SPAECE2015 SISTEMA PERMANENTE DE AVALIAÇÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA DO CEARÁ

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3 ISSN SPAECE2015 SISTEMA PERMANENTE DE AVALIAÇÃO DA EDUCAÇÃO BÁSICA DO CEARÁ BOLETIM PEDAGÓGICO MATEMÁTICA 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS (EJA) 2º SEGMENTO

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5 GOVERNADOR CAMILO SOBREIRA DE SANTANA VICE-GOVERNADOR MARIA IZOLDA CELA DE ARRUDA COELHO SECRETÁRIO DA EDUCAÇÃO ANTONIO IDILVAN DE LIMA ALENCAR SECRETÁRIA ADJUNTA DA EDUCAÇÃO MÁRCIA OLIVEIRA CAVALCANTE CAMPOS SECRETÁRIA EXECUTIVA ANTONIA DALILA SALDANHA DE FREITAS ASSESSORIA INSTITUCIONAL MARISA BOTÃO DE AQUINO COORDENADORIA DE AVALIAÇÃO E ACOMPANHAMENTO DA EDUCAÇÃO COORDENADOR LUCIANO NERY FERREIRA FILHO CÉLULA DE AVALIAÇÃO DE DESEMPENHO ACADÊMICO ORIENTADORA CARMILVA SOUZA FLÔRES ASSESSORIA TÉCNICA GEZENIRA RODRIGUES DA SILVA MARCELO JOSÉ TAVARES BESSA ROSÂNGELA TEIXEIRA DE SOUSA TERESA MÁRCIA ALMEIDA DA SILVEIRA EQUIPE TÉCNICA GEANNY DE HOLANDA OLIVEIRA DO NASCIMENTO MARIA ASSUNÇÃO OLIVEIRA MONTEIRO PAULA DE CARVALHO FERREIRA SYLVIA ANDREA COELHO PAIVA REVISÃO MARCELO JOSÉ TAVARES BESSA

6 Apresentação

7 PREZADOS EDuCADORES CEAREnSES, É com muita satisfação que colocamos nas suas mãos a coleção dos boletins do SPAECE 2015, completando, assim, o 19º ciclo de um processo avaliativo em larga escala, do qual participam as escolas públicas do estado do Ceará. nosso objetivo é fomentar a leitura compreensiva e refl exiva desses boletins, oferecendo à comunidade escolar e à sociedade em geral um diagnóstico da qualidade do ensino oferecido pela rede pública. Essa leitura subsidia a interpretação e a análise dos dados, coletados de testes aplicados nas salas de aula do Ensino Fundamental (2º, 5º e 9º anos e EJA Anos Finais) e do Ensino Médio (1ª e 3ª séries/ 2º ciclo ProEMI/JF e EJA 1º Período). Acrescenta-se, ainda, a importância do conhecimento dos indicadores gerados por meio de questionários contextuais. Com base nestas informações, torna-se possível o acompanhamento, a tomada de decisões e a efetivação de ações que possibilitem uma aprendizagem signifi cativa dos nossos alunos. A partir da apropriação dos resultados do SPAECE 2015, será necessário impulsionar o projeto pedagógico de cada escola, com criação de metas e estratégias que busquem um crescimento gradual da realidade diagnosticada, visando o aprimoramento das práticas pedagógica e de gestão, cuja fi nalidade é fazer com que os nossos alunos desenvolvam suas capacidades e habilidades elencadas para cada etapa de ensino. Desejamos, sobretudo, que esses boletins potencializem e ampliem os horizontes educacionais, despertando a criatividade e favorecendo a inovação de planejamentos, com proposição de intervenções de ensino, na aspiração por uma progressão contínua e efi caz de uma aprendizagem embasada nos parâmetros da qualidade e da equidade. Eis o desafi o! Antônio Idilvan de Lima Alencar Secretário da Educação

8 SUMÁRIO POR QUE AVALIAR A EDUCAÇÃO NO CEARÁ? O QUE É AVALIADO NO SPAECE? COMO É A AVALIAÇÃO NO SPAECE?

9 COMO SÃO APRESENTADOS OS RESULTADOS DO SPAECE? COMO A ESCOLA PODE SE APROPRIAR DOS RESULTADOS DA AVALIAÇÃO? QUE ESTRATÉGIAS PEDAGÓGICAS PODEM SER UTILIZADAS PARA DESENVOLVER DETERMINADAS HABILIDADES EM MATEMÁTICA?

10 Caro(a) Educador Este é o Boletim Pedagógico da coleção de divulgação dos resultados do SPAECE Para um melhor entendimento das informações fornecidas por esses resultados, é muito importante responder às perguntas seguintes.

11 1 POR QUE AVALIAR A EDUCAÇÃO NO CEARÁ? 2 O QUE É AVALIADO NO SPAECE? 3 COMO É A AVALIAÇÃO NO SPAECE? 4 COMO SÃO APRESENTADOS OS RESULTADOS DO SPAECE?

12 1 POR QUE AVALIAR A EDUCAÇÃO NO CEARÁ? Com o intuito de compreender os objetivos da Avaliação Externa em Larga Escala, é preciso esclarecer seus pressupostos, seus questionamentos e suas aplicações.

13 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 As avaliações externas em larga escala e a atividade docente As avaliações externas em larga escala se destinam, por suas próprias características e concepção, à avaliação das redes de ensino. As metodologias que adotam, bem como a amplitude de sua aplicação, permitem a construção de diagnósticos macroeducacionais, que dizem respeito à rede de ensino como um todo, e não apenas às escolas e aos alunos específicos. Isso fez com que a avaliação em larga escala, ao longo do tempo, tenha se apresentado e se consolidado como um poderoso instrumento a serviço da gestão das redes, fornecendo subsídios para a tomada de decisões por parte dos gestores. O uso dos resultados desse tipo de avaliação pela gestão está relacionado, justamente, ao fato de os sistemas de avaliação serem em larga escala. Como os diagnósticos obtidos permitem a identificação de problemas em toda a rede, e não apenas em aspectos pontuais, que são tangentes a uma ou outra escola, os sistemas de avaliação se tornaram importantes para que políticas públicas educacionais pudessem ser planejadas e executadas com base em evidências. Políticas públicas em educação, por sua própria natureza, não são desenhadas para enfrentar problemas de uma única escola. Seu alcance, que legitima sua existência, deve ser mais amplo. Foi especialmente em função disso que a avaliação em larga escala pôde encontrar terreno fértil para se desenvolver. Inicialmente, a expansão dos sistemas estaduais e municipais de avaliação, aguda no Brasil dos anos 2000, poderia ser atribuída àquilo que elas, as avaliações, podem oferecer aos gestores das redes de ensino: informações capazes de dar suporte a ações de amplo alcance, tendo em vista os problemas que afetam toda a rede. De fato, esse é um elemento sem o qual não podemos compreender a importância que a avaliação externa adquiriu no cenário educacional brasileiro. Mas tal importância, é fundamental que se ressalte, não foi conquistada apenas em função do que um sistema de avaliação em larga escala é capaz de oferecer aos gestores das redes de ensino. Se a avaliação não estivesse apta a dialogar com as escolas, tomadas em si, na figura dos gestores escolares e dos professores, os sistemas de avaliação jamais teriam experimentado o desenvolvimento que tiveram nas últimas décadas no Brasil. Essa concepção pode parecer, à primeira vista, difícil de ser compreendida. A avaliação em larga escala, conforme ressaltado anteriormente, destina-se à produção de diagnósticos relativos a redes de ensino, ou seja, seu viés é amplo, e não centrado em escolas específicas. Por isso, suas características parecem mais ajustadas às atividades desempenhadas por tomadores de decisão que se encontram fora do ambiente escolar Se a avaliação não estivesse apta a dialogar com as escolas, tomadas em si, na figura dos gestores escolares e dos professores, os sistemas de avaliação jamais teriam experimentado o desenvolvimento que tiveram nas últimas décadas no Brasil. propriamente dito, do que àquelas desempenhadas pelos professores. Apesar disso, o fato de ter seu foco na produção de diagnósticos sobre as redes de ensino, não implica que os sistemas de avaliação em larga escala não forneçam informações que possam ser, depois de um processo de entendimento e reflexão, utilizadas pelos gestores escolares e pelos professores. A utilização dos resultados da avaliação pelos professores enfrenta dois problemas, primordialmente, para que possa se tornar uma prática mais difundida nas escolas. O primeiro deles é o desconhecimento que os docentes têm das avaliações em larga escala, ao passo que o segundo, sem desconsi- 11

14 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico derar o primeiro, é a confusão entre avaliação externa e a avaliação interna. O desconhecimento em relação às avaliações externas, tangente às suas características, aos métodos utilizados para sua aplicação, às suas limitações, às suas potencialidades, à forma como seus resultados são produzidos e divulgados, entre outros fatores, faz com que elas sejam percebidas como instrumentos pouco acessíveis aos atores escolares, ou mesmo equivocados ou inadequados para lidar com o ambiente escolar. Associada a esse desconhecimento está uma série de críticas que as avaliações recebem, mais em virtude dos usos dados a seus resultados, do que em função dos instrumentos em si. Não sendo antagônicas e nem equivalentes, avaliações externas e internas, se bem compreendidas, se apresentam como complementares. Não conhecer bem o instrumento é o primeiro passo para não utilizá-lo. Esse desconhecimento possui inúmeras origens, tais como a ausência da temática nos processos de formação de professores, a parca divulgação dos sistemas de avaliação, quando de sua criação, questões de natureza ideológica, entre outras. O processo de divulgação dos resultados da avaliação, do qual a presente publicação faz parte, busca justamente contornar o problema do desconhecimento. Quanto à confusão entre a avaliação externa e a avaliação interna, cuja origem, em grande parte, pode ser atribuída também ao desconhecimento acerca dos sistemas de avaliação, a mesma faz com que as relações entre esses dois tipos de avaliação sejam percebidas, muitas vezes, a partir de dois enfoques. De um lado, as avaliações externas são entendidas, pelos professores, como instrumentos que, por serem padronizados, desconsideram as peculiaridades do contexto de cada escola, produzindo diagnósticos distantes da realidade escolar e com pouco diálogo em relação ao trabalho dos professores. Assim, a avaliação externa, desconhecedora do chão da escola, se apresentaria como um instrumento antagônico à avaliação interna, realizada pelo professor e adequada à realidade dos alunos. Quando não é tratada a partir do enfoque do antagonismo, a avaliação externa é pensada como equivalente da avaliação interna. Desta forma, o raciocínio construído pelo professor gira em torno da possibilidade de usar o instrumento externo no lugar da avaliação que realiza em sala de aula, como se esta última pudesse ser absolutamente substituída por aquela. Por vezes, tal substituição é vista pelo professor com bons olhos, pois se trata da utilização de um instrumento que já está pronto. Em outros casos, parece, a seus olhos, que se trata de uma imposição. Nenhuma das duas leituras contempla, com clareza e precisão, as relações que a avaliação externa e a avaliação interna podem estabelecer. Não sendo antagônicas e nem equivalentes, avaliações externas e internas, se bem compreendidas, se apresentam como complementares. Destinados a objetivos e objetos diferentes, esses dois instrumentos produzem informações distintas sobre as escolas e sobre os alunos. Assim, o professor, e não apenas o gestor de rede ou gestor escolar, pode se valer dos diagnósticos da avaliação externa para informar sua ação, não para a criação de políticas públicas de amplo alcance, mas para um fim tão virtuoso quanto a alteração ou reforço de suas práticas pedagógicas, tendo em vista a oferta de uma educação de qualidade para os alunos. A leitura do presente material fornecerá os passos para que essa relação complementar seja percebida, apontando caminhos para que professores utilizem os resultados oriundos das avaliações em larga escala. Sendo assim, boa leitura e mãos à obra! 12

15 2 O QUE É AVALIADO NO SPAECE? Para que qualquer processo avaliativo alcance seu objetivo fornecer dados fidedignos sobre o desempenho dos alunos, é necessário, antes de tudo, definir o que será avaliado.

16 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico MATRIZ DE REFERÊNCIA O Tema agrupa um conjunto de habilidades, indicadas pelos descritores, que possuem afinidade entre si. O QUE É UMA MATRIZ DE REFERÊNCIA? As Matrizes de Referência registram os conteúdos que se pretende avaliar nos testes do SPAECE. É sempre importante lembrar que as Matrizes de Referência consistem em recortes do Currículo, ou da Matriz Curricular: uma avaliação em larga escala não verifica o desempenho dos alunos em todos os conteúdos abarcados pelo Currículo, mas, sim, naquelas habilidades consideradas mínimas e essenciais para que os discentes avancem em sua trajetória educacional. Como o próprio nome diz, as Matrizes de Referência apresentam os conhecimentos e as habilidades para cada etapa de escolaridade avaliada. Ou seja, elas especificam o que será avaliado, tendo em vista as operações mentais desenvolvidas pelos alunos em relação aos conteúdos escolares, passíveis de serem aferidos pelos testes de proficiência. No âmbito do SPAECE, o que se pretende avaliar está descrito nas Matrizes de Referência desse programa. Os Descritores descrevem as habilidades que serão avaliadas por meio dos itens que compõem os testes de uma avaliação em larga escala. 14

17 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 Confira a Matriz de Referência de Matemática do 9º ano do Ensino Fundamental e da Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º Segmento: MATRIZ DE REFERÊNCIA DE MATEMÁTICA SPAECE 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL E EJA 2º SEGMENTO I. INTERAGINDO COM NÚMEROS E FUNÇÕES D07 D08 D10 D11 D12 D13 D15 D17 D18 D19 D21 D24 D25 D26 D27 Resolver situação problema utilizando mínimo múltiplo comum ou máximo divisor comum com números naturais. Ordenar ou identificar a localização de números inteiros na reta numérica. Resolver problema com números inteiros envolvendo suas operações. Ordenar ou identificar a localização de números racionais na reta numérica. Resolver problema com números racionais envolvendo suas operações. Reconhecer diferentes representações de um mesmo número racional, em situação-problema. Resolver problema utilizando a adição ou subtração com números racionais representados na forma fracionária (mesmo denominador ou denominadores diferentes) ou na forma decimal. Resolver situação problema utilizando porcentagem. Resolver situação problema envolvendo a variação proporcional entre grandezas direta ou inversamente proporcionais. Resolver problema envolvendo juros simples. Efetuar cálculos com números irracionais, utilizando suas propriedades. Fatorar e simplificar expressões algébricas. Resolver situação problema que envolva equações de 1º grau. Resolver situação problema envolvendo equação do 2º grau. Resolver situação problema envolvendo sistema de equações do 1º grau. II. CONVIVENDO COM A GEOMETRIA D48 D49 D50 D51 D52 Identificar e classificar figuras planas: quadrado, retângulo, triângulo e círculo, destacando algumas de suas características (número de lados e tipo de ângulos). Resolver problema envolvendo semelhança de figuras planas. Resolver situação problema aplicando o Teorema de Pitágoras ou as demais relações métricas no triângulo retângulo. Resolver problema usando as propriedades dos polígonos (soma dos ângulos internos, número de diagonais e cálculo do ângulo interno de polígonos regulares). Identificar planificações de alguns poliedros e/ ou corpos redondos. III. VIVENCIANDO AS MEDIDAS D65 D67 D69 Calcular o perímetro de figuras planas, numa situação problema. Resolver problema envolvendo o cálculo de área de figuras planas. Resolver problema envolvendo noções de volume. IV. TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO D75 D77 Resolver problema envolvendo informações apresentadas em tabelas ou gráficos. Resolver problema usando a média aritmética. 15

18 3 COMO É A AVALIAÇÃO NO SPAECE? Estabelecidas as habilidades a serem avaliadas, por meio das Matrizes de Referência, passamos a definir como são elaborados os testes do SPAECE.

19 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 ITEM O primeiro passo é elaborar os itens que comporão os testes. O que é um item? ENUNCIADO SUPORTE COMANDO Leia o texto abaixo Curaçao, um simpático e colorido paraíso Há uma lenda que explica a razão de Curaçao ser uma ilha tão colorida. Consta que um governador, há muitos anos, sentia dores de cabeça terríveis por todas as construções serem pintadas de branco e refletirem muito a luz do sol. Ele teria então sugerido algo a seus conterrâneos: colocar outras cores nas fachadas de suas residências e comércios; ele mesmo passaria a usar o amarelo em todas as construções que tivessem a ver com o governo. E assim nasceu o colorido dessa simpática e pequena ilha do Caribe. E quem se importa se a história é mesmo real? Todo o colorido de Punda e Otrobanda combina perfeitamente com os muitos tons de azul que você vai aprender a reconhecer no mar que banha Curaçao, nos de branco, presentes na areia de cada uma das praias de cartão-postal, ou nos verdes do corpo das iguanas, o animal símbolo da ilha. Acostume-se, aliás, a encontrar bichinhos pela ilha. Sejam grandes como os golfinhos e focas do Seaquarium, os lagartos que vivem livres perto das cavernas Hato, ou os muitos peixes que vão cercar você assim que entrar nas águas da lindíssima praia de Porto Mari. Tudo em Curaçao parece querer dar um oi para o visitante assim que o avista. A ilha, porém, tem mais do que belezas naturais. Descoberta apenas um ano antes do Brasil, Curaçao também teve um histórico [...] que rendeu ao destino uma série de atrações [...], como o museu Kura Hulanda, ou as Cavernas Hato. [...] Disponível em: < Acesso em: 11 out Fragmento. (P070104F5_SUP) (P070105F5) De acordo com esse texto, qual é o animal símbolo da ilha? A) A foca. B) A iguana. C) O golfinho. D) O lagarto. GABARITO O item é uma questão utilizada nos testes das avaliações em larga escala. Como é elaborado um item? O item se caracteriza por avaliar uma única habilidade, indicada por um descritor da Matriz de Referência do teste. O item, portanto, é unidimensional. ALTERNATIVAS DE RESPOSTA 1. Enunciado estímulo para que o aluno mobilize recursos cognitivos, visando solucionar o problema apresentado. 2. Suporte texto, imagem e/ou outros recursos que servem de base para a resolução do item. Os itens de Matemática e de Alfabetização podem não apresentar suporte. 4. Distratores alternativas incorretas, mas plausíveis os distratores devem referir-se a raciocínios possíveis. 5. Gabarito alternativa correta. Após a elaboração dos itens, passamos à organização dos cadernos de teste. 3. Comando texto necessariamente relacionado à habilidade que se deseja avaliar, delimitando com clareza a tarefa a ser realizada. 17

20 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico CADERNO DE TESTE Como é organizado um caderno de teste? CADERNO DE TESTE A definição sobre o número de itens é crucial para a composição dos cadernos de teste. Por um lado, o teste deve conter muitos itens, pois um dos objetivos da avaliação em larga escala é medir de forma abrangente as habilidades essenciais à etapa de escolaridade que será avaliada, de forma a garantir a cobertura de toda a Matriz de Referência adotada. Por outro lado, o teste não pode ser longo, pois isso inviabiliza sua resolução pelo aluno. Para solucionar essa dificuldade, é utilizado um tipo de planejamento de testes denominado Blocos Incompletos Balanceados BIB. O que é um BIB Bloco Incompleto Balanceado? No BIB, os itens são organizados em blocos. Alguns desses blocos formam um caderno de teste. Com o uso do BIB, é possível elaborar muitos cadernos de teste diferentes para serem aplicados a alunos de uma mesma série. Podemos destacar duas vantagens na utilização desse modelo de montagem de teste: a disponibilização de um maior número de itens em circulação no teste, avaliando, assim, uma maior variedade de habilidades; e o equilíbrio em relação à dificuldade dos cadernos de teste, uma vez que os blocos são inseridos em diferentes posições nos cadernos, evitando, dessa forma, que um caderno seja mais difícil que outro. Itens São organizados em blocos Que são distribuídos em cadernos CADERNO DE TESTE 18

21 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 Verifique a composição dos cadernos de teste do 9º ano do Ensino Fundamental e da Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º Segmento: Língua Portuguesa Matemática 91x 91x 91 itens divididos em: 7 blocos de Língua Portuguesa com 13 itens cada 91 itens divididos em: 7 blocos de Matemática com 13 itens cada 7x 7x 2 blocos (26 itens) de Língua Portuguesa 2 blocos (26 itens) de Matemática formam um caderno com 4 blocos (52 itens) CADERNO DE TESTE 21x Ao todo, são 21 modelos diferentes de cadernos. 19

22 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico TEORIA DE RESPOSTA AO ITEM (TRI) E TEORIA CLÁSSICA DOS TESTES (TCT) Existem, principalmente, duas formas de produzir a medida de desempenho dos alunos submetidos a uma avaliação externa em larga escala: (a) a Teoria Clássica dos Testes (TCT) e (b) a Teoria de Resposta ao Item (TRI). Os resultados analisados a partir da Teoria Clássica dos Testes (TCT) são calculados de uma forma muito próxima às avaliações realizadas pelo professor em sala de aula. Consistem, basicamente, no percentual de acertos em relação ao total de itens do teste, apresentando, também, o percentual de acerto para cada descritor avaliado. Ao desempenho do aluno nos testes padronizados é atribuída uma proficiência, não uma nota. Teoria de Resposta ao Item (TRI) A Teoria de Resposta ao Item (TRI), por sua vez, permite a produção de uma medida mais robusta do desempenho dos alunos, porque leva em consideração um conjunto de modelos estatísticos capazes de determinar um valor/peso diferenciado para cada item que o aluno respondeu no teste de proficiência e, com isso, estimar o que o aluno é capaz de fazer, tendo em vista os itens respondidos corretamente. Não podemos medir diretamente o conhecimento ou a aptidão de um aluno. Os modelos matemáticos usados pela TRI permitem estimar esses traços não observáveis. A TRI NOS PERMITE: Comparar resultados de diferentes avaliações, como o Saeb. Avaliar com alto grau de precisão a proficiência de alunos em amplas áreas de conhecimento sem submetê-los a longos testes. Comparar os resultados entre diferentes séries, como o início e fim do Ensino Médio. 20

23 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 A proficiência relaciona o conhecimento do aluno com a probabilidade de acerto nos itens dos testes. Cada item possui um grau de dificuldade próprio e parâmetros diferenciados, atribuídos através do processo de calibração dos itens. A proficiência é estimada considerando o padrão de respostas dos alunos, de acordo com o grau de dificuldade e com os demais parâmetros dos itens. Que parâmetros são esses? Parâmetro A Discriminação Capacidade de um item de discriminar os alunos que desenvolveram as habilidades avaliadas e aqueles que não as desenvolveram. Parâmetro B Dificuldade Mensura o grau de dificuldade dos itens: fáceis, médios ou difíceis. Os itens são distribuídos de forma equânime entre os diferentes cadernos de testes, o que possibilita a criação de diversos cadernos com o mesmo grau de dificuldade. Parâmetro C Acerto ao acaso Análise das respostas do aluno para verificar o acerto ao acaso nas respostas. Ex.: O aluno errou muitos itens de baixo grau de dificuldade e acertou outros de grau elevado (situação estatisticamente improvável). O modelo deduz que ele respondeu aleatoriamente às questões e reestima a proficiência para um nível mais baixo. 21

24 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico ESCALA DE PROFICIÊNCIA - MATEMÁTICA O que é uma Escala de Proficiência? A Escala de Proficiência tem o objetivo de traduzir medidas de proficiência em diagnósticos qualitativos do desempenho escolar. Ela orienta, por exemplo, o trabalho do professor com relação às competências que seus alunos desenvolveram, apresentando os resultados em uma espécie de régua, graduada de 25 em 25 pontos, em que os valores de proficiência obtidos são ordenados e categorizados em intervalos, que indicam o grau de desenvolvimento das habilidades para os alunos que alcançaram determinado Nível de Desempenho. DOMÍNIOS COMPETÊNCIAS DESCRITORES Localizar objetos em representações do espaço. * ESPAÇO E FORMA Identificar figuras geométricas e suas propriedades. D48 e D52 Reconhecer transformações no plano. * Aplicar relações e propriedades. D49, D50 e D51 Utilizar sistemas de medidas. * GRANDEZAS E MEDIDAS Medir grandezas. D65, D67 e D69 Estimar e comparar grandezas. * Conhecer e utilizar números. D08, D11 e D13 NÚMEROS E OPERAÇÕES/ ÁLGEBRA E FUNÇÕES Realizar e aplicar operações. Utilizar procedimentos algébricos. D07, D10, D12, D15, D17, D21 e D77 D18, D19, D24, D25, D26 e D27 TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO Ler, utilizar e interpretar informações apresentadas em tabelas e gráficos. Utilizar procedimentos de combinatória e probabilidade. * D75 PADRÕES DE DESEMPENHO - 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL E EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS (EJA) 2º SEGMENTO *As habilidades envolvidas nessas competências não são avaliadas nesta etapa de escolaridade. 22

25 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 Os resultados dos alunos nas avaliações em larga escala da Educação Básica realizadas no Brasil usualmente são inseridos em uma mesma Escala de Proficiência, estabelecida pelo Sistema Nacional de Avaliação da Educação Básica (Saeb). Como permitem ordenar os resultados de desempenho, as Escalas são ferramentas muito importantes para a interpretação desses resultados. Os professores e toda a equipe pedagógica da escola podem verificar as habilidades já desenvolvidas pelos alunos, bem como aquelas que ainda precisam ser trabalhadas, em cada etapa de escolaridade avaliada, por meio da interpretação dos intervalos da Escala. Desse modo, os educadores podem focalizar as dificuldades dos alunos, planejando e executando novas estratégias para aprimorar o processo de ensino e aprendizagem. A gradação das cores indica a complexidade da tarefa. Muito Crítico Crítico Intermediário Adequado

26 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico Como é a Estrutura da Escala de Proficiência? Na primeira coluna da Escala, são apresentados os grandes Domínios do conhecimento em Matemática, para toda a Educação Básica. Esses Domínios são agrupamentos de competências que, por sua vez, agregam as habilidades presentes na Matriz de Referência. Nas colunas seguintes são apresentadas, respectivamente, as competências presentes na Escala de Proficiência e os descritores da Matriz de Referência a elas relacionados. As competências estão dispostas nas várias linhas da Escala. Para cada competência, há diferentes graus de complexidade, representados por uma gradação de cores, que vai do amarelo-claro ao vermelho. Assim, a cor mais clara indica o primeiro nível de complexidade da competência, passando pelas cores/níveis intermediários e chegando ao nível mais complexo, representado pela cor mais escura. DOMÍNIOS COMPETÊNCIAS DESCRITORES Localizar objetos em representações do espaço. * ESPAÇO E FORMA Identificar figuras geométricas e suas propriedades. Reconhecer transformações no plano. * D48 e D52 Aplicar relações e propriedades. D49, D50 e D51 PADRÕES DE DESEMPENHO - 9º ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL E EDUCAÇÃO DE JOVENS E ADULTOS (EJA) 2º SEGMENTO As informações presentes na Escala de Proficiência podem ser interpretadas de três formas: Primeira Perceber, a partir de um determinado Tema, o grau de complexidade das competências a ele associadas, através da gradação de cores ao longo da Escala. Desse modo, é possível analisar como os alunos desenvolvem as habilidades relacionadas a cada competência e realizar uma interpretação que oriente o planejamento do professor, bem como as práticas pedagógicas em sala de aula. 24

27 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 Na primeira linha da Escala de Proficiência, podem ser observados, numa escala numérica de 0 a 500, intervalos divididos em faixas de 25 pontos. Cada intervalo corresponde a um nível, e, por sua vez, um conjunto de níveis forma um Padrão de Desempenho. Esses padrões são definidos pela Secretaria da Educação (SEDUC) e representados em cores diversas. Eles trazem, de forma sucinta, um quadro geral das tarefas que os alunos são capazes de fazer, a partir do conjunto de habilidades que desenvolveram Segunda Terceira Ler a Escala por meio dos Padrões e Níveis de Desempenho, que apresentam um panorama do desenvolvimento dos alunos em determinados intervalos. Assim, é possível relacionar as habilidades desenvolvidas com o percentual de alunos situado em cada padrão. Interpretar a Escala de Proficiência a partir do desempenho de cada instância avaliada: estado, Coordenadoria Regional de Desenvolvimento da Educação (CREDE) e escola. Desse modo, é possível relacionar o intervalo em que a escola se encontra ao das demais instâncias. 25

28 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico PADRÕES DE DESEMPENHO ESTUDANTIL O que são Padrões de Desempenho? Os Padrões de Desempenho constituem uma caracterização das competências e habilidades desenvolvidas pelos alunos de determinada etapa de escolaridade, em uma disciplina / área de conhecimento específica. Essa caracterização corresponde a intervalos numéricos estabelecidos na Escala de Proficiência (vide p. 22). Esses intervalos são denominados Níveis de Desempenho, e um agrupamento de níveis consiste em um Padrão de Desempenho. Quais são os Padrões de Desempenho definidos para o 9º ano do Ensino Fundamental e a EJA 2º Segmento, em Matemática, no SPAECE 2015 e quais suas características gerais? MUITO CRÍTICO Até 225 pontos Os alunos que se encontram neste Padrão de Desempenho demonstram um desenvolvimento ainda incipiente das principais habilidades associadas à sua etapa de escolaridade, de acordo com a Matriz de Referência. Nos testes de proficiência, tendem a acertar apenas aqueles itens que avaliam as habilidades consideradas mínimas, respondidos corretamente pela maior parte dos alunos e, portanto, com maior percentual de acertos. A localização neste padrão indica carência de aprendizagem em relação ao que é previsto pela Matriz de Referência e aponta, à equipe pedagógica, para a necessidade de planejar um processo de recuperação com esses alunos, a fim de que se desenvolvam em condições de avançar aos padrões seguintes. CRÍTICO De 225 até 275 pontos Neste Padrão de Desempenho, os alunos ainda não demonstram o desenvolvimento considerado apropriado das habilidades básicas avaliadas pela Matriz de Referência, para a etapa de escolaridade em que se encontram. Contudo, respondem itens com menor percentual de acerto e que avaliam habilidades mais complexas, quando comparados com o verificado no padrão anterior. A equipe pedagógica deve elaborar um planejamento em caráter de reforço para os alunos que se encontram neste padrão, de modo a consolidar aquilo que eles já aprenderam, sistematizando esse conhecimento e dando suporte para uma aprendizagem mais ampla e densa. 26

29 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 INTERMEDIÁRIO De 275 até 325 pontos As habilidades básicas e essenciais para a etapa de escolaridade avaliada, baseadas na Matriz de Referência, são demonstradas pelos alunos que se encontram neste Padrão de Desempenho. Esses alunos demonstram atender às condições mínimas para avançarem em seu processo de escolarização, ao responderem aos itens que exigem maior domínio quantitativo e qualitativo de competências, em consonância com o seu período escolar. É preciso estimular atividades de aprofundamento com esses alunos, para que possam avançar ainda mais em seus conhecimentos. ADEQUADO Acima de 325 pontos Quando o aluno demonstra, nos testes de proficiência, ir além do que é considerado mínimo para a sua etapa escolar, como ocorre com os alunos que se encontram neste Padrão de Desempenho, é necessário proporcionar desafios a esse público, para manter seu interesse pela escola e auxiliá-lo a aprimorar cada vez mais seus conhecimentos. Esses alunos costumam responder corretamente, com base na Matriz de Referência, a um maior quantitativo de itens, englobando aqueles que avaliam as habilidades consideradas mais complexas e, portanto, com menor percentual de acertos, o que sugere a sistematização do processo de aprendizagem de forma consolidada para aquela etapa de escolaridade. Entretanto, há que se considerar que o desenvolvimento cognitivo é contínuo, permitindo aprendizagens constantes, conforme os estímulos recebidos. Apresentaremos, nas páginas seguintes, as descrições das habilidades relativas aos Níveis de Desempenho do 9º ano do Ensino Fundamental e da Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º Segmento, em Matemática, de acordo com a descrição pedagógica apresentada pelo Instituto Nacional de Pesquisa e Estudos Educacionais Anísio Teixeira (Inep), nas Devolutivas Pedagógicas da Prova Brasil, e pelo CAEd, na análise dos resultados do SPAECE Esses níveis estão agrupados por Padrão de Desempenho e vêm acompanhados por exemplos de itens. Assim, é possível observar em que padrão a escola, a turma e o aluno estão situados e, de posse dessa informação, verificar quais são as habilidades já desenvolvidas e as que ainda precisam de atenção. 27

30 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico MUITO CRÍTICO DOMÍNIOS COMPETÊNCIAS ESPAÇO E FORMA GRANDEZAS E MEDIDAS NÚMEROS E OPERAÇÕES/ ÁLGEBRA E FUNÇÕES TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO Localizar objetos em representações do espaço. Identificar figuras geométricas e suas propriedades. Reconhecer transformações no plano. Aplicar relações e propriedades. Utilizar sistemas de medidas. Medir grandezas. Estimar e comparar grandezas. Conhecer e utilizar números. Realizar e aplicar operações. Utilizar procedimentos algébricos. Ler, utilizar e interpretar informações apresentadas em tabelas e gráficos. Utilizar procedimentos de combinatória e probabilidade. Até 225 pontos 28

31 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 Níveis de Desempenho Nível 1 - Até 225 pontos Determinar a área de figuras desenhadas em malhas quadriculadas por meio de contagem. Localizar um ponto ou objeto em uma malha quadriculada ou croqui, a partir de duas coordenadas ou referências, ou vice-versa. Associar figuras geométricas elementares (quadrado, triângulo e círculo) a seus respectivos nomes. Reconhecer retângulos em meio a outros quadriláteros. Reconhecer a planificação de uma pirâmide entre um conjunto de planificações. Reconhecer, entre um conjunto de polígonos, aquele que possui o maior número de ângulos. Converter uma quantia, dada na ordem das unidades de real, em seu equivalente em moedas. Determinar o total de uma quantia a partir da quantidade de moedas de 25 e/ou 50 centavos que a compõe, ou vice-versa. Determinar o horário final de um evento, a partir de seu horário de início, e de um intervalo de tempo dado, todos no formato de horas inteiras. Determinar a duração de um evento cujos horários inicial e final acontecem em minutos diferentes de uma mesma hora dada. Converter uma hora em minutos. Converter mais de uma semana inteira em dias. Interpretar horas em relógios de ponteiros. Corresponder pontos dados em uma reta numérica, graduada de 5 em 5 unidades, ao número natural composto por até 3 algarismos que ele representa. Localizar um número em uma reta numérica graduada onde estão expressos números naturais consecutivos e uma subdivisão equivalente à metade do intervalo entre eles. Determinar os termos desconhecidos em uma sequência numérica de múltiplos de cinco. Resolver problemas do cotidiano envolvendo adição de pequenas quantias de dinheiro. Reconhecer o princípio do valor posicional do Sistema de Numeração Decimal. Reconhecer uma fração como representação da relação parte-todo, com o apoio de um conjunto de até cinco figuras. Associar um número natural à sua decomposição expressa por extenso. Associar a fração ¼ a uma de suas representações gráficas. Reconhecer o maior ou o menor número em uma coleção de números racionais, representados na forma decimal. Determinar o resultado da subtração de números racionais representados na forma decimal, tendo como contexto o Sistema Monetário Brasileiro. Determinar a adição, com reserva, de até três números naturais com até quatro ordens. Resolver problemas simples utilizando a soma de dois números racionais em sua representação decimal, formados por 1 algarismo na parte inteira e 1 algarismo na parte decimal. Determinar a subtração de números naturais usando a noção de completar. Utilizar a multiplicação de 2 números naturais, com multiplicador formado por 1 algarismo e multiplicando formado por até 3 algarismos, com até 2 reagrupamentos, na resolução de problemas do campo multiplicativo envolvendo a ideia de soma de parcelas iguais. Determinar o resultado da multiplicação de números naturais por valores do sistema monetário nacional, expressos em números de até duas ordens, e posterior adição. Determinar a divisão exata de número formados por 2 algarismos por números de um algarismo. Associar a metade de um total ao seu equivalente em porcentagem. Interpretar dados apresentados em tabela e gráfico de colunas. Localizar dados em tabelas de múltiplas entradas. Reconhecer informações em um gráfico de colunas duplas. 29

32 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico (M07D07I01CJ) Patrício ganhou de seu pai R$ 25,50 para comprar um tênis, porém acabou comprando um que custava R$ 39,95. Quanto Patrício teve que completar de seu próprio dinheiro para comprar esse tênis? A) R$ 14,45 B) R$ 14,50 C) R$ 15,00 D) R$ 15,50 Esse item avalia a habilidade de os alunos resolverem problemas com números racionais expressos na forma decimal, envolvendo subtração com significado de completar. Para acertá-lo, os alunos devem subtrair R$ 25,50 de R$ 39,95, utilizando o algoritmo da subtração ou valendo-se de estratégias relativas ao cálculo mental. Os alunos que marcaram a alternativa A, possivelmente, desenvolveram a habilidade avaliada pelo item. 30

33 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 CRÍTICO DOMÍNIOS COMPETÊNCIAS ESPAÇO E FORMA GRANDEZAS E MEDIDAS NÚMEROS E OPERAÇÕES/ ÁLGEBRA E FUNÇÕES TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO Localizar objetos em representações do espaço. Identificar figuras geométricas e suas propriedades. Reconhecer transformações no plano. Aplicar relações e propriedades. Utilizar sistemas de medidas. Medir grandezas. Estimar e comparar grandezas. Conhecer e utilizar números. Realizar e aplicar operações. Utilizar procedimentos algébricos. Ler, utilizar e interpretar informações apresentadas em tabelas e gráficos. Utilizar procedimentos de combinatória e probabilidade. De 225 a 275 pontos 31

34 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico Nível 2 - De 225 a 250 pontos Localizar um ponto entre outros dois fixados, apresentados em uma figura composta por vários outros pontos. Reconhecer a planificação de um cubo entre um conjunto de planificações apresentadas. Determinar a área de um terreno retangular representado em uma malha quadriculada. Determinar o horário final de um evento, a partir do horário de início, dado em horas e minutos, e de um intervalo dado em quantidade de minutos superior a uma hora. Resolver problemas envolvendo conversão de litro para mililitro. Converter mais de uma hora inteira em minutos. Converter uma quantia dada em moedas de 5, 25 e 50 centavos e 1 real em cédulas de real. Estimar a altura de um determinado objeto com referência aos dados fornecidos por uma régua graduada em centímetros. Localizar um número em uma reta numérica graduada onde estão expressos o primeiro e o último número representando um intervalo de tempo de dez anos, com dez subdivisões entre eles. Localizar um número racional dado em sua forma decimal em uma reta numérica graduada onde estão expressos diversos números naturais consecutivos, com dez subdivisões entre eles. Reconhecer o valor posicional do algarismo localizado na 4ª ordem de um número natural. Reconhecer uma fração como representação da relação parte-todo, com apoio de um polígono dividido em oito partes ou mais. Associar um número natural às suas ordens, ou vice-versa. Determinar uma fração irredutível, equivalente a uma fração dada, a partir da simplificação por três. Reconhecer a fração que corresponde à relação parte-todo entre uma figura e suas partes hachuradas. Associar um número racional que representa uma quantia monetária, escrito por extenso, à sua representação decimal. Resolver problemas envolvendo a análise do algoritmo da adição de dois números naturais. Determinar o resultado da subtração, com recursos à ordem superior, entre números naturais de até cinco ordens, utilizando as ideias de retirar e comparar. Determinar o resultado da multiplicação de um número inteiro por um número representado na forma decimal, em contexto envolvendo o sistema monetário. Resolver problemas que envolvam a metade e o triplo de números naturais. Determinar o resultado da multiplicação de um número natural de um algarismo por outro de dois algarismos, em contexto de soma de parcelas iguais. Determinar o resultado da divisão de números naturais formados por 3 algarismos, por um número de uma ordem, usando noção de agrupamento. Resolver problemas, no Sistema Monetário Nacional, envolvendo adição e subtração de cédulas e moedas. Determinar a divisão exata de uma quantia monetária formada por 3 algarismos na parte inteira e 2 algarismos na parte decimal, por um número natural formado por 1 algarismo, com 2 divisões parciais não exatas, na resolução de problemas com a ideia de partilha. Interpretar dados apresentados em um gráfico de linha simples. Associar dados apresentados em gráfico de colunas a uma tabela. 32

35 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 (M050144A9) Joana comprou uma televisão por R$ 921,90 e pagou em 3 prestações iguais. Qual é o valor de cada prestação que Joana pagou? A) R$ 37,00 B) R$ 37,30 C) R$ 307,00 D) R$ 307,30 Esse item avalia a habilidade de os alunos resolverem problemas com números racionais representados na forma decimal, envolvendo a operação de divisão. Para resolvê-lo, os alunos precisam realizar a divisão entre o valor da televisão (R$ 921,90) e a quantidade de prestações (3), encontrando R$ 307,30 como resposta. Os alunos que assinalaram a alternativa D, possivelmente, desenvolveram a habilidade avaliada pelo item. 33

36 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico Nível 3 - De 250 a 275 pontos Reconhecer polígonos presentes em um mosaico composto por diversas formas geométricas. Reconhecer o ângulo de giro que representa a mudança de direção na movimentação de pessoas/ objetos. Reconhecer a planificação de um sólido simples, dado através de um desenho em perspectiva. Localizar um objeto em representação gráfica do tipo planta baixa, utilizando dois critérios: estar mais longe de um referencial e mais perto de outro. Determinar a duração de um evento a partir dos horários de início, informado em horas e minutos, e de término, também informado em horas e minutos, sem coincidência nas horas ou nos minutos dos dois horários informados. Converter a duração de um intervalo de tempo, dado em horas e minutos, para minutos e dado em anos e meses para meses. Resolver problemas envolvendo intervalos de tempo em meses, inclusive passando pelo fim do ano (outubro a janeiro). Reconhecer que, entre quatro ladrilhos apresentados, quanto maior o ladrilho, menor a quantidade necessária para cobrir uma dada região. Reconhecer o m² como unidade de medida de área. Determinar porcentagens simples (25%, 50%). Resolver problemas que envolvam a composição e a decomposição polinomial de números naturais de até cinco ordens. Associar números naturais à quantidade de agrupamentos de Associar a metade de um total a algum equivalente, apresentado como fração ou porcentagem. Reconhecer uma fração como representação da relação parte-todo, sem apoio de figuras. Determinar uma fração irredutível, equivalente a uma fração dada, a partir da simplificação por sete. Localizar números em uma reta numérica graduada onde estão expressos diversos números naturais não consecutivos e crescentes, com uma subdivisão entre eles. Identificar, em uma coleção de pontos de uma reta numérica, os números inteiros positivos ou negativos, que correspondem a pontos destacados na reta. Determinar o resultado da soma ou da diferença entre dois números racionais representados na forma decimal. Determinar a soma, a diferença, o produto ou o quociente de números inteiros em situações-problema. Resolver problemas que envolvam soma e subtração de valores monetários. Resolver problemas por meio da realização de subtrações e divisões, para determinar o valor das prestações de uma compra a prazo (sem incidência de juros). Resolver problemas que utilizam a multiplicação envolvendo a noção de proporcionalidade. Resolver problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais, representadas por números inteiros. Determinar o resultado da divisão exata entre dois números naturais, com divisor até quatro e dividendo com até quatro ordens. Reconhecer a modificação sofrida no valor de um número quando um algarismo é alterado. Reconhecer que um número não se altera ao multiplicá-lo por 1. Analisar e interpretar dados dispostos em uma tabela simples. Associar dados apresentados em tabela a gráfico de setores. Comparar dados representados pelas alturas de colunas presentes em um gráfico. Analisar dados apresentados em um gráfico de linha com mais de uma grandeza representada. 34

37 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 (M090361A9) Observe a reta numérica abaixo. Ela está dividida em segmentos de mesma medida. Os números representados pelos pontos P, Q e S são, respectivamente, A) 11, 3 e 6. B) 11, 5 e 6. C) 10, 3 e 5. D) 10, 8 e 5. Esse item avalia a habilidade de os alunos identificarem a localização de números inteiros na reta numérica. Para resolvê-lo, eles devem compreender que existe uma correspondência biunívoca entre os números reais e os pontos da reta numérica. Eles também devem reconhecer o sentido (positivo e negativo) da reta numérica em relação à sua origem. Assim, como a reta está dividida em intervalos unitários, conclui-se que os pontos P, Q e S correspondem, nessa ordem, aos números inteiros 10, 8 e 5. A escolha da alternativa D indica que esses alunos desenvolveram a habilidade avaliada pelo item. 35

38 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico INTERMEDIÁRIO DOMÍNIOS COMPETÊNCIAS ESPAÇO E FORMA GRANDEZAS E MEDIDAS NÚMEROS E OPERAÇÕES/ ÁLGEBRA E FUNÇÕES TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO Localizar objetos em representações do espaço. Identificar figuras geométricas e suas propriedades. Reconhecer transformações no plano. Aplicar relações e propriedades. Utilizar sistemas de medidas. Medir grandezas. Estimar e comparar grandezas. Conhecer e utilizar números. Realizar e aplicar operações. Utilizar procedimentos algébricos. Ler, utilizar e interpretar informações apresentadas em tabelas e gráficos. Utilizar procedimentos de combinatória e probabilidade. De 275 a 325 pontos 36

39 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 Nível 4 - De 275 a 300 pontos Interpretar a movimentação de um objeto utilizando referencial diferente do seu. Localizar um ponto em um plano cartesiano com o apoio de malha quadriculada, a partir de suas coordenadas ou vice-versa. Interpretar a movimentação de um objeto utilizando referencial diferente do seu. Reconhecer um cubo a partir de uma de suas planificações desenhadas em uma malha quadriculada. Converter medidas dadas em toneladas para quilogramas. Converter unidades de medidas de comprimento, de metros para centímetros, na resolução de situação-problema. Determinar o perímetro de um retângulo desenhado em malha quadriculada, com as medidas de comprimento e largura explicitadas. Reconhecer que a medida do perímetro de um retângulo, em uma malha quadriculada, dobra ou se reduz à metade quando os lados dobram ou são reduzidos à metade. Determinar o volume através da contagem de blocos. Resolver problemas envolvendo conversão de quilograma para grama. Converter uma quantia, dada na ordem das dezenas de real, em moedas de 50 centavos. Estimar o comprimento de um objeto a partir de outro, dado como unidade padrão de medida. Resolver problemas sobre intervalos de tempo envolvendo adição e subtração e com intervalo de tempo passando pela meia-noite. Associar números naturais à quantidade de agrupamentos menos usuais, como 300 dezenas. Determinar a quantidade de dezenas presentes em um número de quatro ordens. Localizar números racionais em sua representação decimal na reta numérica. Determinar 25% de um número múltiplo de quatro inclusive em situação-problema. Determinar a soma de números racionais em contextos de sistema monetário. Resolver problemas que envolvem a divisão exata ou a multiplicação de números naturais. Determinar o valor numérico de uma expressão algébrica de 1º grau, envolvendo números naturais, em situação-problema. Interpretar dados em gráficos de setores. Analisar dados dispostos em uma tabela de dupla entrada. 37

40 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico (M080010E4) O sólido representado no desenho abaixo é formado por cubos iguais. Cada cubo que compõe esse sólido possui medida do volume igual a 1 cm 3. Qual é a medida do volume desse sólido? A) 7 cm 3 B) 9 cm 3 C) 17 cm 3 D) 23 cm 3 Esse item avalia a habilidade de os alunos resolverem um problema envolvendo a noção de volume. Para resolvê-lo, eles devem calcular o volume por meio da contagem dos cubinhos que compõem o sólido. Para tal, devem se apropriar da informação dada no enunciado de que cada cubo possui 1cm³ de volume, dessa forma, 17 cubinhos possuem 17 cm³ de volume. Logo, os alunos que optaram pela alternativa C, possivelmente, desenvolveram a habilidade avaliada pelo item. 38

41 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 Nível 5 - De 300 a 325 pontos Reconhecer uma linha paralela a outra dada como referência em um mapa. Reconhecer os lados paralelos de um trapézio expressos em forma de segmentos de retas. Reconhecer objetos com a forma esférica entre uma lista de objetos do cotidiano. Reconhecer que o ângulo não se altera em figuras obtidas por ampliação/ redução. Localizar dois ou mais pontos em um sistema de coordenadas cartesianas. Calcular o perímetro de uma figura poligonal irregular desenhada sobre uma malha quadriculada, na resolução de problemas. Determinar o perímetro de uma região retangular, com o apoio de figura, na resolução de uma situação-problema. Determinar a área de um retângulo desenhado numa malha quadriculada, após a modificação de uma de suas dimensões. Determinar a área de uma figura poligonal não convexa desenhada sobre uma malha quadriculada. Estimar a diferença de altura entre dois objetos, a partir da altura de um deles. Converter medidas lineares de comprimento (m/cm, km/m). Resolver problemas que envolvem a conversão entre diferentes unidades de medida de massa. Associar um número natural de seis ordens à sua forma polinomial. Determinar, em situação-problema, a adição e a subtração entre números racionais, representados na forma decimal, com até 3 algarismos na parte decimal. Resolver problemas que envolvem grandezas diretamente proporcionais requerendo mais de uma operação. Resolver problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais, representadas por números racionais na forma decimal. Resolver problemas envolvendo divisão de números naturais com resto. Associar a fração ½ à sua representação na forma decimal. Associar uma fração com denominador 10 à sua representação decimal. Associar 50% à sua representação na forma de fração. Determinar a porcentagem envolvendo números inteiros em problemas contextualizados ou não. Associar uma situação-problema à sua linguagem algébrica, por meio de equações do 1º grau ou sistemas lineares. Interpretar dados em um gráfico de colunas duplas. 39

42 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico (M090189C2) Em uma semana, um restaurante serviu 123 kg de arroz. Usando uma balança de precisão, registrou-se que, na segunda-feira, foi servido 15,7 kg de arroz; na terça-feira, 18,32 kg; na quarta-feira, 19,35 kg; na quinta-feira, 15,175 kg e, na sexta-feira, 19 kg. Qual foi a quantidade de arroz servida no sábado e no domingo dessa semana nesse restaurante? A) 35,455 kg B) 54,436 kg C) 68,564 kg D) 87,545 kg Esse item avalia a habilidade de os alunos resolverem problemas envolvendo a adição e a subtração de números racionais em sua representação decimal. Para resolvê-lo, os alunos devem compreender que para encontrar a quantidade de quilogramas servidos no sábado e no domingo, basta realizar a soma dos quilogramas de comida servidos de segunda-feira a sexta-feira (15,7+18,32 +19,35 +15, = 87,545 kg) e subtrair esse resultado da quantidade de quilogramas servidos durante toda a semana (123 87,545 = 35,455 kg). Outra estratégia de cálculo seria os alunos realizarem as subtrações sucessivas das quantidades de arroz servidas ao longo dos dias, do valor total servido durante a semana, encontrando, ao final, a quantidade de arroz servida no sábado e no domingo. A escolha da alternativa A indica que esses alunos, possivelmente, desenvolveram a habilidade avaliada pelo item. 40

43 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 ADEQUADO DOMÍNIOS COMPETÊNCIAS ESPAÇO E FORMA GRANDEZAS E MEDIDAS NÚMEROS E OPERAÇÕES/ ÁLGEBRA E FUNÇÕES TRATAMENTO DA INFORMAÇÃO Localizar objetos em representações do espaço. Identificar figuras geométricas e suas propriedades. Reconhecer transformações no plano. Aplicar relações e propriedades. Utilizar sistemas de medidas. Medir grandezas. Estimar e comparar grandezas. Conhecer e utilizar números. Realizar e aplicar operações. Utilizar procedimentos algébricos. Ler, utilizar e interpretar informações apresentadas em tabelas e gráficos. Utilizar procedimentos de combinatória e probabilidade. Acima de 325pontos 41

44 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico Nível 6 - De 325 a 350 pontos Reconhecer a planificação de uma caixa cilíndrica. Reconhecer a medida do ângulo determinado entre dois deslocamentos, descritos por meio de orientações dadas por pontos cardeais. Reconhecer as coordenadas de pontos representados no primeiro quadrante de um plano cartesiano. Reconhecer a relação entre as medidas de raio e diâmetro de uma circunferência com o apoio de figura. Reconhecer a corda de uma circunferência, as faces opostas de um cubo, a partir de uma de suas planificações. Comparar as medidas dos lados de um triângulo a partir das medidas de seus respectivos ângulos opostos. Resolver problemas utilizando o Teorema de Pitágoras no cálculo da medida da hipotenusa, dadas as medidas dos catetos. Resolver problemas fazendo uso de semelhança de triângulos. Resolver problemas que envolvam a conversão entre unidades de medida de tempo (minutos em horas, meses em anos). Resolver problemas que envolvam a conversão entre unidades de medida de comprimento (metros em centímetros). Converter unidades de medida de massa, de quilograma para grama, na resolução de situação-problema. Determinar o perímetro de um polígono não convexo desenhado sobre as linhas de uma malha quadriculada. Estimar o valor da raiz quadrada de um número inteiro aproximando-o de um número racional em sua representação decimal. Determinar o minuendo de uma subtração entre números naturais, de três ordens, a partir do conhecimento do subtraendo e da diferença. Determinar o resultado da multiplicação entre o número 8 e um número de quatro ordens com reserva. Resolver problemas envolvendo grandezas diretamente proporcionais com constante de proporcionalidade não inteira. Resolver problemas envolvendo multiplicação com significado de combinatória. Associar a fração 1/10 à sua representação percentual. Determinar um valor monetário obtido por meio de um desconto ou um acréscimo percentual. Associar um número racional, escrito por extenso, à sua representação decimal, ou vice-versa. Reconhecer frações equivalentes. Determinar o valor de uma expressão numérica, com números irracionais, fazendo uso de uma aproximação racional fornecida, ou não. Comparar números racionais com quantidades diferentes de casas decimais. Determinar o valor numérico de uma expressão algébrica que contenha parênteses, envolvendo números naturais. Determinar a solução de um sistema de duas equações lineares. Reconhecer o gráfico de linhas correspondente a uma sequência de valores ao longo do tempo (com valores positivos e negativos). Resolver problemas que requeiram a comparação de dois gráficos de colunas. 42

45 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 (M090038BH) Observe a expressão abaixo O valor aproximado dessa expressão é A) 49 B) 24,5 C) 9,9 D) 7 Esse item avalia a habilidade de os alunos efetuarem cálculo com números irracionais por meio da aproximação de radicais. Para resolvê-lo, os alunos devem procurar valores relativos a raízes exatas de forma que façam uma aproximação inferior e superior dos intervalos. No caso desse item, provavelmente, para o primeiro número, eles iniciam com a tomada de valores mais fáceis, como 4 e 5. Fazendo as potências quadradas, obtêm-se 16 e 25. Portanto, percebe-se que o valor de 20 encontra-se nesse intervalo das potências quadradas das aproximações inferior e superior; logo, a está no intervalo de a, ou seja, entre 4 e 5. Repetindo o mesmo processo para o segundo número, iniciam-se a partir da tomada de valores como 5 e 6. Fazendo as potências quadradas, obtêm-se 25 e 36. Portanto, percebe-se que o valor de 29 encontra-se nesse intervalo das potências quadradas das aproximações inferior e superior; logo, a está no intervalo de a, ou seja, entre 5 e 6. Aqueles que optaram pela alternativa C, provavelmente adquiriram a habilidade avaliada pelo item. 43

46 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico Nível 7 - De 350 a 375 pontos Reconhecer ângulos agudos, retos ou obtusos de acordo com sua medida em graus. Reconhecer, entre um conjunto de quadriláteros, aquele que possui lados perpendiculares e com a mesma medida. Reconhecer as coordenadas de pontos representados num plano cartesiano localizados em quadrantes diferentes do primeiro. Determinar a posição final de um objeto, após a realização de rotações em torno de um ponto, de diferentes ângulos, em sentido horário e anti-horário. Resolver problemas envolvendo ângulos, inclusive utilizando a Lei Angular de Tales sobre a soma dos ângulos internos de um triângulo. Resolver problemas envolvendo as propriedades de ângulos internos e externos de triângulos e quadriláteros, com ou sem justaposição ou sobreposição de figuras. Determinar a medida do ângulo interno de um pentágono regular, em uma situação-problema, sem o apoio de imagem. Resolver problemas utilizando o Teorema de Pitágoras no cálculo da medida de um dos catetos, dadas as medidas da hipotenusa e de um de seus catetos. Converter uma medida de comprimento, expressando decímetros e centímetros, para milímetros. Determinar o perímetro de uma região retangular, obtida pela justaposição de dois retângulos, descritos sem o apoio de figuras. Determinar a área de um retângulo em situações- -problema. Determinar a área de regiões poligonais desenhadas em malhas quadriculadas. Determinar a razão entre as áreas de duas figuras desenhadas numa malha quadriculada. Determinar o volume de um cubo ou de um paralelepípedo retângulo sem o apoio de figura. Converter unidades de medida de volume, de m3 para litro, em situações-problema. Reconhecer a relação entre as áreas de figuras semelhantes. Determinar a soma de números racionais dados na forma fracionária e com denominadores diferentes. Determinar o quociente entre números racionais, representados na forma decimal ou fracionária, em situações-problema. Comparar números racionais com diferentes números de casas decimais, usando arredondamento. Determinar o valor numérico de uma expressão algébrica de 2º grau, com coeficientes naturais, envolvendo números inteiros. Determinar o valor de uma expressão numérica com números racionais (inteiros ou não). Localizar na reta numérica um número racional, representado na forma de uma fração imprópria. Associar uma fração à sua representação decimal. Associar uma situação-problema à sua linguagem algébrica, por meio de inequações do 1º grau. Associar a representação gráfica de duas retas no plano cartesiano a um sistema de duas equações lineares, ou vice-versa. Resolver problemas envolvendo equação do 2º grau. Determinar a média aritmética de um conjunto de valores. Estimar quantidades em gráficos de setores. Analisar dados dispostos em uma tabela de três ou mais entradas. Interpretar dados fornecidos em gráficos envolvendo regiões do plano cartesiano. Interpretar gráficos de linhas com duas sequências de valores. 44

47 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 (M090005ES) A grade da porta da casa de Gisele é formada por pentágonos regulares. Quanto mede cada um dos ângulos internos de um desses pentágonos? A) 540 B) 360 C) 180 D) 108 Esse item avalia a habilidade de os alunos identificarem a medida do ângulo interno de um polígono regular. Para resolvê-lo, eles podem decompor um pentágono regular em três triângulos. Em seguida, eles devem valer-se da propriedade de que a soma dos ângulos internos de um triângulo qualquer é 180º para, então, notar que a soma dos ângulos internos do pentágono regular é 3 x 180º = 540º. Dessa forma, como o polígono regular possui todos os ângulos internos congruentes, basta dividir 540 por 5 para encontrar a medida do ângulo interno, que é 108. Outra estratégia é utilizar a fórmula, em que n é o número de lados do polígono. Logo, os alunos que marcaram a alternativa D, provavelmente, consolidaram a habilidade avaliada pelo item. 45

48 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico Nível 8 - Acima de 375 pontos Resolver problemas utilizando as propriedades das cevianas (altura, mediana e bissetriz) de um triângulo isósceles com o apoio de figura. Reconhecer que a área de um retângulo quadruplica quando seus lados dobram. Resolver problemas utilizando a soma das medidas dos ângulos internos de um polígono. Determinar a área de figuras simples (triângulo, paralelogramo, trapézio), inclusive utilizando composição/decomposição. Determinar o valor de uma expressão numérica envolvendo adição, subtração, multiplicação e potenciação entre números racionais representados na forma decimal. Resolver problemas envolvendo grandezas inversamente proporcionais. Determinar o valor numérico de uma expressão algébrica do 1 grau, com coeficientes racionais, representados na forma decimal. Reconhecer a expressão algébrica que expressa uma regularidade existente em uma sequência de números ou de figuras geométricas. Executar a simplificação de uma expressão algébrica, envolvendo a divisão de um polinômio de grau um, por um polinômio de grau dois incompleto. 46

49 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 (M090331E4) Observe a expressão algébrica abaixo. 2x x - 16 Qual é a forma simplificada dessa expressão? A) B) C) D) 10 x x- 8 2 x- 4 2 x+ 4 Esse item avalia a habilidade de os alunos realizarem a fatoração e a simplificação de uma expressão algébrica. Para resolvê-lo, eles podem identificar que o número 2 é fator comum a ambos os termos do polinômio localizado no numerador e fatorá-lo encontrando 2(x + 4). Em seguida, eles devem verificar que o polinômio no denominador é de grau 2 e incompleto, consistindo em uma diferença entre dois quadrados. Para fatorá-lo, o aluno deve aplicar a raiz quadrada entre os elementos, obtendo (x + 4). (x - 4). Após realizarem as fatorações, torna-se evidente o membro comum ao numerador e denominador, podendo realizar a simplificação fazendo:. Logo, os alunos que marcaram a alternativa C, provavelmente, consolidaram a habilidade avaliada pelo item. 47

50 4 COMO SÃO APRESENTADOS OS RESULTADOS DO SPAECE? Após a etapa de processamento dos testes, passamos à divulgação dos resultados obtidos pelos alunos. Os resultados do SPAECE 2015 são divulgados no Portal da Avaliação, Para a apropriação desses resultados, é fundamental o acesso e a leitura dos Boletins e dos Encartes que compõem a coleção.

51 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 O processo de avaliação em larga escala não se encerra quando os resultados chegam à escola. Ao contrário, a partir desse momento, toda a escola deve se debruçar sobre as informações disponibilizadas, a fim de compreender o diagnóstico produzido sobre a aprendizagem dos alunos. Em seguida, é preciso elaborar estratégias que visem à garantia da melhoria da qualidade da educação ofertada pela escola, expressa na aprendizagem de todos os alunos. Para isso, faz-se necessário que todos os membros da comunidade escolar gestores, professores e famílias se apropriem dos resultados produzidos pelas avaliações, incorporando-os às suas reflexões sobre as dinâmicas de funcionamento da escola. Para ajudar nesse processo, apresentamos um roteiro no Encarte que integra a coleção 2015, com orientações para uma leitura efetiva dos resultados produzidos pelas avaliações do SPAECE. Esse roteiro deve ser usado para analisar os resultados divulgados no Portal da Avaliação Essa é uma tarefa a ser realizada, coletivamente, por todos os agentes envolvidos: gestores, professores e equipe pedagógica. A fim de otimizar o que estamos propondo, sugerimos, nesse Encarte, um passo a passo com as diferentes etapas do processo de leitura, interpretação e apropriação dos resultados. 49

52 5 COMO A ESCOLA PODE SE APROPRIAR DOS RESULTADOS DA AVALIAÇÃO? O Estudo de Caso apresentado nesta seção registra situações comuns às escolas, quando da recepção dos resultados das avaliações em larga escala, e os caminhos trilhados pela comunidade escolar para a apropriação desses resultados.

53 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 As discussões propiciadas pela avaliação educacional em larga escala e, mais especificamente, as relacionadas à apropriação dos resultados dos sistemas avaliativos se apresentam, muitas vezes, como desafios para os profissionais envolvidos com a educação e com a escola. Assim, é necessário, sempre, procurar mecanismos para facilitar o entendimento dos atores educacionais em relação às possibilidades de interpretação e uso desses resultados, bem como no que diz respeito aos obstáculos enfrentados ao longo do processo de apropriação das informações produzidas no âmbito dos sistemas de avaliação. Uma maneira de aproximar os resultados das avaliações às atividades cotidianas dos atores educacionais é apresentar experiências que, na prática, lidaram com problemas compartilhados por muitos desses atores. Apesar da diversidade das redes escolares brasileiras, muitos problemas, desafios e sucessos são experimentados de maneira semelhante por contextos educacionais localizados em regiões muito distintas. Para compartilhar experiências e conceder densidade àquilo que se pretende narrar, os estudos de caso têm se apresentado como uma importante ferramenta na seara educacional. Por isso, a presente seção é constituída por um estudo de caso destinado à apresentação de um problema vivido nas redes de ensino do Brasil. Seu objetivo é dialogar, através de um exemplo, com os atores que lidam com as avaliações educacionais em larga escala em seu cotidiano. Esse diálogo é estabelecido através de personagens fictícios, mas que lidaram com problemas reais. Todas as informações relativas à composição do estudo, como a descrição do contexto, o diagnóstico do problema e a maneira como ele foi enfrentado, têm como base pesquisas acadêmicas levadas a cabo por alunos de pós-graduação. O fundamento último desse estudo é propiciar ao leitor um mecanismo de entendimento sobre como lidar com problemas educacionais relacionados à avaliação, a partir da narrativa de histórias que podem servir como exemplo para que novos caminhos sejam abertos em sua prática profissional. 51

54 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico As discussões propiciadas pela avaliação educacional em larga escala e, mais especificamente, as relacionadas à apropriação dos resultados dos sistemas avaliativos se apresentam, muitas vezes, como desafios para os profissionais envolvidos com a educação e com a escola. Assim, é necessário, sempre, procurar mecanismos para facilitar o entendimento dos atores educacionais em relação às possibilidades de interpretação e uso desses resultados, bem como no que diz respeito aos obstáculos enfrentados ao longo do processo de apropriação das informações produzidas no âmbito dos sistemas de avaliação. Uma maneira de aproximar os resultados das avaliações às atividades cotidianas dos atores educacionais é apresentar experiências que, na prática, lidaram com problemas compartilhados por muitos desses atores. Apesar da diversidade das redes escolares brasileiras, muitos problemas, desafios e sucessos são experimentados de maneira semelhante por contextos educacionais localizados em regiões muito distintas. Para compartilhar experiências e conceder densidade àquilo que se pretende narrar, os estudos de caso têm se apresentado como uma importante ferramenta na seara educacional. Por isso, a presente seção é constituída por um estudo de caso destinado à apresentação de um problema vivido nas redes de ensino do Brasil. Seu objetivo é dialogar, através de um exemplo, com os atores que lidam com as avaliações educacionais em larga escala em seu cotidiano. Esse diálogo é estabelecido através de personagens fictícios, mas que lidaram com problemas reais. Todas as informações relativas à composição do estudo, como a descrição do contexto, o diagnóstico do problema e a maneira como ele foi enfrentado, têm como base pesquisas acadêmicas levadas a cabo por alunos de pós-graduação. O fundamento último desse estudo é propiciar ao leitor um mecanismo de entendimento sobre como lidar com problemas educacionais relacionados à avaliação, a partir da narrativa de histórias que podem servir como exemplo para que novos caminhos sejam abertos em sua prática profissional. 52

55 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 A FORMAÇÃO DE LEITORES PROFICIENTES Na maioria das vezes, as notícias veiculadas sobre o contexto das escolas relatam os problemas e as dificuldades enfrentadas pelos professores e como esses fatores os imobilizam e os desanimam. É menos comum termos conhecimento sobre as experiências bem-sucedidas, sobre as inúmeras estratégias encontradas pelos profissionais que atuam nas escolas para a resolução dos problemas enfrentados e, principalmente, sobre o desenvolvimento de ideias que revolucionam e melhoram a educação no país. A história da professora Rita é um desses exemplos que, apesar de não serem muito divulgados, são mais comuns do que imaginamos. A professora Rita, formada em Língua Portuguesa, havia trabalhado em diversas escolas de sua cidade, desde que iniciou sua vida docente, em Sempre interessada em garantir que seus alunos tivessem um ensino de qualidade, ela realizou diversos cursos de formação continuada, procurando estudar sobre temas variados: desde aspectos importantes da interdisciplinaridade até tópicos relacionados à gestão escolar. Os resultados da avaliação em larga escala eram um tema que interessava Rita, porém ela não encontrava apoio para trabalhar com esses resultados nas escolas em que, até então, ministrara aulas. Em 2011, quando assumiu a vaga de docente na Escola Estadual Professora Cristina Solis Rosa, localizada no município de Vazante, bairro Independência, que atende ao Ensino Fundamental, turno matutino e vespertino, Rita percebeu um movimento da equipe pedagógica para compreender os resultados das avaliações em larga escala. Ela notou que os coordenadores e professores, muitas vezes, até compreendiam os dados que chegavam à escola, a cada ano, e o que eles representavam, e agora estavam procurando enxergar além dessas informações numéricas. Rita percebeu que nesta escola podia aprofundar, juntamente com a equipe pedagógica, seu conhecimento acerca dos instrumentos da avaliação em larga escala. A equipe gestora preparou, junto à equipe pedagógica, diversos seminários e palestras, com convidados especialistas no tema, e oficinas internas, que fizeram com que o interesse e o envolvimento de todos pelo assunto aumentassem. Rita e seus colegas puderam aprofundar seus estudos sobre a Matriz de Referência, a Escala de Proficiência, competên [...] as dificuldades enfrentadas pelos professores e como esses fatores os imobilizam e os desanimam. É menos comum termos conhecimento sobre as experiências bemsucedidas, sobre as inúmeras estratégias encontradas pelos profissionais que atuam nas escolas para a resolução dos problemas enfrentados e, principalmente, sobre o desenvolvimento de ideias que revolucionam e melhoram a educação no país. 53

56 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico cias e habilidades, descritores, itens, padrões de desempenho estudantil, resultados de proficiência, resultados de acertos por descritor etc. A partir de um maior domínio desses conceitos, Rita e seus colegas conseguiram transformar as informações numéricas em uma análise qualitativa. Nessa análise, os professores da Escola Estadual Professora Cristina Solis Rosa identificaram um problema: a dificuldade dos alunos para ler e interpretar textos, o que prejudicava a compreensão proficiente desses textos. Diante do problema identificado, alguma estratégia pedagógica precisava ser colocada em prática. A direção da escola sugeriu a criação de um plano educacional integrado na escola, no qual todos os professores deveriam trabalhar, promovendo a interdisciplinaridade, uma vez que a dificuldade dos alunos para ler e interpretar textos atrapalhava o trabalho em sala de aula de todas as disciplinas e em todas as etapas, mesmo aquelas que não eram avaliadas nos testes em larga escala. Rita, em conversa com a direção, sinalizou o interesse que tinha sobre o tema, fez comentários acerca de diversos textos que havia lido sobre o trabalho interdisciplinar, e foi convidada para assumir a liderança do projeto na escola. Rita sempre acreditou que as ações dependiam, fundamentalmente, de dois fatores: vontade e articulação. O primeiro deles não era um problema para a professora. Agora, era preciso engajar a equipe pedagógica em um projeto que tivesse embasamento e viabilidade de execução. A reunião de planejamento para a elaboração do projeto político-pedagógico se mostrou um bom momento para iniciar a articulação dos professores em uma proposta integrada, com a finalidade de melhor utilizar os resultados das avaliações em larga escala. Percebeu-se, na reunião, que o corpo docente mostrou interesse no projeto interdisciplinar. Nessa reunião, os docentes chegaram à conclusão de que o primeiro passo era incentivar/convencer os alunos sobre a importância da avaliação em larga escala. O trabalho começou com a motivação dos discentes. Os professores de todas as disciplinas, em suas aulas, mostravam a importância da concentração para a leitura e a interpretação de textos. Eles procuraram despertar o interesse dos alunos, de todas as etapas, para as práticas de leitura e interpretação de textos. Dessa forma, o corpo docente percebeu, já com as avaliações internas, maior comprometimento dos alunos com o processo de ensino e de aprendizagem. As ideias iniciais para resolução do problema vieram ao encontro da sensibilização, da motivação e do envolvimento dos alunos em compreenderem os textos, tornando-os significativos. Com os alunos motivados, sentindo orgulho da instituição e apresentando sentimento de pertença à escola, era hora de colocar o projeto em prática. Rita, em conversa com os colegas, sugeriu a criação de um jornal online para a escola, já que a maioria dos alunos tinha acesso aos meios de comunicação, como TV, rádio, Internet. O celular, que era também um problema dentro da escola, poderia se tornar um instrumento a favor do processo de ensino e de aprendizagem, uma vez que os alunos poderiam acessar ao jornal da escola por meio dos próprios aparelhos, fazendo, inclusive, comentários sobre as notícias. Com a cria- [...] o corpo docente percebeu, já com as avaliações internas, maior comprometimento dos alunos com o processo de ensino e de aprendizagem. 54

57 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 Durante o restante do semestre, os professores se mobilizaram para fazer aquela ideia sair do papel. ção do jornal, os alunos teriam contato com os diferentes gêneros textuais, já que essa publicação apresenta várias seções, como carta do leitor, classificados, receitas, dicas, notícias etc. Durante o restante do semestre, os professores se mobilizaram para fazer aquela ideia sair do papel. As pedagogas trabalharam na elaboração de conteúdo para os murais da escola com os alunos dos Anos Iniciais, do Ensino Fundamental, produzindo ilustrações e pequenas frases para divulgar o lançamento do jornal. Rita e os demais professores de Língua Portuguesa incluiriam a elaboração de textos coletivos como atividade para todas as suas turmas dos anos finais, distribuindo funções e garantindo que todos pudessem trabalhar na criação do jornal. Os professores das demais disciplinas abordariam textos de temática de interesse dos alunos, levando-os a debater esses textos de acordo com o conteúdo da disciplina para, futuramente, nas aulas de Língua Portuguesa, produzir os textos para as diversas seções do jornal. Cada turma ficaria responsável por uma seção. Com a criação do projeto, Rita tinha a certeza de que o interesse dos alunos pela leitura aumentaria, mas sabia que um trabalho mais focado nos resultados da avaliação em larga escala precisava ser colocado em prática. Junto com o projeto do jornal, Rita trabalhou, em sua sala de aula, com a Matriz de Referência da avaliação em larga escala e com o banco de itens que estava disponível no site da Secretaria de Educação. Ela sabia que era fundamental entender em quais descritores, ou seja, em quais habilidades os alunos estavam apresentando maiores dificuldades, para que, futuramente, eles se tornassem leitores e escritores proficientes. A professora dividia suas aulas em três momentos: 1. Leitura, compreensão e interpretação dos textos: No primeiro momento, Rita trabalhava com os alunos a leitura dos textos. Ela pedia à turma que lesse o texto, em voz baixa, individualmente. Em seguida, fazia uma leitura coletiva do texto. Por fim, Rita também fazia uma leitura integral do texto, apresentando as entoações necessárias ao entendimento do texto. Após a leitura, era preciso compreender, interpretar e analisar o texto. Em seguida, a professora promovia um debate do texto na sala de aula. Era preciso entender o assunto do texto, o propósito comunicativo, onde o texto foi publicado etc. Neste primeiro momento, Rita trabalhava com os alunos as seguintes habilidades: identificar o tema ou a tese de um texto; estabelecer relação entre a tese e os argumentos oferecidos para sustentá-la; diferenciar as partes principais das secundárias em um texto; identificar as marcas linguísticas que evidenciam o locutor e o interlocutor de um texto; e identificar a finalidade de textos de diferentes gêneros. 2. Compreensão das questões do texto: No segundo momento, a professora trabalhava com a compreensão das questões do texto. Ela lia o comando da questão e as alternativas de respostas; tecia comentários minuciosos sobre as questões; trabalhava com o dicionário e a análise do vocabulário, contextualizando algumas questões com verbetes adequados; relacionava as questões aos descritores da Matriz 55

58 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico de Referência, procurando trabalhar com as habilidades e competências fundamentais a serem desenvolvidas pelos alunos de suas turmas. Neste segundo momento, Rita procurava trabalhar com as turmas as seguintes habilidades: localizar informações explícitas em um texto, inferir o sentido de uma palavra ou expressão; estabelecer relações entre partes de um texto, identificando repetições ou substituições que contribuem para a continuidade de um texto; identificar o conflito gerador do enredo e os elementos que constroem a narrativa; estabelecer relação causa/consequência entre partes e elementos do texto; estabelecer relações lógico-discursivas presentes no texto, marcadas por conjunções, advérbios etc.; identificar efeitos de ironia ou humor em textos variados; reconhecer o efeito de sentido decorrente do uso da pontuação e de outras notações; e reconhecer o efeito de sentido decorrente da escolha de uma determinada palavra ou expressão. 3. Produção de textos para o jornal da escola: No terceiro momento, a partir dos textos motivadores e de acontecimentos nas redondezas da escola, era hora de os alunos produzirem, coletivamente, com auxílio de seus professores, textos para o jornal da escola. Cada disciplina ficou responsável por uma parte do jornal e assim foram discutidos diversos temas: política, clima, economia, classificados etc. Semanalmente, uma turma era responsável por atualizar o jornal, assim eram debatidos diversos assuntos, o que provocou nos alunos a vontade de procurar assuntos que interessariam aos leitores do jornal. A atualização do jornal e a distribuição da responsabilidade em atualizá-lo fizeram com que toda a escola se mobilizasse e incentivaram, principalmente, o hábito da leitura. Vieram as avaliações em larga escala, com a participação da maioria dos alunos, e as expectativas pela divulgação dos resultados foram grandes. Logo no primeiro ano, já houve uma evolução notável do desempenho dos alunos em Língua Portuguesa, especialmente nos anos finais. Como o projeto deu certo e, aparentemente, fez diferença no aprendizado dos alunos, o diretor decidiu mantê-lo no calendário da escola nos anos que se seguiram, e Rita continuou na liderança do projeto. A passagem do tempo acabou confirmando a impressão inicial de que o projeto contribuiria significativamente para solucionar o problema que a equipe pedagógica detectara anos antes. Com o passar do tempo, os resultados de proficiência dos alunos em Língua Portuguesa ficaram ainda mais expressivos; bem como o desempenho em Matemática e nas demais disciplinas avaliadas, ano a ano. Hoje, o tempo de aprendizagem e as intervenções pedagógicas são extremamente valorizados pela instituição e todos os segmentos se mobilizam. As avaliações externas assumem um papel relevante para o trabalho escolar: as habilidades e competências básicas, consideradas importantes para o desenvolvimento dos alunos, são, minuciosamente, trabalhadas pelos professores da Escola Estadual Professora Cristina Solis Rosa. Todos os segmentos: gestores, especialistas, professores e alunos estão envolvidos nesse projeto de sucesso. Questões para Reflexão Em seu cotidiano profissional, você já se deparou com situações semelhantes às experenciadas pela Rita? Que postura você adotou ou adotaria se estivesse naquela situação? O que você acha da estratégia adotada pela equipe pedagógica? Você elaboraria um plano diferente? Qual? 56

59 6 QUE ESTRATÉGIAS PEDAGÓGICAS PODEM SER UTILIZADAS PARA DESENVOLVER DETERMINADAS HABILIDADES EM MATEMÁTICA? O artigo a seguir objetiva sugerir algumas estratégias para que os docentes possam auxiliar os alunos a desenvolver algumas habilidades, dentre aquelas avaliadas nos testes em larga escala.

60 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico Problemas de aprendizagem em Geometria nos anos finais do Ensino Fundamental O diálogo necessário entre avaliação externa e escola Desde que a avaliação educacional em larga escala se tornou uma política pública no contexto brasileiro, os questionamentos em relação à sua aplicabilidade e à sua efetividade se fazem presentes em qualquer crítica destinada a esse formato de instrumento avaliativo. Eles se tornaram ainda mais contundentes e generalizados à medida que os sistemas de avaliação se expandiram por todo o país, já em meados da década de A dúvida, invariavelmente, gira em torno da aplicação que poderia ser dada, no contexto escolar, e, mais especificamente, no da sala de aula, aos resultados da avaliação, tendo em vista o fato de estarmos diante de uma avaliação externa, que se define a partir do escopo que oferece para a tomada de decisões no nível da rede de ensino. De fato, a avaliação em larga escala tem como objetivo a produção de informações no âmbito de toda a rede de ensino, o que justifica seu aparato metodológico e a padronização de seus testes. Assim, destinada a fornecer informações para as redes de ensino, os resultados das avaliações externas seriam úteis, quando muito, aos atores educacionais que ocupam, na hierarquia do sistema educacional, posições de tomada de decisão no nível das secretarias de educação e de suas superintendências. Problemas identificados na rede, tomada como um todo, poderiam até ser diagnosticados, e políticas seriam desenhadas com base nesses diagnósticos, contudo, no que diz respeito à escola, as avaliações externas teriam, ao fim, muito pouco a oferecer. Essa forma de compreender a aplicabilidade da avaliação educacional se tornou um discurso amplamente difundido entre professores e diretores de escola. Tal discurso encontra sustentação, principalmente, em dois fatores: o desconhecimento em relação ao instrumento, a suas limitações e a suas qualidades, fruto, em regra, de uma ausência de abordagem detida sobre o tema nos cursos de formação; além disso, há um conjunto de elementos ideológicos no discurso de professores e diretores, que tratam a avaliação como um instrumento dotado de uma lógica (meritocrática) contrária àquela que deveria ser o pilar de sustentação da escola. Esses dois fatores se influenciam mutuamente. O desconhecimento, em parte, é alimentado por uma resistência ideológica, ao passo que a resistência ganha força diante do desconhecimento em relação ao instrumento. Na contramão desse discurso, que, é bem verdade, vem sofrendo algumas alterações ao longo dos anos, a avaliação educacional em larga escala pode ser pensada como um instrumento capaz de produzir informações muito importantes para o trabalho do diretor e dos professores. Isso significa que ela pode, se bem utilizada, integrar o cotidiano do planejamento escolar e não apenas fazer parte de decisões no nível da secretaria e das superintendências. A avaliação educacional, qualquer que seja seu formato, deve sempre fornecer informações que, de uma maneira ou de outra, contribuam para a melhoria da qualidade do ensino que ofertamos. 58

61 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 A avaliação educacional, qualquer que seja seu formato, deve sempre fornecer informações que, de uma maneira ou de outra, contribuam para a melhoria da qualidade do ensino que ofertamos. Os diagnósticos que fornece servem a esse propósito: através de informações abalizadas, decisões são tomadas e ações podem ser efetivadas. Toda avaliação, portanto, tem um compromisso com a ação, com a alteração da realidade na qual se insere. O instrumento em larga escala não foge a essa regra. Seu compromisso é, em última instância, com a qualidade da educação, e, especificamente, com a produção de informações capazes de prestar auxílio aos atores escolares, para que tomem decisões capazes de alterar práticas. Nestes termos, professores e diretores devem, necessariamente, fazer parte do processo de avaliação, assim como não devem se sentir fora dele. Diante disso, é necessário chamar a atenção para o papel que professores e diretores devem assumir no processo de avaliação em larga escala. Nenhuma mudança na qualidade da educação pode ser experimentada sem que atores tão fundamentais sejam considerados. Ao afirmar que a avaliação em larga escala produz, como aspecto central, informações para a rede de ensino como um todo, não se quer dizer que a escola não possa se valer dessa ferramenta para tomar decisões a respeito de si própria. Mais do que isso, mesmo não tendo como foco a avaliação dos alunos, as avaliações externas produzem informações sobre estes alunos, algo que não pode ser negligenciado pelo professor. O que isso implica não é um uso obrigatório dos dados da avaliação, mas, sim, uma consulta a esses resultados, que podem auxiliar o professor a rever suas próprias práticas. A decisão pelo uso virá, pelo professor, após a realização dessa análise. É o que veremos, a seguir, com um exemplo de utilização de dados da avaliação para discutir os problemas de aprendizagem em Geometria, nos anos finais do Ensino Fundamental. Antes de passar ao exemplo, contudo, é importante apontar um problema que afeta todo o ensino de Matemática. A essencialização dos saberes matemáticos É extremamente difundida a ideia de que Matemática é difícil. Difícil em si mesma, sem levarmos em consideração a interferência de qualquer outro fator além dos conteúdos que compõem a própria disciplina. Se muitos alunos são reprovados em uma disciplina, uma série de interpretações pode ser levantada para explicar o fenômeno: os alunos se esforçaram pouco, o professor é muito exigente, a disciplina é muito difícil. Quando estamos lidando com Matemática, essa gama de fatores parece sempre estar presente como fator explicativo, mas parece existir uma prevalência do argumento que afirma, categoricamente, que o problema está na dificuldade oferecida pela própria disciplina. É extremamente difundida a ideia de que Matemática é difícil. Difícil em si mesma, sem levarmos em consideração a interferência de qualquer outro fator além dos conteúdos que compõem a própria disciplina. Essa percepção é a base de uma visão essencializada da Matemática, o que gera consequências bastante específicas para o ensino e para a aprendizagem da disciplina. O discurso da dificuldade inerente é largamente difundido entre os alunos. A dificuldade de aprendizado em Matemática, conforme tem sido sistematicamente diagnosticada pelos testes padronizados das avaliações em larga escala, mas que já era reconhecida a partir dos resultados das avaliações internas, é atribuída à dificuldade dos próprios conteúdos. É fácil imaginar que a consequência de um entendimento desse tipo é transferir à própria disciplina problemas que têm origem diversa. O aluno, ao lidar com a dificuldade em Matemática de forma naturalizada, encara seu desempenho ruim de forma também natural, ou, pelo menos, condescendente. É como se não houvesse nada que ele pudesse fazer para melhorar seu desempenho. Nesse sentido, o bom desempenho em Matemática é atribuído ao talento individual, a uma característica inata que faz com que alguns indivíduos consigam um pleno desenvolvimento na disciplina, ao passo que os demais enfrentam enormes problemas de aprendizagem. Correlata a essa forma de encarar a disciplina, está a ideia de que Matemática é para poucos. Se é difícil, é para que uns poucos, iluminados, sejam capazes de decifrar sua complexa linguagem. 59

62 SPAECE 2015 Boletim Pedagógico Todo esse raciocínio integra o imaginário do aluno em relação à Matemática, mas, é importante que se ressalte, tal discurso não pertence apenas aos discentes. Há uma impressão geral, que se apresenta, muitas vezes, quase como um conhecimento de causa, de que Matemática é um saber difícil, e, portanto, para poucos. No próprio ambiente escolar, isso é amplamente reforçado. Assim como os alunos, os professores e demais atores escolares (diretores e coordenadores pedagógicos, por exemplo) também compartilham a ideia da dificuldade inerente à Matemática, o que contribui ainda mais para que esse imaginário se naturalize, dificultando sua alteração. Isso pode ser observado, inclusive, entre muitos professores de Matemática, que acreditam que a disciplina não é apenas inerentemente difícil, mas, em termos comparativos, mais difícil do que as demais disciplinas. Essa perspectiva engessa o desenvolvimento de ações que poderiam procurar lidar com os problemas de ensino e de aprendizagem em Matemática. A naturalização da dificuldade vem acompanhada de poucos esforços para lidar com os problemas de aprendizagem na disciplina. Afinal, como alterar o que é inerente? Além disso, essa maneira de encarar a Matemática obscurece o que parece ser um dos principais fatores que dá ensejo às dificuldades de aprendizagem na disciplina, qual seja, a formação de professores. É evidente que os problemas de aprendizagem, em qualquer disciplina, não podem ser imputados, exclusivamente, à formação de professores. Essa seria uma visão unilateral e incompleta do problema. No entanto, é igualmente evidente o fato de que as dificuldades com a disciplina não são inerentes. Não há como realizar uma hierarquia intrínseca do saber com base nas dificuldades que os alunos e professores sentem em relação a ele. Se a dificuldade não é peculiar, isso significa que ela é produzida social e culturalmente. Sendo produzida, pode ser alterada. E a formação de professores de Matemática não pode ser olvidada para o entendimento do problema narrado. A Matemática apresenta, historicamente, grandes índices de reprovação e, sistematicamente, como vimos, isso tem sido atribuído à dificuldade pertinente à disciplina. No entanto, cabe questionar como a disciplina tem sido ministrada e como os professores têm sido preparados para o ensino da mesma. Os cursos de licenciatura, e não é diferente com a Matemática, são alvos das críticas de muitos estudiosos, principalmente, em virtude da ausência de conexão entre os conteúdos trabalhados ao longo da formação e sua aplicabilidade, especialmente no que diz respeito à prática docente. São reconhecidos o despreparo dos professores no começo de suas carreiras e as grandes lacunas em sua formação inicial. A formação continuada, quando existe, não é capaz de suplantar tais problemas. Somam-se a isso o recrutamento promovido pelos cursos de licenciatura e o enfoque, nos cursos superiores, dado ao conteúdo. Mesmo quando estamos diante de professores que dominam o conteúdo de suas disciplinas, esbarramos no problema da capacidade de planejar e executar boas aulas. Isso nos ajuda a rechaçar a ideia de que as dificuldades com a Matemática são intrínsecas. Para compreendê-las, o despreparo dos professores tem mais poder explicativo do que a concepção da inerência. Os problemas começam já na alfabetização matemática e se acumulam ao longo das etapas de escolaridade. Alunos do 9º ano do Ensino Fundamental, na escola pública brasileira, de maneira geral, não são capazes, por exemplo, de resolver problemas envolvendo equações de primeiro grau, não pelos problemas em si, mas por déficits de aprendizagem em operações simples. Não parece convincente, diante dos problemas que os próprios professores apresentam, imputar a dificuldade à própria disciplina. O problema da Geometria No quadro que acaba de ser descrito, a Geometria ganha destaque, servindo como exemplo para ilustrar o argumento que aqui está sendo apresentado. Dentre os conteúdos trabalhados pela Matemática ao longo das etapas de escolaridade, todos eles, em regra, rotulados como intrinsecamente difíceis, a Dentre os conteúdos trabalhados pela Matemática ao longo das etapas de escolaridade, todos eles, em regra, rotulados como intrinsecamente difíceis, a Geometria chama atenção quando observamos os resultados das avaliações em larga escala. 60

63 Matemática - 9º ano DO Ensino Fundamental E Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º segmento SPAECE 2015 Geometria chama atenção quando observamos os resultados das avaliações em larga escala. Neste ponto, o que foi dito sobre o uso da avaliação pelas escolas e o que foi narrado acerca dos problemas em se considerar as dificuldades em Matemática uma característica inerente à disciplina se encontram. Imaginemos um exemplo dos resultados de uma escola no sistema de avaliação em larga escala. Para Matemática, os professores observam que, em média, os alunos do 9º ano do Ensino Fundamental acertam 45% dos itens do teste padronizado. Contudo, trata-se de uma média, e é preciso observar os resultados mais de perto. Na avaliação em larga escala, o percentual de acerto por item é um dos resultados divulgados e pode auxiliar muito o trabalho do professor, visto que contribui para que hipóteses sejam levantadas. Com tal percentual de acerto em Matemática, e observando os resultados de proficiência (já que eles se complementam, fornecendo uma análise mais completa), os professores sabem se tratar de um resultado aquém do esperado. Entretanto, ainda é preciso aprofundar a análise. A observação do percentual de acerto por item releva que, na escola, há conteúdos matemáticos com os quais os alunos parecem apresentar maiores dificuldades. É o caso da Geometria. Entre as inúmeras habilidades avaliadas pelos testes, duas delas apresentaram os menores percentuais de acerto: com 18,3% e 22,1%, respectivamente, são habilidades relacionadas ao uso das relações métricas no triângulo retângulo e à identificação de propriedades dos triângulos a partir da comparação de medidas dos ângulos e dos lados. Esses percentuais estão bem abaixo do que aqueles observados para outras habilidades na avaliação de Matemática. Para o 9º ano do Ensino Fundamental, era de se esperar que os alunos fossem capazes de solucionar problemas que envolvessem essas habilidades. Apesar de ser uma avaliação em larga escala, conforme foi ressaltado anteriormente, informações sobre os alunos são produzidas. Um professor atento não negligenciaria informações relacionadas à sua turma. Os resultados mostram um problema com o desenvolvimento de habilidades em Geometria, que dizem respeito não apenas aos alunos de uma turma, mas à escola como um todo. Uma análise ainda mais ampla, mostraria que os resultados de Geometria, nos testes padronizados, estão aquém do esperado em toda a rede. A partir da leitura desses dados, não seria exagero afirmar que a Geometria merece atenção especial por parte dos professores. A partir dos dados da avaliação educacional, cabe ao professor de Matemática levantar hipóteses acerca de tais resultados: trata-se de um fenômeno pontual ou diz respeito à escola toda? Quais são os conteúdos que, em Geometria, mais têm oferecido dificuldade aos alunos? Como trabalho tais conteúdos com minhas turmas? Em minhas aulas, os alunos apresentam tais dificuldades? Que tipo de ação pedagógica estaria a meu alcance para que tais dificuldades sejam enfrentadas? Todas essas perguntas possuem dois pontos em comum. Primeiro, partem de dados existentes para que análises sejam realizadas (o uso da avaliação educacional por parte do professor, conforme apresentada no primeiro tópico deste texto). Em um contexto onde, cada vez mais, informações são produzidas, é fundamental que os professores possam se valer desses dados para o levantamento de hipóteses e para repensar suas próprias práticas. Além disso, elas não presumem a existência de uma dificuldade intrínseca à Matemática ou à Geometria. A própria prática de consultar dados e de levantar hipóteses a partir dos mesmos faz com que sejam suspensas explicações naturalizadas sobre os problemas. Isso abre espaço para que tudo possa ser questionado, incluindo a prática do professor. Nesse sentido, o uso dos dados da avaliação, a partir de uma análise e reflexão sobre o que, de fato, produzem de informação, coloca em xeque a tese de que Matemática é intrinsecamente difícil. Afinal, assim como não é possível estabelecer uma hierarquização do saber em termos de dificuldade, também é impossível que isso seja feito dentre os próprios conteúdos da Matemática. Em outras palavras, mesmo apresentando resultados ruins, o problema da Geometria não é ser mais difícil do que Álgebra ou Probabilidade. Ele pode ser encontrado em outros fatores. Como exercício de reflexão, para você, quais seriam eles? Nesse sentido, o uso dos dados da avaliação, a partir de uma análise e reflexão sobre o que, de fato, produzem de informação, coloca em xeque a tese de que Matemática é intrinsecamente difícil. 61

64 Reitor da Universidade Federal de Juiz de Fora Marcus Vinicius David Coordenação Geral do CAEd Lina Kátia Mesquita de Oliveira Coordenação da Unidade de Pesquisa Tufi Machado Soares Coordenação de Análises e Publicações Wagner Silveira Rezende Coordenação de Design da Comunicação Rômulo Oliveira de Farias Coordenação de Gestão da Informação Roberta Palácios Carvalho da Cunha e Melo Coordenação de Instrumentos de Avaliação Renato Carnaúba Macedo Coordenação de Medidas Educacionais Wellington Silva Coordenação de Monitoramento e Indicadores Leonardo Augusto Campos Coordenação de Operações de Avaliação Rafael de Oliveira Coordenação de Processamento de Documentos Benito Delage

65 Ficha catalográfica CEARÁ. Secretaria da Educação. SPAECE 2015/ Universidade Federal de Juiz de Fora, Faculdade de Educação, CAEd. v. 1 (jan./dez. 2015), Juiz de Fora, 2015 Anual. Conteúdo: Boletim Pedagógico - Matemática - 9º ano do Ensino Fundamental e Educação de Jovens e Adultos (EJA) 2º Segmento. ISSN CDU :371.26(05)

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