Gabarito processo seletivo 2012/2

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1 Fax: +55 (48) Fone: (48) Gabarito processo seletivo 1/ 1A Uma partícula de massa m parte do repouso em x ( > ) sob a ação de um campo de força atrativo da forma F = k/x 3, onde k é uma constante positiva. Calcule quanto tempo a partícula levará para atingir a origem (x = ) e assinale a alternativa correta. (X) mx 4 /k (b) mx 4 /k (c) mx /k (d) mx /k (e) Nenhuma das alternativas anteriores Solução A equação de movimento é m dv dt k x 3 usando a transformação de variável dv dt dx dv dt dx v dv dx, obtemos mv dv k x 3 dx, integrando nos limites correspondentes e resolvendo para v(x), temos v(x) dx dt k x x. mx x O sinal negativo foi escolhido pois estamos considerando o movimento na direção negativa de x, de forma que v(x). Integrando em função do tempo t, temos x(t ) x dx k t x x x dt. mx E obtemos a trajetória da partícula x(t) x 1 k mx t 4, que se anula para t mx 4 /k.

2 Fax: +55 (48) Fone: (48) B Uma barra uniforme rígida e fina de massa M está suportada por dois rolos idênticos que giram rapidamente e cujos eixos estão separados por uma distância fixa a. A barra é inicialmente colocada em repouso numa posição assimétrica, como mostra a figura abaixo. Assuma que os rolos giram em sentidos opostos como mostrado na figura. O coeficiente de atrito cinético entre a barra e os rolos é. Determine a equação de movimento da barra, resolvendo-a para x(t), onde x é a distância do rolo 1 ao centro C da barra, x() x e Ý x (). Assinale a resposta correta justificando com os cálculos. (a) x(t) x cos g a t a (b) x(t) x cos ga t a (X) x(t) x a cos g a t a (d) x(t) x a cos ga t a (e) Nenhuma das alternativas anteriores 1 Solução Assumindo que a coordenada x é positiva para a direita. As equações para as forças e torques em relação ao centro de massa C da barra são: N 1 N Mg; N 1 x N (a x); M x Ý f 1 f (1) onde N 1 e N são as forças normal e f 1 e f são forças de atrito no primeiro e segundo rolos, respectivamente f 1 N 1 ; f N Das duas primeiras relações obtemos: N 1 Mg(1 x /a); N Mg(x /a) Combinando em (1), temos: x Ý x g, onde g. A solução desta equação é a x Acos(t ) a, onde é uma constante de fase arbitrária. Tomando em conta as condições iniciais x() x e x Ý () temos a solução final

3 Fax: +55 (48) Fone: (48) x(t) x a cos g a t a, que corresponde a um movimento harmônico simples.

4 Fax: +55 (48) Fone: (48) A Um satélite de massa m move-se em uma órbita circular de raio com velocidade v ao redor da Terra. Abruptamente ele absorve uma pequena quantidade de massa m que estava em repouso antes da colisão. Calcule a variação de energia total do satélite e o raio órbita (considerando-a circular). Assinale a resposta correta. (a) E 1 (b) E 1 m v m m ; m v m m ; m m m m m m (c) E m v m (m m) ; m m m (X) E mv m (m m) ; m m m (e) Nenhuma das alternativas anteriores da nova Solução Antes da absorção da pequena quantidade de massa, o satélite move-se em uma órbita circular onde mv GMm v GM, onde M é a massa da Terra. Sua energia total é E 1 mv GMm 1 mv. Após a absorção da quantidade de matéria, a velocidade do satélite muda para v mv m m e a energia total será devido à colisão será E E E 1 mv E 1 m m m. O raio da nova órbita (circular) será dado por m m m m v. Logo a energia perdida pelo satélite m m v GM v

5 Fax: +55 (48) Fone: (48) B Um asteróide de dimensão desprezível e massa m está movendo-se na direção de um planeta de massa M e raio, desde uma longa distância, com velocidade inicial v e parâmetro de impacto d (ver figura abaixo). Determine o valor mínimo de v para que o asteróide não atinja o planeta. Assinale a alternativa correta justificando com os cálculos. (a) v (X) v GM d GM d (c) v GM d (d) v GM d (e) Nenhuma das alternativas anteriores Solução O momento angular inicial do asteróide em torno do centro do planeta é L=mv d. Para o asteróide não colidir com o planeta ele deve passar rente à superfície do mesmo. Neste ponto v será perpendicular à direção radial do planeta, e o momento angular será L = mv. Por conservação de momento angular L = L e temos mv mv d v v d Por conservação de energia temos 1 mv 1 GMm mv v v GM e portanto GM v d

6 Fax: +55 (48) Fone: (48) A No arranjo mostrado na figura abaixo, o raio da polia é r, seu momento de inércia sobre o eixo de rotação é I e k é a constante da mola. Assuma que não há atrito entre o fio e a polia e que as massas do fio e da mola são desprezíveis. Neste caso, a frequência angular de pequenas oscilações deste sistema será dada por uma das alternativas abaixo. Assinale a alternativa correta e justifique com os cálculos. (a) (b) kx mr I mr I kr (c) (X) kr mr I kr mr I (e) Nenhuma das alternativas anteriores Solução A energia cinética total do sistema é K 1 mý x 1 I Ý. Substituindo x por r e Ýx por r Ý, temos K 1 Ý mr 1 I Ý 1 (mr I) Ý A energia potencial da mola é U 1 kx 1 kr. Energia total: E K U 1 (mr I) Ý 1 kr constante Derivando em função do tempo: de dt (mr I) Ý Ý kr Ý Que dá uma equação para um movimento harmônico simples: Ý kr mr I angular kr mr I, com frequência

7 Fax: +55 (48) Fone: (48) B Uma massa m 1, com velocidade inicial v, colide com um sistema massa-mola com massa m, inicialmente em repouso. A mola tem massa desprezível e constante k. Não há atrito. Calcule a máxima compressão que a mola sofrerá e assinale a alternativa correta. (a) (b) (X) (d) v m 1 m k (m 1 m ) m 1 m k m 1 m v m 1 m (m 1 m )k v v (m 1 m ) k m 1 m (e) Nenhuma das alternativas anteriores Solução A máxima compressão ocorre quando as duas massas m 1 e m possuem a mesma velocidade. m 1 v (m 1 m )v 1 m v 1 1 (m m )v 1 1 ka onde A é a máxima compressão da mola. esolvendo a primeira equação para v, temos v m 1 m 1 m v Substituindo na segunda, encontramos A: A m 1 m (m 1 m )k v

8 Fax: +55 (48) Fone: (48) A- Uma espira condutora retangular com dois lados paralelos de comprimentos a e b é colocada próxima a um fio que conduz uma corrente constante i, como representado no desenho. O lado mais próximo está a uma distância d do fio. Assinale a resposta que indique o fluxo magnético através da bobina. Justifique a resposta com os cálculos. A ( ) B ( ) C ( ) D ( ) ib ln id b ln ib ln 4 ia d ln 4 d a a d a d a b b b a d b i E (X) nenhuma das respostas anteriores. esolução: B dl i, Bdl cos i, Br i d i i B( r), d dadb, r r a b i dr i d a dr bln r d d

9 Fax: +55 (48) Fone: (48) B- Fluxo magnético Um condutor cilíndrico longo de raio é percorrido por uma corrente i distribuída uniformemente em sua seção reta. Determine o fluxo magnético por unidade de comprimento do fio através da superfície definida no interior do fio, como representado no desenho. Assinale a alternativa correta justificando a resposta com os cálculos. A (X) L oi 4 i B ( ) L i o 4 L C ( ) L oi 4 D ( ) L i o E ( ) Nenhuma das respostas anteriores Solução Usando a lei de Ampère sem o termo de correntes de deslocamento r r r B dl i, B( r) dl i, B( r)r i, B( r) i B da L db r r il idr, rdr, il 4 r

10 Fax: +55 (48) Fone: (48) A- Uma barra condutora de comprimento l se desloca com velocidade v ao lado de um fio por onde circula uma corrente de intensidade i, como representado no desenho. Calcule a tensão induzida na extremidade da barra e assinale a resposta correta. vil a ( X ) r vir b ( ) L vil c ( ) r v il d ( ) r i L v e ( ) nenhuma das respostas anteriores r Solução Força de Lorentz. F qe qv B, No equilíbrio F=, i E B( r) v v r E v B i E dl v r L vil dl, caminho de integração ao longo da haste metálica. r

11 Fax: +55 (48) Fone: (48) B- Determine a expressão do módulo do campo magnético entre as placas de um capacitor de placas paralelas circulares de raio no vácuo, em um ponto a uma distância r da linha que liga os centros das placas, para um valor de corrente i, que entra na placa positiva. Assinale a alternativa correta justificando com os cálculos. A ( X ) r ( r) B i d B ( ) B( r) r d i i r C ( ) 4r ( r) i B D ( ) r ( r) i 4d B E ( ) Nenhuma das respostas anteriores Solução: Lei de Ampère generalizada: B dl i d dt E No interior do capacitor, onde a linha da integração está definida, não há corrente. d B dl dt Br r d / B, dt r B i E d r E, o campo elétrico para um capacitor de placas paralelas dt r B dq dt E

12 Fax: +55 (48) Fone: (48) A- Em 183 Faraday propôs um aparato que poderia ser usado para medir a vazão de um rio e atualmente o conceito é usado em diversas aplicações práticas. Duas placas metálicas retangulares de lados a e b são colocadas nas margens de um rio, separadas por uma distância d e conectadas em série com um amperímento e uma resistência, como mostrado na figura. O campo geomagnético local tem componente perpendicular B, em relação à velocidade de escoamento v e o vetor d, ambos horizontais. A resistividade da água do rio é. Qual a expressão da corrente medida no amperímetro em termos dos parâmetros geométricos das placas, da velocidade de escoamento v e da resistividade? Assinale a resposta correta, justificando com os cálculos. vbab A) (*) i ba d vb B) ( ) i d vbab C) ( ) i d ba vbab D) ( ) i d dvb E) ( ) i / d b a v B A d Solução Admitindo força de Lorentz resultante nula: qe qv B F L O campo elétrico resultante entre as placas devido ao acúmulo de portadores de carga da água é E v B vb. Este campo elétrico gera uma diferença de potencial entre as placas

13 Fax: +55 (48) Fone: (48) definida por E dl Ed ou E / d. A diferença de potencial em termos da velocidade e do campo magnético: dvb. A corrente é definida por i Logo dvb vbab i d ba ba d 1, onde 1 d ba

14 Fax: +55 (48) Fone: (48) B- Uma placa semicondutora de largura w, comprimento L e espessura t é conectada eletricamente e colocada numa região com campo magnético uniforme como representada na figura. A direção do campo magnético é perpendicular ao plano da placa. Entre os dois contatos longitudinais é mantida uma corrente constante i. Nos contatos transversais à corrente é conectado um voltímetro. Entre as afirmações abaixo assinale as verdadeiras justificando a escolha. 1) A tensão estabelecida entre os terminais transversais permite caracterizar o tipo e a densidade dos portadores de carga majoritários do semicondutor (lacunas ou elétrons). ) O campo elétrico transversal surge devido à força magnética que desloca as cargas para a lateral do dispositivo. Entretanto este campo fica tão intenso pelo acúmulo de cargas que destrói o dispositivo num processo de ruptura de dielétrico e avalanche. 3) Nestas condições não aparece tensão alguma entre os terminais transversais. Só aparece tensão nos terminais transversais enquanto houver variação da corrente. 4) O dispositivo pode ser usado como um sensor de campo magnético. 5) Se o semicondutor fosse substituído por um metal a tensão transversal resultante seria muito maior. z A ) ( ) 1, 3 e 5 são afirmativas corretas. B ) ( ) e 3 são afirmativas corretas. C ) ( ) 1, 3 e 4 são afirmativas corretas D) (X), 3 e 5 são afirmativas falsas E) ( ) 4 e 5 são corretas. x y V B z w Solução t A força de Lorentz atuando sobre os portadores de carga: F L qe qv B Na condição de regime estacionário a força elétrica compensa a magnética e F L =. i

15 Fax: +55 (48) Fone: (48) E v B, E y vxbz é a componente do campo elétrico entre os contatos transversais. A diferença de potencial associada ao campo elétrico, V H E w v B w y x z A velocidade v x dos portadores de carga ( elétrons ou lacunas ) esta associada a densidade de corrente J e da densidade de portadores n com carga e: J env x, logo a partir da tensão Hall estabelecida entre os terminais transversais, V H J en uma vez que B w, pode-se encontrar a densidade de portadores em função do potencial medido, z J i A i wt n i tev H B z Logo a afirmativa A é verdadeira, uma vez que a tensão Hall estabelecida entre os terminais é dependente da densidade de portadores e de sua carga. O sinal da tensão detectada depende da carga do portador elétrons (-) ou lacunas (+). A afirmativa B é falsa. O campo não aumenta indefinidamente pois a força elétrica gerada pelo acúmulo de cargas opõe-se a força magnética e atinge-se uma condição de equilíbrio, o que estabelece um campo elétrico estável e finito entre as placas. A afirmativa C esta errada. O efeito hall aparece tanto para corrente constante quanto para corrente alternada. A afirmativa D esta correta. O efeito Hall produz uma tensão que depende linearmente do campo magnético se os parâmetros do semicondutor usado forem estáveis com o campo ou temperatura. A afirmativa E esta errada. Se o número de portadores de carga aumenta a tensão hall diminui. Num metal a densidade de elétrons é da ordem de ~1 eletrons/cm^3 e num semicondutor típico n~1 14 /cm^3.

16 Fax: +55 (48) Fone: (48) A- esponda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. (Você deve escrever uma justificativa para cada item. Itens sem justificativa serão desconsiderados.) a) ( F ) Uma partícula livre com energia cinética E e comprimento de onda de Broglie entra em uma região com energia potencial V. Nesse caso, seu novo comprimento de onda 1 E /V. será Em uma região com potencial V, a energia da partícula seria h, teremos p 1 V 1. E p E V, como m b) ( F ) Uma máquina com eficiência de 1% violaria a primeira lei da termodinâmica. Viola a segunda lei, não a primeira. c) ( F ) Um buraco negro é um objeto cujo campo gravitacional é tão forte que nem mesmo a luz consegue escapar. Se a Terra tivesse um raio de aproximadamente 3 cm, ela se tornaria um buraco negro. (dica: por simplicidade, considere o movimento de partículas de massas diferentes de zero). Considerando a velocidade de escape igual à velocidade da luz, temos 1 GmM mc, o que fornece um raio da ordem de 1 cm. r d) (V) Um próton se move na direção ẑ após ser acelerado a partir do repouso por uma diferença de potencial V. O próton passa através de uma região com campo elétrico E na direção xˆ e campo magnético B na direção ŷ, mas sua trajetória não é afetada. Se a experiência fosse repetida, agora com uma diferença de potencial V, o desvio seria na direção xˆ. Efetuando o cálculo da força de Lorentz com os campos dados verifica-se que o desvio será na direção xˆ. 6 e) ( F ) O muon decai com tempo característico de 1 segundos, em um elétron, neutrino de muon e anti-neutrino de elétron. O decaimento de um muon em um elétron e um só neutrino é proibido pela conservação da energia e do momento. A reação não ocorre devida à conservação do número leptônico.

17 Fax: +55 (48) Fone: (48) B- esponda se as afirmações abaixo são verdadeiras ou falsas. (Você deve escrever uma justificativa para cada item. Itens sem justificativa serão desconsiderados.) a) ( F ) O comutador L L, L vale i x y z L x L y. Calculando o comutador, teremos i L x L y. b) ( F ) Na expansão adiabática de um gás ideal, de um estado inicial i até um estado final f, a variação de sua energia interna é dada por f PdV. Nesse caso a variação da energia interna é negativa, - f PdV i. i c) ( V ) Quando partículas são direcionadas a átomos em uma folha de metal fina, algumas fazem colisões muito próximas dos núcleos e são espalhadas a ângulos grandes. Se uma o partícula de energia cinética de 5 MeV for espalhada a um ângulo de 18, sua distância de 14 maior aproximação com o núcleo será aproximadamente,9 1 m. (suponha que a folha é feita de prata, com Z=5). Nesse caso, quando tivemos a energia cinética igual à energia potencial elétrica: 1 q1q 14 E teremos r, r d) (F) Pelo príncipio de Mach, se não houvesse matéria no Universo, um corpo esférico, de massa m e raio apresentaria maior inércia que um corpo de mesma forma e massa m/ nesse Universo. Pelo princípio de Mach, se não existe massa, não existe inércia. 38 e) ( F ) A energia de ligação do U é aproximadamente 7.6 MeV por nucleon. Se o núcleo se fissionar em dois fragmentos iguais, cada um terá energia cinética de aproximadamente 1 MeV. Desse modo, pode se concluir que núcleos com A = 1 devem ter energia de ligação próxima de 6.7 MeV/nucleon. Calculando teremos -8,37 MeV/nucleon.

18 Fax: +55 (48) Fone: (48) A- O elétron no átomo de hidrogênio ocupa o estado de posição e spin dado por 1 1 Y Y1 3 1 m onde Y l são os harmônicos esféricos e 1 as autofunções da projeção do momento angular de spin S z. Os valores esperados de L e J z são respectivamente: e) Nenhuma das anteriores Calculando e L L 5 J z Lz S z. 6

19 Fax: +55 (48) Fone: (48) B- Uma partícula sujeita a um poço quadrado infinito é representada pela função de onda x, Axa x, com x a, onde a e A são constantes. Os valores de x e H são respectivamente: e) Nenhuma das anteriores A normalização é dada por: a 3 dx 1 A 5 a. Temos então: a * a x xdx e 5 H ma.

20 Fax: +55 (48) Fone: (48) A- Determine o valor esperado da energia de uma partícula de massa m com hamiltoniana p 1 H m x eex m onde e, E e são constantes, sabendo que a partícula é descrita pela função de onda x x x 1 3 onde n são as autofunções dessa hamiltoniana., e) Nenhuma das anteriores Podemos reescrever a hamiltoniana como p 1 ee e E H mw x H H1 m mw mw onde H ainda é uma hamiltoniana de oscilador harmônico (fornecendo os autovalores usuais) e H 1, uma constante. Desse modo, 1 1 e E E n w n, mw E 17 1 e E w. 6 mw

21 Fax: +55 (48) Fone: (48) B- Considere o estado de spin 1/ representado pelo espinor. Qual é a 5 1 probabilidade de uma medida de S 4S / 5 resultar em /? 3 x y a) 6% O operador possui autovalores 3 1 4i. 5 e autovetores dados por Assim 65. 5

22 Fax: +55 (48) Fone: (48) A- Considere um nêutron em uma caixa esférica V ( r) r r r r onde r 1 14 m. Efetue o desenvolvimento da equação em coordenadas esféricas. Nesse caso, a energia do estado fundamental (considere l = ) será: (dica: na equação radial utilize unlm r rnlm r. Depois resolva a equação para u nlm r) a) MeV A equação radial para l = possui a mesma forma que a equação de Schrödinger em uma dimensão. Para a partícula na caixa, os níveis de energia terão a mesma forma. Calculando obtemos b).

23 Fax: +55 (48) Fone: (48) B- Um cone tem ângulo de abertura α e área de superfície lateral S em seu referencial próprio. Determine a área de superfície lateral em um sistema que se move com velocidade v=(4/5)c com relação ao sistema de repouso do cone na direção do seu eixo. (área da superfície lateral = πrl, r = raio da base, L = geratriz do cone). 16 c) S 1 cos 5 Temos v=(4/5)c, assim =5/3. Haverá contração de comprimento na direção de movimento (eixo do cone), sua altura será reduzida para 3 S cos h. Calculando a área com essa altura vem a resposta c. 5 sen