OTIMIZAÇÃO LINEAR DE LINHAS LATERAIS DE SISTEMA DE IRRIGAÇÃO LOCALIZADA COM DOIS DIÂMETROS F. F. N. MARCUSSI 1, E. WENDLAND 2

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1 OTIMIZAÇÃO INEAR DE INHAS ATERAIS DE SISTEMA DE IRRIGAÇÃO OCAIZADA COM DOIS DIÂMETROS F. F. N. MARCUSSI 1, E. WENDAND RESUMO: No dimensionamento de linas laterais com grande comprimento, a tomada de decisão de projetistas rente a dierentes possibilidades de combinação de diâmetros e comprimentos de tubulação, quando se pretende utilizar mais de um diâmetro, é complicada. Normalmente o projetista lança mão de inúmeras tentativas de comprimento dos trecos de tubulação, segundo a perda de carga máxima a ser admitida e os diâmetros pré-estabelecidos. neste trabalo oi desenvolvida uma planila de dimensionamento e otimização matemática linear de linas laterais de sistema de irrigação localizada com dois diâmetros. Como unção objetivo a ser maximizada, optou-se pela perda de carga em toda a lina lateral considerando como restrições os diâmetros disponíveis e a máxima perda de carga admissível na lina lateral. Os comprimentos de cada diâmetro são as variáveis de decisão, ou seja, como resultado obtém-se o maior comprimento possível com o menor diâmetro. PAAVRAS-CHAVE: programação linear, idráulica, irrigação localizada. INEAR OPTIMIZATION OF DRIP IRRIGATION PIPES WITH TWO DIAMETERS SUMMARY: Te sizing o lateral lines wit great lengt, taking o designer s decision in ront dierent possibilities in combination o diameters and lengts o pipe, wen it intends to use more tan one diameter, is complicated. Normally te designer does an innumerable attempt o lengt o te stretces o pipe, according to riction losses o maximum pressure to be admitted and te diameters establised beore. It was developed a spread seet o sizing and linear matematical optimization o lateral pipes o drip irrigation system wit two diameters. As objective unction to be maximized, opted to te loss o pressure in all lateral pipe and were considering as restrictions te available diameters and te maximum pressure 1 Engº Agrônomo, Doutorando em Hidráulica e Saneamento, Escola de Engenaria de São Carlos, USP, Av. Trabalador Sãocarlense, São Carlos/SP, , marcussi@sc.usp.br. Engº Civil, Proessor Doutor, Depto. de Hidráulica e Saneamento, Escola de Engenaria de São Carlos, USP, Av. Trabalador Sãocarlense, São Carlos/SP, , ew@sc.usp.br.

2 loss permissible in te lateral pipe and ad considered te lengts o eac diameter as te variables. As resulted got te biggest possible lengt wit te lesser diameter. KEYWORDS: ydraulic, pipe design, irrigation. INTRODUÇÃO Das limitações à expansão de sistemas de irrigação localizada, o elevado custo de implantação, devido ao alto custo de tubulações, é um ator que se destaca, já que as tubulações são ixas e o sistema de irrigação localizada se estende por toda área a ser irrigada. Contudo, a escola de diâmetros menores por parte do projetista resulta em uma maior perda de carga por atrito na tubulação, e, consequentemente, em um maior consumo de energia elétrica para o bombeamento, o que encarece o custo variável após o sistema implantado. De acordo com Gomes (1999), para diminuir o custo das instalações e acilitar o manejo das tubulações, o diâmetro ou diâmetros comerciais a adotar para lina lateral devem ser os menores possíveis, cujas perdas de carga decorrentes não ultrapassem 0% (dierença máxima de pressão entre as extremidades da lina lateral). Saad et al. (1994) citam que o ato de uma tubulação ser ixa possibilita o uso de combinações envolvendo diâmetros distintos e dierentes comprimentos. Nos diversos trecos da rede idráulica de sistemas de irrigação localizada, para ajustar a perda de carga real ao longo da lina lateral à perda admitida, deve-se adotar uma tubulação composta de dois diâmetros comerciais consecutivos. Como resultado, a lina lateral dimensionada terá um custo menor do que aquela dimensionada com um único diâmetro (Gomes, 1999). Segundo isboa (00), a ormulação do problema a ser otimizado segue alguns passos básicos: 1. deve ser deinido o objetivo básico do problema, ou seja, a otimização a ser alcançada (unção objetivo);. para que esta unção objetivo seja matematicamente especiicada, devem ser deinidas as variáveis de decisão envolvidas; 3. essas variáveis normalmente estão sujeitas a uma série de restrições, normalmente representadas por inequações. O objetivo deste trabalo oi o de desenvolver uma planila de dimensionamento e otimização linear de linas laterais de sistema de irrigação localizada com dois diâmetros, considerando como unção objetivo a perda de carga em seu comprimento total.

3 MATERIA E MÉTODOS A carga idráulica na entrada da lina lateral é calculada por (Keller & Bliesner, 000): H em que: k 0,5El (1) l l H = carga idráulica na entrada da lina lateral (mca); operação exigida pelo emissor (mca); = carga idráulica de k l = 0,75 para linas laterais com diâmetro único, 0,63 para linas com dois diâmetros e 0,5 para linas com 3 ou mais diâmetros (Keller& Karmeli, 1974); = perda de carga por atrito na lina lateral (mca); l El = dierença de nível (m) entre o início e o inal da lina lateral, sendo positivo para laterais em aclive e negativo para laterais em declive. em que: A perda de carga por atrito é calculada pela equação: J JF () - perda de carga total na tubulação (mca); J - perda de carga localizada (%); J - perda de carga unitária (m m -1 ); - comprimento da tubulação (m); F - ator de redução (adimensional). Para executar uma análise comparativa dos valores obtidos, utilizaram-se dierentes equações de perda de carga por atrito para dimensionamento de tubulações. As equações de perda de carga utilizadas neste trabalo são descritas a seguir (Hazen-Williams (3), Manning (4), Scobey (5), Swamee-Jain (6), Flamant (7) e Darcy-Weisbac (8)): V J 6,81 1,17 D C (3) n V J 6,36 (4) 1, 33 D Ks 1 1,9 J V (5) 1,1 387 D J V 0,03 A 5 gd 5,74 log 0,9 3,7D Re (6) 1,75 V 6,107b A J (7) 4,76 D

4 V J (8) D g em que J = perda de carga idráulica unitária (m m -1 ); D = diâmetro interno da tubulação (m); V = velocidade de escoamento (m s -1 ); C = coeiciente de atrito da órmula de Hazen- Williams (adimensional); n = coeiciente de atrito da órmula de Manning (adimensional); Ks = coeiciente de atrito da órmula de Scobey (adimensional); b = coeiciente de atrito da órmula de Flamant (adimensional); Re = número de Reynolds (adimensional); = rugosidade absoluta (mm); A = área da seção transversal da tubulação (m ); g = aceleração da gravidade (m/s ); = coeiciente de atrito do diagrama de Moody (adimensional). A unção objetivo a ser maximizada oi à perda de carga total na tubulação (Gomes, 1999), considerando dois trecos de diâmetros dierentes: em que: 1 D,, N D,, N D,, N (9) perda de carga total na tubulação considerando os dois trecos (mca); D,, N - perda de carga considerando o primeiro diâmetro, comprimento total e o número total de emissores (mca); D,, N 1 - perda de carga considerando o primeiro diâmetro, o comprimento e o número de emissores do segundo treco (mca); D,, N - perda de carga considerando o diâmetro, comprimento e número de emissores do segundo treco (mca). As restrições estabelecidas para o modelo de otimização oram: 1>0; >0; 1+= Total ; 0,5 1. As variáveis do modelo de otimização linear oram os comprimentos, com dierentes diâmetros, dos dois trecos da tubulação. Para a análise comparativa e validação desse método de otimização linear, para linas laterais de sistema de irrigação localizada, utilizou-se as inormações (dados de entrada) de um gotejador comercial (TIRAN 0,6 mm abricante NETAFIM) não autocompensante. Os dados de comprimento máximo da tubulação, segundo o espaçamento dos gotejadores e a vazão, são descritos na Tabela 1. Suas características são as seguintes: luxo de água turbulento, espessura da parede de 1,0 e 1,5 mm, diâmetro interno de 13,70 e 17,50 mm, diâmetro externo de 16,1 e 19,9 mm, vazão de 1,8 l -1, carga máxima de trabalo de 5 mca, carga mínima recomendada de 10 mca e comprimento da bobina de 800 metros.

5 Tabela 1. Comprimento máximo da tubulação em metros, para o gotejador TIRAN 0,6 mm com carga de 10 mca no inal da lina e dierencial de vazão de 10% com declive de 0% de acordo com o espaçamento entre os gotejadores. metros Espaçamento entre gotejadores 0,30 0,40 0,50 0,60 0,70 0,80 1,00 Comprimento máximo RESUTADOS E DISCUSSÃO Na Tabela veriica-se o comprimento, vazão e a velocidade, para os dois trecos da lina lateral, otimizada pela perda de carga máxima admitida (restrição do modelo, 1mca em todo o comprimento), segundo a equação de perda de carga utilizada no dimensionamento. As variações que ocorreram nos comprimentos, vazões e velocidades se devem às características intrínsecas de cada equação de perda de carga (otimamente maximizadas), ou seja, cada equação resulta em uma perda de carga dierente devido às variáveis nelas embutidas. Nota-se que a equação de Hazen-Williams oi a que mais se aproximou dos resultados da equação de perda de carga universal (Darcy-Weisbac), seguida de Manning e Scobey. Tabela. Comprimento, vazão e velocidade para os dois trecos da lina lateral segundo a equação de perda de carga utilizada no dimensionamento. Equação de perda de carga 1 Q1 Q V1 V m m 3 s -1 m s -1 Hazen-Williams , , ,1 0,30 Manning , , ,1 0,31 Scobey , , ,19 0,33 Swamee-Jain* 154* 36* 7, * 1, * 0,3* 0,1* Flamant* 154* 36* 7, * 1, * 0,3* 0,1* Darcy-Weisbac , , , 0,8 * Valores não ótimos segundo as restrições pré-estabelecidas. As equações de Swamee-Jain e Flamant oram minimizadas, já que seus valores ultrapassaram a perda de carga máxima admitida na lina lateral (1 mca), que oi uma das

6 restrições estabelecidas para o modelo. Os valores de perda de carga de Swamme-Jain e Flamant, otimamente minimizados, oram respectivamente 1,0970 e 1,60 mca. Esses valores resultam em uma maior carga idráulica requerida na entrada da lina lateral (Tabela ), além de um maior comprimento de tubulação com maior diâmetro (Tabela 1), o que resultaria em um custo maior de implantação do sistema. A carga idráulica requerida na entrada da lina lateral, segundo a perda de carga calculada por Hazen-Williams, Manning, Scobey e Darcy-Weisbac, é de 10,6 mca. Para essas equações a perda de carga na tubulação atingiu o valor ótimo de 1 mca. CONCUSÃO Os resultados demonstram que, mesmo na otimização, a experiência do projetista com as equações de perda de carga é muito importante para tomada de decisão de qual equação utilizar rente às diversas variáveis envolvidas no dimensionamento. REFERÊNCIAS BIBIOGRÁFICAS GOMES, H.P. Engenaria de irrigação. 3. ed. Campina Grande: Universidade Federal da Paraíba, p. KEER, J.; BIESNER, R. D. Sprinkle and trickle irrigation. New Jersey: Caldwell, Te Blackburn Press, v p KEER, J.; KARMEI, D. Trickle irrigation design parameters. Transaction o te ASAE. v. 17, p , ISBOA, E. F. A. Pesquisa operacional. Apostilado curso de pesquisa operacional. Rio de Janeiro, RJ: versão digital disponível na internet: ttp:// p. SAAD, J.C.C.; TOMAZEA, C.; PERES, J.G.; PERES, F.C.; FRIZZONE, J.A. Otimização de rede idráulica de um sistema de irrigação por gotejamento utilizando programação linear. Revista Pesquisa Agropecuária Brasileira, v.9, n.5, p , 1994.