MODELAGEM DA EQUAÇÃO DA ONDA ACÚSTICA APLICADA AO IMAGEAMENTO DE ESTRUTURAS GEOLÓGICAS. Jorge Luiz Rebelo dos Santos

Transcrição

1 MODELAGEM DA EQUAÇÃO DA ONDA ACÚSTICA APLICADA AO IMAGEAMENTO DE ESTRUTURAS GEOLÓGICAS Jorge Luiz Rebelo dos Santos Dissertação de Mestrado apresentada ao Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil, COPPE, da Universidade Federal do Rio de Janeiro, como parte dos requisitos necessários à obtenção do título de Mestre em Engenharia Civil. Orientador: Webe João Mansur Rio de Janeiro Agosto de 2012

2 MODELAGEM DA EQUAÇÃO DA ONDA ACÚSTICA APLICADA AO IMAGEAMENTO DE ESTRUTURAS GEOLÓGICAS Jorge Luiz Rebelo dos Santos DISSERTAÇÃO SUBMETIDA AO CORPO DOCENTE DO INSTITUTO ALBERTO LUIZ COIMBRA DE PÓS-GRADUAÇÃO E PESQUISA DE ENGENHARIA (COPPE) DA UNIVERSIDADE FEDERAL DO RIO DE JANEIRO COMO PARTE DOS REQUISITOS NECESSÁRIOS PARA A OBTENÇÃO DO GRAU DE MESTRE EM CIÊNCIAS EM ENGENHARIA CIVIL. Examinada por: Prof. Webe João Mansur, Ph.D. Dr. Cid da Silva Garcia Monteiro, D.Sc. Prof. Roberto Fernandes de Oliveira, D.Sc. Prof. Carlos Andrés Reyna Vera-Tudela, D.Sc. RIO DE JANEIRO, RJ BRASIL AGOSTO DE 2012

3 Santos, Jorge Luiz Rebelo Modelagem da equação da onda acústica aplicada ao imageamento de estruturas geológicas /Jorge Luiz Rebelo dos Santos. Rio de Janeiro: UFRJ/COPPE, IX, 92 p.: il.; 29,7 cm. Orientador: Webe João Mansur Dissertação (mestrado) UFRJ/COPPE/Programa de Engenharia Civil, Referências Bibliográficas: p Equação da onda acústica. 2. Modelagem. 3. Migração. I. Mansur, Webe João. II. Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE, Programa de Engenharia Civil. III. Título. iii

4 A minha mãe, Maria Ivonete Rebelo dos Santos iv

5 AGRADECIMENTOS Agradeço a Deus por ter me dado força para que eu chegasse até aqui. A minha família que me ensinou todos os valores dos quais, hoje, tanto me orgulho. Em especial a minha mãe Maria Ivonete Rebelo dos Santos, por ser um exemplo de perseverança e por sempre me apoiar nos meus projetos. Aos meus familiares do Rio de Janeiro Paulo Roberto e Sandra Rebelo, Marco Osvaldo e Sônia Regina, juntamente com os meus primos, pelo acolhimento familiar que me proporcionam. A minha noiva Talita Cristina pelo apoio e compreensão nos momentos que não pude estar com ela para desenvolver esse trabalho. Ao meu orientador Webe João Mansur por ter me dado a chance de estar no LAMEC, hoje LAMEMO, e conhecer pessoas excepcionais. Ao pesquisador Cid da Silva Garcia Monteiro, pela coorientação informal, essencial para o desenvolvimento desse trabalho. Aos amigos que sempre estão dispostos a ajudar: Rodrigo Camargo, Raul Flores, Viviane Ferreira, Raphael Corrêa, Gilmar Teixeira, Marco Túlio, Israel Nunes, Franciane Peters, Luciana Alexandre. À Ivone pela paciência e competência na solução de todos os problemas burocráticos. À Professora Sônia Caneppa pelas sugestões e correções do texto desta dissertação. Agradeço a CAPES pelo apoio financeiro durante o curso, sem o qual a conclusão deste trabalho estaria comprometida. v

6 Resumo da Dissertação apresentada à COPPE/UFRJ como parte dos requisitos necessários para a obtenção do grau de Mestre em Ciências (M.Sc.) MODELAGEM DA EQUAÇÃO DA ONDA ACÚSTICA APLICADA AO IMAGEAMENTO DE ESTRUTURAS GEOLÓGICAS Jorge Luiz Rebelo dos Santos Agosto /2012 Orientador: Webe João Mansur Programa: Engenharia Civil Modelar a propagação de ondas acústicas é de grande importância nos estudos da geofísica, pois quando uma frente de onda encontra uma estrutura geológica com propriedades distintas, as interfaces refletem a energia para a superfície trazendo informações importantes sobre a litologia da estrutura geológica analisada. Com isso, pode-se descrever alguns parâmetros importantes como a posição e a forma da superfície refletora. Este trabalho tem como objetivo principal comparar a modelagem da equação acústica da onda e a migração reversa no tempo (RTM) utilizando os métodos das diferenças finitas (MDF) e elementos finitos (MEF). Os algoritmos desenvolvidos através desses dois métodos são avaliados em diferentes modelos sintéticos, a fim de gerar os dados necessários para a migração dos dados. Em seguida esses dados são migrados através do processo RTM gerando imagens de estruturas em subsuperfície. vi

7 Abstract of Dissertation presented to COPPE/UFRJ as a partial fulfillment of the requirements for the degree of Master of Science (M.Sc.) MODELING THE ACOUSTIC WAVE EQUATION APPLIED TO IMAGING GEOLOGIC STRUCTURES Jorge Luiz Rebelo dos Santos August /2012 Advisor: Webe João Mansur Department: Civil Engineering Modeling acoustic wave propagation is extremely important in geophysics studies, as when a wave front meets a geological structure with distinct properties, the interfaces reflects energy to the surface, bringing important information about the geologic structure s lithology being analyzed. With this information is possible to describe some important parameters like the location of reflecting surfaces. The main goal of this work is to compare the modeling of acoustic wave equation and the reverse time migration (RTM), using the finite differences method (FDM) and finite elements method (FEM). The algorithms developed to these two methods are evaluated in synthetic velocity models to generate the necessary data to carry out migration. Then this data are migrated through the RTM process, generating images of the surface structures. vii

8 SUMÁRIO SUMÁRIO... viii CAPÍTULO INTRODUÇÃO Motivações Objetivos Estrutura do trabalho... 5 CAPÍTULO REVISÃO DA LITERATURA Considerações Um Breve Histórico dos Métodos das Diferenças Finitas e Elementos Finitos Métodos Numéricos Utilizados na Modelagem Acústica Métodos Numéricos Utilizados na Migração dos Dados Sísmicos CAPÍTULO DESENVOLVIMENTO MATEMÁTICO Classificação dos tipos de ondas Equação Acústica da Onda Fonte Sísmica CAPÍTULO Modelagem Discretização da Equação da Onda Acústica pelo Método das Diferenças Finitas Discretização da Equação pelo Método dos Elementos Finitos viii

9 4.3. Condições de Contorno Condições de Contorno de Dirichlet e de Neumann Bordas não Reflexivas Camadas de Amortecimento Dispersão e Estabilidade Numérica Dispersão e Estabilidade para o Método das Diferenças Finitas Dispersão e Estabilidade para o Método dos Elementos Finitos CAPÍTULO MIGRAÇÃO DE DADOS SÍSMICOS Migração Princípio de Huygens Princípio da Reversibilidade Temporal Princípio da Reciprocidade Migração Reversa no Tempo Condição de Imagem CAPÍTULO DESENVOLVIMENTO COMPUTACIONAL Considerações Algoritmos de Diferenças Finitas Algoritmo de Elementos Finitos CAPÍTULO APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS Modelos CAPÍTULO CONSIDERAÇÕES FINAIS Conclusões Trabalhos Futuros REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS APÊNDICE A DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA ACÚSTICA PELO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS APÊNDICE B INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS ix

10 CAPÍTULO 1 INTRODUÇÃO 1.1. Motivações Com o crescimento da indústria petrolífera e, mais especificamente, com a descoberta do pré-sal, cresce a importância de se identificar as camadas em subsuperfície com maior exatidão, pois é necessário conhecer melhor o tipo de litologia da área a ser explorada, a fim de evitar desastres ambientais e otimizar a perfuração de poços. Daí a necessidade de se ter ferramentas matemáticas e numéricas que possibilitem a simulação de fenômenos físicos principalmente a propagação da onda acústica e sejam capazes de fornecer respostas cada vez mais precisas com relação às propriedades em subsuperfície. Uma dessas ferramentas é o método sísmico de reflexão 1. Tal método baseia-se em gerar ondas sísmicas através de fontes artificiais e registrar suas reflexões formadas pelo contato com camadas geológicas com diferentes impedâncias acústicas 2, sendo essas reflexões capturadas, processadas e analisadas para gerar uma imagem da subsuperfície que está sendo estudada. As técnicas baseadas na reflexão de ondas sísmicas mais comuns são: 2D: obtém uma imagem sísmica bi-dimensional do subsolo; 3D: obtém uma imagem sísmica tri-dimensional do subsolo; 4D: utiliza várias inspeções sísmicas 3D num período de tempo para avaliar, o comportamento do reservatório. 1 Sísmica de reflexão é um método de prospecção geofísica que utiliza os princípios da sismologia para estimar as propriedades da subsuperfície da Terra com base na reflexão de ondas sísmicas. Este método requer a utilização de uma fonte sísmica de energia controlada, como por exemplo, um explosivo. Ao determinar o tempo que a onda refletida demora até atingir um receptor, é possível estimar a profundidade da estrutura que gerou a reflexão. Deste modo, a sísmica de reflexão é semelhante ao sonar e à ecolocalização. 2 Consiste do produto entre a velocidade de propagação da onda sísmica pela densidade do meio. 1

11 A Figura 1.1 apresenta o método sísmico de reflexão. Nela são ilustrados exemplos de aquisição sísmica marítima e terrestre. Pode-se observar na figura que uma parte da energia emitida pela fonte retorna à superfície sendo registrada por aparelhos, geofones em terra e hidrofones no mar, enquanto outra parte não é registrada, sendo, portanto, perdida no meio. Cada receptor registra um traço sísmico 3, e o conjunto dos traços sísmicos é denominado sismograma. Este registro fornece informações importantes sobre a litologia do local que está sendo analisado, como por exemplo: tipos de rocha e a presença de sal, gás ou petróleo. Figura 1.1 Ilustração do método sísmico de reflexão (histpetroleo.no.sapo.pt/pesquisa). O objetivo da sísmica de reflexão é obter uma imagem da subsuperfície a partir do sismograma registrado na superfície, de tal sorte que geólogos e intérpretes possam identificar com maior precisão possíveis reservatórios de hidrocarbonetos, diminuindo assim as chances de perfurar um local onde não exista petróleo, economizando tempo e dinheiro, já que a perfuração de poços é um processo caro e perigoso. Em relação ao método sísmico, pode-se dizer que ele consiste em três etapas principais, que são respectivamente: aquisição, processamento e interpretação YILMAZ (2001), esquematizado na Figura 1.2 abaixo: 3 Função temporal da variação do sinal sísmico proveniente de uma estação de geofones ou hidrofones. 2

12 Figura 1.2 Etapas do processo sísmico A aquisição é a fase em que são realizados os experimentos sísmicos, ou seja, gerase uma perturbação utilizando uma fonte explosiva de forma controlada. Isso faz com que uma onda se propague através do meio, e as reflexões originadas pelas interfaces são registradas na superfície. Esta etapa é uma das mais caras do método sísmico, pois utiliza equipamentos de grande porte e de alta tecnologia. Na etapa do processamento, tratam-se os dados obtidos na primeira etapa, gerando imagens da conformação geológica existente, com a finalidade de torná-las adequadas à interpretação. Por fim, na última etapa interpretam-se as informações geológicas aferidas, a fim de identificar possíveis reservas de hidrocarbonetos em subsuperfície. Com o passar do tempo, essas reservas estão tornando-se cada vez mais difíceis de serem encontradas, já que as jazidas mais próximas à superfície estão chegando ao máximo de sua exploração, fazendo com que a busca por novas reservas aumente. Essa busca se dirige às regiões de profundidades cada vez maiores, onde as dificuldades técnicas aumentam enormemente. Em consequência disso, há uma grande quantidade de estudos com o objetivo de aprimorar os instrumentos de aquisição, processamento e interpretação, resultando em um grande desenvolvimento tecnológico. Estima-se que aproximadamente 60% das reservas de petróleo estão abaixo de camadas salinas. Nessas formações, devido às suas características peculiares, tais como a elevada velocidade de propagação quando comparada com o meio ao seu redor e a sua geometria irregular, há um espalhamento (dispersão) das ondas incidentes. Com isso, observa-se uma redução da energia registrada na superfície. Essa redução de energia dificulta a análise dos dados e pode produzir refletores mal imageados abaixo de regiões que contenham estruturas salinas. A Figura 1.3 ilustra o perfil de uma região onde há ocorrência de camadas de sal, incluindo a região de pré-sal. Pode-se notar as dificuldades envolvidas no processo como todo, não apenas a identificação de novos reservatórios, mas também a sua exploração efetiva, pois esses reservatórios se encontram em regiões onde a lâmina 3

13 d água e as camadas de sal apresentam espessuras muito grandes, às vezes da ordem de quilômetros. Com o intuito de melhorar o imageamento dessas estruturas, a indústria do petróleo utiliza diferentes técnicas de migração de dados sísmicos, que é o processo através do qual converte-se as informações registradas nos sismogramas em seções sísmicas migradas 4. Diversos tipos de migração de dados são utilizados pela indústria do petróleo, dentre os mais conhecidos pode-se citar a migração Kirchhoff, PSPI (Phase Shift Plus Interpolation) e a RTM (Reserve Time Migration). O conceito de migração, seja ela a RTM ou de outro tipo, é transferir a informação registrada na superfície (sismograma) para as posições do modelo que as geraram (refletores). No caso da RTM, essa transferência é realizada através da depropagação do campo de ondas registrado nos sismogramas, juntamente com uma condição de imagem 5, sendo possível adaptar um código desenvolvido para a modelagem sísmica. Isso se deve ao fato de se tratar da mesma equação diferencial parcial, onde a principal diferença está no sentido em que os eventos ocorrem. Figura 1.3 Ilustração da profundidade da camada pré-sal ( Tradicionalmente, o método numérico mais empregado em geofísica para solucionar a equação da onda é o Método das Diferenças Finitas (MDF), devido a sua facilidade de implementação e ao seu excelente desempenho e custo computacional. Entretanto, o MDF apresenta algumas limitações, sendo a principal relacionada ao espaçamento entre os pontos do grid utilizado, o qual deve ser o mesmo para todo o modelo e que está associado à menor velocidade do modelo. Por outro lado, o Método dos Elementos 4 É a operação por meio da qual o campo de onda registrado é transformado na imagem dos refletores. 5 Tem a finalidade de formar a imagem do modelo geológico estudado em cada ponto da malha. 4

14 Finitos (MEF) não apresenta essa limitação, permitindo adequar diferentes malhas para diferentes regiões do modelo. Porém, o MEF apresenta uma implementação mais complexa do que MDF sendo, por isso, menos utilizado, apesar de sua maior precisão. Maiores detalhes sobre os métodos utilizados serão apresentados nos próximos capítulos. Nesse trabalho serão utilizados os métodos das diferenças finitas e dos elementos finitos para realizar tanto a modelagem da propagação da onda acústica em modelos sintéticos, como também a migração dos dados obtidos na modelagem. Destaca-se também que o processo utilizado para migrar os dados registrados nos sismogramas será a migração reversa no tempo Objetivos Este trabalho tem como objetivo principal solucionar a equação acústica da onda através dos algoritmos desenvolvidos, utilizando os métodos das diferenças finitas e elementos finitos, investigando o fenômeno de propagação de ondas, registrando os principais acontecimentos físicos que este promove, como: reflexão, refração e difração que são essenciais para a formação dos parâmetros de entrada para a migração dos dados sísmicos e comparar os resultados da migração RTM obtidos com a aplicação desses métodos. Com isso, pode-se analisar a resolução da imagem obtida Estrutura do trabalho O texto está dividido em oito capítulos e dois apêndices. O primeiro capítulo apresenta a motivação e o objetivo do trabalho. No segundo capítulo é apresentada uma revisão bibliográfica com um breve contexto histórico do método das diferenças finitas e dos elementos finitos aplicados à modelagem e à migração sísmica. No terceiro, é apresentada a teoria do fenômeno ondulatório, onde é dada ênfase na obtenção da equação diferencial que servirá de base para os esquemas numéricos 5

15 implementados e também são vistos aspectos que envolvem o termo fonte utilizado nas simulações numéricas. O quarto capítulo trata dos principais aspectos numéricos da modelagem sísmica, mostrando a equação da onda acústica discretizada pelos dois métodos. Este capítulo expõe também a relação entre velocidade de propagação e refinamento da malha, comentando-se um pouco sobre a dispersão numérica, condições de contorno e condições de borda no modelo. No quinto capítulo, descreve-se a migração e quais são seus objetivos e princípios, sendo mais detalhada a Reverse Time Migration (RTM) que foi a técnica utilizada para migração dos dados nesta dissertação. Além disso, destaca - se a importância da condição de imagem para a geração das seções migradas, esboçando com mais detalhes o critério de amplitude máxima que foi o critério adotado nesta dissertação. No sexto capítulo, apresenta-se o desenvolvimento dos algoritmos de diferenças finitas e elementos finitos, onde é mostrado o funcionamento desses algoritmos através de fluxogramas. No sétimo capítulo, apresentam-se exemplos e aplicações utilizando os dois esquemas numéricos propostos. Por fim, no capítulo oito, são apresentadas as conclusões, bem como sugestões para os trabalhos futuros. O Apêndice A apresenta a discretização da equação da onda acústica pelo método das diferenças finitas utilizando operadores de segunda e quarta ordem para discretizar as derivadas da equação. O Apêndice B apresenta a discretização da equação da onda pelo método dos elementos finitos, partindo da aplicação do método dos resíduos ponderados até obter a equação do movimento e aplicando o método de Newmark para realizar a integração no tempo. 6

16 CAPÍTULO 2 REVISÃO DA LITERATURA 2.1. Considerações Os métodos numéricos são cada vez mais utilizados em diversas áreas, não somente em engenharia onde são largamente utilizados há décadas e em geofísica, mas também em ciências físicas, por exemplo, onde os métodos analíticos historicamente são os preferidos por serem mais apropriados à interpretação dos fenômenos. Porém, com o desenvolvimento dos computadores, a utilização dos métodos numéricos para simulação dos fenômenos físicos tem se tornado cada vez mais atraente, pois proporcionalmente ao desenvolvimento das máquinas está a capacidade de aproximação dos algoritmos da solução analítica (se, e somente se, o erro global tende a zero). Desta forma, a solução de problemas reais utilizando métodos numéricos constitui uma importante ferramenta para engenheiros e pesquisadores, já que se pode investigar mais precisamente os fenômenos físicos em diferentes meios e explorar ao máximo o que este pode fornecer para o desenvolvimento e aprimoramento de novas tecnologias, como é o caso da modelagem e da migração da onda acústica Um Breve Histórico dos Métodos das Diferenças Finitas e Elementos Finitos. O método das diferenças finitas constitui um dos primeiros métodos numéricos desenvolvidos para a resolução de equações diferenciais. Ele consiste na substituição das derivadas presentes na equação em estudo, por aproximações algébricas de diferenças obtidas a partir da expansão em série de Taylor. Este método é utilizado há 7

17 muitas décadas em engenharia e mais especificamente para problemas de propagação de ondas. No Apêndice A é apresentada a discretização da equação da onda acústica pelo método das diferenças finitas. A aproximação por diferenças finitas com malha intercalada foi proposta inicialmente por YEE (1966), para solucionar as equações de Maxwell em problemas de eletromagnetismo. Desde então, o MDF vem sendo aplicado nas mais diferentes áreas por ser um método relativamente simples de ser implementado em computador. A aplicação desse método a problemas de propagação de ondas em meios homogêneos e isotrópicos foi inicialmente proposta por ALTERMAN e KORNFELD (1968), ALTERMAN e ROTENBERG (1969), ALTERMAN e LOEWENTHAL (1970), OTTAVIANI (1971), sendo os trabalhos da pesquisadora A. S. ALTERMAN um dos mais importantes para o desenvolvimento e divulgação da utilização desse método na sismologia de acordo com a Society of Exploration Geophysicis. Já o desenvolvimento do Método dos Elementos Finitos (MEF) teve suas origens no final do século XVIII, quando Gauss propôs a utilização de funções de aproximação para a solução de problemas matemáticos. Durante mais de um século, diversos matemáticos desenvolveram teorias e técnicas analíticas para a solução de problemas. Entretanto, pouco se evoluiu devido à dificuldade e à limitação existente na solução do sistema de equações algébricas. O desenvolvimento prático deste método ocorreu somente muito mais tarde em consequência dos avanços tecnológicos. Segundo ASSAN (1999), o MEF surgiu como uma nova alternativa para resolver problemas da teoria da elasticidade. Este método teve um grande avanço na década de 1950 com o surgimento dos primeiros computadores digitais, sendo posteriormente aplicado à mecânica dos fluidos e a outras áreas afins, sendo atualmente o método numérico mais geral de solução de equações diferenciais parciais. O objetivo principal do MEF é a transformação da formulação diferencial do problema numa formulação variacional, envolvendo equações integrais. Tal formulação pode ser obtida por meio do uso de diferentes metodologias, como pelo princípio dos trabalhos virtuais ou pelo método dos resíduos ponderados. A discretização da equação da onda acústica por esse método pode ser vista no apêndice B. Maiores detalhes podem ser encontrados em ZIENKIEWICZ e TAYLOR (2000) e BATHE (1996). 8

18 2.3. Métodos Numéricos Utilizados na Modelagem Acústica Neste trabalho serão utilizados os métodos das diferenças finitas e dos elementos finitos para realizar tanto a modelagem da equação da onda, quanto a migração dos dados sísmicos. A seguir são apresentados alguns trabalhos referentes à modelagem e à migração usando tais métodos. Os métodos utilizados para solucionar a equação da onda foram descritos, de uma forma geral, por CARCIONE, HERMAN e KROODE (2002), que os classificou em três categorias: Métodos Diretos (nos quais se encontram o MDF e o MEF), Métodos Integrais (métodos dos elementos de contorno MEC) e Métodos de Traçado de Raios, além de discutir os aspectos da implementação numérica: convergência, estabilidade numérica, condições de contorno e bordas não reflexivas. MARFURT (1984) comparou quantitativamente a solução escalar e elástica da equação da onda usando o MDF e o MEF, concluindo que o MEF é superior na modelagem de meios elásticos. Dentre os métodos numéricos mais utilizados atualmente, o MDF é um dos mais popularmente empregados. Por conta disso, há uma enorme quantidade de trabalhos publicados em geofísica utilizando o MDF. Entre outros motivos, destaca-se sua facilidade de implementação e paralelização dos algoritmos, já que nessa área da ciência o volume de informações a ser processado é muito grande. Com esse método é possível obter formulações explícitas que não necessitam de resolução de sistemas algébricos ou inversão de matrizes para se obter a solução. Para maiores detalhes consultar ALFORD et al. (1974). Por outro lado, há poucos trabalhos em geofísica utilizando o MEF devido a sua maior complexidade de implementação e solução quando comparado com o MDF, sendo a sua aplicação no estudo de propagação de ondas sísmicas iniciada por SMITH (1985). Em 1977, ZIENKIEWICZ utilizou um esquema isoparamétrico de segunda ordem baseando-se no princípio variacional, onde o campo de onda era calculado para cada nó da malha de elementos finitos através de um polinômio interpolador. Nesse 9

19 trabalho, o autor substituiu a matriz de massa por uma matriz de massa diagonalizada obtida através da soma dos coeficientes de cada linha da matriz. Essa matriz é conhecida como matriz de massa concentrada, o que tornou possível resolver o sistema de equações de forma explícita, ou seja, sem a necessidade de inversões matriciais reduzindo, assim, o tempo de processamento. Uma das vantagens em se usar o MEF está na condição de contorno, que para esse método é considerada de forma implícita. Por isso, não é necessária qualquer manipulação para implementar a condição de contorno de Neumann que será detalhada no capítulo 6, pois ela já existe implicitamente. Nas bordas laterais e inferior costumamse utilizar técnicas para amortecer e reduzir as reflexões indesejadas provenientes desses contornos, já que tais reflexões geram interferências que atrapalham a migração dos dados. Vale ressaltar que essas reflexões não existem no caso real. Em seu trabalho, SILVA NETO (2004) modelou a equação da onda acústica utilizando MDF e MEF e aplicou os resultados em modelos homogêneos e heterogêneos, concluindo que ambos os métodos são eficazes na modelagem acústica. A modelagem é na maioria das vezes solucionada no domínio do tempo. No entanto, pode-se trabalhar o problema de propagação da onda acústica tanto no domínio do tempo quanto no domínio da frequência, tendo vantagens e desvantagens para cada uma destas metodologias, dependendo da natureza do problema físico considerado. Dentre os métodos utilizados para transformação de domínio destaca-se a transformada de Fourier, que possibilita a interpretação do espectro 6 da frequência, sendo conhecidos como métodos espectrais e foram detalhados em CARCIONE (2002) e JO (1987). Entretanto, segundo SANTOS e FIGUEIRÓ (2006), esses métodos apresentam limitações para modelos com geometria complexa e fortes gradientes de propriedades físicas, como acontece em contatos de litologias distintas. Outros trabalhos pioneiros na área de modelagem sísmica estão reunidos em uma publicação da SEG (Society of Exploration Geophysicists) intitulada: Numerical Modeling of Seismic Wave Propagation KELLY e MARFURT(1990). 6 O espectro de um sinal é um objeto matemático apropriado para descrever, de uma forma bastante conveniente, um sinal a partir da variável que representa a frequência angular do sinal, do que através de uma curva em função do tempo, além de informar a medida da frequência do sinal. 10

20 2.4. Métodos Numéricos Utilizados na Migração dos Dados Sísmicos A migração é o processo através do qual a informação registrada na superfície (reflexões das estruturas) é posicionada corretamente na profundidade em que foram originadas. Segundo BULCÃO (2004) tem-se: Em Geofísica, define-se Migração Sísmica como sendo um conjunto de procedimentos nos quais os campos de ondas registrados (sendo na superfície ou não), contendo as informações das camadas e interfaces do modelo geológico, são transformados, através de métodos adequados, em imagens corretamente posicionadas dos refletores em subsuperfície. Durante este processo, tem-se a extinção das difrações que são registradas nos sismogramas Na verdade, a migração ocupa a maior parte do processamento sísmico. Implementada desde os anos de 1920 como um método gráfico (HAGEDOORN, 1954), baseada na aplicação de regras simples de óptica geométrica ou através do colapso das difrações, para maiores detalhes ver BLEISTEIN et al. (2001). Segundo GRAY et al.(2001), o desenvolvimento do método de migração utilizando computadores teve grande impulso dado por Jon Claerbout e seus estudantes, que desenvolveram um método de migração baseado na aproximação da equação da onda por diferenças finitas (CLAERBOUT e DOHERTY, 1972). Atualmente, em se tratando da obtenção de imagens em profundidade dos refletores, a indústria do petróleo utiliza diversos tipos de migração de dados, dentre os mais conhecidos pode-se citar a migração Kirchhoff, PSPI (Phase Shift Plus Interpolation) e a RTM (Reverse Time Migration). A migração de Kirchhoff descende do antigo método estatístico do empilhamento de difrações, o qual trabalha somando as amplitudes dos dados de entrada (x,t) ao longo de uma hipérbole de difração, cuja curvatura é governada por uma função velocidade. O avanço ocorreu quando SCHNEIDER (1978) apresentou uma solução exata para equação da onda acústica via integral de Kirchhoff, transformando o método estatístico em um método determinístico (SCHNEIDER, 1978, pp.49-76). Logo após, desenvolvese a migração PSPI, que é a migração por deslocamento de fase. Nessa técnica, aplica- 11

21 se a transformada de Fourier para mudar do domínio do tempo para frequência. Maiores detalhes desse tipo de migração podem ser encontrados em (GAZDAG e SGUAZZERO, 1984). Praticamente, nesse mesmo período, desenvolveu-se a migração reversa no tempo (BAYSAL et al., 1983; MCMECHAN, 1983; WHITMORE,1983). Esta técnica utiliza a equação completa da onda e consiste em depropagar o campo de onda, gradualmente. Nos últimos anos, esse esquema de migração tem sido amplamente difundido devido ao desenvolvimento da capacidade dos computadores em armazenar e processar grandes quantidades de dados. Uma das desvantagens em se utilizar RTM está justamente no custo computacional que ela requer em comparação com outros métodos de migração. No entanto, a RTM é indicada quando se trata de modelos geológicos complexos, como é o caso de modelos com a presença de estruturas salinas. Testes comparativos entre a migração Kirchhoff, bastante utilizada pela indústria, e a RTM mostraram que esta foi até 15 vezes mais cara, entretanto forneceu melhores resultados, YOON et al, (2003). Esse processo é aplicado principalmente em modelos sintéticos em duas dimensões, sendo que pode ser expandido para três dimensões. MUFTI et al. (1996) utilizaram o método das Diferenças Finitas para imagear modelos geológicos sintéticos tridimensionais através da RTM, sendo sua principal dificuldade a grande quantidade de memória e tempo de processamento necessários para imagear esse tipo de modelo. Para contornar esse problema, fez-se o uso de cluster de PCs 7, o que possibilitou uma notável melhora na execução das tarefas e no armazenamento. Com isso, tornou-se viável explorar com maiores detalhes os modelos geológicos estudados. Em 2004, QINGYUN e MIAOYUE utilizaram o método dos elementos finitos no processo de migração RTM, aplicado aos dados obtidos através da técnica de aquisição conhecida como GPR (Ground Penetrating Radar 8 ) bastante usada em arqueologia para mapear sítios arqueológicos. Nesse processo, utilizou-se a equação da onda eletromagnética para fornecer os parâmetros de entrada para migração dos dados em modelos sintéticos que simulavam zonas de pouca condutividade elétrica como areia 7 Conjunto de computadores ligados entre si através de uma rede, de tal modo que possam trabalhar juntos para resolver determinado problema. 8 É um método eletromagnético de alta frequência (de 50 a 1600 MHz), com capacidade de adquirir grande quantidade de informação num tempo reduzido. Este sistema gera imagens do subsolo utilizando como fonte transmissora uma antena eletromagnética que emite um sinal a uma frequência fixa que pode penetrar sedimentos, rocha, gelo ou outros tipos de materiais naturais ou artificiais. 12

22 seca, granito, calcário, cimento e outras com uma alta condutividade, tais como argila. Os autores tinham como objetivo investigar o grau de atenuação, analisando a resposta da migração via RTM utilizando uma malha de elementos finitos. Concluíram que para materiais com pouca condutividade elétrica pode-se obter uma imagem da subsuperfície com maior grau de nitidez, já que nessas áreas o grau de atenuação é bem menor. Poder-se-ia dizer que o processo de migração é o inverso da modelagem, já que ambos utilizam a mesma equação diferencial parcial. A principal diferença está na ordem em que os eventos acontecem. No entanto, no processo da migração faz-se necessária a utilização de uma condição de imagem obtida na modelagem. Em sua dissertação de mestrado, SILVA (2009) apresentou um estudo comparativo da aplicação de diferentes condições de imagem para o imageamento de estruturas em subsuperfície, utilizando o MDF para realizar a modelagem e a migração dos dados. O autor concluiu que para cada meio geológico distinto deve-se utilizar uma condição de imagem diferente, de modo a produzir imagens mais próximas daquelas presentes no modelo. O processo da RTM será mais detalhado no quarto capítulo desta dissertação, porém destacam-se alguns trabalhos referentes à migração, que são: BERKOUT (1984), EVANS (1998) e YILMAZ (2008). 13

23 CAPÍTULO 3 DESENVOLVIMENTO MATEMÁTICO Inicialmente, este capítulo apresenta algumas das principais formas de classificação dos fenômenos ondulatórios. Em seguida, são apresentadas as equações básicas, a partir das quais será obtida a equação diferencial parcial, denominada equação da onda acústica que governa o problema de propagação de ondas Classificação dos tipos de ondas Uma onda é um movimento causado por uma perturbação, que se propaga através de um meio. Um exemplo de onda é obtido quando joga-se uma pedra em um lago de águas calmas, onde o impacto causará uma perturbação na água, fazendo com que ondas circulares se propaguem pela superfície da água. Há também ondas que não são observadas a olho nu como, por exemplo, ondas de rádio, ondas de televisão, ondas ultravioleta e microondas. Além destas, há alguns tipos de ondas que ocorrem diariamente a nossa volta, mas que não são identificadas normalmente, como a luz e o som. Entretanto, todas elas apresentam uma característica comum: transportam energia através do meio em que se propagam, mas não transportam matéria, ou seja, não há transferência de massa. A seguir são apresentadas algumas formas de classificação dos fenômenos ondulatórios, outras formas podem ser encontradas na literatura, como por exemplo GRAFF,(1991). As ondas podem ser classificadas conforme sua natureza: Ondas Mecânicas: são ondas que necessitam de um meio material para se propagar, ou seja, sua propagação envolve o transporte de energia cinética e potencial e depende da elasticidade do meio. Por isto não é capaz de propagar-se 14

24 no vácuo. Alguns exemplos são os que acontecem em molas, cordas, sons e as ondas sísmicas acústicas, variável escalar e ondas sísmicas elásticas, variável vetorial. Ondas Eletromagnéticas: são ondas geradas por cargas elétricas oscilantes e sua propagação não depende do meio em que se encontram, podendo propagar-se no vácuo e em determinados meios materiais. Alguns exemplos são as ondas de rádio, de radar, os raios X e as microondas. Quanto à direção de propagação as ondas são classificadas como: Unidimensionais: que se propagam em apenas uma direção, como as ondas em cordas e molas esticadas; Bidimensionais: são aquelas que se propagam por uma superfície, como as águas em um lago quando se joga uma pedra; Tridimensionais: são capazes de se propagar em todas as dimensões, como a luz e o som e as ondas sísmicas. Quanto à direção da vibração, as ondas podem ser classificadas como: Longitudinais ou compressionais: são ondas onde a direção de propagação coincide com a direção de vibração do meio onde se propaga, como é o caso das ondas P (primárias) em sísmica. Transversais ou cisalhantes: são aquelas em que as vibrações das partículas do meio ocorrem perpendicularmente à direção de propagação da onda. Como exemplo, pode-se citar as ondas SV (secundária vertical) e SH (secundária horizontal) no caso das ondas sísmicas presentes em corpos elásticos. A Figura 3.1 a seguir mostra o comportamento das ondas compressionais e cisalhantes no solo, podendo-se notar o maior efeito destrutivo das ondas de cisalhamento. Cabe destacar que as ondas sísmicas são aquelas que ocorrem na Terra e podem ser de origem natural como consequência de abalos sísmicos decorrentes do movimento de placas tectônicas, ou artificiais obtidas a partir de explosões produzidas pelo homem, com objetivo de obter informações da subsuperfície. 15

25 Figura 3.1 Exemplo de ondas compressionais (a) e cisalhantes (b) 3.2. Equação Acústica da Onda Esse trabalho aborda o estudo da propagação de ondas sísmicas de origem artificial em meios acústicos, descrito pela equação acústica da onda 9 em modelos bidimensionais, que é expressa em termos de uma equação diferencial parcial de segunda ordem dependente do tempo e do espaço. No modelo bidimensional, tem-se a variável x como a coordenada de superfície e a variável z como a coordenada de profundidade, com o eixo positivo orientado para baixo. A seguir é apresentada a dedução da equação da onda obtida através da Lei de Hooke e a segunda Lei de Newton. Segundo a Lei de Hooke as deformações de um corpo são proporcionais às tensões que as provocam. Portanto, tem-se: ( ) (3.1) Sabendo que: P(x, z, t) é o campo de pressão; (x, z) é a incompressibilidade do meio; u (u x,u z ) é o vetor deslocamento da partícula no meio; 9 A resolução da equação de onda foi um dos maiores problemas da matemática nos meados do século XVIII. A equação de onda foi deduzida e estudada, pela primeira vez, por D`Alembert, em Atraiu também a atenção de Euler (1748), de Daniel Bernoulli (1753) e de Lagrange (1759). 16

26 é o operador gradiente, em coordenadas cartesianas. Derivando-se a Eq. (3.1) duas vezes em relação ao tempo e considerando constante em relação ao tempo tem-se: ( ) (3.2) Alterando a ordem das derivadas tem-se: (3.3) Considerando agora a segunda lei de Newton, onde a força é proporcional à aceleração: (3.4) E nesse caso: ( ) ; ( ) é a densidade do meio; Dessa forma de 3.4 tem-se: (3.5) Substituindo 3.5 em 3.3, temos: ( ) (3.6) Dessa forma temos: 17

27 ( ) (3.7) Manipulando essa equação, temos: ( ) ( ) (3.8) Substituindo (onde é a velocidade do meio) e ( ), tem-se: ( ) (3.9) Ajustando a equação: (3.10) Sabendo que, tem-se: (3.11) Ajustando a equação, tem-se: (3.12) Que é a equação acústica da onda; se a densidade (ρ) for constante então,, portanto teremos: (3.13) Que pode ser escrita da seguinte forma: 18

28 ( ) ( ) ( ) (3.14) Onde o termo ( ) representa uma fonte externa. Para descrever completamente o movimento ondulatório faz-se necessário especificar condições iniciais, e de contorno. Para isso, considere a Figura 3.2: Figura 3.2 Problema de valor inicial e de contorno. Condições iniciais: ( ), condição inicial de pressão em Ω. ( ), condição inicial da derivada da pressão em Ω. E de contorno: ( ) =, condição de contorno essencial ou Dirichlet em. ( ), condição de contorno natural ou Neumann em Fonte Sísmica Na sísmica de reflexão, a forma mais utilizada para se obter informações a respeito da subsuperfície é através da detonação de fontes artificiais na superfície ou próximas a esta e registrar, também na superfície, as reflexões oriundas do meio. Na sísmica terrestre geralmente são utilizados explosivos ou caminhões vibradores, enquanto que 19

29 na sísmica marítima é utilizado um dispositivo de ar-comprimido conhecido como airgun que gera uma onda de pressão. Uma importante característica da fonte sísmica utilizada pela geofísica é que esta é limitada no intervalo de tempo e apresenta um espectro de frequências também limitado, ou seja, apresenta uma frequência máxima. Na modelagem numérica utilizada nesta dissertação, a fonte sísmica foi obtida a partir da derivada segunda da função gaussiana, CUNHA (1997), pois esta apresenta as características exigidas pela geofísica. Cabe observar que outras funções matemáticas podem ser utilizadas desde que atendam as condições impostas pela fonte. A expressão matemática da fonte é: ( ) ( ) ( ) (3.15) Onde: é o tempo defasado necessário para deslocar a função para a direita, garantindo que f(t) = 0 para t < 0, logo: (3.16) é a frequência central da fonte, dada por: (3.17) A Figura 3.3 ilustra o comportamento da fonte sísmica ao longo do tempo e logo abaixo na Figura 3.4 o comportamento na frequência, para uma frequência de corte f corte = 60Hz e amplitude unitária no tempo. 20

30 Comportamento Temporal da Fonte Figura 3.3 Representação da fonte sísmica no domínio do tempo Módulo da Transformada Figura 3.4 Representação da fonte sísmica no domínio da frequência 21

31 CAPÍTULO 4 Modelagem Neste capítulo são apresentados os principais objetivos da modelagem acústica e os parâmetros para que esta seja feita de forma eficiente, que são: condições de contorno, bordas não reflexivas, fator de atenuação, fonte sísmica, dispersão e estabilidade numérica. Sendo essas implementadas nos algoritmos desta dissertação. Há cerca de 370 A.C o filosofo Demócrito já imaginava um mundo formado por partículas indivisíveis, ou seja, que toda matéria era formada por partes menores, as quais ele denominou átomo (do grego a significa ausência, tomos significa divisão, ou seja, indivisível), logo vivemos em um mundo discreto formado por minúsculas partes. Considerando que essa ideia possa ser extrapolada para aplicação em várias áreas da ciência, como por exemplo, em modelagem numérica. A ideia básica de qualquer método numérico é considerar que o domínio, geralmente contínuo, do problema possa ser representado por variáveis discretas, onde a equação em estudo ainda seja válida e permita sua solução. Através dessa representação é possível utilizar o computador como ferramenta para a obtenção da solução e compreensão dos fenômenos físicos em estudo. Uma vez que os fenômenos físicos tenham sido idealizados conceitualmente e formulados matematicamente, uma das alternativas que vem sendo bastante utilizadas para resolver tais fenômenos é através da modelagem numérica, que consiste na tradução do modelo matemático para algum método de cálculo, como por exemplo, diferenças finitas, elementos finitos, entre outros. A modelagem numérica permite então 22

32 escrever um programa de computador utilizando alguma linguagem de programação de modo a se obter a solução para a representação discreta do modelo físico. Os métodos numéricos de maior destaque em engenharia e geofísica são método das diferenças finitas (MDF), método dos elementos finitos (MEF), método dos volumes finitos (MVF) e método dos elementos de contorno (MEC). Um fator importante que contribuiu para a intensificação da modelagem numérica e computacional está ligado ao aumento expressivo e contínuo da capacidade dos computadores, tanto de armazenamento quanto de processamento, o que permite entre outras coisas aprofundar os modelos teóricos descritivos dos fenômenos em estudo. Dessa forma, a análise de casos reais se torna mais fiel devido a melhor descrição do modelo físico. Esta descrição passa por uma melhor representação e detalhamento do problema, que antes era negligenciado devido ao seu elevado custo computacional. Segundo DUARTE (1997) a modelagem é Ato de simular os efeitos a partir de um modelo físico ou matemático.... A geofísica de petróleo se utiliza de um princípio muito usado por alguns animais, como é o caso de morcegos e golfinhos, para localizar e identificar reservas de petróleo e gás, que é a ecolocalização. A equação da onda tenta simular justamente esse fenômeno, através de fontes sísmicas artificiais e registradores posicionados na região de interesse, de modo a obter informações das suas características geológicas. Para solucionar a equação da onda, ou seja, modelar o seu comportamento nos mais diferentes meios, vários métodos e técnicas numéricas são empregados. A seguir é apresentada a discretização da equação da onda utilizando o MDF e o MEF Discretização da Equação da Onda Acústica pelo Método das Diferenças Finitas O método das diferenças finitas foi um dos primeiros métodos numéricos desenvolvidos para resolver equações diferenciais, sendo bastante utilizado em engenharia e ciências físicas, devido principalmente pela sua facilidade de implementação e velocidade de processamento quando comparado a outros métodos numéricos. 23

33 Esse método é caracterizado por substituir as derivadas de uma equação diferencial por expressões algébricas de diferenças. Essas expressões são obtidas a partir do truncamento da expansão em série de Taylor, e a ordem do erro da aproximação da derivada é função desse truncamento. A aplicação do MDF é realizada considerando-se o domínio discretizado em um grid retangular de pontos, geralmente equiespaçados. Essa característica dificulta sua aplicação em domínios curvos. Outra desvantagem é que o método não permite que se tenham grids com refinamentos diferentes sobre o domínio. A seguir é apresentada a equação da onda discretizada pelo MDF Eq. (4.1), onde utilizou-se uma aproximação de segunda ordem para derivada temporal. Já para o domínio espacial foram utilizadas aproximações de segunda ordem para os pontos próximos ao contorno e quarta ordem no restante do modelo. Mais detalhes sobre essa discretização podem ser encontrados no Apêndice A. A representação discreta do campo ( ) é dada por, onde os índices, se referem aos pontos do grid nas direções horizontal e vertical, enquanto n representa o número do passo de tempo da simulação. Assim o operador que realiza a propagação da onda é dado por: ( ) [( ) ( ) ] (4.1) ( ) ( ) ( ) ] Onde: é a velocidade de propagação do meio; é o espaçamento entre os pontos do grid de diferenças finitas; é o valor do passo de tempo; e representa a posição da fonte no grid de diferenças finitas. Na Figura 4.1 pode-se observar a propagação da onda em quatro instantes de tempo ou snapshots utilizando o MDF. Aplicou-se uma fonte sísmica com frequência de corte 24

34 igual a 40 Hz no centro de um modelo com 300 x 300 pontos de grid com espaçamento entre pontos de 10m em um modelo homogêneo com velocidade de propagação de 2.200m/s. Nas bordas laterais considerou-se a condição de contorno não reflexiva proposta por REYNOLDS (1978) e para as bordas superior e inferior utilizou-se a condição de contorno de Dirichlet igual à zero para todos os pontos correspondentes a esses contornos (maiores detalhes a respeito dessas condições serão relatados nos tópicos posteriores). A massa especifica foi considerada constante sobre todo o modelo e igual a 1g/cm 3. Para a discretização numérica foi utilizado um intervalo de tempo Δt igual 2.5x10-4 s e o número de passos de tempo igual a 4.000, totalizando 1s de tempo total de análise. Tempo = 0.25 s Tempo = 0.50 s Tempo = 0.75 s Tempo = 1 s Figura 4.1 Snapshots da propagação da onda utilizando o MDF. 25

35 4.2. Discretização da Equação pelo Método dos Elementos Finitos O método dos elementos finitos foi inicialmente desenvolvido visando à análise de problemas estruturais da engenharia aeronáutica na década de Atualmente é uma das ferramentas computacionais mais utilizadas na solução de problemas numéricos em todas as áreas da engenharia. A idéia central do MEF consiste em dividir o domínio do problema em subdomínios, denominados de elementos, onde o comportamento do problema é facilmente representado. Assim, efetua-se a análise nos elementos de forma individual e em seguida estes são interconectados, simulando o problema físico como um todo; a Figura 4.2 (b) descreve um domínio discretizado por elementos finitos. Figura 4.2 Discretização de um domínio Ω em elementos finitos Uma forma de se obter a equação de equilibro do MEF referente à equação da onda é através da aplicação do método dos resíduos ponderados. O Apêndice B apresenta maiores detalhes sobre a discretização da equação da onda acústica utilizando o método de elementos finitos. Aplicando o método dos resíduos ponderados à equação escalar obtem-se a equação de movimento, também conhecida como equação de equilíbrio do MEF: ( ) ( ) ( ) (4.2) 26

36 Onde ( ) representa o comportamento temporal do campo escalar, de cada nó da malha, e ( ) a derivada segunda do campo em relação ao tempo; Os termos e de massa e rigidez respectivamente. Cabe lembrar que na dedução da equação de equilíbrio não foi considerado amortecimento. A contribuição das forças externas e condições de contorno estão representadas na parcela ( ). A Equação (4.2) é uma representação semi-discreta da equação da onda, onde o domínio espacial foi discretizado pelo MEF, enquanto a parcela temporal ainda é uma contínua. A integração no tempo pode ser feita através de vários métodos, como por exemplo, Diferença Central, Newmark, HHT, entre outros. Nesse trabalho utilizou-se o método de Newmark, que utiliza aproximações para o cálculo da aceleração e velocidade. Substituindo a expressão da aceleração (Apêndice B) na Equação (4.2) obtem-se: Onde: ( ) é denominada de matriz efetiva; é o vetor que contém o campo escalar correspondente a todos os nós da malha no tempo ; ( ) é conhecido como vetor de forças. Na Figura 4.3 pode-se observar a propagação da onda em quatro instantâneos ou snapshots utilizando o MEF. Foi utilizada uma malha uniforme de elementos quadrangulares com interpolação linear totalizando elementos, com a mesma velocidade de propagação igual a 2.200m/s para todos os elementos. A fonte foi aplicada no elemento localizado no centro do modelo. Nas bordas laterais considerou-se a condição de contorno não reflexiva proposta por REYNOLDS (1978), observa-se que o campo de velocidade é fortemente dissipado ao incidir sobre essas bordas, para borda superior condição de contorno livre e para inferior condição de contorno igual a zero. A massa específica foi considerada constante sobre todo o modelo e igual a 1g/cm 3. Para a discretização numérica foi utilizado um intervalo de tempo Δt igual 2.5x10-4 s e o número de passos de tempo igual a 4.000, totalizando 1s de tempo total de análise. 27

37 Tempo = 0.25 s Tempo = 0.50 s Tempo = 0.75 s Tempo = 1 s Figura 4.3 Snapshots da propagação da onda utilizando o MEF Condições de Contorno A modelagem numérica via MDF e MEF, impõe que os domínios analisados sejam limitados espacialmente de modo a se obter uma solução para o problema. Entretanto para geofísica do petróleo tais limites não existem durante a fase de aquisição dos dados sísmicos, pois os meios são semi-infinitos. Essa dificuldade para a modelagem surge do fato de que a solução de equações diferenciais necessita geralmente de condições de contorno (Dirichlet ou Neumann) para que se obtenha a solução única para o problema, ou seja, resolver a equação diferencial. 28

38 Geralmente as condições de contorno não atendem adequadamente as simulações de meios geofísicos. São utilizadas então algumas abordagens para tentar contornar essa limitação do domínio imposta pelos métodos numéricos. A primeira delas realiza uma expansão lateral do modelo, ou seja, a dimensão horizontal é aumentada de modo a evitar que as reflexões nas laterais afetem a análise na região de interesse, contudo esse aumento do tamanho do modelo acarreta em maior tempo de processamento e maior uso de memória. A segunda abordagem utiliza artifícios numéricos para minimizar as reflexões indesejadas. O primeiro artifício define camadas de amortecimento, utilizadas para atenuar a amplitude que chega às bordas e o segundo utiliza condições de contorno não reflexivas que tentam simular o semi-espaço. Cabe destacar que ambos os artifícios podem ser utilizados separados ou em conjunto. Os próximos tópicos abordam de forma mais detalhada as condições de contorno Condições de Contorno de Dirichlet e de Neumann A condição de contorno de Dirichlet define que o valor da variável primária é conhecido ou prescrito no contorno assim definido. Já a condição de contorno de Neumann estabelece que o valor da derivada da variável com relação à direção normal ao contorno é conhecido. Geralmente o domínio dos problemas abordados na geofísica apresenta formato retangular por conta da discretização imposta pelo MDF. O contorno do modelo é dividido em quatro lados, denominados superior ou superfície livre, representando a cota z igual à zero, inferior ou fundo, ou seja, a profundidade máxima, borda esquerda e direita. A superfície livre é definida com o valor do fluxo de pressão igual a zero. As simulações dessa dissertação consideraram condições de contorno de Dirichlet e Neumann como sendo respectivamente os valores de pressão e fluxo iguais a zero para os pontos do contorno da malha de diferenças finitas e elementos finitos, como pode-se notar nas equações abaixo: ( ) (4.3) 29

39 ( ) (4.4) 4.5. Bordas não Reflexivas As bordas ou contornos não reflexivos são artifícios utilizados para tentar simular o semi-espaço e impedir que as reflexões originadas pelos contornos laterais retornem para o modelo. Uma das técnicas muito utilizada na modelagem numérica com diferenças finitas são as bordas não reflexivas proposta por REYNOLDS (1978). Para cada um dos lados do modelo tem-se uma expressão adequada ao contorno, de modo a minimizar a onda refletida. Essas expressões são obtidas para o caso unidimensional, onde simulam o infinito perfeitamente. No caso de domínios 2D ou 3D são também utilizadas as mesmas expressões do caso 1D, contudo nesses casos a condição de contorno não é totalmente efetiva, mas ainda assim reduz as ondas de retorno ou refletidas pelo contorno. Dessa forma, para um modelo bidimensional tem-se para cada contorno as seguintes expressões: Para a borda superior (4.5) Para a borda inferior (4.6) Para a borda esquerda (4.7) 30

40 Para a borda direita (4.8) Cabendo ressaltar que o sentido positivo do eixo z é orientado para baixo, enquanto que o sentido positivo do eixo x para direita Camadas de Amortecimento Outra técnica utilizada para reduzir as reflexões originadas pelas bordas do modelo são as camadas de amortecimento. Essa técnica consiste em utilizar uma função para atenuar a amplitude da onda próximo às bordas do modelo de modo que a reflexão seja pequena. Em 1985, CERJAN et al. propuseram uma função de atenuação que é dada por: ( ) { ( ) } (4.9) Para esta equação, tem-se que: w é o fator de atenuação do campo de pressão; d indica a distância de determinado ponto ao contorno do modelo; fat é o fator de amortecimento que é calculado empiricamente sendo o melhor resultado obtido para fat = 0,98; é o número de pontos do grid que fazem parte da camada de amortecimento. A aplicação dessa função é feita multiplicando-se o valor da função de atenuação pela amplitude da onda para cada nó ou ponto de grid, onde há influência dessa função; na Figura 4.4 observa-se o comportamento dessa função. 31

41 Valor da função de atenuação Função de atenuação VFDAD Número de pontos Figura 4.4- Gráfico da função de atenuação proposta por Cerjan, sendo VFDAD o valor da função de atenuação a direita. Na Figura 4.5 está ilustrado o comportamento dos tipos de condições de contorno e amortecimento sobre o campo de ondas. Para exemplificar as condições e técnicas apresentadas foi utilizado o MDF para modelar a propagação. Para isso considerou-se um modelo homogêneo com velocidade de propagação de 1.400m/s e massa específica constante sobre todo o modelo e igual a 1g/cm 3. As dimensões são 300 x 500 pontos de grid e espaçamento entre pontos de 1m. A fonte sísmica foi aplicada no centro do modelo. A Figura 4.6 apresenta as amplitudes obtidas em cada exemplo da Figura 4.5, para a profundidade de 250 pontos do grid. Percebe-se que a combinação da condição de contorno não-reflexiva com as camadas de amortecimento produziram os melhores resultados. 32

42 (a) Condição de contorno de Dirichlet (b) Condição de contorno de Neumann (c) Bordas não reflexivas (d) Bordas não reflexivas com amortecimento Figura 4.5 Ilustrações das diferentes condições utilizadas nas bordas laterais do modelo 33

43 Amplitude 1.00E-01 Comportamento da Amplitude Após o Contato com a Borda do Modelo de Velocidade 5.00E E E-02 C.C. DIRICHLET C.C. NEUMANN -1.00E-01 C.C.NÃO REFLEXIVA C.C. NÃO REFLEXIVA + AMORTECIMENTO -1.50E-01 Número de pontos Figura 4.6 Amplitudes obtidas com as diferentes condições de contorno Dispersão e Estabilidade Numérica Os métodos numéricos em geral estão sujeitos a condições de estabilidade e dispersão numérica por aproximarem o caso contínuo por um conjunto de pontos com espaçamento finito. Enquanto a estabilidade está associada ao esquema adotado para realizar a integração no tempo, a dispersão numérica está associada principalmente ao tamanho do espaçamento entre pontos da malha/grid, propriedade do meio e ao tamanho do incremento ou passo de tempo. Para se evitar a amplificação de erros gerados por um desses fatores devem-se respeitar algumas condições descritas a seguir para cada método utilizado nesta dissertação. 34

44 Dispersão e Estabilidade para o Método das Diferenças Finitas Para o método das diferenças finitas a dispersão está relacionada à menor velocidade do modelo ( ) e a frequência máxima da fonte (f corte ); assim considerando que, tem-se para o espaçamento máximo entre os pontos do grid a seguinte relação: (4.10) onde é o número máximo de amostras por comprimento de onda correspondente a frequência máxima. Experimentos numéricos mostram que o melhor valor para esse fator é 5. A estabilidade numérica também é de grande relevância para obter-se bons resultados, pois deve atender o compromisso entre o tempo gasto para se efetuar a análise e não gerar instabilidade na solução. Esse parâmetro relaciona o espaçamento entre os pontos do grid e a velocidade máxima de propagação do modelo, dado por: (4.11) onde é a maior velocidade do modelo e é uma constante definida de forma empírica sendo o valor ótimo para essa constante igual a 5. Dessa forma, garantindo que o algoritmo não amplifique erros de truncamento numérico nas variáveis envolvidas Dispersão e Estabilidade para o Método dos Elementos Finitos As dimensões dos elementos de uma malha são de grande importância para o MEF para se evitar difrações indesejadas e excessiva dispersão de energia. Considera-se que a função velocidade é discretizada dentro de um valor médio para cada elemento da 35

45 malha. Isso é possível desde que os espaçamentos da malha sejam pequenos quando comparados com o comprimento de onda da propagação. Segundo CARCIONE et al. (2002) o esquema de elementos finitos aplicado sobre uma malha regular comporta-se semelhantemente ao esquema de diferenças finitas. Logo as condições apresentadas no tópico anterior devem ser consideradas na modelagem com elementos finitos, além disso, deve-se levar em consideração um fator conhecido como número de Courant que corresponde à relação, onde é a velocidade do meio, é o incremento de tempo, e é o comprimento médio do elemento. Esse fator é de grande importância para modelar de forma eficiente à propagação da onda acústica em uma malha de elementos finitos e segundo SILVA NETO (2004) o melhor valor para = 0,6, considerando para isso a Equação (4.12): (4.12) Onde: é a velocidade máxima do modelo; é o menor comprimento médio entre todos os elementos que formam a malha; é o incremento de tempo. Também deve-se atentar para a convergência do método de integração utilizado. O método de Newmark foi o método adotado nesse trabalho e é um método de integração incondicionalmente estável, desde que sejam respeitados os parâmetros de definição do método,sendo esses parâmetros descritos no Apêndice B dessa dissertação. 36

46 CAPÍTULO 5 MIGRAÇÃO DE DADOS SÍSMICOS 5.1. Migração Um dos principais objetivos de um levantamento sísmico, aplicados à indústria petrolífera, é determinar as propriedades e o posicionamento das diferentes interfaces que delimitam as camadas de rochas que apresentam diferenças na impedância acústica. Atualmente, há um grande investimento por parte da indústria em equipamentos e métodos que facilitem a interpretação dos dados de uma aquisição sísmica. É de grande importância que esses dados sejam confiáveis, pois quanto menos erros estes apresentarem, maior é a exatidão dos resultados. A migração de dados sísmicos tem a finalidade de obter imagens que revelem as interfaces (refletores) da subsuperfície. Com isso, os profissionais da área podem indicar com maior precisão se há possibilidade de existir um reservatório de hidrocarboneto na área em estudo. A modelagem e migração reversa no tempo estão fundamentadas no fato de que ambos os métodos, de uma maneira geral, são operações inversas uma da outra, uma vez que na migração realiza-se o caminho inverso no tempo utilizando a mesma equação diferencial, ou seja, faz-se o campo de ondas propagar-se dos receptores até as posições onde ocorreram as reflexões. Essa relação entre a modelagem e a migração pode ser deduzida utilizando-se o princípio de Huyghens, o princípio da reversibilidade temporal e o princípio da reciprocidade. 37

47 A seguir esses princípios são apresentados de forma resumida, sendo que maiores detalhes podem ser encontrados, por exemplo, em CUNHA, Princípio de Huyghens Todos os pontos de uma frente de onda devem ser considerados como fontes puntiformes de ondas esféricas secundárias. Depois de certo tempo t, a nova posição da frente de onda é a superfície que tangencia essas ondas secundárias. Huyghens (1690). Esse princípio afirma que cada ponto de uma frente de onda pode ser considerado como uma fonte pontual, de tal forma que a curva resultante obtida da combinação de todas as novas frentes de ondas individuais dá origem à nova frente de onda, Figura 5.1. Figura 5.1 Ilustração do principio de Huyghens. Esse princípio pode ser estendido para as interfaces entre meios com propriedades diferentes, onde cada ponto da superfície de separação, ao ser atingido por uma frente de onda, se comporta como uma nova fonte secundária, ou seja, cada ponto da interface funciona como uma fonte secundária. Nesse caso, podem ocorrer reflexões e refrações conforme a Figura 5.2. Nessa Figura pode-se notar que a partir do disparo da fonte sísmica, a onda propaga-se no meio até atingir uma camada com propriedades diferentes. Na interface entre as camadas, parte da onda é refletida e retorna à superfície e parte é refratada, continuando a propagar-se, porém, com um desvio na direção de 38

48 propagação este desvio pode ser calculado pela lei de Snell 10 sendo a parte refletida registrada nos receptores dando origem ao sismograma. Figura 5.2- Fenômenos que ocorrem na interface entre dois meios Princípio da Reversibilidade Temporal O princípio da reversibilidade temporal quando aplicado à propagação de ondas afirma que a equação da onda usada para propagar o campo no sentido direto pode ser usada no sentido inverso, ou seja, a partir dos receptores até a fonte, necessitando apenas inverter temporalmente o sentido da fonte, : ( ) ( ) ( ) ( ) (5.1) Fazendo Tem-se: ( ) 10 A lei de Snell é descrita como: e ( ) ( ) são respectivamente as velocidades do meio incidente e refrator. onde é o ângulo de incidência, é o ângulo de refração, 39

49 ( ) ( ) ( ) ( ) (5.2) Onde: representa o vetor posição; é a vetor posição da fonte; ( ) representa a variação temporal da amplitude da fonte. Com isso a mesma equação pode ser usada para propagar o campo do passado para o futuro ou vice versa Princípio da Reciprocidade Esse princípio considera que a troca de posição entre fonte e receptor não afeta o experimento, ou seja, o evento não é influenciado por essa troca e se assemelha ao princípio da reversibilidade da óptica geométrica, que é descrito da seguinte forma: se uma fonte de luz e um objeto trocam de posição entre si, o percurso do feixe óptico permanece inalterado, Figura 5.3. Esse princípio pode ser aplicado à equação da onda, de forma que a solução dessa equação não é alterada quando as posições entre fonte e receptores são trocadas, criando-se assim as bases para a migração reversa no tempo. Figura 5.3 Ilustração do princípio da reciprocidade Matematicamente isso é feito trocando-se as posições entre fonte e receptor, de tal forma que a equação resultante permanece inalterada, Equação (5.3). 40

50 ( ) ( ) ( ) ( ) (5.3) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (5.4) A partir desses três princípios tem-se o embasamento matemático para a migração e mais especificamente para a migração reversa no tempo (RTM) que foi o esquema utilizado na implementação dos algoritmos construídos nessa dissertação e que será mais detalhada no próximo tópico Migração Reversa no Tempo A migração reversa no tempo ou Reverse Time Migration (RTM), pode ser considerada como um problema de valor de contorno associado a uma condição de imagem. Esse processo surgiu no início da década de 80 (BAYSAL et al, 1983; WHITMORE, 1983; LEVIN, 1984) fornecendo excelentes resultados, mas com um custo computacional alto, quando comparado a outros métodos de migração, como por exemplo a migração Kirchhoff, YOON et al No entanto, este é indicado quando se trata de modelos geológicos complexos, como é o caso de modelos contendo estruturas do tipo domos de sal. A migração reversa no tempo consiste basicamente em depropagar (propagar no sentido inverso dos acontecimentos, princípio da reversibilidade temporal) o campo de onda registrado nos sismogramas até as posições onde as reflexões foram geradas, fazendo de cada receptor uma fonte pontual geradora de sinal sísmico (princípio de Huyghens e da reciprocidade), ou seja, os valores registrados no sismograma são prescritos na posição dos receptores na ordem inversa em que foram adquiridos e injetados no modelo. Dessa forma a prescrição desses valores se assemelha a uma imposição de condição de contorno. A depropagação do campo de onda é governada pela mesma equação diferencial que rege a propagação de ondas, sendo que a principal diferença está na fonte utilizada. Isso é mostrado matematicamente pela equação (5.5). 41

51 ( ) ( ) ( ) (5.5) Onde sis(t) corresponde às amplitudes registradas no sismograma durante a modelagem direta ou aquisição sísmica, e e correspondem as posições dos receptores. Contudo, a obtenção de uma imagem em profundidade, com qualidade e que realmente represente o modelo geológico estudado, está condicionada a alguns fatores, que segundo BULCÃO (2004) são: O sistema de aquisição e os parâmetros empregados no levantamento sísmico; O modelo matemático empregado para a depropagação do campo de ondas registrado; O bom conhecimento dos parâmetros que definem o macro-modelo sísmico no qual os dados sísmicos foram registrados; e, A aplicação de uma condição de imagem apropriada Condição de Imagem Como dito anteriormente, a ideia central da migração é transferir a informação registrada na superfície (sismograma) para as posições do modelo que as geraram (refletores). Essa transferência é realizada através da depropagação do campo de ondas registrado nos sismogramas juntamente com uma condição para formação da imagem. A aplicação dessa condição é que permite o posicionamento dos refletores. A condição de imagem relaciona o tempo gasto durante a modelagem da propagação do campo de ondas, com o tempo gasto ao se depropagar a informação do sismograma para posicionar os refletores. Atualmente são pesquisadas muitas técnicas alternativas de condição de imagem. Há vários critérios que são utilizados pela indústria, destacando-se a condição de imagem do tempo de passagem do pico da frente da onda ou de amplitude máxima, condição de imagem nas proximidades da primeira quebra (BULCÃO, 2004), condição de imagem 42

52 com correlação cruzada, entre outros, para maiores detalhes ver BULCÃO (2004) e SILVA (2009). Neste trabalho utilizou-se a condição de amplitude máxima por apresentar bons resultados em meios isotrópicos e homogêneos e fornecer com qualidade as amplitudes e a posição dos refletores. Esta condição está baseada no tempo em que a frente do campo de onda atinge cada ponto da malha a partir do disparo da fonte. Numericamente, a condição de imagem é representada por uma matriz, denominada Matriz de Tempo de Trânsito (MTT) que registra, para cada posição do grid/malha, o tempo de passagem do pico da frente de onda. A utilização em conjunto da matriz de tempo de transição com o sismograma permite posicionar os refletores em subsuperfície. Na Figura 5.4 pode-se notar um ponto onde o tempo de propagação e depropagação coincidem, o que indica a presença de um refletor ou uma interface refletora. Figura 5.4 Depropagação dos registros da informação do sismograma relacionado com a condição de imagem. As reflexões são reposicionadas onde elas se originaram. 43

53 CAPÍTULO 6 DESENVOLVIMENTO COMPUTACIONAL 6.1. Considerações Um fator importante que contribuiu para a intensificação do emprego dos modelos numéricos foi o aumento expressivo e contínuo da capacidade de processamento e armazenamento dos computadores nas últimas décadas. Atualmente, a utilização de processadores com múltiplos núcleos, aliada ao uso de sistemas de memória distribuída (cluster de PCs), vem possibilitando um grande impulso na área de simulação numérica, permitindo que a análise de problemas reais se torne mais fiel devido a melhor descrição do modelo físico. Esta descrição passa por uma melhor representação e detalhamento do problema, o que implica em uma maior quantidade de informação a ser processada. Neste trabalho foram desenvolvidos programas de computador em linguagem Fortran, utilizando-se o compilador Intel Visual Fortran Compiler Primeiramente, para o método das diferenças finitas, foram desenvolvidos dois programas: um para realizar a modelagem da equação acústica e outro para a migração RTM. Em seguida, foi desenvolvido um programa para realizar tanto a modelagem quanto a migração via método dos elementos finitos Algoritmos de Diferenças Finitas No algoritmo de diferenças finitas representam-se as derivadas da equação da onda por expressões de diferenças, obtidas através do truncamento da série de Taylor. 44

54 Nesse algoritmo a parcela espacial da equação diferencial da onda acústica foi representada pelo operador de quarta ordem, enquanto que a parcela temporal foi descrita pelo operador de segunda ordem no tempo. Cabe destacar que próximo ao contorno do modelo foi utilizado o operador de segunda ordem no espaço, onde foram implementadas as principais condições de contorno (Dirichlet e Neumann), bordas não reflexivas e camada de amortecimento propostos por CERJAN, além de salvar as matrizes de tempo de trânsito, amplitude máxima e sismograma que são utilizados como parâmetros de entrada no algoritmo de migração via RTM. A seguir são apresentados os fluxogramas dos programas de modelagem Figura 6.1e migração, Figura 6.2. Início Leitura dos dados do modelo Leitura do modelo de velocidade Aplicação da fonte Loop de marcha no tempo Aplicação do operador de DF Aplica condições de contorno Loop nos pontos do grid Impressão Snapshots, matriz tempo de trânsito e sismograma Fim Figura 6.1 Fluxograma ilustrando de forma simplificada o funcionamento do programa de modelagem da propagação da onda acústica. 45

55 Início Leitura dos dados da migração Leitura do modelo de velocidade Leitura da matriz de tempo de trânsito Aplicação do sismograma (Fonte) Aplicação do operador de DF Loop nos pontos do grid Loop de marcha no tempo (Depropagação) Aplicação das condições de contorno Aplicação da condição de imagem Impressão do refletor Fim Figura 6.2 Fluxograma ilustrando de forma simplificada o funcionamento do programa de migração sísmica 6.3. Algoritmo de Elementos Finitos O método dos elementos finitos é baseado na divisão do domínio do problema em regiões, onde efetua-se a integração da variável interpolada sobre os elementos interconectados, simulando o problema físico como um todo. Diferente do método das diferenças finitas, o MEF requer uma formulação matemática e numérica mais elaborada, tanto para o cálculo e armazenamento da informação, quanto para a obtenção da solução. 46

56 Para gerar as malhas utilizadas nos exemplos foi desenvolvido um programa de geração de malhas para domínios retangulares que permite a geração de malhas de elementos triangulares ou quadrangulares, ambos com interpolação linear. O programa do MEF permite que as propriedades físicas sejam diferentes a cada nó da malha, ou seja, as propriedades de rigidez e/ou massa específica são interpoladas segundo as funções de forma do elemento, elementos isoparamétricos, o programa também implementa o método iterativo dos Gradientes Conjugados com précondicionador de Jacob como esquema de solução do sistema de equações, aliado ao armazenamento matricial no formato Skyline. Para a realização da integração temporal foi adotado o método de Newmark. Assim como o programa de diferenças finitas, o programa do MEF permite salvar histórico de pontos selecionados, sismogramas, snapshots, além das matrizes de tempo de trânsito. Cabe lembrar que o programa desenvolvido serve tanto para a modelagem quanto para a migração RTM, bastando para isso alterar um parâmetro no arquivo de entrada. A seguir são apresentados os fluxogramas da modelagem Figura 6.3 e migração Figura

57 Início Leitura dos dados do problema (Coordenadas, conectividade, etc) Cálculo das matrizes de massa e rigidez Cálculo da aceleração inicial Cálculo da matriz efetiva Imposição das condições de contorno e fontes de domínio Loop de marcha no tempo (propagação) Solução do sistema de equações via Gradientes Conjugados Atualização das variáveis para o próximo passo de tempo Impressão de resultados (Sismograma, MTT, etc) Fim Figura 6.3 Fluxograma ilustrando de forma simplificada o funcionamento do programa de modelagem pelo Método dos Elementos Finitos. 48

58 Início Leitura dos dados do problema (Coordenadas, conectividade, etc) Leitura do sismograma e matriz de tempo de trânsito Cálculo e formação das matrizes de massa e rigidez Cálculo da aceleração inicial Cálculo da matriz efetiva Imposição das condições de contorno e Sismograma Loop de marcha no tempo (Depropagação) Solução do sistema de equações via Gradientes Conjugados Atualização das variáveis para o próximo passo de tempo Impressão de resultados (Imagem do Refletor) Fim Figura 6.4 Fluxograma ilustrando de forma simplificada o funcionamento do programa de migração RTM pelo Método dos Elementos Finitos. 49

59 CAPÍTULO 7 APRESENTAÇÃO DOS RESULTADOS A propagação da onda acústica foi simulada em modelos sintéticos, com o objetivo de investigar os principais fenômenos que esta proporciona, tais como reflexão, refração e difração. Em seguida, aplicou-se os algoritmos de migração aos dados oriundos da modelagem. Cabe destacar que não se fez o uso da migração pré empilhamento que consiste em detonar múltiplos tiros, sendo que para cada tiro gera-se um sismograma. Além disso, não foi utilizado nenhum tipo de filtragem nos dados como, por exemplo, a técnica conhecida como mute (silenciamento) que elimina o ruído causado pela onda direta que pode ser notada nos sismogramas na forma de dois segmentos de reta, já que essas ondas não provém das reflexões causadas pelo contato da onda com um meio litológico distinto. Esses ruídos geram imperfeições ou distorções na geração de uma imagem de uma superfície refletora como, por exemplo, o efeito sorriso na migração dos dados de uma camada paralela Modelos Exemplo 1 Modelo de camada horizontal O primeiro modelo considera um meio com dimensões de 3.000m x 3.000m formado por duas camadas planas e horizontais. A camada superior do modelo apresenta velocidade de 2.200m/s e a camada inferior de 2.500m/s. A massa específica foi considerada constante sobre todo o modelo e igual a 1g/cm 3. Para o MDF o modelo foi discretizado por um grid de 301 x 301 pontos com espaçamento de 10m. Para o MEF foi utilizada uma malha uniforme de elementos 50

60 quadrangulares lineares totalizando nós e elementos com espaçamento de 10m. Utilizou-se nas laterais do modelo a condição de contorno proposta por REYNOLDS (1978), para o fundo e superfície foram consideradas respectivamente as condições de contorno de Dirichlet e Neumann iguais à zero. A fonte sísmica foi aplicada na posição (150,1) do grid de diferenças finitas e no elemento da malha de elementos finitos, que estão a 1500m na horizontal e na superfície do modelo. A frequência de corte utilizada foi igual a 40 Hz para as duas simulações. O passo de tempo adotado é igual a 2,5x10-4 s, o qual respeita os critérios de dispersão e estabilidade, sendo o tempo total de propagação de 1,5 segundos. Figura Modelo de velocidade camada horizontal. 51

61 Resultados obtidos com o MDF Matriz de Tempo de Trânsito Resultados obtidos com MEF Sismograma 52

62 Resultado da Migração com MDF Resultado da Migração com MEF Figura 7.2 Resultados Modelo de velocidade camada horizontal. Observando a imagem anterior conclui-se que os algoritmos desenvolvidos via RTM para ambos os métodos conseguem reposicionar corretamente as reflexões registradas no sismograma. 53

63 Exemplo 2 Modelo de três camadas planas Na Figura 7.3 encontra-se o modelo utilizado neste exemplo. O modelo apresenta 3.000m x 3.000m formado por três camadas planas e horizontais. Os campos de velocidade são: 2.200m/s na camada superior, 2.500m/s na camada intermediária e 2800m/s na camada inferior. A massa específica foi considerada constante sobre todo o modelo e igual a 1g/cm 3. Figura 7.3 Modelo de velocidade três camadas planas. Para o MDF o modelo foi discretizado por um grid de 601 x 601 pontos com espaçamento de 5m. Para o MEF foi utilizada uma malha uniforme de elementos quadrangulares lineares totalizando elementos com espaçamento de 5m. Utilizou-se nas laterais do modelo a condição de contorno proposta por REYNOLDS (1978), para o fundo e superfície foram consideradas respectivamente as condições de contorno de Dirichlet e Neumann iguais à zero. A fonte sísmica foi aplicada na posição (300,1) do grid de diferenças finitas e no elemento da malha de elementos finitos que corresponde à mesma posição utilizada no experimento de diferenças finitas, que estão a 1500m na horizontal e na 54

64 superfície do modelo. Apresenta a frequência de corte igual a 60 Hz para ambas as análises. Para ambas as simulações o intervalo de tempo Δt é igual 1,0 x 10-4 s e o número de passos de tempo igual a , totalizando 1,06s de tempo total de análise. Resultados obtidos com o MDF Resultados obtidos com o MEF Matriz de Tempo de Trânsito Sismograma 55

65 Resultado da Migração com MDF Resultado da Migração com MEF Figura 7.4 Resultados do modelo de velocidade de três camadas planas. O modelo representado na Figura 7.3 é de grande importância, pois pode-se investigar o comportamento da reflexão da onda através de duas interfaces refletoras, já que para a segunda interface há uma menor quantidade de energia devido a reflexão da primeira, passando para o meio intermediário uma menor quantidade de energia fazendo com que o grau de percepção dessa interface seja inferior ao da primeira. O que pode ser notado nas reflexões captadas pelo sismograma e consequentemente na migração dos dados gerados no exemplo acima. Os refletores foram posicionados corretamente sendo a principal diferença o grau de percepção para cada método. 56

66 Exemplo 3 Modelo de camada inclinada Na Figura 7.5 encontra-se o modelo utilizado nesse exemplo. O modelo apresenta duas camadas com uma interface inclinada. As dimensões totais são 300 x 300 pontos de grid com espaçamento entre pontos de 10m. Os campos de velocidade são: 2.200m/s na camada superior e 2.500m/s na camada inferior. A massa específica foi considerada constante sobre todo o modelo e igual a 1g/cm 3. Figura 7.5 Modelo de velocidade camada inclinada Para ambos os métodos foi utilizado um intervalo de tempo Δt igual 2.5x10-4 s e o número de passos de tempo igual a 6.000, totalizando 1,5s de tempo total de análise. Foi utilizada uma fonte sísmica com frequência de corte igual a 40 Hz nas simulações. Nas laterais do modelo utilizou-se a condição de contorno proposta por REYNOLDS (1978), para o fundo e superfície foram consideradas respectivamente as condições de contorno de Dirichlet e Neumann iguais à zero. A fonte sísmica foi aplicada na posição (150,1) do grid de diferenças finitas e no elemento da malha de elementos finitos, que estão a 1500m na horizontal e na superfície do modelo. 57

67 O modelo ilustrado na Figura 7.5 apresenta uma interface levemente inclinada. Foi utilizada uma impedância acústica baixa entre as camadas e uma malha bem refinada a fim de eliminar as difrações originadas pelo efeito conhecido como Staircasing, detalhado na Figura 7.6. Figura 7.6 Pontos de difração na interface entre as camadas, efeito Staircase Nesse tipo de modelo é aconselhável utilizar uma malha adaptável na região da interface, eliminando o efeito escada que uma malha uniforme e mal refinada pode causar; nesse tipo de situação o método de elementos finitos se insere como uma boa ferramenta eliminando esse efeito, já que pode-se construir uma malha totalmente adaptável ao modelo. A Figura 7.7, a seguir apresenta os resultados obtidos pela modelagem e pela migração. 58

68 Resultados obtidos com o MDF Matriz Tempo de Trânsito Resultados obtidos com o MEF Sismograma 59

69 Resultado da Migração com MDF Resultado da Migração com MEF Figura 7.7 Resultados do modelo de velocidade com camada inclinada. 60

70 Exemplo 4 Modelo Domo de Sal (SEG/EAGE) O próximo exemplo considera um modelo de velocidades mais complexo contendo uma estrutura de sal, Figura 7.8 o modelo apresenta 521x139 pontos e apresenta uma faixa de valores de velocidade variando entre 1.500m/s e 4.500m/s, que correspondem respectivamente a velocidade de propagação na água e no domo de sal. A massa específica foi considerada constante sobre todo o modelo e igual a 1g/cm 3. Em ambas as simulações utilizou-se nas laterais do modelo a condição de contorno proposta por REYNOLDS (1978), para o fundo e superfície foram consideradas respectivamente as condições de contorno de Dirichlet e Neumann iguais à zero. Figura 7.8 Modelo de Velocidade Domo de Sal (SEG/EAGE). Para o MDF o modelo foi discretizado por um grid de 521x139 pontos com espaçamento de 10m. Para o MEF foi utilizada uma malha uniforme de elementos quadrangulares lineares totalizando nós e elementos. A fonte sísmica foi aplicada na posição (270, 1) do grid de diferenças finitas e no elemento da malha de elementos finitos que corresponde à mesma posição utilizada no experimento de diferenças finitas e apresenta a frequência de corte igual a 40Hz para as duas simulações, o passo de tempo adotado é igual a 3,0x10-4 s o qual respeita os critérios de dispersão e estabilidade, sendo o tempo total de propagação de 0,9 segundos. 61

71 Resultados obtidos com o MDF Resultados obtidos com o MEF Matriz de Tempo de Trânsito Sismograma 62

72 Resultado da Migração com MDF Resultado da Migração com MEF Figura 7.9 Resultados do modelo de velocidade com Domo de Sal. Observa-se que as imagens obtidas com a detonação de uma fonte pontual não representam o modelo de velocidade original. Em áreas muito complexas como as do modelo domo de sal, representado na Figura 7.8 pode-se observar uma maior dificuldade para imagear os refletores com apenas um tiro gerando-se apenas um sismograma, no entanto é possível notar nas figuras que correspondem à migração do Domo o contorno da parte superior da estrutura salina que foi refletida através da propagação da onda acústica. Entretanto, com o objetivo de tornar mais perceptível o contorno do domo salino far-se-á uma outra análise considerando múltiplas fontes detonadas no mesmo instante de tempo, gerando assim uma frente de onda plana. Foi simulado um levantamento sísmico no modelo 2-D mostrado na Figura 7.11 com os mesmos parâmetros para ambos os métodos. A frente de onda plana foi 63

73 produzida considerando 415 fontes sísmicas ao longo de um plano horizontal e posicionadas na profundidade 10m. A análise foi feita considerando Δt igual 3.0x10-4 s e o número de passos de tempo igual a 3.000, totalizando 0,9 s de tempo total de análise. Snapshots obtidos com o MDF tempo 0,15s Snapshots obtidos com o MEF tempo 0,33s tempo 0,52s tempo 0,64s Figura 7.10 Instantâneos de uma onda plana horizontal gerada na superfície do modelo Domo de Sal (SEG/EAGE). 64

74 A seguir são apresentados as matrizes de tempo de trânsito e os sismogramas obtidos com cada método numérico e as respectivas imagens produzidas. Resultados obtidos com o MDF Resultados obtidos com o MEF Matriz de Tempo de Trânsito Sismograma 65

75 Resultado da Migração com MDF Resultado da Migração com MEF Figura 7.11 Resultados do modelo de velocidade com Domo de Sal utilizando múltiplas fontes. Pode-se notar nas figuras que correspondem à migração da estrutura salina (SEG/EAGE), que o artifício da onda plana gerada pela detonação de múltiplos tiros no mesmo instante de tempo, reposicionou as reflexões provenientes do contato com a frente de onda com a estrutura salina, indicando que os dois algoritmos são eficientes tanto na modelagem quanto na migração dos dados gerados. 66

76 CAPÍTULO 8 CONSIDERAÇÕES FINAIS No presente trabalho foram apresentadas duas abordagens utilizadas para modelar a propagação do campo acústico em duas dimensões e migrar os dados com os parâmetros fornecidos pela modelagem realizadas através dos métodos das diferenças finitas e dos elementos finitos. Apresentou-se a equação diferencial parcial que rege o problema de valor inicial e de contorno, relacionado ao fenômeno da propagação da onda acústica. Em seguida mostraram-se as discretizações da equação referida através do MDF, baseado na aproximação das derivadas através do truncamento da série de Taylor e do MEF baseada no método dos resíduos ponderados, particularmente a formulação de Galerkin. Para todos os algoritmos implementados foram levadas em consideração as condições de estabilidade e as relações de dispersão sobre o modelo discretizado. As condições de contorno de Dirichlet e de Neumann associadas às bordas não reflexivas foram implementadas nos dois algoritmos desenvolvidos, no entanto o fator de amortecimento proposto por Cerjan foi implementado apenas no algoritmo de diferenças finitas, não sendo portanto utilizada nos exemplos para não prejudicar a comparação. Cabe destacar que nesse trabalho não foram utilizadas quaisquer técnicas de processamento, como por exemplo remoção da onda direta dos sismogramas, que prejudica o imageamento por apresentar amplitude mais forte do que as reflexões produzidas no interior do modelo ou a aplicação de filtros de modo a remover frequências indesejadas, além de outras técnicas comuns ao processamento. 67

77 8.1. Conclusões A partir dos experimentos feitos e analisados pode-se dizer que os dois algoritmos são eficazes para a modelagem acústica, diferenciando-se em relação à eficiência computacional. Ambos os métodos modelaram de forma eficiente o fenômeno de propagação de ondas. Cabe ressaltar que o MEF ainda é pouquíssimo utilizado em problemas da geofísica por conta do custo computacional elevado, entretanto o MEF pode ser utilizado acoplado junto com o MDF em regiões onde o MDF não consegue representar corretamente. Destaca-se que no caso dos modelos mais simples, camadas planas horizontal ou inclinada, o imageamento com apenas um tiro produziu melhores resultados, ao contrário do modelo mais complexo, onde um único tiro não conseguiu trazer informação suficiente para imagear as estruturas. Dessa forma realizou-se um experimento com uma frente de onda plana, que produziu melhor resultado/imagem em termos da definição dos contornos das estruturas do modelo. Através da analise da propagação da onda e do sismograma nota-se que a cinemática dos eventos foi respeitada em ambos os métodos. Logo os dados gerados dessa modelagem são confiáveis e podem ser utilizados para aferir o processamento e o imageamento dos modelos geológicos estudados. Desta forma pode-se concluir que a formulação via MEF, pode ser usada de forma alternativa ao MDF nas simulações da propagação da onda e na geração dos parâmetros de entrada para migração dos dados sísmicos, no entanto o algoritmo de E.F deve ser otimizado para que este se torne mais atrativo, uma das alternativas seria paraleliza-lo tornando os processos mais rápidos e assim obtendo respostas em um tempo menor quando comparadas com os esquemas que utilizam diferenças finitas; uma boa ferramenta para esse processo seria o emprego de cluster de PC s, onde a sua utilização para analise de modelos geológicos altamente complexos constitui uma realidade contemporânea, devido principalmente ao baixo custo de manutenção dos equipamentos que constituem essa arquitetura, se comparados aos supercomputadores que utilizam memória compartilhada. Além disso, a implementação do método iterativo dos gradientes conjugados mostrou-se eficiente em termos de convergência na solução do sistema de equações 68

78 lineares geradas pelo algoritmo de integração no tempo de Newmark; cabe destacar que para o problema resolvido considerou-se apenas a matriz de massa e rigidez. Pode-se notar através dos experimentos analisados a vantagem em utilizar esquemas de diferenças finitas já que esses são comprovadamente mais rápidos e econômicos em relação ao método de elementos finitos, principalmente por não ter que montar um sistema linear de equações algébricas, devido à simplicidade das operações envolvidas. Por este motivo, tais esquemas ainda são largamente utilizados nos problemas ligados à geofísica. No entanto, sua principal dificuldade consiste em sua aplicação em problemas contendo um domínio físico com formas geométricas complicadas, pois neste caso há dificuldades para o estabelecimento adequado do grid a ser utilizado para discretização; nesse aspecto o método de elementos finitos insere-se como uma boa alternativa, podendo com isso obter melhores resultados com o uso de uma malha não regular refinada nos lugares onde há maior complexidade esperando-se com isso obter um resultado com mais detalhes da área estudada Trabalhos Futuros Como sugestões para a continuidade do trabalho apresentado, podem ser considerados os seguintes itens: Utilização de malhas não regulares de elementos finitos, permitindo gerar malhas adaptadas as subregiões presentes nos modelos, com isso refinar apenas nas regiões de interesse e onde for necessário; Expansão dos códigos em mais uma dimensão, para que estes possam ser aplicados em modelos de três dimensões, uma vez que as análises tridimensionais de modelos geológicos complexos são mais ricas de informações em comparação com análises apenas em duas dimensões, extraindo assim maiores detalhes do meio estudado; Paralelização dos códigos MEF tornando-o mais atrativo em análises geofísicas; 69

79 Aplicação do PML (Perfectly Matched Layer) no algoritmo de E.F, esse esquema cria uma camada artificial de absorção atenuando eficientemente as reflexões provocadas pela borda do modelo; A utilização de elementos infinitos no algoritmo de E.F, constitui uma poderosa ferramenta de simulação para lidar com uma ampla gama de problemas práticos, tais como a propagação de ondas de terremoto na crosta superficial da Terra nos campos de geofísica e sismologia; Expandir os algoritmos de migração via RTM com um único sismograma para migração pré empilhamento; Desenvolver um programa de computador, incorporando técnicas de acoplamento MEF-MDF, onde espera-se aproveitar as principais vantagens de cada método. 70

80 REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ALTERMAN, Z. S., KORNFELD, P., 1968, Finite difference solution for pulse propagation in a sphere, Israel Journal of Technology, v. 6, pp ALTERMAN, Z. S., LOEWENTHAL, D., 1970, Seismic waves in a quarter and threequarter plane, Geophysical Journal of the Royal Astronomical Society,v. 20, n. 2, pp ALTERMAN, Z. S., ROTENBERG, A., 1969, Seismic waves in a quarter plane, Bulletin of the Seismological Society of America, v. 59, pp ALFORD, R. M.; KELLY, K. R.; BOORE, D. M., 1974, Accuracy of finite-difference modeling of the acoustic wave equation. Geophysics, v. 39, n. 6, p , dezembro. ASSAN, A.E., 1999, Métodos dos Elementos Finitos Primeiros Passos, Campinas,SP: Editora da Unicamp. BATHE, K., 1996, Finite Element Procedures. New Jersey, USA, Prentice-Hall. BAYSAL, E., KOSLOFF, D. D., SHERWOOD, J. W. C., 1983, Reverse Time Migration, Geophysics, v. 48, pp BERKHOUT, A. J., 1984, Seismic resolution. A quantitative analysis of resolving power of acoustical echo techniques: Geophysical Press. BLEISTEIN, N., COHEN, J. K., STOCKWELL, J. W. Jr Mathematics of Multidimensional Seismic Imaging, Migration and Inversion. Interdisciplinary Applied Mathematics, Springer. 71

81 BULCÃO, A., 2004, Modelagem e Migração Reversa no tempo empregando operadores elásticos e acústicos. Rio de Janeiro, Universidade Federal do Rio de Janeiro, Tese de Doutorado. CARCIONE, J. M.; HERMAN, G. C.; KROOD, A. P. E., julho-agosto 2002 Y2k rewiew article, seismic modeling. Geophysics, v. 67, n. 4, pp CERJAN, C., KOSLOFF, D., KOSLOFF, R., et al., 1985 A nonreflecting boundary condition for discrete acoustic and elastic wave equations, Geophysics, v. 50, n. 4, pp CLAERBOUT, J. F., and DOHERTY, S. M., 1972, Downward continuation of moveout corrected seismograms, Geophysics, v. 37, pp CUNHA, P. E. M., 1997, Estratégias Eficientes Para Migração Reversa no Tempo Préempilhamento 3-D em Profundidade pelo Método das Diferenças Finitas. Dissertação de Mestrado - CPGG/UFBA. DUARTE, O., 1997, Dicionário Enciclopédico Inglês-Português de Geofísica e Geologia.1 ed. Rio de Janeiro, Sociedade Brasileira de Geofísica. EVANS, B.J., 1998, A Handbook for seismic data Acquisition in Exploration, Socity of Exploration Geophyicists, Geophysical Monograph Series, n.7. HUYGENS, C., Traite de la Lumiere (completed in 1678, published in Leyden in 1690). GAZDAG, J., SGUAZZERO, P., 1984, Migration of seismic data by phase shift plus interpolation, Geophysics, v. 49, pp GRAFF, Karl F., 1991, Wave Motion in Elastic Solids. Oxford, Oxford University Press. GRAY, S. H., ETGEN, J., DELLINGER, J., et al., 2001, Seismic migration problems and solutions, Geophysics, v. 66, n. 5, pp

82 HAGEDOORN, J.G., 1954, "A Process of Seismic Reflection Interpretation", Geophysical Prospecting, v. 2, pp HILBER, H. M., HUGHES, T. J. R., TAYLOR, R. L., 1977 Improved Numerical Dissipation for Time Integration Algorithms in Structural Dynamics, Earthquake Engineering and Structural Dynamics, v. 5, pp JO, C. H.; SHIN, C.; SUH, J. H., 1987 An optimal 9-point finite-difference frequencyspace 2-d scalar wave extrapolator. Geophysics, v. 61, pp KELLY, K. R., MARFURT, K. J., 1990, Numerical Modeling of Seismic Wave Propagation, SEG, Geophysics reprint series n. 13. MCMECHAN, G. A., 1983, Migration by extrapolation of time-dependent boundary values : Geophysical Prospecting, v. 31, pp MARFURT, K. J., 1984, Accuracy of finite-difference and finite-element modeling of the scalar and elastic wave equations : Geophysics, v.49, pp MUFTI, I. R., PITA, J. A., HUNTLEY, R. W., 1996, Finite-Difference Depth Migration of Exploration-Scale 3D Seismic Data, Geophysics,v. 61, pp NEWMARK, N. M., 1959 A method of Computation for Structural Dynamics, ASCE SEM, pp OTTAVIANI, M., 1971, Elastic-wave propagation in two evenly-welded quarterspaces, Bulletin of the Seismological Society of America, v. 61, n. 5, pp QINGYUN, D., MIAOYUE, W., 2004, Migration of ground-penetrating radar data with a finite-element method that considers attenuation and dispersion,geophysics, v.69, n.2, pp REYNOLDS, A. C., 1978, Boundary Conditions For the Numerical Solution of Wave Propagation Problems, Geophysics, v.43, pp

83 SANTOS, R., FIGUEIRÓ, W., 2006 "Modelagem Acústica Bidimensional usando Diferentes Parametrizações de Campos de Velocidades", Revista Brasileira de Geofisica,v. 24, pp SCHNEIDER, W. A., 1978, Integral formulation for migration in two and three dimensions. Geophysics, v. 43, n. 1, pp SILVA, J. J., Migração Reversa no Tempo: Resolução em Levantamentos Sísmicos Interpoços. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro-RJ, Dezembro. SILVA, M. W. X., Migração Reversa no Tempo com Diferentes Condições de Imagens. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Rio de Janeiro, COPPE/UFRJ, Rio de Janeiro-RJ, Dezembro. SILVA, F. A. N., Modelagem Acústica por Diferenças Finitas e Elementos Finitos em 2-d e 2,5-d. Dissertação de Mestrado, Universidade Federal do Pará, CENTRO DE GEOCIÊNCIAS, Belém-PA, Outubro. SMITH, G. D., 1985, Numerical solution of partial differential equations: Finite diference methods. (S.l.): Clarendon Press. WHITMORE, N. D., 1983, Iterative depth migration by backward time propagation", Ann. Internat. Mtg. SEG - Expanded Abstracts, v.53, pp YEE, K. S., 1966, Numerical solution of initial boundary values problems involving maxwell s equations in isotropic media. IEEE Trans. Ant. Prop., v. 14, pp YILMAZ, Z., 2008 Seismic Data Analysis. Tulsa, USA, Society of Exploration Geophysicists. YILMAZ, Z., 2001, Seismic Data Analysis, SEG - Society of Exploration Geophysicists, Investigations in Geophysics n. 10,. 74

84 YOON, K., C. SHIN, S. SUH, L. LINES, S.H., KIGAM, 2003, 3D reverse-time migration using the acoustic wave equation: An experience with the SEG/EAGE data set. The Leading Edge, 22, ZIENKIEWICZ, O. C., TAYLOR, R. L., 2000, The Finite Element Method. v. 1, 5 ed.oxford, Butterworth Heinemann. 75

85 APÊNDICE A DISCRETIZAÇÃO DA EQUAÇÃO DA ONDA ACÚSTICA PELO MÉTODO DAS DIFERENÇAS FINITAS O método das diferenças finitas foi um dos primeiros métodos numéricos desenvolvidos que, pela sua facilidade e economia computacional, é bastante usado na geofísica e pode modelar as equações de propagação da onda. Esse método é caracterizado por representar as derivadas da EDP por expressões de diferenças. Com isso, pode-se aproximar os operadores diferenciais da equação da onda através do truncamento da série de Taylor, sendo que a ordem dos termos é diretamente proporcional à precisão da aproximação e ao custo computacional. A discretização da equação da onda acústica via MDF está descrita abaixo. Considere a equação acústica da onda bidimensional com densidade constante dada por: ( ) ( ) ( ) (A.1) Geralmente, as derivadas espaciais são expressas por aproximação de quarta ordem, enquanto que as derivadas temporais são representadas por expressões de segunda ordem. A aproximação dessas derivadas será obtida a partir da expansão em série de Taylor de funções. Deste modo, as respectivas expressões de segunda e quarta ordem dessas derivadas são dadas por: 76

86 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (A.2) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (A.3) A função () refere-se ao erro de aproximação da derivada. Tal erro é calculado levando-se em conta o intervalo do grid, de maneira que em uma expressão de quarta ordem, o erro cometido é da ordem de ( ). Adotando-se uma notação que considera os índices, e se referindo, respectivamente, aos pontos do grid nas direções horizontais e verticais e aos passos de tempo da simulação. Com essa notação, obtêm-se as seguintes representações: Campo de Pressão: ( ) Fonte: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Assim, discretizando-se a equação A.1 e considerando-se as expressões de derivadas, A.2 e A.3 têm-se: ( ) ( ) (A.4) ( ) ( ) (A.5) ( ) ( ) (A.6) Isolando-se o termo desejado na equação A.6, obtém-se: ( ) ( )( ) (A.7) 77

87 Substituindo-se A.4, A.5 e A.6 em A.1, e ainda considerando-se o espaçamento do grid como sendo regular ( ) obtém-se: ( ) [( ) ( ) ) (A.8) ( ) ( ) ( )] Agora, substituindo-se a equação A.8 em A.7, obtém-se a discretização da equação da onda pelo Método de Diferenças Finitas, com aproximações de segunda ordem para derivadas temporais e quarta ordem para derivadas espaciais: ( ) [( ) ( ) ] (A.9) ( ) ( ) ( ) ] Outras discretizações para as equações da onda não reflexiva ou com densidade variável podem ser obtidas de maneira análoga, substituindo-se as expressões de derivadas parciais por aproximações das derivadas pelo método das Diferenças Finitas. 78

88 APÊNDICE B INTRODUÇÃO AO MÉTODO DOS ELEMENTOS FINITOS Seja um domínio 2D, Ω, limitado por um contorno Γ = Γ u U Γ q : Figura B.1 - Caracterização do domínio e contorno Considerando a equação diferencial que rege o fenômeno de propagação de ondas: ( ) ( ) (B.1) Sendo: é o módulo de deformação volumétrico, também conhecido como módulo de Bulk que mede a capacidade da substância ser comprimida; 79

89 ρ é a densidade do material atravessado; f(t) representa a fonte dependente do tempo. Onde u = u(x, y, t) ou u(x, t) com em Γ u e em Γ q. Figura B.2 - Comparação entre solução exata ( ) e aproximada ( ) Para aproximação da solução de uma equação diferencial utiliza-se o método dos Resíduos Ponderados. Ele consiste em minimizar o erro entre a solução real e a solução aproximada, sabendo que ( ) e sendo a solução aproximada. Então, temos que ( ), ressaltando que: Erro = ; Resíduo = ( ) ( ) A sentença de Resíduos Ponderados no domínio e no contorno é descrita pela seguinte equação: (B.2) Sabendo que: é a função de ponderação ( ) ( ) ; 80

90 ( ( ) ) ( ) ( ) (B.3) O próximo passo é a obtenção da sentença ou formulação fraca, que é feita através da redução da ordem do operador diferencial de segunda ordem. Fazendo: ( ) (B.4) Pode-se escrever: ( ) (B.5) Tem-se então: ( ) (B.6) Sem perda de generalidade, tem-se: ( ) (B.7) Substituindo as equações (B.6) e (B.7) na equação (B.4), tem-se: ( ( ) ) ( ( ) ) (B.8) 81

91 Então: ( ) ( ( ) ( )) (B.9) Sabendo que: ) ) Pode-se escrever: ( ) ( ( ) ( )) ( ) Lembrando que: Considerando e usando o operador. Pode-se substituir por: (B.11) 82

92 Pelo teorema do divergente 11 : (B.12) Nesse caso Γ=, onde representa a direção normal à superfície. Deve-se comentar que a aplicação do teorema da divergência reduz as exigências de continuidade no campo de pressão. Portanto, pode-se transformar uma integral de domínio em uma integral de contorno. Dessa forma, temos: ( ) ( ) ( ) (B.13) Tomando a segunda parcela dessa soma, temos: ( ) ( ) (B.14) ( ) (B.15) Que pela derivada direcional tem-se: (B.16) Reescrevendo a equação completa: 11 O fluxo de um campo vetorial através de uma superfície S fechada e orientada, no sentido do campo de versores normais exteriores da superfície, é igual a integral de sobre a região D limitada pela superfície: 83

93 ( ) ( ) ( ) ( ) (B.17) Tomando por hipótese que u é atendido exatamente em ou seja, u = em, então tem-se: ( ) (B.18) Analisando os termos em : ( ) (B.19) Então, tem-se: ( ) ( ) ( ) ( ) (B.20) Sabendo que em não há fluxo então, portanto a primeira parcela dessa soma é igual a zero. Tem-se que e tomando a função de ponderação, percebe-se que a terceira parcela dessa soma anula-se com a segunda restando como resultado a sentença abaixo: ( ) (B.21) é: Com isso, chega-se à expressão final da sentença fraca de resíduos ponderados que 84

94 Encontre u U tal que: ( ) (B.22) Onde: U = { } { } Pensando em Elementos Finitos, ou seja, partição do domínio Ω em e em. ( ) (B.23) Usando separação de variáveis para variável u, obtém-se ( ) = ( ) ( ), que pode-se chamar de semi-discretização 12. Com o intuito de melhorar o entendimento far-se-á um exemplo de uma aproximação espacial, utilizando elementos triangulares lineares: ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] (B.24) Ou 12 As equações são ditas semi-discretas porque já estão discretizadas no espaço (MEF), mas ainda são contínuas no tempo. 85

95 ( ) (B.25) Para um melhor entendimento, observe a figura abaixo: Figura B.3- valores de nos pontos 1, 2 e 3 de um elemento triangular contido no domínio Ω. Sabendo: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ); Utilizando outra notação, tem-se: ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) [ ( )] ( ) Usando o método de Galerkin, ou seja, as funções de ponderação interpolação, tem-se: são iguais as de 86

96 ( ( ) ( ) ) (B.26) Calculando N 1, N 2, N 3 de cada elemento: ( ) ( ) (B.27) ( ) ( ) (B.28) ( ) ( ) (B.29) Para facilitar a notação, as equações podem ser escritas de forma matricial, da seguinte maneira: 87

97 ( ) ( ) ( ) (B.30) Deduz-se a seguinte formulação: Onde tem-se: ( ) ( ) ( ) (B.31) ( ) ; ( ) Para resolver a equação (B.31), é necessário definir que tipo de elemento será utilizado e qual o tipo de interpolação. Para discretizar o domínio, podem-se escolher diferentes tipos de elementos como, por exemplo: triangular linear, triangular quadrático, quadrangular linear ou quadrangular quadrático. No entanto, com o objetivo de melhorar o entendimento e facilitar os cálculos, será desenvolvido um esquema de resolução através da utilização do elemento triangular linear para resolver a equação abaixo: ( ) (B.32) Partindo do modelo semi-discreto: Sendo: ( ) ( ) ( ) (B.33) [ ] matriz composta pelas matrizes dos elementos [ ]; 88

98 [ ] = ; [ ] é a matriz composta pelas matrizes dos elementos [ ]; [ ] = [ ] As funções de interpolação utilizadas para o elemento triangular linear são respectivamente: Figura B.3 Elemento triangular em coordenadas cartesianas (x, y) e a sua parametrização em coordenadas naturais (, ). ( ) ( ) ( ) Tem-se então Portanto, pode-se gerar a matriz de massa da seguinte forma: ( ) ( ) (B.34) Sendo que: é o jacobiano e igual a [ [ ] Tem-se da equação (B.34) que. 89