UM NOVO OLHAR PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: O CASO DOS NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS

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1 UM NOVO OLHAR PARA A RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS: O CASO DOS NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS Edlene Cavalcanti Santos UFPE edlenecavalcanti@hotmail.com Rute Elizabete de Souza Rosa Borba UFPE rborba@ce.ufpe.br INTRODUÇÃO O presente estudo trata-se de um projeto de Mestrado, em desenvolvimento no Núcleo de Didática dos Conteúdos Específicos do Centro de Educação da Universidade Federal de Pernambuco e se propõe a investigar como professores de ensino fundamental podem se beneficiar de um processo de formação continuada no qual se discutirá o desenvolvimento conceitual sob a perspectiva da Teoria dos Campos Conceituais proposta por Vergnaud (1986). A apresentação, aqui, deste projeto de pesquisa tem como objetivo a discussão de sua proposta principalmente no sentido de verificar a coerência entre seus pressupostos e a metodologia a ser utilizada nesta investigação. No processo de formação aqui sugerido será discutido com os professores como se dá o desenvolvimento do conceito de número inteiro relativo, argumentando-se que o conhecimento por parte dos professores dos fatores que afetam a compreensão de conceitos é fundamental para que a resolução de problemas proposta em sala de aula seja mais bem trabalhada. Embora a resolução de problemas seja considerada uma atividade central no ensino da matemática, há diferentes posicionamentos sobre como esta atividade deve ser proposta e desenvolvida no ensino fundamental. Desta forma, o que deve ser levado em conta na resolução de problemas em sala de aula merece mais atenção. Apesar da ênfase dada à resolução de problemas na década de 1980 e dos avanços e mudanças sugeridas na década de 1990, no sentido de valorizar a resolução de problemas, ainda há necessidade de uma maior investigação sobre o impacto destas sugestões na prática de ensino efetiva nas escolas.

2 2 Nos Parâmetros Curriculares Nacionais (1998) há uma clara indicação de que a resolução de problemas deve ser o ponto de partida das atividades matemáticas em sala de aula mas, na prática, não se tem certeza que o professor compreende o que seja colocar a resolução de problemas como eixo central das suas aulas de matemática. Não se sabe o quanto o professor está preparado a auxiliar o aluno no questionamento de seus processos e soluções ao resolver um problema, e quanto evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não baseada na mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida e de construção de conhecimentos. A proposta de formação continuada aqui apresentada é baseada principalmente em dois referenciais: a Teoria Construtivista Piagetiana e a Teoria dos Campos Conceituais e será observada a repercussão que a discussão de princípios destas duas teorias podem ter sobre as propostas de resolução de problemas por parte dos professores ao ensinarem o conceito de numero inteiro relativo. Os estudos e as pesquisas sobre resolução de problemas sofreram influências de teorias construtivistas que têm considerável aceitação na Educação Matemática. Nesta perspectiva, o aluno deve ser engajado ativamente na construção de seu próprio conhecimento. Estas teorias defendem que estudantes não são recipientes vazios a serem preenchidos com informação, mas devem ser vistos como seres pensantes, capazes de utilizar conhecimentos anteriores e suas experiências do passado para interpretar fatos novos. O conhecimento da Teoria dos Campos Conceituais também pode ser um referencial útil para o professor que deseja conhecer mais profundamente os processos ocorridos em sua sala de aula, pois esta é uma teoria cognitivista, que tem por objetivo fornecer um quadro coerente e alguns princípios de base para o estudo do desenvolvimento e da aprendizagem das competências complexas, em especial, daquelas que se referem à ciência e a tecnologia (Vergnaud, 1990). Segundo Vergnaud (1994) os conceitos se desenvolvem inseridos em campos conceituais, nos quais há uma interação complexa entre um conjunto interligado de conceitos e um conjunto de situações de utilização desses conceitos. Vergnaud (1997) também propõe que todo conceito é descrito por três dimensões: situações que dão significado ao conceito, as propriedades invariantes do conceito e as representações simbólicas utilizadas para representar o conceito. Assim, há diversas situações que dão significado ao conceito de número relativo (tais como ganhos e perdas monetários e em contextos de jogos, temperaturas acima e abaixo de

3 3 zero, níveis de água acima e abaixo de um certo referencial e altitudes, dentre outros), há diferentes propriedades envolvidas (tais como a adição de dois negativos é sempre um negativo, a soma de um positivo e um negativo de mesmo valor absoluto é igual a zero etc.) e há diversas formas de se representar números relativos (oralmente referindo-se a valores acima e abaixo de zero ou por escrito com os sinais + e -, dentre outras formas). A teoria de desenvolvimento conceitual proposta por Vergnaud (1997) será aplicada no presente estudo à proposta de discussão sobre a resolução de problemas com inteiros relativos para observar o quanto o conhecimento da mesma pode auxiliar os professores em sua prática de ensino, em particular no ensino deste campo numérico. POR QUE RESOLVER PROBLEMAS COM NÚMEROS INTEIROS RELATIVOS? No presente estudo entende-se por problema qualquer situação em que é necessário descobrir relações, desenvolver atividades de exploração, hipótese e verificação, para produzir uma solução (Vergnaud, 1986, p.76). Um problema é uma situação para a qual não se tem uma solução imediata, mas para a qual dispõe-se de meios para a busca de soluções. Tomando-se esta definição de problema, a resolução de problemas envolve habilidades cognitivas mais amplas do que vêm sendo consideradas por muitos professores. Segundo a teoria construtivista piagetiana, a resolução de problemas é a origem do saber operatório. É a partir da resolução de problemas que concepções e conceitos são formados, confirmados ou refutados. A concepção de resolução de problemas baseada nesta perspectiva implica em se aceitar que não se aprende Matemática para resolver problemas mas se aprende Matemática resolvendo problemas. Diante dessa perspectiva, qualquer situação que vise favorecer o aprendizado deve constituir-se em situação problema para o aluno a que se destina, ou seja, a proposta de tarefa feita pelo professor deve ser tão interessante que crie, na classe, um clima de pesquisa, de busca de solução para os problemas que emergirem da proposta. Nessa perspectiva não existe aula de resolução de problemas e sim situações constantes e usuais de ensino nas quais problemas emergem ou nas quais propostas problematizadoras são apresentadas para elaboração de conhecimentos matemáticos e a

4 4 partir destas elaborações novos problemas surgem. O professor deve proporcionar aos seus alunos situações que objetivam ampliar a significação de conceitos, a partir do teste de hipóteses, de concepções e de competências possuídas. Segundo Borba (1993), a aprendizagem dos números inteiros relativos tem sua importância por se fazer presente em diversas situações práticas e por ser fundamental para o entendimento da álgebra e da representação gráfica de muitas funções e quantidades tais como velocidades, distâncias e tempo (p. 26). Assim, na aprendizagem matemática do ensino fundamental, tal conhecimento tem sua relevância por ser conteúdo básico a vários outros conhecimentos matemáticos. O QUE ESTUDOS ANTERIORES OBSERVARAM SOBRE A COMPREENSÃO DO CONCEITO DE NÚMERO RELATIVO? Historicamente a aceitação do número negativo levou muito tempo e Assis Neto (1995) observa que parece haver uma semelhança entre as dificuldades históricas e as de crianças em aceitar que há quantidades menores que zero. (...) uma das dificuldades que os alunos encontram no aprendizado do conceito de número negativo guarda um paralelo muito forte com uma dificuldade encontrada pelos matemáticos no desenvolvimento histórico do conceito. Trata-se da dificuldade de entender o negativo no quadro de uma concepção substancial de número. Por essa concepção, que predominou até certo período do século XIX, o número era entendido como uma coisa, como grandeza, como objeto datado de substância. É claro que dentro dessa concepção fica difícil entender o número negativo. Um número negativo é menor que zero, torna-se problemático. Isso porque se número é quantidade, a identificação do número zero como ausência de quantidade ou como expressão nada é natural. E como conceber algo menor que nada? (Assis Neto, 1995, p. 6). Se por um lado pode-se defender que há uma dificuldade intrínseca das crianças em aceitar que existem quantidades menores que zero, por outro lado há estudos que evidenciam que crianças, bem antes de serem introduzidas formalmente ao conceito de numero negativo, conseguem aceitar a existência de negativos e conseguem, em contextos de jogos, realizar operações que envolvem números positivos e negativos. Alguns estudos mostraram que crianças bem pequenas, algumas com quatro anos de idade, são capazes de entender o conceito de número relativo (Davidson, 1987; Davis, 1990).

5 5 Se bem antes de aprenderem sobre relativos, crianças já possuem compreensão sobre relativos, é preciso se estar atento para a possibilidade de dificuldades que surgem, quando posteriormente as crianças são introduzidas ao conceito de relativo na escola, estarem relacionadas à forma como este conceito é trabalhado em sala de aula. Embora alguns estudos evidenciem a compreensão de crianças bem pequenas do conceito de número relativo, outros estudos mostraram que estudantes até 15 anos de idade, ou mais, ainda têm dificuldade em resolver problemas aditivos com números relativos (Küchemann, 1981; Peled, 1991). O que estes estudos parecem evidenciar é que os resultados obtidos variam em função das formas de investigação realizadas. Diferentes significados, invariantes e representações simbólicas estão presentes nestas investigações efetuadas. Borba (2002), ao investigar a compreensão do conceito de número inteiro por parte de crianças de sete e oito anos de idade, observou que as dimensões que definem o conceito de inteiro relativo têm um forte efeito na compreensão demonstrada pelas crianças. Assim entender o significado de relativo enquanto medida é bem mais fácil que entender o significado de relativo enquanto relação. Isto porque entender relações requer um pensamento mais generalizado. Para se pensar numa relação não é necessário conhecer estados iniciais e finais, se se conhece estados intermediários. Sabendo-se quanto se ganhou ou perdeu num jogo, por exemplo, pode-se saber se no final se tem mais (relação positiva) ou menos (relação negativa) pontos que se tinha antes, mesmo sem saber quantos pontos se tinha no início ou no final de um jogo. Este tipo de raciocínio é mais elaborado e não facilmente demonstrado por muitos alunos. Evidenciou-se, também neste estudo, que a compreensão das propriedades invariantes ocorre em diferentes fases de desenvolvimento das estruturas aditivas. Um outro resultado observado por Borba foi o de que as representações simbólicas utilizadas na resolução dos problemas fortemente influenciam o desempenho das crianças. Ao resolverem os problemas por meio de representações implícitas dos números e das operações (por uso de representações orais) as crianças desempenhavam-se muito melhor que ao usar representações explicitas (como o uso da escrita ou de material manipulativo) pois estas ultimas exigem uma externalização das diferenças entre números positivos e negativos e entre sinais de números e operações aritméticas. Borba (1993) aponta, ainda, que a importância do conceito e as dificuldades relatadas por professores nesse campo conceitual têm levado diversos pesquisadores a investigarem modelos de ensino dos números relativos (Bell, 1985; Davidson, 1987;

6 6 Galbraith, 1974; Janvier, 1983; Kobayashi, 1988; Mukarami, 1988). Uma análise dessa literatura mostra-nos que há vários dos modelos de ensino sugeridos, mas o mais importante na escolha de atividades por parte do professor é o seu conhecimento de quais aspectos do conceito estarão sendo enfocadas. OS OBJETIVOS DO PRESENTE ESTUDO Os objetivos do presente estudo são: Observar as concepções de professores de ensino fundamental sobre resolução de problemas e o sobre o processo ensino-aprendizagem de números inteiros relativos antes e após a participação em processos de formação continuada. Comparar dois processos de formação de professores o Baseado no uso construtivo da resolução de problemas em sala de aula. o Baseado na compreensão de dimensões que definem o conceito de números inteiros relativos. Observar o efeito dos processos nas atividades propostas em sala de aula e no desempenho dos alunos dos professores que participaram da pesquisa. METODOLOGIA PARTICIPANTES Professores da 6ª série do Ensino Fundamental de uma escola da rede pública estadual de Pernambuco participarão deste processo de formação continuada. A escolha dessa série se dá pelo fato de que em geral nesta os números inteiros relativos são introduzidos formalmente. PROCEDIMENTO O processo de formação continuada proposto constará basicamente de três etapas, descritas a seguir. Levantamento das concepções iniciais dos professores de como se trabalhar a resolução de problemas em sala de aula e especificamente de quais variações de problemas sobre inteiros relativos devem ser propostas aos alunos de modo a mediar uma mais ampla aprendizagem deste conceito.

7 7 Discussões periódicas junto aos professores sobre os processos envolvidos na resolução de problemas, das dimensões que afetam o desenvolvimento conceitual e da importância da mediação do professor em sala de aula. Nesta etapa duas diferentes propostas de formação serão comparadas. O que diferenciará estas propostas serão a maior ou menor ênfase aos processos envolvidos na resolução de problemas e às dimensões do desenvolvimento conceitual. Acompanhamento de mudanças de concepção dos professores e do efeito destas na aprendizagem de seus alunos. As concepções iniciais serão levantadas por meio de questionários (respondidos por um grupo maior de professores) e entrevistas individuais (com alguns dos professores que responderam o questionário). A partir destes instrumentos será observado como os professores concebem a importância e o uso da resolução de problemas em suas salas de aula. Nestes instrumentos será avaliada a compreensão que os professores têm a respeito das possíveis variações de problemas de estruturas aditivas envolvendo números inteiros. Em particular, serão apresentados exemplos de problemas a serem trabalhados e será solicitado ao professor que o mesmo analise estes problemas para ver o quanto ele consegue distinguir que há problemas de mesmo contexto mas que variam em significados dados aos números inteiros ou em propriedades invariantes sendo trabalhadas ou ainda nas formas de representação simbólica que os alunos poderão utilizar para resolver os problemas. Nos encontros com os professores serão discutidos com os mesmos novas posturas frente à resolução de problemas. Num dos grupos a discussão será centrada na necessidade do professor em fazer uso dos problemas aditivos de forma construtiva e no outro grupo se enfatizará a necessidade do professor conhecer melhor o que caracteriza um problema sob o ponto de vista matemático e psico-cognitivo. No caso especifico do ensino dos números inteiros relativos será sugerido que se permita aos alunos a construção dos diversos significados que números relativos podem possuir, que as relações implícitas nas operações com inteiros relativos sejam compreendidas pelos alunos e não meras repetições de regras memorizadas e que se variem as formas de representação simbólicas utilizadas na resolução dos problemas de modo a possibilitar aos alunos uma analise das possibilidades e limitações dos diferentes sistemas de sinais.

8 8 O efeito dos encontros de discussão sobre a resolução de problemas será analisado a partir das atividades selecionadas pelos professores para o trabalho em sala de aula quando da introdução formal ao conceito de numero inteiro relativo e das operações dentro deste campo numérico. Será também observado o impacto das possíveis mudanças ocorridas com os professores no desempenho de seus alunos. ALGUMAS DAS HIPÓTESES A SEREM TESTADAS O trabalho com resolução de problemas em sala de aula pode ser mais bem aproveitado se o professor tem um maior conhecimento dos processos ocorridos ao se resolverem problemas e se o mesmo conhece as dimensões que afetam o desenvolvimento de conceitos. O conhecimento por parte do professor das dimensões de desenvolvimento conceitual poderá ter um maior impacto em mudanças na sala de aula do que uma discussão sobre a necessidade de uma nova postura frente à resolução de problemas. Ao se conhecer o que afeta o desenvolvimento dos conceitos o professor terá também como modificar a sua postura e a de seus alunos frente à resolução de problemas mas esta mudança terá um menor impacto se o professor não tiver também ampliado seu conhecimento de como se dá a aprendizagem de conceitos. Ao se apropriar destes conhecimentos o trabalho em sala de aula poderá ser modificado e as mudanças ocorridas repercutirão no desempenho dos alunos e nas suas posturas diante da resolução de problemas. PALAVRAS-CHAVE Resolução de problemas Formação de professores Número inteiro REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ASSIS NETO, F. Duas ou três coisas sobre o menos vezes menos dá mais. Semana de Estudos em Psicologia da Educação Matemática. Livro de Resumos, Recife: UFPE, 1995.

9 9 BELL, A. Understanding additive situations involving directionality relations between context, structure and language. Nottingham Shell Centre for Mathematical Education, BORBA, R. O ensino de números relativos: contextos, regras e representações. (Dissertação de Mestrado) - Universidade Federal de Pernambuco, Programa de Pósgraduação em Psicologia Cognitiva, Recife, BORBA, R. The effect of number meanings, conceptual invariants and symbolic representations on children s reasoning about dircted numbers p. Tese (Doutorado). Psychology Departament, Oxford Brookes University, Reino Unido. DAVIDSON, P. How should non-positive integers be introduced in elementary mathematics? J. Bergeron, N. Herscovics & C Kieran (Eds.). Proceedings of the 11 International Conference for the Psychology of Mathematics Education. Montreal, p DAVIS, R. Discovery learning and constructivism. Davis, R., Maher, C. e Noddings, N. (eds.) Constructivist views on the teaching and learning of mathematics. Monograph 4, Journal for Research in Mathematics Education, Reston, VA: NCTM, GALBRAITH, M. Negative numbers. International Journal of Mathematics, Science and Technology, n. 5, p , JANVIER, C. The Understanding of directed Numbers. J. Bergeron & N. Herscovic (Eds.). Proceedings of the 5 Annual Meeting of the North American Chapter of the International Group for the Psychology of Mathematics Educational. Montreal, p , KOBAYASHI, M. New ideas of teaching mathematics. Tokyo, Japan: Chuo University Press, KÜCHEMANN, D, Positive and negative numbers. K. Hart (ed.) Children s understanding of mathematics: London: John Murray, p , MUKARAMI, T. The game of red and black lets enjoy calculation with cards! The economy of profits and losses. Proceedings of the 6 th International Congress on Mathematics Education. Hungary, p.13, 1988.

10 10 PCN, Matemática 5ª a 8ª série. Parâmetros Curriculares Nacionais. Ministério de Educação e Desporto. Secretaria de Educação Fundamental, Brasília, PELED, I. Levels of knowledge about signed numbers: effects of age and ability. F. Furinghetti (ed.) Proceedings of the XV International Conference for the Psychology of Mathematics Education, Assisi, Italy, p , VERGNAUD, G. La théorie des champs conceptuels. Recherches en Didáctiques des Mathématiques, vol. 10, nº 23, p , VERGNAUD, G. Psicologia do desenvolvimento cognitivo e didática das matemáticas. Um exemplo: as estruturas aditivas. Análise Psicológica, 1, (V), p , VERGNAUD, G. L apprentissage et enseignement dês mathématiques, VERGNAUD, G. The nature of mathematical concepts. T. Nunes and P. Bryant (eds). Learning and teaching mathematics. An international perspective. East Sussex, UK: Psychology Press Ltd. Publishers, p. 5-28, 1997.