Sobre as Contradições do Sincronismo de Relógios e da Relatividade da Simultaneidade

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1 Sobre as Contradições do Sincronismo de Relógios e da Relatividade da Simultaneidade Valdir Monteiro dos Santos Godoi valdir.msgodoi@gmail.com RESUMO - Mostra-se que a Teoria da Relatividade Restrita não é uma teoria livre de contradições. Abandonando nossa idéia ingênua de relógios pontuais, prova-se que existem contradições decorrentes da definição de sincronismo de relógios. Outras contradições referem-se ao conceito de relatividade da simultaneidade, e uma destas contradições é provada através de uma experiência idealizada: uma emissão simultânea de dois fótons, simultaneidade em relação a um referencial inercial considerado em movimento, mas cujo referencial em movimento para de se mover entre a primeira e a segunda das emissões, em relação ao referencial considerado fixo, encerrando-se assim, "antecipadamente", a experiência. Apenas um fóton teria sido emitido em relação ao referencial em movimento, contrariando nossa hipótese inicial. I - Introdução Quando Einstein deu início à Teoria da Relatividade Restrita (T.R.R.), em 1905, pretendeu eliminar as assimetrias contidas na eletrodinâmica de Maxwell aplicada a corpos em movimento e criar, a partir de dois postulados, uma eletrodinâmica de corpos em movimento, simples e livre de contradições, desvinculada da noção de éter luminífero e baseada na teoria de Maxwell para corpos em repouso. Isto se pode deduzir dos dois primeiros parágrafos do artigo que deu origem à T.R.R., [1]. Embora seja inegável o sucesso alcançado pela T.R.R. e sua concordância com vários resultados experimentais, é sabido, conforme Assis ([2], pp ), que a assimetria da indução eletromagnética citada no primeiro parágrafo por Einstein não aparece no eletromagnetismo de Maxwell, contrariamente ao que ele afirma. Ela só aparece como uma interpretação específica da formulação de Lorentz para a eletrodinâmica. Esta assimetria não existia para Faraday, que descobriu o fenômeno. (...) Maxwell tinha os mesmos pontos de vista em relação a este assunto e não via nenhuma nítida distinção para a explicação das experiências de Faraday, não interessando se 1

2 era o circuito ou o ímã que se movia em relação ao laboratório. (...) Esta assimetria apontada por Einstein também não aparece na eletrodinâmica de Weber. Além disso, ao contrário do que também disse Einstein, a T.R.R. não é livre de contradições, sendo algumas destas contradições relacionadas à definição de sincronismo de relógios, o que se provará na seção II através de duas demonstrações. Na seção III outras contradições serão mostradas, também referindo-se ao tempo relativístico e relacionadas à relatividade da simultaneidade, e a seção IV concluirá o presente trabalho, com alguns comentários. A seção III, Relatividade da Simultaneidade, é a mais importante deste artigo. A demonstração 3 que nela se encontra é particularmente especial, pois descreve um procedimento experimental idealizado que prova uma das mencionadas contradições, baseando-se na própria definição de simultaneidade aceita na T.R.R. Dois fótons emitidos simultaneamente em relação a um referencial inercial considerado em movimento, emitidos por dois físicos experimentais 1 e 2 em repouso neste referencial, cada um emitindo um fóton em direção ao outro, não são emitidos simultaneamente em relação ao referencial considerado fixo, em relação ao qual o primeiro se move, sendo assim, no referencial fixo decorre um intervalo de tempo não nulo entre a emissão de um dos dois fótons e a emissão do outro, isto conforme a T.R.R. Se entre a primeira das emissões (pelo físico 1) e a outra (por 2) o referencial em movimento parar de se mover, e junto com ele os dois físicos, encerrando-se assim a experiência antes da segunda emissão, o que diríamos sobre a existência de apenas um único fóton emitido até aquele momento? O que diria o físico experimental 1 (observador 1) sobre a sua certeza de que o físico experimental 2 (observador 2) também teria emitido um fóton, quando, na verdade, só este primeiro é que emitiu um fóton? Isto é uma contradição, pois ou nenhum ou dois fótons deveriam ter sido emitidos em relação ao referencial móvel, e jamais um. Semelhantemente, o que diria o físico 2 sobre a sua certeza de que 1 também não emitiu fóton algum, já que ele próprio não havia emitido até o momento de parada e a experiência foi encerrada? Notória contradição: nem 1, nem 2, concordariam entre si sobre a emissão simultânea dos fótons em relação ao referencial em movimento. As próximas demonstrações da seção III são semelhantes entre si, e referem-se à relatividade da simultaneidade do início ou término do movimento (M.R.U.) de dois relógios quando a velocidade relativa entre ambos é sempre igual a zero, bem como a distância relativa entre eles também permanece constante durante todo o movimento (excetuando a variação 2

3 instantânea causada pela contração de Lorentz-Fitzgerald), seja em relação ao referencial considerado fixo, seja em relação ao referencial considerado em movimento. Isto é uma contradição, pois se o início ou término do movimento não é simultâneo em relação a um dos referenciais então neste referencial um dos dois relógios iniciou ou terminou seu movimento antes do outro, o que provocaria uma variação da velocidade ou da distância relativa entre eles, o que não ocorre (pelo menos no domínio da T.R.R.). A seção II, Sincronismo de Relógios, contém duas demonstrações de contradição. Ambas comparam os horários marcados por dois relógios A e B imóveis entre si, distanciados por uma distância não nula e movendo-se (M.R.U.) com a mesma velocidade constante v 0 em relação ao referencial considerado imóvel. Na primeira utiliza-se o tempo do referencial fixo como argumento de comparação destes horários. Na segunda utiliza-se o tempo adotado para o referencial móvel para argumento de comparação dos horários, tempo padronizado como sendo igual ao horário marcado por um terceiro relógio, C, fixo na origem do referencial em movimento. Em ambas as demonstrações usa-se implicitamente a simultaneidade existente nas transformações de Lorentz, a correspondência entre as coordenadas (x, y, z, t) e (,,, ) para caracterizar um evento E qualquer no domínio da T.R.R., simultaneidade esta tanto em relação ao referencial considerado fixo, de coordenadas espaço-temporais (x, y, z, t), quanto em relação ao referencial considerado móvel, de coordenadas (,,, ). Simultaneidade de quais eventos? Dos eventos E 1, O tempo medido no referencial fixo (S) é t. (ou Relógios X 1, X 2, X 3,..., X n fixos no referencial imóvel indicam ou marcam o tempo t neste sistema., i.e., qualquer que seja a posição (x, y, z) da medida do tempo t em S, mesmo para x x), e E 2, O tempo (ou horário, instante, instante de tempo) medido no referencial móvel (S ) através de um relógio fixo neste referencial e na posição (,, ) é dado por. Embora a T.R.R. aceite esta simultaneidade apenas para o caso em que x e x são iguais, se para x x tais eventos não fossem simultâneos em relação ao referencial móvel (e fixo) decorreria um intervalo de tempo (e t) entre a ocorrência de um deles e a ocorrência do outro. Qual deles então teria ocorrido primeiro em relação a esse referencial? Seria a medida do tempo t em S, na posição (x, y, z), x x, ou a medida do tempo em S, na posição (,, ), que ocorreria primeiro? Localizando-se dois relógios num mesmo ponto P do espaço (o caso x x), de coordenadas (x, y, z) em S e (,, ) em S, um destes relógios medindo o tempo t e fixo em S e o outro medindo o tempo e fixo em S, 3

4 portanto, movendo-se (M.R.U.) em relação a S, é muito óbvio que a observação dos dois horários será simultânea para ambos os referenciais, dado o princípio da constância da velocidade da luz e a distância nula entre os relógios naquele mesmo instante de ocorrência (nas condições ideais de que a ordem de colocação dos relógios em relação ao observador e as dimensões dos relógios sejam desprezíveis, não interferindo na observação). Mas se os relógios não localizam-se num mesmo ponto do espaço, i.e., x x, chegamos a uma antiga discussão, cuja chave para o entendimento, do ponto de vista filosófico, acredito ser a seguinte: o tempo da ocorrência de um evento em um referencial independe do instante de sua observação neste mesmo referencial, e de sua audição, de sua percepção, de sua notícia, de seu registro por algum equipamento, i.e., eventos ocorrem independentemente do fato de se ter conhecimento ou não da ocorrência destes eventos, já que assim sucede em um referencial considerado em repouso. Não foi a visão do primeiro homem nascido na Terra que criou o Universo e seus infinitos eventos, nem a visão do primeiro ser vivo do Universo, inteligente ou não, nem tampouco o funcionamento do primeiro laboratório de Física, do primeiro equipamento de medição. Poderíamos dizer: observações não criam matéria, que são fonte de uma infinidade de eventos. Mais exatamente: observações não criam o evento observado. Não foi Einstein, nem Bohr, nem Newton, nem Aristóteles, nem Adão ou algum animal pré-histórico que criaram a matéria, a luz, as ondas, as forças e campos e os eventos em geral. Fechando nossos olhos, ou desligando-se todos os aparelhos de medições que forem possíveis, não existirão o Universo e os eventos do Universo? Claro que existirão. Sabemos disso por experiência própria, e pelo bom senso. Sendo assim, independentemente de observações visuais e experimentos físicos eventos ocorrem, e portanto podem ser localizados no tempo (por convenção), independentemente das posições de quaisquer observadores. E se não fosse assim a Cosmologia do Big Bang ou do tempo remoto (por exemplo, dos três primeiros minutos do Universo) seriam contraditórias, admitindo-se que o homem, os animais e suas respectivas visões, sensações e experiências foram criados muito tempo depois da criação do Universo, da ordem de bilhões de anos de diferença. Do ponto de vista físico, e matemático, poderemos provar a simultaneidade dos dois eventos E 1 e E 2 anteriores. A prova para a simultaneidade em relação a S é trivial: é medido no instante t de S, conforme as transformações de Lorentz. Para a simultaneidade em relação a S teremos que provar que se E 1 fosse ou anterior ou posterior a E 2 chegaríamos a uma contradição. Para isso basta recorrermos ao fato de que os relógios que medem o tempo t, fixos em 4

5 relação a S, e, fixos em relação a S, não são pontuais, mas extensos, possuindo dimensões não nulas. Já da exigência da imobilidade destes relógios no referencial onde medem o tempo verificamos que há problemas conceituais para serem resolvidos na T.R.R.: os relógios precisam estar fixos em relação ao respectivo referencial, contudo, seus principais componentes estão em movimento neste mesmo referencial, em movimento periódico. Em 1946, nas suas Notas Autobiográficas, Einstein escreveu [3]: Os pressupostos da existência (em princípio) das barras graduadas (ideais ou perfeitas) e de relógios não são independentes entre si; um sinal luminoso refletido entre as extremidades de uma barra rígida constitui o relógio ideal, desde que o postulado da constância da velocidade da luz não conduza a contradições. Do ponto de vista técnico, seria difícil considerar este relógio como ideal, perfeito, já que sua operação por um longo intervalo de tempo seria praticamente impossível: o fóton acabaria ou por ser absorvido pelos espelhos, pois não existe espelho algum que produza reflexão perfeita, ou outros fótons, v.g., os envolvidos em toda interação eletromagnética ou vindo de alguma fonte luminosa do ambiente exterior, poderiam ser registrados indevidamente pelo relógio, ou o fóton interagiria com o material do próprio relógio, desviando-se de sua trajetória ideal. Entendemos que com o termo relógio ideal Einstein quis referir-se a um relógio de simples composição, fácil explicação e que contivesse a luz (ou fóton) como um de seus componentes, e aceitaremos que mesmo este relógio ideal contenha ponteiros (ou displays digitais) e tenha todas as dimensões não nulas, pois caso contrário perderia sua funcionalidade: para que serve um relógio que não nos informa o tempo ou não pode ser observado? Como seria possível sincronizá-lo com um relógio convencional? Como sincronizar realmente dois ou mais relógios ideais entre si, espacialmente separados, sem ponteiros, dígitos e imperceptíveis (com dimensões infinitesimais)? Vamos nos basear no que escreveu Feynman em seu famoso curso de Física Básica, quando explicou sobre a dilatação do tempo em um relógio de luz em movimento (u é a velocidade do relógio) [4]: es evidente que mientras más grande es u, más lentamente parece marchar el reloj em movimento. No sólo se mueve más lentamente este reloj particular, sino que, si la teoria de la relatividad es correcta, cualquier outro reloj que funcione según cualquier principio también pareceria marchar lentamente, y en la misma proporción (...) supongan que tuviéramos otros dos relojes, hechos exactamente iguales, com ruedas y engranajes, o quizás basados em la desintegración radioactiva o cualquier outra cosa. Entonces ajustamos estos relojes para que ambos marchen em perfecto sincronismo com nuestros relojes originales. (...) No necesitamos saber nada sobre el mecanismo del reloj nuevo que pueda 5

6 producir el efecto - sabemos simplesmente que, cualquiera sea la razón, aparentemente marchará más lento, igual que el primero.. Assim sendo, podemos imaginar os tradicionais relógios munidos de ponteiros (ou mesmo displays digitais) na continuação de nosso raciocínio, sem ser relevante saber se foram engrenagens, pêndulos, vibrações atômicas ou movimentos de luz que originaram a medida do tempo. Em acordo com o que também escreveu Einstein [5], entendemos por "tempo" de um acontecimento a indicação (posição dos ponteiros) daqueles relógios que estão na vizinhança (espacial) imediata do evento. Desta maneira, a cada evento é atribuído um valor do tempo, que em princípio pode ser observado.. Nota-se que ao tempo é dado o mesmo significado de horário, e não necessariamente de duração ou intervalo entre dois horários. Suponhamos então que para o referencial S o evento E 1, a medida de t em S na posição (x, y, z), x x, seja anterior a E 2, a medida de em S na posição (,, ), sendo que entre t e, e entre (x, y, z) e (,, ), sejam válidas as transformações de Lorentz. Nesse caso deveríamos ter x x, supondo x, x e a velocidade v de S positivas. Oras, mas a qual parte do relógio que mede t corresponde este valor de x? Uma vez que todo relógio possui dimensões não nulas, deveríamos questionar: é o centro geométrico do relógio que está em x, ou é o seu centro de massa, ou a sua parte mais à direita, ou a sua parte mais à esquerda? É alguma parte do ponteiro das horas, dos dígitos indicadores do horário ou ainda alguma outra parte do relógio que está, ou deveria estar, em x? Conforme escreveu Feynman, não é necessário conhecermos nada sobre o funcionamento ou mecanismo dos relógios, e por isso concluiremos que também não é necessário conhecermos nada sobre as dimensões e componentes dos relógios, exceto que podem ter qualquer dimensão não nula e devem ter componentes. Qualquer que fosse a parte ou ponto do relógio que devesse corresponder a x poderíamos assumir agora que o relógio que mede tivesse uma dimensão tal que o ponto x estivesse contido nele durante a medida desse tempo, nem que fosse por um único instante (em particular, o instante ou t). É óbvio que todo o interior do relógio que mede está no tempo de S no instante da medida de. Como pode ser E 1 anterior a E 2 em S se os relógios localizam-se numa mesma vizinhança (espacial) imediata durante as medições? Transformamos o caso x x no caso x x através da extensão das dimensões do relógio que mede. As medidas dos tempos devem ser, assim, simultâneas em relação a ambos os referenciais. Provamos, portanto, a contradição. Prova similar se faz para a hipótese de que E 1 seja posterior a E 2, 6

7 donde se conclui que E 1 e E 2 são simultâneos em relação a S, qualquer que seja o valor de x, mesmo para x x. Exemplificando, para facilitar nosso entendimento, suponhamos que nosso relógio em movimento, registre 3 horas, i.e., seu ponteiro das horas encontra-se paralelo à direção do movimento e contém os pontos de abscissas x e x x no instante t, conforme medido no referencial fixo, correspondendo respectivamente às abscissas e, conforme medido no referencial móvel. Quando registrar este horário seu ponteiro das horas estará na ordenada y e conterá simultaneamente, em relação a S, os pontos x e x, correspondendo respectivamente a e em S, posições ocupadas também simultaneamente neste referencial, pois caso contrário registraria um outro horário, adquirindo seu ponteiro das horas uma posição inclinada em relação à direção do movimento, ao invés de y, levando-nos a outra contradição. Sendo assim, são simultâneas em relação a S a medida de t em x (ou x) e a medida de em (ou ). Tal prova é base para prosseguirmos nas demonstrações da seção II a seguir, e será admitida implicitamente. II - Sincronismo de Relógios Intuitivamente, de maneira não matemática, o que entendemos por sincronismo? Baseando-nos no respeitável dicionário Aurélio, temos o seguinte significado para sincronismo: relação entre fatos sincrônicos. Para sincrônico diz-se: que ocorre ao mesmo tempo, relativo aos fatos concomitantes ou contemporâneos. Concomitante: que se manifesta simultaneamente com outro. Para simultâneo o significado é este: que ocorre ou é feito ao mesmo tempo ou quase ao mesmo tempo que outra coisa, concomitante, tautócrono. Tautócrono: simultâneo. Contemporâneo: que é do mesmo tempo, que vive na mesma época (particularmente a época em que vivemos), indivíduo do mesmo tempo ou do nosso tempo. Tempo (dentre vários outros significados): a sucessão dos anos, dos dias, das horas, etc., que envolve, para o homem, a noção de presente, passado e futuro; coordenada que, juntamente com as coordenadas espaciais, é necessária para localizar univocamente uma ocorrência física. A consulta ao dicionário nos fez encontrar certa tolerância na definição de sincronismo, mas não é esta a definição que a Física pode aceitar. Termos como quase ao mesmo tempo e época em que vivemos precisam ser 7

8 evitados na ciência rigorosa, pois não permitem caracterizar acontecimentos, ou eventos, de maneira exata. Que limites adotaríamos para quase ao mesmo tempo? Não existe esta convenção. A Física, com o necessário rigor, adota exatamente ao mesmo tempo para definir a ocorrência de eventos simultâneos, e portanto, síncronos. Einstein, em 1905, usou o termo tempo comum a A e B (A und B gemeinsame Zeit ) para definir o sincronismo de dois relógios ([1], p. 894), e o fez da seguinte maneira ([6], pp , tradução em português): Se num ponto A do espaço estiver situado um relógio, torna-se possível para um observador que também aí se encontre determinar temporalmente os acontecimentos da vizinhança imediata de A, bastando-lhe para isso recorrer a posições do ponteiro do relógio que seja simultâneo a tais acontecimentos. Se no ponto B do espaço também se encontrar um relógio que seja - importa acentuá-lo - um "relógio de funcionamento idêntico ao relógio de A", também um observador colocado em B poderá fazer a determinação temporal dos acontecimentos que ocorram na vizinhança imediata de B. Mas não é possível, se não se estabelecerem ulteriores condições, fazer a comparação temporal de um acontecimento em A com um acontecimento em B: até agora temos apenas um "tempo A" e um "tempo B", mas não definimos um "tempo" comum a A e B. Este tempo pode ser definido agora, se estabelecermos como definição que o tempo de que a luz necessita para ir de A até B é igual ao tempo de que ela necessita para ir de B até A. Isto é: se um raio de luz partir de A para B no instante t do "tempo A", se reflectir em B, na direção de A, no instante t do "tempo B", e chegar de novo a A no instante t do "tempo A", então diremos, por definição, que os dois relógios funcionam em sincronismo se t t t t. Com esta definição de sincronismo feita por Einstein, feita primeiramente para relógios em repouso, toma sentido a comparação temporal de um acontecimento, ou evento, em A com um acontecimento em B, podendo-se dar resposta à pergunta, aparentemente simples: que horário marca o relógio B para um evento na posição do relógio A? Sendo síncronos A e B (em relação ao referencial no qual encontram-se em repouso), e marcando o relógio A o instante da ocorrência deste evento, B deve marcar o mesmo horário, ou tempo, instante, instante de tempo, de A. Sem pretender causar confusão com as palavras de Einstein, chamamos e chamaremos de relógio A ao relógio localizado num ponto A do espaço e, semelhantemente, chamamos e chamaremos de relógio B ao relógio localizado num ponto B, e 8

9 admitiremos que relógios distintos podem localizar-se num mesmo ponto do espaço. Sendo assim, dois relógios distintos A e B localizados no mesmo ponto do espaço (suposição ideal) estarão síncronos enquanto exibirem, marcarem ou indicarem o mesmo horário, ou tempo, instante, instante de tempo. Quando o relógio A exibir o horário t o relógio B, se síncrono de A, deve também exibir este mesmo horário, i.e., t Se o relógio B não é síncrono de A então B deve exibir algum outro horário t no instante t marcado em A, tal que t t. Nem mesmo se exige nesta definição que os relógios funcionem adequadamente. Mesmo quebrados, parados ou desregulados, se marcam o mesmo horário em algum momento estão síncronos naquele momento. Quando os relógios não marcam o mesmo horário em algum momento não estão síncronos naquele momento. Quando os dois relógios localizam-se em pontos distintos do espaço, suponhamos que estejam localizados sobre o eixo das abscissas de um referencial inercial S qualquer, considerado fixo. No contexto da T.R.R., para definirmos o sincronismo dos relógios em relação a S é necessário que ambos encontrem-se fixos um em relação ao outro e ambos fixos em relação a S, além de possuírem idêntico funcionamento, conforme enfatizado por Einstein. Será preciso ainda que funcionem adequadamente, de maneira regular. Einstein usa o trajeto de um raio de luz em vai e volta na sua definição para sincronismo de relógios, conforme vimos. Antes de analisá-la em mais detalhes, vamos analisar uma velocidade genérica qualquer, utilizando-se de nosso conceito intuitivo de sincronismo, e chegar à luz como caso específico. Se o relógio A está localizado na posição x A de S, e o relógio B, semelhantemente, na posição x B de S, x B > x A, então A e B, funcionando idêntica e adequadamente, se forem síncronos satisfazem a relação t t L v 1, (1) onde t é o instante marcado por A em que um objeto (hipotético) considerado pontual parte de A em direção a B, em linha reta, mantém durante todo o trajeto a velocidade constante v 1 > 0, e chega a B no instante t marcado por B. L é a distância entre A e B, i.e., L x B x A, todas estas medidas feitas em relação ao referencial S. Entendamos por que é necessário que os relógios funcionem adequadamente e por que (1) não pode definir sincronismo por si só. A equação (1) anterior poderia ser válida e ainda assim A e B não serem 9

10 síncronos em momento algum! Os ponteiros do relógio A poderiam estar parados, marcando sempre o horário t, os ponteiros do relógio B poderiam estar parados, marcando sempre o horário t, a equação (1) anterior seria válida (por definição), mas teríamos durante todo o trajeto do objeto que o horário marcado por A não seria igual ao horário marcado por B, por exemplo, t t (para L v 1 ) ou seja, os relógios A e B não seriam síncronos conforme esperaríamos que (1) nos garantisse. Por outro lado, A e B poderiam ser síncronos, no significado de indicarem o mesmo horário, mas estarem parados, i.e., não funcionando, o que seguramente desobedeceria (1) para todo v 1 finito e L. Poderíamos também formular comportamentos ainda mais complicados para os horários marcados por A e B que obedecessem (1) mas que não satisfizessem nosso conceito primitivo de sincronismo, mesmo admitindo que A e B tenham idêntico funcionamento. Um exemplo para relógios funcionando, com funcionamento idêntico entre si: A exibe horários muito próximos do valor de t durante todo o movimento do objeto por exemplo, obedecendo alguma função estritamente crescente F(t) tal que F(t) t exibe horários muito próximos do valor de t durante todo o movimento do objeto e tal que a equação (1) seja válida, mas com A e B não síncronos em momento algum, i.e., com A em nenhum momento exibindo algum horário exibido por B durante o movimento, e B em nenhum momento exibindo algum horário exibido por A durante o movimento. Oras, desprezando-se a exigência do funcionamento adequado, que importância ou utilidade teria uma definição de sincronismo com tamanho grau de arbitrariedade, tão ambígua, tão ou mais inexata quanto o termo quase ao mesmo tempo encontrado no dicionário? Precisa-se buscar maior rigor, maior exatidão, para a definição de conceito de fundamental importância na teoria. Se o (hipotético) objeto parte de B no instante t marcado por B e vai em direção a A, em linha reta, com velocidade constante v 2 > 0, chegando a A no instante t marcado por A, então A e B, estando síncronos, também satisfazem a relação t t L v 2, (2) outra vez admitindo que os relógios funcionam idêntica e adequadamente, corretamente, de maneira regular. 10

11 E o que entenderíamos por funcionamento adequado dos relógios? Para tentar responder a esta pergunta precisamos antes analisar a definição de Einstein. Fazendo v 1 v 2 = c e igualando as diferenças dadas por L c em (1) e (2) chegamos à definição de Einstein para sincronismo de relógios fixos em um sistema considerado em repouso, i.e., t t t t (3) onde t é o instante marcado por A em que um raio de luz parte de A em direção a B, t instante marcado por B em que este raio de luz chega a B e volta em direção a A e t o instante marcado por A em que o raio chega a A ([1], p. 894), ambos os trajetos da luz feitos em linha reta. A definição (3) acima garante mesmo o sincronismo dos relógios tal como pretendeu-se definir? Num sistema S considerado em repouso, com os relógios fixos em S, e sem introduzirmos nenhum outro referencial movendo-se em relação a ele, é simples entender o significado da equação anterior, bastando para isso usar nosso conceito intuitivo de sincronismo de relógios e a cinemática de Galileu-Newton para pensarmos sobre o problema (admitamos o vácuo e a ausência de qualquer força). Se o tempo em S é dado por t e é medido através de relógios todos síncronos entre si, de idêntico funcionamento e que tenham funcionamento adequado, e se o relógio A marca um horário de acordo com a função F(t) e B marca um horário de acordo com a função G(t) = F(t) d, d constante, então podemos considerar que A e B têm idêntico funcionamento, pois seus horários obedecem a uma mesma função F(t) a exceção de uma constante d. Se L é a distância entre A e B e a equação (3) é obedecida então obtemos para d o valor d = [F(t 0 ) F(t 0 2 L/c)]/2 F(t 0 L/c), (4) onde t 0 é o instante inicial da partida do raio de luz, medido em S, e c é a velocidade da luz no vácuo. Verificamos, assim, que no caso geral d não é igual a zero, conforme esperaríamos que fosse. Por exemplo, para uma função F(t) quadrática tal que F(t) = t 2 obtemos para d o valor d = L 2 / c 2, que só é igual a zero se a distância L entre os relógios for nula, ou seja, a definição (3) anterior não garante por si só o sincronismo dos relógios. Garante-se que o parâmetro d é nulo, entretanto, admitindo-se que a função F obedece à propriedade das funções 11

12 lineares F(at bu) af(t) bf(u), como é fácil provar. Isto foi implicitamente admitido por Einstein em sua dedução das transformações de Lorentz, por causa das propriedades de homogeneidade que atribuímos ao espaço e ao tempo ([1], p. 898). Então, o que entenderemos por funcionamento adequado dos relógios? É o funcionamento regular, contínuo, não fragmentado, homogêneo, dos relógios, de tal modo que a definição (3) de sincronismo não permita caracterizar como síncronos relógios de idêntico funcionamento que apresentem horários, ou indicações de tempo, diferentes para um mesmo instante de tempo adotado para o referencial em que encontrem-se fixos. Quando Einstein deduziu em 1905 as transformações de Lorentz ([1], 3) considerou no espaço em repouso dois sistemas de coordenadas, chamando de K o sistema que permaneceu em repouso e k o sistema que se moveu em relação a ele com uma velocidade constante v no sentido do x crescente, admitindo que o movimento de k se pode efetuar de maneira tal que no instante t ( t significa sempre tempo do sistema em repouso) os eixos do sistema móvel são (respectivamente) paralelos aos eixos do sistema em repouso. No início do movimento a origem dos sistemas era comum, num determinado ponto. Disse-nos: o tempo do sistema em movimento se determina, para todos os pontos deste sistema em que há relógios imóveis em relação a ele, aplicando o mencionado método do 1, de sinais luminosos trocados entre os pontos em que estão situados os relógios. ([1], p. 898; [6], p. 56) Também disse, continuando seu raciocínio: Se tomarmos x' = x vt, é claro que para um ponto imóvel no sistema k vem um sistema de valores x', y, z que não depende do tempo. Vamos calcular primeiro como função de x', y, z e t. Para isso temos que exprimir em equações que não é mais que a expressão global das indicações dadas pelos relógios que se encontram em repouso no sistema k, e que foram sincronizados segundo a regra dada no parágrafo 1. ([1], p. 898; [6], pp ) A regra de sincronização de relógios mencionada por Einstein, contida no seu parágrafo 1, nada mais é que a troca de sinais luminosos entre os pontos em que estão situados os relógios, definida em nossa equação (3). Definida primeiramente para relógios em repouso (diríamos, em repouso absoluto), estende-se naturalmente esta regra para os referenciais em movimento (em concordância com os postulados da Relatividade), desde que os relógios mantenham entre si o repouso relativo. Sendo assim, segundo a T.R.R., dois relógios A e B imóveis um em relação ao outro, de funcionamento adequado, idêntico entre si e em M.R.U. 12

13 (em relação a um referencial considerado fixo) estarão síncronos (em relação a um referencial no qual A e B encontram-se fixos) se (5) onde é o instante marcado por A em que um raio de luz parte de A indo em direção a B, instante marcado por B em que este raio de luz chega a B e volta em direção a A e o instante marcado por A em que o raio chega a A (no artigo original, [1] p. 898, Einstein usa ao invés de, ao invés de e ao invés de ). A relação (5) deve ser verdadeira para qualquer velocidade constante inferior, em módulo, à velocidade da luz e para qualquer distância entre A e B; em particular, deve ser válida quando não há movimento de referencial algum, donde (5) reduz-se à definição (3). Embora saibamos que não é tão simples assim na Teoria da Relatividade Geral (veja, v.g., Landau [7], pp ), vamos nos limitar à T.R.R. Suponhamos agora que A e B executam um movimento de velocidade constante v a partir do instante t = 0 ao longo do eixo das abscissas de um sistema triortogonal de coordenadas retangulares considerado fixo, S(x, y, z, t), onde (x, y, z) e t são a coordenada de posição e o instante, respectivamente, de um evento E medido em S, e que S ( ) é outro sistema triortogonal de coordenadas retangulares, no qual A e B são considerados fixos e onde ( e são a coordenada de posição e o instante, respectivamente, deste mesmo evento E quando medido em S. Se admitirmos que no instante t = 0 as origens de ambos os sistemas eram coincidentes e (x=0, t=0) = 0, que os eixos dos x e são coincidentes e os eixos dos y e z são respectivamente paralelos aos eixos dos e e ainda, que os relógios que medem os instantes t são síncronos em relação a S, conforme (3), e os que medem os instantes são síncronos em relação a S, conforme a regra (5), então entre S e S, segundo a T.R.R., são válidas as transformações de Lorentz: t vx/c 2 ); (6) x vt); (7) y; (8) z; (9) onde v 2 /c 2 ) 1/2 e c é a velocidade da luz no vácuo, considerada independente da velocidade dos observadores e da fonte luminosa. 13

14 Vamos, por hipótese, supor que A e B são relógios que marquem o tempo no sistema S conforme a transformação (6), em função de t e x. Se o relógio A parte em t = 0 do ponto x 0A, medidos no sistema em repouso, então sua equação horária em S será x = x 0A + vt. Usando este valor de x na transformação (6) obtemos t t/ vx 0A /c 2, (10) que será a indicação do relógio A em S, em função de t, durante todo seu movimento de velocidade v. Note-se que aqui não tem o mesmo significado do valor de adotado em (5). Aqui varia em função do tempo. Lá refere-se a um valor que permanece constante enquanto o raio de luz vai e volta entre A e B, o instante marcado por A da partida desse raio de luz. Aqui também poderíamos chamá-lo de (A), T A t etc. Semelhantemente, partindo B do ponto x 0B em t = 0 teremos t t/ vx 0B /c 2. (11) Note-se novamente que aqui o nosso também não tem o mesmo significado do utilizado em (5). Aqui também poderíamos chamá-lo de (B), T B t etc. Lá corresponde ao instante registrado pelo relógio B da chegada em B do raio de luz emitido por A. Aqui, em (11), será a indicação do relógio B em S, em função de t, durante todo seu movimento de velocidade v em relação a S. Daqui em diante serão estes os significados de e, conforme usados em (10) e (11), respectivamente. Da dedução das transformações de Lorentz feita por Einstein ([1], pp ) garante-se que os relógios A e B obedecem à condição de sincronismo dada em (5) quando marcam, respectivamente, os valores dados em (10) e (11), o que também pode ser verificado através de simples cálculos cinemáticos, conforme mostrado por Godoi ([8], pp ). Por brevidade, omitiremos aqui tal demonstração. Supondo x 0B > x 0A e v > 0 teremos > Efetuando a diferença entre os tempos marcados por A e B obtemos v(x 0B x 0A )/c 2 > 0. (12) De (12) seria possível concluir imediatamente, através do bom senso e de nossa intuição, que, de fato, os relógios A e B não podem ser síncronos, nem em relação a S, nem em relação a S, pois a diferença apontada em (12) 14

15 nunca é igual a zero e o que se espera, a priori, de relógios síncronos é que marquem o mesmo horário, sem diferenças. Conforme já mencionamos, é o que Einstein chamou de tempo comum a A e B (A und B gemeinsame Zeit ) ([1], p. 894). Como pode-se refutar tal argumentação partindo-se do princípio de que, conforme a T.R.R., dois eventos simultâneos em um referencial não o são em outro referencial animado de velocidade constante não nula em relação ao primeiro (relatividade da simultaneidade), vamos provar por meio de demonstrações lógicas que adotando-se a definição de sincronismo de relógios dada em (5) chega-se, de fato, em contradição na T.R.R., validando-se assim nossa intuição e bom senso (sem pretender, com isto, dizer que a intuição ou o bom senso devam substituir o raciocínio lógico, em todo e qualquer problema: o raciocínio lógico, acredito, deve sempre ser a prova final). Utilizaremos a simultaneidade presente nas transformações de Lorentz, conforme mencionado na seção I. Sobre a mencionada refutação, baseada na relatividade da simultaneidade, diremos que a relatividade da simultaneidade é uma conclusão da T.R.R., conclusão também contraditória e cujas provas de contradição são dadas na seção III, e em nossas duas próximas demonstrações não utilizamos esta conclusão. Utilizamos a seguir o sincronismo dos relógios em relação ao referencial S e a validade das transformações de Lorentz para o movimento dos relógios na forma x = x 0 + vt em relação ao referencial considerado fixo, S. Da validade das transformações de Lorentz também garante-se que os relógios A e B são síncronos (conforme (5)) no referencial em movimento, S. Demonstração 1: [A] Se dois relógios A e B são síncronos em relação a um referencial inercial S qualquer então quando o relógio A marcar em algum instante de S o horário (ou tempo, instante, instante de tempo) o relógio B, que marca o horário, deve também marcar neste mesmo instante medido em S o horário, i.e.,, qualquer que seja a distância entre os relógios A e B, o valor de e de e a velocidade v do referencial S, velocidade esta medida em relação a um referencial S considerado em repouso. Vamos considerar que os relógios A e B estão fixos um em relação ao outro e fixos também em relação a S, i.e., movem-se ambos com velocidade constante v em relação a S. [B] Se o relógio A marca (em algum instante de S ) o horário dado por (10), i.e., se parte em t = 0 do ponto x 0A, move-se em M.R.U. de velocidade constante v em relação a S, move-se sobre o eixo das abscissas deste sistema, valem as transformações de Lorentz e portanto 15

16 t/ vx 0A /c 2, então existe uma correspondência biunívoca entre o valor de e o valor de t, i.e., quando o relógio A marcar o horário o valor de t é único, obtido da inversa de (10) e tal que t ( A + vx 0A /c 2 ), (13) e para um dado valor do instante t o valor de também é único no movimento realizado e obtido da inversa de (13), igual a (10). [C] Se os relógios A e B são síncronos em relação a S, conforme (5), e B parte em t = 0 do ponto x 0B, medidas essas em relação a S, então o relógio B deve marcar para todo valor de t o horário dado por (11), compatível com as transformações de Lorentz, isto enquanto permanecer o movimento de velocidade constante v em S. Obviamente, também existe uma correspondência biunívoca entre o valor de e o valor de t: quando o relógio B marcar o horário valor de t é único, obtido da inversa de (11) e tal que t ( B + vx 0B /c 2 ), (14) e para um dado valor do instante t o valor de também é único no movimento realizado e obtido da inversa de (14), igual a (11). [D] Satisfeitas as condições de [B] e [C], para um dado valor de registrado pelo relógio A em algum instante de S haverá um único valor correspondente registrado para o instante t do referencial em repouso S, e consequentemente um único valor registrado pelo relógio B para este mesmo instante t, dados respectivamente por (10) e (11), portanto, quando o relógio A marcar o horário dado por (10) o relógio B deve marcar o horário dado por (11), o que satisfaz a definição ou regra (5), conforme vimos, mas não [A], uma vez que para todo x x e v ou seja, A e B não podem ser síncronos em relação a S : contradição. Em outras palavras, quando A marcar em algum instante medido em S ) o relógio B não marcará (neste mesmo instante medido em S ) o instante, mas, o que é uma contradição, pois ambos os relógios, por hipótese adotada em [C], deveriam ser síncronos em relação a este referencial. Não deve causar estranheza o fato de exigirmos que a condição seja obedecida para relógios síncronos, conforme fizemos em [A], desde que entendamos o significado desta igualdade. Se é o horário marcado pelo relógio A em algum instante qualquer do referencial S (i.e., quando A marcar em S...) e se é o horário marcado pelo relógio B neste mesmo instante, 16

17 diferentemente, portanto, do significado usado para e em (5), então necessariamente se A e B são síncronos em relação a S. Percebamos que a explicação anterior prescindiu do conhecimento ou valor do tempo adotado para o referencial S. Em outras palavras, o tempo ou horário adotado para o referencial S móvel em relação a S pode até mesmo ser diferente dos horários marcados por A e B neste instante de S, mas ainda assim A e B deverão manter entre si o sincronismo em relação a S e no instante se neste instante, i.e., quer seja, quer seja. Este mencionado instante para a comparação dos horários marcados por A e B pode ser entendido, assim, como o instante em que A exibe o horário dado por (10), instante correspondente ao instante t do referencial fixo S (ambos os eventos são simultâneos em relação a S, e também em relação a S). Correspondente a este instante t medido em S é também o instante da indicação do relógio B ser igual a, com dado por (11) (ambos os eventos também são simultâneos em relação a S, e também em relação a S). Por silogismo hipotético concluímos que são simultâneos em relação a S a exibição do horário por A, dado por (10), e a exibição do horário por B, dado por (11). Eis a contradição: não de alguma não simultaneidade das marcações dos respectivos horários e mas da não existência do sincronismo ( ) em relação ao referencial móvel para um mesmo instante deste referencial. Então podemos perguntar: um observador localizado infinitamente próximo do relógio B e imóvel em relação a B diria que B mostra qual horário quando A marca? Segundo nossa demonstração, diria que mostra, devido ao não sincronismo dos relógios em relação a S. Segundo a T.R.R., diria que mostra, devido ao sincronismo dos relógios em relação a S. Só uma das respostas pode ser a correta. Com o propósito de evitarmos dúvidas quanto à dependência de e com relação ao tempo t do referencial fixo S, vamos fornecer uma outra demonstração de contradição para o sincronismo de relógios, mas sem usar desta vez a comparação das equações (10) e (11) para um mesmo argumento t. O nosso argumento de comparação será o tempo no referencial em movimento. Ao invés de usarmos a letra grega para a indicação do tempo no referencial móvel S usaremos a letra latina maiúscula T para indicar este tempo, isto no intuito de evitarmos dúvidas ou confusões entre o significado de (5) e o significado de (10) e (11). O tempo no referencial considerado em repouso continuará sendo denotado pela letra latina minúscula t. 17

18 Demonstração 2: Se A e B são síncronos em relação a S e se ambos medem o tempo T deste referencial então se T(A) = T 0 = T A (T 0 ) é o tempo (ou horário) marcado pelo relógio A num instante T 0 qualquer de S o relógio B, que marca o horário T(B) = T B (T), deve marcar também o horário T 0 quando A marcar T 0. Reciprocamente, se T(B) = T 0 = T B (T 0 ) é o tempo (ou horário) marcado pelo relógio B neste instante T 0 de S o relógio A, que marca o horário T(A) = T A (T), deve marcar também o horário T 0 quando B marcar T 0. Suponhamos que um terceiro relógio, C, encontra-se na origem do referencial em movimento. O relógio C será o nosso relógio padrão, que fornecerá o horário ou tempo adotado para o referencial S e tal que A e B devam ser síncronos com ele em S. Sendo assim, A deve marcar T 0 e B deve marcar T 0 no instante T 0 do referencial S, i.e., quando o relógio C na origem de S marcar o horário T 0 : T A (T 0 ) = T B (T 0 ) = T C (T 0 ) = T 0. Se for possível serem consistentes todas estas igualdades então concluiremos que A e B são relógios síncronos em relação a S, caso contrário, chegaremos novamente à contradição, pois A e B deveriam ser síncronos em S, por hipótese. Suponhamos que os três relógios estejam em repouso relativo entre si, mas movendo-se com a mesma velocidade constante v não nula em relação ao referencial S, aqui considerado fixo. O movimento se dá sobre o eixo X das abscissas. São obedecidas todas as demais condições de validade das transformações de Lorentz na sua forma mais simples, (6) a (9), em particular, no instante t = 0 de S as origens de S e S eram comuns, coincidentes, e os relógios que medem os instantes t são síncronos em relação a S e os que medem os instantes T são síncronos em relação a S (por hipótese). [A] Se C exibe o horário T 0 no instante T 0 medido em S, i.e., T C (T 0 ) = T 0, então o correspondente tempo t 0 medido no referencial S é dado por T 0 = t 0 /, i.e., t 0 = T 0. Introduzindo uma nova função, temos C (t 0 ) = t 0 / = T 0, (15) onde C (t 0 ) é igual ao horário exibido por C no instante t 0 do referencial S. [B] Neste tempo t 0 o relógio A estará exibindo o horário A (t 0 ) = t 0 / vx 0A /c 2, (16) onde x 0A é a posição do relógio A em S no instante t = 0, equação similar à obtida em (10). 18

19 [C] Semelhantemente, neste tempo t 0 medido em S o relógio B estará exibindo o horário B (t 0 ) = t 0 / vx 0B /c 2, (17) onde x 0B é a posição do relógio B em S no instante t = 0, equação similar à obtida em (11). [D] Podemos agora fazer uma transformação de coordenadas para que o argumento das funções que mostram o horário dos relógios A e B seja o tempo medido no referencial S, ao invés do tempo medido no referencial S, transformando assim as funções A (t) e B (t) em T A (T) e T B (T), respectivamente. Fazendo a substituição (15) em (16) obtemos A ( T 0 ) = T A (T 0 ) = T 0 vx 0A /c 2. (18) [E] Semelhantemente, fazendo a substituição (15) em (17) obtemos B ( T 0 ) = T B (T 0 ) = T 0 vx 0B /c 2. (19) [F] Verifica-se então, facilmente, que a condição necessária para o sincronismo dos relógios em relação ao referencial móvel foi violada, pois obteve-se T A (T 0 ) T B (T 0 ) T C (T 0 ), para x 0A x 0B 0 e v 0: contradição. III Relatividade da Simultaneidade Encontrar contradições em uma teoria não implica que só se encontrem contradições nessa teoria, ou que ela só contenha contradições. Pode-se também formular proposições ou sentenças não contraditórias em teorias que contenham contradições, pelo menos no caso geral, exceção às teorias completamente contraditórias (evidentemente, teorias estas sem utilidade prática alguma). Raciocinemos da seguinte maneira: Se T A (T 0 ) = T 0 deve existir algum valor de x A e t A medidos em S, coordenadas do relógio A neste referencial, tal que (t A vx A /c 2 ) = T 0, (20) 19

20 em acordo com a transformação de Lorentz para o tempo, (6). Semelhantemente, se T B (T 0 ) = T 0 deve existir algum valor de x B e t B medidos em S, coordenadas do relógio B neste referencial, tal que (t B vx B /c 2 ) = T 0, (21) em conformidade com a transformação de Lorentz para o tempo, (6). Igualando (20) e (21) obtemos a relação t B t A = v (x B (t B ) x A (t A ))/c 2, (22) onde utilizamos x A (t A ) para representar a posição x A do relógio A no instante t A, e, semelhantemente, utilizamos x B (t B ) para representar a posição x B do relógio B no instante t B, todas estas medidas feitas em relação ao referencial S. Em relação a S, se x 0A é a posição de A no instante t = 0 e x 0B, semelhantemente, a posição de B no instante t = 0, então verificam-se as equações horárias a seguir: x A (t A ) = x 0A vt A ; (23) x B (t B ) = x 0B vt B. (24) Aplicando (23) e (24) em (22), e fazendo L = x 0B x 0A, a distância entre os relógios no referencial fixo, obtemos t B = t A vl/(c 2 v 2 ). (25) O que podemos entender da equação (25), obtida que foi da igualdade de (20) com (21), e ambas conforme a transformação (6)? O horário, tempo, instante, instante de tempo, marcado pelo relógio A na posição x A e instante t A de S corresponde, é igual, ao horário, tempo, instante, instante de tempo, marcado pelo relógio B quando este se encontrar no instante t B, dado por (25), na posição x B (t B ) de S. Ambos os relógios indicarão, marcarão, o mesmo valor T 0. Supondo v > 0 e L > 0, obtém-se t B > t A em (25). Deste resultado e do sincronismo dos relógios que medem o tempo no sistema fixo conclui-se que não há sincronismo ou simultaneidade em relação a S nestas duas marcações de horários: os eventos E 1, A exibe o horário T 0 no instante t A de S, e E 2, B exibe o horário T 0 no instante t B t A de S, não são simultâneos em relação a 20

21 S. Decorre, em S, um intervalo de tempo igual a vl/(c 2 v 2 ) entre a ocorrência do primeiro evento e a ocorrência do segundo evento. Não há contradição alguma com a T.R.R. na conclusão anterior. E como derivar uma contradição de (25)? Em outras palavras, por quê, utilizando-se da validade de (6) e das equações (20) a (25), devem ser simultâneos em relação a S os dois eventos anteriores: E 1, A exibe o horário T 0 no instante t A de S, e E 2, B exibe o horário T 0 no instante t B =t A vl/(c 2 v 2 ) de S? Seria consistente a resposta Porque exibem o mesmo horário T 0 e A e B são síncronos em relação a S., ou ainda, consistente alguma resposta semelhante e que seja derivada desta? Não. É o que demonstraremos a seguir. Demonstração 3: Seguindo a definição de simultaneidade de Einstein, bem explicada por Nussenzveig ([9], p. 184), Se um evento 1 ocorre em P 1 no instante t 1, sendo marcado pela emissão de um sinal luminoso que parte de P 1 nesse instante, e o mesmo vale para P 2 em t 2 (evento 2), dizemos que estes dois eventos são simultâneos (t 1 = t 2 ) quando o ponto de encontro dos dois sinais luminosos é o ponto médio do segmento P 1 P 2., vamos calcular em qual posição de S se dá o encontro de dois raios de luz lançados no mesmo instante T 0 desse referencial. Um dos raios parte do relógio A em direção a B, para T 0 conforme (20), e outro parte do relógio B em direção a A, para T 0 conforme (21). No instante t A e posição x A (t A ) medidos em S, posição esta dada por (23), um dos dois raios de luz parte de A em direção a B obedecendo à equação horária c A (t) = x 0A (v c) t A ct, t t A. (26) Semelhantemente, no instante t B e posição x B (t B ) medidos em S, posição esta dada por (24) e instante dado por (25), outro raio de luz parte de B em direção a A obedecendo à equação horária c B (t) = x 0B (v c) t B ct, t t B. (27) Igualando (26) e (27) para obtermos o instante t de encontro dos raios resulta, com o auxílio de (25), 21

22 t = t A L/[2 (c v)]. (28) A posição de A neste instante t será, usando sua equação horária (23), x A = x 0A v{t A L/[2 (c v)]}, (29) a posição de B neste mesmo instante t será, usando sua equação horária (24), x B = x 0B v{t A L/[2 (c v)]}, (30) e a respectiva posição c AB de encontro dos raios de luz será, de (26), c AB = x 0A vt A cl/[2 (c v)]. (31) É fácil ver que em relação a S não é válida a condição para a simultaneidade dos eventos E 1 e E 2, pois c AB x A x B /2, ou seja, em relação a S a emissão dos dois raios de luz não é simultânea, o que já sabíamos. Verifiquemos agora em relação a S. Aplicando a transformação de Lorentz (7) em (29), (30) e (31), e com o uso de (28), obtemos, respectivamente, A = x A vt x 0A, (32) B = x B vt x 0B x 0A L, (33) AB = x 0A L/2, (34) verificando-se assim a condição de simultaneidade AB B /2 no referencial em movimento, o que não é nenhuma contradição. A contradição vem, finalmente, do vínculo ou dependência que há entre o referencial fixo e o referencial móvel durante o procedimento ou teste experimental de verificação da simultaneidade dos eventos, i.e., durante o movimento dos dois raios de luz (fótons) de um relógio para o outro. Se em relação a S o ponto de encontro AB dos dois sinais luminosos é o ponto médio do segmento B, em relação a este referencial em movimento a emissão dos dois raios de luz deve ser simultânea, no instante T 0 de S. Antes deste instante não há (por hipótese) nenhum fóton em S, e deste 22