Análise Probabilística de Estabilidade de Taludes pelo Método de Monte Carlo

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1 Análise Probabilística de Estabilidade de Taludes pelo Método de Monte Carlo Marco Aurelio Flores Apaza LENC Consultoria e Engenharia, São Paulo, Brasil, marcogeotec@gmail.com José Maria de Camargo Barros Instituto de Pesquisas Tecnológicas IPT, São Paulo, Brasil, jmbarros@ipt.br RESUMO: As análises de estabilidade de taludes são em geral realizadas por métodos determinísticos e avaliadas por meio de um fator de segurança. Embora se saiba que os parâmetros geotécnicos podem apresentar grande dispersão, nessas análises eles são considerados fixos e conhecidos. Os métodos probabilísticos, por sua vez, quantificam as incertezas oriundas da variabilidade dos parâmetros geotécnicos, permitindo a determinação de um índice de confiabilidade e de uma probabilidade de ruína. Existem três métodos probabilísticos frequentemente utilizados no meio geotécnico: Primeira Ordem e Segundo Momento (FOSM), Estimativas Pontuais (PE) e Monte Carlo (MC). São analisados no trabalho pelo método de MC dois casos reais de estabilidade de taludes, o primeiro de um talude de mineração e o segundo de um talude submerso, ambos reportados na literatura técnica com análises probabilísticas pelos métodos FOSM e PE. Os seguintes métodos de estabilidade foram empregados no estudo: Fellenius, Bishop Simplificado, Janbu, Spencer e MorgensternPrice. Em ambos os casos estudados, verificouse que o índice de confiabilidade e a probabilidade de ruína são influenciados pelos métodos de análise de estabilidade adotados. Também se verificou que o método de MC apresenta diversas vantagens perante os outros dois métodos probabilísticos. Recomendase a sua aplicação em conjunto com as análises de estabilidade determinísticas. PALAVRASCHAVE: Estabilidade de Taludes, Análise probabilística, Probabilidade de ruína, Índice de confiabilidade. 1 INTRODUÇÃO As análises de estabilidade de taludes são tradicionalmente realizadas com o emprego de métodos determinísticos e avaliadas por meio de um fator de segurança (FS). Nessas análises, os parâmetros geotécnicos dos solos envolvidos, embora possam apresentar grande dispersão, são considerados fixos. Um enfoque probabilístico para estudar a estabilidade de taludes, por sua vez, permite quantificar as incertezas oriundas da variabilidade dos parâmetros geotécnicos, com a determinação de um índice de confiabilidade e de uma probabilidade de ruína. Os métodos probabilísticos não são novos; na realidade foram desenvolvidos há algumas décadas. Infelizmente, o seu uso na engenharia geotécnica não tem sido tão expressivo quanto se poderia desejar. Este trabalho apresenta um estudo comparativo dos métodos probabilísticos Primeira Ordem e Segundo Momento (FOSM), Estimativas Pontuais (PE) e Monte Carlo (MC) aplicados a dois casos da literatura, o primeiro de um talude de mineração e o segundo, o caso de um talude submerso. 2 INDICE DE CONFIABILIDADE E PROBABILIDADE DE RUÍNA O fator de segurança pode ser substituído pela margem de segurança: Z=RS (1)

2 sendo R e S, respectivamente, resistência e solicitação. Definese probabilidade de ruína P f como sendo a probabilidade de Z 0. informação suficiente, a adoção de distribuição de probabilidade normal é um procedimento a favor da segurança. Se a resistência e a solicitação seguem distribuições normais, então a probabilidade de ruína pode ser avaliada como: P f =1ф(β)= ф(β) (2) onde ф é a função de distribuição normal e β é o parâmetro usado para caracterizar o grau de segurança comumente chamado de Índice de Confiabilidade, definido pela expressão: Normal R S Z Z 2 2 R S RS R S (3) onde µ R, µ S, µ Z, σ R, σ S e σ Z são as médias e desviospadrões de R, S e Z respectivamente. O coeficiente de correlação entre R e S é denotado por ρ RS. Podese também calcular o índice de confiabilidade pela expressão: 1 FS (4) FS onde µ (FS) e σ (FS) são respectivamente a média e o desviopadrão do fator de segurança. No caso em que R e S apresentem distribuições lognormais, o índice de confiabilidade será: Lognormal Ln FS 2 Ln 1 c 2 LnFS 2 v, FS LnFS LnFS (5) sendo C v,fs =σ FS /µ FS (coeficiente de variação de FS) A Figura 1 mostra a relação entre o índice de confiabilidade (normal e lognormal) e a probabilidade de ruína. Observase que, para valores de β>0,8, a distribuição normal fornece valores de P f superiores que a distribuição lognormal, enquanto que para β<0,8 podese considerar que P f independe do tipo de distribuição. Portanto, quando não há Figura 1. Relação entre probabilidade de ruína e índice de confiabilidade para distribuição normal e lognormal de FS (adaptado de Dell Avanzi e Sayão,1998). 3 METODOS PROBABILÍSTICOS Existem três métodos probabilísticos frequentemente utilizados no meio geotécnico: Monte Carlo, também conhecido como método direto, e os métodos de Primeira Ordem e Segundo Momento (FOSM) e das Estimativas Pontuais (PE), também conhecidos como indiretos. 3.1 Método FOSM O método FOSM é desenvolvido por uma expansão da série de Taylor, para a determinação da distribuição de probabilidade de uma função com um certo número de variáveis aleatórias. O desenvolvimento matemático é abordado e descrito por Harr (1987). 3.2 Método das Estimativas Pontuais (PE) Este método, proposto por Rosenblueth (1975), assume uma distribuição normal para os fatores de segurança calculados com as variáveis nos pontos de estimativa, o fator de segurança médio é calculado pelo primeiro momento da distribuição. 3.3 Método de Monte Carlo (MC) O método de MC ganhou significância com o desenvolvimento de computadores para a

3 automação de dados. Para aplicação do método, é necessário conhecer as funções de densidade de probabilidade das variáveis aleatórias. Fazse uma série de análises, por um método determinístico qualquer, sendo que em cada uma delas atribuise um valor a cada variável aleatória a partir de sua distribuição de probabilidade. Após um grande número de simulações, é construído um histograma com todos os dados armazenados, obtendose uma função de distribuição de probabilidade do fator de segurança (Figura 2) e como consequência a probabilidade de ruína. Há dois aspectos importantes a considerar no método de MC. O primeiro referese à procura da superfície crítica para cada conjunto de valores de entrada de dados gerados aleatoriamente, o que envolve significativo esforço computacional, tornandose pouco prático. A maneira comumente usada para resolver essa dificuldade é tomar como superfície de ruptura crítica aquela obtida pelo método determinístico, portanto independente dos valores do conjunto de dados de entrada da análise probabilística (El Ramly, 2001). Figura 2 Gráfico de distribuição de probabilidade do FS, Talude Submerso, método Spencer. O segundo aspecto importante é a quantidade de iterações, pois quanto mais iterações forem feitas maior acurácia terá a solução. A maneira prática para determinar o número adequado de iterações é através do gráfico de convergência. A Figura 3 apresenta exemplo desse gráfico, para um caso de uma simulação de MC com iterações. Verificase que uma quantidade de iterações seria suficiente para atingir valores de probabilidade de ruína estáveis. Figura 3 Gráfico de convergência de probabilidade, Talude Submerso, método Spencer. O método de Monte Carlo apresenta uma série de vantagens perante os outros dois métodos. Fornece a curva de distribuição estatística do fator de segurança e a curva de convergência da probabilidade de ruína, permite o uso de diferentes tipos de distribuição probabilística para os parâmetros geotécnicos, de várias camadas de solos com diferentes distribuições de probabilidade e ainda de correlações entre as variáveis envolvidas nas análises. 4 OBTENÇÃO DE DADOS ESTATISTICOS Para a aplicação de métodos probabilísticos em estudos geotécnicos, são necessários os valores estatísticos de média e variância. Quando não se dispõe de dados e apenas são conhecidos os valores médios dos parâmetros, é possível estimar os desviospadrões e consequentemente as variâncias a partir de coeficientes de variação existentes na literatura. Valores típicos podem ser encontrados em Ribeiro (2008). Para uma estimativa do desvio padrão em análises probabilísticas, Duncan (2000) propõe usar a Three Sigma Rule, baseada no fato de que 99,7% dos dados normalmente distribuídos estão dentro de ±3σ. A expressão 6 pode ser utilizada para obtenção do desviopadrão, quando se dispõe de dados limitados ou para avaliar coeficientes de variação publicados na literatura. HCV LCV (6) 6 onde HCV e LCV são o maior e o menor valor

4 concebível do parâmetro, respectivamente. 5 PROBABILIDADE DE RUÍNA E ACEITÁVEIS recomendados: 10 4 (Santamarina et al., 1992), 10 3 (Wolff, 1996) e 2x10 2 (ElRamly, 2001). Têm sido publicados, na literatura técnica, critérios para o gerenciamento do risco em função da probabilidade de ruína ou índice de confiabilidade e das consequências (vidas humanas, construções afetadas, prejuízos, etc.) para diferentes tipos de obras. Como se pode verificar a seguir, há variações consideráveis entre os critérios propostos. Na Tabela 2, apresentamse, de acordo com o Corps of Engineers (1997), níveis de desempenho esperados em função da probabilidade de ruína e do índice de confiabilidade. Verificase que um nível médio de desempenho corresponde nessa tabela a uma probabilidade de ruína de Tabela 2. Relação entre índice de confiabilidade e probabilidade de ruína. Nível Índice de Probabilidade confiabilidade de ruína Alto Bom Acima da média Abaixo da media Pobre Não satisfatório Perigoso 5,0 4,0 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 3 x x ,0013 0,006 0,023 0,07 0,16 Na Figura 4 e na Tabela 3, apresentamse limites de risco admissíveis propostos por Whitman (1984) e por Dell avanzi e Sayão (1998) para projetos de engenharia. Para o caso específico de taludes de minas, Whitman considera como aceitável uma P f =10 1, enquanto Dell avanzi e Sayão propõem 10 1 a Sandroni e Sayão (1992), baseados em retroanálises de taludes estáveis e rompidos de mineração de ferro, concluem pela adoção de P f =2,3x10 2 como valor máximo de projeto. Para taludes de barragens, têmse as seguintes probabilidades de ruína aceitáveis: <10 4 (Whitman, 1984), de 10 3 a 10 5 (Dell avanzi e Sayão, 1998) e 3x10 5 (Wolff, 1996). Finalmente, para taludes em geral foram encontrados na literatura os seguintes valores Figura 4. Valores usuais de probabilidade e consequências de ruína (Adaptado de Whitman, 1984) Tabela 3. Valores típicos de índice de confiabilidade e probabilidade de ruína (Dell avanzi e Sayão, 1998) Casos Fundações Taludes de mineração Barragens Estruturas de Contenção Índice de Confiabilidade 2,3 a 3,0 1,0 a 2,3 3,5 a 5,0 2,0 a 3,0 Probabilidade de ruína 10 2 a a a a APLICAÇÃO EM DOIS CASOS DA LITERATURA TÉCNICA São analisados neste trabalho pelo método de MC dois casos reais de estabilidade de taludes, o primeiro de um talude de mineração, apresentado por Sandroni e Sayão (1992), Farias e Assis (1998) e Sayão et al. (2012) e o segundo, um talude submerso apresentado por Duncan (2000). Maiores detalhes desta aplicação do método de MC podem ser encontrados em Flores (2013). 6.1 Talude de mineração Sandroni e Sayão (1992) e Sayão et al. (2012) apresentaram procedimentos para a previsão da probabilidade de ruína, pelo método FOSM, de um talude de mineração a céu aberto apresentado esquematicamente na Figura 5.

5 O material constituinte do talude era predominantemente de saprolito de quartzito ferrífero, com o nível de água, determinado por meio de piezômetros, na profundidade próxima a 80,0m abaixo da crista do talude. Figura 5. Seção típica para análise de estabilidade de talude As análises de estabilidade realizadas considerando uma superfície circular e com os valores de parâmetros geotécnicos médios apresentados na Tabela 4, indicaram, pelo método de Janbu, um FS=1,34. Os parâmetros geotécnicos e as variâncias foram obtidos de uma campanha de 50 ensaios de cisalhamento Safety Factor direto em amostras indeformadas Tabela 4. Parâmetros geotécnicos adotados (Sandroni e Sayão, 1992) c NA (kpa) ( ) (m) (kn/m 3 ) sat (kn/m ) µ , , ±24,3 ±5 ±20,0 ±1, ±1, Tabela 6 Resumo dos resultados do FS para o talude de mineração (Farias e Assis, 1998) Método Fellenius Bishop Janbu MPrice adotado FOSM 1,166 1,280 1,180 1,279 µ (FS) PE 1,160 1,254 1,175 1,253 FOSM 0,157 0,169 0,155 0,166 (FS) P f (%) PE FOSM PE 0,152 14,50 14,60 0,172 4,90 7,00 0,160 12,30 13,70 0,171 4,70 6,90 Com a finalidade de comparação, apresentase neste trabalho o resultado de uma nova análise de estabilidade do mesmo talude. Desta vez, utilizouse o método de MC, fazendo uso do software geotécnico Slide, considerando iterações, usando os parâmetros geotécnicos adotados por Sandroni e Sayão (1992). Nas análises de estabilidade foram adotados para o ângulo de atrito desviospadrões de 3 e 5. Os métodos empregados nas análises de estabilidade foram: Fellenius, Bishop Simplificado, Janbu e MorgensternPrice. A Figura 6 apresenta o modelo usado nas análises de estabilidade. Os resultados obtidos estão apresentados na Tabela W Os resultados obtidos pelos autores para a avaliação da probabilidade de ruína pelo método FOSM são apresentados na Tabela 5. Farias e Assis (1998) analisaram o mesmo talude de mineração pelos métodos FOSM e PE, considerando quatro diferentes métodos de análise de estabilidade. A Tabela 6 apresenta um resumo dos resultados. Tabela 5. Resumo de análise de estabilidade pelo método FOSM (Sandroni e Sayão, 1992) µ(fs) (FS) P f (%) β Resultados 1,341 0,161 1,80 ( 1:60) 2,12 W Material Name Solo saprolitico Quartzito ferrífero Color Unit Weight (kn/m3) Sat. Unit Weight (kn/m3) Strength Type Cohesion (kpa) Phi Water Surface (deg) Solo saprolitico Quartzito ferrífero MohrCoulomb Water Surface Figura 6. Modelo adotado nas análises de estabilidade pelo método de Monte Carlo Podese verificar que os FS determinísticos variam entre 1,177 (Janbu) e 1,269 (MorgensternPrice), sendo que o método de Bishop apresenta valor próximo do limite superior e o método de Fellenius valor intermediário. Foram obtidos valores ligeiramente superiores para os FS médios obtidos pelo método de MC. É interessante observar que os métodos de Bishop e MorgensternPrice apresentaram

6 valores praticamente idênticos. Tabela 7. Resumo dos resultados de análises probabilísticos para o talude de mineração pelo método de MC. Bishop Fellenius Janbu M&Price Simplificado =3 =3 =3 =3 =5 =5 =5 =5 FS determ.. 1,203 1,268 1,177 1,269 µ(fs) 1,247 1,312 1,217 1,312 1,256 1,322 1,226 1,322 (FS) 0,127 0,134 0,125 0,134 0,212 0,223 0,208 0,223 P f (%) 1,94 0,494 3,39 0,494 β 10,56 1,94 1,21 6,254 2,33 1,44 13,422 1,74 1,09 6,250 2,33 1,44 Podese verificar que a probabilidade de ruína e o índice de confiabilidade sofrem forte dependência do desviopadrão do ângulo de atrito, como já sugerido por Sandroni e Sayão (1992). Ao se variar o desvio padrão do ângulo de atrito de 3º para 5º, a probabilidade de ruína aumentou de 4 a 12 vezes, dependendo do método de análise de estabilidade utilizado. A Tabela 8 apresenta a comparação dos resultados obtidos pelos métodos probabilísticos FOSM (Sandroni e Sayão, 1992), FOSM e PE (Farias e Assis, 1998) e MC. Tabela 8. Resumo dos resultados de análises probabilísticos pelos métodos FOSM, PE e MC Método Felle nius Bishop Janbu M&Price FOSM 1 1,166 1,280 1,180 1,279 µ (FS) FOSM 3 1,341 PE 1 1,160 1,254 1,175 1,253 MC 2 1,256 1,322 1,226 1,322 (FS) p f (%) β FOSM 1 FOSM 3 PE 1 MC 2 FOSM 1 FOSM 3 PE 1 MC 2 FOSM 1 FOSM 3 PE 1 MC 2 0,157 0,152 0,212 14,50 14,60 10,56 1,058 1,053 1,209 0,169 0,172 0,223 4,90 7,00 6, ,477 1,443 0,155 0,161 0,160 0,208 12,30 1,67 13,70 13,42 1,161 2,12 1,094 1,089 0,166 0,171 0,223 4,70 6,90 6,25 1,679 1,480 1,441 Fonte: Farias e Assis (1998) 1, MC(=5º) 2, Sandroni e Sayão (1992) 3 Podese notar que: a) os valores de FS médios e de P f obtidos por Sandroni e Sayão (1992) são discrepantes em relação aos demais; b) os métodos de Fellenius e Janbu resultam em valores próximos de FS médio e de P f ; c) os métodos de Bishop Simplificado e MorgensternPrice resultam em valores próximos de FS médio e de P f ; d) Os métodos de Bishop Simplificado e MorgensternPrice resultam em valores mais elevados de FS e em valores mais baixos de P f que os obtidos pelos outros dois métodos; d) em relação aos métodos probabilísticos, o método de MC foi o que resultou nos maiores valores de FS médio; em termos de P f não se observa grande diferença entre os métodos probabilísticos. Adotando P f = 6,25% (MC, métodos de MorgensternPrice e Bishop), temse uma probabilidade de ruína muito superior à recomendada por Whitman (1984), Sandroni e Sayão (1992) e Dell avanzi e Sayão (1998), confirmando que o talude estudado apresentava um nível de segurança abaixo do normalmente aceitável. 6.2 Talude Submerso Duncan (2000) apresenta uma análise de estabilidade pelo método probabilístico FOSM, de um talude submerso, de 30m de altura e 600m de comprimento em planta, localizado na área portuária da cidade de São Francisco. O solo do talude é uma argila siltosa orgânica, normalmente adensada e de origem marinha e foi escavado com inclinação de 1V:0,875H. Em 20 de agosto de 1970, após escavação ao longo de 150m em planta, ocorreram deslizamentos e ruptura do talude num trecho de 135m. A Figura 7 apresenta a seção transversal do talude antes e após o deslizamento. Maiores detalhes a respeito da ruptura podem ser encontrados em Duncan e Buchignani (1973). Os parâmetros adotados pelo autor para as análises de estabilidade estão apresentados na Tabela 9. Um resumo dos resultados é apresentado na Tabela 10, onde se nota um valor de P f =18%. Duncan não informa em seu trabalho qual o método de estabilidade que utilizou, porém

7 Elevação ft MLLW Safety Factor supõese que foi empregado o método de Janbu, em razão dos resultados obtidos. Superfície escavada antes da ruptura Superfície após a ruptura Profundidade no momento da ruptura Superfície antes da ruptura Profundidade de projeto Bahia de San Francisco Superfície de ruptura estimado 1ft =0,305m Solo resistente Dique Figura 7. Geometria da ruptura do talude submerso (adaptado de Duncan, 2000). Tabela 9. Parâmetros geotécnicos da argila orgânica Variação Peso Coesão da espec. Coesão saturado kpa kpa/m kn/m 3 µ 4,79 1,54 15,71 Cv (%) 1,25 3,30 0,19 0,518 Tabela 10 Resumo dos resultados de análises probabilísticos, pelo método FOSM Resultado µ (FS) 1,17 (FS) 0,18 P f (%) 18,0 ( 1:6) β 0,94 Com a finalidade de comparação, apresentamse neste trabalho os resultados de uma análise de estabilidade pelo método de MC, usando os mesmos parâmetros adotados por Duncan. Foram utilizados os métodos de análise de Fellenius, Bishop Simplificado, Janbu, Spencer e MorgensternPrice, usando a mesma superfície de ruptura. A Figura 8 apresenta o modelo usado na análise , ,875 1 W Material Name Color Unit Weight (kn/m3) Argila siltosa orgânica Strength Type Cohesion (kpa) Cohesion Type Argila siltosa orgânica Undrained FDatum Figura 8. Modelo geométrico usado nas análises de estabilidade (em metros) Nas análises pelo método de MC foram consideradas iterações. A Tabela 11 apresenta o resumo dos resultados. Podese observar que: a) os FS médios dos métodos probabilísticos foram ligeiramente superiores aos FS determinísticos; b) o método de Janbu foi o que resultou no menor FS médio e no maior valor de P f, os métodos de Spencer e MorgensternPrice apresentaram valores intermediários e os métodos de Fellenius e Bishop Simplificado apresentaram os valores mais elevados de FS e mais baixos de P f ; c) em relação aos métodos probabilísticos, os métodos MC e FOSM apresentaram valores de FS e P f relativamente próximos. Tabela 11. Resumo das análises probabilísticas, pelo método de MC /Método F BS J S MP FS Determ. 1,191 1,202 1,126 1,156 1,158 µ (FS) FOSM 1,17 MC 1,202 1,211 1,135 1,166 1,167 (FS) FOSM 0,18 MC 0,175 0,166 0,154 0,159 0,159 P f (%) FOSM 18,00 MC 10,25 9,12 18,81 14,16 13,89 β FOSM 0,94 MC 1,214 1,276 0,880 1,045 1,055 F: Fellenius; BS: Bishop Simplificado; J: Janbu; S: Spencer e MP: MorgensternPrice. Os valores de probabilidade de ruína determinados (entre 9,1 a 18,8%) não atendem a nenhum dos critérios apresentados anteriormente, sendo classificado pelo Corps of Engineers (1997), como de nível perigoso. 7 CONCLUSÕES Neste trabalho foram analisados pelo método de Monte Carlo dois casos reais de estabilidade de taludes, o primeiro de um talude de mineração e o segundo de um talude submerso, ambos reportados na literatura técnica com análises probabilísticas pelos métodos FOSM e PE. Os seguintes métodos de estabilidade foram empregados no estudo: Fellenius, Bishop Simplificado, Janbu, Spencer e Morgenstern Price. Em ambos os casos estudados, verificouse que o fator de segurança médio e a probabilidade de ruína são influenciados pelos métodos de análise de estabilidade adotados. O método de

8 Janbu foi o que resultou em menores FS e maiores P f. Maiores FS e menores P f foram obtidos pelo método de Bishop Simplificado. Por outro lado, não se notou grande influência do método probabilístico utilizado no valor da probabilidade de ruína, observandose valores ligeiramente menores para o método FOSM em relação aos métodos PE e MC. Pôdese verificar que a probabilidade de ruína é fortemente dependente da variabilidade do ângulo de atrito. Ao se variar o desvio padrão do ângulo de atrito de 3º para 5º, a probabilidade de ruína aumentou de 4 a 12 vezes, dependendo do método de análise de estabilidade utilizado. O método de Monte Carlo apresenta uma série de vantagens perante os outros dois métodos probabilísticos. Fornece a curva de distribuição estatística do fator de segurança e a curva de convergência da probabilidade de ruína, permite o uso de diferentes tipos de distribuição probabilística para os parâmetros geotécnicos, de várias camadas de solos com diferentes distribuições de probabilidade e ainda de correlações entre as variáveis envolvidas nas análises. O conceito de probabilidade de ruína pode se tornar uma ferramenta muito valiosa na avaliação da segurança de taludes, pois leva em consideração a variabilidade dos parâmetros dos materiais geotécnicos. Porém, o trabalho mostrou que ainda não existe um consenso quanto ao que seria uma probabilidade de ruína aceitável para uso em análise de estabilidade de taludes. Somente com a realização mais frequente de análises probabilísticas e a divulgação de seus resultados, será possível aumentar gradativamente a experiência na definição de valores aceitáveis do P f e β para taludes e para os demais tipos de obras geotécnicas. REFERÊNCIAS Corps of Engineers, Engineering and Design Introduction to Probability and Reability Methods for Use in Geotechnical Engineering, Engineering Technical Letter N , Department of the Army, U. S., Washington, DC Dell avanzi, E. e Sayão, A.S. Avaliação da Probabilidade de Ruptura de Taludes. In: COBRAMSEG, 11, 1998, Brasília, Anais. Brasília, v. 2, p Duncan J. M. Factors of Safety and Reliability in Geotechnical Engineering. Journal of Geot. and Geoenvir. Engineering, Volume 126, Number 4, pp , Duncan, J. M. e Buchignano, A. L. Failure of Underwater Slope in San Francisco Bay. Journal Soil Mech. and Foundation, Division, ASCE, USA, Vol. 99 (9), p , ElRamly, H. Probabilistic Analyses of Landslide Hazards and Risks: Bridging Theory and Practice PhD. Thesis, University of Alberta, Canada, Farias, M. M. e Assis, A. P. Uma Comparação entre Métodos Probabilísticos Aplicados à Estabilidade de Taludes. In: COBRAMSEG, 11, 1998, Brasília. Anais... Brasília 1998.v. 2: p Flores, M. A, Análise Probabilistica de Estabilidade de Taludes pelo Método de Monte Carlo p. PósGraduação. Prática de Fundações e Geotecnia em Empreendimentos Imobiliarios, FESP, SP, Harr, M. E. Reliability Based Design in Civil Engineering. New York, McGrawHill, Ribeiro, R. C. H. Aplicações de Probabilidade e Estatística em Análises Geotécnicas p. Teses de Doutorado. PUC, Rio de Janeiro, Rocscience. Slide v Theory Manual. Rocscience, Toronto, Ontario, Canada, Rosenblueth, R.Y. Point Estimates for Probability Moments. Proc. of the Nat. Acad. of Sciences, Mathematics Section, vol. 72 (10), p.p Sandroni, S. S. e Sayao, A. S. F. J. Avaliação Estatística do Coeficiente de Segurança de Taludes. In: COBRAE, I, ABMS, Rio de Janeiro, p Santamarina P.J.; Altschaeffl A.G. e Chameu, J.L. Reliability of Slopes: Incorporating Qualitative Information Transportation research Record 1343, Rockfall,Prediction, control and landslide case histories, p 15, Sayão, A.S.F.J.; Sandroni, S. S.; Fontoura, S.A.B.; Ribeiro, R. C. H. Considerations on the Probability of failure of mine slopes. Soils & Rocks, v. 35, p. 3137, Whitman, R. V. Evaluating Calculated Risk in Geotechnical Engineering. Journal of the Geotechnical Engineering, Division ASCE, vol. 110 (2), , Wolff, T. F. "Probabilistic Slope Stability in Theory and Practice". Invited Paper, In Uncertainty in the Geologic Environment: From Theory to Practice, Proceedings of Uncertainty 96, ASCE Geotechnical Special Publication ASCE, USA, Number 58, pp