CRIPTOGRAFIA. Waldizar Borges de Araújo França 1 1. INTRODUÇÃO

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1 CRIPTOGRAFIA Waldizar Borges de Araújo França RESUMO A Criptografia é a ciência que oculta o significado de uma mensagem e tem como ferramenta os recursos matemáticos para cifrar e decifrar mensagens. O ato de cifrar consiste em transformar um texto normal em texto secreto, e o ato de decodificar é a operação inversa, consiste em transformar um texto cifrado em texto normal. Veremos os conceitos históricos da criptografia, suas definições e aplicações matemáticas. Palavra-chave: criptografia; matemática; cifra.. INTRODUÇÃO Este artigo mostra as diferentes formas em que a matemática é aplicada na criptografia para o desenvolvimento de códigos, cifras e técnicas para mascarar uma mensagem de modo que só pessoa autorizada possa ter acesso ao seu conteúdo. Desde os primórdios que o homem tem sentido a necessidade de guardar segredos. Sejam segredos familiares, segredos sentimentais, segredos pessoais, segredos religiosos, ou segredos militares e governamentais. Tão forte quanto a necessidade nata da espécie humana de guardar segredo sobre determinados assuntos é a vontade dos mesmos humanos de desvendar esses segredos. Seja por dinheiro, poder, vingança, curiosidade, arrogância, ou qualquer outro sentimento essa tem sido uma batalha que, ao longo dos anos vem sendo travada entre aqueles que querem guardar segredos e os que querem desvendar esses segredos. Com o avanço cada vez maior dos poderes das Redes de Computadores, o mundo tende a ficar menor, perder fronteiras, encurtar distâncias. Hoje, com um simples apertar de teclas, pode-se intercambiar informações através dos cinco continentes em questão de minutos ou até segundos. Este avanço faz com que a informação e o controle sobre ela sejam estratégicos para os governos e para as empresas. E, quanto maior o fluxo de informações em redes de telecomunicações, ou maior a quantidade de informação armazenada em meios computacionais, maior é a necessidade de empresas, governos e até de pessoas físicas de se protegerem contra uma nova ameaça que está crescendo proporcionalmente ao desenvolvimento da informática. Trata-se do furto de informação sigilosa e estratégica, armazenada em meios computacionais, ou da adulteração de transações através do poder das telecomunicações. Pensando na necessidade de se criar ferramentas capazes de proteger a informação e de prover segurança aos dados armazenados e transmitidos pelas organizações através do mundo, veio a motivação para se estudar Criptografia. Sendo que através desta disciplina podem-se criar aplicações que dêem maior segurança às informações digitais. Licenciando do Curso de Matemática da Universidade Católica de Brasília UCB DF.

2 Na palavra criptografia, Cripto" vem do grego "kryptos" e significa oculto, envolto, escondido. Também do grego, "graphos" significa escrever, "logos" significa estudo, ciência e "analysis" significa decomposição. É também uma ciência matemática que se dedica ao estudo de métodos de comunicação secreta. É composta pelas disciplinas de criptografia e criptoanálise. A criptografia estuda os métodos para cifrar ou codificar uma mensagem de modo que só o destinatário legítimo é capaz de interpretar o conteúdo da mensagem sendo ilegível para terceiros e intrusos. Os procedimentos inversos, chamados de decifragem, são os objetivos de estudo da criptoanálise. Decodificar é o procedimento que o usuário legítimo do código realiza quando recebe uma mensagem codificada e quer lê-la. Já decifrar é o procedimento feito para ler uma mensagem codificada sem ser um destinatário legítimo. O principal propósito da criptografia é permitir a transmissão de mensagem por canais não seguros empregando técnicas matemáticas para tornar o conteúdo da mensagem restrita ao destinatário legítimo. Esta ciência é tão antiga quanto a própria escrita, porém somente depois da Segunda Guerra Mundial, com a invenção do computador e o desenvolvimento da teoria da informação, a criptografia realmente floresceu. 2. HISTÓRIA Cerca de 900 a.c. acontece o primeiro relato da historia da criptografia. Numa vila egípcia perto do rio Nilo chamada Menet Khufu. Khnumhotep II era um arquiteto do faraó Amenemhet II. Ele construiu alguns monumentos para o faraó, os quais precisavam ser documentados. Nem é preciso dizer que estas informações, escritas em tabletes de argila, não eram para cair no domínio público. O escriba de Khnumhotep II teve a idéia de substituir algumas palavras ou trechos de texto destes tabletes. Caso o documento fosse roubado, o ladrão não encontraria o caminho que o levaria ao tesouro - morreria de fome, perdido nas catacumbas da pirâmide. Pode ser considerado o primeiro exemplo documentado da escrita cifrada. A história da criptografia aconteceu em três fases distintas, a criptografia manual, a criptografia por máquinas e a criptografia em rede. 2. A criptografia manual. A criptografia manual são os algoritmos considerados clássicos. Podemos chamar assim a todos os sistemas de criptografia anteriores à 2ª Guerra Mundial. Estas técnicas têm em comum o fato de poderem ser empregadas usando-se apenas lápis e papel, e poderem ser decifradas praticamente da mesma forma. Atualmente com a ajuda dos computadores, as mensagens criptografadas empregando-se estes algoritmos são facilmente decifradas, por isso caíram rapidamente em desuso. Podemos citar como exemplos: Exemplo : O código de César que apesar da criptologia 2 estar bastante avançada na época, em 50 a.c. usava um sistema de substituição. Suetônio, escritor romano que viveu no início 2 Disciplina científica que reúne e estuda os conhecimentos (matemáticos, computacionais, psicológicos, filológicos, etc.) e técnicas necessários à criptoanálise (solução de criptogramas) e à criptografia (escrita codificada).

3 da era cristã (69 d.c.), em Vida dos Césares, escreveu a biografia dos imperadores romanos de Júlio César a Domiciano. Conta que Júlio César usava na sua correspondência particular um código de substituição muito simples no qual cada letra da mensagem original era substituída pela letra que a seguia em três posições no alfabeto: a letra A era substituída por D, a B por E, e assim até a última letra Z, que é cifrada com a letra C (veja a tabela abaixo). Tabela : Código de César. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z A B C Hoje em dia, porém, se denomina de código de César qualquer cifra na qual cada letra da mensagem original seja substituída por outra deslocada um número fixo de posições, não necessariamente três. Um exemplo é o código que, ainda segundo Suetônio, era usado por Augusto, onde a letra A era substituída por B, a B por C e assim sucessivamente. Como o alfabeto romano possui 26 letras, são possíveis 26 códigos de César, dos quais um (o do deslocamento zero) não altera a mensagem original. Uma simples criptoanálise estatística, baseada na característica estatística da língua, é suficiente para decifrar o texto. Exemplo 2: O cifrário de Francis Bacon, que foi um filósofo, escritor e político inglês, por volta do século XVI, detalhou seu sistema de substituição usando um alfabeto de 24 letras onde IJ e UV. Para cada uma das letras do alfabeto é atribuído um grupo de 5 caracteres compostos pelas letras "a" e "b". Como são utilizadas apenas duas letras para a formação dos grupos, considera-se esta cifra como binária. Como os grupos são formados por 5 letras, considera-se a cifra como sendo de 5 bits e cada caractere possui duas possibilidades 5 poderíamos gerar 2 2 grupos e consequentemente representar 2 letras distintas. A formação dos grupos segue uma seqüência lógica de fácil de memorizar. Além disso, os "a" e "b" podem ser substituídos por 0 e. Analise a tabela abaixo: Tabela 2: Cifrário de Francis Bacon Letra Grupo Binário Letra Grupo Binário A aaaaa N abbaa 000 B aaaab 0000 O abbab 00 C aaaba 0000 P abbba 00 D aaabb 000 Q abbbb 0 E aabaa 0000 R baaaa 0000 G aabba 000 T baaba 000 H aabbb 00 U/V baabb 00 I/J abaaa 0000 W babaa 000 K abaab 000 X babab 00 L ababa 000 Y babba 00 M ababb 00 Z babbb 0

4 Exemplo : O Código Braille criado por Louis Braille ( ), educador francês, que ficou cego aos anos de idade. Interessou-se por um sistema de escrita, apresentado na escola Charles Barbier, no qual uma mensagem codificada em pontos era cunhada em papel-cartão. Aos 5 anos de idade trabalhou numa adaptação, escrita com um instrumento simples que é um sistema de símbolos onde cada caractere é formado por uma matriz de 6 pontos dos quais pelo um se destaca em relação aos outros. Temos então a possibilidade de representar 2 6 caracteres distintos. Tabela : Relação entre letra e símbolo do código Braille. a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u v w x y z Hoje em dia existem vários dispositivos para escrita em Braille, desde muito simples até sofisticados dispositivos eletrônicos. O mais simples é uma lousa com uma régua perfurada onde, com o auxílio de um estilete, é possível produzir os pontos em relevo. Existem também uma máquina de escrever especial, impressoras ligadas a computador que produzem os relevos desejados, dispositivos com voz artifical que "lêem" braille, teclados de computador especiais e "anotadores" eletrônicos associados a máquina de calcular, calendário, etc. 2.2 A criptografia por máquinas. Na criptografia por máquinas, uma tabela predeterminada era usada em conjunto com uma máquina, onde o operador desta, usando a tabela e manipulando a máquina podia enviar uma mensagem criptografada. Como exemplo de máquina de criptografia, podemos citar: Exemplo 4: O código Morse 4 : Samuel Morse (79-872) em 840 desenvolve o código que recebeu o seu nome. Originalmente, Morse imaginou numerar todas as palavras e em transmitir seus números através do telégrafo. O receptor, usando um enorme "dicionário", decifraria a mensagem onde as letras do alfabeto foram definidas pelo padrão "ponto e traço". Este novo código reconhecia quatro estados: voltagem-ligada longa (traço), voltagem-ligada curta (ponto), voltagem-desligada longa (espaço entre caracteres e palavras) e voltagem-desligada curta (espaço entre pontos e traços). Cada caractere (letras, números, sinais gráficos) possui seu próprio conjunto único de pontos e traços. Não tem finalidade de esconder mensagem, pelo contrário, mas é um bom exemplo de criptografia manual. 4 Idem. Só que aqui temos um bom exemplo de criptografia de máquina.

5 Tabela 4: Código Morse original: a l x b m y 2 c n z d o ch 4 e p w 5 f q ä 6 g r é / ë 7 h s ï 8 i t ñ 9 j u ö 0 k v ü Podemos traduzir os termos utilizados para os dias de hoje para significarem condições binárias de "" (ponto) e "0" (traço). O alfabeto Morse é um código baseado em 5 posições, ou seja, não precisa mais do que 5 posições para que todas as letras e números sejam padronizados. Na realidade, o aspecto mais importante quando se fala de Morse não é o código e sim a possibilidade de transmitir informações à distância. Através dos fios correm sinais elétricos que, devidamente concatenados, representam mensagens. Exemplo 5: O Código Enigma 5 : código gerado pela Máquina Enigma, usada pelos alemães na Segunda Guerra Mundial, que consistia de um teclado ligado a uma unidade codificadora. O codificador tinha três rotores separados e as posições dos rotores determinavam como cada letra no teclado seria codificada. O que tornava o código da Enigma tão difícil de quebrar era o enorme número de modos nos quais a máquina podia ser regulada. Em primeiro lugar, os três rotores na máquina eram escolhidos de uma seleção de cinco que podia ser mudada e trocada para confundir os adversários. Em segundo lugar, cada rotor podia ser posicionado em 26 modos diferentes. Isto significava que a máquina podia ser regulada em milhões de modos diferentes. E além das permutações permitidas pelos rotores, as conexões no quadro de chaveamento, na parte detrás da máquina, podiam ser mudadas manualmente para fornecer um total de 50 trilhões de regulagens possíveis. E para aumentar ainda mais a segurança, os três rotores mudavam de oritentação continuamente, de modo que, cada vez que a letra era transmitida, a regulagem da máquina, e portanto o código, iria mudar de uma letra para outras. Assim se alguém digitasse DODO no teclado iria gerar a mensagem FGTB, por exemplo o D e o O eram transmitidos duas vezes, mas codificados de modo diferente a cada vez. O grande salto em direção à decodificação do Código Enigma aconteceu quando se percebeu que a máquina Enigma não podia codificar uma letra nela mesma, isto é, se o 5 Código quebrado pela equipe chefiada pelo matemático inglês Alan Turing.

6 emissor, por exemplo, teclasse a letra B, então, independente do ajuste, a máquina poderia transmitir todo tipo de letra, exceto B. 2. A criptografia em rede. Os sistemas de criptografia clássicos perderam sua eficácia devido à facilidade com que atualmente são decodificados/criptanalizados empregando-se qualquer computador doméstico, mas que foram empregados com êxito até princípios do século XX. Hoje em em dia a criptografia que oferece maiôs segurança é a em rede. Na criptografia em rede, a mensagem é criptografada usando-se algoritmos, gerando diversos códigos que executam a criptografia. Podemos citar também que com o advento da internet e sua popularização a criptografia em rede tem sido responsável pelo surgimento do comércio eletrônico, visto que esta é essencial para que uma empresa virtual possa ter a confiança de seus clientes na hora de comprar. Podemos citar como exemplos: Exemplo 6: Algoritmo DES 6 que utiliza a Criptografia simétrica que é conhecida como Criptografia Convencional. O poder da cifra é medido pelo tamanho da chave (Num sistema de encriptação, corresponde a um nome, uma palavra, uma frase, etc, que permite, mediante o algoritmo de encriptação, cifrar ou decifrar uma mensagem.), geralmente as chaves de 40 bits são consideradas fracas e as de 28 bits ou mais, as mais fortes. Os algoritmos simétricos podem ser divididos em cifras de fluxo ou seqüenciais e em cifras de bloco. As cifras de fluxo encriptam um texto claro bit a bit, ao passo que as cifras de bloco usam conjuntos com um número fixo de bits (geralmente 64 bits nas cifras modernas) como unidades de cifragem. Esta cifra utiliza uma única chave secreta, logo antes de duas entidades estabelecerem um canal seguro, é preciso que ambos, tanto o emissor quanto ao receptor, compartilhem suas chaves respectivas. Apesar de sua simplicidade, existem alguns problemas nesta cifra, pois cada par necessita de uma chave secreta para se comunicar de forma segura. Portanto, estas devem ser trocadas entre as partes e armazenadas de forma segura, o que nem sempre é possível de se garantir. A criptografia simétrica não garante a identidade de quem enviou ou recebeu a mensagem. A quantidade de usuários em uma rede pode dificultar o gerenciamento das chaves. Exemplo 7: No algoritmo RSA 7 as cifras já são chamadas de cifras assimétricas ou de algoritmos de chave pública, permitem que a chave seja de domínio público - pode até ser publicada em jornais ou revistas. Qualquer pessoa pode, então, cifrar mensagens utilizando a chave, mas apenas o destinatário e real proprietário da chave será capaz de decifrar o texto porque é o único que conhece a chave decifrante. A chave cifrante também é chamada 6 Data Encryption Standart (DES): algoritmo de criptografia desenvolvido na década de 70 pelo National Bureau of Standarts com ajuda da National Security Agency (USA). 7 O Código leva as iniciais dos sobrenomes de seus criadores: Ronald L. Rivest, Adi Shamir e Leonard M. Adleman.

7 de chave pública e a chave decifrante de chave privada ou chave secreta. Para contornar os problemas da criptografia convencional surgiram os algoritmos que utilizam chave pública e privada. A idéia é que a criptografia de uma mensagem seja feita utilizando a chave pública e sua decriptografia com a chave privada, ou vice-versa. Os algoritmos de chave pública e privada exploram propriedades específicas dos números primos e, principalmente, a dificuldade de fatorá-los, mesmo em computadores rápidos. DESENVOLVIMENTO Algumas aplicações matemáticas são freqüentemente abordadas quando tratamos de assuntos como a criptografia. A seguir serão abordados tópicos matemáticos, que são vistos a título de ensino médio, relacionado à criptografia.. Análise combinatória. Uma das grandes aplicações da análise combinatória na criptologia, e talvez a primeira que nos ocorre, é o número de alfabetos cifrantes possíveis. Se considerarmos o alfabeto ocidental da atualidade, com 26 letras, quantos alfabetos cifrantes podem ser obtidos? Sabemos que um alfabeto cifrante não pode ter letras repetidas e precisa conter todas as letras do alfabeto original. Se apenas as posições das letras são alteradas, sabemos que se trata de uma permutação simples. Então vamos ao cálculo das possibilidades: P 26 26! P P Ou seja, o número de alfabetos cifrantes possíveis é maior que espantosos 400 septilhões! Se alguém quiser encontrar um determinado alfabeto cifrante através da "força bruta", ou seja, tentando cada uma das possibilidades, e gastar apenas minuto para cada possibilidade, precisaria de pelo menos... a eternidade para encontrar o alfabeto cifrante correto min horas horas dias dias meses meses anos Se considerarmos que a solução seja encontrada a "meio do caminho", ainda restam cerca de 90 quatrilhões ( ) de milênios!.2 Aritmética modular Quando 5+5 são 6? Se analisarmos esta soma sem questionar, falaremos sem medo que nunca. Agora, se pensarmos em horas, esta conta está correta, pois 5 horas mais 5 horas,

8 a partir de 0 hora, são 6 horas. Qualquer fenômeno cíclico como este, vai se tornar uma aritmética distinta da que conhecemos no segundo grau. Esta aritmética é conhecida como aritmética modular. Voltemos novamente ao exemplo do relógio. Como contamos o tempo de 2 em 2 horas, o conjunto de cifras para expressar as horas são 2 (vão de 0 a ). Se o conjunto de cifras disponíveis no mostrador é limitado, sabemos imediatamente que estamos lidando com a aritmética modular e que o relógio trabalha com módulo 2. Ver as horas no mostrador é um procedimento imediato: mostrador no indica que são horas; mostrador no 8 indica que são 8 horas. Mas quando o mostrador chega nas horas, a próxima hora será 0. Que conta é esta? Somamos +. Agora apliquemos o módulo 2: + 2 e 2 2 com resto 0. Da mesma forma, e 6 2 com resto 4. Ou seja, sempre que o resultado da soma ultrapassar o maior valor do conjunto (maior que ), aplicamos o módulo 2. Por exemplo, não precisa de ajuste. Sabemos também que uma divisão nada mais é do que uma sucessão de subtrações. Veja o exemplo: 6 2 com resto 0 ou , e Fizemos três subtrações até obtermos um número menor do que 2, ou seja, o resto. Parece bobagem, mas é muito importante e, principalmente, muito prático. Nos exemplos acima sempre somamos horas. Se, por exemplo, quisermos subtrair 5 de horas, teríamos o seguinte cálculo: Novamente caímos fora do conjunto de 0 a, portanto, precisamos aplicar um ajuste: com resto 0. Agora considere subtrair 7 de horas, ou seja, e com resto -2, o que nos deixa novamente fora do conjunto de 0 a. É neste ponto que é importante entender o complemento de 2 (porque estamos trabalhando com módulo 2). Observe a tabela 5: Tabela 5: Módulo 2. Conjunto das Cifras Complemento Módulo Analisando a tabela dos complementos verificamos que o complemento de 0 é 2, de é e assim sucessivamente. Ao mesmo tempo podemos notar que, subtraindo o complemento do módulo 2, obtemos a cifra do conjunto correspondente, ou seja: 2-2 0, 2 -, etc, ou seja, o processo é reversível. Se quisermos encontrar a cifra correspondente a -2 no módulo 2, basta calcular Considerando que o número de caracteres disponíveis para se escrever (e cifrar) uma mensagem seja finito, já entramos no ramo da aritmética modular. O alfabeto latino completo possui 26 letras, portanto, vamos trabalhar com módulo 26. Numerando as letras de 0 a 25, qualquer cálculo que se queira efetuar segue as mesmas regras explicadas para o relógio. Imagine que você queira "subtrair" F de J: J corresponde a 9 e F a 5, então J - F que corresponde a E. Da mesma forma, T + 0 será e com resto, que corresponde ao D. Ou então T e , que corresponde ao F. C - 0 será e a letra correspondente será (pelo complemento) que é o S.

9 . Estatística A estatística também está relacionada com a criptografia nas cifras por substituição uma simples análise estatística, baseada na característica da língua, é suficiente para decifrar o texto. Na freqüência da ocorrência de letras no português do Brasil, temos algumas tabelas ilustradas a seguir: Histograma por Ordem de Freqüência. Histograma por Ordem alfabética. Figura : histograma da freqüência da ocorrência de letras no português do Brasil. Tabela 6: freqüências das letras em percentuais. Letra Freq.% Letra Freq.% A 4.6 N 5.05 B.04 O 0.7 C.88 P 2.52 D 4.99 Q.20 E 2.57 R 6.5 F.02 S 7.8 G.0 T 4.4 H.28 U 4.6 I 6.8 V.67 J 0.40 W 0.0 K 0.02 X 0.2 L 2.78 Y 0.0 M 4.74 Z 0.47 Tem-se como característica do português do Brasil o comprimento médio das palavras que é de 4.5 letras e quando as letras são ordenadas pela freqüência, formam grupos bem definidos:

10 Tabela 7: freqüência das letras divididas por grupos. Letras Freq. 6 vogais: A, E, I, O, U, (Y) % 20 consoantes 5 de frequência alta: S, R, N, D, M 49.2 % 0 de frequência média: T, C, L, P, V, G, H, Q, B, F 2.0 % 6 de frequência baixa: Z, J, X, K, W.0 % % As vogais A, E, I, O, U e as consoantes S, R, N, D, M formam mais de /4 dos textos em Português e a média de vogais a cada 0 letras é de Matrizes Uma desvantagem de cifras de substituição é que elas preservam as freqüências de letras individuais, tornando relativamente fácil quebrar o código por métodos estatísticos. Uma maneira de superar este problema é dividir o texto em grupos de letras e criptografar o texto comum por grupo, em vez de uma letra de cada vez. Um sistema poligráfico é um sistema de criptografia no qual o texto comum é dividido em conjuntos de n letras, cada um dos quais é substituído por um conjunto de n letras cifradas. As cifras de Hill, que foi inventada em 929 por Lester S.Hill, são baseadas em transformações matriciais. Inicialmente vamos supor que cada letra de texto comum e de texto cifrado, excetuando o Z, tem um valor numérico que especifica sua posição no alfabeto padrão. A Z será atribuído o valor zero, pois estaremos interessados em trabalhar com aritmética módulo 26. Tabela 8: Relação de letras com números. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Para transformarmos um texto em texto cifrado seguiremos os seguintes procedimentos: Passo. Escolha uma matriz 2x2. A a a 2 a a 2 22 Com entradas inteiras para efetuar a codificação. Passo 2. Agrupe letras sucessivas de texto comum em pares, adicionando uma letra fictícia para completar o último par se o texto comum tem um número ímpar de letras; substitua cada letra de texto de texto comum por seu valor numérico

11 Passo. Converta cada par sucessivo p p2 de letras de texto comum em um vetor-coluna p p p2 E forme o produto A.p.Nós chamamos p de vetor comum e A.p o correspondente vetor cifrado. Passo 4. Converta cada vetor cifrado em seu equivalente alfabético. Exemplo 8: Cifra de Hill de uma mensagem. Use a matriz: 0 2 Para obter a cifra de Hill da mensagem de texto comum WALDIZAR. Agrupa-se o texto comum em pares de letras, temos: WA LD IZ AR Ou, equivalentemente, usando a tabela 8: Para codificar o par WA efetua-se o produto matricial: Que fornece o texto cifrado DC, usando a tabela 8. Para codificar o par LD efetua-se o produto matricial: Que fornece o texto cifrado IL, usando a tabela Para codificar o par IZ efetua-se o produto matricial: Que fornece o texto cifrado IZ, usando a tabela E finalmente para codificar o par AR efetua-se o produto matricial: ()

12 Aqui temos um problema, pois os números 7 e 54 não possuem equivalências alfabéticas com a tabela 8. para resolver este problema utilizaremos o resto da divisão euclidiana destes números por 26 e como o resto da divisão é um dos números 0,, 2,..., 25, este procedimento sempre fornece um inteiro com equivalente alfabético. Assim em (), deve se substituir 7 por e 54 por 2, que equivale na tabela 8 com KB. Coletando os pares obtêm-se a mensagem cifrada completa: DC IL IZ ZB Seria transmitida como uma única cadeia sem espaços: DCILIZZB Como o texto foi agrupado em pares e criptografado por uma matriz 2x2, dizemos que a cifra de Hill é uma matriz 2-cifra de Hill. É possível criptografar com uma matriz x com entradas inteiras. Em geral, para n-cifra de Hill agrupamos o texto comum em conjuntos de n letras e codificamos com uma matriz codificadora nxn de entradas inteiras. Para decifrar as cifras de Hill, usamos a inversa (mod 26) da matriz codificadora. Neste tipo de criptografia é importante saber quais matrizes são invertíveis módulo 26. Em geral, uma matriz quadrada A é invertível se, e somente se, det(a) 0 (pois nos números reais basta o número ser diferente de zero para ter inverso multiplicativo). Na aritmética módulo 26, o det(a) deverá ter inverso módulo 26, pois na fórmula da inversa de A, aparece o inverso do determinante. Agora, um número n terá inverso módulo 26 se e somente se mdc (n, 26), ou seja, n e 26 são co-primos (não têm fatores em comum). Assim, só existirá inversa módulo 26 se o det(a) não for divisível por 2 ou. Veja tabela 9 abaixo. a b Sendo assim, dada uma matriz A, podemos obter a inversa de A (mod 26) com c d det(a)ad - bc não divisível por 2 ou, pela expressão: Onde ( bc) A d c b a ( ad bc) ( mod26) ad é o inverso multiplicativo de det(a). Para referencia futura, abaixo temos a seguinte tabela com os inversos multiplicativos módulo 26 que, por exemplo, para encontramos o inverso multiplicativo do número teremos que encontrar o número x que satisfaz a equação módular x (mod 26), que obteríamos como resposta o número 9. Tabela 9: inversos multiplicativos módulo 26 a a

13 Exemplo 9: Decifrando uma cifra de Hill. 5 6 Temos a mensagem EOAF que foi codificada pela matriz A, primeiramente 2 obteremos a inversa de A (mod 26). Det(A) e pela tabela 9 o inverso multiplicativo de é igual a 9. Sendo assim: A 9 (mod 26) Pela tabela 8, o equivalente numérico do texto cifrado é: Para obter os pares de texto comum, nós multiplicamos cada vetor pela inversa de A (mod 26) ( mod26) Obtemos a seqüência numérica 5 8, que pela tabela 8, os equivalentes alfabéticos destes números fornecem a palavra AMOR..5 Funções O principio básico da criptografia é encontrar uma transformação (função) bijetiva f entre um conjunto de mensagens escritas em um determinado alfabeto (letras, números) para um conjunto de mensagens codificadas. Como f é inversível existe a garantia de o processo ser reversível, o que vai possibilitar a revelação das mensagens pelos destinatários. O grande segredo da criptografia está justamente em esconder de maneira eficiente o processo (chave) para a inversão de f. Abaixo temos um diagrama que ajuda a entender a idéia do processo criptográfico: Aqui podemos dar um exemplo didático: para começar criamos uma tabela que relaciona números com letras do nosso alfabeto: Tabela 0: Relação de letras com números. A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Agora, escolhemos uma função f(x) que vai receber o valor da letra que queremos transmitir e gerar um outro valor através de f(x). Ou seja, a imagem de f é que será transmitida. Vamos supor que f seja a função f(x) x + 5, que é também chamada de função cifradora. O emissor vai transmitir a palavra MONOGRAFIA. Então, conforme as tabelas acima têm a seguinte correspondência:

14 M > f (M) f () 44 O 5 > f (O) f (5) 50 N 4 > f (N) f (4) 47 O 5 > f (O) f (5) 50 G 7 > f (G) f (7) 26 R 8 > f (R) f (8) 59 A > f (A) f () 8 F 6 > f (F) f (6) 2 I 9 > f (I) f (9) 2 A > f (A) f () 8 A palavra M O N O G R A F I A ao passar pela função cifradora será transformada na seqüência de números , que é a mensagem que o receptor receberá. O receptor ao receber a mensagem codificada (seqüência numérica), realizará a ( 5) operação inversa ( ) x (8 5) f x. Por exemplo, o receptor recebeu 8, f (8) f () f (A), logo 8 (destino) A (origem), e assim sucessivamente até recompor totalmente a mensagem original. 4, COSIDERACOES FINAIS Os resultados obtidos nesse artigo revelam a importância da criptografia, e que ela não poderia ser tão bem desenvolvida sem a presença da matemática, pois nota-se maior confiabilidade em ocultar uma mensagem quando usamos essa ciência. Os ramos da matemática que são aplicados à criptografia são diversos é notamos quanto maior o grau de dificuldade que os aplicamos melhor ocultará a mensagem. Durante este artigo tive um grande crescimento como professor e educador, pois no ensino fundamental e médio diariamente somos questionados sobre a aplicação de diversos ramos da matemática, podendo então agora usar os conhecimentos obtidos com as aplicações da matemática na criptografia em sala de aula. 5. REFERÊNCIA BIBLIOGRAFICAS ANTON, RORRES; Álgebra linear com aplicações. 8ª ed. Porto alegre: Bookman, 200. COUTINHO, Severino; Números inteiros e criptografia RSA. 2. ed. Rio de Janeiro: IMPA, 200. DOMINGUES, Hygino H.; IEZZI, Gelson. Álgebra moderna. 2. ed. São Paulo: Atual, 992. ROUTO, Terada. Segurança de dados - criptografia em redes de computador. Ed. E. Blücher, SINGH, Simon. O último teorema de Fermat: a história do enigma que confundiu as maiores mentes do mundo durante 58 anos. Rio de Janeiro: Record, 998. TKOTZ, Viktoria, Historia da criptografia. Disponível em <