito stick-slip no seguimento da trajetória desejada. Figura 9 Representação do atrito de Stribeck Fonte: Valdiero (25) Na Figura 2 pode ser visto a combinação das características do modelo do atrito apresentadas anteriormente, que resultam numa função não linear. Figura 2 Combinação das características do atrito em regime permanente Fonte: Valdiero (22) A modelagem do atrito foi estudada por vários pesquisadores, mas o modelo dinâmico LuGre proposto por Canudas de Wit et al. (995) foi escolhido, pois é baseado nas microdeformação das rugosidades das superfícies de contato, segundo Equação 34.

47 47 F atr = σ z + σ z + σ 2 y (34) Onde F atr é a força de atrito dinâmico, σ é coeficiente de rigidez das deformações microscópicas, σ Coeficiente de amortecimento associado à taxa de variação de z, σ 2 é o coeficiente de amortecimento viscoso (B), z é deformação média que ocorre entre as superfícies e y representa a velocidade relativa entre as superfícies. A taxa de variação de z segundo Dupont, Armstrong e Hayward (2) está na Equação 35. dz dt = y α(z, y ) σ sign(y )z (35) g ss (y ) Onde g ss (y ) descreve parte das características do atrito em regime permanente e representada pela Equação 36. y g ss (y ) = F c + (F s F c )e y s 2 (36) Sendo F c é o atrito de Coulomb, F s é o atrito estático e y s é a velocidade de Stribeck. A função α(z, y ) foi incorporada ao modelo LuGre e é utilizada para obter a representação do atrito estático (stiction), conforme as Equações 37 e 38., se z z ba < α(z, y ) = 2 sen π z z max(y )+z ba 2 + sgn(y ) z max (y ) z ba 2 <, se z ba < z < z max (y ) =, se z z max (y ) sgn(z), se sgn(y ) sgn(z) (37) < z ba < z max (y ) = g ss(y ) σ para y R (38) Onde z ba é o deslocamento de força de quebra, de modo que para z z ba todo movimento na interface de atrito é composto apenas de comportamentos elásticos, e z max é o valor máximo das microdeformações e depende da velocidade. Em regime permanente, a velocidade y é constante, α(z, y ) = e tem-se z =. No entanto, o estado interno z de atrito aproxima-se da Equação 39:

48 48 y z ss = y F g ss (y ) c + (F s F c )e y s 2 (39) = sgn(y ) y σ σ Realizando a substituição da Equação 39 na Equação 34, obtêm-se a Equação 4, que representa a força de atrito em regime permanente. y F atr,s = σ z s + σ + σ 2 y = sgn(y ) F c + (F s F c )e y s 2 + σ 2 y (4) 3.4 Modelagem da zona morta Esta seção aborda a modelagem matemática e a metodologia proposta por Valdiero (22) para identificação e compensação da zona morta em válvulas proporcionais direcionais, baseada na dinâmica das pressões das câmaras do cilindro pneumático. A zona morta prejudica o desempenho dos controladores de posição, causa atrasos na resposta do sistema, por isso é necessário à identificação e compensação dessa não linearidade para obter bons resultados no controle dos robôs. Sendo que esta não linearidade citada é uma relação estática entre valores de entrada e saída, que tem uma faixa de sinais de entrada com saída nula. O modelo genérico para esta não linearidade baseado em Tao e Kokotovic (996) pode ser visto na Equação 4. md(u(t) zmd) se u(t) zmd u zm (t) = se zme < u(t) < zmd me(u(t) zme) se u(t) zme (4) Onde o sinal de entrada é u, o sinal de saída é u zm, o limite direito da zona morta é zmd, o limite esquerdo da zona morta é zme, as inclinações da zona morta são md e me. A representação gráfica da não linearidade zona morta presente nas servoválvulas pode ser visto na Figura 2. Para os controladores de posição dos atuadores pneumáticos terem um bom desempenho é importante que a abertura do orifício da servoválvula seja proporcional ao sinal do controle enviando para válvula direcional proporcional, por isso a zona morta tem que ser identificada através de teste experimentais e depois compensada no sistema.

49 49 Figura 2 Representação gráfica da zona morta presente nas servoválvulas Fonte: Valdiero (25). Os experimentos para identificar a zona morta são feitos com um sinal de controle senoidal lento em malha aberta, com um período de s, mostrado na Equação 42. A amplitude utilizada foi de V, pois a faixa de funcionamento da válvula proporcional direcional é de - até volts. u(t) = sen 2π t (42) Para realizar a identificação da zona morta presente na servoválvula foi utilizando o diagrama de blocos que está na Figura 22. Figura 22 Diagrama de blocos utilizados na identificação da zona morta presente na servoválvula Fp Fp seno Sinal de Controle u ps ps Inicioatua chave pa pa degrau pb Sine Wave pb y y dy seno2 Sinal de Controle u2 dy Inicioatua2 chave2 y 2 y2 degrau2 Robô Gantry Pneumático dy 2 dyy2

50 5 Após isso o carretel da servoválvula deve ser centrado se for necessário, através do acréscimo do offset no sinal de controle, conforme pode ser observado na Figura 23. A função do offset é dividir a sobreposição do ressalto do carretel da servoválvula no do orifício da passagem do ar comprimido e assim manter a pressão do sistema pneumático. Figura 23 Diagrama de blocos do acréscimo do offset no sinal de controle SomaOffSet Uv Sinal de Controle u u.5 au. saída Bad Link DS4DAC_C.4 Offset 5 b Para compensar a zona morta deve-se construir a sua inversa fixa, mas tem que ser suavizada linearmente próxima a origem para evitar ruídos no sinal de controle. Sendo que a Equação 43 mostra o modelo matemático da compensação da zona morta. u d(t) md + zmd se u d(t) lc u d (t) me zme se u d(t) lc u czm (t) = zmd + lc md u lc d (t) se u d (t) < lc zme + lc me lc ud (t) se lc u d (t) < (43) Onde u czm é a saída do sinal de controle compensado, u d é a entrada do sinal de controle desejável sem a zona morta, lc é a largura da suavização linear usada na compensação. O valor do lc será definido experimentalmente observando a intensidade do ruído no sinal de controle compensado, com a intenção de manter o sistema estável e não danificar a válvula direcional proporcional. Quando a amplitude do ruído no sinal compensado for grande, deve-se aumentar a região da suavização linear na inversa da zona morta.

51 5 Na Figura 24 pode ser observada a representação gráfica da inversa da zona morta suavizada linearmente nas proximidades da origem. Figura 24 Representação gráfica da inversa da zona morta suavizada linearmente Fonte: Bavaresco (27). Para programar a Equação 43 no software Matlab/Simulink no formato de diagrama de blocos foi definido que as inclinações m d e m e são iguais a, conforme Figura 25. Figura 25 Diagrama de blocos da compensação da zona morta suavizada linearmente zmd Zona Morta Direita Ud zme Testa se é positivo ou negativo Testa se está na região de suavização U_Czm Zona Morta Esquerda u Abs (lc+zmd)/lc Suavização >= (lc+zme)/lc Suavização

52 52 Para compensar a zona morta presente na servoválvula foi usado o diagrama de blocos que está na Figura 26. Figura 26 Diagrama de blocos utilizados na compensação da zona morta presente na servoválvula Fp Fp seno Ud U_Czm Sinal de Controle u ps ps Inicioatua chave Compensação da Zona Morta pa pa Sine Wave degrau pb pb y y dy seno2 Ud2 U_Czm2 Sinal de Controle u2 dy Inicioatua2 chave2 Compensação da Zona Morta y 2 y2 degrau2 dy 2 dyy2 Robô Gantry Pneumático Na seção 4. serão mostrados os resultados da identificação e compensação das zonas mortas presentes nas duas válvulas direcionais proporcionais presentes no robô Gantry com acionamento pneumático. 3.5 Modelagem dinâmica Utiliza-se o modelo dinâmico de um robô de elos rígidos sem a dinâmica do atuador (Valdiero, 22). Neste modelo serão utilizadas as equações que relacionam as forças geradas pelos atuadores nas juntas e o movimento da estrutura. Analisando um robô de n graus de liberdade com ausência de forças externas no efetuador final e desconsiderando o atrito na estrutura, podemos obter assim o modelo dinâmico no espaço das juntas através da formulação de Lagrange e escrevê-lo numa forma matricial compacta, conforme apresentado pela Equação 44.

53 53 H(d)d + C(d, d) d + G(d) = τ (44) Onde d é o vetor de coordenadas das juntas; H(d) é a matriz de inércia simétrica, definida positiva; C(d, d ) é a matriz que representa os efeitos centrífugos e de Coriolis; G(d) é o vetor que representa o momento gerado em cada eixo de junta do manipulador devido à presença da gravidade e τ é o vetor das forças do movimento das juntas. Combinando a dinâmica dos elos do robô, descrita pela Equação 44 com a dinâmica dos atuadores têm-se a Equação 45. H(d)d + C(d, d) d + G(d) = J T f L (45) Sendo que J é definida como a matriz Jacobiana do atuador e f L é o vetor de força de carga nos atuadores lineares medida em N. Onde J mapeia as velocidades dos atuadores com as velocidades no espaço das juntas, segundo a Equação 46 que no caso particular do robô Gantry é igual à matriz identidade. J J = = (46) J n O vetor f L pode ser escrito na seguinte forma matricial, conforme Equação 47. f L = My f atr f G + f P (47) Onde M é uma matriz diagonal que representa a massa deslocada pelos atuadores em kg; f atr é o vetor que corresponde à força de atrito nos atuadores em N; y é o vetor de aceleração dos atuadores em m/s 2 ; f G é o vetor das componentes gravitacionais que atuam no sentido do movimento do atuador em N e f P é a força pneumática nos atuadores em N. O vetor y pode ser descrito pela Equação 48. y = Jd + Jd (48)

54 54 Onde d é o vetor de aceleração das juntas em m/s 2. Combinando a Equação 47 com Equação 45 e agrupando os termos no primeiro membro da equação obtida e isolando a parcela da força pneumática no segundo, obtém-se a equação dinâmica que descreve o movimento de um manipulador acionado por atuadores pneumáticos, conforme Equação 49. H (d)d + C (d, d) d + τ atr (d, d) + G (d) = J T f P (49) Onde H (d) = [H(d) + J T MJ ] é a matriz de inércia modificada; C (d,d) = [C(d,d) T + J MJ] é matriz de Coriolis modificada; τ atr d, d = J T f atr é o vetor de * forças geradas pelo atrito no atuador e G (d) = [J T f G + G(d)] é o vetor de forças gravitacionais modificado. O modelo dinâmico de um manipulador acionado pneumaticamente, incluindo o modelo dinâmico do atrito, é descrito pela Equação 5 do subsistema mecânico, pela Equação 5 que representa o vetor de estados internos do atrito (z atr ) e pela Equação 52 que trata da taxa de variação da força pneumática (f p). H (d)d + C (d, d) d + f atr (d, d, z atr, z atr) + G (d) = J T f P (5) z atr = h atr (d, d, z atr ) (5) f p = f d d, d + g u (d, p a, p b, u) (52) Sendo que τ atr d, d, z atr, z atr = ȷ T f atr é o vetor de forças devido à força de atrito nos atuadores, dependente das posições e velocidades das juntas e da dinâmica das micros deformações das rugosidades, h atr (d, d, z atr ) é o vetor cujos elementos são funções que representam a dinâmica do estado interno z atri do atrito em cada atuador i, f d d, d e g u (d, p a, p b, u) são vetores cujos elementos são funções que representam respectivamente as parcelas da dinâmica pneumática. O modelo dinâmico do manipulador acionado pneumaticamente, incluindo a dinâmica do atrito, é descrito pelo conjunto de equações não lineares de quinta ordem, em que a ordem

55 55 total do sistema é 5n e pode ser representado pelo vetor de estado [d d z atr p a p a e p b são as pressões nas câmaras do atuador. A matriz de inércia modificada * H ( d) = [ H ( d) + J T M J ] inércia H(d) do manipulador rígido e pela parcela de inércia dos atuadores p b ] T. Onde é composta pela matriz de ( J T M J ), e é dada pela Equação 53, considerando os 3 graus de liberdade e o desacoplamento cinemático no robô cartesiano do tipo Gantry. H H ( d) = H 22 (53) H 33 Onde: H = 32 kg (massa total deslocada na direção horizontal longitudinal, incluindo-se a massa deslocada no atuador ). H 22 = 8 kg (massa total deslocada na direção horizontal transversal, incluindo-se a massa deslocada no atuador 2). H33 = 5 kg (massa total deslocada na direção vertical, incluindo-se a massa da ferramenta e da haste do atuador 3). 3.6 Discussões Neste capítulo apresentou-se a modelagem matemática do robô Gantry com acionamento pneumático, através de modelos matemáticos. Foi desenvolvido o modelo cinemático direto, inverso e diferencial do protótipo, com intenção de programar a posição do efetuador final. Os resultados deste capítulo foram publicados em Maraschin et al. (24b) e Maraschin et al. (24c). Também foi apresentado o modelo de 5º ordem não linear do atuador pneumático, utilizado para validação da simulação computacional dos testes experimentais. Para ser possível realizar a identificação do atrito foi feito a sua modelagem, pois esta não linearidade prejudica o desempenho do controlador.

56 56 Através da modelagem da zona morta pode ser feito a sua identificação e compensação na servoválvula, dessa forma o erro da trajetória desejada em relação à trajetória realizada pode ser reduzido nas estratégias de controles. Por fim com a modelagem dinâmica pode ajudar nas dificuldades das estratégias de controle, no entendimento e análise matemática da dinâmica do robô Gantry com acionamento pneumático.

57 57 4 RESULTADOS DE TESTES EM MALHA ABERTA Neste capítulo é apresentada a identificação das não linearidades presentes na bancada experimental, a compensação da zona morta presentes nas servoválvulas utilizadas no protótipo e os resultados da validação experimental em malha aberta do modelo matemático de 5º ordem não linear na primeira junta do robô Gantry com o auxilio da simulação computacional. Na seção 4. é mostrada a identificação dos parâmetros da não linearidade da zona morta presentes nas servoválvulas e a sua compensação. Na próxima seção foi feita a identificação dos parâmetros do atrito presentes no robô Gantry. Na seção 4.3 é apresentada a validação experimental do modelo matemático de 5º ordem na primeira junta do protótipo. Por fim, na última seção tem as discussões referentes aos resultados dos testes experimentais em malha aberta. 4. Identificação dos parâmetros da não linearidade de zona morta e sua compensação Os testes experimentais foram realizados à temperatura ambiente de 2 C, com uma pressão de suprimento de aproximadamente 7 bar. Primeiramente, conforme Figura 27, foi analisado a dinâmica da pressão p b do cilindro no trecho onde o sinal de controle varia de a - volts, para estimar o valor da zona morta esquerda da servoválvula. No experimento da servoválvula observa-se que no trecho () compreendido entre V e.6 V, a câmara b do cilindro está com a pressão atmosférica e câmara a está com a pressão do suprimento. Logo após no trecho (2) entre.6 e -.82 V, as pressões p a e p b começam a variar devido a vazamentos internos na válvula direcional proporcional, pois o carretel da servoválvula está próximo da sua origem. Quando o sinal de controle ultrapassa o limite esquerdo da zona morta, ocorre uma variação brusca nas pressões no trecho (3) de -.82 até -.3 V. Em seguida acontece uma redução na pressão p b no trecho (4) de -.3 até -.98 V, por causa do movimento do êmbolo do cilindro. Após isso a pressão P a diminui até chegar a pressão atmosférica e a pressão P b aumenta e iguala-se a pressão de suprimento, pois neste trecho (5) o êmbolo chega ao final de curso do cilindro, conforme Figura 28.

58 58 Figura 27 Trecho do sinal de controle da servoválvula utilizada para determinação do zme Sinal de controle (V) Tempo (s) Figura 28 Comportamento das pressões e a zona morta esquerda na servoválvula pa pb ps Pressões (Pa) 4 3 (5) (4) (3) (2) () 2 zme Sinal de controle (V)

59 59 Para determinar o limite direito da zona morta servoválvula, conforme Figura 29, foi analisado a dinâmica da pressão p a do cilindro no trecho de - a volts do sinal de controle. A mesma metodologia descrita anteriormente pode ser utilizada para obter a zona morta direita da servoválvula, mostrado na Figura 3. A zona morta esquerda e direita da válvula direcional proporcional 2 pode ser visto na Figura 3 e Figura 32. Analisando o limite da zona morta esquerda e direita observa-se que não são simétricas em relação à origem do sinal de controle, isso ocorre porque o carretel da servoválvula e 2 está descentrado. Através do ponto médio da zona morta pode-se identificar o centro (zero) da servoválvula, mostrado na Figura 33 e Figura 34. O zero da válvula direcional proporcional e 2 foi determinado em,4 e -.2 volts, respectivamente. Baseado nestes valores foi acrescentado um offset, conforme Figura 35 e Figura 36, no sinal de controle da servoválvula e 2, com a intenção equiparar os valores dos limites da zona morta e assim centrar através do software Matlab/Simulink o carretel das servoválvulas utilizadas. Figura 29 Trecho do sinal de controle da servoválvula utilizada para determinação do zmd Sinal de controle (V) Tempo (s)

60 6 Figura 3 Comportamento das pressões e a zona morta direita na servoválvula pa pb ps Pressões (Pa) zmd Sinal de controle (V) Figura 3 Comportamento das pressões e a zona morta esquerda na servoválvula pa pb ps Pressões (Pa) zme Sinal de controle (V)

61 6 Figura 32 Comportamento das pressões e a zona morta direita na servoválvula Pressões (Pa) pa pb ps 2 zmd Sinal de controle (V) Figura 33 Zona morta baseada no centro da servoválvula 7 6 Pressões (Pa) Centro pa pb ps 2 zme zmd Sinal de controle (V)

62 62 Figura 34 Zona morta baseada no centro da servoválvula Pressões (Pa) Centro pa pb ps 2 zme zmd Sinal de controle (V) Figura 35 Zona morta na servoválvula centrada Pressões (Pa) pa pb ps 2 zme zmd Sinal de controle (V)

63 63 Figura 36 Zona morta na servoválvula 2 centrada Pressões (Pa) pa pb ps 2 zme zmd Sinal de controle (V) Os parâmetros da zona morta obtida na válvula direcional proporcional e 2 após serem centradas podem ser observados na Tabela 4. Tabela 4 Zona morta da válvula direcional proporcional e 2 Descrição do Parâmetro Simbologia Valor Limite direito da zona morta da servoválvula zmd,88 V Limite esquerdo da zona morta da servoválvula zme -.88 V Limite direito da zona morta da servoválvula 2 zmd2,84 V Limite esquerdo da zona morta da servoválvula 2 zme V Após isso foi feito a compensação da zona morta nas servoválvulas utilizadas, com uma largura da suavização linear (lc) =,5 definido experimentalmente, resultando numa zona morta residual de. volts, segundo a Figura 37, onde o sistema permaneceu estável.

64 64 Figura 37 Zona morta residual na servoválvula 8 7 Pressões (Pa) pa pb ps 2 zona morta residual Sinal de controle (V) Com a compensação da zona morta, a servoválvula tem respostas mais rápidas para os comandos do controlador e assim se obtêm maior precisão na trajetória desejada do robô. 4.2 Identificação dos parâmetros do atrito Os testes experimentais foram realizados no primeiro grau de liberdade do robô Gantry com acionamento pneumático, em malha aberta, variando o sinal de controle da abertura da servoválvula de - até volts. Em cada experimento realizado foi escolhido um intervalo de tempo onde à velocidade do atuador é constante, dessa forma a aceleração torna-se nula e com isso a força de atrito permanece igual à força pneumática, conforme a Equação 54 que utiliza a 2ª lei de Newton, onde se observa o equilíbrio das forças. My + F atr = F p (54)

65 65 Onde M é a massa deslocada, y é a aceleração do cilindro, F p é a força pneumática e F atr é a força de atrito, que é obita através da equação 55. F atr = A p a A 2 p b (55) Onde A é a área da câmera e A 2 é área da câmera 2 do cilindro pneumático. No experimento com o sinal de controle em malha aberta de 4 volts, segundo Figura 38, a força do atrito foi obtida no intervalo de 6,46 até 7,2 segundos, conforme Figura 39, através da média da F p do trecho escolhido e assim foi determinado a F atr do experimento. Na Figura 4, pode ser observada a força pneumática do experimento citado anteriormente. Figura 38 Trecho percorrido no º grau de liberdade com o sinal de controle em malha aberta de 4 volts Posição (m) Tempo (s)

66 66 Figura 39 Trecho com velocidade constante no atuador no sinal de controle em malha aberta de 4 volts.2. y experimental y ajuste -. Posição (m) Tempo (s) Figura 4 Força pneumática no atuador no sinal de controle em malha aberta de 4 volts Força pneumática (N) Tempo (s)

67 67 Os experimentos escolhidos para construção do mapa estático do atrito pode ser observados na Tabela 5 e Tabela 6, que apresenta o sinal de controle, a velocidade e a força de atrito de cada um deles. Tabela 5 Experimentos realizados para sinais de controle positivos em malha aberta Teste de atrito Sinal de controle (V) Velocidade (m/s) Força de atrito (N), , ,.44 29,62 3 2,.29 2,4 4 2, , , ,36 6 2, ,78 7 2, ,7 8 2, ,28 9 2, ,496 2, ,559 2, , , ,5 3 3, ,77 4 3, ,57 5 3, , , , , , , ,42 9 4, , , , , , ,7.4 4, , , ,.59 59, ,.56 77, , , , , , , , ,37 3 7, , , ,4 32 8, , , , , , ,77

68 68 Tabela 6 Experimentos realizados para sinais de controle negativos em malha aberta Teste de atrito Sinal de controle (V) Velocidade (m/s) Força de atrito (N) -, ,45 2 -, ,28 3 -, , , , , ,85 6 -, , , , , ,54 9 -, ,2 -, ,872 -, ,39 2 -, ,9 3 -, ,37 4 -, , , , , ,7 7-2, ,76 8-2, ,48 9-2, , , , , ,5 22-2, , , , , , , , , , , , , , , ,29 3-5, ,74 3-6, , , ,2 33-9, ,43 Os resultados dos testes experimentais formam o mapa estático do atrito no º grau de liberdade do robô Gantry, conforme Figura 4..

69 69 Figura 4 Mapa estático do atrito no º grau de liberdade do robô Gantry 2 5 Força de Atrito Positiva Força de Atrito Negativa Força de Atrito (N) Velocidade (m/s) Utilizando o gráfico anterior, foi possível ajustar uma curva experimental do mapa estático, apresentada na Figura 42, onde alguns os parâmetros do atrito (σ 2, F c, F s e y s) presentes na Equação 4, foram identificados, conforme Tabela 7. y F atr,s = sgn(y ) F c + (F s F c )e y s 2 + σ 2 y (4) Para realizar este procedimento foi utilizado o algoritmo nlinfit do MatLab e com as simulações computacionais foi possível obter o melhor ajuste dos parâmetros citados. Tabela 7 Parâmetros do mapa estático do atrito na º junta do robô Gantry Parâmetro y > y < Unidade F c 2 N F s N y s,, m/s σ Ns/m

70 7 Figura 42 Curva experimental do mapa estático do atrito no º grau de liberdade do robô Gantry 2 5 Força de Atrito Positiva Ajuste Força de Atrito Negativa Força de Atrito (N) Velocidade (m/s) Neste trabalho utilizou-se a metodologia proposta por Valdiero (25), em que o parâmetro σ tem seu valor ajustado a partir de simulações, seguindo a premissa de que a ordem das microdeformações z na região de pré-deslizamento sejam valores aceitáveis estando na faixa de e 5 μm. Desta forma o parâmetro σ é representado pela Equação 57. σ = F c (57) a5. 6 Valdiero (25) afirma que o parâmetro dinâmico σ proporciona o amortecimento adequado ao modelo de atrito na região de pré-deslizamento, foi deduzida por Barahanov e Ortega (2), conforme a Equação 58. σ σ 2 F s F c (58) A identificação do atrito é baseada na Equação 4, a qual captura as características do atrito estático, atrito de Coulomb, atrito de viscoso e o atrito de Stribeck.

71 7 4.3 Validação experimental do modelo para a primeira junta Foi utilizado para a validação experimental dos testes realizados em malha aberta na primeira junta do robô Gantry o modelo matemático não linear de 5ª ordem, descrito pelas Equações 2 a 24, foi implantado através de diagrama de blocos no software MatLab/Simulink. Para a resolução do sistema de equações diferenciais foi utilizado o método de integração Runge-Kutta com o passo de. segundos. A Tabela 8 apresenta o valor dos parâmetros da vazão mássica da servoválvula utilizada na simulação computacional. Tabela 8 Parâmetros da vazão máxima da servoválvula utilizados na simulação computacional Descrição do Parâmetro Simbologia Valor Observação Coeficiente de vazão enchimento da câmara Coeficiente de vazão esvaziamento da câmara beta_ench Obtidos experimentalmente beta_esv segundo Endler (29) Os parâmetros relacionados às propriedades do ar comprimido usado nos testes experimentais do robô Gantry são mostrados na Tabela 9. Tabela 9 Parâmetros das propriedades do ar comprimido Descrição do Parâmetro Simbologia Valor Observação Pressão de suprimento ps 7,92 5 Pa Medido Pressão atmosférica patm 5 Pa Constante universal dos gases R 287 Jkg/K Temperatura do ar T 293 K Literatura Relação entre os calores específicos do ar gama.4 Na Tabela tem os valores dos parâmetros do cilindro pneumático do º Grau de liberdade utilizado no protótipo. O volume foi determinado nas câmaras do cilindro pneumático quando o êmbolo estava na posição inicial (y = ).

72 72 Tabela Parâmetros do cilindro pneumático do º grau do robô Gantry Descrição do Parâmetro Simbologia Valor Área da câmera A 7, m² Área da câmera 2 A2 7, m² Volume na câmara Va,93. 3 m³ Volume na câmara 2 Vb,8. 3 m³ Massa acoplada M 34,72 kg O resultado da validação experimental do sinal de controle de 4 volts em malha aberta no º grau de liberdade do robô Gantry é apresenta na Figura 43, sendo que a trajetória realizada pode ser observada na Figura 44. A força pneumática gerada no atuador do elo do protótipo está na Figura 45, mas deve ser desconsiderada após o final de curso da haste do cilindro pneumático. Figura 43 Validação do sinal de controle em malha aberta de 4 V Sinal de controle (V) Experimental Simulação Tempo (s)

73 73 Figura 44 Validação da trajetória realizada na º junta com o sinal de controle em malha aberta de 4 V Experimental Simulação Posição (m) Tempo (s) Figura 45 Validação da força pneumática do sinal do controle 4 V em malha aberta. 6 5 Força pneumática (N) Experimental Simulação Final do curso do cilindro Tempo (s)

74 74 Observando os gráficos percebe-se que com modelo matemático de 5º ordem não linear foi possível uma boa validação experimental dos testes realizados em malha aberta no robô Gantry com acionamento pneumático. 4.4 Discussões Neste capítulo primeiramente foi centrada a servoválvula e 2 presentes no protótipo, através do acréscimo de um offset determinado experimental em cada uma delas, após isso foi possível identificar dos parâmetros das zonas mortas e efetuar as suas compensações nas válvulas direcionais proporcionais, este procedimento ajuda a reduzir bastante o erro das estratégias de controle. Também foi realizado a identificação dos parâmetros do atrito, através do ajuste da curva do mapa estático com utilização o algoritmo nlinfit do Matlab e simulações computacionais. A compensação do atrito nos controladores de posição também reduz o erro da trajetória desejada em relação à trajetória realizada. Por fim foi obtida a validação experimental em malha aberta do modelo matemático de 5º ordem na primeira junta do robô Gantry com acionamento pneumático, dessa forma este modelo pode ser usado para realizar estratégias de controle de posição com mais precisão e assim melhorar o desempenho do sistema.

75 75 5 RESULTADOS DE TESTES DE CONTROLE DE POSIÇÃO EM MALHA FECHADA Neste capítulo serão apresentados os controles clássicos lineares de posição e o com compensação da zona morta utilizados nas juntas do robô Gantry com acionamento pneumático, também serão implementados no software Matlab/Simulink na bancada de instrumentação. Atualmente diversos robôs, equipamentos e máquinas utilizam controladores de forma ativa ou passiva para realizar tarefas cada vez mais complexas, por isso destaco a importância do estudo de controles mais avançados para resolução dos problemas da tecnologia contemporânea. Na engenharia os controles são divididos em 2 grupos: controle em malha aberta e controle em malha fechada. Sendo que no controle em malha aberta é enviado um sinal do controle para a entrada do sistema e esperasse um resultado apropriado para tarefa desejada, conforme Figura 46. Figura 46 Diagrama do controle em malha aberta Controlador Sistema Resultado Conforme Rosário (25), o controle em malha fechada, segundo Figura 47, compara o valor de saída com o valor desejado, determinando a diferença entre eles e após isso envia outro de sinal de controle para reduzir o erro do resultado. Figura 47 Diagrama do controle em malha fechada Valor desejado + Controlado Sensor Sistema Valor de saída

76 76 Na próxima seção será descrito os controles clássicos lineares P, PD, PI e PID. Na seção 5.2 será mostrado à implementação dos controles P, PI e o PI com compensação da zona morta no software Matlab/Simulink na bancada de instrumentação. Ainda neste capítulo são apresentados os resultados dos controles proporcional e proporcional-integral independente nas juntas do robô Gantry em trajetórias contínuas, sendo que uma é senoidal com períodos diferentes e outra tipo trapezoidal. Também será mostrada a compensação da morta na servoválvula, com a intenção de melhorar a precisão do controle de posição. Na seção 5.3 é mostrado o procedimento de ajuste dos ganhos Kp e Ki dos controles citados. Na seção 5.4 terá os resultados obtidos experimentalmente no protótipo através da aplicação dos controles de posição em senoides com ciclos diferentes. Na penúltima seção serão exibidos as trajetórias realizadas, os erros de seguimento e os sinais dos controles citados enviados para as servoválvulas em uma trajetória tipo trapezoidal, para esmerilhadeira retirar a rebarba de uma peça na bancada experimental. Por fim, na última seção tem as discussões referentes aos resultados. 5. Descrição dos controladores clássicos Os controles clássicos lineares de posição são o proporcional (P), o proporcionalderivativo (PD), o proporcional-integral (PI) e o proporcional-integral-derivativo (PID). No controle P o sinal de controle (u) é a diferença entre a posição medida e a posição desejada (y - y d ) multiplicada por uma constante (k p ), que é considerada o ganho proporcional, conforme a Equação 59. u = k p (y y d ) (59) Para diminuir o erro de seguimento da trajetória realizada pelo robô utiliza-se o controle PD, no qual o sinal de controle é a soma das parcelas diretamente proporcionais ao erro de posição e de velocidade do sistema, segundo Equação 6, no qual k d é o ganho derivativo. u = k p (y y d ) + k d (y y d) (6)

77 77 Com o controle PI, pode-se melhorar o desempenho do controlador, através da adição dos sinais de saída diretamente proporcional ao erro de posição e a integral dele, sendo k i o ganho integral, mostrado na Equação 6. t u = k p (y y d ) + k i (y y d ) dt (6) A adição das parcelas diretamente proporcionais aos erros de posição, de velocidade e a da integral da diferença entre a posição medida e a desejada do sistema, obtém-se o controle PID, dado pela Equação 62. t u = k p (y y d ) + k d (y y d)+k i (y y d ) dt (62) Com a combinação dos controles clássicos lineares com as não linearidades encontradas no atuador pneumático, como a compensação da zona morta presente na servoválvula, pode-se reduzir consideravelmente o erro de seguimento em relação à trajetória desejada e assim obter bons resultados no controle de posição do sistema. 5.2 Implementação dos controladores P, PI e da compensação da zona morta Foi utilizado o controle PI com a compensação da zona morta na servoválvula, com a intenção de aumentar a velocidade de resposta do controlador no controle da posição das juntas do robô pneumático e assim melhorar a sua precisão. Os controles de posição utilizados nas trajetórias senoidais e na tipo trapezoidal estão na forma de diagramas de blocos no software Simulink, conforme a Figura 48 e a Figura 49. Estas figuras estão ampliadas no apêndice A e B, respectivamente. Após a realização dos experimentos, os resultados podem ser coletados e processados em qualquer computador que possua o software Matlab.

78 78 Figura 48 Diagrama de blocos dos controles utilizados nas trajetórias senoidais yd yd erro kp ki s Integrator PI Inicioatua chave Ud U_Czm Compensação da Zona Morta ligazm chavezm Fp ps Sinal de Controle u pa Fp ps pa degrau yd2 erro2 kp2 ki 2 s Integrator PI2 Ud2 U_Czm2 Compensação da Zona Morta pb y pb y Inicioatua2 degrau2 chave2 ligazm2 chavezm2 dy Sinal de Controle u2 y 2 dy 2 dy dyy2 y2 Robô Gantry Pneumático Figura 49 Diagrama de blocos dos controles utilizados nas trajetórias tipo trapeizodal Trajetória Desejada yd erro kp ki s Integrator PI Inicioatua chave Ud U_Czm Compensação da Zona Morta ligazm chavezm Fp ps Sinal de Controle u pa Fp ps pa degrau Trajetória Desejada2 yd2 erro2 kp2 ki 2 s Integrator PI2 Ud2 U_Czm2 Compensação da Zona Morta pb y pb y Inicioatua2 chave2 ligazm2 chavezm2 dy Sinal de Controle u2 y 2 dy y2 degrau2 dy 2 dyy2 Robô Gantry Pneumático 5.3 Procedimento de ajuste dos ganhos dos controles de posição O ajuste dos ganhos dos controles de posição ocorre quando se obtém o valor máximo do kp e do ki até o nível em que o sistema permanece estável, dessa forma aumenta-se a vida útil do atuador pneumático e se reduz os custos de manutenção. Deve-se observar que o ganho ki deve ser no máximo 5 % do valor do ganho kp.

79 79 Primeiramente deve-se regular o ganho do controle proporcional, aumentando ele a cada experimento até o valor em que o sistema continue estável. Para ajustar o ganho desse controle citado no cilindro pneumático sem haste foi utilizado 5 kp conforme Figura 5 no primeiro experimento. Figura 5 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle proporcional com um ganho de kp = Trajetória desejada Kp = 5.5. Posição 2 (m) Tempo (s) O erro de seguimento desse experimento em relação à trajetória desejada pode ser observado na Figura 5. O sinal do controle desse experimento enviado para servoválvula 2 para movimentar o robô na junta 2 está na Figura 52.

80 8 Figura 5 - Erro de seguimento na junta 2 realizado pelo controle proporcional com um ganho de kp = Erro 2 (m) Tempo (s) Figura 52 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle proporcional com um ganho de kp = 5.5 Sinal de controle 2 (V) Tempo (s)

81 8 Nas figuras anteriores pode-se observar que o sistema continua estável, então foi aumentado para kp, conforme Figura 53, o ganho do controle proporcional na junta 2. O erro da trajetória realizada pelo controle citado encontra-se na Figura 54. Na curva da Figura 55 pode ser observado o sinal do controle enviado neste experimento para servoválvula 2 para movimentar o cilindro sem haste da bancada experimental. O atuador pneumático ainda continua estável, por isso foi escolhido kp para o próximo experimento, segundo a Figura 56, de ganho para controle proporcional na junta 2. O erro de seguimento realizado pelo controle de posição citado é apresentado na Figura 57. Na Figura 58 nota-se que o sinal do controle usado enviado para servoválvula 2 está instável, isso causa maior desgaste da servoválvula, das vedações do cilindro e do sensor de posição, reduzindo a vida útil do atuador pneumático. Também está instabilidade aumenta o risco de ocorrer acidentes com humanos que estejam controlando o robô. Figura 53 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle proporcional com um ganho de kp =.25.2 Trajetória desejada Kp =.5. Posição 2 (m) Tempo (s)

82 82 Figura 54 - Erro de seguimento na junta 2 realizado pelo controle proporcional com um ganho de kp = Erro 2 (m) Tempo (s) Figura 55 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle proporcional com um ganho de kp =.5 Sinal de controle 2 (V) Tempo (s)

83 83 Figura 56 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle proporcional com um ganho de kp =.25.2 Trajetória desejada Kp =.5. Posição 2 (m) Tempo (s) Figura 57 - Erro de seguimento na junta 2 realizado pelo controle proporcional com um ganho de kp = Erro 2 (m) Tempo (s)

84 84 Figura 58 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle proporcional com um ganho de kp =.5 Sinal de controle 2 (V) Tempo (s) Observando os experimentos realizados nota-se que o kp = é o maior ganho do controle proporcional para manter o cilindro sem haste estável, baseado nisso no controle PI muda-se apenas o valor de ki, no próximo experimento, conforme Figura 59, foi selecionado ki =. Sendo que o erro da trajetória realizada pelo controle utilizado, pode ser observado na Figura 6, em relação à trajetória desejada. Na Figura 6 encontra-se o sinal analógico do controle enviado pelo controle citado para servoválvula 2 para movimentar a bancada experimental na junta 2. Como atuador pneumático manteve-se instável, foi decidido aumentar para,5 o ki o ganho do proporcional-integral para o seguinte experimento, conforme Figura 62. O erro de seguimento realizado pelo controle citado está na Figura 63. O ajuste final dos ganhos para os controles de posição na junta 2 foi obtido, pois o sinal do controle PI enviado para servoválvula 2, segundo Figura 64, está instável. Na junta foi determinado através de testes experimentais que os ganhos do controle PI são kp = 9 e ki = 3.5, eles são maiores que os usados na junta 2, pois o cilindro pneumático sem haste tem diâmetro pequeno e isso causa facilmente instabilidade no atuador pneumático.

85 85 Figura 59 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle PI com ganhos em kp = e ki = Trajetória desejada Kp = e ki =.5. Posição 2 (m) Tempo (s) Figura 6 - Erro de seguimento na junta 2 realizado pelo controle Pi com ganhos de kp = e ki = Erro 2 (m) Tempo (s)

86 86 Figura 6 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle Pi com ganhos de kp = e ki =.5 Sinal de controle 2 (V) Tempo (s) Figura 62 - Trajetória realizada na junta 2 do protótipo pelo controle PI com ganhos de kp = e ki = Trajetória desejada Kp = e ki =.5.5. Posição 2 (m) Tempo (s)

87 87 Figura 63 - Erro de seguimento na junta 2 realizado pelo controle PI com ganhos de kp = e ki = Erro 2 (m) Tempo (s) Figura 64 - Sinal enviado para servoválvula 2 pelo controle PI com ganhos de kp = e ki =.5.5 Sinal de controle 2 (V) Tempo (s)

88 Resultados do controle com trajetória senoidal Foi escolhido para a trajetória desejada senoides com períodos de 25 e s com amplitude de,2 m que pode ser descritos nas equações 63 e 64: y d (t) =,2sen 2π 25 t (63) y d (t) =,2sen 2π t (64) Na Figura 65 são mostradas as trajetórias realizadas na junta do robô Gantry pelos controles Proporcional, PI e PI com compensação da zona morta (PI não linear) em uma senoide com o ciclo de 25s. Sendo que erros de seguimentos em relação à trajetória desejada desses experimentos estão nas curvas da Figura 66, onde pode ser observada a importância da compensação da zona morta na precisão do controle de posição. Figura 65 - Trajetórias realizadas na junta do robô Gantry em uma senoide com o período de 25s.25.2 Trajetória desejada Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear.5. Posição (m) Tempo (s).

89 89 Figura 66 - Erros de seguimentos na junta em uma senoide com o ciclo de 25s.2.5 Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear..5 Erro (m) Tempo (s). Os sinais analógicos dos controles citados que foram enviados para a servoválvula pode ser observado na Figura 67, sendo que na compensação da zona morta foi usado um lc=,5 que manteve o sistema estável. Na Figura 68 são apresentados os seguimentos realizados na junta do protótipo pelos controles citados em uma senoide rápida, com o ciclo de s. Os erros das trajetórias realizadas nesses experimentos estão na Figura 69, aonde pode se constatado um aumento dos erros nos experimentos de controle de posição, isso ocorre por causa do atrito mais elevado em altas velocidades de deslocamento. Através da Figura 7 podem ser observado que os sinais dos controles usados que foram transmitidos para a servoválvula estão maiores em relação ao ciclo testado anteriormente, pois nestes experimentos a vazão de ar para as câmaras do cilindro foi aumentada com a intenção de obter uma velocidade de deslocamento maior na junta.

90 9 Figura 67 - Sinais dos controles enviados para servoválvula no período de 25s 4 3 Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear 2 Sinal de controle (V) Tempo (s). Figura 68 - Trajetórias realizadas na junta do robô Gantry em uma senoide com o período de s.25.2 Trajetória desejada Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear.5. Posição (m) Tempo (s)

91 9 Figura 69 - Erros de seguimentos na junta em uma senoide com o ciclo de s.2.5 Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear..5 Erro (m) Tempo (s) Figura 7 - Sinais dos controles enviados para servoválvula no período de s 4 3 Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear 2 Sinal de controle (V) Tempo (s)

92 92 Observam-se na Figura 7 os experimentos realizados na junta 2 da bancada experimental em uma senoide com o ciclo de 25s. Os erros de seguimentos realizados pelos controles de posição estão na Figura 72. Na compensação da zona morta da servoválvula 2 foi testados vários valores para a largura de suavização neste ciclo de 25s, nenhum deles foi possível estabilizar o sinal de controle compensando, então foi adotado o mesmo lc =,5 que foi usado na junta, conforme Figura 73. São mostrados na Figura 74 as trajetórias realizadas na junta 2 do robô Gantry pelos controles referidos em uma senoide rápida, com o ciclo de s. Os erros de seguimentos destes experimentos estão na Figura 75. Na Figura 76 pode ser notado que o sinal do controle compensado foi estabilizado na servoválvula 2 neste período de s. Figura 7 - Trajetórias realizadas na junta 2 do robô Gantry em uma senoide com o período de 25 s.25.2 Trajetória desejada Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear.5. Posição 2 (m) Tempo (s)

93 93 Figura 72 - Erros de seguimentos na junta 2 em uma senoide com o ciclo de 25s.2.5 Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear..5 Erro 2 (m) Tempo (s) Figura 73 - Sinais dos controles que foram transmitidos para servoválvula 2 no ciclo de 25s 4 3 Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear 2 Sinal de controle 2 (V) Tempo (s)

94 94 Figura 74 - Trajetórias realizadas na junta 2 do robô Gantry em uma senoide com o período de s.25.2 Trajetória desejada Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear.5. Posição 2 (m) Tempo (s) Figura 75 - Erros de seguimentos na junta 2 em uma senoide com o ciclo de s.2.5 Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear..5 Erro 2 (m) Tempo (s)

95 95 Figura 76 - Sinais dos controles que foram transmitidos para servoválvula 2 no ciclo de s 4 3 Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear 2 Sinal de controle 2 (V) Tempo (s) Observando os gráficos desta seção nota-se que o controle de posição proposto obteve a maior precisão em relação aos outros utilizados, por isso a compensação da zona morta na servoválvula deve estar incluído nas estratégias de controle. 5.5 Resultados do controle com trajetória tipo trapezoidal Para trajetória desejada das juntas do robô Gantry foram selecionados os seguintes pontos, conforme Tabela, para a esmerilhadeira extrair a rebarba de uma peça: Os movimentos das juntas devem ser suaves, para não danificar as vedações dos cilindros pneumáticos por isso foi escolhido intervalos de 2 s nos trechos que ocorrem as variações das posições da ferramenta do protótipo. Na Figura 77 são apresentadas as trajetórias, tipo trapezoidal realizadas na junta do protótipo pelos controles citados. Os erros de seguimento em relação à trajetória desejada desses experimentos estão na Figura 78, onde novamente pode ser notado que a compensação

96 96 da zona morta melhora o desempenho do controle de posição. Os sinais dos controles utilizados que foram enviados para a servoválvula pode ser observado na Figura 79. Tabela Posições das juntas do robô Gantry na trajetória tipo trapezoidal Tempo (s) Posição da junta (m) Posição da junta 2 (m) -,43,6 5 -,43,6 7,72 -,66 7,72 -,66 9 -,224 -,3 24 -,224 -,3 26 -,43,6 Figura 77 - Trajetórias tipo trapezoidal realizadas na junta do robô Gantry Trajetória desejada Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear Posição (m) Tempo (s) Para diminuir o ruído do sinal compensado e aumentar a vida útil da servoválvula deve-se aumentar o lc da compensação da zona morta, mas isso pode diminuir a precisão do controle de posição.

97 97 Figura 78 - Erros de seguimentos na junta na trajetória tipo trapezoidal Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear. Erro (m) Tempo (s) Figura 79 - Sinais que foram transmitidos para servoválvula na trajetória tipo trapezoidal 8 6 Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear 4 Sinal de controle (V) Tempo (s)

98 98 Os testes experimentais realizados com trajetória tipo trapezoidal na junta 2 pelos controles usados estão na Figura 8. Sendo que os erros desses experimentos em relação à trajetória desejada podem ser observados na Figura 8. Os sinais dos controles utilizados que foram enviados para a servoválvula 2 para movimentar o cilindro pneumático da junta 2 estão na Figura 82. Analisando os gráficos desta seção observa-se que no cilindro pneumático com maior diâmetro o controle de posição obteve maior precisão, então na construção de um robô pneumático sempre que possível deve-se evitar cilindros com pequeno diâmetro. Figura 8 - Trajetórias tipo trapezoidal realizadas na junta 2 do robô Gantry Trajetória desejada Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear Posição 2 (m) Tempo (s)

99 99 Figura 8 - Erros de seguimentos na junta 2 na trajetória tipo trapezoidal.25.2 Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear.5. Erro 2 (m) Tempo (s) Figura 82 - Sinais que foram transmitidos para servoválvula 2 na trajetória tipo trapezoidal 8 6 Controle Proporcional Controle PI Controle PI não linear 4 Sinal de controle 2 (V) Tempo (s)

100 5.6 Discussões Neste capítulo foram apresentados os controles clássicos lineares, pois através da combinação deles com as não linearidades presentes no sistema pneumático podem-se obter controladores de posição mais precisos. Foi apresentado o procedimento de regulagem dos ganhos dos controles de posição, para auxiliar os futuros trabalhos na ordem e no ajuste correto dos ganhos kp e ki, quando forem utilizadas estratégias para controle de posição do robô. A implementação dos controles utilizados em malha fechada no robô Gantry foi feita em forma de diagrama de blocos no software Simulink, pois com essa linguagem de programação, o algoritmo pode ser visualizado e facilmente alterado conforme as necessidades. Nos resultados dos controles utilizados nas trajetórias senoidais e no tipo trapezoidal foi mostrada a importância da compensação da zona morta na válvula de controle direcional para obter uma melhor precisão na trajetória realizada pelo controlador nas juntas do robô pneumático. Por isso devem-se utilizar controladores que contenham as não linearidades presentes no atuador pneumático, para que os erros de seguimento em relação à trajetória desejada sejam bastante reduzidos. Observando o desempenho dos controles usados nas juntas da bancada experimental, nota-se que o cilindro de maior diâmetro a servoválvula trabalha mais aberta e desta forma o atuador pneumático torna-se mais estável, facilitando o controle de posição do mesmo. Em função disso recomenda-se não utilizar cilindros de pequeno diâmetro na construção de robôs com acionamento pneumático.

101 6 CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS Como principais contribuições deste trabalho, pode-se citar o desenvolvimento de melhorias construtivas no robô pneumático do tipo Gantry, a formulação de um modelo matemático para o robô que inclui as principais características não lineares do acionamento pneumático, a implementação computacional do modelo matemático de uma junta independente, a implementação de testes experimentais com controle proporcional-integral sem e com a compensação da zona morta da servoválvula. Foi obtido uma boa validação experimental dos testes realizados em malha aberta no robô Gantry com acionamento pneumático, através da simulação computacional do modelo matemático de 5º ordem não linear do atuador pneumático. Após a troca do terceiro grau de liberdade do robô Gantry, os resultados experimentais ficaram mais precisos, por isso o projeto e a construção do protótipo devem ser bem realizados, para evitar interferências na estabilidade da bancada experimental. A partir da análise dos resultados experimentais de controle, conclui-se que a compensação da zona morta é muito importante e deve ser feita para minimizar os erros de seguimento de trajetória e para que não haja degradação no desempenho do controlador. Através da analise da precisão dos controles de posição usados no protótipo, observase que no cilindro pneumático com maior diâmetro o controle obteve maior precisão e estabilidade, por isso na construção de um robô pneumático deve-se evitar utilizar cilindros de pequeno diâmetro. Como perspectiva de trabalhos futuros sugere-se o desenvolvimento e a implementação de estratégias de controle de posição e de força mais eficientes que possam incluir esquemas de compensação do atrito e de adaptação de parâmetros.

102 2 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALFARO, S. C. A. 26. Robôs em Projetos Tecnológicos. Anais da 58ª Reunião Anual da SBPC, Florianópolis, SC. Disponível em: < TEXTOS/texto_884.html>. Acesso em jun. 24. ALLGAYER, R. S. Desenvolvimento de um manipulador robótico cilíndrico acionado pneumaticamente f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2. ANDRIGHETTO, P. L. Pneumática Básica. Volume II. Ijuí: UNIJUÍ RS Núcleo de Automação de Pequenas e Médias Empresas, 999. ANDRIGHETTO, P. L. ; VALDIERO, A. C. ; CARLOTTO, L. Study of the friction behavior in industrial pneumatic actuators In: ABCM Symposium Series in Mechatronicsed. Rio de Janeiro: ABCM Associação Brasileira de Engenharia e Ciências Mecânicas, 26, v.2, p BALLUFF, Transdutor Linear BTL7. Catálogo de produto. Disponível em: Acessado em 2 de setembro de 22. BASSANEZI, R. C. Ensino aprendizagem com modelagem matemática: uma nova estratégia. São Paulo: Contexto, 24. BAVARESCO, D. Modelagem matemática e controle de um atuador pneumático f. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática) Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, 27. BOBROW, J. E.; MCDONELL, B. W. Modeling, Identification, and Control of a Pneumatically Actuated, Force Controllable Robot, in IEEE Trans. on Robotics and Automation, Vol. 4, No. 5, October 998, pp BOLLMANN, A. Fundamentos da Automação industrial pneutrônica. Projeto de Comandos Binários Eletropneumáticos. São Paulo: Associação Brasileira de Hidráulica e Pneumática, 997. CANUDAS DE WIT, C. et al. A new model for de controlo f systems with friction. IEEE transactions on automatic control, v.4, 995.

103 3 CARMO, P.. Proposta de modelo para descrição da vazão em válvulas direcionais proporcionais, com efeito de vazamento f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 23. CERONI, J. A.; NOF, S. Y. Handbook of industrial robotics. 2. Ed. New York: John Wiley& Sons, 999. CUNHA, M. A. B. Controle em Cascata de um Atuador Hidráulico: Contribuições Teóricas e Experimentais. Florianópolis: Curso de Pós-Graduação em Engenharia Elétrica. UFSC, 2. (Tese de Doutorado). DEHGHAN, B.; SURGENOR, B.W. Comparison of fuzzy and neural network adaptive methods for the position control of a pneumatic system. Electrical and Computer Engineering (CCECE), 23 26th Annual IEEE Canadian Conference on, vol., no., pp., 4, 5-8 May 23. GUANGYUE, D.; SHUHUI, B.; YONGFEI, X.; WENGUANG, L. The compliance control study of Chinese chess robot in Cartesian coordinate system. Advanced Mechatronic Systems (ICAMechS), 23 International Conference on, vol., no., pp.3,35, Sept. 23. doi:.9/icamechs DUPONT, P.; ARMSTRONG, B.; HAYWARD, V. Elasto-plastic friction model: Contact compliance and stiction. In: ACC, American Control Conference, Chicago, Illinois, Mar. 2, p ENDLER, L. Modelagem da vazão mássica de uma servoválvula pneumática e sua aplicação no controle ótimo de um servoposicionador pneumático. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática) Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, 29. FERRUZZI, E. C. A Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral nos Cursos Superiores de Tecnologia. Dissertação de Mestrado em Engenharia de Produção, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, SC, 23. GILAT, A. MATLAB com aplicações em engenharia. Porto Alegre: Bookam, 22, 4 ed. GUENTHER, R.; PERONDI, E. A.; DEPIERI, E. R. and VALDIERO, A. C. Cascade controlled pneumatic positioning system with LuGre model based friction compensation. J. Braz. Soc. Mech. Sci. & Eng. [online]. 26, vol.28, n., p ISSN

104 4 HEY, H. L. Generalidades sobre Sistemas de Controle. Apostila de Sistemas de Controle I. Projeto Reenge Engenharia Elétrica, UFSM. Santa Maria: 997, cap., p. -2. LI, J.; KAWASHIMA, K.; KAGAWA, T.; FUJITA, T.. Trajectory control of pneumatic servo table with air bearing. International Conference on Fluid Power and Mechatronics (FPM), 2, p LISHA, C,; CAN, T.; XINTAO, L.; SHENG, C.; JIANWEI, Z.; CALDWELL, D.G., "A pneumatically-actuated transferring robot for industrial forge manufacturing using visual inspection technology," Robotics and Biomimetics (ROBIO), 23 IEEE International Conference on, vol., no., pp.49,496, 2-4 Dec. 23 LOCATELI, C. C. Desenvolvimento do protótipo de um robô Gantry com 3 graus de liberdade e acionamento servopneumático. 57f. Trabalho de conclusão de curso (Engenharia Mecânica) Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, 28. LOPES, C. R. Automação do processo de rebarbamento de peças utilizando um robô pneumático. Dissertação (Mestrado em Projeto e Processos de Fabricação) Universidade de Passo Fundo, Passo Fundo, 25. MARASCHIN, L. B., FIORI, A. F., VALDIERO, A. C., RASIA, L. A. Desenvolvimento de um robô Gantry com acionamento pneumático. In: Congresso Nacional de Engenharia Mecânica, 24a, Uberlândia. Anais do CONEM 24. Rio de Janeiro: ABCM, 24. v.. p.5 6. MARASCHIN, L. B., FIORI, A. F., VIECELLI, S. E. B., VALDIERO, A. C., RASIA, L. A. Modelagem matemática de um robô Gantry com acionamento pneumático. In: Congresso Nacional de Matemática Aplicada à Indústria, 24b, Caldas Novas. Anais do CNMAI 24. Goiânia: UFG, 24. v.. p.8 5 MARASCHIN, L. B., VALDIERO, A. C., RASIA, L. A., FIORI, A. F. Desafios da modelagem matemática de um robô Gantry com acionamento pneumático. In: XIX Jornada de Pesquisa da UNIJUÍ, 24c, Panambi. Anais do Salão do Conhecimento da UNIJUÍ. Ijuí: UNIJUÍ, 24. v.. p.4 45 MEHMOOD, A.; LAGHROUCHE, S.; EL BAGDOURI, M.; AHMED, F. S. Sensitivity analysis of LuGre friction model for pneumatic actuator control.in: IEEE Vehicle Power and Propulsion Conference (VPPC), 2, p. - 6.

105 5 MEHMOOD, N.; IJAZ, F.; MURTAZA, Z.; ALI Shah, S.I. Analysis of End-Effector position and orientation for 2P-3R Planer Pneumatic Robotic Arm. Robotics and Emerging Allied Technologies in Engineering (icreate), 24 International Conference on, vol., no., pp.47,5, April 24. doi:.9/icreate MIOTTO, F. E. M. Modelagem matemática da dinâmica do atrito e sua aplicação no controle ótimo de um atuador hidráulico. 29. f. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática) Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, 29. PERONDI, E. A. Controle Não-Linear em Cascata de um Servoposicionador Pneumático com Compensação de Atrito. 22, 82f. Tese de Doutorado, Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Santa Catarina, Brasil. PÖRSCH, M. R. M. H. Modelagem matemática e Controle Proporcional de uma Bancada Acionada Pneumaticamente para Simulações de Terrenos Inclinados f. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática) Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, 22. QIONG, W.; JIAO, Z. Modeling and analysis of pneumatic loading system. International Conference In: Fluid Power and Mechatronics (FPM), 2, p RAFIKOV, M.; BALTHAZAR, J. M. Optimal Linear and Nonlinear Control Design for Chaotic Systems. Proceedings of International Design Engineering Technical Conferences IDETC 5 25 and Computers and Information in Engineering Conference, Long Beach, California, USA, September 24 28, 25. RAOUFI, A.; SURGENOR, B., Control of a pneumatic gantry robot for grinding: performance with conventional techniques. Control Applications, 25. CCA 25. Proceedings of 25 IEEE Conference on, vol., no., pp.76, 8, 28-3 Aug. 25. RICHTER, R. R. M. Modelagem matemática e controle de posição de um atuador linear acionado pneumaticamente. 23. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática) Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, 23. RICHTER, R. R. M., ZAMBERLAN, C. V., VALDIERO, A. C. Aplicação da Modelagem Matemática na Simulação do Controle Proporcional de um Atuador Pneumático. In: Salão do Conhecimento XX Seminário de Iniciação Científica, XVII Jornada de Pesquisa, XIII Jornada de Extensão Tecnologia Social, Sustentabilidade, Erradicação da Pobreza, 22.

106 6 RICHTER, R. R. M., ZAMBERLAN, C. V., VALDIERO, A. C., RASIA, L. A. Trajectory Tracking Control of a Pneumatic Actuator Special. Computer Science and Applications., v., p , 24. RITTER, C. S. Modelagem matemática das características não lineares de atuadores pneumáticos f. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática) Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, 2. SAMHOURI, M.; RAOUFI, A.; SURGENOR, B. Control of a pneumatic gantry robot for grinding: a neuro-fuzzy approach to PID tuning. Control Applications, 25. CCA 25. Proceedings of 25 IEEE Conference on, vol., no., pp.452, 458, 28-3 Aug. 25. SANTOS, C. da S. dos. Modelagem matemática de um robô pneumático com dois graus de liberdade. 24. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática) Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, 24. SCHOENMEIER, C., HAMMES, G., VALDIERO, A. C., RASIA, L. A. Modelagem matemática e validação experimental de um atuador pneumático para uma bancada de ensaios de estruturas. Revista Saberes e Sabores Educacionais., v., p. - 3, 24. SCIAVICCO, L.; SICILIANO, B. Modeling and control of robot manipulators. New York: McGraw-Hill Companies, 996. SILVA, J. N. C. P. Realização de Controlo de Força em Robôs Manipuladores Industriais. Tese de Doutorado, Universidade de Coimbra, Coimbra, Portugal, 999. STECKI, J. Developments in fluid power control of machinery and manipulators. Cracow: Fuid Power Net Publication, 2. SOBCZYK, M. R. Controle em Cascata e a Estrutura Variável com Adaptação de Parâmetros e Compensação de Atrito de um Servoposicionador Pneumático. 29, 222f. Tese (Doutorado em Engenharia Mecânica) Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 29. STACHURA, M.; JANISZOWSKI, K.. A methodology of estimating hybrid black-box - prior knowledge models of an industrial processes. 6th International Conference on Methods and Models in Automation and Robotics (MMAR), 2, p. 5.

107 7 SUZUKI, R. M. Controle baseado em linearização por realimentação dos estados aplicado a um servoposicionador pneumático. 2. f. Dissertação (Mestrado em Engenharia Mecânica) Universidade Federal do Rio Grande do Sul, Porto Alegre, 2. TAO, G., KOKOTOVIC. Adaptive Control of Systems with Actuators and Sensors Nonlinearities. New York: John Wiley& Sons, 996. VALDIERO, A. C. Modelagem matemática de robôs hidráulicos. Ijuí: Unijuí, 22, v.. p.2. VALDIERO, A. C. Controle de robôs hidráulicos com compensação de atrito. 25, 7f. Tese (Doutorado em Engenharia Mecânica) Programa de Pós-graduação em Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, 25. VALDIERO, A. C. New Methodology for Identification of the Dead Zone in Proportional Directional Hydraulic Valves. Proceedings of the 8 th International Congress of Mechanical Engineering (COBEM 25), November, 25. VALDIERO, A. C; BAVARESCO D.; ANDRIGHETTO, P. L. Experimental identification of the dead zone in proportional directional pneumatic valves. International Journal of Fluid Power, v.9, p.27-34, 28. VALDIERO, A. C. ; RITTER, C.S. ; RIOS, C.F. ; RAFIKOV, Marat. NonLinear Mathematical Modeling in Pneumatic Servo Position Applications. Mathematical Problems in Engineering (Online), v. 2, p. -6, 2. Vale, V. A. C. Controle de Posição de um Robô Cartesiano por meio de Técnicas Adaptativas. Dissertação de Mestrado em Engenharia Mecânica, Universidade Federal da Paraíba, João Pessoa, PB, 2. VIECELLI, S. E. B. Modelagem matemática do atuador pneumático de uma bancada para ensaio de estruturas. 24. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática) Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, 24. VIEIRA, A. D. Análise Teórico Experimental de um Servoposicionador Pneumático. Dissertação de Mestrado, Departamento de Engenharia Mecânica, Universidade Federal de Santa Catarina, Brazil, 998.

108 8 WANG, J.; YANG, L.; LUO, X.; MANGAN, S.; DERBY, J. W. Mathematical Modeling Study of Scroll Air Motors and Energy Efficiency Analysis Part I. IEEE/ASME Transactions on Mechatronics, v. 6, 2, p WAIT, K.W.; GOLDFARB, M., "A Pneumatically Actuated Quadrupedal Walking Robot," Mechatronics, IEEE/ASME Transactions on, vol.9, no., pp.339, 347, Feb. 24. doi:.9/tmech WEICKGENANNT, M.; ZIMMERT, N.; KLUMPP, S.; SAWODNY, O. Application of SDRE control to servopneumatic drives. IEEE International Conference on Control Applications (CCA), 2, p ZAMBERLAN, C. V. Modelagem matemática de um atuador pneumático para aplicação em um mecanismo articulado. 23. Dissertação (Mestrado em Modelagem Matemática) Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, 23.

109 9 APÊNDICE A Diagrama de blocos dos controles utilizados nas trajetórias senoidais yd yd yd2 erro erro2 kp ki kp2 ki 2 s Integrator s Integrator PI Inicioatua degrau PI2 Inicioatua2 degrau2 chave chave2 Ud U_Czm Compensação da Zona Morta ligazm Ud2 U_Czm2 Compensação da Zona Morta ligazm2 chavezm chavezm2 Fp ps Sinal de Controle u pa pb y dy Sinal de Controle u2 y 2 dy 2 Robô Gantry Pneumático Fp ps pa pb dy dyy2 y2 y

110 APÊNDICE B Diagrama de blocos dos controles utilizados nas trajetórias tipo trapezoidal Trajetória Desejada Trajetória Desejada2 yd yd2 erro erro2 kp ki kp2 ki 2 s Integrator s Integrator PI Inicioatua degrau PI2 Inicioatua2 degrau2 chave chave2 Ud U_Czm Compensação da Zona Morta ligazm Ud2 U_Czm2 Compensação da Zona Morta ligazm2 chavezm chavezm2 Fp ps Sinal de Controle u pa pb y dy Sinal de Controle u2 y 2 dy 2 Robô Gantry Pneumático Fp ps pa pb dy dyy2 y2 y

111 APÊNDICE C Resumo expandido publicado (MARASCHIN et al., 24c)

112 2 Este trabalho foi apresentado como pôster no Salão do Conhecimento 24 XIX Jornada de Pesquisa no Câmpus Panambi e foi selecionado como Trabalho-Destaque na área de Ciências Exatas, mostrado na Figura 83. Figura 83 Certificado de Trabalho-Destaque no Salão do Conhecimento 24 XIX Jornada de Pesquisa

113 3 APÊNDICE D Artigo publicado (MARASCHIN et al, 24b) MODELAGEM MATEMÁTICA DE UM ROBÔ GANTRY COM ACIONAMENTO PNEUMÁTICO Leonardo Bortolon Maraschin, leonardo.maraschin@unijui.edu.br Angelo Fernando Fiori, an@unochapeco.edu.br Sandra Edinara Baratto Viecelli, Sandra_edinara@hotmail.com Antonio Carlos Valdiero, valdiero@unijui.edu.br Luiz Antonio Rasia, rasia@unijui.edu.br Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul (UNIJUÍ) - Departamento de Ciências Exatas e Engenharias (DCEEng), Rua Prefeito Rudi Franke 54, 9828, Panambi/RS, Brasil. Resumo: Este trabalho apresenta o desenvolvimento da modelagem matemática do comportamento dinâmico de um robô Gantry com três graus de liberdade acionado por atuadores pneumáticos, prevendo-se futuramente uma proposta de controle de posição. Este tipo de robô é muito empregado em diversas áreas da indústria, sendo bastante utilizado na manipulação de cargas, nas máquinas de corte a laser e na usinagem CNC. Existem várias vantagens na utilização deste tipo de robô, entre elas estão o aumento da produtividade, a maior qualidade do produto final, a segurança das pessoas, além de serem facilmente adaptáveis para grandes dimensões. Este robô encontra-se em uma bancada experimental na Unijuí Câmpus Pânambi, servirá como plataforma de teste para verificação dos modelos matemáticos e das estratégias de controle de posição. Essa bancada é composta por uma estrutura fixa, com três cilindros pneumáticos controlados cada um por uma servoválvula. Os movimentos horizontais e verticais desse robô citado serão capturados por uma placa eletrônica de aquisição de sinais e controle (dspace), montada em um microcomputador do Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS), que está integrado ao software Matlab. Pretende-se contribuir para a robotização de baixo custo em tarefas insalubres e perigosas, tal como o manuseio de peças numa indústria e tarefas de polimento. Como perspectivas futuras, pretende-se a validação do modelo matemático do robô e dos testes experimentais de estratégias de controle. Palavras-chave: Modelagem Matemática, Robô Gantry, Acionamento Pneumático.

114 4. INTRODUÇÃO Este trabalho descreve a modelagem matemática dinâmica de um robô cartesiano tipo pórtico com três graus de liberdade acionado por atuadores pneumáticos para ser utilizado em processos de polimento e lixamento, prevendo-se futuramente uma proposta de controle de posição. Através da modelagem matemática, pode-se visualizar e compreender o comportamento dinâmico do robô, com isso é possível prever os movimentos do efetuador final (Ferruzzi, 23) e assim podem-se evitar acidentes por causa de erros de trajetória ou de falhas no manipulador. Nota-se que com a utilização da modelagem a humanidade conseguiu obter grandes avanços tecnológicos, pois foi possível diminuir o custo de produção e aumentar a produtividade de vários produtos, entre eles estão os microcomputadores, os veículos, os telefones celulares e outros diversos outros bens de consumo. Observa-se que robô é um dispositivo autônomo ou semi-autônomo que realiza trabalhos de acordo com um controle humano, controle parcial com supervisão, ou de forma autônoma (Alfaro, 26). Ele foi criado de princípio para desempenhar funções perigosas e danosas para as pessoas, mas com o avanço da ciência, atualmente realiza atividades mais complexas com maior precisão e rapidez. Os robôs podem ser classificados em: móveis, manipuladores e a combinação destes últimos dois. O manipulador é chamado também de robô industrial, com propósito geral, constituído estruturalmente de vários segmentos mecânicos rígidos ligados em série por juntas e tendo na extremidade uma garra ou ferramenta (Valdiero, 25). Com ele as indústrias puderam automatizar algumas linhas de produção, assim elas diminuíram o tempo de fabricação das suas mercadorias e ainda melhoraram a qualidade delas. Os cinco tipos principais de braços em robótica de manipulação são: cartesiano, cilíndrico, polar, revolução e SCARA (Silva, 999). Existem várias vantagens de utilizar o robô com braço cartesiano tipo pórtico, também chamado de Gantry (Spong, Hutchinson e Vidyasagar, 26) entre elas estão o aumento da produtividade, a maior qualidade do produto final, a segurança das pessoas, além de serem facilmente adaptáveis para grandes dimensões. Este tipo de robô é muito empregado em diversas áreas da indústria, sendo bastante usado na manipulação de cargas, nas máquinas de corte a laser e na usinagem CNC. Existem vários tipos atuadores ou acionadores para os robôs, sendo que são distribuídos em: pneumáticos, óleo-hidráulicos, hidro-hidráulicos, elétricos rotativos (DC e DA) e elétricos lineares (Bavaresco, 27). Sendo que as vantagens do sistema pneumático são a facilidade para transporte em tubulações, a simplicidade de armazenamento por serem compressíveis em reservatórios e além de o ar ser matéria prima não poluente (Vale, 2). O robô Gantry deste trabalho está sendo desenvolvido em uma bancada experimental na Unijuí Câmpus Panambi, servirá como plataforma de teste para verificação de modelos matemáticos e de estratégias de controle de posição. Os movimentos horizontais e verticais serão capturados por uma placa eletrônica de aquisição de sinais e controle (dspace), montada em um microcomputador do Núcleo de Inovação em Máquinas Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS). Pretende-se contribuir com a modelagem matemática de um protótipo acionado pneumaticamente e para a robotização de baixo custo em tarefas insalubres e perigosas, tal como o manuseio de peças numa indústria e tarefas de polimento. Como perspectivas futuras, busca-se a validação do modelo matemático do robô e dos testes experimentais de estratégias de controle. No artigo está à descrição o robô Gantry com acionamento pneumático na seção 2. A seção 3 trata da modelagem matemática do robô cartesiano tipo pórtico com a intenção de mostrar uma proposta de controle de posição. A seção 4 apresenta as conclusões e perspectivas futuras. 2. DESCRIÇÃO DO ROBÔ GANTRY COM ACIONAMENTO PNEUMÁTICO Este robô cartesiano, conforme Figura, foi construído em uma estrutura fixa do tipo pórtico, com três graus de liberdade, sendo que as juntas serão prismáticas e ainda tem uma servoválvula de controle direcional para cada cilindro pneumático de dupla ação. Para manter o ar comprimido limpo e lubrificado na bancada experimental é utilizada uma unidade de conservação.

115 5 Figura 84. Robô Gantry com descrição de suas partes. Os componentes apresentados acima e alguns outros que serão montados no protótipo têm as suas especificações descritas na Tab.. Tabela. Principais componentes do protótipo do robô Gantry pneumático Item Componente Fabricante Código Catálogo Especificações Guia Kalatec TR Cilindro pneumático com haste Sistema transdutor linear Cilindro pneumático sem haste Unidade de conservação Reservatório de ar comprimido Norgren Festo 7 Sensor de pressão Festo 8 Transmissor de pressão RA/85/M/4 MLO-POT--TLF (52632) Rexroth Festo Espessura: 3 mm Largura: 5 mm Comprimento: 2 mm Capacidade carga dinâmica: 897 kgf Capacidade de carga estática: 863 kgf Diâmetro da haste: 2 mm Diâmetro do cilindro: 5 mm Curso: 4 mm Força teórica: 78 N Resolução do trajeto:, mm Curso: mm Diâmetro: 25 mm Curso: mm Força teórica: 5 N Grau de filtração: 5 μm Vazão nominal padrão:.7 l/min Proar RA 8.5. Volume: 2,5. -3 m 3 Gefran SDE-D-G2-R8-C- PU-M8 (529958) TKG E M DM 9 Patins Kalatec TRH5FL Faixa de medição de pressão: bar Faixa de medição de pressão: bar Espessura: 2 mm Largura: 47 mm Comprimento: 2 mm Capacidade carga dinâmica: 897 kgf

116 6 2 Cilindro pneumático com haste Lixadeira LINE- MATE III Válvula direcional proporcional Proar Walter Festo MM x (ISO 643) 6268 (3A-38) MPYE-5-/8-HF-- B (5693) Capacidade de carga estática: 863 kgf Diâmetro da haste: 2 mm Diâmetro do cilindro: 32 mm Curso: mm RPM: - 38 Motor: 22 V AC Potência: 52 W Função de válvula: 5/3 vias, fechada Vazão nominal padrão: 7 l/min As partes chamadas de guia () e patins (9) formam juntas a Guia Linear TRH do fabricante Kalatec, mostrado Fig. 2, que servem para aplicações de exigem precisão e têm baixíssima manutenção. Figura 2: Projeto do protótipo com grau de liberdade (vista superior) O protótipo está conectado a uma bancada de instrumentação, mostrado na Fig. 3, composto de uma placa alemã dspace DS 4, que está integrada a um microcomputador. Sendo que os movimentos horizontais e verticais desse robô serão capturados pelos sistemas transdutores lineares e enviados em forma de sinais analógicos para a placa citada, após isso ela envia sinais analógicos para as válvulas direcionais proporcionais que liberam a passagem do ar comprimido, com isso controla-se o avanço e recuo dos cilindros pneumáticos e a posição final da ferramenta. As simulações com os dados obtidos nos experimentos serão realizados no software Matlab/Simulink.

117 7 Figura 3: Bancada de Instrumentação com a placa eletrônica dspace para aquisição de sinais e controle. 3. MODELAGEM MATEMÁTICA DO ROBÔ CARTESIANO TIPO PÓRTICO Utiliza-se o modelo dinâmico de um robô de elos rígidos sem a dinâmica do atuador (Valdiero, 22). Neste modelo serão utilizadas as equações que relacionam as forças geradas pelos atuadores nas juntas e o movimento da estrutura. Analisando um robô de n graus de liberdade com ausência de forças externas no efetuador final e desconsiderando o atrito na estrutura, podemos obter assim o modelo dinâmico no espaço das juntas através da formulação de Lagrange e escrevê-lo numa forma matricial compacta, conforme apresentado pela Eq. (): H(d)d + C(d, d) d + G(d) = τ () Onde d é o vetor de coordenadas das juntas; H(d) é a matriz de inércia simétrica, definida positiva; C(d, d ) é a matriz que representa os efeitos centrífugos e de Coriolis; G(d) é o vetor que representa o momento gerado em cada eixo de junta do manipulador devido à presença da gravidade e τ é o vetor de torques do movimento das juntas. Combinando a dinâmica dos elos do robô, descrita pela Eq. () com a dinâmica dos atuadores têm-se a Eq. (2): H(d)d + C(d, d) d + G(d) = J T f L (2) Sendo que J é definida como a matriz Jacobiana do atuador e f L é o vetor de força de carga nos atuadores lineares medida em N. Onde J mapeia as velocidades dos atuadores com as velocidades no espaço das juntas, segundo a Eq. (3) que no caso particular do robô Gantry é igual à matriz identidade: J J = = J n (3) O vetor f L pode ser escrito na seguinte forma matricial, conforme Eq. (4): f L = My f atr f G + f P (4)

118 8 Onde M é uma matriz diagonal que representa a massa deslocada pelos atuadores em kg; f atr é o vetor que corresponde à força de atrito nos atuadores em N; y é o vetor de aceleração dos atuadores em m/s 2 ; f G é o vetor das componentes gravitacionais que atuam no sentido do movimento do atuador em N e f P é a força pneumática nos atuadores em N. O vetor y pode ser descrito pela Eq. (5): y = Jd + Jd (5) Sendo que d é o vetor de aceleração das juntas em m/s 2. Combinando a Eq. (4) com a Eq. (2) e agrupando os termos no primeiro membro da equação obtida e isolando a parcela da força pneumática no segundo, obtém-se a equação dinâmica que descreve o movimento de um manipulador acionado por atuadores pneumáticos, conforme Eq. (6): H (d)d + C (d, d) d + τ atr (d, d) + G (d) = J T f P (6) Onde H (d) = [H(d) + J T MJ ] é a matriz de inércia modificada; C (d,d) = [C(d,d) T + J MJ] é matriz de Coriolis modificada; τ atr d, d = J T f atr é o vetor de torques gerados pelo atrito no atuador e G (d) = [J T f G + G(d)] é o vetor de torque gravitacionais modificado. O modelo dinâmico de um manipulador acionado pneumaticamente, incluindo o modelo dinâmico do atrito é descrito pela Eq. (7). * H (d)d + C (d, d) d + τ atr (d, d, z atr, z atr) + G (d) = J T f P (7) Sendo que τ atr d, d, z atr, z atr = ȷ T f atr é o vetor de torques devido à força de atrito nos atuadores, dependente das posições e velocidades das juntas e da dinâmica das micros deformações das rugosidades. A dinâmica do vetor de estados internos do atrito (z atr ) pode ser escrita na forma matricial conforme a Eq. (8): z atr = h atr (d, d, z atr ) (8) Onde h atr (d, d, z atr ) é o vetor cujos elementos são funções que representam a dinâmica do estado interno z atri do atrito em cada atuador i. E o vetor da taxa de variação da força pneumática (f p) pode ser escrito, conforme Eq. (9). f p = f d d, d + g u (d, p a, p b, u) (9) Sendo que f d d, d e g u (d, p a, p b, u) são vetores cujos elementos são funções que representam respectivamente as parcelas da dinâmica pneumática. O modelo dinâmico do manipulador acionado pneumaticamente, incluindo a dinâmica do atrito, é descrito pelo conjunto de equações não lineares de quinta ordem, em que a ordem total do sistema é 5n e pode ser representado pelo vetor de estado [d d z atr p a p b ] T. Onde p a e p b são as pressões nas câmaras do atuador medida em Pa (RICHTER, 23), conforme Fig. 4.

119 9 Figura 4: Desenho esquemático da válvula direcional proporcional ligada a um cilindro pneumático com haste de dupla ação da Richter (23). Então se observa que o modelo do manipulador robótico acionado pneumaticamente descrito pelas Eq. (7), (8) e (9) podem ajudar no controle dinâmico neste tipo de robô. * T A matriz de inércia modificada H ( d) = [ H ( d) + J M J ] é composta pela matriz de inércia H(d) do manipulador rígido e pela parcela de inércia dos atuadores ( J T M J ), e é dada pela Eq. () considerando os 3 graus de liberdade e o desacoplamento cinemático no robô cartesiano do tipo Gantry. H H ( d) = H 22 () H 33 onde: H = 5 kg (massa total deslocada na direção horizontal longitudinal, incluindo-se a massa deslocada no atuador ) H 22 = 8 kg (massa total deslocada na direção horizontal transversal, incluindo-se a massa deslocada no atuador 2) H33 = 5 kg (massa total deslocada na direção vertical, incluindo-se a massa da ferramenta e da haste do atuador 3) Maiores detalhes sobre a modelagem matemática do robô Gantry em relação à dinâmica do atrito nas juntas e nos atuadores foram publicados em Richter (23) e referente às características não lineares da servoválvula estão detalhadamente descritos em Bavaresco (27). 4. CONCLUSÕES E PERSPECTIVAS FUTURAS Através deste trabalho foram apresentadas as principais etapas do desenvolvimento da modelagem matemática dinâmica de um robô cartesiano tipo pórtico acionado por atuadores pneumáticos em termos da formulação geral e também as equações que podem ajudar no controle do comportamento dinâmico deste manipulador citado que foi construído em uma bancada experimental na Unijuí Câmpus Pânambi. Com esta pesquisa pretende-se contribuir com a modelagem matemática de um protótipo acionado pneumaticamente e para a robotização de baixo custo em tarefas insalubres e perigosas, tal como o manuseio de peças numa indústria e tarefas de polimento e lixamento de peças da indústria metal-mecânica do Arranjo Produtivo Local de cidade pólo Panambi/RS. Sendo que nesse robô serão realizados testes experimentais para identificar as não linearidades presentes nele, tais como o atrito nos atuadores pneumáticos, a vazão mássica na servoválvula e a zona morta. Como perspectivas futuras, busca-se a validação do modelo matemático da dinâmica do robô e dos testes experimentais de estratégias de controle.

120 2 5. AGRADECIMENTOS O presente trabalho foi realizado com apoio do CNPq, Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico e Tecnológico Brasil. Os autores também são agradecidos à Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) pela bolsa de mestrado, à Fundação de Amparo a Pesquisa do Rio Grande do Sul (FAPERGS) pelas bolsas de iniciação científica e desenvolvimento tecnológico, à UNIJUÍ pelo apoio e incentivo na realização da pesquisa, além da infraestrutura do Núcleo de Inovação em Máquina Automáticas e Servo Sistemas (NIMASS) do Câmpus Pânambi, implantado com recursos provenientes do SEBRAE e do FINEP/SEBRAE/MCT, num convênio de interação Universidades-Empresas do Arranjo Produtivo Local Metal- Mecânica, e modernizado recentemente com o apoio financeiro da CELPE (Companhia Energética de Pernambuco) por meio de um projeto de pesquisa aplicada no âmbito do Programa de P&D da ANEEL. REFERÊNCIAS Alfaro, S. C. A. 26. Robôs em Projetos Tecnológicos. Anais da 58ª Reunião Anual da SBPC, Florianópolis, SC. Disponível em: < Acesso em jun. 24. Bavaresco, D. 27. Modelagem Matemática e Controle de um Atuador Pneumático. Dissertação de Mestrado em Modelagem Matemática, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, RS. Ferruzzi, E. C. 23. A Modelagem Matemática como estratégia de ensino e aprendizagem do Cálculo Diferencial e Integral nos Cursos Superiores de Tecnologia. Dissertação de Mestrado em Engenharia de Produção, Universidade Federal de Santa Catarina, Florianópolis, SC. Disponível em: < /84624/9478.pdf?sequence=>. Acesso em 5 jun. 24 Richter, R. R. M. 23. Modelagem Matemática e Controle de Posição de um Atuador Linear Acionado Pneumaticamente. Dissertação de Mestrado em Modelagem Matemática, Universidade Regional do Noroeste do Estado do Rio Grande do Sul, Ijuí, RS. Silva, J. N. C. P Realização de Controlo de Força em Robôs Manipuladores Industriais. Tese de Doutorado, Universidade de Coimbra, Coimbra, Portugal. Disponível em:< Acesso em 7 de jun. 24. Spong, M. W., Hutchinson, S. and Vidyasagar, M. 26. Robot Modeling and Control. New York, EUA: Ed. John Wiley & SONS. Disponível em:< Modeling_and_Control.pdf>. Acesso em jul. 24. Valdiero, A.C. 25. Projeto Mecânico de Robôs Industriais. Ijuí, RS: Ed. Unijuí Valdiero, A. C. 22. Modelagem Matemática de Robôs Hidráulicos. Ijuí, RS: Ed. Unijuí. Vale, V. A. C. 2. Controle de Posição de um Robô Cartesiano por meio de Técnicas Adaptativas. Dissertação de Mestrado em Engenharia Mecânica, Universidade Federal da Paraíba, João Pessoa, PB. Disponível em: < Acesso em 27 jun. 24. RESPONSABILIDADE AUTORAL Os autores são os únicos responsáveis pelo conteúdo deste trabalho.

121 2 MATHEMATICAL MODELING OF A GANTRY ROBOT WITH PNEUMATIC ACTUATOR Leonardo Bortolon Maraschin, leonardo.maraschin@unijui.edu.br Angelo Fernando Fiori, an@unochapeco.edu.br Sandra Edinara Baratto Viecelli, Sandra_edinara@hotmail.com Antonio Carlos Valdiero, valdiero@unijui.edu.br Luiz Antonio Rasia, rasia@unijui.edu.br Regional Northwest University of Rio Grande do Sul (UNIJUÍ) - Department of exact sciences and engineering (DCEEng), Street Prefeito Rudi Franke 54, 9828, Panambi/RS Abstract. This paper presents the development of mathematical modeling of the dynamic behavior of a gantry robot with three degrees of freedom with pneumatic actuator, is expected in the future a proposal for position control. This type of robot is very used in various areas of the industry, being widely used in cargo handling, in laser cutting machines and CNC machining. There are several advantages of using this type of robot, among them are increased productivity, higher quality of the final product, the safety of people, and are easily adaptable to large. This robot is on a trial bench in Unijuí Campus Panambi, serve as a test platform for verification of mathematical models and control strategies position. This countertop comprises a fixed structure, three pneumatic cylinders controlled each by a servovalve. The horizontal and vertical movements of the robot quoted will be captured by an electronic board data acquisition and control (dspace), mounted in a microcomputer of the Center for Innovation in Automatic Machines and Servo Systems (NIMASS), this integrated with Matlab software. It is intended to contribute to the low cost robotics in unhealthy and dangerous tasks, as the handling of parts in an industry and polishing tasks. As future prospects, it is intended to validate the mathematical model of the robot and experimental tests of control strategies. Keywords: Mathematical Modeling, Gantry Robot, Pneumatic Actuator.

122 ANEXO A Catálogo da Guia Linear TRH 22

123 ANEXO B Catálogo do Cilindro Pneumático DNC--5-PPV 23

124 ANEXO C Catálogo do Sistema Transdutor Linear MLO-POT--TLF 24

125 ANEXO D Catálogo do Cilindro sem Haste 25

126 ANEXO E Catálogo da Unidade de Conservação 26

127 ANEXO F Catálogo do Sensor de Pressão 27

128 ANEXO G Catálogo do Cilindro Pneumático DNC-4-6-PPV 28

129 ANEXO H Catálogo da Esmerilhadeira Angular 29