Universidade Federal da Bahia Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica

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1 Universidade Federal da Bahia Pró-Reitoria de Pesquisa e Pós-Graduação Programa Institucional de Bolsas de Iniciação Científica PIBIC UFBA Projeto de Pesquisa do Orientador Título do Projeto Nome do Orientador Grupo de Pesquisa (opcional) Estados de equilíbrio em dinâmica não hiperbólica Paulo César Rodrigues Pinto Varandas Sistemas Dinâmicos / UFBA Palavras Chave Estados de equilíbrio, entropia, medidas conformes (até 3) Edital EDITAL PIBIC/UFBA 01/2010

2 1. Objetivos e Justificativa Objetivos e justificativa do projeto em termos de relevância para a pesquisa cientifica e do estado da arte. Este projeto visa estudar a existência de estados de equilíbrio num contexto amplo de sistemas não-uniformemente hiperbólicos tanto determinísticos e aleatórios. O problema da caoticidade de sistemas dinâmicos expresso através da sensibilidade às condições iniciais ou da entropia topológica é um dos problemas primordiais no estudo de Sistemas Dinâmicos. Estas noções são fulcrais e sua apresentam diferentes contornos quando lidamos com dinâmicas discretas. Dada uma função f:m M, a entropia topológica h top ( f ) é um dos mais importantes invariantes em dinâmica, ou seja, sistemas conjugados possuem igual entropia topológica. De forma surpreendente, provou-se que a complexidade topológica h top ( f ) associado a f pode ser visto obtida como limite da complexidade métrica do sistema. Mais precisamente, dada uma medida f-invariante ergódica µ, o princípio variacional para a entropia garante que h top ( f ) = sup{h µ ( f ) : µ " M 1 ( f )} onde h µ ( f ) denota a entropia métrica, e toda a medida µ que atinja o supremo é dita medida de máxima entropia. Mais geralmente, dado um potencial " : M # IR, uma medida invariante que atinja o supremo P top ( f,") = sup{h µ ( f ) + # " dµ : µ $ M 1 ( f )} é dito um estádio de equilíbrio para ( f,"). Algumas questões importantes no estudo do formalismo termodinâmico dizem respeito à existência, finitude e estabilidade de estados de equilíbrio para classes persistentes de sistemas dinâmicos. Levando adiante técnicas provenientes da Mecânica Estatística, Sinai, Ruelle e Bowen [B, BR, S] provaram que todo o sistema uniformemente hiperbólico é semi-conjugado a um subshift de tipo finito e portanto admite um único estado de equilíbrio para todo potencial Hölder contínuo. A teoria de estados de equilíbrio fora do contexto de hiperbolicidade uniforme continua no entanto ainda muito incompleta apesar de variadas contribuições recentes, incluindo os trabalhos [OV, VV2] no contexto de difeomorfismos locais obtidos por bifurcação de transformações expansoras. Estes trabalhos dão o fundamento para que algumas extensões dos mesmos possam ser obtidas e que listamos: Problema 1: Existência e unicidade de estados de equilíbrio para potenciais Hölder de entre as medidas com expoentes de Lyapunov positivos Uma resposta afirmativa a esta questão fornece uma contribuição parcial muito relevante para o estudo do formalismo termodinâmico de endomorfismos. Exemplos importantes considerados são os exemplos das Viana maps [Vi]. Este é um trabalho em andamento com V. Pinheiro [PV]. O segundo problema diz respeito a considerar iterações aleatórias de entre um conjunto mensurável de transformações. Problema 2: Formalismo termodinâmico e decaimento de correlações para transformações aleatórias com expansão em média Este problema é alvo de um projeto recentemente iniciado trabalho com A. Castro (UFBA), onde trabalhos seminais de Kifer são generalizados a um contexto de expansão em média. O estudo do decaimento de correlações apresenta-se certamente uma das dificuldades fundamentais. Uma outra direção de pesquisa diz respeito à construção de medidas de equilíbrio para transformações com região crítica como é o caso de mapas multimodais no intervalo, estudadas em [VV1]. Uma

3 cota para o numero de tais estados de equilíbrio foi fornecida por Buzzi em [Bu], porém a existência de tais medidas não é garantida. Pretendemos construir estados de equilíbrio para aplicações multimodais sob condições muito gerais, passando primeiramente pelo seguinte passo: Problema 3: Construção de medidas conformes para transformações multimodais do intervalo Este problema surge da observação que em muitos sistemas físicos os estados de equilíbrio surgem como medidas absolutamente contínuas com respeito a medidas conformes (ou de referência). Portanto, entendemos que a extensão dos resultados do formalismo termodinâmico desenvolvido previamente em [VV2,PV] a um contexto de transformações aleatórias e com regiaão crítica será de grande valia para melhor entendimento dessas dinâmicas e uma contribuição importante para a teoria. A forte motivação física propicia uma maior facilidade de adaptação para trabalhos de iniciação científica, e os alunos envolvidos no projeto têm contato com as mais recentes técnicas e resultados numa área de pesquisa em forte desenvolvimento. 2. Metodologia Descrição da maneira como serão desenvolvidas as atividades para se chegar aos objetivos propostos. Indicar os materiais e métodos que serão usados. Os métodos teóricos utilizados serão principalmente da Teoria Ergódica e de Sistemas Dinâmicos, assentando ainda sobre exemplos importantes de sistemas não-uniformemente hiperbólicos como os modelos logísticos e as Viana maps. 3. Viabilidade e Financiamento Argumentação clara e sucinta, demonstrando a viabilidade do projeto e seus financiamentos (se existentes) com fonte e período de execução. Viabilidade. Após o desenvolvimento do formalismo termodinâmico para sistemas dinâmicos uniformemente hiperbólicos na década de setenta do século passado principalmente por D. Ruelle e posteriormente por R. Bowen e Y. Sinai, o estudo de dinâmicas além do contexto uniformemente hiperbólico permaneceu muito intocado. De fato, estes sistemas contemplam fenômenos importantes que aparecem na termodinâmica física como a transição de fase. Duas das dificuldades enfrentadas prendem-se com a falta de modelos simples de dinâmicas nãouniformemente hiperbólicas e a dificuldade em mostrar essa hiperbolicidade não uniforme porque se espera que seja persistente mas não robusta. Em [P], V. Pinheiro construiu estruturas Markovianas adaptadas a todas as medidas expansoras, ou seja, com expoentes de Lyapunov todos positivos, permitindo a semi-cunjugaçao (do ponto de vista da medida) de um sistema não-uniformemente expansor com um shift de infinitos símbolos. Depois das idéias seminais de Bowen, Sinai e Ruelle, este ingrediente

4 juntamente com técnicas provenientes de [BS] dão garantias de viabilidade à construção de um único equilíbrio de entre todas as medidas invariantes expansoras. O projeto iniciado mais recentemente para abordar o Problema 2 surge como extensão de [VV2] a um contexto aleatório. A estratégia de construção de estados de equilíbrio como medidas absolutamente continuas com respeito a medidas conformes parece ser factível, embora a falta de estimativas uniformes devida à perda de hiperbolicidade uniforme e à aleatoriedade deva exigir esforços técnicos adicionais. Em contrapartida, esperamos que novos exemplos de dinâmicas nãouniformemente hiperbólicas e aleatórias sejam dados. Nos exemplos considerados em [OV] o estados de equilíbrio, em particular medidas de máxima entropia, surgem como medidas absolutamente contínuas. Se a construção de medidas conformes para difeomorfismos locais surge como uma conseqüência fácil do teorema de Hahn- Banach em Análise Funcional, o mesmo não se passa mais geralmente com transformações que admitam pontos críticos. As técnicas de Hofbauer e Keller garantem que sob certas condições tais medidas podem ser construídas e nosso objetivo será de tentar enfraquecer tais condições de forma a obter um formalismo termodinâmico para uma classe mais ampla de potenciais. Os resultados em [VV1] contribuem ainda para um melhor entendimento das componentes ergodicas de tais medidas conformes. Financiamento. Para o desenvolvimento do projeto contamos com os equipamentos obtidos pelo projeto Desenvolvimento Integrado de Sistemas Dinâmicos e Geometria Diferencial na Bahia (PADCT /2004-0), que é uma parceria com o IMPA (Instituto Nacional de Matemática Pura e Aplicada) e é financiado pelo CNPq. Contamos, com o projeto FAPESB/CNPq do Edital Primeiros Projetos de Pesquisa intitulado Formalismo Termodinâmico de Sistemas Nãouniformemente hiperbólicos e o projeto Pesquisa Integrada em Sistemas Dinâmicos no Nordeste (MCT/CNPq 02/ Universal). 4. Resultados e impactos esperados Relação dos resultados ou produtos que se espera obter após o término da pesquisa. Resultados esperados: Publicação dos resultados em revistas especializadas. Impactos esperados: A junção desta pesquisa promete fornecer um entendimento mais completo acerca da caoticidade e termodinâmica de sistemas dinâmicos a tempo contínuo e também de acoplamentos de famílias quadráticas por transformações com fraca hiperbolicidade. Tal teoria compreende uma classe bem ampla e flexível de sistemas dinâmicos, o que possibilita várias novas aplicações em outras áreas como biologia, medicina, engenharia, etc. 5. Cronograma de execução Relação itemizada das atividades previstas, em ordem seqüencial e temporal, de acordo com os objetivos traçados no projeto e dentro do período proposto.

5 -Segundo semestre de Construção de medidas de máxima entropia de entre as medidas expansoras e aplicação ao caso das Viana maps 2. Obtenção de um novo invariante topológico para dinâmicas não-uniformemente expansoras 3. Preparação de um artigo para publicação com os resultados obtidos nesta primeira parte do projeto. -Primeiro semestre de Obtenção de estados de equilíbrio e decaimento de correlações para o contexto de transformações aleatórias com expansão em media. 2. Construção de medidas conformes para transformações unimodais seguindo as técnicas desernvolvidas por Denker e Urbanski e aplicação ao caso multimodal. -Segundo semestre de Preparação dos artigos para publicação com os resultados finais do projeto. 6. Referências bibliográficas (máximo de 10 referências) Relação itemizada das referências que subsidiam a proposta de pesquisa, colocando as mais importantes. 1. [B] R. Bowen and Y. Sinai, Equilibrium states and the ergodic theory of Anosov diffeomorphisms, LNM470, Springer Verlag, [BR] R. Bowen and D. Ruelle, The ergodic theory of Axiom A flows, Invent. Math, 29: , [Bu] J. Buzzi, Number of equilibrium states of piecewise monotonic maps of the interval, Proc. of the Amer. Math. Soc., 123, , (1995). 4. [CV2] A. Castro and P. Varandas, Maximal entropy measures for random non-uniformly expanding maps (em andamento) 5. [OV] K. Oliveira and M. Viana, Theromdynamical formalism for open classes of potentials and non-uniformly hyperbolic maps, Ergod. Th. & Dynam. Sys., 29, (2009). 6. [P] V. Pinheiro, Expanding measures, Preprint 2009, 7. [PV] V. Pinheiro and P. Varandas, Thermodynamical formalism for expanding measures (em andamento) 8. [VV1] S. vanstrien and E. Vargas, Real bounds, ergodicity and negative Schwarzian derivative for multimodal maps, Journal of the Amer. Math. Soc., 4, , (2004). 9. [VV2] P. Varandas and M. Viana, Existence, uniqueness and stability of equilibrium states for non-uniformly expanding maps, Analles de l Institut Henri Poincaré-Analyse Non- Lineaire, 27, , [V1] M. Viana, Multidimensional nonhyperbolic attractors, Inst. Hautes Études Sci. Publ. Math., 85, (1997),