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1 8.2 Material Compra de livros, materiais de impressão, e um computador. Subtotal = R$ 3.500,00 Valor total em Material = R$ 3.500, Passagens Aéreas 4 (quatro) passagens nacionais para realização de visitas de intercâmbio de pesquisadores do projeto a outros centros de pesquisa no país. Subtotal = R$ 3.600,00 4 (quatro) passagens nacionais para participação em eventos científicos da área de Análise. Subtotal = R$ 3.600,00 1 (uma) passagem internacional (ida e volta) para participação do professor Luis Vega. Subtotal = R$ 3.200,00 Valor total em passagens = R ,00 Observação: A média nacional usada para estimar o custo de passagens nacionais (ida e volta) foi baseada no valor R$ 900, Total Geral de Despesas: R$ Atendimento aos Critérios do Edital Os itens do Edital MCT/CNPq 15/2007-Universal-pertinentes ao Projeto foram atendidos, a saber: (a) Os objetivos do projeto aqui apresentado possuem mérito e originalidade, conforme constata a qualidade dos periódicos onde foram publicados os resultados relacionados com tais objetivos; (b) O Coordenador, Vice-Coordenador e os pesquisadores participantes possuem experiência científica nos problemas propostos; (c) O Coordenador e o Vice-Coordenador do projeto possuem uma adequada experiência em orientação acadêmica; (d) O Projeto será realizado no Instituto de Matemática e Estatistica (IME) da Universidade Estadual de São Paulo, cuja instituição possui um sólido Programa de Pós-Graduação em Matemática, e no Instituto de Matemática da Universidade Federal de Alagoas, que possui um Programa de Pós-Graduação em Matemática em pleno crescimento acadêmico. 5

2 02 Dissertações de Mestrado; 01 Trabalhos de Iniciação Científica. 6 Riscos e Dificuldades Dificuldades na realização de intercâmbio científico e de bibliografia são os maiores obstáculos a um projeto de Matemática, principalmente se parte da execução de tal projeto é no Nordeste. No entanto, nestes casos, o aporte financeiro obtido através deste projeto reduzirá drasticamente estes obstáculos e ademais o suporte de um instituto do porte internacional como o IME/USP seguramente ajudará muito. 7 Algumas melhores práticas do grupo no tema ou área proposta J. Angulo Non-Linear stability of periodic travelling-wave solutions to the Schrödinger and the modified Korteweg- de Vries, J. of Differential Equations, 235, No.1, p. 1-30, (2007), J. Angulo & F. Linares, Periodic pulses of coupled nonlinear Schrodinger equations in optics, Indiana University Mathematics Journal, 56, no. 2, (2007), J. Angulo & J. Bona & M. Scialom Stability of cnoidal waves, Advances in Differential Equations, 11, No.12, (2006), A. J. Corcho & F. Linares, Well-Posedness for the Schrödinger-Debye Equation, Contemporary Mathematics, 362 (2004), A. J. Corcho, Ill-Posedness for the Benney System, Discrete and Continuous Dynamical Systems, 15, Number 3 (2006), A. J. Corcho & F. Linares, Well-Posedness for the Schrödinger-Korteweg-de Vries System, Transactions of the American Mathematical Society, 359, Number 9 (2007) A. J. Corcho, A. Arbieto and C. Matheus, Rough Solutions for the Periodic Schrödinger- Korteweg-de Vries System, J. of Differential Equations, 230 (2006) Itens solicitados 8.1 Diárias Diárias nacionais para realização de visita de intercâmbio científico ou participação em eventos científicos de pesquisadores do grupo a outros centros de pesquisa no país. Subtotal = R$6.100,00 Valor total em diárias = R$ 6.100,00 4

3 Assim, baseados na recente teoria de existência e estabilidade de ondas periódicas de tipo cnoidal desenvolvida por Angulo&Bona&Scialom ([ABS]) em H 1 per, queremos determinar se podemos obter uma teoria de estabilidade para estas ondas no espaço L 2 per. Notamos que este tipo de problema foi estudado por Vega&Merle ([MV]) no caso de ondas viajantes de tipo solitárias. Referências Bibliográficas: [A] J. Angulo Non-Linear stability of periodic travelling-wave solutions to the Schrödinger and the modified Korteweg- de Vries, J. of Differential Equations, 235, No.1, p. 1-30, (2007), [ABS] J. Angulo & J. L. Bona & M. Scialom, Stability of cnoidal waves, Advances in Differential Equations 11 (2006), [MV] Martel, F. & Vega, Luis, L 2 stability of solitons for KdV equation, Int. Math. Res. Not. IMRN, no. 13 (2003), É também de nosso interesse poder aplicar nossos possíveis resultados acima a outros sistemas e/ou equações de relevância no âmbito dispersivo. 4 Metodologia e Estratégia de Ação A metodologia a ser utilizada é a mais freqüente em Matemática, o método dedutivo. Este método é aplicado para obter os resultados finais, frutos de uma fase inicial, dominada pela intuição dos resultados através de considerações heurísticas e o tratamento de casos particulares, visando entender melhor a essência dos problemas propostos. Não existem regras gerais e cada matemático tem sua própria maneira de abordar esta primeira fase; porém, o uso de resultados já estabelecidos por outros cientistas é, em geral, muito importante. A fase final, onde são apresentados os resultados, estas tentativas iniciais são em geral omitidas, e o que aparece é o resultado final do trabalho em forma de teoremas. 5 Resultados e Impactos Esperados 5.1 Repercussão e/ou impactos dos resultados: Esperamos com este projeto melhorar de forma significativa a produção científica e a interação dos docentes pertencentes ao Grupo de Análise Não-Linear que integram a pósgraduação em Matemática da UFAL. Além disso, contribuir na formação acadêmica dos estudantes de graduação e pós-graduação e fomentar intercâmbio científico entre os grupos de pesquisa de EDP s da Universidade Estadual de São Paulo e Análise Não-Linear da Universidade Federal de Alagoas. 5.2 Indicadores de resultados ao final do projeto: 04 Apresentações de Trabalho em Congresso; 04 Artigos de Pesquisa; 3

4 3 Objetivos e Metas Inicialmente pretendemos abordar os problemas descritos abaixo: Problema 1. Estudar a existência e estabilidade de soluções de tipo kink para o sistema de Schrödinger-Korteweg de Vries (S-KdV), descrito pelas equações iu t ± xu 2 = αuv + β u 2 u, (S-KdV) v t + v xxx + vv x = γ x ( u 2 ), (3.1) u(x, 0) = u 0, v(x, 0) = η 0, onde t, x R. Além disso, desenvolver a teoria local necessária para o estudo da estabilidade. Em [CL], foi provada a boa colocação local em espaços de Sóbolev com baixa regularidade eaboacolocação global no espaço de energia H 1 H 1 quando os parâmetros de acoplamento α e γ possuem o mesmo sinal para o sistema (S-KdV). Estes resultados generalizam e melhoram os obtidos anteriormente em [BOP] e [T]. Entretanto, nada se sabe acerca de uma teoria local para ondas de tipo kink Referências Bibliográficas: [BOP] D. Bekiranov, T. Ogawa & G. Ponce, Weak Solvability and Well-Posedness of a Coupled Schrödinger-Korteweg de Vries Equation for Capillary-Gravity Wave Interactions, Proceedings of the AMS., 125, Number 10 (1997), [CL] A. J. Corcho & F. Linares, Well-Posedness for the Schrödinger-Korteweg-de Vries System, Transactions of the American Mathematical Society, 359, Number 9 (2007) [T] M. Tsutsumi, Well-Posedness of the Cauchy Problem for a Coupled Schrödinger-KdV Equation, Math. Sciences Appl., 2 (1993), Problema 2. É conhecido que a seguinte equação de tipo Korteweg-de Vries chamada de modificada Korteweg-de Vries (mkdv) v t + v xxx v 2 v x =0, com v = v(x, t) R, possui soluções de tipo kink. Esta equação é de considerável importância na Física e surge no estudo da Física do plasma e na teoria de propagação de ondas Alfvén. Nosso interesse neste problema é determinar qual tipo de soluções periódicas poderiam aproximar estas soluções de tipo kink e estudar a estabilidade das mesmas pelo fluxo periódico da mkdv. Além disso, sabemos que através da transformação de Miura u = v x + v 2 temos que se v é a solução da (mkdv) então u satisfies a clássica equação de ondas longas chamada de Korteweg-de Vries (KdV), u t + u xxx + uu x =0. 2

5 1 Participantes Coordenador: Jaime Angulo Pava, Universidade de São Paulo (USP) Vice-Coordenador: Adán José Corcho Fernández, Universidade Federal de Alagoas (UFAL) 1.1 Pesquisadores Luis Vega Gonzáles, Universidad del Pais Vasco (UPV, Espanha) Jerry Bona, University of Illinios at Chicago (Chicago, USA) 1.2 Colaboladores Adriano Oliveira Barbosa (bolsista de Iniciação Científica da UFAL) Alex Santana dos Santos (aluno de Mestrado da UFAL) Darliton Cezário Romão (aluno de Mestrado da UFAL) Cesar Batista (aluno de Doctorado USP) Fabio Amorin Natali (aluno de Pós-Doctorado USP) 2 Caracterização e Justificativa O projeto em tela procura fortalecer o estudo das equações de evolução dispersivas nãolineares no âmbito Brasileiro e, além disso, relacionar centros de pesquisa estabelecidos (IME-USP) com outros tais como o Instituto de Matemática da UFAL. Nosso foco de interesse é o estudo de propriedades qualitativas específicas associadas às equações dispersivas não-lineares, as quais tem mostrado nos últimos anos serem de central importância no entendimento da dinâmica de vários modelos físicos. A existência, estabilidade/instabilidade de ondas viajantes, assim como o estudo da existência e unicidade, local e global, de soluções para os modelos em estudo formam o coração deste projeto. O tipo de ondas viajantes que estamos interessados em estudar são as ondas periódicas e aquelas do tipo kink. Especificamente, estamos interessados em desenvolver teorias de existência e unicidade para este tipo de soluções associadas a certos modelos dispersivos específicos que aparecem em ótica não-linear (raios laser) e mecânica dos fluidos (ondas de águas pouco profundas). Além disso, pretendemos estudar uma problemática mais delicada que tem a ver com a estabilidade ou instabilidade por pequenas perturbações das soluções descritas acima. Neste ponto surge conseqüentemente um estudo mais profundo sobre as propriedades espectrais de nossos modelos, bem como um aprofundamento no estudo das soluções obtidas para os problemas de Cauchy abordados. Para atender estes objetivos faze-se necessário o uso de ferramentas da teoria de operadores lineares autoadjuntos, teoria de bifurcação e análise de Fourier. 1

6 CNPq - Conselho Nacional de Desenvolvimento Científico Edital MCT/CNPq 15/ Universal Título do Projeto Ondas Dispersivas Não-Lineares Coordenador: Jaime Angulo Pava (USP) Instituição de Execução do Projeto: Universidade de São Paulo(USP)