MECÂNICA DOS SOLOS EXERCÍCIOS

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1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ ENGENHARIA CIVIL DEPARTAMENTO DE CONSTRUÇÃO CIVIL MECÂNICA DOS SOLOS EXERCÍCIOS Autores: Prof. Paulo Roberto Chamecki Prof. Noberto Calliari Colaboradores: Prof. Alessander C. M. Kormann Prof. Andréa S. Dyminski Fabrícia Q. B. Amaral Laryssa P. Ligocki Rodrigo Tamarozi Thiago F. Falcão Revisão 1999

2 SUMÁRIO SUMÁRIO...ii SÍMBOLOS UTILIZADOS...iii FORMULÁRIO NECESSÁRIO Á RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS...xii I - PROPRIEDADES ÍNDICES DOS SOLOS...1 II - CLASSIFICAÇÃO DOS SOLOS...8 III - PERMEABILIDADE... IV - DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES DEVIDAS AO PESO PRÓPRIO DO SOLO...3 V - DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES NOS SOLOS DEVIDAS A SOBRECARGAS APLICADAS...43 VI - COMPRESSIBILIDADE...56 VII - RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO...7 VIII - EMPUXOS DE TERRAS E ESTABILIDADE DE MUROS DE ARRIMO...77 IX - ESTABILIDADE DE TALUDES...9 X - CAPACIDADE DE CARGA SUPERFICIAL REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ii

3 SÍMBOLOS UTILIZADOS a maior dimensão da área retangular carregada A(%) grau de aeração AB escala do ábaco de Newmark para cálculo do acréscimo de pressão b largura ou menor dimensão da área retangular carregada b i largura das fatias medidas na horizontal. B largura da sapata B parâmetro de pressão neutra c coesão c coesão efetiva Cc coeficiente de curvatura da distribuição granulométrica c d coesão mobilizada na superfície de ruptura do talude C c índice de compressão C e índice de expansão C u coeficiente da uniformidade da distribuição granulométrica C v coeficiente da adensamento C 1 curva teórica de adensamento d distância entre a resultante das forças na base do muro e seu pé mais próximo iii

4 d c,d q,d γ fatores de profundidade ( capacidade de carga - Brinch Hansen) Mecânica dos Solos - exercícios Df profundidade da base da fundação D 10,D 30,D 60 diâmetros efetivos 10%, 30%, e 60%, respectivamente E empuxo total E A empuxo ativo total E P empuxo passivo total c (m) excentricidade da resultante das forças na base do muro e (adimensional) índice de vazios e máx, e min índice de vazios máximo e mínimo, respectivamente e 0 índice de vazios inicial da camada compressível F coeficiente de segurança F coeficiente de segurança arbitrado F coeficiente de segurança calculado F AT força de atrito F Emin, F Emáx coeficiente de segurança ao escorregamento do muro de arrimo, mínimo e máximo respectivamente F T coeficiente de segurança ao tombamento do muro de arrimo massa específica real dos grãos de solo G.C. grau de compacidade h (m) carga hidráulica, perda de carga, queda de potencial ou desnível de água. h (%) teor de unidade iv

5 h i alturas médias das fatias medidas na vertical e na metade de sua larguras Mecânica dos Solos - exercícios h queda de potencial entre duas linhas equipotenciais adjacentes da rede de fluxo H altura ou espessura da camada de solo H distância vertical entre a crista e o pé do talude (altura) H c espessura inicial da camada compressível no campo H crit altura critica de um talude (método de Culmann) H d espessura ou altura de drenagem da camada compressível H altura inicial do corpo de prova no laboratório H recalque ou adensamento total A He expansão total i (adimensional) gradiente hidráulico i (ângulo) inclinação do talude ou da superfície do terrapleno i c,i q,i γ fatores de inclinação (capacidade de carga Brinch Hansen) i crit gradiente hidráulico crítico I valor da unidade de influência do ábaco de Newmark IC índice de consistência IG índice de grupo (classificação HRB - AASHO) IP índice de plasticidade K(cm/s) coeficiente de permeabilidade v

6 k (adimensional) coeficiente da equação simplificada de Boussinesq para cálculo de acréscimo de pressão K A,K P coeficiente de empuxo ativo e passivo, respectivamente k x,k y coeficiente de permeabilidade nas direções x e y, respectivamente L comprimento da base do muro na seção transversal L comprimento da superfície de ruptura na seção transversal do talude L comprimento da sapata LC limite de contração LL limite de liquidez LP limite de plasticidade LPT linha de pressões de tempos (cálculo de empuxo - Culmann) LT linha de taludes (cálculo de empuxos - Culmann) m coeficiente de estabilidade dos ábacos de Bishop -Morgernstern M R momento resistente M T momento atuante no tombamento do muro de arrimo n coeficiente de estabilidade dos ábacos de Bishop-Morgernstern n porosidade N número de estabilidade (Talude - Taylor) N(tf) somatório das forças verticais N número de unidades de influência do ábaco de Newmark N A nível d água vi

7 N c,n q,n γ fatores de capacidade de carga N d número de quedas de potencial da rede de fluxo N f número de canais de fluxo da rede de fluxo NT nível do terreno O centro de rotação da superfície de ruptura circular O p polo do circular de Mohr P PA,P PP pólos de círculo de Mohr nos estados ativo e passivo; respectivamente p taxa de sobrecarga distribuída sobre uma área p pressão vertical total devida ao peso próprio do solo p pressão vertical efetiva devida ao peso próprio do solo p acréscimo de pressão efetiva devido a sobrecarga aplicadas Pa pressão de pré adensamento P 0 pressão efetiva inicial P carga concentrada aplicada p peso total da amostra P A peso de água na amostra P AR peso de ar na amostra (P ar 0) N componente do peso normal a superfície de ruptura P P peso próprio vii

8 P S peso do sólido na amostra T componente do peso tangencial à superfície de ruptura q vazão ou descarga unitária (por unidade de comprimento) q tensão admissível do solo q d capacidade de carga q máx,q min,q méd tensões máxima, mínima e média, respectivamente, sob a base do muro de arrimo q parcela da descarga unitária que escoa em uma das vias de fluxo da rede Q vazão ou descarga total Q parcela da descarga total que escoa em um dos canais de fluxo da rede r distância horizontal entre a carga e σz r distância entre a carga e σz (métodos Boussinesq e Frohlich) R raio da área circular carregada τ resistência ao cisalhamento S (%) grau de saturação S c,s q,s γ fatores de forma ( capacidade de carga - Brinch Hansen) t tempo de adensamento t c tempo de adensamento da camada compressível no campo t L tempo de adensamento do corpo de prova no laboratório T fator tempo viii

9 µ pressão neutra ou pressão da água nos poros ou vazios U grau de adensamento v velocidade do fluxo de água V volume total da amostra V A volume de água na amostra V AR volume de ar na amostra V S volume de sólidos na amostra V V volume de vazios na amostra z profundidade do ponto considerado no interior do solo z carga altimétrica da equação de Bernouilli z distância vertical entre a carga e o σ Z α ângulo interno formado entre o tardos do muro de arrimo e a horizontal α ângulo formado entre o traço do plano considerado e o traço do plano principal maior α ângulo formado entre as retas que unem σz aos limites da faixa carregada (Carothers) α ângulos da tabela de Fellenius, para localizar o centro de rotação da superfície de ruptura α i ângulos formados entre os pesos das fatias e suas componentes normais, superfície de ruptura (Bishop) S ângulo da tabela de Fellenius, para localizar o centro de rotação da superfície de ruptura β ângulo formado entre a vertical passando por σz e a reta que passa pelo ponto médio da fixa carregada(carothers) γ peso específico aparente ou natural do solo γ peso específico aparente do solo submerso ix

10 γ A peso específico da água γ SECO peso específico aparente do solo seco γ S peso específico real dos grãos do solo γ sat peso específico aparente do solo saturado γ sub peso especifico aparente do solo submerso δ ângulo de atrito entre o solo e o muro de arrimo µ pressão neutra ou pressão da água nos poros φ (m) diâmetro da área circular carregada φ ângulo de atrito interno do solo φ ângulo de atrito interno efetivo do solo φ d atrito mobilizado na superfície de ruptura do talude φ ângulo de espraiamento da pressão, em relação a vertical σ tensão normal σ tensão efetiva σ h, σ v tensões horizontal e vertical, respectivamente σ z acréscimo de pressão vertical, devido a uma sobrecarga aplicada σ z diferença de acréscimo de pressão vertical σ I tensão principal maior σ III tensão principal menor x

11 τ tensão tangencial ou cisalhante u fator de concentração para cálculo de (Frohlich) I-I plano principal maior III-III plano principal menor xi

12 FORMULÁRIO NECESSÁRIO Á RESOLUÇÃO DOS EXERCÍCIOS CAP. I - PROPRIEDADES ÍNDICES: Grau de compacidade GC e e max max e e min Índice de consistência Índice de plasticidade LL h IC IP IP LL LP PA Teor de umidade h(%) x100 P S Peso especifico aparente ou natural do solo γ P V Peso especifico real dos grãos de solo γ g P V S S Peso específico aparente do solo seco P γ S S V Peso específico aparente do solo saturado γ sat P V A A + P S + V S Peso específico aparente do solo submerso γ sub γ γ sat - γ A Massa específica real dos grãos de solo V Índice de vazios e V V S γ g G γ A Porosidade n V V V V B) Grau de saturação S(%) A 100 V V Grau de aeração A (%) S (%) xii

13 CAP. I I - CLASSIFICAÇÕES Índice de grupos (HRB - AASHO) IG (0, x a) + (0,005 x a x c) + (0,01 x b x d) Coeficiente de curvatura C c D 10 D 30 D 60 Coeficiente de uniformidade D C u D CAP. I I I - PERMEABILIDADE N Vazão unitária c k.h. N Gradiente hidráulico num ponto da rede de fluxo f d i h L Queda de potencial entre duas linhas equipotenciais adjacentes da rede de fluxo Gradiente hidráulico crítico i crit γ γ sub A h h N d Carga hidráulica total (da equação de Bernouilli adaptada a percolação através do solo) h µ γ A + z Fator de transformação de escala na direção x, para obter seção transformada no caso de K y escoamento e meio anisótropo X x K X Permeabilidade isótropa equivalente (seção transformada, para escoamento em meio anisótropo) K ' K x K y CAP. I V - DISTRIBUIÇÃO DE PRESSÕES DEVIDAS AO PESO PROJETO DO SOLO Equação das pressões verticais devidas ao peso próprio do solo (Terzsaghi) p p + u xiii

14 xiv Pressão vertical total em solo estratificado com superfície horizontal γ n n i i i ) H ( p CAP. V DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES NOS SOLOS DEVIDAS A SOBRECARGAS APLICADAS Equação de Boussinesq para acréscimo de pressão vertical: 5 3 z R z H p 3 σ sendo r z R + Equação de Boussinesq simplificada, com o valor de K obtido do gráfico em função de r e z. z z p K σ Equação de Newmark para acréscimo de pressão vertical: p N I z σ Acréscimo de pressão vertical sob o centro do carregamento circular, pelo Método Aproximado : ( ) [ ] 0 z tg z R R 3 p φ + σ Acréscimo de pressão vertical sob o centro da faixa carregada, pelo Método Aproximado : ) tg (z b b p 0 z φ + σ Equação de Love, para acréscimo de pressão vertical: + σ 3 / 3 z ) z (R z 1 p Equação de Westergaard para acréscimo de pressão vertical: 3 / z r 1 z H p + σ Equação de Frohlich para acréscimo de pressão vertical: u u Z R H z p u + σ

15 Equação de Carothers para acréscimo de pressão vertical: p σ z H [ α + ( sen α cos β) ] CAP. VI - COMPRESSIBILIDADE Recalque total: H H C 1 + e Fator tempo: C V t T H d p 0 c log 0 p0 + p Relação aproximada U x T para U < 0,6 ( 60% ) H T U 4 Relação aproximada U x T para U > 0,6 (60%) T 0,933 log 1 U 0, [ ( )] 0851 Relação aproximada U x T geral U 6 T 3 T 3 + 0,5 Expansão total: H e H 1 + e 0 C e p log 0 + p p 0 Índice de compressão (sendo (e x p ), (e x p ), pontos da reta virgem no trecho de compressão) e' e' ' C c p' ' log p' Índice de expansão (sendo (e x p ), (e x p ), pontos da reta de expansão/recompressão) e' e" C e p" log p' Relação aproximada entre Cc e LL, para argilas normalmente adensadas xv

16 (Terzaghi e Peck ): Cc 0,009 ( LL - 10%) Comparação entre tempos de adensamento no laboratório e no tempo: t L H t H C L C CAP. V I I - RESISTÊNCIA AO CISALHAMENTO Equação de Coulomb: S c + σ tgφ CAP. V I I I - EMPUXOS DE TERRAS E ESTABILIDADE DE MUROS DE ARRIMO Coeficientes de empuxos: k σ σ n v σ h γ z Empuxo ativo total - teoria de Rankine 1 c H N 1 φ γ o φ E A H sendo N φ tg 45 + N φ N φ Empuxo passivo total - teoria de Rankine. 1 E γ H N φ c H N P [ ] sendo tg o N ( 45 + φ ) Empuxo ativo total - teoria de Colulomb: 1 E A γ H K A φ φ sendo K sen α sen ( α δ) sen 1 + ( α + φ) sen( φ + δ) sen( φ i) sen( α δ) sen( α + i) Empuxo passivo total - teoria de Coulomb: 1 E P γ H K P sendo K sen α sen ( α δ) sen 1 ( α + φ) sen( φ + δ) sen( φ i) sen( α δ) sen( α + i) xvi

17 Pressões sob a base do muro, quando q máx min N L 6 e 1 ± L L e 6 Pressões sob a base do muro, quando N q máx 3d L e > 6 Força de atrito solo - base do muro: F AT N tgδ CAP. I X - ESTABILIDADE DE TALUDES Número de estabilidade de Taylor: N c d γ H Coeficiente de segurança no método de Taylor: tgφ F tgφ c d c d Coeficiente de segurança no método de Fellenius ( tgφ PN ) + ( c L) F P N Coeficiente de segurança no método Bishop simplificado. 1 ( c' b) + [ p ( 1 B) tgφ] F ( ) P sen α M α Valor de Mα ( Método de Bishop ): tgα tgφ' M α 1 + cos α F Parâmetro de pressão neutra: µ B γ H xvii

18 Método de Culmann: 4c H crit cot γ i Coeficiente de segurança no método de Bishop Simplificado com utilização dos ábacos de Bishop e Morgernstern ( B n) F m xviii

19 I - PROPRIEDADES ÍNDICES DOS SOLOS Mecânica dos Solos - exercícios I.1.) Uma amostra de solo tem volume de 60 cm³ e peso de 9,5 gf. Depois de completamente seca seu peso é de 74,3 gf. O peso específico real dos grãos sólidos é,6 gf/cm³. Calcular sua umidade e grau de saturação. RESP.: h 4,5% S 57,5% SOLUÇÃO: DADOS ESQUEMA DA AMOSTRA V 60 cm³ P 9,5 gf P S 74,3 gf γ S,6 gf/cm³ a) Cálculo da umidade: P h A 100 do esquema P A P - P S 9,5-74,3 18, gf P S 18, h 100 4,5% 74,3 b) Cálculo do grau de saturação: V A A 3 S 100 γ A 1,0 gf / cm VV VA P 1,0 tf / m 3 P A 18,. gf V A 18, cm³ 1

20 γ SECO P V S S V S P γ S S 74,3,6 8,36 cm 3 do esquema: V V V - V S 60,00-8,36 31,64 cm³ 18,0 S ,5% 31,64 I..) Uma amostra de argila saturada possui umidade de 70% e peso específico aparente de,0 gf/cm³. Determinar a porosidade, o índice de vazios e o peso específico aparente seco. RESP.: n 0,8 e 4,7 γ SECO 1,18 gf/cm³ SOLUÇÃO: DADOS ESQUEMA DA AMOSTRA h 70% γ,0 gf/cm³ S 100% 1º SOLUÇÃO Consiste em obter-se todos os pesos e volumes em função de um deles: P h P A S P A 0,7 P S P P γ P V A + P S 0,7 P,0 gf / cm 3 S + P S V 1,7 P P,0 S 0,85 P S V A P γ A A PA 1,0 0,7 P S

21 S V V A V % V V V A 0,7 P S V S V V V 0,85 P S 0,70 P S 0,15 P S Cálculo dos índices físicos solicitados; n VV V 0,70 P 0,85 P S S 0,8 e V V V S 0,70 P 0,15 P S S 4,7 γ SECO PS V P S 0,85 P S 1,18 gf / cm 3 º SOLUÇÃO Como todos os índices físicos são relações entre pesos e/ou volumes nos casos em que estes são desconhecidos, pode-se arbitrar um valor qualquer para um dos pesos ou volumes, de modo a facilitar a resolução do problema. Por exemplo, arbitrando-se P A 1,0 gf para o exercício em questão: P h P A S % P S 1, ,43 gf 70 P PA + PS 1,00 + 1,43,43 gf P 1,0 V A 3 3 A 1,0 cm VV 1,0 cm pois S100% γ A 1,0 γ P V,0gf / cm 3 V P γ,43,00 1,1cm 3 3

22 V V V 1,1 1,00 S V 0,1 cm 3 Cálculo dos índices físicos: VV 1,00 n 0,8 V 1,1 e V V S 1,00 0,1 V 4,7 γ SECO PS V 1,43 1,1 1,18 gf / cm 3 3º SOLUÇÃO Pode-se facilmente deduzir expressões que relacionam os índices físicos entre si. (ver, por exemplo: LAMBE e WHITMAN, 1979) S e h γ S 100 e 70 γ S (1) S 100 e + γ S e + γ S γ,0 () 1 + e 1 + e Substituindo (1) em (), vem: 100 e e + 70,0 e 4,7 1 + e e 4,67 n 0,8 1 + e 5,67 γ SECO 100 γ h 100, ,18 gf / cm 3 4

23 I.3.) Um recipiente contendo solo saturado pesou 113,7 gf antes de ser colocado em estufa, e 100,06 gf após 4 horas de secagem. O peso do recipiente é 49,31 gf e a massa específica real é,80 g/cm 3. Determinar o índice de vazios, porosidade, umidade e o peso específico aparente da amostra. RESP.: e 0,73, n 0,4, h 6%, γ,04 gf/cm³. I.4.) Uma amostra de argila apresenta os seguintes parâmetros: LL55%, LP3%, LC0% e h35%. Pergunta-se a sua classificação quanto à consistência e se a amostra está saturada ou não. RESP.: argila rija; amostra saturada. I.5.) Uma amostra de areia foi ensaiada em laboratório, obtendo-se: a) solo no estado natural: volume 700 cm³ e peso 160 gf b) solo seco no estado compacto: volume 644 cm³ e peso 1095 gf c) solo seco no estado fofo: volume 755 cm³ e peso 1095 gf d) peso específico dos grãos sólidos,69 tf/m³. Determinar a umidade natural, o grau de saturação e o grau de compacidade da areia. RESP.: h 15,07%; S 56,3l%; G.C. 0,5 I.6.) A umidade natural de uma amostra de argila da Cidade do México é igual a 36%. O peso específico real dos grãos é,35 gf/cm³. Sendo a argila saturada, qual será o peso específico aparente da amostra, o peso específico aparente seco, o índice de vazios e a porosidade. RESP.: γ 1,16 gf/cm³; γ SECO 0,7 gf/cm³; e 7,65; n 0,88. 5

24 I.7.) Um solo saturado tem peso específico aparente de l,9 gf/cm³ e umidade de 3,5%. Calcular o índice de vazios, a densidade dos grãos e o peso específico aparente seco do solo. RESP.: e 0,89; G,74; γs 1,45 gf/cm³. I.8.) Uma amostra de argila completamente saturada tem volume de 31,5 cm³ e pesa 58,66 gf. A mesma amostra depois de seca tem volume de 3,9 cm³ e peso de 4,81 gf. Calcular sua porosidade inicial e final, o peso específico dos grãos sólidos e o limite de contração da amostra. RESP.: n inicial 0,51; n final 0,36; γs,78 gf/cm³; LC 19,9%. (ORDEMIR I.M ) I.9.) Uma amostra indeformada de argila apresenta as seguintes características: h 55% L.C. 40% G,73. Considerando-se que a amostra é saturada para valores de h 40%, calcular a variação de volume da amostra por unidade de volume, quando a umidade for reduzida até o limite de contração: RESP.: Variação unitária de volume 0,164. I.10.) Uma amostra de solo apresenta teor de umidade de 10%, volume de 170 cm³, peso de 316 gf e G,66. Qual será a variação do seu índice de vazios, se a amostra for submetida a um compressão até atingir 70% do seu volume inicial. RESP.: Variação do índice de vazios 0,47. 6

25 I.11.) Uma lama, contendo 0% em peso de sólidos, é colocada em um reservatório para a deposição dos sólidos. O peso específico da lama é l,l53 gf/cm³. Após sedimentação total, uma amostra indeformada do sedimento é retirada, tendo um volume de 35,4 cm³ e peso de 50,3 gf. Após secagem em estufa, a amostra pesou,5 gf. Determinar o peso específico dos grãos sólidos e o índices de vazios da lama e do sedimento. RESP.: γs,96 gf/cm³; e sedimento 3,66; e lama 11,43. 7

26 II - CLASSIFICAÇÃO DOS SOLOS II.1.) Três amostras de solos coletadas em locais diferentes, foram ensaiadas em laboratório obtendo-se os seguintes resultados: AMOSTRA 1 AMOSTRA AMOSTRA 3 Limite de Liquidez Limite de Plasticidade Granulometria Ver figura Ver figura Ver figura Pede-se classificar as amostras pelos seguintes métodos: a) Associação Brasileira de normas técnicas - ABNT (T.B. - 3) b) Massachusetts Intitute of Technology - MIT c) Trilinear (Public Roads Administration) combinado com ABNT d) Trilinear (Public Roads Administration) combinado com MIT e) HRB - AASHO (Highway Research Board - American Association of State Highway Officials). f) Sistema Unificado de Classificação de Solos. RESP.: 8

27 AMOSTRA 1 AMOSTRA AMOSTRA 3 método a) ABNT b) MIT a) ABNT b) MIT a) ABNT b) MIT argila 11% 10% 58% 0% % % silte 69% 80% 30% 70% 3,5% 4% areia 0% 10% 1% 8% 77% 54% pedregulho 0% 0% 0% % 17,5% 40% c) Trilinear solo siltoso argila areia com ABNT d) trilinear com MIT silte ou solo siltoso silto-argiloso ou siltoso areia e) HRB- A-5 (1) A-7-5 (17) A-1-b (0) AASHO f) UNIFICADO MH ou OH MH ou OH SW; SM 9

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29 DISTRIBUIÇÃO GRANULOMÉTRICA AMOSTRA % Passando ,001 0,01 0, Diâmetro das Partículas (mm) 11

30 DISTRIBUIÇÃO GRANULOMÉTRICA AMOSTRA % Passando ,001 0,01 0, Diâmetro das Partículas (mm) 1

31 DISTRIBUIÇÃO GRANULOMÉTRICA AMOSTRA % Passando ,001 0,01 0, Diâmetro das Partículas (mm) 13

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33 SOLUÇÃO Apenas como exemplo, apresentam-se as classificações para a amostra 1. a) TB - 3 da ABNT Baseando-se nos diâmetro limites das partículas fixados pela ABNT, e na curva granulométrica da amostra apresentada na página 10, obtêm-se as seguintes porcentagens: Argila < 0,005 mm 11% 0,005 mm < Silte < 0,05 mm 80% - 11% 69% 0,05 mm < Areia < 4,8 mm 100% - 80% 0% 4,8 mm < Pedregulho 0% Nome usual: Silte areno - argiloso b) MIT Obedecendo idêntico procedimento, porém com os diâmetros limites das partículas fixados no método do MIT, obtém-se: Argila < 0,00 mm 10% 0,00 mm < Silte < 0,06 mm 80% (90% - 10%) 0,06mm < Areia <,0 mm 10% (100% - 90%),0 mm < Pedregulho 0% Nome usual: Silte argilo - arenoso 15

34 c) TRILINEAR Combinado com ABNT Utilizando o gráfico Trilinear com as porcentagens de argila, silte e areia obtidas no item a, classifica-se o material como solo siltoso. d) TRILINEAR Combinado com MIT Seguindo o mesmo procedimento, porém com as porcentagens de argila, silte e areia obtidas no item b, classifica-se o solo como Silte ou Solo Siltoso, pois o ponto resultante no gráfico trilinear fica exatamente no limite entre estas duas denominações. e) HRB - AASHO Dados que podem ser necessários: - da curva granulométrica (pág. 9), porcentagem passando: na peneira n.º % na peneira n.º 40 99% na peneira n.º 00 95% - limite de liquidez LL 66 - Índice de plasticidade IP LL - LP Cálculo do índice de grupo (IG): IG (0, x a) + (0,005 x a x c) + (0,01 x b x d) a % passando peneira n.º > 40 a 40 pois sua variação é de 0 a 40. b % passando peneira n.º > 40 16

35 b 40 pois sua variação é de 0 a 40 c LL > 0 c 0 pois sua variação é de 0 a 0 d IP < 0 d 0 pois sua variação é de 0 a 0 Substituindo estes coeficientes na equação do IG, vem: IG (0, x 40) + (0,005 x 40 x 0) + (0,01 x 40 x 0) IG 1 Com os dados indicados, e o valor de IG calculado, verifica-se no quadro de classificação HRB - AASHO: 1º Porcentagem passando na peneira n.º > 35% materiais silto argilosos, podendo ser A - 4, A - 5, A - 6 ou A - 7. º Verificação das condições do grupo A - 4 LL 66 > 40, o que elimina o grupo A - 4 3º Verificação das condições do Grupo A - 5 LL 66 > 41 verifica IP 9 < 10 verifica IG 1 1 verifica Como verificam todas as condições do grupo A - 5, a classificação do solo com seu IG é A - 5 (1). 17

36 f) Unificado 1º) Porcentagem passando na peneira n.º > 50% solo de granulação fina. º) LL 66 > 50 solo de alta plasticidade (H), podendo ser CH, MH ou OH. 3º) No gráfico de plasticidade, com LL 66 e IP 9 obtém-se um ponto abaixo da linha A, na área designada por MH ou OH. Portanto, se o solo for inorgânico a classificação será MH e se for orgânico OH. II..) Três diferentes amostras de solos A,B e C apresentam as seguintes características: AMOSTRA A AMOSTRA B AMOSTRA C % Passando na peneira n 00 Limite de Liquidez Índice de Plasticidade Determinar o índice de grupo para cada amostra, de acordo com a classificação HRB-AASHO. RESP.: Amostra A IG 0 Amostra B IG Amostra C IG 11 ( CAPUTO ) II.3.) Utilizando o sistema UNIFICADO, classificar uma amostra de solo com as seguintes características: 18

37 LL 5 LP 13 granulometria conforme quadro abaixo: peneira abertura da malha em mm % passando 3/8 9,40 76 n.º 4 4, n.º 10, n.º 40 0,40 30 n.º 100 0, n.º 00 0, RESP.: SW; SC. II.4.) Duas amostras de solos foram ensaiadas em laboratório, obtendo-se os seguintes resultados. - amostra 1: LL 5; LP 15; P 480 gf; V 310 cm³ γ S,69 gf/cm³; e 1,38 Curva granulométira n.º 1 da página seguinte. - amostra : LL 34; LP 35; e max 3,0; e min 0,81; G,65; γ sub 0,85 tf/m³ Curva granulamétrica n.º da página seguinte. Pede-se: a) classificar os solos das amostras 1 e quanto à sua consistência ou compacidade, dependendo do resultado correspondente à classificação da ABNT (TB - 3). b) Classificar o solo da amostra 1 pelo método HRB - AASHO; c) Classificar o solo da amostra pelo método UNIFICADO. 19

38 RESP.: a) Amostra 1: ABNT 70% de argila Consistência. Índice de consistência IC 0,88 argila rija. Amostra : ABNT 78% de areia Compacidade Grau de compacidade GC 0,95 areia compacta. b) A (13) c) SP; SC. 0

39 DISTRIBUIÇÃO GRANULOMÉTRICA AMOSTRA % Passando ,001 0,01 0, Diâmetro das Partículas (mm) 1

40 III - PERMEABILIDADE III.1.) O fundo de um rio compõe-se de uma camada de areia com 8,5 m de espessura apoiada em rocha impermeável. A espessura da lâmina d água é,50 m. Uma ensecadeira contínua com 5,50 m de largura é construída pela cravação de duas linhas de estacaspranchas até uma profundidade de 6,00 m abaixo do nível do fundo do rio, e uma escavação de,0m abaixo desse mesmo nível é executada no interior da ensecadeira. O nível d água no interior da ensecadeira é mantido no nível da escavação por bombeamento. Se a descarga na ensecadeira é de 0,5m³/hora por unidade de comprimento, qual é o coeficiente de permeabilidade da areia? Qual é o maior gradiente hidráulico imediatamente abaixo da superfície escavada? Se o peso específico saturado da areia é 1,8 tf/m³, verificar se poderá ocorrer ruptura hidráulica por levantamento no interior da ensecadeira. RESP.: K,8 x 10-5 m/s; i 0,45; não ocorrerá ruptura. (Baseado em Porto de Lima ) SOLUÇÃO: DADOS

41 q vazão/unidade de comprimento 0,5m³/hora h perda de carga hidráulica ou desnível de água entre a montante e a jusante 4,50m γ SAT peso específico aparente do solo saturado 1,8 tf/m³ da rede de fluxo Nf n.º de quedas de fluxo 6 Nd n.º de quedas de potencial 11 - Cálculo do coeficiente de permeabilidade do solo: N q K h N f d q N K d h N f 0,5 4, K, m / s - Cálculo do máximo gradiente hidráulico de saída do fluxo: h i L h 4,50 h 0,409 Nd 11 0,409 i 0,45 0,900 L 0,90m (obtido graficamente conforme indicações no esquema) i i máx quando L L min - Verificação da possibilidade de ocorrer ruptura hidráulica por levantamento do fundo da escavação: A condição para que isto ocorra é i > i CRIT i γ' γ γ γ 1,8 1,0 1,0 SAT A CRIT A γ A 0,8 i 0,45 < i 0,8 i < i, logo não ocorrerá ruptura. máx CRIT CRIT III..) Traçar o diagrama de subpressões na base da barragem de concreto, cuja seção transversal está esquematizada a seguir, considerando o nível d água de jusante como plano de referência. 3

42 SEÇÃO TRANSVERSAL E REDE DE FLUXO: Mecânica dos Solos - exercícios RESP.: SOLUÇÃO: (Baseado em PORTO DE LIMA ) DADOS: h 5,0-1,0 4,0 m Da rede de fluxo N f 5 N d 15 4

43 No diagrama de subpressões, estão indicados os valores calculados nos 8 pontos de saída de linhas equipotenciais da rede de fluxo, na base da barragem. Dois exemplos destes cálculos estão indicados a seguir: Ponto 1: Da equação de Bernouilli adaptada ao escoamento através do solo, a carga hidráulica total em 1 é: µ h z1 γ A Considerando as quedas de potencial ao longo da rede de fluxo, no sentido do escoamento: 4,0 h 1 h (n h) 4,0 14 0,7 m 15 A carga altimétrica é a distância medida na vertical, entre o ponto 1 e o plano de referência (considerando-se como carga negativa para os pontos situados abaixo do plano de referência): z 1 - (1,0 + 0,8) - 1,80m Donde: µ γ 1 A h1 z1 0,7 ( 1,80),07 m Como γ A 1,00 tf/m³ µ 1,07 tf/m² Ponto5: Segundo o mesmo raciocínio já apresentado para o ponto 1, tem-se: h µ γ A 5 5

44 sendo 4,0 5 h (n h) 4,0 10 1,33 m e z (1,0 + 1,4),40 m 15 h 5 Donde: µ γ 5 A h z 1,33 (,40) 3,73 m µ 3,73 tf / m III.3.) A seção transversal de uma barragem de terra homogênea e anisótropa está indicada na figura. Os coeficientes de permeabilidade nas direções X e Y são respectivamente 4,5 x 10-8 m/s e 1,6 x 10-8 m/s. Construir a rede de fluxo. RESP.: (Baseado em PORTO DE LIMA ) 6

45 SOLUÇÃO: O fator de transformação de escala na direção X é Ky Kx 1,6 4,5 0,60 A permeabilidade isótropa equivalente é: K' Kx Ky (4,5 10 1,6 10, m / s Para a obtenção da seção transformada todas as dimensões horizontais são multiplicadas por 0,60. III.4.) Traçar a rede de fluxo, e calcular em litros por segundo a quantidade de água que percola por baixo da cortina esquematizada a seguir: N.A. 6,0 m ÁGUA N.T. 0,0 CORTINA DE ESTACAS-PRANCHA COM EXTENSÃO DE 50 m N.T. N.A. 0,0-4,1m SOLO -4 K 10 cm/s - 13,1 m CAMADA IMPERMEÁVEL 7

46 RESP.: Q 1,0 l/s (Baseado em CAPUTO ) III.5.) Para a barragem de concreto esquematizada, construída sobre solo com K x 10-3 cm/s, determinar a quantidade de água que escoa, por metro e por dia, sob a barragem. RESP.: q 118 litros/dia (por metro de barragem) (Inspirado em CAPUTO ) III.6.) A seção transversal de uma barragem de terra anisótropa e homogênea, apoiada sobre material impermeável, está esquematizada a seguir. Traçar a rede de fluxo e calcular a quantidade de água que escoa através da barragem. 8

47 III.7.) Para a barragem de concreto esquematizada abaixo, pede-se: a) Calcular a vazão de percolação, em m³/segundo por metro de barragem; b) Calcular o gradiente hidráulico máximo de saída do fluxo. Dado: coeficiente de permeabilidade isótropo da areia K 10-4 m/s 9

48 SEÇÃO TRANSVERSAL 6,0 m N.A. 5,5 m ÁGUA N.T. 0,0 AREIA -0,5 m N.T. N.A. 0,0-5,0 m ROCHA RESP.: a) q,1 x 10-4 m³/s ( por metro de barragem) b) i 1,15 III.8.) Para a barragem de concreto esquematizada abaixo pede-se: A - indicar na rede de fluxo as linhas equipotenciais e as linhas de fluxo limites; B - determinar o nível d água de montante, para que a vazão de percolação seja 10-3 m³/s por metro de barragem; C - calcular a subpressão na base da barragem, no ponto d indicado, tomando como referência o N.A. de jusante; D - determinar o gradiente hidráulico máximo de saída do fluxo. Obs: no cálculo dos itens C e D, considerar o resultado do item B. Dados: Solo com K 3 cm/minuto 30

49 SEÇÃO TRANSVERSAL E REDE DE FLUXO: Mecânica dos Solos - exercícios RESP.: A) linhas de fluxo limite superior - b c d e limite inferior - g h linhas equipotenciais limite a montante - a b limite a jusante - e f C) N.A. de montante na cota + 6,0 m. D) subpressão em d µ d,5 tf/m² E) i 0,4 31

50 IV - DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES DEVIDAS AO PESO PRÓPRIO DO SOLO IV.1.) Traçar os diagramas das pressões totais, neutras e efetivas para o terreno indicado no perfil abaixo. RESP.: 0,0 m - 1,5 m 55-4,5 m P µ - 8,1 m P (CAPUTO ) 3

51 SOLUÇÃO: - Cálculo das pressões totais (p): P 0,0 0 P -1,5 γ areia úmida x espessura 1,7 x gf/cm² P -4,5 P -1,5 + (γ SAT areia saturada x espessura) 55 + (,1 x 300) 885 gf/cm² P -8,1 P -4,5 + (γ SAT argila x espessura) (,0 x 360) 1605 gf/cm² - Cálculo das pressões neutras: µ 00 0 µ -1,5 0 µ -4,5 γ A x altura de coluna d água 1,0 x 300 gf/cm² 300 gf/cm² µ -8,1 γ A x altura da coluna d água 1,0 x gf/cm² - Cálculo das pressões efetivas: Podem ser calculadas pela equação das pressões p µ + p p p - µ p 00 0 p -1,5 p -1,5 - µ -1, gf/cm² p -4,5 p -4,5 - µ -4, gf/cm² p -8,1 p -8,1 - µ -8, gf/cm² Também podem ser calculadas diretamente, considerando o peso específico submerso (γ SUB ) das camadas de solo abaixo do N.A. p -1,5 - γ areia úmida x espessura 1,7 x gf/cm² 33

52 p -4,5 p -1,5 + (γ SUB areia saturada x espessura) 55 + (1,1 x 300) 535 gf/cm² Mecânica dos Solos - exercícios p -8,1 p -4,5 + (γ SUB argila x espessura) (1,0 x 360) 945 gf/cm² - Diagrama: A representação gráfica da distribuição de pressões está apresentada na resposta do exercício. IV..) Construir os diagramas das pressões verticais (totais, neutras e efetivas) para o subsolo do lago indicado na figura, onde ocorre um fluxo de água linear ascendente e constante, com gradiente hidráulico i 0,5 na camada de areia. Qual seria o diagrama das pressões verticais efetivas se o fluxo de água fosse linear descendente com i 0,5? Para o fluxo ascendente, qual seria o valor do gradiente hidráulico para que ocorresse o fenômeno de quick sand na camada de areia? PERFIL DO LAGO: N.A. 0,0 m - 6,0 m ÁGUA - 10,0 m AREIA ROCHA γ S A T,9 gf / cm 3 34

53 RESP.: a) Fluxo ascendente: 0,0 m - 6,0 m 6,00 6,00-10,0 m 14,76 1,00 p µ,76 p b) Fluxo descendente: c) i icrit 1,19 35

54 SOLUÇÃO 10m. As pressões na conta 0,0 são nulas. É suficiente calcular as pressões nas cotas -6 e - a) Fluxo ascendente: - pressões totais: p -6 γ A x espessura 1,0 x 6,0 6,00 tf/m² p -10 p -6 + (γ SAT areia x espessura) 6,0 + (,19 x 4,00) 14,76 tf/m² - pressões neutras: µ -6 γ A x altura coluna d água 1,0 x 6,0 6,00 tf/m² µ -10 γ A x altura da coluna d água + γ A x h 1,0 (6,0 + 4,0) + 1,0 (,0) 1,00 tf/m² O valor da carga hidráulica h utilizada na expressão anterior foi calculada da seguinte forma: h i h i L 0,5 4,0,0 m L - pressões efetivas: p -6 p -6 - µ -6 6,00-6,00 0 p -10 p -10 µ ,76-1,00,76 tf/m² b) Fluxo descendente: p -6 0 p -10 (γ SUB areia x espessura) + (γ A x h) (1,19 x 4,00) + (1,00 x,00) 6,76 tf/m² 36

55 c) Quick Sand (areia movediça): condição i i CRIT i γ,19 1,00 1,00 SUB CRIT γ A 1,19 IV.3.) Para o sistema hidráulico indicado, traçar os diagramas de pressões totais neutras e efetivas para o reservatório R. Qual deverá ser a posição do nível d água do reservatório R1 para que ocorra o fenômeno de areia movediça? RESP.: a) 0,0 m - 4,5 m 4,5 tf / m p µ - 11,0 m 13,8 tf / m p 5,0 tf / m b) N.A. do R1 + 7,80m para ocorrer o fenômeno de areia movediça 37

56 IV.4.) Com os dados do sistema hidráulico abaixo, determinar os diagramas de pressões totais, neutras e efetivas para o reservatório. Qual a cota que deveria atingir uma escavação na camada de areia para ocorrer o fenômeno de areia movediça, considerando inalterados os níveis d água dos reservatórios durante a escavação. 0,0 m - 3,0 m ÁGUA - 5,0 m ÁGUA R1 γs A T AREIA 3,0 tf / m - 1,0 m R RESP.: a) - 3,0 m - 5,0 m - 1,0 m 16 tf/m 1 tf/m 4 tf/m p µ p b) Areia movediça quando a escavação atingir a conta-9,0m. 38

57 IV.5.) Para o sistema hidráulico indicado a seguir, traçar os diagramas de pressões verticais totais, neutras e efetivas para o reservatório R. Considerar que ocorre nesse reservatório o fenômeno de areia movediça. NA 4,6 m ÁGUA R1 NA 0,0 m -,0 m ÁGUA AREIA - 7,0 m R RESP.: NA 0,0 m 0 -,0 m,0 tf / m 0-7,0 m 11,6 tf / m p µ p 0 39

58 IV.6.) Para o sistema hidráulico indicado, construir os diagramas de pressões totais, neutras e efetivas das camadas de solo do reservatório. Sabe-se que a perda de carga hidráulica por metro na areia fina é cinco vez maior que na areia média. NA 3,0 m NA 0,0 m ÁGUA - 3,0 m AREIA FINA γs A T 3,0 tf / m R1 AREIA MÉDIA γs A T 3 1,8 tf / m - 8,0 m R RESP.: NA 0,0 m - 3,0 m 6,00 5,5 0,75-8,0 m 15,00 tf / m 11,00 tf / m 4,00 tf / m p µ p IV.7.) Com os dados do sistema hidráulico a seguir, traçar os diagramas de pressões verticais totais, neutras e efetivas para o reservatório. Sabe-se que a perda de carga hidráulica por metro na areia 1 é duas vezes maior do que na areia. Dados: areia 1: γ SAT,0 tf/m³ areia : γ SAT 1,9 tf/m³ 40

59 NA 0,0 m NA - 5,0 m - 4,0 m AREIA 1-7,0 m AREIA ÁGUA AREIA 1 R1-13,0 m R RESP.: pressões em tf/m² NA 0,0 m - 4,0 m - 7,0 m 8,00,6 5,74 13,70 4,61 9,09-13,0 m 5,70 8,00 17,70 p µ p IV.8.) Para o esquema abaixo, traçar os diagramas de pressões totais, neutras e efetivas para o reservatório, e o diagrama de pressões efetivas para o reservatório 1. A perda de carga por metro na areia média é igual a 1/3 da perda de carga por metro na areia fina. 41

60 RESP.: - 8,0 m R - 13,0 m 0,0m 9,10 tf / m p 7,85 tf / m µ 1,5 tf / m p -,0 m R1-5,0 m 8,75 tf / m p 4

61 V - DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES NOS SOLOS DEVIDAS A SOBRECARGAS APLICADAS V.1.) Avaliar os acréscimos de pressões verticais sobre planos horizontais a 3, 6 e 10 m de profundidade, com afastamentos laterais de 0,1 e 3 m, causados por uma sobrecarga de 1500 tf aplicada na superfície do terreno e considerada como carga concentrada. Utilizar a solução de Boussinesq. RESP.: Acréscimos de pressão (em kgf/cm²) r (afastamento lateral) z (profundidade) 0 m 1 m 3 m 3 m 8,0 6, 1,4 6 m,0 1,9 1,1 10 m 0,7 0,7 0,6 (Baseado em CAPUTO ) SOLUÇÃO: A equação de Boussinesq para acréscimo de pressão vertical é: σ Z 3P Z π R 3 5 onde R Z + r Exemplo de cálculo para r 0 e z 3m: R (3) + (0) 3,0 m σ Z (3) π (3) ,0 tf / m 8,0 kgf / cm Para permitir uma avaliação da distribuição de pressões a cada profundidade, os cálculos foram repetidos para afastamento lateral de 0 m (sob o ponto de aplicação da carga), 1 m e 43

62 3 m. Os resultados estão apresentados no quadro de respostas. A representação gráfica destes resultados dá uma idéia da distribuição de pressões nos solos: Z 0 m σz P f (r) σz f (z) P Exemplo para r 0 Z 3 m m 1 m1 m m 8,0 Z 6 m,0 Z 10 m 0,7 σ Z O valor de σ Z também pode ser obtido pela expressão de Boussinesq simplificada P K, sendo o valor de K obtido do gráfico adequado, em função de r e z. Por Z exemplo, para r 3 e z 3: r 1,0 r. Do gráfico, para 1, 0 obtém-se K 0,085 Z Z 1500 σ Z 0, tf / m 1,4 kgf. cm (3) (Ver o gráfico, por exemplo, em LAMBE e WHITMAN, 1979) V..) Uma carga de 405 tf é aplicada sobre uma fundação superficial quadrada de 4,50m de lado. Utilizando a solução de Steinbrenner, determinar: a) O acréscimo de pressão vertical a 10 m de profundidade, sob o centro da fundação (ponto C na figura); b) O acréscimo de pressão vertical a 3 m de profundidade, e a 4 m do seu centro sobre o eixo de simetria (ponto M na figura). 44

63 PLANTA DO CARREGAMENTO: RESP.: a) para z 10 m sob o ponto C, σ Z,6 tf/m² b) para z 3 m sob o ponto M, σ Z,0 tf/m² (Baseado em CAPUTO ) SOLUÇÃO: Considerando-se carga uniformemente distribuída, a pressão aplicada é 405 p 4,5 4,5 0 tf / m a) Cálculo para o ponto C: PLANTA Dividindo-se a área carregada em 4 áreas iguais, todas tem o ponto C como vértice. Portanto, pode-se aplicar o método para uma das áreas, e multiplicar o resultado por quatro, de modo a ter o acréscimo devido ao carregamento todo. 45

64 a,5 m a/b 1,0 b,5 m z/b 4,4 a 10,0 m Entrando com estes valores no gráfico de Steinbrenner, obtém-se: σ Z p 0,03 σ Z C p 0, ,03 4 σ Z C,6 tf / m (Ver o gráfico, por exemplo, em LAMBE e WHITMAN, 1979) b) Cálculo para o ponto M: PLANTA Como o ponto M está sobre o eixo de simetria, pode-se calcular a pressão devida a metade da área carregada (área ABDE) e multiplicar o resultado por dois. É necessário considerar áreas que tenham o ponto M como vértice. Portanto, deve-se calcular a pressão para a área AFDM, subtraindo posteriormente a pressão devida a área BFEM por não estar carregada. Área AFDM a a 4,50 + 1,75 6,5 m, 8 b b,5 m z z 3,00 m 1, 3 b 46

65 Com estes valores no gráfico de Steinbrenner, obtém-se: σ Z p 0,18 Área BFEM a a,5 m 1, 3 b b 1,75 m z z 3,00 m 1, 7 b σ Do gráfico, Z 0, 13 p Portanto, para a área realmente carregada ABDE: σ Z p 0,18 0,13 0,05 E para toda a área carregada: σ Z p M 0,05 σ Z M 0,05 p 0,05 0 σ Z,0 tf / m V.3.) Uma placa circular de 4,00 m de raio, apoiada sobre a superfície do terreno, está uniformemente carregada com,5 kgf/cm². Determinar a máxima diferença de acréscimo de pressão vertical sob o carregamento e a 5,00 m de profundidade, comparando os resultados obtidos pelo método gráfico de Newmark, e pelo método aproximado adotando-se ângulo de espraiamento φ o 45º. Calcular também o acréscimo de pressão a mesma profundidade, de acordo com a solução de Love. RESP.: a) solução de Newmark: σ Z 0,57 kgf/cm² b) Método aproximado: σ Z 0,66 kgf/cm² c) Solução de Love: sob o centro σ Z 1,31 kgf/cm² 47

66 B C φ 8 m N.T. p,5 kgf / cm 5,0 tf / m Z 5 m σz B σz C PLANTA DO CARREGAMENTO: σ Z MÁX sob o centro (σ ZC ) σ Z MÍN sob a borda (σ ZB ) máximo σ Z σ ZC - σ ZB A máxima diferença de acréscimo de pressão, significa calcular a diferença entre o maior e menor acréscimo de pressão sob o carregamento. Portando o problema consiste em obter-se os acréscimos de pressão sob o centro e o bordo do carregamento, e sua diferença. a) Solução de Newmark O gráfico utilizado para a resolução a seguir tem as seguintes características: escala AB,5 cm valor da unidade de influência 0,005 48

67 (Ver, por exemplo, em LAMBE e WHITMAN, 1979). Escala AB,5 cm corresponderá à profundidade z 5,0m. Portanto, o diâmetro da placa φ 8,0m será representado por x, sendo: 8,0,5 x 4,0 cm 5,0 Desenha-se em papel transparente a planta do carregamento com diâmetro de 4,0 cm. Coloca-se a folha transparente sobre o ábaco de Newmark, fazendo-se coincidir o ponto sob o qual será calculado o acréscimo de pressão, com o centro do ábaco, contando-se então a quantidade de unidades de influência sob o carregamento. Para o problema em questão: - com o ponto C no centro do ábaco, número de unidades de influência N C 104; - com o ponto B no centro do ábaco, número de unidades de influência N B 58. Os acréscimos de pressão são calculados por: σ Z I x N x p, sendo I o valor de cada unidade de influência. σ ZC 0,005 x 104 x 5 13,0 tf/m² σ ZB 0,005 x 58 x 5 7,3 tf/m² máxima diferença σ Z 13,0-7,3 5,7 tf/m² 0,57 kgf/cm² b) Método aproximado: 49

68 SEÇÃO: Para carregamento circular: σ ZC 3 R 3 (4) p 5 σ 14,8 [ ] o [ R + ( z tgφ o )] 4 + ( 5 tg45 ) ZC tf / m Conhecido o valor de σ zc, σ z B pode ser obtido por semelhança de triângulos: σ σ ZB ZC z tgφ o R + (z tgφ o ) σ ZB o 5 tg45 14,8 4 + (5 tg45 o ) σ ZB 8, tf / m máximo σ Z 14,80-8, 6,58 tf/m² 0,66 kgf/cm² c) Solução de Love Este método permite calcular acréscimos de pressão somente na vertical que passa pelo centro da placa. σ ZC 3 3 z (5) p 1 3 / ZC ( ) 3 / 5 1 σ 13,1 tf R z + [(4) + (5) ] / m V.4.) Obter o acréscimo de pressão vertical no ponto A indicado no esquema, devido a sobrecarga P, utilizando: a) a solução de Boussinesq: b) a solução de Westergaard. 50

69 c) a solução de Frohlich SEÇÃO: P 1500 tf AREIA 3 m 3 m A RESP.: a) σ Z 14,11 tf/m² b) σ Z 10,1 tf/m² c) σ Z 13,7 tf/m² V.5.) Uma área de 10x10 m sobre a superfície do terreno é carregada por uma pressão uniforme igual a 1 kgf/cm². A que profundidade sob o centro da superfície carregada, o acréscimo de pressão será de 0,1 kgf/cm²? Utilize a fórmula de Boussinesq. RESP.: z 1 m ( CAPUTO ) V.6.) Quatro pilares com fundações superficiais e com as cargas indicadas na figura a seguir, são locados nos vértices de um retângulo de 3 m x 4 m. Calcular pela fórmula de Boussinesq o acréscimo de pressão devido a este carregamento, no ponto a 7,5 m abaixo do centro da estrutura. 51

70 PLANTA: RESP.: σ Z 0,7 tf/m² (CAPUTO ) V.7.) Uma sapata corrida com,0 m de largura e grande comprimento é carregada uniformemente com uma pressão de,5 kgf/cm². Determinar o acréscimo de pressão vertical correspondente, em um ponto a 3,0 m de profundidade e sob o centro da fundação, adotando a solução devida a Carothers. RESP.: σ Z 1,0 kgf/cm² (Baseado em CAPUTO ) V.8.) Uma torre tem fundação superficial em sapatas quadradas, cujos centros formam um triângulo equilátero de 4,0 m de lado. O peso total da torre, incluindo as fundações, é de 5 tf. Sabendo-se que a pressão admissível no solo de fundação é de,9 kgf/cm², calcular os acréscimos de pressão devido à torre, no centro de uma das sapatas e no centro da fundação, ambos a uma profundidade de,5 m. Utilizar o método gráfico de Newmark. RESP.: a) sob o centro de uma sapata σ Z 0,5 kgf/cm² b) sob o centro da fundação σ Z 0,35 kgf/cm² 5

71 V.9.) Uma placa circular com 3,0 m de raio está apoiada na superfície do terreno e carregada com taxa p. O acréscimo de pressão correspondente sob o ponto M indicado no esquema abaixo, a 3,3 m de profundidade, é de 0,4 kgf/cm². Utilizando o método gráfico de Newmark, determinar: a) o valor de p b) o acréscimo de pressão vertical sob o centro da placa, a 3,3 m de profundidade, levando em consideração a resposta do item anterior PLANTA: RESP.: a) p 3,5 kgf/cm² b) σ Z,1 kgf/cm² V.10.) Qual será o acréscimo de pressão no ponto A indicado na figura, com a aplicação das sobrecargas esquematizadas, segundo o método de Steinbrenner? Na área I está aplicada uma carga uniformemente distribuída de,0 Kgf/cm², e na área II, de,5 Kgf/cm². Estes valores referem-se apenas às cargas aplicadas, devendo-se levar ainda em consideração o alivio devido às escavações previstas. 53

72 PLANTA: SEÇÃO: RESP.: σ ZA 4,5 tf/m² V.11.) Utilizando o método de Newmark, calcular o acréscimo de pressão no ponto A indicado, devido às sobrecargas transmitidas pelas sapatas. DADOS: Valores das sobrecargas, já descontadas as escavações: sapatas 1 sapatas p 1 1,5 kgf/cm² p 1,1 kgf/cm² 54

73 PLANTA: PERFIL: RESP.: σ ZA 0,4 kgf/cm² 55

74 VI - COMPRESSIBILIDADE VI.1.) Um aterro com peso específico γ 1,7 tf/m³, de 3,0 m de altura foi recentemente colocado sobre uma extensa área. Calcular o recalque total do aterro, para os dados indicados no perfil abaixo. PERFIL RESP.: H 1,6 cm SOLUÇÃO: 1º) Cálculo de po na cota - 15,0 (plano médio da camada compressível): po (γ areia x H areia úmida ) + (γ sub areia x H areia saturada ) + (γ sub argila x H argila /) (1,60 x 4,00) + (1,0 x 8,0) + (0,78 x 3,0) po 16,74 tf/m² 56

75 º) Cálculo de p na cota - 15,0: p (γ aterro x H aterro ) 1,70 x 3,00 5,10 tf/m² 3º) Cálculo do recalque total: H H 1 + e O C po + p log po H 0,16 m 1,6 cm C 6,00 16,74 + 5,10 0,4 log 1 + 1,19 16,74 VI..) Qual será o tempo necessário para que ocorra um recalque por adensamento de 33 cm, causado pelo aterro construído recentemente numa extensa área, esquematizado no perfil abaixo. Dados da camada de argila: C C 0,6; C V 10-4 cm²/seg; e O 1,. PERFIL: RESP.: t 9,07 x 10 8 segundos SOLUÇÃO 1º) Cálculo de po na cota - 9,0 (plano médio da camada compressível): 57

76 po (γ areia x H areia ) + (γ sub argila x H argila /) (1,70 x 5,00) + (0,90 x 8,00/) po 1,10 tf/m² º) Cálculo de p na cota - 9,0: p (γ aterro x H aterro ) 1,65 x 4,00 6,60 tf/m² 3º) Cálculo do recalque total: H H 1 + e O C po + p log po H 0,415 m 41,5 cm C 800 1,10 + 6,60 0,6 log 1 + 1, 1,10 4º) Determinação do grau de adensamento: Se 41,5 cm corresponde ao recalque total (100% de adensamento), então para 33 cm teremos: 41,5cm 100%. 33, ,00cm x x 80% 41,5 logo o grau de adensamento U 0,8 ( 80% ) 5º) Fator tempo: Sabe-se que para U > 60% T [ - 0,933 x log (1-u)] - 0,0851 T [ - 0,933 x log (1-0,8) ] - 0,0851 0,567 6º) Cálculo do tempo de adensamento: H arg ila H d devido à dupla drenagem ,567 C v t T (H d ) T t 4 (H ) C 10 d t 9, s 8,8 anos v 58

77 VI.3.) Calcular o recalque sob o ponto de aplicação da sobrecarga considerada como concentrada, devido ao adensamento da camada de argila, para um tempo de adensamento de 6 x 10 6 segundos. Dados da camada de argila: C C 0,50; C V 3 x 10-4 cm²/s ; e o 1, Obs.: para a distribuição de pressão devido à sobrecarga considerar a solução de Boussinesq. PERFIL: RESP.: Recalque,6 cm. SOLUÇÃO: 1º) Cálculo de po na cota - 7,0: po (γ areia média x H areia média ) + (γ sub argila x H argila /) (1,80 x 5,00) + (0,90 x,00) 10,80 tf/m² 59

78 º) Cálculo de p na cota - 7,0 (Boussinesq). 3 P (z) (7) p σz π 5 5 (R) π (7) 3 3 3,41 tf / m 3º) Cálculo do recalque total: H H 1 + e O C C H 0,1083 m 10,83 cm po + p ,80 + 3,41 log 0,50 log po 1 + 1, 10,80 4º) Cálculo do fator tempo: C v t (H ) 4 6 ( 3 10 ) ( 6 10 ) T d 400 0,045 5º) Cálculo do grau de adensamento: Utilizando-se a expressão geral que fornece valores aproximados 3 (T) U (T) + 0,5 (0,045) (0,045) ,5 0,4 ( 4%) 6º) Cálculo do recalque correspondente: Se 100% de recalque correspondente a 10,83 cm, a 4% deste recalque total corresponde: 4 x 10,83,60 cm 100 VI.4.) Qual será o recalque total devido ao adensamento da camada de argila indicada no perfil a seguir, caso seja provocado um rebaixamento do lençol d água de 3,00 m. Dados da camada de argila: C V 6 x 10-4 cm /s; e O 1,19; LL 54% 60

79 Obs: o valor aproximado do C C da argila poderá ser obtido pela relação entre C C e LL (ver TERZAGHI e PECK ). PERFIL: RESP.: H 4,8 cm. VI.5.) Determinar o máximo recalque diferencial do tanque de óleo de base circular indicado no croquis abaixo, devido ao adensamento da camada de argila. Utilizar o método gráfico de Newmark para o cálculo do acréscimo de pressão. Dados da camada de argila: C C 0,39; G,70; γ sat,10 tf/m 3 61

80 PERFIL: RESP.: Recalque diferencial máximo,50 cm. VI.6.) Calcular o recalque diferencial máximo sob a fundação indicada no esquema a seguir, devido ao adensamento da camada de argila. Determinar o acréscimo de pressão devido a sobrecarga pelo método de Steinbrenner. Considerar na taxa de carga p indicada o efeito da escavação prevista. DADOS DA CAMADA DE ARGILA: e O 0,6; C C 0,3; γ sat,0 tf/m 3 6

81 PLANTA E PERFIL: RESP.: Recalque diferencial máximo 0,95 cm. VI.7.) Na fundação direta em sapatas circulares, esquematizada abaixo, determinar: 1º) o recalque diferencial total entre os centros das sapatas; º) o tempo necessário para que ocorra um recalque de 4,43 cm no centro da sapata A. As taxas de cargas transmitidas pelas sapatas A e B são de 1,8 kgf/cm² e 1,5 kgf/cm², respectivamente, devendo-se ainda levar em conta o efeito das escavações previstas. Os acréscimos de pressão devidos a sobrecargas, deverão ser calculados pelo método de Newmark. 63

82 PERFIL: RESP.: 1º) Recalque diferencial total 3,34 cm. º) t,8 x 10 8 segundos VI.8.) Para o perfil esquematizado abaixo calcular: a) o máximo recalque que ocorrerá no centro do radier de 5,0 m x 5,0 m construído recentemente; b) os tempos necessários para que ocorra 40% de adensamento em cada camada compressível. Carga total da obra incluindo o peso do radier 1000 tf. A argila das duas camadas têm as mesmas características: G,7 e C V x 10-4 cm /s. Estes dados referem-se aos planos médios das camadas de argila. 64

83 Obs.: utilizar o método de Newmark para cálculos de acréscimo de pressão devido a sobrecarga. PERFIL: RESP.: a) H 74,39 cm b) camada superior t 1,4 x 10 7 s. camada inferior t 1,01 x 10 8 s. VI.9.) Pelo processo gráfico de Terzaghi - Gilboy, com um tempo de construção de 60 dias, determinar: a) o recalque 0 dias após o início da construção; b) o recalque no término do carregamento; c) o recalque 10 dias após o início da construção; d) o tempo necessário para ocorrer um recalque de 10 cm. 65

84 CURVA TEÓRICA C1: RESP.: a),5 cm b) 1,5 cm c) 17,0 cm d) 50 dias. VI.10.) Os gráficos apresentados a seguir, representam os resultados de um ensaio de adensamento com dupla drenagem, realizado com um amostra indeformada de argila. Determinar graficamente (Casagrande e Pacheco-Silva) sabendo que e 0 0,710: a) o seu índice de compressão; b) a sua pressão de pré-adensamento; c) o estado da amostra, sabendo-se que a pressão efetiva sobre ela no solo era de 30 tf/m²; d) O coeficiente de adensamento da amostra. 66