UMA APLICAÇÃO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA À TEORIA DO CAOS PARA OS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL

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1 UMA APLICAÇÃO DA MATEMÁTICA FINANCEIRA À TEORIA DO CAOS PARA OS ANOS FINAIS DO ENSINO FUNDAMENTAL Eliana Einsfeld Krindges Escola Barão do Rio Branco Janaína Poffo Escola Barão do Rio Branco Resumo: O objetivo deste trabalho é apresentar uma aplicação da matemática financeira relacionada às Ciências Contemporâneas. A teoria do caos, como um conceito da Ciência Contemporânea é pouco presente na sala de aula, mesmo que seus estudos datam a década de cinqüenta. Utilizando a matemática financeira, muito presente no dia a dia de nossos alunos, pretendemos revelar a presença desta teoria. Partimos de uma proposta simples, que pode ser aplicada sem grandes recursos tecnológicos. Sugerimos inicialmente apenas o uso de uma calculadora e após apresentamos a resolução de problemas utilizando a planilha eletrônica. Palavras-chave: Matemática; Educação Financeira; Teoria do Caos. Na sociedade atual é comum nos depararmos com situações que requerem uma reflexão sobre a cultura consumista. Pessoas se deixam influenciar excessivamente pela mídia, o que é comum em um sistema dominado pelas preocupações de ordem material, na qual os apelos do capitalismo calam fundo na mente humana. Não é à toa que o universo contemporâneo no qual habitamos é conhecido como sociedade de consumo. Pensando nisto, foi desenvolvido este trabalho visando relacionar os termos da Matemática Financeira à Teoria do Caos. Este estudo foca o conceito de iteração, que significa repetição. Processos iterativos ocorrem em diversas situações, como por exemplo, nos cálculos relacionados com juros compostos. O conceito de iteração está relacionado com o tópico função composta, que é tratado no ensino básico com ênfase menor pois o processo iterativo é pouco utilizado durante a produção da ciência moderna, porém, assume um papel fundamental na construção da ciência contemporânea. (BAIER, 2005, p. 85) Na década de 1960, Edward Lorenz investiga modelos matemáticos para o clima atmosférico. A partir das leis físicas newtonianas, Lorenz busca a previsão do tempo atmosférico, pois, na época, os meteorologistas entendiam que modelar matematicamente o 1

2 clima e efetuar previsões precisas seria similar às previsões de marés e eclipses. Prevalecia, no mundo da Ciência, a idéia de que pequenas variações influenciam de modo mínimo, assim, Lorenz desconsidera algumas casas decimais. Ao examinar a nova sequência percebe que a simulação computacional divergia drasticamente da anteriormente obtida. Os erros iniciais de arredondamento eram os culpados, eles estavam regularmente se ampliando até que dominaram a solução. Na terminologia atual, produziu-se o caos. (LORENZ, 1996, p. 166) Em outras áreas do conhecimento, o fenômeno da dependência sensível das condições iniciais também foi detectado e, os dados iniciais das pesquisas são muitas vezes decisivos para o desenvolvimento de modelos matemáticos. Nos textos científicos encontra-se tanto a expressão valor inicial como também semente. Processos iterativos são usados na matemática financeira, assim, os objetivos do trabalho são os seguintes: - Ampliar e consolidar os significados dos conceitos da Matemática Financeira a partir dos diferentes usos em contextos sociais e matemático. - Utilizar conceitos da Matemática Financeira para a resolução de problemas. - Apresentar alguns conceitos básicos da teoria do caos: iteração, valor inicial ou semente e órbita. -Identificar os conceitos de Ciência Contemporânea na resolução de problemas envolvendo Matemática Financeira. - Construir gráficos, utilizando planilha eletrônica, a partir das situações dadas. Este trabalho, uma proposta pedagógica para o estudo da matemática financeira, está alinhado com os Parâmetros Curriculares Nacionais, sendo que as habilidades enfocadas são: - Comunicar-se matematicamente, ou seja, descrever, representar e apresentar resultados com precisão e argumentar sobre suas conjecturas, fazendo uso da linguagem oral e estabelecendo relações entre ela e diferentes representações matemáticas. - Desenvolver a capacidade de raciocínio, de resolver problemas, de comunicação bem como seu espírito crítico e sua criatividade; 2

3 - Estabelecer conexões e integração entre os conceitos da Matemática usual e da Ciência Contemporânea. - Expressar-se em linguagem oral e escrita e de forma gráfica diante de situações matemáticas, em outras áreas de conhecimento e no cotidiano, valorizando a linguagem matemática na comunicação de idéias. Partimos de uma situação-problema simples: Ao depositar um valor de R$ 100,00 numa poupança, que rende 1% de juro ao mês, quanto será o rendimento após um ano? Partindo dessa situação, podemos representar o que acontece em cada mês na tabela abaixo: Dados do problema: Valor inicial R$ 100,00 Taxa de juros 1% ao mês Tempo de aplicação 1 ano Para calcularmos o valor acumulado no primeiro mês devemos calcular o valor dos juros (valor inicial multiplicado pela taxa de juros expressa em decimal) e somar com o valor inicial. Para os meses seguintes devemos calcular o valor dos juros sobre o valor acumulado e somar com o valor acumulado (valor do mês anterior). Mês Valor ao final do mês 1º , 01= 101 2º , 01 = 102,01 3º 102, ,01 0, 01 = 103,0301 4º 103, ,0301 0, 01 = 104,0604 5º 104, ,0604 0, 01= 105,1010 6º 105, ,1010 0, 01 = 106,1520 3

4 7º 106, ,1520 0, 01= 107, º 107, ,2135 0, 01= 108,2856 9º 108, ,2856 0, 01= 109, º 109, ,3685 0, 01= 110, º 110, ,4622 0, 01 = 111, º 111, ,5668 0, 01= 112,6825 Ao analisarmos a sequência dos dados podemos observar uma lei de formação onde utilizamos a fatoração, mais precisamente o fator comum em evidência. Assim temos: M 1 = ,01 = 100 (1 + 0,01) = 101 M 2 = ,01 = 101 (1 + 0,01) = 100 (1 + 0,01) 2 = 102,01 M 3 = 102, ,01.0,01 = 102,01 (1 + 0,01) = 100 (1 + 0,01) 3 = 103,0301 M 4 = 103, ,0301.0,01 = 103,0301(1+ 0,01) = 100(1 + 0,01) 4 = 104,0604 M 5 = 104, ,0604.0,01 = 104,0604 (1+ 0,01) = 100 (1 + 0,01) 5 = 105,1010 M 6 = 106, ,1520.0,01 = 106,1520 (1 + 0,01) = 100 (1 + 0,01) 6 = 107,2135 M 7 = 106, ,1520.0,01 = 106,1520 (1 + 0,01) = 100 (1 + 0,01) 7 = 107,2135 M 8 = 107, ,2135.0,01 = 107,2135 (1 + 0,01) =100 (1 + 0,01) 8 = 108,2856 M 9 = 108, ,2856.0,01 = 108,2856 (1 + 0,01) = 100 (1 + 0,01) 9 = 109,3685 M 10 = 109, ,3685.0,01 = 109,3685 (1 + 0,01) = 100 (1 + 0,01) 10 = 110,4622 M 11 = 110, ,4622.0,01 = 110,4622 (1 + 0,01) = 100 (1 + 0,01) 11 = 111,5668 M 12 = 111, ,5668.0,01 = 111,5668 (1 + 0,01) = 100 (1 + 0,01) 12 = 112,6825 Generalizando: M n = 100(1 + 0,01) n Se observarmos o valor final de cada mês, teremos uma sequência numérica: 101; 102,01; 103,0301; 104,0604; 105,1010; 106,1520; 107,2135; 108,2856; 109,3685; 110,4622; 111,5668; 112,

5 Essa sequência é chamada de Progressão Geométrica que é toda a sequência em que cada termo a partir do segundo é igual ao produto do termo precedente por uma constante chamada razão. Na sequência apresentada anteriormente a razão é 1,01 e isso nos mostra um processo de iteração. da situação acima: Na literatura encontramos as seguintes fórmulas que expressam a generalização VF = VP (1 + i) n, onde: VF valor futuro VP valor presente i taxa (expressa em decimal) n tempo de capitalização (deve estar de acordo com a taxa) No uso da linguagem financeira temos o equivalente a: M = C (1 + i) t, sendo: M valor futuro C valor presente i taxa (expressa em decimal) t tempo de capitalização (deve estar de acordo com a taxa) Ou ainda, utilizando a nomenclatura da Matemática usual podemos descrevê-la como: M n M 1 n 1 0,01 onde: M n é o valor acumulado ao final de cada mês M (n-1) é o valor acumulado no mês anterior. A partir das reflexões acima, podemos inserir os conceitos da Ciência Contemporânea, descrevendo a situação utilizando os conceitos de regra, semente e órbita. Voltando ao nosso exemplo, 5

6 a regra é x 1,10x ; a semente é o valor inicial (R$ 100,00) a órbita são os valores dos doze meses: ,01 103, , , , , , , , , ,6825 O processo iterativo pode ser observado, de forma clara, na primeira tabela construída. O valor final de uma etapa passa a ser o valor inicial na etapa seguinte. Esse processo é contínuo e infinito. Num caso geral, se r representa a taxa de juros do período (expressa em decimal), depois de descobrir a quantidade de dinheiro em uma conta após um determinado número de períodos de tempo, o banco deve iterar a regra x (1 + r)x usando como valor inicial do depósito a semente. (CHOATE et all, 1999, p.20, tradução nossa) O mesmo exemplo apresentado pode ser explorado e aprofundado utilizando uma planilha eletrônica. Abaixo apresentamos sua conclusão utilizando o programa Excel: 6

7 Vejamos a situação que segue: Ana Maria, uma senhora assalariada, impressionou-se com a propaganda de um televisor de plasma de 42 de R$ 3022,00 por R$ 2679,00 no cartão de crédito. Motivada pela promoção e agindo por impulso mesmo sem sentir a necessidade de um televisor novo, decidiu utilizar seu cartão de crédito para adquirir este precioso bem. Ao receber a fatura do seu cartão de crédito, verificou que não tinha condições de quitar a dívida. Verifique o que acontece com a situação de Ana Maria se a dívida persistir por um ano, dado que a taxa de juros do cartão de crédito de Ana Maria é de 12% a.m. Mês Valor ao final do mês 1º , 12 = 3000,48 2º 3000, ,48 0, 12 = 3360,54 7

8 3º 3360, ,54 0, 12 = 3763,80 4º 3763, ,80 0, 12 = 4215,46 5º 4215, ,46 0, 12 = 4721,31 6º 4721, ,31 0, 12 = 5287,87 7º 5287, ,87 0, 12 = 5922,41 8 º 5922, ,41 0, 12= 6633,10 9º 6633, ,10 0, 12 = 7429,07 10º 7429, ,07 0, 12= 8320,57 11º 8320, ,57 0, 12 = 9319,04 12º 9319, ,04 0, 12 = 10437,32 a regra é x 1,12x ; a semente é o valor inicial (R$ 2679,00) a órbita são os valores dos doze meses: 3000, , , , , , , , , , , ,32 Na tabela acima podemos identificar de forma bem simples o processo iterativo do exemplo que também pode ser apresentado em forma de gráfico, com o intuito de observar seu crescimento. Referências BAIER, T. O nexo Geometria Fractal produção da Ciência Contemporânea tomado como núcleo do currículo de Matemática do Ensino Básico Universidade Estadual Paulista - Rio Claro. Tese de Doutorado. 8

9 BRASIL, Ministério da Educação e Cultura. Parâmetros Curriculares Nacionais: Ensino Médio. Brasília: MEC/SEF, CHOATE, Jonathan, DEVANEY, Robert L., FOSTER, Alice. Iteration a tool kit od Dynamics Activites. Emeryville: Key Curriculum Press, LORENZ, Edwar N. A Essência do Caos. Brasília. Ed. da UnB,