Marinela da Silveira Boemo 1. GD3 Educação Matemática no Ensino Médio

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1 Os Registros de Representação Semiótica no Ensino de Sistemas Lineares na Escola Estadual de Ensino Médio João Isidoro Lorentz no Município de Formigueiro/RS Marinela da Silveira Boemo 1 GD3 Educação Matemática no Ensino Médio Este trabalho objetiva apresentar os primeiros passos de uma pesquisa de mestrado que investiga se e como os registros de representação semiótica (DUVAL, 2003, 2009, 2011) são mobilizados no processo de ensino e aprendizagem de sistemas lineares no segundo ano da Escola Estadual de Ensino Médio João Isidoro Lorentz no município de Formigueiro/RS. Para tanto vamos expor um mapeamento das pesquisas que adotaram as representações semióticas por meio de um levantamento no site da CAPES e dos programas de pós-graduação de universidades brasileiras. Em seguida vamos apresentar os encaminhamentos da pesquisa que envolve 81 alunos e 02 professores que ministram aulas de Matemática para as 04 turmas de segundo ano da referida escola e toma como fonte o livro didático adotado, os cadernos e as avaliações de 03 alunos de cada uma das turmas, no ano letivo de 2014, bem como os protocolos de 04 seqüências de atividades desenvolvidas junto aos discentes. Tais instrumentos de coleta de dados serão analisados a partir das orientações metodológicas da pesquisa qualitativa (LÜDKE e ANDRÉ, 1986) seguida dos princípios da análise de conteúdo (BARDIN, 2011). Como resultados parciais concluímos que a primeira publicação embasada nos registros de representação semiótica ocorreu em 2000; até setembro de 2014 foram localizados 128 trabalhos; 08 dessas pesquisas envolveram os sistemas lineares, sendo 01 tese e 07 dissertações; todos foram desenvolvidos na região sudeste do país e estão vinculados a PUC/SP. Palavras-chave: Registros de Representação Semiótica. Ensino de Sistemas Lineares. Ensino Médio. 1 Universidade Federal de Santa Maria, marinelasboemo@hotmail.com, orientadora: Rita de Cássia Pistóia Mariani.

2 Introdução A dificuldade e a importância no que concerne o ensino e o aprendizado da matemática, não só no Ensino Médio, mas em toda a trajetória escolar, se tornou objeto de estudo para muitos professores e pesquisadores da área da Educação Matemática. (DUVAL, 2003) Documentos oficiais relacionados à área da educação como, por exemplo, as Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais para Ensino Médio PCN+EM (BRASIL, 2002) da área das Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias evidenciam a importância do aprendizado da Matemática não só como uma disciplina que faz parte do currículo, mas como integrante das demais áreas do conhecimento, pois: [...] o conhecimento matemático é necessário em uma grande diversidade de situações, como apoio a outras áreas do conhecimento, como instrumento para lidar com situações da vida cotidiana ou, ainda, como forma de desenvolver habilidades de pensamento. No ensino médio, etapa final da escolaridade básica, a Matemática deve ser compreendida como uma parcela do conhecimento humano essencial para a formação de todos os jovens, que contribui para a construção de uma visão de mundo, para ler e interpretar a realidade e para desenvolver capacidades que deles serão exigidas ao longo da vida social e profissional. (BRASIL, 2002, p 111) As Orientações Curriculares para o Ensino Médio - OCEM (BRASIL, 2006) Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias corroboram com a ideia supracitada indicando que o ensino da Matemática pode contribuir para o desenvolvimento de habilidades, a valorização do raciocínio não apenas em conceitos internos à Matemática ao indicar que: [...] é importante que se levem em consideração os diferentes propósitos da formação matemática na educação básica. Ao final do ensino médio, espera-se que os alunos saibam usar a Matemática para resolver problemas práticos do quotidiano; para modelar fenômenos em outras áreas do conhecimento; compreendam que a Matemática é uma ciência com características próprias, que se organiza via teoremas e demonstrações; percebam a Matemática como um conhecimento social e historicamente construído; saibam apreciar a importância da Matemática no desenvolvimento científico e tecnológico. (BRASIL, 2006, p 69) Ao observar as citações anteriores e ao analisar Brasil (1999, 2002, 2006) constatamos que a formação do indivíduo também está vinculada a competências relacionadas à representação e comunicação por meio de habilidades que envolvem a leitura e interpretação de textos matemáticos em diferentes representações tais como tabelas, gráficos e expressões além de: [...] transcrever mensagens matemáticas da linguagem corrente para linguagem simbólica (equações, gráficos, diagramas, fórmulas, tabelas etc.) e vice-versa [...] exprimir-se com correção e clareza, tanto na língua materna, como na linguagem matemática, usando a terminologia correta. (BRASIL, 1999, p. 46) A partir dessas considerações, evidencia-se que o ensino dos conceitos matemáticos pode e deve ser trabalhado por meio da mobilização de distintas representações. Esse tipo de

3 encaminhamento didático, de acordo com Duval (2013, p. 14), é o cerne da atividade matemática, pois sua originalidade está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar a todo o momento de registro de representação. Ao analisarmos o ensino de sistemas lineares, pode-se, por exemplo, colocar a álgebra sob o olhar da geometria, pois é possível explorar outras estratégias além das técnicas algébricas e numéricas de resolução de sistemas: [...] A resolução de um sistema 2 X 2 de duas equações e duas variáveis pode ser associada ao estudo da posição relativa de duas retas no plano. Com operações elementares simples, pode-se determinar a existência ou não de soluções desse sistema, o que significa geometricamente os casos de intersecção/coincidência de retas ou paralelismo de retas. A resolução de sistemas 2 X 3 ou 3 X 3 também deve ser feita via operações elementares (o processo de escalonamento), com discussão das diferentes situações (sistemas com uma única solução, com infinitas soluções e sem solução) (BRASIL, 2006, p 77 e 78). Nesse contexto, o objetivo desta pesquisa consiste em investigar se e como os registros de representação semiótica são mobilizados no processo de ensino e aprendizagem de sistemas lineares no segundo ano da Escola Estadual de Ensino Médio João Isidoro Lorentz no município de Formigueiro/RS. Para tanto, nossos objetivos específicos mantém a mesma intencionalidade e examinam quatro instrumentos de coleta de dados (livro didático, os cadernos e as avaliações dos alunos e os protocolos das seqüências de atividades), como seguem: -Analisar se e como os registros de representação semiótica são mobilizados na apresentação dos conceitos e nas atividades propostas pelo livro didático de Matemática Contexto & Aplicações (DANTE, 2012) elaborado para o segundo ano do Ensino Médio ao enfatizar o ensino de sistemas lineares. -Investigar por meio dos cadernos dos alunos e de suas avaliações se e como os registros de representação semiótica são mobilizados no desenvolvimento das atividades propostas envolvendo os sistemas lineares. -Analisar se e como os alunos mobilizam os registros de representação semiótica por meio da verificação nos protocolos das quatro seqüências de atividades que serão organizadas a partir de questões envolvendo sistemas lineares. Como esta investigação encontra-se em fase inicial este trabalho é composto por três tópicos, no primeiro abordamos a teoria dos registros de representação semiótica segundo Duval

4 (2003, 2009, 2011), em seguida, apresentamos o mapeamento sobre pesquisas de pósgraduação que envolvem essa teoria, enfatizando o objeto matemático sistemas lineares. Por fim, apontamos os encaminhamentos metodológicos e as etapas que irão compor o desenvolvimento de nossa investigação. i) Os Registros de Representação Semiótica A matemática é uma ciência que se diferencia das demais principalmente pelo acesso aos seus objetos de estudo, que são de natureza abstrata. Desse modo, para acessar os objetos matemáticos é preciso fazer uso de diferentes sistemas de representação como as numéricas, algébricas, gráficas, geométricas, tabulares, simbólicas, etc. Nesse âmbito, a teoria dos registros de representação semiótica busca compreender e investigar as dificuldades dos alunos no processo de aquisição do conhecimento matemático e contribuir para o incremento de suas capacidades de raciocínio, de análise e de visualização, conforme indica Duval (2003). As representações são epistemologicamente ambíguas, porque jamais podem ser confundidas com os objetos, mas ao mesmo tempo elas são necessárias para que tenha acesso a eles. A principal função das representações é serem colocadas no lugar dos objetos quando esses não são imediatamente acessíveis, distinguido os objetos de suas representações apenas por sua função de comunicação. (DUVAL, 2011) Duval (2009) ainda atribui às representações semióticas a responsabilidade pela compreensão conceitual dos objetos matemáticos, pois segundo ele não há noésis sem semiósis, é a semiósis que determina as condições de possibilidade e exercício da noésis (DUVAL, 2009, p. 17). Deste modo, se a noésis é justamente o processo de compreensão imediata e esse depende das representações, logo, ele depende das semiósis que é qualquer ação ou influência, sinal ou representação que transmite significado. Existe uma linha cognitiva que divide as representações em semióticas e não semióticas. As semióticas são produzidas intencionalmente pela mobilização de um sistema semiótico que mesmo sendo transformado em outro não perde as informações a serem transmitidas, como exemplo a passagem da representação algébrica de uma equação para a representação gráfica, já as não semióticas não apresentam essa possibilidade de transformação sem que se perca o sentido que ela carrega, como são os códigos (DUVAL, 2003) Para designar os diferentes tipos de representações semióticas empregados em matemática,

5 Duval (2003) adotou o termo registro, e as classificou em quatro tipos muito diferentes: os registros multifuncionais que são divididos em representações discursivas e não discursivas e os registros monofuncionais também divididos em representações discursivas e não discursivas. E, ainda afirma que a originalidade da atividade matemática está na mobilização simultânea de ao menos dois registros de representação ao mesmo tempo, ou na possibilidade de trocar a todo o momento de registro de representação (DUVAL 2003, p. 14). Considerando os vários tipos e a possibilidade de troca de representações, há dois tipos de mudança de representação, de transformação de representação semiótica que se destacam por serem radicalmente diferentes: os tratamentos e as conversões. Os tratamentos são transformações dentro de um mesmo registro, por exemplo, as transformações algébricas para resolver um sistema de equações. Por outro lado, a conversão são transformações de representações que mudam de sistema representacional conservando a referência ao objeto, tal como passar da expressão algébrica de uma equação para sua representação gráfica. Muitas vezes a atividade de conversão é tomada como complementar ou secundária ao tratamento, mas Duval (2003) destaca que a compreensão em matemática supõe a coordenação de ao menos dois registros de representação semiótica (DUVAL, 2003, p. 15). Para que essa coordenação ocorra de fato é necessário que as transformações de tratamento e conversão sejam realizadas de maneira natural, sem recorrer a processos de codificação. Na conversão entre um registro e outro o indivíduo deve identificar as variáveis pertinentes sem que para isso tenha que seguir várias etapas, por exemplo, ao analisar duas equações de reta com mesmo coeficiente angular ele identifique que são retas paralelas, portanto este sistema não possui solução, deste modo a partir da equação da reta ele realizou a conversão para o gráfico e ao mesmo tempo identificou que não há solução mesmo sem fazer a resolução algébrica do sistema. Desse modo, para o autor a originalidade de sua teoria está não em tentar explicar os erros que os alunos cometem, mas em procurar entender e descrever o funcionamento cognitivo, que tipo de raciocínio eles desenvolvem e quais ferramentas mobilizam, para que diante da diversidade dos processos matemáticos que lhe são propostos, eles próprios sejam capazes de compreender, efetuar e controlar tais situações.

6 ii) O Mapeamento O mapeamento foi uma das primeiras etapas para compor a pesquisa, seu objetivo foi apresentar um panorama geral dos estudos desenvolvidos nos programas de pós-graduação em Educação, Educação Matemática ou Ensino de Matemática realizados em nosso país que tenham como embasamento teórico os registros de representação semiótica e os sistemas lineares como integrante de seus objetos matemáticos de pesquisa. Assim, realizou-se um levantamento nos Bancos de Dados de Teses e Dissertações (BDTD) dos programas de pós-graduação e da Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível Superior (CAPES) buscando trabalhos por meio das palavras-chave: registro de representação semiótica, semiótica e Duval. Ao todo foram acessados 21 programas de pós-graduação das seguintes instituições: PUC/MG, PUC/RS, PUC/SP, UEL/PR, UEM/PR, UECE/CE, UEPG/PR, UFMS/MS, UFPE/PE, UFPEL/RS, UFPR/PR, UFRGS/RS, UFRJ/RJ, UFSC/SC, UFSCAR/SP, ULBRA/CANOAS/RS, UNIBAM/SP, UNICAMP/SP, UNIGRANRIO/RJ, UNIJUI/RS. Com essa busca localizou-se, ao todo, 128 trabalhos, em 17 programas distintos, sendo que a primeira publicação ocorreu no ano de 2000 pelo Programa de Estudos Pós Graduados em Educação Matemática da PUC/SP. Vale ressaltar ainda que das 128 pesquisas 86 estão vinculadas a PUC/SP, sendo 09 teses e 77 dissertações. Esse expressivo quantitativo contribui para que a região sudeste ocupe a primeira posição no total das produções sobre registros de representação semiótica enquanto que a região sul, campo de investigação deste estudo, ocupa a terceira colocação com 04 dissertações. No que tange ao objeto sistemas lineares observou-se 08 trabalhos, (01 tese e 07 dissertações) sendo que 04 deles tomaram como campo de estudo o ensino médio e os outros 04 o ensino superior. Em relação aos instrumentos de coleta de dados observamos que 03 pesquisas tomam concomitantemente livros didáticos e seqüências didáticas/atividades como fontes para coleta dos dados, 02 investigações consideram exclusivamente os livros e outras 02 seqüências didáticas/atividades e por fim 01 realizou a analise a partir de teste diagnóstico e seqüências didáticas/atividades. Desse modo, a análise do livro didático consta em 05 dos 08 trabalhos e o principal argumento para justificar esta escolha é que conforme discutido por Battaglioli (2008), Grande (2006), Karrer (2006) o livro continua sendo o grande referencial para a maioria dos

7 professores, independentemente do nível de atuação. Vale ainda ressaltar que das 06 pesquisas que utilizaram como instrumento de coleta de dados seqüências didáticas/atividades 05 fizeram uso do Cabri-Géomètre, GeoGebra ou do Winplot que são considerados softwares de que permitem transitar entre o campo algébrico e gráfico. Nível Instituição Ano Título Autor (a) Objetivo MP 2 MP MP MA 3 MA MA D 4 MA Sistemas de Equações Lineares: uma proposta de atividades com abordagem de diferentes registros de representação semiótica. Um estudo sobre a resolução algébrica e gráfica de Sistemas Lineares 3x3 no 2º ano do Ensino Médio. Sistemas Lineares na Segunda Série do Ensino Médio: um olhar sobre os livros didáticos. Conceitos Fundamentais de Álgebra Linear: uma abordagem integrando geometria dinâmica. Explorando Equações Cartesianas e Paramétricas em um Ambiente Informático. O Conceito de Independência e Dependência Linear e os Registros de Representação Semiótica nos Livros Didáticos de Álgebra Linear. Articulação entre Álgebra Linear e Geometria: Um Estudo sobre as Transformações Lineares na Perspectiva dos Registros de Representação Semiótica. Os vetores do plano e do espaço e os registros de representação. Nilza Aparecida de Freitas Ana Lucia Infantozzi Jordão Carla dos Santos Moreno Battaglioli Michele Viana Debus de França Carlos Roberto Silva André Lúcio Grande Monica Karrer Samira Choukri Castro da de Investigar como os alunos do terceiro ano do Ensino Médio resolvem sistemas de equações lineares 2X2 em que a abordagem proposta favorece a conversão e o tratamento de RRS. Elaborar, aplicar e analisar uma seqüência didática que aborda a resolução algébrica e gráfica dos sistemas lineares quadrados com o auxílio do software educacional Winplot. Fazer uma análise qualitativa sobre a abordagem de Sistemas Lineares apresentada por três livros didáticos do Ensino Médio, aprovados pelo Programa Nacional do Livro Didático para o Ensino Médio (PNLEM). Investigar em que medida um tratamento geométrico e a articulação entre registros de representação (algébrico, gráfico e geométrico), auxiliados pelo ambiente Cabri-Géomètre, influenciam nas concepções de estudantes que já cursaram a disciplina de Álgebra Linear. Verificar se um ambiente informático permite ao aluno reconhecer algumas propriedades de curvas, por meio de representações e interpretações gráficas de maneira dinâmica, com o uso de parâmetros, para uma melhor compreensão de suas equações. Investigar quais são os registros de representação semiótica mais utilizados no estudo das noções e atividades propostas sobre independência linear. Investigar as trajetórias de aprendizagem de estudantes universitários e o impacto dessas escolhas na abordagem de ensino. Investigações sobre o ensino e aprendizagem da Geometria Analítica, tendo por foco a noção de vetor. Instrumento de coleta de dados Livro didático e seqüência didática. Livro didático e seqüência didática. Livros didáticos. Atividades didáticas. Seqüência didática. Livros didáticos. Livros didáticos, questionários e atividades didáticas. Teste diagnóstico e seqüência didática Quadro 1: Alguns trabalhos que envolvem ou tem como objeto matemático Sistemas Lineares. Fonte: Bancos de dados de dissertações e teses das universidades. Diante dos resultados apresentados pelo mapeamento e de uma análise mais detalhada, considerando o que é apresentado pelos documentos oficiais da área da educação matemática, quanto a forma de se trabalhar os conceitos de sistemas lineares e a importância desses conceitos na formação dos estudantes e o quanto a teoria dos registros de representação semiótica vem ao encontro desses documentos no que diz respeito à mobilização de diferentes representações para que ocorra a apreensão dos conceitos 2 MP designa que esta pesquisa está vinculada a uma produção de Mestrado Profissional. 3 MA designa que esta pesquisa está vinculada a uma produção de Mestrado Acadêmico. 4 D designa que esta pesquisa está vinculada a uma produção de Doutorado.

8 concernentes aos sistemas lineares é que passamos a organizar e apresentar os encaminhamentos metodológicos do nosso estudo. iii) Os Encaminhamentos Metodológicos e as Etapas desta Pesquisa Esta investigação é orientada metodologicamente pelos pressupostos da pesquisa qualitativa segundo Lüdke e André (1986) isso porque existe uma preocupação com o processo que é muito maior do que com o produto; e, além disso, pretende-se focar a coleta e a análise dos dados tomando o significado que os sujeitos dão ao eixo norteador desse estudo, ou seja, a mobilização das representações semióticas ao estudar sistemas lineares. Além disso, a fim de viabilizar a análise do livro, dos cadernos, das avaliações dos alunos e dos protocolos das seqüências de atividades tomaremos os princípios da análise de conteúdo de Bardin (2011), que prevê a apreciação de documentos por meio de três fases: a pré-análise; a análise e por fim o tratamento dos resultados, a inferência e a interpretação. Na primeira fase: ocorre a pré-análise por meio da escolha dos documentos a serem submetidos à análise, à formulação das hipóteses e dos objetivos e à elaboração dos indicadores que fundamentarão a interpretação (BARDIN, 2011, p. 125). Vale ressaltar que a seleção do livro didático Matemática: Contexto & Aplicações (DANTE, 2010) do 2º ano do Ensino Médio ocorreu devido ao fato desse ser o manual didático adotado pelas 04 turmas que participarão desse estudo; a seleção dos 03 cadernos e das 03 avaliações dos respectivos 03 alunos de cada turma ocorrerá por indicação das professoras que ministram aula de Matemática levando em consideração os alunos que mais copiam durante as aulas. Em relação aos protocolos das seqüências de atividades não serão necessários estabelecer critérios de seleção tendo em vista que analisaremos os protocolos de todos os alunos que desenvolverem as atividades e que essas atividades serão dimanizadas durante as aulas de Matemática. Na segunda fase, denominada análise nos detemos à exploração do material para tanto pretendemos categorizar as atividades propostas no livro didático, nos cadernos, nas avaliações e nos protocolos em relação ao tratamento e à conversão das representações semióticas, identificando os registros de partida, intermediário e de chegada e considerando as representações da língua natural (RLN), registro algébrico

9 (RAl), registro numérico (RNm), registro gráfico (RGr), registro geométrico (RGe), registro tabular (RTb), registro simbólico (RSb), registro figural (RFg). Na terceira e última fase da análise de conteúdo ocorre o tratamento dos resultados, a inferência e a interpretação, quando são estabelecidos quadros de resultados, diagramas, figuras e modelos, os quais condensam e põem em relevo as informações fornecidas pela análise (BARDIN, 2011, p. 131). Nesse momento vamos compilar as informações categorizadas organizando quadros resumo a partir de cada instrumento de coleta de dados e, posteriormente vamos reunir as categorias de tratamento e conversão independentemente do instrumento que foi analisado. De acordo com os objetivos supracitados a realização desta pesquisa envolve as seguintes etapas: -Analisar o livro didático Matemática: Contexto & Aplicações (DANTE, 2010) do 2º ano do Ensino Médio de acordo com os pressupostos teóricos dos registros de representação semiótica no que diz respeito ao conteúdo de sistemas lineares; -Elaborar em conjunto com as 02 professoras regentes das 04 turmas de segundo ano 04 seqüências de atividades, compostas cada uma por 03 atividades, a serem desenvolvidas no laboratório de informática com a utilização do software Geogebra, evolvendo o conteúdo de sistemas lineares com base na coordenação dos registros de representação semiótica, na identificação e mobilização das variáveis pertinentes, e posteriormente, analisar os protocolos dessas seqüências de atividades desenvolvidas junto aos alunos; -Reproduzir os cadernos e avaliações de 03 alunos de cada uma das 04 turmas de segundo ano do ensino médio da Escola Estadual de Ensino Médio João Isidoro Lorentz, no ano de 2014, por meio de fotocópias, para analisá-las de acordo com os pressupostos teóricos dos registros de representação semiótica no que diz respeito ao conteúdo de sistemas lineares; - Redigir os resultados da por meio da comparação dos resultados parciais da análise dos livros didáticos, das fotocópias dos cadernos e das avaliações e dos protocolos das seqüências de atividades. Considerações finais Com a realização deste mapeamento consideramos ter contribuído para que se tenha um panorama geral do que tem sido realizado em termos de pesquisa em educação matemática no que se refere à teoria dos registros de representação semiótica e ao objeto matemático

10 sistemas lineares. Devido aos dados obtidos e a relevância desse tema segundo Brasil (1999, 2002, 2006) destacamos que os sistemas lineares representam um campo de pesquisa a ser explorado e nesse sentido justificamos nosso estudo. Referências BARDIN, Laurence. Análise de Conteúdo. Tradutores Luis Alberto Antero Reto Augusto Pinheiro. São Paulo: Edições 70, BATTAGLIOLI, C. S. M. Sistemas Lineares na Segunda Série do Ensino Médio: um olhar sobre os livros didáticos f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática)-Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, BOEMO, M. S.,ROSA, C. W., E MARIANI, R. C. P. Os Registros de Representação Semiótica nas Pesquisas em Matemática: um olhar para os sistemas lineares e funções. In: ESCOLA DE INVERNO DE EDUCAÇÃO MATEMÁTICA, 4, 2014, Santa Maria. Anais eletrônicos... Santa Maria, UFSM, 2014 Os Registros de Representação Semiótica nas Pesquisas em Matemática: Um olhar para os sistemas lineares e funções. Disponível em: < Acesso em: 29 set BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria da Educação Básica. Orientações Curriculares para o Ensino Médio: Ciências da Natureza, Matemática e suas Tecnologias. Brasília: MEC/Semtec, BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. Parâmetros Curriculares do Ensino Médio: ciências da natureza, matemática e suas tecnologias. Brasília: MEC/Semtec, BRASIL, Ministério da Educação. Secretaria da Educação Média e Tecnológica. PCN+ Ensino Médio: Orientações Educacionais Complementares aos Parâmetros Curriculares Nacionais. Brasília: MEC/Semtec, CASTRO, S. C. Os vetores do plano e do espaço e os registros de representação f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)-Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, DANTE, L. R. Matemática: contexto e aplicações. São Paulo: Ática, DUVAL, R. Registros de Representações Semióticas e Funcionamento cognitivo da compreensão em Matemática. In: MACHADO, Silvia Dias Alcântara Aprendizagem Matemática: Registros de Representação Semiótica. Campinas, SP: Papirus, DUVAL, R. Semiósis e pensamento humano: Registros semióticos e aprendizagens intelectuais. Trad. Lênio Fernandes Levy e Marisa Rosâni Abreu da Silveira. São Paulo: Editora Livraria da Física, 2009.

11 DUVAL, R. Ver e ensinar a matemática de outra forma: entrar no modo matemático de pensar: os registros de representações semióticas. São Paulo: PROEM, FRANÇA, M. V. D. Conceitos Fundamentais de Álgebra Linear: uma abordagem integrando geometria dinâmica f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)-Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, FREITAS, N. A. Sistemas de Equações Lineares: uma proposta de atividades com abordagem de diferentes registros de representação semiótica f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática)-Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, GRANDE, A. L. O Conceito de Independência e Dependência Linear e os Registros de Representação Semiótica nos Livros Didáticos de Álgebra Linear f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)-Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, JORDÃO, A. L. I. Um Estudo sobre a resolução algébrica e gráfica de Sistemas Lineares 3x3 no 2º ano do Ensino Médio f. Dissertação (Mestrado Profissional em Ensino de Matemática)-Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, KARRER, M. Articulação entre Álgebra Linear e Geometria: Um estudo sobre as transformações lineares na perspectiva dos registros de representação semiótica f. Tese (Doutorado em Educação Matemática)-Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, LÜDKE, Menga; ANDRÉ, Marli E. D. A. Pesquisa em Educação: Abordagens Qualitativas. São Paulo: EPU, SILVA, C. R. Explorando Equações Cartesianas e Paramétricas em um Ambiente Informático f. Dissertação (Mestrado em Educação Matemática)-Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, São Paulo, 2006.