1.1 Mecânica de partículas

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1 Capítulo 1 Física Pré-Einsteiniana Revisão Este capítulo apresenta uma revisão de alguns aspectos da física pre-einsteiniana, relevantes para o desenvolvimento da relatividade de Einstein A primeira seção resume os pontos essenciais da mecânica de partículas, 1 desenvolvida principalmente por Galileu e Newton A segunda seção traz uma discussão de alguns aspectos da ótica, com enfoque especial na propagação da luz nos meios materiais em movimento e na observação do assim chamado vento de éter A terceira seção lida, no mesmo espírito, com fenômenos eletromagnéticos e a sua unificação com fenômenos óticos na teoria de Maxwell 11 Mecânica de partículas 111 Relatividade galileana - Lei da inércia Galileu notou que a observação de fenômenos mecânicos ocorrendo dentro de um navio em movimento uniforme não permite perceber o movimento do navio: tudo acontece como num laboratório terrestre Generalizada, esta constatação leva à afirmação da relatividade Galileana: as leis da mecânica são as mesmas em todos os referenciais inerciais, ou seja, em todos os sistemas de referência que estão em movimento retilíneo uniforme Galileu também observou que, na ausência de influência externa, um corpo mantém o seu estado de movimento, ou seja, a sua velocidade Estabeleceu assim a lei da inércia Influências externas forças produzem modificações de velocidade acelerações 112 Leis de Newton A dinâmica clássica de partículas desenvolvida por Newton é usualmente apresentada na sua essência na forma de três leis A primeira lei de Newton reafirma a lei da inércia Ela serve para definir a classe de referenciais nos quais as demais leis são válidas: são os referenciais inerciais mencionados acima, para os quais pode-se adotar a seguinte definição: um referencial inercial é um referencial no qual todas as partículas livres estão em movimento retilíneo uniforme (ou em repouso) A segunda lei de Newton, f = m a, (11) afirma que a influência a força exercida por outras partículas sobre uma partícula dada resulta numa aceleração que é inversamente proporcional à massa da partícula, quantidade esta que caracteriza portanto a inércia, ou resistência à aceleração, da partícula A massa de uma partícula é uma quantidade conservada (independente do tempo) e invariante (independente do referencial) É também uma grandeza simplesmente aditiva: a massa total de um sistema composto é igual à soma das massas dos constituintes 1 A palavra partícula no presente contexto refere-se a um ponto geomêtrico dotado de massa, possivelmente o centro de massa de um corpo extenso 1

2 2 CAPÍTULO 1 FÍSICA PRÉ-EINSTEINIANA REVISÃO A terceira lei de Newton afirma que se, num dado instante, uma partícula A aplica sobre outra partícula B uma força f BA, então a partícula B por sua vez aplica sobre a partícula A, no mesmo instante, uma força f AB de mesmo módulo e direção, mas de sentido oposto, Diz-se que tais forças constituem um par ação-reação 113 Quantidades conservadas f AB = f BA (12) O trabalho realizado por uma força f no movimento de uma partícula da posição r I até a posição r F, seguindo o caminho C, é definido como W = rf r I [ f d r ] C (13) Se f for a força resultante atuando sobre a partícula, segue desta definição e da equação fundamental de movimento (11) que W = K F K I, (14) onde K = mu2, (15) 2 sendo u a velocidade A quantidade K é a energia cinética, e o resultado (14) é conhecido como teorema trabalho-energia As forças conservativas são aquelas para as quais o trabalho é independente do caminho seguido, dependendo então apenas dos pontos iniciais e finais escolhidos Neste caso, pode-se associar à força uma energia potencial, definida como r U( r) = f d r, (16) r 0 onde r 0 é um ponto de referência escolhido arbitrariamente Quando somente forças conservativas realizam trabalho, o resultado (14) pode ser re-escrito na forma da lei de conservação da energia mecânica: K + U E conservada (17) Em especial, para um sistema isolado 2 no qual as forças internas são conservativas, 3 há conservação da energia mecânica total 4 Ē = K i + U ij, (18) i<j i onde K i é a energia cinética da partícula i e U ij a energia potencial associada à força interna entre as partículas i e j Na ausência de forças externas, outras quantidades conservadas podem ser identificadas utilizando-se a terceira lei de Newton Sem necessidade de outra condição, esta lei leva à conservação do momentum linear total, dado por p = m i u i, (19) i onde m i é a massa da partícula i e u i a sua velocidade Caso as forças internas, além de satisfazer a condição (12), forem forças de contato ou forças centrais, 5 a terceira lei também implica na conservação do momentum angular total de um sistema isolado, dado por l = r i m i u i, (110) i 2 Por sistema isolado, entende-se um sistema sobre o qual não atua nenhuma força externa 3 Forças de contato permanente ou coesão, que não contribuem para o trabalho resultante, podem também estar presentes 4 Neste texto, uma barra acima de um símbolo representando uma quantidade física associada a um sistema indica uma soma sobre os componentes do sistema 5 Por força central, entende-se uma força que atua na direção do vetor posição relativa das duas partículas envolvidas

3 11 MECÂNICA DE PARTÍCULAS 3 onde r i é o vetor posição da partícula i Por ser insuficiente para garantir a conservação do momentum angular total, a condição (12) é algumas vezes chamada terceira lei fraca Acompanhada das condições adicionais necessárias para garantir essa conservação, ela se torna então a terceira lei forte Vale frisar que, na perspectiva moderna da dinâmica de partículas e campos, as leis de conservação estão associadas às transformações de simetria A conservação da energia está associada à invariância frente às translações no tempo A conservação do momentum linear está associada à invariância frente às translações no espaço e a conservação do momentum angular está associada à invariância frente às rotações no espaço Assim, estas leis de conservação são conseqüências das propriedades fundamentais de homogeneidade do tempo e de homgeneidade e isotropia do espaço Qualquer teoria fundamental que incorpore estas propriedades deve portanto levar à conservação das quantidades em questão Caso uma delas não seja conservada por um dado modelo mecânico, esta não-conservação será então atribuida à sua transferência para graus de liberdade não contemplados pelo modelo Por exemplo, uma força nãoconservativa indicará a possibilidade de transformação de parte da energia mecânica em outras formas de energia (calor, energia elétrica, etc) ou vice-versa Semelhantemente, uma força que não satisfaça a terceira fraca e/ou a terceira lei forte poderá estar presente num modelo mecânico caso houver no sistema físico modelado transferência de momentum angular e/ou linear mecânicos em outras formas, por exemplo momenta carregados por campos 114 Tempo e espaço O desenvolvimento da cinemática e mais ainda da dinâmica implica na especificação dos conceitos de tempo e espaço Para Newton, o tempo era uniforme, universal, absoluto e pelo menos conceitualmente independente da ocorrência de qualquer fenômeno Por universal, entende-se que o mesmo tempo rege a evolução de todos os processos físicos, sejam eles de natureza mecânica, ótica, elétrica, ou outra Por absoluto, entende-se que o mesmo tempo especifica a evolução, independentemente do referencial utilizado De acordo com a teoria clássica, o espaço no qual se desenrolam os processos físicos satisfaz os axiomas da Geometria Euclidiana A transformação de Galileu relaciona as coordenadas de uma partícula, medidas em dois referenciais inerciais Sejam S e S os dois referenciais, cujos eixos supomos paralelos Supomos também 6 que as origens dos dois referenciais coincidem em t = 0 Seja v a velocidade da origem O de S em relação à origem O de S e r, r os vetores posição da partícula P em S e S, respectivamente Temos então r = r v t (111) Já que o tempo é absoluto (t = t), a derivada temporal desta transformação leva imediatamente à combinação vetorial das velocidades, 7 u = u v (112) Como os dois referenciais inerciais estão em movimento relativo uniforme, a derivada temporal de (112) fornece simplesmente a = a, (113) ou seja, a aceleração é invariante numa mudança de referencial inercial A invariância Galileana está então garantida pela invariância da força Embora experimentos de mecânica permitam observar apenas movimentos relativos de translação, o mesmo não é verdade para movimentos de rotação Como ilustração, consideramos um balde de água colocado sobre uma mesa giratória de oleiro Inicialmente a mesa, o balde e a água estão em repouso na olaria Não há movimento da água em relação ao balde e a superfície da água é horizontal O oleiro comunica à mesa um movimento rápido de rotação Em razão da sua viscosidade, a água entra em movimento também e após algum tempo balde e água giram com a mesma velocidade angular Neste 6 A transformação mais geral pode ser facilmente obtida combinando a transformação com rotações e translações 7 Denotamos por u = d r a velocidade de uma partícula num referencial dado, reservando a letra v para a velocidade dt relativa de dois referenciais

4 4 CAPÍTULO 1 FÍSICA PRÉ-EINSTEINIANA REVISÃO O vt O r r P Figura 11: Ilustração da transformação de Galileu momento, como na situação inicial, não há movimento relativo interno no sistema constituido pela água e o balde Porém, a superfície da água não é mais horizontal e esta observação permite distinguir internamente as duas situações Para Newton, este exemplo demonstra a necessidade da existência de um espaço absoluto Movimentos de rotação, assim como outros movimentos acelerados em relação a este espaço, são distinguíveis do repouso pelos efeitos inerciais que eles induzem, tal como a deformação da superfície da água no exemplo do balde (a) (b) Figura 12: O balde de Newton (c) Ernst Mach argumentou que os efeitos inerciais poderiam ser atribuidos ao movimento do sistema considerado em relação ao resto do universo, assim dispensando o conceito de espaço absoluto e afirmando o caráter relativo de todos os movimentos 12 Ótica A primeira ótica razoavelmente completa foi desenvolvida por Descartes, que imaginava a propagação da luz como a transmissão de uma pressão entre partículas vizinhas preenchendo o espaço Já para Hooke, a luz era uma vibração se propagando num éter homogêneo Outros pesquisadores, entre os quais Newton, preferiam interpretar a luz em termos de corpúsculos propagando-se em alta velocidade a partir da fonte A visão ondulatória foi geralmente considerada correta a partir das experiências de Young, no começo do século XIX Estudos dos fenômenos de polarização permitiram estabelecer o caráter transversal das ondas luminosas, embora era difícil explicar a ausência de vibrações longitudinais do éter Discutimos a seguir algumas observações e experiências de ótica e as suas interpretações pre-einsteinianas 121 Velocidade da luz As primeiras determinações da velocidade da luz foram baseadas em observações astronômicas Römer, em 1676, utilizou as eclipses dos satelites de Júpiter Quando a Terra está se afastando de Júpiter, o tempo que a luz leva para chegar do satelite até nós aumenta Portanto, o intervalo aparente entre duas

5 12 ÓTICA 5 eclipses sucessivas também aumenta O efeito oposto ocorre quando a Terra está se aproximando de Júpiter O período do movimento orbital de Júpiter em torno do Sol é de mais de 11 anos Portanto, para uma primeira estimativa, podemos desprezar o deslocamento de Júpiter na sua órbita durante uma revolução da Terra em torno do Sol Seja T o período de movimento do satelite em torno de Júpiter Utilizamos um índice n para contar as eclipses observadas durante um ano, começando a contagem (n = 0) quando a distância entre Júpiter e a Terra é mínima Sejam L n e L n+1 as distâncias entre Júpiter e a Terra nos instantes t n e t n+1 de observação de duas eclipses sucessivas [veja a figura (13)] Temos t n+1 t n = T + L n+1 L n c, (114) onde c é a velocidade de propagação da luz Seja N + o número de eclipses observadas até que a Terra alcance a posição de maior afastamento em relação a Júpiter, e t + o instante de observação da eclipse número N + (próximo a meio ano) Então, t + = N + 1 n=0 (t n+1 t n ) = N + T + L N + L 0 c = N + T + D c, (115) onde D é o diâmetro da órbita da Terra Obviamente, para o meio ano durante o qual a Terra aproxima-se de Júpiter, obtemos analogamente t = N T D c (116) Como t + + t = 1 ano e N + + N N é o número de eclipses por ano terrestre, podemos deduzir das observações o período T = 1 ano/n Da medida de t +, podemos então obter o retarde t + N + T acumulado no meio ano de afastamento da Terra em relação a Júpiter O valor obtido é cerca de 17 minutos ou 10 3 segundos Como o diâmetro da órbita da Terra é aproximadamente km, obtemos de (115) c = km 10 3 s = m/s (117) Obviamente, um valor mais preciso pode ser obtido com um tratamento mais elaborado L Sol n L n+1 Terra Jupiter e seu satelite Figura 13: Determinaão da velocidade da luz pela observação das eclipses de um satelite de Júpiter A figura mostra a posição da Terra nos começos de duas eclipses sucessivas (entrada do satelite na sombra de Júpiter) A construção ilustra as equações (114) e (115)

6 6 CAPÍTULO 1 FÍSICA PRÉ-EINSTEINIANA REVISÃO 122 Aberração estelar Observações e interpretação Em 1728, Bradley notou que a posição aparente de uma estrela, observada diaramente no mesmo horário, descreve no decorrer do ano uma pequena elipse no ceu Este efeito está presente mesmo para estrelas muito distantes e não deve ser confundido com a paralaxe, que permite determinar as distâncias em que encontram-se as estrelas mais próximas Para uma estrela cuja posição real no ceu está na direção perpendicular ao plano da órbita terrestre, o movimento aparente é circular Dito de outra maneira, para observar tal estrela, sempre na mesma hora do dia, devemos girar o nosso telescópio de maneira que o seu eixo varra no ano a superfície de um cone Bradley mostrou que o meio-ângulo δ de abertura deste cone é independente da estrela particular observada e vale 20, 5 A aberração possui uma explicação elementar na teoria corpuscular da luz, como consequência da lei de combinação das velocidades Essencialmente a mesma explicação é válida na aproximação geométrica da teoria ondulatória Sejam v LS a velocidade da luz em relação à estrela emissora, v T S a velocidade da Terra em relação à estrela, e v LT a velocidade da luz em relação à Terra Então, v LT = v LS v T S (118) Se denotarmos por θ o ângulo de observação, medido em relação à eclíptica, e por δ o ângulo de aberração [veja a Fig 14], a lei dos senos fornece sin δ = v T S v LS sin θ (119) δ v LT v LS θ v T S ϕ Figura 14: Análise da aberração pela combinação das velocidades Se supormos a estrela fixa (em relação ao Sol), podemos identificar v T S com a velocidade da Terra no seu movimento em torno do Sol, ou seja v T S 30 km/s Para observar durante um ano uma estrela cuja posição angular verdadeira é perpendicular à orbita terrestre [ϕ = 90 o e portanto sin θ = cos δ], precisaremos girar o nosso telescópio de maneira que ele descreva um cone de meia-abertura dada por tan δ = v T S v LS (120) Com o valor de δ mencionado acima, obtem-se v LS = 3, m/s, compatível com a velocidade da luz medida por Römer A mesma análise pode ser feita numa visão ondulatória, bastando substituir v LS pela velocidade de propagação da luz no éter v LE c, e supor que o Sol está em repouso no éter Então, v T S pode também ser substituida por v T E, a velocidade da Terra em relação ao éter, e o resultado (120) é substituido por tan δ = v T E c (121)

7 12 ÓTICA 7 É fácil convencer-se de que a velocidade de propagação da luz relevante para a explicação da aberração é na verdade a velocidade da luz no telescópio O argumento está ilustrado na Fig 15, que se refere ao caso ϕ = 90 o δ L v h T E x Figura 15: Análise da aberração pela propagação da luz no telescópio Sendo L o comprimento do telescópio e v LE a velocidade da luz no éter que preenche o mesmo, o tempo t que a luz leva para ir da entrada do telescópio até o fundo é dado por t = h = L cos δ (122) v LE v LE Para que o feixe chegue ao fundo do telescópio, o mesmo deve deslocar-se de x = L sin δ durante o este intervalo, ou seja t = x = L sin δ (123) v T E v T E Igualando estas duas expressões, reobtem-se o resultado anterior Efeito do meio de propagação: experimento de Airy Embora a luz se propaga na ausência de matéria, supostamente no hipotético éter, a sua propagação valor e direção da velocidade é afetada pela presença de matéria Em outras palavras: a matéria influi nas propriedades do éter Surge então inevitavelmente a questão da influência do movimento da matéria sobre o éter Arrago já tinha apontado que o movimento das lentes de um telescópio em relação ao éter poderia influenciar a propagação da luz nas mesmas e exigir uma refocalização do instrumento na observação de uma estrela no decorrer do ano Porém, nenhum efeito deste tipo era observado Pelo mesmo argumento, era de se esperar que a aberração observada fosse diferente caso o tubo do telescópio fosse preenchido por um meio material transparente, tal como vidro ou água Este experimento foi realizado em 1871 por Airy Lembramos que, de acordo com a ótica clássica, se denotarmos por c a velocidade (acima denotada v LE ) da luz se propagando no éter vazio, 8 então a velocidade da luz propagando-se numa região do espaço enchida por um meio material de índice de refração n é c/n Vale lembrar que o meio de propagação é o éter, não o meio material Se o meio material estiver en repouso no referencial do éter vazio, a velocidade de propagação é c/n neste referencial Mas se o meio material estiver em movimento em relação ao éter vazio, o referencial do éter preenchido pela matéria pode ser diferente do referencial 8 Utilizaremos esta expressão para indicar o estado do éter numa região do espaço onde não há matéria

8 8 CAPÍTULO 1 FÍSICA PRÉ-EINSTEINIANA REVISÃO do éter vazio, pois o éter pode ser arrastado, parcial ou totalmente, pela matéria Assim, a questão do arraste do éter pelo meio material em movimento é incontornável na ótica clássica Consideraremos sucessivemente as implicações para o experimento de Airy das duas suposições extremas possíveis a respeito desta questão a) Nenhum arraste do éter Neste caso, denotando por ˆv LE a direção de propagação da luz no meio material, temos dentro do mesmo v LE = c n ˆv LE (124) e v LT = v LE v T E = c n ˆv LE v T E (125) Devido à difração na entrada do telescópio, a direção de propagação ˆv LE difere em geral da direção ˆv LE no espaço intersideral Este efeito deve ser levado em conta na análise da aberração, como mostrado na Fig 16(b) A lei dos senos fornece Já a lei de Snell fornece Combinando estas duas equações, obtemos sin δ sin(π/2 δ) = = cos δ v T E c/n c/n sin δ = n sin δ (126) tan δ = n 2 v T E (127) c Comparando a aberração (127) prevista para o telescópio cheio com a aberração (121) calculada para o telescópio vazio, teriamos então tan δ cheio = n 2 tan δ vazio, (128) ou seja, a aberração seria maior no caso de um telescópio cheio de vidro ou água (n > 1) b) Arraste total do éter Neste caso, é fácil convencer-se de que não haveria aberração, pois uma vez dentro do telescópio, o feixe de luz seria arrastado lateralmente [veja a Fig 16(c) 9 ], acompanhando o movimento do telescópio Portanto, para que a luz chegue ao fundo do telescópio, este deveria ser orientado verticalmente Também não haveria difração, já que a luz incidiria perpendicularmente à superfície do meio A hipótese de arraste total, que foi defendida principalmente por Stokes, obviamente traz sérios problemas conceituais Certamente não poderia ter validade para um meio pouco denso como o ar, já que a aberração é um fato observado Ao realizar o experimento, Airy descobriu que a aberração não é modificada pelo preenchimento do telescópio por um meio material, ou seja tan δ cheio = tan δ vazio (129) Este resultado é intermediário em relação às expectativas baseadas nas hipóteses extremas que acabamos de considerar Ele indica portanto que o éter é parcialmente arrastado pelo meio material 123 Fórmula de Fresnel Uma fórmula que especifica o quanto o éter é arrastado por um meio material em movimento foi proposta por Fresnel na base de argumentos um tanto especulativos Subsequentemente, esta fórmula revelou-se capaz de explicar os fenómenos observados Seguiremos aqui o caminho contrário Utilizaremos o resultado nulo do experimento de Airy para estabelecer empiricamente a fórmula Discutiremos brevemente a interpretação da mesma em termos de uma modificação da densidade de éter devida à presença do meio Mais importantemente, descreveremos nas próximas seções dois outros experimentos que corroboram a dita fórmula 9 Nesta figura, v LE denota a velocidade da luz no telescópio, medida no referencial do éter vazio

9 12 ÓTICA 9 δ cˆv LE v LT v T E cˆv LE cˆv LE δ δ v LT c ˆv n LE v T E v T E cˆv LE c n ˆv LT v LE δ cˆv LE v LT c δ n ˆv LE v E E = (1 κ) v T E (a) (b) (c) (d) Figura 16: Diagramas de composição das velocidades para o experimento de Airy: (a) telescópio vazio; (b) telescópio cheio, nenhum arraste do éter; (c) idem, arraste total; (d) idem, arraste parcial: seguindo Fresnel, o coeficiente κ foi escolhido de maneira a obter a mesma aberração de que no caso (a) Arraste parcial Seja v ME a velocidade de um meio material M em relação ao éter vazio E Denotamos por E o éter no meio material Por suposição, este éter é parcialmente arrastado pelo meio, na direção de movimento deste A velocidade do éter arrastado E em relação ao éter vazio E pode ser escrita na forma v E E = κ v ME, (130) com κ um número entre 0 e 1 que denominamos coeficiente de arraste Sendo n o índice de refração do meio, a velocidade, medida em relação ao éter arrastado, da luz propagando-se no meio material em movimento é v LE = c n ˆv LE (131) onde ˆv LE é a direção da velocidade da luz em relação ao éter arrastado A velocidade da luz em relação ao éter vazio é então v LE = v LE + v E E = c n ˆv LE + κ v ME (132) A velocidade da luz no meio material, medida em relação ao mesmo, é portanto v LM = v LE v ME = c n ˆv LE (1 κ) v ME (133) Determinação do coeficiente de arraste A aplicação da fórmula de arraste parcial (132) à análise da aberração está ilustrada na Fig 16 A lei dos senos dá agora sin δ sin(π/2 δ) = = cos δ (1 κ) v T E c/n c/n, e combinando esta equação com a lei de Snell, obtem-se ou tan δ = (1 κ) n 2 v T E c, (134) tan δ cheio = (1 κ) n 2 tan δ vazio (135)

10 10 CAPÍTULO 1 FÍSICA PRÉ-EINSTEINIANA REVISÃO Para reproduzir o resultado de Airy, precisamos escolher κ = 1 1 n 2, (136) que vem a ser a hipótese de Fresnel para o coeficiente de arraste do éter por um meio material em movimento Embora a fórmula de Fresnel seja essencialmente ad hoc, ele sugeriu interpretá-la com indicando um aumento da densidade de éter no meio material Especificamente, ele postulou que a densidade de éter num meio material é proporcional ao quadrado do índice de refração Ou seja, sendo ρ a densidade do éter vazio e ρ a densidade do éter na presença de matéria, temos ρ = n 2 ρ (137) e a densidade de excesso de éter é (n 2 1)ρ Fresnel supus ainda que somente este excesso é arrastado, com velocidade igual à velocidade v do meio Então o centro de massa do éter é arrastado com velocidade v E E = ρ 0 + (n2 1)ρ v n 2 ρ = (1 1 n 2 )v Uma interpretação um tanto diferente foi proposta mais tarde por Stokes Ele também postulava a relação (137), mas para ele, todo o éter dentro do meio movia-se com velocidade v E E e havia conservação do éter, de maneira que a equação de continuidade (para o éter), escrita no referencial do meio, dava ρv = ρ (v v E E) = n 2 ρ(v v E E), o que leva também à expressão de Fresnel para v E E Como veremos, a relatividade restrita fornece uma explicação puramente cinemática da fórmula de Fresnel, dispensando inteiramente o éter Como a fórmula de Fresnel foi essencialmente montada para reproduzir o resultado do experimento de Airy, é importante verificar que ela é capaz de reproduzir também os resultados de outros experimentos Dois exemplos são discutidos abaixo 124 Experimento de Hoeck (1868) Um feixe de luz monocromática é dividido em duas componentes que descrevem em sentidos opostos um percurso retângulo e são então recombinadas para formar uma figura de interferência Sobre um dos lados do retângulo, orientado paralelamente ao movimento da Terra, há um trecho constituido por um tubo de comprimento, L cheio de água O experimento consiste em observar o deslocamento da figura de interferẽncia induzido por uma rotação de 180 o do aparato Para a análise da diferença de tempos de percurso, precisamos considerar somente o trecho percorrido na água e o trecho correspondente sobre o lado oposto do retângulo Supomos que a velocidade da Terra em relação ao éter está orientada para a direita na Fig 17 Usando de novo a relação (132), temos para o tempo de percurso da componente 1: e para a componente 2: A diferença é t 1 = t 2 = L c + v + L c/n + κv v, L c v + L c/n κv + v δt = t 1 t 2 = 2Lv c 2 v 2 + 2(1 κ)lv (c/n) 2 (1 κ) 2 v 2 2Lv c 2 [1 (1 κ)n2 ], onde termos de ordem (v/c) 2 foram desprezados Quando o aparato é girado de 180 o, os papeis das componentes 1 e 2 são trocados, de maneira que a diferença de tempo de percurso passa a ser δt Isto produz um delocamento da figura de interferẽncia (em porção de franja) de Φ = 2ν δt

11 12 ÓTICA 11 água F L 1 2 v D Figura 17: Esquema do experimento de Hoeck Nenhum deslocamento da figura de interferência foi observado por Hoeck, o que implica em δt = 0 e portanto confirmando a hipótese de Fresnel 125 Experimento de Fizeau (1851) κ = 1 1 n 2, Este experimento estuda a propagação da luz na água em movimento no laborátorio Um feixe monocromático é dividido em duas componentes, uma das quais percorre uma distância 2L na água em movimento com velocidade v no sentido da propagação, ao passo que a outra componente percorre a mesma distância 2L na água em movimento com a mesma velocidade v, mas no sentido oposto ao da luz [veja a Fig 18] As duas componentes são então recombinadas e compara-se as figuras de interferência obtidas com a água em movimento e parada L D F Figura 18: Esquema do experimento de Fizeau Utilizando a relação (132), a diferença entre os tempos de percurso dos dois caminhos óticos é 1 t = 2L( c/n κv 1 c/n + κv ) = 4Lκv (c/n) 2 κ 2 v 2 4Lκvn2 c 2, onde termos de ordem (v/c) 2 foram desprezados O deslocamento da figura de interferência provocado

12 12 CAPÍTULO 1 FÍSICA PRÉ-EINSTEINIANA REVISÃO pelo movimento da água é então (em fração de franja): Φ = ν t = c λ t = 4n2 L λ v c κ (138) Fizeau utilizou luz de comprimento de onda λ 5, m e canos de comprimento L 1, 5 m, o que dá L/λ 2, A velocidade da água era v 7 m/s, de maneira que v/c 2, Com n 1, 33 e portanto (usando a fórmula de Fresnel) κ 0, 435, obtem-se O valor observado por Fizeau foi Φ 4 1, 77 2, , , 435 0, 20 Φ obs 0, 23, o que ele considerou quase igual ao valor calculado 126 Experimento de Michelson e Morley (1887) A discussão acima mostra que os fenômenos óticos observados num referencial em movimento com velocidade v em relação ao éter podem ser explicados, na ordem v/c, supondo que o meio de propagação é o éter e usando a lei usual de combinação vetorial das velocidades Isto inclui propagação num meio material, desde que seja levado em conta o arraste do éter seguindo a prescrição de Fresnel O experimento de Michelson e Morley mostrou que isto não é verdade para efeitos de ordem (v/c) 2 F L C A L v B c t AC c t CA L v t AC v t CA A I C R A F D (a) (b) Figura 19: Experimento de Michelson e Morley; (a): esquema do aparato; (b) diagrama para o cálculo do tempo de propagação na direção transversal Um feixe de luz monocromática é dividido em duas componentes que se propagam em direções perpendiculares, uma das quais coincide com a direção do movimento da Terra As componentes do feixe são refletidas por espelhos e propagam-se de volta até o ponto de separação inicial, onde se recombinam para formar uma figura de interferência [veja a Fig 19(a)] Gira-se o aparato de maneira a inverter os papeis do braço paralelo e do braço perpendicular à Terra Observa-se o deslocamento da figura de interferência induzido por esta rotação Calcularemos os tempos de percurso, supondo que a luz propaga-se com velocidade c em relação ao éter, no qual a Terra está em movimento com velocidade v O tempo de propagação do ponto de separação A até o espelho B é dado por c t AB = L + v t AB t AB = L c v

13 13 TEORIA ELETROMAGNÉTICA 13 Semelhantemente, o tempo de propagação de volta do espelho B até o ponto A é dado por c t BA = L v t BA t BA = L c + v Somando, o tempo de percurso, ida e volta, do braço do interferômetro paralelo ao movimento da Terra é t ABA = 2Lc c 2 v 2 A Fig 19(b) ilustra a situação pertinente para o cálculo do tempo de percurso ao longo do braço perpendicular à linha de movimento da Terra A I representa a posição (em relação ao éter) da lâmina de separação no instante da separação, A F a posição da lâmina no instante da reunião, e C R a posição do espelho C no instante da reflexão Pelo teorema de Pitágoras (c t AC ) 2 = (v t AC ) 2 + L 2, e portanto t ACA = 2t AC = 2L c2 v 2 A diferença de tempo de propagação é 2 δt = t ABA t ACA = c 1 (v/c) ( L 2 1 (v/c) 2 L ), (139) Quando o aparato é girado por 90 o, os papeis dos braços invertem-se, o que obviamente leva à diferença de tempos de propagação δt = t ABA t ACA = O deslocamento da figura de interferência é então dado por 2 c 1 (v/c) (L L ) (140) 2 1 (v/c) 2 Φ = ν(δt 2 δt) = ν c 1 (v/c) (L L )(1 ) 1 (v/c) 2 c L + L ( v λ c c )2 L + L ( v λ c )2, (141) em fração de franja Michelson e Morley utilizaram luz de comprimento de onda λ 5, m e os braços do interferômetro tinham 11 m de comprimento Isto leva a (L + L )/λ 3, Como v/c 10 4, esperava-se então Φ 0, 37 Apesar de o aparato possuir precisão suficiente para observar um deslocamento no mínimo 20 vezes menor de que isto, nenhum deslocamento foi observado 13 Teoria eletromagnética 131 Até 1870 Ação a distância Teorias inspiradas pela teoria da gravitação de Newton Força eletromagnética deriva de um potencial instantâneo (vetorial) Teorias desenvolvidas principalmente por Franz Ernst Neumann (1845) e Wilhelm Weber (1848)

14 14 CAPÍTULO 1 FÍSICA PRÉ-EINSTEINIANA REVISÃO Propagação de campos no éter Teorias inspiradas pela mecânica dos meios contínuos Teoria de James Clerck Maxwell (1873), interpretada por ele como descrevendo tensões propagandose num hipotético meio dielétrico As equações de Maxwell prevém a propagação de ondas eletromagnéticas, cuja velocidade é dada em termos das unidades elétricas e magnéticas [Previsão teórica de Hermann von Helmholtz, verificada experimentalmente por Hertz (1888)] A velocidade das ondas eletromagnéticas é numericamente muito próxima da conhecida velocidade da luz no vácuo, o que leva à interpretação da luz como um fenômeno eletromagnético e à identificação do meio dielétrico de Maxwell com o éter, meio hipotético de propagação das ondas luminosas 132 Eletromagnetismo em meios materiais em movimento Interpretação de Hertz das equações de Maxwell Num meio material em repouso presumivelmente em relação ao eter os fenômenos eletromagnéticos são supostos descritos pelas equações de Maxwell envolvendo os campos E, D, B, H, com termos de fontes, junto com as equações constitutivas nas quais aparecem a constante dielétrica e a permeabilidade magnética do meio Hertz generalizou as equações, supondo-as válidas na mesma forma no referencial de repouso do meio, mesmo se este estiver em movimento Para dar consistência matemática a esta suposição, interpretou as derivadas temporais que aparecem nas equações como derivadas convectivas Lembramos que a derivada convectiva é dada, em termos das derivadas parciais temporal e espaciais calculadas num referencial no qual a velocidade do meio é v, por d dt = t + v Quando formuladas num referencial no qual o meio material está em movimento, as equações do eletromagnetismo conteriam portanto termos adicionais, que dependem da velocidade do meio Este termos implicariam em novos efeitos físicos, um dos quais Röntgen alegou ter observado em 1888 Esta observação não foi confirmada por outro experimento, realizado em 1903 por Eichenwald, o que levou a descartar a teoria de Hertz A hipótese de Hertz pode ser interpretada como equivalente a supor que o eter é inteiramente arrastado por um meio material em movimento Vale lembrar que havia evidências contrárias em fenômenos óticos, que indicavam apenas um arraste parcial Teoria de Lorentz Lorentz desenvolveu uma interpretação da teoria de Maxwell baseada nas ideias seguintes: Os campos eletromagnéticos descrevem o estado do éter num dado ponto e instante O estado do éter é afetado pela presença e pelo movimento da matéria Através de manipulações das equações de Maxwell norteadas por estas ideias, ele chegou às conclusões seguintes: A fórmula de Fresnel pode ser obtida imtroduzindo um tempo local, sem interpretação física

15 13 TEORIA ELETROMAGNÉTICA 15 Um corpo material em movimento em relação ao éter é contraido na direção do movimento por um fator 1 γ = (142) 1 (v/c) 2 Notamos que isto pode explicar o resultado nulo do experimento de Michelson-Morley, pois se L e L são os comprimentos em repouso (em relação ao éter) dos braços do interferômetro, então temos que substituir L L 1 (v/c) 2 em (139) e L L 1 (v/c) 2 em (140), o que leva obviamente a um resultado nulo no lugar de (141) Esta interpretação do resultado de Michelson e Morley tinha sido proposta independentemente pot FitzGerald; por isto é a referida contração é conhecida como contração de FitzGerald-Lorentz A partir dos resultados de Lorentz, Poincaré demonstrou que a eletrodinâmica é completamente invariante frente a uma transformação conjunta do tempo e do espaço, que ele nomeou transformação de Lorentz [Como veremos, esta transformação surge naturalmente na cinemática einsteiniana]

16 16 CAPÍTULO 1 FÍSICA PRÉ-EINSTEINIANA REVISÃO

17 Capítulo 2 Princípios da Relatividade Restrita Neste capítulo, definimos a classe de sistemas de referência denominados referenciais inerciais que desempenham um papel central na formulação dos princípios da relatividade restrita Enunciamos os dois postulados que são comumente adotados como fundamentos da teoria Demonstramos que a adoção simultânea destes postulados requer uma modificação profunda do conceito de tempo: o tempo absoluto de Newton é substituido por um tempo relativo, que depende do referencial considerado Discutimos em seguida algumas propriedades básicas das transformações de coordenadas entre referenciais inerciais A partir do segundo postulado, identificamos uma quantidade invariante frente a estas transformações, o invariante fundamental, que caracteriza a geometria do espaço-tempo da relatividade restrita 21 Referenciais inerciais 211 Axiomas Começaremos por enunciar um conjunto de suposições a respeito dos referenciais inerciais e de propriedades a eles atribuidas Embora sejam bastante naturais, deve-se admitir que elas poderiam eventualmente revelar-se incompatíveis entre si ou com os postulados fundamentais Além disto, mesmo consistente, a teoria resultante poderia mostrar-se inadequada para a descrição dos fenômenos Evidentemente, apenas através de experimentos poderemos estabelecer a validade da teoria As relações espaciais (distâncias e direções), medidas por réguas rígidas em repouso, satisfazem os axiomas da geometria Euclideana Existe um tempo universal, no sentido de aplicável a todos os fenômenos Podemos imaginar que este tempo é medido por relógios ideais, em repouo no referencial em questão Vale notar que não está atribuido ao tempo um caráter absoluto Ele pode depender do referencial considerado Quando medidas em termos deste tempo e destas distâncias e direções, as velocidades de todas as partículas livres permanecem constantes em módulo e direção Para definir completamente um referencial inercial, é necessário escolher a origem do sistema de coordenadas espaciais, as direções e os sentidos dos eixos espaciais, 1 a origem e o sentido do eixo temporal Evidentemente, para a especificação de valores numéricos, ainda é preciso definir as escalas, ou seja, especificar as unidades Em consequência das propriedades enunciadas acima, podemos imaginar um referencial inercial como definido por uma rede de partículas livres em repouso relativo Podemos imaginar que sobre cada uma destas partículas estão gravados os valores das suas coordenadas espaciais Podemos imaginar ainda que cada partícula carrega um relógio que indica o tempo universal associado ao referencial em questão Assim, poderemos considerar a determinação da posição e do tempo de 1 Afora aviso contrário, utilizaremos coordenadas cartesianas 17

18 18 CAPÍTULO 2 PRINCÍPIOS DA RELATIVIDADE RESTRITA ocorrência de um evento como uma operação local, qual seja a leitura dos valores indicados pela partícula-relógio mais próxima Um referencial em movimento retilíneo uniforme em relação a um referencial inercial também é inercial Inversamente, um referencial em movimento acelerado em relação a um referencial inercial não é inercial Assim os referenciais inerciais formam uma classe cujos membros estão em movimento relativo uniforme Um referencial inercial é espacialmente homogêneo e isotrópico, não somente nas suas propriedades geométricas, mas também no que diz respeito aos resultados de qualquer experimento Mais explicitamente, um experimento definido por uma translação ou uma rotação de um experimento dado produzirá um resultado obtido, a partir do resultado do experimento dado, pela mesma translação ou rotação Um referencial inercial é temporalmente homogêneo, ou seja experimentos idênticos realizados em épocas diferentes produzem resultados idênticos A definição de referencial inercial apresentada acima utiliza o conceito de partícula livre Na mecânica de Newton, esta idealização seria aproximada por uma partícula muito afastada de qualquer outra, de maneira que as interações, inclusive a força gravitacional, possam ser desprezadas Na luz da teoria da relatividade geral de Einstein, este conceito deve ser modificado, pois não é mais possível remover a gravitação, que passa a fazer parte da própria estrutura do espaço-tempo Assim, o conceito de partícula livre deve ser substituido pelo conceito de partícula caindo livremente no campo gravitacional, ou seja, submetida somente à gravitação Como a aceleração gravitacional é independente da massa, se considerarmos partículas caindo livremente numa região do espaço-tempo suficientemente limitada para que o campo gravitacional nela presente possa ser aproximado por um campo uniforme, estas partículas estarão em movimento relativo uniforme Assim, poderemos associar a este conjunto de partículas uma classe de referenciais inerciais, quais sejam, os referenciais acompanhando o movimento de queda livre das partículas naquela região Embora os referenciais inerciais possuam extensão infinita, a sua relevância física é limitada à região em questão Geometricamente, a relatividade restrita consiste na aproximação local do espaço-tempo curvo da relatividade geral por um espaço-tempo plano, cujos sistemas de coordenadas são os referenciais inerciais 22 Postulados fundamentais Enunciamos a seguir os dois postulados que conjuntamente formam o alicerce da relatividade restrita 221 Princípio de relatividade Todas as leis da física são idênticas em todos os referenciais inerciais Ou ainda, dois experimentos idênticos realizados em referenciais inerciais diferentes produzem resultados idẽnticos Pode-se considerar que este postulado generaliza para toda a física o princípio Galileano de relatividade que fundamenta a mecânica de Newton A rigor, este primeiro postulado já está implícito nos axiomas adotados acima para os referenciais inerciais Para demonstrar esta afirmação, consideremos um referencial S no qual está sendo realizado um experimento E, e outro referencial S o qual está sendo realizado um experimento E, intrinsicamente idêntico a E Primeiro, argumentamos que necessariamente existe um terceiro referencial S no qual as velocidades de S e S são iguais e opostas Para tanto, consideramos em S uma família S (α) de referenciais em movimento colinear com S, e tal que S (0) está em repouso em S e S (1) acompanha S Então, quando α varia de 0 a 1, o módulo da velocidade de S em relação a S (α) cresce a partir de 0, enquanto que o módulo da velocidade de S em relação a S (α) decresce até 0 Há portanto necessariamente um valor de α para o qual estes módulos de velocidades são iguais É facil então convencer-se de que é possível, por translação, rotação, e translação temporal em S, transformar o experimento E num experimento que difere de E apenas por uma rotação de 180 o em S Portanto, pelos axiomas de homogeneidade e isotropia dos referenciais inerciais, os resultados de E e E devem ser idênticos

19 23 RELATIVIDADE DA SIMULTANEIDADE Princípio de invariância da velocidade da luz Existe um referencial inercial no qual a velocidade da luz no vácuo é uma constante c, independente da direção de propagação e das propriedades da fonte, inclusive da velocidade da mesma Considerado isoladamente, este postulado poderia ser interpretado como definindo o referencial do éter, que a visão pre-einsteiniana imaginava ser o meio de propagação da luz Porém, aceito em conjunção com o primeiro postulado, ele pode ser reformulado como: a velocidade da luz no vácuo é a mesma constante c em todos os referenciais inerciais Uma vez colocado nesta forma, fica claro que este postulado é incompatível com a lei Galileana (112) de transformação das velocidades e exige portanto uma revisão profunda dos conceitos fundamentais de tempo e de espaço O segundo postulado fornece um método prático para a determinação, por um observador localizado na origem de um referencial inercial, da posição e do instante de ocorrência de um evento Basta o observador medir os tempos de emissão e recepção de um pulso de luz refletido pelo evento, e observar a direção do pulso refletido Este procedimento, conhecido como método do radar, será discutido adiante Embora a velocidade da luz desempenhe um papel destacado nos princípios assim apresentados, é preciso enfatizar que a conceitualização da relatividade restrita não requer a existência do fenômeno particular chamado luz O segundo postulado poderia ser substituido pela seguinte afirmação: existe um limite finito para a velocidade de propagação de qualquer sinal Do primeiro postulado, segue então que o valor do limite em questão é independente do referencial inercial considerado Não é necessário que exista um sinal físico real que alcance este limite Também demonstraremos adiante que é possível estabelecer as equações de transformação das coordenadas de posição e tempo numa mudança de referencial inercial, apenas utilizando as propriedades de grupo destas transfomações As transformações admissíveis dependem de um parâmetro que possui dimensão de velocidade, mas não precisa ser associado à propagação de um sinal 23 Relatividade da simultaneidade Uma conseqüência direta da adoção conjunta dos dois postulados é a inexistência de um tempo absoluto e a relatividade da simultaneidade Para demonstrar este efeito, consideramos dois relógios A e B, equidistantes de um observador O, em relação ao qual eles estão em repouso Consideramos ainda dois relógios A e B, em movimento sobre a linha AB, com a mesma velocidade em relação a O Supomos também que A e B são equidistantes de um observador O, para o qual eles estão em repouso Supomos ainda que para o observador O, o relógio A coincide com o relógio A no mesmo instante em que o relógio B coincide com o relógio B Podemos denotar por E A o evento descrito pela afirmação o relógio A cruza o relógio A, e semelhantemente por E B o evento descrito pela afirmação o relógio B cruza o relógio B A suposição é então que os eventos E A e E B são simultâneos para o observador O Demonstraremos que eles não são simultâneos para o observador O Para visualizar a situação, utilizaremos um diagrama de espaço-tempo, no qual a posição espacial medida no referencial associado ao observador O é representada em abscissa e o tempo medido no mesmo referencial é representado em ordenada Como O, A e B estão em repouso naquele referencial, as suas linhas de mundo, ou seja, as linhas que representam as suas evoluções ao passar do tempo, são verticais Já as linhas de mundo de O, A e B estão inclinadas (com mesma inclinação), já que estes corpos estão em movimento (com a mesma velocidade) no referencial utilizado para a representação Os eventos E A e E B estão representados no gráfico pelos pontos de cruzamento das linhas de mundo de A e A, e de B e B, respectivamente Podemos imaginar que os observadores O e O utilizam pulsos de luz para sincronizar os seus respectivos relógios Se utilizarmos unidades tais que a velocidade da luz c seja igual a 1 (por exemplo, um ano-luz por ano), todos os pulsos de luz serão representados no gráfico por linhas retas inclinadas a 45 o Indicamos por E 0 no gráfico o evento de emissão de pulsos de luz pelo observador O, pulsos estes que alcançam os relógios A e B nos eventos E A e E B, respectivamente Para sincronizar os seus relógios, o observador O pode mandar pulsos para eles no evento E 0, que é o evento em que o pulso mandado

20 20 CAPÍTULO 2 PRINCÍPIOS DA RELATIVIDADE RESTRITA O O E A E B E O A A B B E O E B Figura 21: Ilustração da relatividade da simultaneidade por O na direção de A passa por O Assim, o pulso mandado por O rumo a A acompanhará o pulso mandado por O rumo a A, e estes pulsos serão recebidos por A e A no mesmo evento, qual seja E A Porém, fica claro na figura que o pulso mandado por O rumo a B alcançará este relógio, não no evento E B, mas no evento E B Consequentemente, o observador O considerará como simultâneos os eventos E A e E B Para ele, o evento E B é anterior ao evento E A Assim fica demonstrada a relatividade da simultaneidade 24 Propriedades gerais da relação entre referenciais inerciais 241 Linearidade da transformação de coordenadas no espaço-tempo Um evento, considerado como um ponto no espaço-tempo, é especificado num referencial inercial S por quatro coordenadas (ct, x, y, z), onde o fator c é introduzido para que todas as coordenadas possuam a mesma dimensão (comprimento) Outra notação equivalente é (x 0, x 1, x 2, x 3 ), ou ainda {x µ }, com µ = 0, 1, 2, 3 O axioma de homogeidade dos referenciais inerciais requer que a transformação das coordenadas de um evento numa mudança de referencial inercial seja linear Ou seja, se denotarmos 2 por {x µ } as coordenadas do mesmo evento num segundo referencial S, devemos ter x µ = 3 µ=0 Λ µ µ x µ + a µ, (21) onde os coeficientes Λ µ µ e a µ são constantes Para demonstrar esta afirmação, consideramos um relógio em movimento retilíneo uniforme no referencial S Seja τ o tempo indicado pelo relógio, também chamado tempo próprio, pois caracteriza 2 Aderimos à convenção que consiste em associar ao índice o símbolo que serve para diferenciar referenciais Ou seja, escrevemos x µ e não x ν, por exemplo Deve ficar claro que, com esta convenção, x µ para µ = 2 é diferente de x µ para µ = 2

21 25 O SEGUNDO POSTULADO E A DISTÂNCIA INVARIANTE ENTRE EVENTOS 21 intrinsecamente o relógio (e não deve ser confundido com o tempo t utilizado por um dado observador inercial) A homogeneidade implica que a iguais incrementos dτ de tempo próprio do relógio correspondem iguais incrementos dx µ das coordenadas, ou seja as quantidades dxµ dτ são constantes e d 2 x µ dτ 2 = 0 (22) Obviamente, o mesmo deve ser verdade em qualquer outro referencial, ou seja: Mas, pela regra da cadeia: d 2 x µ dτ 2 = 3 µ=0 dx µ dτ d 2 x µ dτ 2 = 0 (23) = 3 µ=0 x µ d 2 x µ 3 x µ dτ 2 + x µ dx µ x µ dτ ; (24) 3 µ=0 σ=0 2 x µ dx µ dx σ x µ x σ dτ dτ (25) Para que (23) siga de (22), é necessário que o segundo termo de (25) seja identicamente nulo, ou seja e a transformação de coordenadas é linear 2 x µ x µ x σ = 0, (26) 242 Reciprocidade da velocidade relativa Já argumentamos que, dados dois referenciais inerciais S e S, necessariamente existe um terceiro referencial S no qual as velocidades de S e S são iguais e opostas Uma manipulação realizada por um observador em repouso em S para determinar a velocidade de S em relação a ele, pode ser considerada como um experimento em S Por rotação de 180 o deste experimento, obtem-se uma possível manipulação realizada por um observador em repouso em S para determinar a velocidade de S em relação a ele Mas, pela isotropia do referencial S, estes dois experimentos devem fornecer o mesmo resultado Portanto, a velocidade de S em relação a S deve ser igual, em valor absoluto, à velocidade de S em relação a S Embora esta arguição possa parecer uma tanto pedante, vale lembrar que o segundo postulado exigirá uma modificação profunda do conceito intuitivo de velocidade, de maneira que até afirmações óbvias precisam ser justificadas 25 O segundo postulado e a distância invariante entre eventos Sejam P e Q os eventos de emissão e recepção de um pulso de luz, respectivamente Sejam (ct P, x P, y P, z P ) e (ct Q, x Q, y Q, z Q ) as coordenadas destes eventos num certo referencial S Já que o pulso propaga-se de P até Q à velocidade c, temos c 2 (t Q t P ) 2 = (x Q x P ) 2 + (y Q y P ) 2 + (z Q z P ) 2, (27) ou, introduzindo notações t, x, para diferenças de coordenadas: c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 = 0 (28) Denotaremos por s 2 a expressão do lado esquerdo da equação acima Eventos de emissão e recepção de um pulso de luz estão portanto caracterizados pela condição s 2 = 0 (29)

22 22 CAPÍTULO 2 PRINCÍPIOS DA RELATIVIDADE RESTRITA Como esta condição meramente exprime o fato de que a velocidade de propagação do pulso é c, pelo segundo postulado, ela é igualmente válida num outro referencial inercial qualquer, no qual as coordenadas dos eventos P e Q são (ct P, x P, y P, z P ) e (ct Q, x Q, y Q, z Q ), ou seja, c 2 t 2 x 2 y 2 z 2 s 2 = 0 (210) Concluimos então que, para qualquer par de eventos tais que s 2 = 0 num certo referencial inercial, então s 2 = 0 também em qualquer outro referencial inercial Demonstraremos a seguir que, deste resultado, segue que s 2 = s 2, (211) para qualquer par de eventos Ou seja, a quantidade s 2 associada a dois eventos quaisquer é independente do referencial utilizado Uma quantidade com esta propriedade é dita invariante, ou ainda escalar Como a transformação de coordenadas é linear, a transformação das diferenças de coordenadas é linear e homogênea Se escrevermos s 2 em termos das diferenças de coordenadas { x µ } no referencial S, obtemos portanto uma expressão quadrática homogêna, da forma 3 3 s 2 = µ=0 ν=µ C µν x µ x ν, (212) onde os coeficientes C µν são constantes, independentes dos eventos considerados Para verificar (211), precisamos mostrar que C 00 = C 11 = C 22 = C 33 = 1, e que os demais coeficientes C µν são nulos Para tanto, escolhemos, em termos de uma unidade de comprimento qualquer, alguns conjuntos específicos de diferenças de coordenadas tais que s 2 = 0 Para cada conjunto, deduzimos a relação entre os coeficientes C µν imposta pela condição s 2 = 0 Escolhas: { x µ } = (1, ±1, 0, 0) ; { x µ } = (1, 0, ±1, 0) ; { x µ } = (1, 0, 0, ±1) Condições: C 00 + C 11 ± C 01 = 0 ; C 00 + C 22 ± C 02 = 0 ; C 00 + C 33 ± C 03 = 0 Conclusões: C 01 = C 02 = C 03 = 0 ; C 11 = C 22 = C 33 = C 00 Escolhas: { x µ } = { 2, 0, 1, 1} ; { x µ } = { 2, 1, 0, 1} ; { x µ } = { 2, 1, 1, 0} Conclusões, levando em conta as anteriores: C 23 = C 13 = C 12 = 0 Com isto, sobra um único coeficiente ainda não determinado, qual seja C 00 que passamos a denotar por a(v), indicando que ele poderia a priori depender da velocidade v do refencial S em relação ao referencial S Temos então s 2 = a(v) s 2 (213) Obviamente, trocando os papeis dos refenciais, podemos também escrever s 2 = a(v ) s 2, (214) com v a velocidade de S em relação a S A reciprocidade da transformação implica em v = v e portanto em a(v) 2 = 1 ou a(v) = ±1 (215) No limite v 0, a transformação deve reduzir-se a uma rotação, ou uma translação (no espaço ou no tempo), ou uma reflexão, ou uma combinação destas Para todas estas transformações, obviamente a(0) = +1 e por continuidade neste limite, devemos escolher a(v) = +1 Concluimos que s 2 = s 2, (216) a propriedade de invariância anunciada Podemos interpretar o invariante s 2 como uma distância quadrada entre pontos do espaço-tempo Notamos porém que esta quantidade pode ser positiva, negativa, ou nula É fácil ver que ela é positiva para pares de eventos que, num certo referencial, acontecem no mesmo lugar no espaço Ela é negativa