ATIVIDADES COM FRACTAIS EM UMA PROPOSTA DE INOVAÇÃO CURRICULAR PARA CURSOS DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES

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1 ATIVIDADES COM FRACTAIS EM UMA PROPOSTA DE INOVAÇÃO CURRICULAR PARA CURSOS DE FORMAÇÃO DE PROFESSORES José Carlos Leivas, UFPR e Helena Noronha Cury, PUCRS Neste trabalho, apresenta-se parte de um projeto de tese de doutorado, em que se sugere e analisa uma proposta de trabalhar com fractais com auxílio do software Geometricks. Faz-se menção a algumas características do sentido do símbolo, tais como a conscientização de que se pode manejar relações algébricas que expressam informações dadas em mais de um tipo de representação. Apontam-se algumas referências à obra de Mandelbrot e, em seguida, detalha-se a proposta de atividade de construção do fractal em X de quadrados. Pelos resultados obtidos em aplicações da atividade em cursos de formação de professores, conclui-se que a possibilidade de relacionar processos recursivos, fractais e recursos tecnológicos em cursos de Licenciatura em Matemática possibilita aos docentes o conhecimento de novos conteúdos, métodos e recursos para o ensino. INTRODUÇÃO Com vistas a identificar a Geometria que é ensinada em cursos de Licenciatura e Bacharelado no Estado do Rio Grande do Sul, bem como implementar experimentos de ensino em Geometria com alunos de formação inicial em Matemática e, a partir dessas experiências, indicar elementos para uma nova proposta de ensino dessa área, foi elaborado um projeto de pesquisa a ser desenvolvido em um curso de Doutorado em Educação. Neste trabalho, apresentamos apenas um recorte do projeto de tese, em que algumas experiências de ensino estão sendo planejadas, com base em resultados provenientes da prática do primeiro autor como professor de Geometria, em cursos de formação inicial e continuada de professores durante mais de 20 anos. A associação entre Álgebra e Geometria, em atividades para o Ensino Fundamental e Médio de Matemática, tem sido apresentada em livros didáticos, artigos e dissertações. Hellmeister e Galvão (1998) relatam atividades desenvolvidas com professores da rede pública paulista, em um programa de formação continuada, com o objetivo de modelar, por meio de peças coloridas de cartolina, expressões algébricas de 1º e 2º graus, utilizadas, posteriormente, para resolução de equações e fatoração de trinômios de segundo grau. Groenwald et al. (1999) mencionam um projeto desenvolvido em escolas públicas de uma cidade da Grande Porto Alegre, trabalhando com materiais manipulativos para a introdução de operações com polinômios. Mottin (2004) faz uso de

2 recursos didático-pedagógicos para a resolução de problemas que envolvem produtos notáveis e Teorema de Pitágoras, em uma 8ª série de uma escola privada do interior do Rio Grande do Sul. Essas propostas levam em conta, especialmente, a possibilidade de utilizar mais de uma representação para conceitos matemáticos, aproveitando operações e propriedades já conhecidas pelos alunos para introduzir novos entes matemáticos. No entanto, nesses casos exemplificados e em outros que seguem a mesma orientação, os conteúdos de Álgebra são aqueles trabalhados no Ensino Fundamental e os geométricos são os tradicionalmente estudados em Geometria Plana. Acreditamos que há muitas outras possibilidades de relacionar Álgebra e Geometria, inclusive pensando em termos de atividades para Ensino Médio ou superior. É com essa idéia que trabalhamos neste texto, sugerindo uma proposta para uso de um software de Geometria Dinâmica (Geometricks), habilidades associadas ao ensino de Álgebra e uma construção que foge dos padrões euclidianos, relacionada aos fractais. HABILIDADES PARA APRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA Entre as habilidades necessárias para a aprendizagem de Álgebra, tem sido citado o sentido do símbolo e Arcavi (1995, p. 159) reporta-se a uma idéia não totalmente definida sobre esse constructo, apresentada por Fey, em 1990: uma habilidade informal de lidar efetivamente com expressões simbólicas e operações algébricas. Fey considera, entre as componentes básicas do sentido do símbolo, a habilidade de examinar uma expressão algébrica para fazer estimativas aproximadas dos padrões que podem emergir ou das representações gráficas (apud Pierce e Stacey, 2004). Ainda que não esteja apresentando uma definição para o sentido do símbolo, que segundo ele é uma noção complexa e multifacetada, Arcavi (1994) apresenta características que devem estar incluídas nesse sentido. Entre elas, podemos citar: a) um sentimento de quando se deve abandonar os símbolos e usar outras abordagens, ao resolver um problema; b) a conscientização de que se pode manejar relações algébricas que expressam informações dadas em mais de um tipo de representação. Pelas idéias acima apresentadas, vemos que entre as habilidades a serem desenvolvidas no ensino de Álgebra estão a visualização de padrões e sua representação simbólica. No entanto, se partirmos de uma determinada representação, como um fractal, obtido por um processo iterativo gerado por um software, a possibilidade de entender o processo em si será maior. Brandão (2002) propôs a construção de fractais por meio de processos de recorrência, para a exploração de conceitos algébricos, como progressões geométricas e somatórios. Leivas (2007), em um mini-curso sobre as conexões entre dimensão, logaritmo e fractais, propôs a construção de objetos fractais cujas dimensões, dadas por números decimais, pudessem ser expressas por logaritmos, proporcionando

3 ao professor que atua na escola básica algum significado para o estudo da função logarítmica. Neste trabalho, pretendemos sugerir mais uma relação entre Álgebra e Geometria, propondo o desenvolvimento de habilidades algébricas a partir da obtenção e visualização do resultado de um processo algébrico, o fractal, objeto de uma nova Geometria. A GEOMETRIA FRACTAL Benoit Mandelbrot, matemático de origem polonesa radicado em Paris, iniciou o estudo da Geometria Fractal a partir da busca de padrões irregulares e fragmentados, encontrados na natureza e em conjuntos de dados aparentemente imprevisíveis. Mandelbrot (1977) questiona o fato de que a Geometria é freqüentemente descrita como fria e árida e argumenta que essa descrição está ligada à sua inabilidade de descrever formas da natureza. O autor acrescenta que muitos padrões da natureza são tão irregulares e fragmentados que, comparados com Euclides [...], a natureza exibe não somente um grau mais alto, mas um nível completamente diferente de complexidade. (p. 1). O ente matemático descrito por Mandelbrot é designado pela palavra fractal, que tem origem no latim fractus, que significa irregular ou quebrado. Partindo de conceitos da Topologia, Mandelbrot (1977) definiu fractal como um conjunto para o qual a dimensão Hausdorff Besicovitch excede estritamente a dimensão topológica. (p. 15). Segundo Barbosa (2002), essa definição recebeu críticas e foi sendo reformulada por vários matemáticos, entre eles Falconer, que considerou que um conjunto F é um conjunto fractal se, por exemplo, pode ser expresso através de um procedimento recursivo ou iterativo. (Barbosa, 2002, p. 19). Um processo é dito recursivo ou iterativo quando, ao final de sua execução (algoritmo que permite sua criação), é executado novamente, criando uma estrutura similar. Vemos, então, a partir da idéia de recursão, a ligação da Álgebra com a Geometria Fractal, ligação esta que não é usual em livros didáticos da educação básica, mas que poderia ser explorada, evitando o ensino tradicional, que emprega apenas geometria euclidiana axiomatizada e resolução de exercícios aplicativos de fórmulas. Segundo Barbosa (2002) a utilização de fractais em sala de aula no Ensino Fundamental e Médio é importante pelas seguintes razões: a) estabelece conexões com várias ciências; b) mostra deficiências da Geometria Euclidiana para o estudo de formas da natureza; c) utiliza a difusão e acesso às tecnologias computacionais nos vários níveis de escolaridade; d) explora a beleza dos fractais para o desenvolvimento do senso estético; e) desenvolve a curiosidade, face ao caráter inesperado de cada iteração.

4 A PROPOSTA DE UMA ATIVIDADE COM O SOFTWARE GEOMETRICKS O software Geometricks foi criado por V. Sadolin e traduzido para o português por Miriam Penteado e Marcelo Borba. É um programa que traz um recurso para a introdução ao estudo da Geometria Fractal que permite definir elementos sobre os quais são aplicadas determinadas transformações que, por meio de processos repetitivos, geram os fractais. (Penteado, Amaral e Borba, 2000, p. 5). Vamos, nesta proposta, construir o fractal em X de quadrados. Barbosa (2002) aponta este fractal como uma variação do Triângulo de Sierpinski, por exigir uma exploração diferenciada do que o Geometicks apresenta num primeiro momento, a saber, a exploração de ternas ordenadas para as construções, sendo necessário, nesse caso, a elaboração de estratégias que vão além do imediatismo oferecido pelo recurso computacional. Dessa forma, após a realização de uma atividade com Triângulos de Sierpinski, elaboramos uma seqüência de passos para a construção do fractal em X de quadrados, solicitados aos alunos e apresentados a seguir: a) clique no símbolo que indica os eixos coordenados, no canto superior direito; b) construa um quadrado ABCD, cuja medida do lado seja de 24 unidades, aproveitando os pontos que aparecem na tela; c) divida cada lado do quadrado em três partes iguais, marcando os pontos de modo que fiquem definidos nove quadrados menores, todos com lado igual a 1/3 do lado do quadrado maior; d) para definir o fractal, deve-se pensar nos quadrados por meio de triângulos obtidos pelas diagonais dos quadrados, pois o único recurso no Geometricks é a utilização de ternas. Assim, comece por pensar em construir a metade do quadrado, isto é, um triângulo dado por dois lados do quadrado e por uma diagonal, ou seja, utilize as ternas exigidas pelo software; e) num dos triângulos obtidos por esta diagonal imaginária, defina os nove triângulos menores congruentes, dos quais quatro serão retirados. Da mesma forma que foi feito no Triângulo de Sierpinski, aqui você deve definir as seis ternas que permanecerão a partir do triângulo maior. Abrindo a janela Fractal clique em Definir fractal e surge uma janela na qual se digita o número seis, correspondente às seis ternas; f) defina as ternas clicando cuidadosamente nos pontos que correspondem a cada uma delas, na mesma ordem. Abrem-se, na janela Fractais, as demais possibilidades. Clique em Níveis, abrindo-se uma segunda janela para digitar o nível desejado. Escolha 1 para proceder à iteração 1, obtendo uma representação como a da figura 1, que representa a metade do fractal que vai ser construído;

5 g) o fractal continua sendo construído até que você pare o processo e isso só ocorre quando clicar na barra superior, do lado direito, no ícone stop ; h) retorne e clique em Fractais-Níveis e siga buscando os demais níveis, aproveitando para indicar com cores diferentes cada um deles. No nível 2, aparece a figura 2; Figura 1 Figura 2 i) ao redefinir o fractal para a outra metade do quadrado, e unindo as duas partes, como as obtidas no nível 1, obtém-se a figura 3, que representa o fractal completo nesse nível; j) continue as iterações e os processos de união. Na décima iteração, por exemplo, obtém-se o fractal em X de quadrados, representado na figura 4. Figura 3 Figura 4 A proposta aqui apresentada fez parte de um projeto de formação continuada de professores de Matemática, realizado em 2004, na Fundação Universidade Federal do Rio Grande, tendo como participantes 30 professores da região de Rio Grande, Pelotas, Santa Vitória do Palmar e São José do Norte. (Pacheco e Leivas, 2004). Detectou-se que os esses docentes apresentavam grande dificuldade com as tecnologias computacionais, além de um completo desconhecimento sobre o assunto fractais. Na tentativa de auxiliá-los a superar as dificuldades com softwares e o desconhecimento de um tema atual no ensino de Matemática, foram planejadas atividades em que

6 os professores, inicialmente, fizeram uso da Internet, para buscar informações sobre fractais. Em seguida, optou-se pela escolha do software Geometricks, por ser de fácil aquisição e baixo custo. A simplicidade de sua utilização e o uso de ternas de pontos foi um fator decisivo para seu emprego, visto que a geometria básica no triângulo pode ser reconstruída rapidamente e a passagem à construção dos processos iterativos que constituem determinados fractais pode ser facilmente obtida. De imediato, a exploração do fractal Triângulo de Sierpinski proporcionou ganhos significativos para os professores que atuavam no Ensino Médio, pela possibilidade de explorar conceitos e propriedades de progressões geométricas. O fractal em X de quadrados, cuja construção foi proposta a seguir, possibilitou que, além do uso do processo iterativo, próprio dos fractais, os docentes tivessem que fazer uso de processos interpretativos e criativos, visto que o software só permite a construção por ternas e há necessidade de formar quadrados na constituição desse fractal. Percebeu-se que a maioria dos professores participantes do projeto, além de perderem em parte o medo do uso do computador, desenvolveram habilidades no trato com a ferramenta computacional. Além disso, o conhecimento de um tópico da Matemática não estudado, em geral, durante a formação inicial, proporcionou a atualização e a possibilidade de usos didáticos para o ensino de Matemática no Ensino Médio. Na seqüência do curso, percebeu-se uma melhoria no tratamento da geometria espacial, quando foram realizadas atividades com quebra-cabeças utilizando sólidos geométricos e na resolução de problemas de áreas, volumes, Princípio de Cavaliere e outros. A seqüência de atividades realizadas nesse curso foi re-aplicada em outras ocasiões e locais, com resultados semelhantes, o que nos permite supor que é adequada sua inclusão na sugestão de uma nova proposta para o ensino de Geometria nos cursos de formação de professores de Matemática, que é um dos objetivos do projeto de tese inicialmente mencionado. CONCLUSÕES Mencionamos anteriormente, entre as características do sentido do símbolo, a possibilidade de manejar relações algébricas que expressam informações dadas em mais de um tipo de representação. Essa habilidade, que deve fazer parte da aprendizagem de Matemática em qualquer nível de ensino, destaca-se ainda mais se pensarmos na formação do professor da Educação Básica. Assim, a possibilidade de trabalhar com procedimentos recursivos que estão na origem de tantas definições matemáticas e gerar fractais com auxílio de um software de Geometria Dinâmica, proporcionando a esses docentes a aquisição de conhecimentos a que eles não tiveram acesso em sua formação inicial, mostrou que muito ainda se pode fazer em formação continuada, para atualização do professor de Matemática. Até mesmo os que se graduaram recentemente ainda não

7 dominam muitos dos conhecimentos matemáticos desenvolvidos nos últimos tempos e o exemplo de fractais é um deles, bem como o de geometrias não euclidianas. Esses tópicos ainda não constam dos currículos da Licenciatura em Matemática e até mesmo do Bacharelado, como está sendo avaliado na pesquisa de doutorado mencionada inicialmente. Assim sendo, numa proposta de inovação curricular que pode vir a melhorar a formação inicial do professor de Matemática, deve-se atentar para o uso das tecnologias como elemento dinâmico para trabalhar com temas diversos que, na maioria das vezes, ainda são tratados de forma obsoleta, tanto em termos de métodos quanto de conteúdos. Referências Arcavi, A. (1994). Symbol sense: informal sense-making in formal mathematics. For the Learning of Mathematics, 14 (3), Arcavi, A. (1995). Teaching and learning algebra: past, present and future. Journal of Mathematical Behavior, 14, Barbosa, R. M. (2002). Descobrindo a geometria fractal para a sala de aula. Belo Horizonte, Autêntica. Brandão, L. de O. (2002). Algoritmos fractais com programas de GD. Revista do Professor de Matemática, 49, Groenwald, C. L. O. et al. (1999). Álgebra com geometria: um enfoque prático na 7ª série do ensino fundamental. Educação Matemática em Revista-RS, 1 (1), Hellmeister, A. C., & Galvão, M. E. E. L. (1998). Resolvendo fisicamente. Revista do Professor de Matemática, 38, p Leivas, J. C. P. (2007). Dimensão, logaritmo, fractal: estabelecendo conexões. Anais do 9º Encontro Nacional de Educação Matemática. Belo Horizonte: SBEM. Mandelbrot, B. B. (1977). The fractal geometry of nature. New York, Freeman. Mottin, E. (2004). A utilização de material didático-pedagógico em ateliês de matemática, para o estudo do teorema de Pitágoras. Dissertação de Mestrado em Educação em Ciências e Matemática, Pontifícia Universidade Católica do Rio Grande do Sul, Porto Alegre. Pacheco, A. T., & Leivas, J. C. P. (2004). Formação continuada de professores de matemática: a geometria e suas dimensões para o ensino médio. Rio Grande, FURG.

8 Penteado, M., Amaral, R. B., & Borba, M. C. (2000). Manual do Geometricks. São Paulo, Editora da UNESP. Pierce, R., & Stacey, K. (2004). Monitoring progress in a CAS active context: symbol sense, algebraic insight and algebraic expectation. International Journal for Technology in Mathematics Education, 11 (1), 3-12.