O mistério dos números!

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1 Reforço escolar M ate mática O mistério dos números! Dinâmica 3 3º Série 3º Bimestre DISCIPLINA Série CAMPO CONCEITO Professor Matemática Ensino Médio 3ª Algébrico Simbólico Números Complexos DINÂMICA O Mistério dos números! HABILIDADE Básica HABILIDADE Principal H51 Efetuar cálculos com polinômios H73 Efetuar cálculo envolvendo operações com números complexos na forma algébrica CURRÍCULO MÍNIMO Identificar o conjunto dos números complexos e representar um número complexo na forma algébrica Professor, nesta dinâmica, você irá desenvolver as seguintes etapas com seus alunos. 1

2 ETAPAS ATIVIDADE TEMPO ORGANIZA- ÇÃO REGISTRO 1 Compartilhar Ideias Ganhe um Picolé! de 0 a 5 min Em 3 ou 6 grupos Individual Um novo olhar... Descubra o mistério! de 15 a 0 min Coletiva Individual 3 Fique por dentro! A desconfiança é a sentinela da segurança de 0 a 30 min Nos grupos da primeira etapa Individual 4 Quiz Quiz 10 min Individual Individual 5 Análise das respostas ao Quiz Análise das respostas ao Quiz 15 min Individual Individual Professor Flex Para Saber + Agora, é com você! Esta é uma seção de aprofundamento, para depois da dinâmica. O aluno pode realizar, quando desejar, mas o professor precisa ler antes da aula. Para o aluno resolver em casa ou noutra ocasião e consultar o professor se tiver dúvidas. Apresentação Esta dinâmica explora a introdução dos números complexos, a partir da impossibilidade de calcular raízes quadradas de números negativos no campo real. Essa exploração é feita no ambiente das equações do º grau, com a ajuda de uma vovó desafiadora. A dinâmica prossegue com alguns cálculos com números complexos escritos em sua forma algébrica. As operações tratadas no corpo da dinâmica são a adição, subtração e multiplicação. A primeira etapa prepara o estudante para a multiplicação de complexos, com a revisão da multiplicação de binômios. A divisão está desenvolvida somente na Etapa Flex, a fim de não sobrecarregar o aluno que não tenha chegado a esse ponto no curso regular. A distribuição do tempo entre as diversas etapas deixa uma certa margem para melhor adaptação à sua turma.

3 Primeira Etapa Compartilhar ideias Atividade Ganhe um Picolé! Objetivo Fazer uma revisão do produto de binômios. Descrição da atividade Esta atividade consiste em calcular o produto de dois binômios por três maneiras distintas e permitir que o aluno possa escolher o processo que lhe seja mais interessante. Matemática O problema é o seguinte: Uma avó, muito brincalhona, disse a seus três netos, Hugo, Zé e Luísa: Ganha um picolé aquele que calcular o resultado da seguinte multiplicação e chegar a um trinômio pelo processo mais eficiente: (4 + 5x) (3 + x) Seu professor vai indicar ao seu grupo qual o neto que vocês vão ajudar nessa tarefa. Antes, porém, responda: Você sabe o que é trinômio? Resposta É uma expressão algébrica que envolve a soma de três termos (lembrando que a soma algébrica inclui a soma com termos negativos, ou seja, inclui a subtração). Veja como cada um dos netos resolveu a questão da avó e complete aquele que seu professor indicar para o seu grupo: Hugo: Ele gosta de figuras e sabe que o produto de dois números pode ser a área de um retângulo com essas medidas. Desenhou, então, o seguinte retângulo e chegou ao resultado certo. Qual terá sido a sua resolução? 3

4 x 3 4 5x Figura Comprimento Largura Área Professor 4 x 8x 5x 3 15x 5x x 10x Total destas áreas 1 + 8x + 15x + 10x = = 1 + 3x + 10x. Retângulo maior 4 + 5x 3 + x (4 + 5x) (3 + x) E levou para a avó a resposta: (4 + 5x) (3 + x) = 1 + 3x + 10x² Zé gosta de fazer contas e preferiu montar uma parecida com o que ele faz para multiplicar números: 4

5 4 + 5x x 3 + x x 8x + 10x² 1 + 3x + 10x² Luísa prefere fazer os cálculos diretamente, lembrando que ela precisa multiplicar cada termo do 1º fator por todos os termos do º fator. Veja como ela faz isso: (4 + 5x) (3 + x) = 1 + 8x + 15x + 10x² = 1 + 3x + 10x². Matemática E, então, na sua opinião, qual o neto que merece o picolé? Resposta A resposta é pessoal, mas cabe uma observação: o processo geométrico pode servir para justificar a distributividade (necessidade de multiplicar cada termo do 1º fator por todos os termos do º fator), mas, além de demorado, ele fica bem mais complicado quando aparecem sinais negativos. Mesmo neste caso, Hugo agiu como se x fosse positivo, o que não está garantido no problema. Esse processo geométrico é interessante para que o aluno veja uma só vez de cada caso, para entender melhor as regras. Para uso diário, os procedimentos algébricos são mais indicados. Recursos necessários: Encarte do aluno. Em anexo, fichas para sorteio entre os grupos do neto que deve ser acompanhado na resolução. Procedimentos operacionais Como sempre, as fichas precisam ser recortadas antes da aula a fim de poupar tempo. A ideia é que os grupos trabalhem um só procedimento, mas que ao final haja uma exposição das 3 maneiras de resolução e todos os alunos possam fazer as suas anotações. Um representante de cada grupo pode ser indicado para apresentar estas resoluções na lousa. 5

6 Intervenção pedagógica Professor: Hoje em dia, os estudantes estão acostumados a lidar com comandos em videogames. Esse fato pode auxiliar o entendimento dos termos algébricos: monômio, binômio, trinômio e polinômio. Os prefixos indicam a quantidade: 1,, 3 e vários e nômio, vem de nomos, do grego que tem um significado ligado a conjunto de leis. O monômio 3x 5, por exemplo, pode ser considerado como o comando que, aplicado a um número, eleva esse número à quinta potência e multiplica o resultado por 3. As operações algébricas permitidas são aquelas que podem modificar o comando, mas mantêm os resultados quando aplicados aos mesmos valores das letras. Por exemplo: os comandos 8x + 15x e 3x levam os mesmos valores de x ao mesmo resultado. Professor A revisão do produto de dois binômios nesta dinâmica tem o objetivo imediato de preparar o aluno para o produto de números complexos. Daí, a escolha de binômios em que x ocupa a posição da unidade imaginária no número complexo. Daí também a vantagem dos processos algébricos sobre o geométrico. Segunda Etapa Um novo olhar... Atividade Descubra o mistério Objetivo Introduzir números complexos. Descrição da atividade Esta atividade consiste em levar os alunos a problemas sem solução aparente, fazendo com que reflitam sobre esses problemas. Acompanhe a continuação da história: 6 Hugo, Zé e Luísa haviam participado de uma dinâmica do Reforço Escolar em que ficaram conhecendo uma equação do º grau que não tinha soluções reais. Eles viram que, com a introdução da unidade imaginária i, ela teria raízes complexas. Fizeram então a seguinte proposta à avó:

7 Você ganha um bombom se nos apresentar soluções da seguinte equação: encontrou: x + 0x + 15 = 0. A avó, que já se esquecera da fórmula que dá essas soluções, foi ao Google e b ± b 4ac x = a Verificou que a = 1, b = 0 e c = 15, e, ao calcular b 4ac, encontrou o valor negativo 100. A essa altura, reclamou: Vocês me devem o bombom assim mesmo, pois essa equação não tem soluções. Não há número real que, multiplicado por ele mesmo, dê um resultado negativo! Matemática Foi, então, que Hugo respondeu: Ora, vovó, você não gosta de mistérios? Descubra esse: essa equação tem sim duas soluções. Quais são elas? Zé correu em socorro da avó: Vovó, você está atrasada por mais que séculos, pois esse problema já foi resolvido quando os matemáticos criaram a unidade imaginária i, tal que i = 1 e todos os números negativos passaram a ter raiz quadrada. É bem verdade que são números imaginários, mas são números! E Luísa completou: Aplicando a fórmula que você encontrou no Google e do fato que 100 = 10 i, você acha as soluções complexas desta equação: b ± b 4ac x = a 0 ± 0 4 1x15 0 ± = = 1 0 ± 10i = = 10 ± 5i 0 ± 100 = = As soluções, vovó, são, portanto, os números complexos i e 10 5i. Estes são números complexos. Eles são a soma de dois termos: um deles é um número real e o outro é um número real multiplicado pela unidade imaginária i. Esses termos se chamam respectivamente parte real e parte imaginária do número complexo. A vovó ganhou o bombom, mesmo sem conhecer os números complexos, mas ficou muito desconfiada se esses números eram mesmo, ou não, soluções da equação. Será que são? 7

8 Recursos Necessários: Encarte do Aluno. Fichas para eventual sorteio da leitura dos diálogos, disponíveis em anexo. Procedimentos operacionais Esta etapa tem um caráter diferente de outras atividades. De certa forma, ela é uma retrospectiva de dinâmica anterior, em que foi introduzida a unidade imaginária e foram apresentados os números complexos nessa resolução que os netos propuseram à avó. A apresentação aqui, porém, é autocontida. Uma ideia para tornar esta etapa mais interessante será escolher ou sortear alunos que façam os papéis do narrador, dos netos e da avó, enquanto um outro, o escriba, copia os cálculos na lousa. Professor Embora esta atividade seja melhor desenvolvida coletivamente, é bom que os grupos permaneçam próximos, pois trabalharão em conjunto novamente na terceira etapa. Intervenção pedagógica Professor: Estas primeiras etapas são uma preparação para a introdução das operações algébricas com os números complexos escritos como a + bi, em que a e b são números reais. Esta se diz forma algébrica do número complexo. O número complexo pode ser escrito também na forma polar ou trigonométrica por meio do seu módulo e um ângulo chamado argumento, mas essa forma não faz parte dos temas do currículo mínimo. 8

9 Terceira Etapa Fique por dentro! Atividade A desconfiança é a sentinela da segurança (Marquês de Maricá) Objetivo Operar com números complexos na forma algébrica. Descrição da atividade Matemática Nesta atividade, os alunos realizarão algumas operações entre números complexos na forma algébrica, a partir da informação de que as propriedades básicas das operações com os complexos são as mesmas das operações com os reais, acrescida do fato de que i = 1. Como os números complexos se escrevem como a + bi, com a e b reais, na prática, as operações são muito parecidas com aquelas entre os binômios. Questão: A avó de Hugo, Zé e Luísa não acreditou que os números i e 10 5i fossem mesmo soluções da equação x² + 0x + 15 = 0. Foi aí que Hugo disse: Ora vovó, as propriedades básicas das operações com os complexos são as mesmas das operações com os reais. Como os números complexos se escrevem como a + bi, com a e b reais, na prática, as operações são muito parecidas com aquelas entre os binômios, acrescidas do fato de que i² = 1. Como você se lembra dessas operações, você pode testar para ver quanto dá x² + 0x + 15 quando x = i ou quando x = 10 5 i. Ajude a vovó a fazer esses cálculos: 9

10 x i 10 5 i x² ( i)x( i) = = ( 10)² + ( 10) 5 i + 5 i ( 10) + (5i)² = i 50 i + 5 (i)² = i 5 = i Ou: (se o aluno conhece o produto notável que dá o quadrado de um binômio) ( i)² = ( 10)² + ( 10) 5 i + (5i)² = i + 5(i)² = i 5 = i ( 10 5 i)x( 10 5 i) = = ( 10)² + ( 10) ( 5 i) + ( 5 i) ( 10) + ( 5i)² = i + 50 i + 5 (i)² = i 5 = = i Ou: (se o aluno conhece o produto notável que dá o quadrado de um binômio) ( 10 5 i)² = [ ( i)]² = = ( 1) ( i )² = i + 5(i)² = i 5 = = i 0x 0 ( i) = i 0 ( 10 5 i) = i Professor ( i)+( i) + 15 = x² + 0x + 15 = ( ) + (100 i 100 i) = 0 Recursos necessários: Encarte do aluno. ( i)+( i) + 15 = = ( ) + (100 i 100 i) = 0 Procedimentos operacionais Os alunos podem voltar a trabalhar nos mesmos grupos e fazer os cálculos no formato escolhido por eles. A correção poderá ser feita nos próprios grupos ou coletivamente. Intervenção pedagógica Os números complexos têm aplicações em várias áreas, como, por exemplo, na Eletricidade. Essas aplicações, porém estão fora do âmbito do estudo no nível básico. Daí, a escolha da verificação de que esses números satisfazem à equação dada como motivação para a realização de cálculos com números complexos. 10

11 Essa abordagem tem a vantagem de destacar o significado de raiz de uma equação. O estudo dos números complexos neste nível escolar está mesmo intimamente ligado às equações algébricas. De acordo com o que os alunos estiverem estudando no curso regular, talvez seja o caso de mostrar a eles as expressões gerais para adição, subtração e multiplicação de números complexos, que se obtêm separando as partes real e imaginária dos resultados: (a + b i) + (c + d i) = (a + c) + (b + d) i (a + b i) (c + d i) = (a c) + (b d) i Matemática (a + b i) (c + d i) = (ac bd) + (ad + bc) i Quarta Etapa Quiz Questão: (Saerjinho, 3º bimestre de 01, 3ª Série do Ensino Médio, Questão 49 ) 1. Qual é o resultado da multiplicação ( 3 i) (4 + i)? a. 8 i b i c. 8 6 i d i e i Quinta Etapa Análise das Respostas ao quiz Resposta Efetuando o cálculo: ( 3 i) (4 + i) = i 1 i 6 i = 8 8 i 6 ( 1) = i = 14 8 i 11

12 e a resposta correta é a opção (e). O aluno que souber de cor a parte real e imaginária do produto (o que não é muito difícil de deduzir, levando em conta que i = 1) pode usar diretamente a expressão: ( 3 i) (4 + i) = [ 4 ( 3) ] + [ + ( 3) 4] i = (8 + 6) + (4 1) i = 14 8 i Erros possíveis: A opção (a) é uma escolha errada que pode ocorrer quando os alunos consideram o valor 1 para o quadrado da unidade imaginária ou se esquecem do sinal em 3. A opção (b) é uma escolha errada também muito provável, por ser resultado da troca de 3 i por + 3 i, pois: ( + 3 i) (4 + i) = i + 1 i + 6 i = i = + 16 i. O item (c) é uma escolha errada muito provável, que ocorre quando o aluno considera a parte real do produto como sendo o produto das partes reais e o mesmo com as partes imaginárias, a exemplo do que acontece com numeradores e denominadores de frações. Professor Por fim, o item (d) é um erro menos provável, que pode ocorrer quando o aluno tenta decorar a fórmula, mas troca os sinais e a parte real com a parte imaginária. Etapa Flex Para saber Esta dinâmica optou por motivar a álgebra dos complexos, explorando esses números como soluções de equações algébricas, mesmo que estas tenham todos os coeficientes reais. Uma outra aplicação que é acessível a esse nível de ensino seria a tradução de operações algébricas entre os complexos em movimentos no plano. Essas aplicações decorrem da repre- sentação geométrica dos números complexos. Os números reais já ocupam toda uma reta numérica. Os números imaginários puros (aqueles com parte real nula) são o produto de um número real pela unidade imaginária i. Ocupam, portanto, uma outra reta, dita reta imaginária. Tomadas essas duas retas (a dos números reais e a dos imaginários puros) como eixos num plano, cada número complexo passa a corresponder a um ponto desse plano e, reciprocamente, cada ponto desse plano tem um número complexo que o representa. A representação geométrica dos números complexos é feita, portanto, num plano em que um dos eixos é a reta

13 real e outro eixo é a reta imaginária. Esse plano recebe o nome de plano complexo ou plano de Argand Gauss. Uma pergunta que pode surgir diante dessa conclusão é a seguinte: Já se tem o plano cartesiano, onde são considerados pontos (x, y), são traçados gráficos de funções, curvas são definidas por equações, regiões são definidas por inequações, entre outras possibilidades. Têm-se também os vetores planos, que podem ser somados, multiplicados por escalares ou multiplicados para dar um resultado escalar. O que de novo podem trazer a esse plano os números complexos? O plano não é o mesmo? A resposta vem exatamente da estrutura algébrica de cada um desses espaços. O conjunto suporte é o mesmo: os pontos do plano. As operações entre seus elementos é que variam. No caso dos números complexos, por exemplo, uma operação simples como a multiplicação por um número fixado pode definir uma rotação composta com uma homotetia (redução ou ampliação). Como esse tema não foi desenvolvido nestas dinâmicas, vamos ficar num exemplo bem simples. A multiplicação de um número complexo pela unidade imaginária i leva o número z = a + b i no número w = b + a i. Ou seja, leva o ponto de coordenadas cartesianas (a, b) no ponto de coordenadas cartesianas ( b, a), o que significa uma rotação de 90º em torno da origem, no sentido anti-horário. Matemática z = a+ bi w = i (a + bi) = ai + bi = b + ai em: Você pode executar movimentos com triângulos no plano de Argand Gauss 13

14 . Para seus alunos, você pode sugerir os sonhos de Hans que explicam bem os números complexos, embora o Hans precise ainda aprender a conjugar os verbos quando usa o tratamento de tu e o verbo na terceira pessoa. O vídeo se encontra em: Sinopse: O Jovem Hans se depara com as palavras complexo e imaginário e fica muito incomodado, pois, para ele, Matemática deveria ser real, concreta e exata. Resolve dormir e sonha com um personagem estranho, que tem meia barba, usa bermudas e fraque e é uma mistura dos dois personagens do livro O Médico e o monstro o qual representa uma dualidade do mundo. Ao acordar entende que o sonho mostrou um pouco da magia dos números complexos. 3. Em: Professor Você encontra um segundo vídeo sobre os números complexos com o mesmo personagem Hans, um jovem estudante. Hans vai dormir e sonha com outro jovem. Agora é o Morfeu, o deus dos sonhos. Morfeu explica direitinho ao jovem sobre a história dos números complexos, chegando à fórmula de De Moivre. Agora, é com você! 1. Efetue as seguintes operações entre números complexos, escrevendo o resultado na forma algébrica (parte real e parte imaginária): a. ( + 3 i) + (3 + i) = ( + 3) + (3 + ) i = i b. ( + 3 i) (3 + i) = ( 3) + (3 ) i = 1 + i c. ( 4 i) + (3 + i) = ( 4 + 3) + ( + ) i = 1 d. (1 + i) (1 i) = (1 + 1) (1 1) i = e. (a + b i) (a b i) = a² + b² + ( ab ab) i = a² + b². Calcule (3 + i) ( x + y i). (3 + i) ( x + y i) = 3x + 3y i + x i + y i = (3x y) + (x + 3y) i. Resposta 14

15 3. Determine os valores de x e de y para os quais (3 + i) ( x + y i) = + 3 i. Resposta Pelo exercício anterior, os valores de x e de y que satisfazem a essa condição são as soluções do sistema: `3x y =. x + 3y = 3 Resolvendo este sistema pelo método de Cramer, tem-se: Matemática D = D x = = 3 3 ( ) = 3 + = = 13 = = 1, donde x = 1 13 D y = 3 3 = 9 4 = 5, donde y = 5 13 Donde se conclui que (3 + i) ( i) = + 3 i O aluno poderá resolver esse problema também por adição, multiplicando a 1ª equação por 3 e a ª equação por para eliminar a incógnita y: `9x 6y = 6 4x + 6y = 6.que, somadas dão: 13x = 1, donde x = e, multiplicando a 1ª equação por e a ª equação por 3, dá para eliminar a incógnita x: 6x + 4y = 4.que, somadas dão: 13y = 5, donde y = 6x + 9y = 9 O que confirma que: (3 + i) ( i) = + 3 i. 13 Observe que, então, conclui-se que: + 3i 3 + i = i

16 4. Calcule: ( + 3i) (3 i), efetuando as multiplicações em primeiro lugar. (3 + i) (3 i) Resposta ( + 3 i) (3 i) = ( 4 + 9) i = i (3 + i) (3 i) = ( 6 + 6) i = 13. ( + 3i) (3 i) Prosseguindo: = (3 + i) (3 i) 1 + 5i 13 = i. Como as quatro operações entre os números complexos satisfazem às mesmas condições que nos números reais, comparando este resultado com o obtido no exercício anterior, tem-se, novamente: + 3i ( + 3i) (3 i) = 3 + i (3 + i) (3 i) = i. Professor Observação: Este é um procedimento que pode ser usado em geral. Para encontrar o quociente a + bi, com c + d i 0. c + di (a+ bi) (c di) Calcula-se: = (c+ di) (c di) (a+ bi) (c di) e, como o denominador é real e c + d diferente de 0 (pois, pelo menos, c ou d deve ser diferente de 0), basta dividir a parte real e a parte imaginária do numerador pelo denominador que se encontram as partes real e imaginária do quociente. Se z = c + d i, o número obtido pela troca de sinal da parte imaginária de z se chama conjugado de z e se indica por z : z = c d i. Note que, então: z z = c + d é sempre um número real e só é 0 quando c = d = 0, isto é, z z só é igual a 0 se z = Calcule: 3 + 4i 1 + i e tire a prova real, fazendo a multiplicação. Resposta Pelo que foi visto, o caminho é calcular 16

17 (3 + 4i) (1 i) = (1 + i) (1 i) E a prova real é: ( 6 + 4)i = i 5 = i. ( i) (1 + i) = [ ( 5 ) ] + [ ( 5 ) 1] i = = [ ] + [ 5 5 ] i = i = i. Matemática 17

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19 Acompanhar Hugo Acompanhar Zé Acompanhar Luísa Anexo Acompanhar Hugo Acompanhar Zé Acompanhar Luísa Avó Hugo Zé Luísa Narrador Escriba 19

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