Física Experimental 1

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1 Universidade Federal de Pernambuco Centro de Ciências Exatas e da Natureza Departamento de Física Física Experimental 1 Experimento 4: Ondas estacionárias Informações sobre a Equipe Nome: Nome: Nome: Bancada: Turma: Data:

2 Física Experimental 1 Objetivos O experimento da corda vibrante trata de um tema de grande importância para entender fenômenos no dia-a-dia: ondas. Neste experimento, você investigará ondas mecânicas propagando-se num fio. A ideia é descobrir como propriedades da onda se relacionam a características intrínsecas do meio que a comporta (nesse caso, um fio), tal como sua densidade. Ondas ocorrem na natureza numa quantidade enorme de contextos. Não interessando detalhes dos meios materiais que permitem sua propagação(ou mesmo do objeto que, sem ser um meio mecânico, propaga ondas mesmo assim, como ocorre no caso da luz), ondas estão ligadas ao transporte ou à localização de energia. Elas possuem algumas propriedades gerais relativas à propagação, como direção, sentido e velocidade, mas também relativas a oscilações, como frequência, amplitude, e fase. É verdade que para um fio existem formas mais diretas de se estudar suas propriedades. Mas, em outros contextos, ondas fornecem informação essencial sobre o meio, sendo esse o princípio de vários experimentos científicos atuais (e.g. ondas gravitacionais, para detetar perturbações na geometria do espaço-tempo) e de instrumentos usados no cotidiano (e.g. aparelhos de raios-x e ultrassom, para explorar o interior do corpo humano de forma não-invasiva). Material utilizado: suporte, alto-falante, gerador de função, linha, clipes e trena. Lembretes Sempre leia todo o material (teoria e roteiro) antes da aula experimental. Justifique suas respostas sempre que necessário. Organize sua bancada ao final do experimento. O material utilizado está sob sua responsabilidade durante a aula. E o mais importante: antes de perguntar qualquer coisa ao professor, esforce-se em descobrir a resposta sozinho(a) ou discutindo com colegas! 2

3 Experimento 4: Ondas estacionárias 1 Aparato Experimental A montagem experimental para o estudo das ondas mecânicas é esquematizada na figura 1. Figura 1: Aparato experimental. O fio no qual serão excitadas ondas é suspenso num alto-falante e tensionado pelo peso de clipes de papel, presos por um laço. Ondas mecânicas são excitadas pelo alto-falante. A frequência e a intensidade de vibração do alto-falante é controlada por um gerador de função. 3

4 Física Experimental 1 2 Considerações iniciais O modelo teórico mais simples a descrever este experimento é o modelo da corda vibrante. Existem diversas ressonâncias na corda, cada uma produzindo uma onda estacionária. Cada onda estacionária possui características próprias, como frequência e perfil espacial (ou seja, o formato de seu deslocamento do equilíbrio). Chamamos cada possível maneira de vibrar da corda de modo normal de vibração. No caso da corda vibrante, diferentes modos possuem frequências de excitação diferentes e podem ser assim distinguidos. Portanto, sintonizando a frequência produzida pelo alto-falante, devemos ser capazes de excitar um único modo de vibração por vez, sem excitar os demais. Cada modo normal possui perfil espacial único. Pontos da corda com comportamentos extremos são os ventres, que oscilam com amplitude máxima, e os nós, pontos que permanecem em repouso durante toda a oscilação da corda. Vamos rotular cada modo pelo número de ventres n de sua onda estacionária associada. O modo fundamental, ou primeiro harmônico, é aquele que possui 1 ventre (n = 1). Seus nós ocorrem apenas nas extremidades do fio, associados simplesmente às condições de contorno da vibração: idealmente, o fio não pode se movimentar nos pontos pelos quais é preso ao alto-falante e à forquilha. O segundo harmônico possui 2 ventres (n = 2) separados por um nó localizado no meio do fio (além dos dois nós impostos pelas condições de contorno), e assim por diante. Desenhe esquematicamente no quadro abaixo o perfil espacial dos modos fundamental, segundo e terceiro harmônicos para os instantes de tempo pedidos, seguindo as instruções e avisos seguintes: Cada linha delimitada por círculos representa o fio na situação de repouso. Esboce sobre cada linha o perfil espacial de deslocamento do fio para instantes e modos de oscilação pedidos. Em t = 0, considere o perfil de deslocamento máximo do equilíbrio. Represente cada nó por um círculo preenchido, conforme desenho. O período da oscilação é denotado pela letra τ. 4 Preencha o valor do comprimento de onda λ n da onda estacionária em relação ao comprimento L do fio nos quadrinhos.

5 Experimento 4: Ondas estacionárias t = 0 t = τ/4 t = τ/2 n = 1 λ 1 = L n = 2 λ 2 = L n = 3 λ 3 = L Com base em seus desenhos, escreva a relação entre n e o comprimento de onda λ n. Uma onda é uma estrutura periódica tanto no espaço quanto no tempo. Sua velocidade de propagação v é tal que um comprimento de onda λ n é percorrido em um período τ n. Escreva abaixo a expressão para v em termos de λ n e da frequência f n = 1/τ n da onda. Utilize essas expressões para escrever f n em função de n e da frequência fundamental f 1. O modelo teórico mais simples deve ser capaz de captar a essência do comportamento do sistema descrito. O fio à sua frente é um objeto real com várias complicações, como tudo. Aponte desvios do comportamento ideal factíveis de aparecerem em seu experimento. 5

6 Física Experimental 1 3 Atividades O objetivo deste experimento é investigar como a frequência de excitação do fio se relaciona com o comprimento de onda do modo excitado e a tensão colocada no fio. A primeira coisa que bons experimentadores fazem com um aparato novo é brincar (embora poucos admitam isso em público). Divirta-se de forma responsável com seu novo brinquedo. Brincadeira é coisa séria: pense na melhor forma de medir as quantidades de interesse e teste seu procedimento, antecipando problemas em potencial. Observe como o fio vibra conforme você varia a frequência produzida pelo alto-falante. Analise a forma da onda produzida. Você consegue observar ventres e nós? Analise algumas ressonâncias. Elas aparecem aproximadamente nas frequências esperadas? 3.1 Frequência de oscilação Se você brincou com seriedade, deve ter notado que cada vibração do fio é excitada não por uma frequência única, mas por toda uma faixa de frequências. Essa faixa corresponde à largura em frequência da ressonância. Sugestão: Nesta parte do experimento, prenda 7 clipes ao fio. IMPORTANTE: jamais prenda mais de 7 clipes ao fio. Sete clipes produzem o peso máximo suportado pela frágil ligação entre fio e alto-falante. Faça um teste para determinar como escolher o valor mais confiável e a incerteza da frequência de ressonância medida. Encontre a faixa de frequências em que o modo fundamental (n = 1) é excitado. Meça as frequências mínima f min e máxima f max da faixa. f min = f max = Descreva brevemente seu método de atribuição das incertezas σ fmax em σ fmin. Com essas medidas, você obteve o intervalo total em que ocorre a ressonância. Você deve ter notado que a amplitude da oscilação do fio varia dentro desse intervalo. 6 Meça a frequência f 0 para a qual a amplitude da oscilação é máxima.

7 Experimento 4: Ondas estacionárias f 0 = Descreva brevemente seu procedimento para determinação da incerteza σ f0. Com base nesses testes, descreva sucintamente seu procedimento para medir frequências de ressonância (e suas incertezas!) daqui em diante. 3.2 Relação entre modo espacial e frequência Vamos investigar primeiramente a relação entre o modo excitado, descrito pelo número de ventres n da onda, e a frequência f n produzida pelo alto-falante. Meça a frequência de ressonância f n para todos os modos n de oscilação que você conseguir excitar na corda. n f n n f n Analise seus dados em tempo real: represente graficamente cada medida logo que for realizada. Gráfico 1: Utilizando papel milimetrado, represente graficamente todos os pares de valores medidos (n,f n ). Vejamos agora como λ n se relaciona com o modo n. Determine o comprimento de onda λ n da oscilação medindo algum comprimento l n que você achar mais apropriado. 7

8 Física Experimental 1 Descreva o que é a distância l n escolhida (e.g. nós consecutivos, ou nós mais distantes, ou média de distâncias entre nós consecutivos etc). Justifique sua escolha. Coloque na tabela abaixo suas medidas de l n. Utilize os mesmos modos n dos quais você mediu f n anteriomente. Determine λ n a partir de l n. n l n λ n n l n λ n Escreva no quadro abaixo a expressão da incerteza σ λn em função de σ ln. 3.3 Análise gráfica dos dados Usando as medidas coletadas, vamos investigar a relação entre n, f n e λ n. O primeiro passo é analisar a relação entre n e f n a partir de seu gráfico 1. As frequências de excitação de modos n 1 são múltiplas da frequência fundamental f 1 (isso é esperado?)? Se sim, a relação deve ser linear. Ajuste visualmente uma reta a seus dados e obtenha seus coeficientes angular a vis e linear b vis. Estime suas incertezas como achar apropriado. 8 a vis = b vis =

9 Experimento 4: Ondas estacionárias Analise os valores dos coeficientes da reta. Explicite os valores esperados para a vis e b vis. Compare-os aos valores obtidos pelo ajuste de reta. Embora o método de ajuste visual seja mais rápido de se executar manualmente, encontrar a melhor relação linear requer algumas contas. Realize o ajuste da reta ótima pelo método de mínimos quadrados. Para esta parte, vamos simplificar a análise considerando as incertezas de medida aproximadamente iguais. Escreva abaixo o valor médio das incertezas σ fn, chamando-o σ f. σ f = A melhor reta a ajustar os dados é aquela que minimiza o desvio quadrático médio. Preencha a tabela abaixo com quantidades intermediárias necessárias ao ajuste (Eqs. 20, 22 e 23 da Apostila 3). Para facilitar a correspondência com as variáveis usadas na Apostila, chamamos x n = n e y n = f n. s x 2 = n x2 n s x = n x n s y = n y n s xy = n x ny n = Ns x 2 s 2 x Calcule os coeficientes da reta ótima e suas incertezas. a mq = b mq = Compare os dois ajustes de reta, embasando seus argumentos. Adicione a reta ótima a seu gráfico 1. Desenhe essa reta utilizando caneta com cor diferente da reta visual. A fim de verificar a qualidade dos ajustes e melhor compará-los entre si, vamos analisar seus resíduos. O resíduo δf n de cada medida é sua distância à reta ajustada f(n), dado por δf n = f n f(n). (1) 9

10 Física Experimental 1 Preencha a tabela abaixo com os valores das retas ajustadas. Para a reta visual, calcule f vis (n) = a vis n + b vis e os resíduos δf n,vis. Para a reta ótima, calcule f mq (n) = a mq n + b mq e seus resíduos δf n,mq. Denote todas as incertezas. n f vis (n) δf n,vis n f mq (n) δf n,mq Gráfico 2: Represente os resíduos em papel milimetrado. Represente suas incertezas σ δfn,vis e σ δfn,mq por barras de erro. Analise o gráfico de resíduos. Você vê alguma tendência preocupante que invalide o ajuste? Para um bom ajuste, os resíduos devem flutuar aleatoriamente em torno do valor nulo! Os resíduos devem em princípio ser compatíveis com a incerteza dos dados (Por quê?). Calcule, para a reta visual, a média dos desvios δf vis e seu desvio padrão σ δf vis. Faça o mesmo para a média dos desvios δf mq e seu desvio padrão σ δf mq no caso da reta ótima. δf vis σ δf vis δf mq σ δf mq Analise a estatística dos resíduos. Para cada reta ajustada, a distribuição de resíduos é compatível com flutuação aleatória em torno do valor nulo? 10

11 Experimento 4: Ondas estacionárias Para cada reta, o desvio padrão dos resíduos é compatível com a incerteza de medida? Com base nisso, você diria que seus resíduos indicam serem suas incertezas de medidas: subestimadas, corretamente atribuídas, ou superestimadas? Justifique. Analise agora a relação entre frequência de excitação e comprimento de onda. Segundo o modelo teórico, a relação esperada aqui é uma lei de potência da forma f n = vλ 1 n, (2) em que v é a velocidade de propagação da onda no fio. A fim de fazer aparecer uma relação linear, faça a mudança de variáveis x n = λ 1 n e y n = f n, para obter y n = Ax n +B. (3) Escreva no quadro abaixo a relação entre os coeficientes A e B e as grandezas físicas de interesse. Utilizando seus dados, calcule os valores experimentais de x n e y n (com incertezas!). n x n y n n x n y n Gráfico 3: Utilizando papel milimetrado, represente graficamente todos os pares de valores medidos (x n,y n ). 11

12 Física Experimental 1 Não se esqueça de representar também as barras de erro σ xn e σ yn (e título, rótulos e unidades dos eixos!). Lembre-se: um gráfico é uma ferramenta visual que deve prover todas as informações necessárias (e nada mais!) para que qualquer pessoa possa entender seus resultados. Observe seu gráfico. Seus dados parecem ser bem descritos por uma relação linear? Se sim, realize o ajuste linear por mínimos quadrados. Preencha a tabela abaixo com quantidades intermediárias necessárias ao ajuste por mínimos quadrados. Utilize nos cálculos os valores x n e y n encontrados. s x 2 = n x2 n s x = n x n s y = n y n s xy = n x ny n = Ns x 2 s 2 x Calcule os coeficientes da reta ótima e suas incertezas (veja abaixo). A mq = B mq = Para determinar suas incertezas, assuma por simplicidade σ x e σ y uniformes para todos os dados na tabela. Utilize o coeficiente da reta ótima para propagar a incerteza σ x para a grandeza y, chamando a nova incerteza em y de σ y,t. Escreva abaixo os valores utilizados para as incertezas. Finalmente, calcule σ A e σ B e complete seu resultado acima. σ x σ y σ y,t Adicione a reta ótima a seu gráfico 3. Determine o valor de v conforme obtido através da reta ótima ajustada. v = Forte sugestão: você deve ter completado todas as atividas propostas até aqui antes de iniciar a segunda aula deste experimento 12

13 Experimento 4: Ondas estacionárias 3.4 Propriedade do fio: densidade Para pequenas oscilações, o modelo ideal da corda vibrante dita que a velocidade da onda depende da tensão T aplicada ao fio. Determinemos experimentalmente essa dependência. Escolha um modo normal n do fio para realizar medidas de frequência de ressonância f em função da tensão T. Escreva na tabela abaixo n escolhido e λ correspondente. n λ O número i de clipes sustentados pelo fio controla a tensão T i imposta. Para determinar seu valor, meça a força peso T i dos clipes com o auxílio de uma balança (Utilize g = 9,781 m/s 2 ). O índice i = 1,2,...,7 indica a quantidade total de clipes usados (Importante: i 7). JAMAIS prenda mais de 7 clipes ao fio. Sete clipes produzem o peso máximo suportado pela frágil ligação entre fio e alto-falante. Para cada valor de tensão T i, meça a frequência de ressonância f i do modo escolhido. Preste atenção para utilizar sempre o mesmo modo! Coloque suas medidas na tabela, utilizando os dados de λ e f i para determinar o valor experimental de v i em cada caso. Faça tantas medidas quanto julgar necessárias. i T i f i v i Gráfico 4: Represente todas as medidas (T i,v i ) em papel log-log. Represente incertezas σ vi e σ Ti em todos os dados. Caso seu gráfico 4 evidencie uma reta a ligar os dados, então a relação entre v e T deve ser uma lei de potência, escrita em geral como v = ct d. (4) 13

14 Física Experimental 1 Vamos analisar a lei de potência através do gráfico log-log. Tome o logaritmo da expressão acima para escrevê-la como uma relação linear do tipo Y = ax +b. Relacione as variáveis X, Y, a e b às grandezas v, T e aos parâmetros c e d da lei de potência. Esses parâmetros são obtidos por ajuste linear aos dados. Trace uma reta de ajuste visual. Para determinar seu coeficiente angular, escolha dois pontos em que a reta coincida com a marcação quadriculada do papel log-log. Marque esses pontos sobre a reta e leia suas coordenadas (T 1,v 1) e (T 2,v 2) na escala dos eixos. Anote esses valores. T 1 v 1 T 2 v 2 O coeficiente angular é calculado da forma usual como a = logv 2 logv 1. (5) logt 2 logt 1 Já o coeficiente linear é determinado por um dos pontos da reta, e.g. b = log(v 1) a log(t 1). Repita o procedimento, traçando uma segunda reta de ajuste visual para estimativa de incerteza. Anote os pontos de coincidência entre a reta e o grid do papel. T 1 v 1 T 2 v 2 Determine os coeficientes a e b da primeira reta, e a e b da segunda. a b a b Calcule os coeficientes a e b da reta média a partir dos valores acima. 14 a = b =

15 Experimento 4: Ondas estacionárias Qual é o valor teórico esperado para o coeficiente a? Ele é compatível com o valor encontrado? Escreva a expressão para µ como função do coeficiente relevante da reta ajustada. Escreva a expressão para a incerteza σ µ. Determine o valor experimental de µ a partir da reta ajustada. µ = Comente o valor encontrado para µ: ele parece razoável ou é claramente absurdo? Explique. 3.5 Verificação da densidade do fio por medida independente A propriedade do fio determinada de forma indireta pelo estudo de suas ondas estacionárias é, nesse caso, passível de medida independente simples. Meça a densidade linear fio com o auxílio de uma balança. Coloque suas medidas de massa m e comprimento l do fio na tabela abaixo. m l µ Compare esse valor ao resultado obtido pelo estudo das ondas. Eles são compatíveis? Jamais ignore eventuais discrepâncias: tente justificá-las. 15

16 Física Experimental 1 Desafio: interpretação das sutilezas do experimento Esta seção se destina apenas aos estudantes que queiram entender como interpretar resultados aparentemente conflitantes num experimento, e não será cobrada como conteúdo da disciplina. A primeira coisa a se notar é que todo bom experimento visa descobrir coisas desconhecidas. Portanto, um(a) bom(a) físico(a) ou engenheiro(a) (ou entusiasta do DIY, vulgo nerd, sim, e daí? ) não sabe o que vai acontecer exatamente quando ele começa um experimento, embora tenha alguma ideia por conta dos modelos teóricos que espelham sua compreensão do aparato. Afinal,sevocêjásabeexatamenteoquevaiacontecer,paraquesedaraotrabalhodefazeroexperimento? Então todo experimento começa como um teste, um chute educado, por assim dizer, porque a única coisa que se sabe de antemão é que não se sabe tudo: a compreensão inicial que se possui tem (com sorte!) alta probabilidade de estar incompleta. Bem, quando algo que não entendemos ocorre num experimento, o correto é tomar inspiração na própria natureza: como a folclórica avestruz, enfiamos a cabeça embaixo da terra e continuamos com nossas vidas. A maneira formal de se fazer isso é manter fixo tudo aquilo que não se entende e continuar com o experimento conforme inicialmente planejado. A partir daí, veremos provavelmente alguns sinais malucos em nossas medidas, indicando que alguma coisa ignorada era importante. Damos, então, um passo para trás, e procuramos descobrir o que pode ser essa coisa. Consertando o problema, veremos menos sinais malucos, até que, repetindo isso algumas vezes, observaremos apenas sinais compatíveis: nesse ponto, ignorar o resto do mundo se torna justificado pelos sinais experimentais, e podemos finalmente começar o experimento que queríamos lá no início. Voltando às ondas na corda, a atitude pragmática desejada é a seguinte: você conseguiu excitar ondas na corda? Essas ondas apresentam a fenomenologia esperada (no caso, a frequência de excitação é um múltiplo da frequência fundamental)? Então tudo está funcionando até aqui. No entanto, suponha que você tenha feito uma medida simples de forma independente, tal como a densidade da corda, e, como resultado, obtido algo estranho. O que fazer? Esse é o momento de dar um passo para trás, e repensar cuidadosamente sua interpretação do experimento. Nele, você mediu comprimentos de onda e frequências. Pense de novo: o que você mediu realmente? Você garante que viu comprimentos de onda? Você garante que viu a corda vibrar e anotou suas frequências? Ou você mediu algum deles de forma indireta, i.e. assumindo algo? Se você assumiu algo, procure descobrir (experimentalmente!) se essa suposição se justifica. Outros sinais podem ser utilizados para checar consistência. Por exemplo, considere a amplitude de vibração da corda nas proximidades de uma ressonância qualquer. Ela segue a curva aproximadamente lorentziana que você viu no curso teórico? Ou a corda fez algo inesperado aí também? No experimento aqui em questão, você talvez tenha notado que as ondas na corda são excitadas de forma pouco usual: apesar de transversais, a excitação das ondas utiliza um alto-falante vibrando... longitudinalmente (!). Isso poderia indicar que o mecanismo de excitação da corda não é aquele (linear) com que você está acostumado(a). Você conhece outro mecanismo de excitação (dica: considere um balanço)? Como a frequência da excitação se relaciona à frequência de vibração da corda em cada mecanismo? 16