O DISCURSO 1 REGULATIVO NOS MATERIAIS CURRICULARES EDUCATIVOS SOBRE MODELAGEM MATEMÁTICA

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1 O DISCURSO 1 REGULATIVO NOS MATERIAIS CURRICULARES EDUCATIVOS SOBRE MODELAGEM MATEMÁTICA Airam da Silva Prado Universidade Federal da Bahia e Universidade Estadual de Feira de Santana, Brasil pradoairam@yahoo.com.br Andréia Maria Pereira de Oliveira Universidade Estadual de Feira de Santana, Brasil ampodeinha@gmail.com RESUMO Neste artigo, nosso objetivo é analisar o texto dos materiais curriculares educativos sobre modelagem matemática, no que se refere a um discurso de ordem, cujo objetivo é a organização social do contexto (discurso regulativo). A análise documental em uma abordagem qualitativa foi utilizada para analisar os materiais curriculares educativos. Para tal propósito, utilizamos um instrumento analítico para explicitar os modos como o discurso regulativo pode estar explícito nos materiais curriculares educativos sobre modelagem matemática. Os dados sugerem que deixar explícito nos materiais as regras do discurso regulativo podem tornar visível às intenções pedagógicas dos elaboradores. Palavras-chave: Materiais curriculares educativos, discurso regulativo, modelagem matemática. 1 Utilizaremos o termo discurso com a mesma conotação do termo texto. De acordo com Bernstein (2000), o texto é a forma da relação social tornada visível, palpável, material. Ele pode designar qualquer representação pedagógica, falada, escrita, visual, espacial expressa na postura ou na vestimenta. Assim, ambos serão usados, como sinônimos. Por sua vez, termos conjugados como discurso pedagógico, discurso regulativo, etc. serão definidos no corpo do artigo.

2 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 2 ABSTRACT In this paper, our aim is to analyze the message contained in the educational curriculum materials on mathematical modelling, with respect to a discourse of order whose purpose is the organization's social context (regulative discourse). The documentary analysis in a qualitative approach was used to analyse materials. For this purpose, we use an analytical tool to explain ways in which the regulative message may be explicit in the educational curriculum materials on mathematical modelling. The data suggest that making explicit in the materials the rules of regulative discourse can behold the visible pedagogical intentions of developers. Keywords: Educational curriculum materials, regulative discourse, mathematical modelling. 1 Introdução As intervenções pedagógicas, de uma maneira geral, pressupõem formas de trabalho e de organização da prática pedagógica 2 diferentes das quais os professores estão habituados a desenvolver nos contextos pedagógicos. Neste sentido, além de se objetivar a aprendizagem dos alunos, estas intervenções também implicam em mudanças de práticas dos professores. Uma das propostas de intervenções pedagógicas discutidas na educação matemática tem sido a modelagem matemática. De modo geral, nesta proposta, os alunos lidam com situações externas à matemática, as quais devem se constituir como um problema para os alunos, no sentido de não haver esquemas prévios de resolução para eles (BARBOSA, 2007). As atividades de modelagem matemática problematizam situações do dia-a-dia ou de outras áreas das ciências e têm sido apresentadas por pesquisadores da educação matemática como tendo potencial para motivar a aprendizagem dos conteúdos 2 Por prática pedagógica, Bernstein (2000) refere-se a relações que podem ocorrer tanto entre pais e filhos, professores e alunos, assim como entre médico e paciente, dentre outros. Neste estudo, estaremos usando o termo para nos referir a relação entre professores e alunos no contexto escolar.

3 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 3 curriculares (BASSANEZI, 2002; BURAK, 1992), possibilitar que os alunos reflitam sobre o papel da matemática na sociedade (BARBOSA, 2007) e suscitar a ação política (JACOBINI, 2004). A utilização de atividades de modelagem matemática em contextos escolares pressupõe algumas mudanças na forma de ensinar. Pois, de acordo com Niss, Blum e Galbraith (2007), estas requerem do professor, tomadas de decisões (relativas à distribuição de tempo, design e planejamento das ações de ensino e aprendizagem, escolha de atividades e materiais, instrumentos de avaliação, etc.) que são próprias ao ambiente de modelagem. Ainda que possa ser constatada, na área da educação matemática, uma ampla discussão sobre modelagem matemática, tanto na literatura nacional quanto internacional, estudos têm evidenciado uma tímida inserção nas aulas de matemática (BLUM; GALBRAITH; HENN; NISS, 2007; BARBOSA; CALDEIRA; ARAÚJO, 2007). Como evidenciado em Ikeda (2007), um dos principais motivos é a falta de materiais curriculares que possam apoiar os professores a desenvolverem modelagem matemática na prática pedagógica. Por materiais curriculares, entendemos como todos os meios que auxiliam os professores a responder aos problemas concretos que surgem em qualquer momento do planejamento, execução ou avaliação das aprendizagens (ZABALA, 1998). Segundo esta definição, a noção de material curricular é bastante ampla podendo incluir todos os materiais usados pelo professor tais como: propostas para elaboração de projetos educativos e curriculares da escola; propostas relativas ao ensino em determinadas áreas, ou em determinadas etapas; propostas para o ensino destinado a alunos com necessidades educativas especiais; descrições de experiências de inovação educativa; materiais para o desenvolvimento de unidades didáticas; avaliações de experiências e dos próprios materiais curriculares, materiais manipuláveis etc. (ZABALA, 1998). De uma maneira geral, os materiais curriculares têm sido uma modalidade pouco debatida na educação matemática. De fato, na maioria das vezes os materiais curriculares são criticados sob o argumento que estes são vistos para restringir e controlar tanto o conhecimento quanto o ensino (APPLE, 1989). Conforme Ball e Cohen (1996), estas críticas levaram muitos pesquisadores/educadores a menosprezarem os materiais curriculares, em especial, os livros didáticos. Assim, estudos atuais concentram-se na análise de livros didáticos e materiais

4 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 4 padronizados (aqueles disseminados pelo estado). Poucos estudos têm se debruçado em construir, divulgar, avaliar e analisar materiais curriculares, e para, além disso, compreender a relação do professor com os materiais curriculares, suas potencialidades para promover a aprendizagem dos professores e para apoiá-los a desenvolver mudanças de práticas. Ball e Cohen (1996) atribuem o adjetivo educativo ao material curricular que é elaborado com o propósito de promover a aprendizagem dos alunos e dos professores. Neste artigo, analisaremos materiais curriculares do tipo educativo, o qual tem sido produzido por um grupo colaborativo que reúne professores da educação básica, alunos de graduação e pós-graduação e formadores/pesquisadores com o objetivo de apoiar os professores a implementar modelagem matemática nas práticas pedagógicas. Assim, utilizaremos a sigla MCE para nos referir a materiais curriculares educativos de modo geral e MCEMM para nos referir aos materiais curriculares educativos sobre modelagem matemática, desenvolvido pelo Grupo Colaborativo em Modelagem Matemática GCMM. Este artigo é parte de uma pesquisa maior que se encontra em andamento, cujo objetivo principal é analisar como MCEMM são transformados nas práticas pedagógicas das aulas de matemática. Neste artigo, nosso objetivo é analisar o texto dos MCEMM no que se refere ao discurso regulativo. Para Bernstein (1990), o discurso regulativo é um discurso de ordem cujo objetivo é a organização social do contexto. De acordo com o autor, este discurso está embutido no discurso instrucional. Então, neste artigo, tomaremos separadamente com propósito analítico. Na próxima seção, explicaremos melhor estes dois conceitos. O artigo está organizado da seguinte maneira: na próxima seção, apresentamos o referencial teórico, posteriormente, os materiais curriculares educativos sobre modelagem matemática, seguido da metodologia. Por fim, trazemos os dados juntamente com uma discussão, seguido das conclusões do estudo. 2 Referencial teórico Materiais curriculares têm potencialidade de afetar as reformas educacionais em larga escala, pois eles têm um baixo custo em relação a programas de formação continuada de professores e a possibilidade de rápida disseminação, sendo explorado por governos de diferentes países, para promover reformas curriculares e disseminar inovações educacionais (STEIN; KIM, 2009). No Brasil, por exemplo, em 2008, a

5 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 5 Secretaria de Educação do Estado de São Paulo, por meio do programa São Paulo Faz Escola, enviou às escolas materiais curriculares com características de apostilas intituladas Caderno do Aluno e Caderno do Professor. Crecci e Fiorentini (2010) analisaram como professores gestaram estes materiais nas práticas pedagógicas e quais as implicações dessa política no processo de desenvolvimento profissional e na constituição da profissionalidade docente. Como resultados, eles apontaram que, apesar do currículo materializado nos materiais induzir à padronização, dos 26 professores consultados no estudo, apenas uma professora não tentou fazer adaptações aos materiais. Segundo os autores, a maioria dos professores declarou a necessidade de fazer adaptações em razão da heterogeneidade e da defasagem em conteúdos dos alunos. No cenário internacional, outros estudos também têm identificado que a relação do professor com o material é bastante diversificada (REMILLARD, 2000; KIERAN, TANGUAY, SOLARES, 2012). Estes estudos têm caracterizado o uso de materiais curriculares educativos por professores, situando-os como eles se envolvem, utilizam, moldam, adaptam e interpretam materiais curriculares. Além disso, estes estudos têm sugerido que os materiais curriculares são transformados nas práticas pedagógicas e, neste ponto, tomá-los com a intenção de pardonizá-las tal como fez o estado de São Paulo, acaba diluindo as potencialidades, tal como a potencialidade para promover mudanças de práticas e possibilitar a aprendizagem dos professores com relação a inovações pedagógicas (DAVIS; KRAJINK, 2005). De acordo com Cassiano (2004), o material curricular, tal qual o livro didático é um prescritivo chave do currículo. O autor ressalta que o uso do material concretizado na prática pedagógica, dá-se com sujeitos específicos, em dadas condições sóciohistóricas, e ao lado de outros recursos, tendo então esse uso a potência de subverter o prescrito, mas o faz, valendo-se do próprio material curricular, isto é, de uma condição objetiva que está dada. Neste sentido, materiais curriculares são instrumentos que servem de referências para tomar decisões no planejamento, intervir no processo de ensino e avaliar inclusive o próprio ato educativo (ZABALA, 1998). Do ponto de vista sociológico, os materiais curriculares são muito mais que ferramentas, eles carregam discursos, ideologias e práticas, que, por sua vez, podem ser conflitantes com os discursos, ideologias e práticas legitimadas em contextos específicos. Nesta direção, o texto preconizado pelos materiais curriculares podem não

6 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 6 harmonizar-se com os discursos legitimados nas práticas pedagógicas das aulas de matemática, o que pode levar a uma transformação do texto dos materiais quando o ele é movido para este contexto. Bernstein (1990) definiu os discursos inerentes às práticas pedagógicas como um discurso pedagógico. Segundo o autor, o discurso pedagógico é um princípio para apropriar outros discursos e colocá-los numa relação mútua especial, com vistas à sua transmissão e aquisição seletivas (p. 183). Assim, podemos inferir que o discurso pedagógico desloca textos presentes nos materiais e recoloca-os de acordo ao contexto o qual o texto será inserido. Nesse processo de deslocar e relocar os textos inerentes aos materiais, estes textos, passa por uma transformação. Essa transformação é um princípio constituinte do discurso pedagógico, ao qual Bernstein (1990) denominou de princípio recontextualizador. Segundo Bernstein (2000), o princípio recontextualizador cria os campos recontextualizadores e seus agentes. Estes campos constituem os espaços socialmente especializados na apropriação, reorganização e transformação de textos com o objetivo de criar, manter, mudar e legitimar os textos, a transmissão e as práticas organizacionais que regulam os ordenamentos internos do discurso pedagógico. O autor distingue entre o campo da recontextualização oficial, criado e dominado pelo Estado e seus agentes, e o campo da recontextualização pedagógica, constituído pelos educadores, departamentos de educação nas universidades, pelos periódicos especializados e pelas fundações de pesquisa. Portanto, os MCEMM são desenvolvidos no campo de recontextualização pedagógica e o texto preconizado por eles, já é um discurso pedagógico, o qual sofreu um processo de recontextualização dentro do campo de recontextualização pedagógica, ao relocar diferentes discursos por exemplo, da matemática, da educação matemática, das práticas pedagógicas, etc. atribuindo-lhes uma nova ordem. Consequentemente, quando os professores são solicitados ou decidem implementar materiais curriculares educativos concebidos de acordo com dados de investigação em uma determinada área, neste caso, a educação matemática, poderão ter de desenvolver uma prática pedagógica diferente da que, habitualmente, desenvolvem nas aulas e também diferente da que é preconizada nos documentos curriculares oficiais, levando-os a um novo processo de transformação dos textos que estão subjacentes aos materiais curriculares implementados (SILVA, 2009).

7 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 7 Este segundo processo de transformação do texto ocorre na prática pedagógica na medida em que o texto se torna ativo no campo de reprodução. Este último campo pode ser identificado pelo local em que ocorre a prática pedagógica, na nossa análise, as escolas. Bernstein (2000) argumenta que, o que é reproduzido pode ser afetado pelas relações de poder entre a escola e o contexto cultural primário do adquirente (família/comunidade/relações no grupo de colegas). A escola pode incluir parte destes discursos a fim de tornar seu próprio discurso mais eficaz. Por sua vez, inversamente a comunidade, a família, entre outros, podem exercer sua própria influência e afetar as práticas da escola. Assim, podemos pensar no processo de recontextualização pedagógica como um processo contínuo de transformação do discurso pedagógico que começa nos campos de recontextualização e sofre transformação toda vez que é deslocado de um contexto para outro. Diante disso, inferimos também, que o texto presente no MCEMM é um discurso pedagógico da modelagem, e que os seus elaboradores são agentes posicionados no campo de recontextualização pedagógica. Segundo Bernstein (2000), o discurso pedagógico pode ser visto como uma regra pra embutir dois discursos: o discurso instrucional e o discurso regulativo. Bernstein (2000) denomina de discurso instrucional, o discurso que transmite as competências especializadas e sua mútua relação; e de discurso regulativo o que cria a ordem, a relação e a identidade especializada. Para o autor, o aspecto dominante do discurso pedagógico é o regulativo, de cunho moral, capaz de modelar o caráter, as maneiras, as condutas e as posturas. Bernstein (2000) afirma que é o discurso regulativo que produz a ordem do discurso instrucional, pois não há discurso instrucional que não seja dominado pelo discurso regulativo. E, sendo assim, toda ordem dentro do discurso pedagógico é constituído pelo discurso regulativo. A seguir, apresentaremos os materiais curriculares educativos sobre modelagem matemática. 3 Os materiais curriculares educativos sobre modelagem matemática Os materiais curriculares educativos sobre modelagem matemática são produzidos pelo Grupo Colaborativo em Modelagem Matemática (GCMM) e disponibilizados online por meio do website intitulado Colaboração Online em Modelagem Matemática COMMa ( Os membros do grupo assumem modelagem como um

8 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 8 ambiente de aprendizagem, no qual os alunos são convidados a investigar por meio da matemática situações com referência no dia-a-dia ou em outras ciências (BARBOSA, 2007). No processo de elaboração dos materiais, são recontextualizados diferentes discursos: discursos provenientes da área da educação matemática, resultados de investigações sobre modelagem matemática e discursos provenientes da prática pedagógica de professores da educação básica que participam do grupo, assim como da matemática, além de outros. Os MCEMM são elaborados a partir de atividades de modelagem, as quais são elaboradas e planejadas no GCMM e implementadas pelos professores participantes do grupo em suas salas de aula. A partir daí, baseado na análise da experiência, são produzidos os materiais curriculares educativos, os quais são socializados para outros professores por meio do website, no qual o MCEMM é apresentado por meio de abas como pode ser visto na figura 1. Figura 1: Exemplo de um MCEMM com tema Erradicação do trabalho infantil No website, cada MCEMM tem um tema não matemático que dá acesso a um conjunto de elementos que forma o que estamos denominando de material curricular educativo sobre modelagem matemática. Na aba Introdução, está disponibilizado o tema da atividade, uma justificativa para escolha do tema e o perfil do professor que implementou a atividade na sala de aula. Na aba Atividade, está disponível um problema não matemático, do caso 1 (BARBOSA, 2003), no qual o professor apresenta o problema, devidamente relatado com dados quantitativos e qualitativos, cabendo aos estudantes investigá-lo. Cada

9 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 9 atividade pode ser impressa ou feita o download. Na aba Planejamento, está descrito o modo como o professor que implementou a atividade organizou o ambiente de modelagem na sala de aula, uma relação de conteúdos matemáticos envolvidos na atividade e uma sugestão de possíveis interações que podem ser feitas com outras disciplinas escolares. Na aba Narrativa, encontra-se uma narrativa da aula, escrita pelo professor que implementou a atividade. Na aba Solução do professor, está disponível uma solução proposta pelo professor que implementou a atividade. Na aba Registros dos alunos, estão disponíveis soluções propostas pelos alunos ao desenvolverem a atividade. Por fim, na aba Vídeo, estão disponibilizados vídeos contendo momentos da aula, evidenciando momentos críticos da aula, os quais foram apontados pelos professores implementadores em suas narrativas, e uma análise descritiva feita pelo GCMM para cada vídeo. Além destes elementos, o website disponibiliza de um fórum e espaços para comentários em cada aba e na aba narrativa tem links que dirige o usuário aos vídeos disponíveis na aba vídeo, o qual faz referência ao exposto na narrativa do professor. Atualmente, no ambiente virtual encontram-se disponíveis cinco MCEMM: Somos o que comemos?, Erradicação do Trabalho Infantil, Minha casa, minha vida, Poupar água é investir no que existe de mais precioso: a Vida e Os efeitos da maconha no organismo. Neste artigo, foram analisados os MCEMM: Erradicação do Trabalho Infantil, Poupar água é investir no que existe de mais precioso: a Vida, Minha casa, minha vida. Na análise, eles foram respectivamente nomeados de M1, M2 e M3. A seguir, descrevemos o método do estudo. 4 O método do estudo Como nosso objetivo é analisar o texto dos materiais curriculares educativos sobre modelagem matemática em termos do discurso regulativo, utilizamos a análise documental como método de coleta de dados. Segundo Alves-Mazzotti (2002), documentos são quaisquer registros que são úteis como fontes de informação para uma pesquisa. Como mencionamos anteriormente, analisamos 3 (três) atividades. Assim, fizeram parte do corpo de documentos analisados cada uma das abas descritas na seção anterior: a aba atividade, a aba planejamento, a aba narrativa, a aba solução do professor, a aba registros dos alunos e a aba vídeo. Para analisar os dados, a fim de identificar o texto dos MCEMM, adaptamos

10 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 10 instrumentos de análise desenvolvidos por Morais e Neves (2003) a partir do aporte teórico da teoria dos códigos de Bernstein (2000). O instrumento analítico (em anexo) considerou tanto as relações entre os sujeitos, quanto às relações entre discursos e espaços que definem o contexto pedagógico no texto dos materiais curriculares educativos. Assim, os conceitos de classificação e de enquadramento foram utilizados para analisar o texto dos MCEMM, no que se refere ao discurso regulativo. De acordo com Bernstein (2000), a classificação refere-se ao grau de manutenção das fronteiras entre categorias (sujeitos, agências/espaços, discursos) e o enquadramento às relações de comunicação dentro das categorias. As variações na classificação e no enquadramento (forte, fraco, muito forte e muito fraco) determinam modalidades de códigos distintos. Bernstein (1990, 2000) utiliza o símbolo + (mais) e (menos) para se referir a alterações nos valores da classificação e do enquadramento, podendo ser forte (+), muito forte (++), fraco ( ), muito fraco ( ). Assim, um enquadramento forte significa que os alunos tem pouco controle sobre as regras de comunicação na relação professor/alunos. O enfraquecimento do enquadramento significa que os alunos têm maiores possibilidades de controle. É preciso salientar que as variações (forte, fraco, muito forte e muito fraco) tanto na classificação quanto no enquadramento, não são estanques, e tomá-las dessa maneira (quatro níveis) é um critério para favorecer a análise. Sendo assim, entendemos que podem existir outros níveis além destes. Assim, utilizaremos os conceitos de classificação e enquadramento, especificamente, para analisar as regras hierárquicas e as relações entre espaços (do professor e dos alunos e entre alunos) no que se refere ao discurso regulador. Neste sentido, estamos partindo do pressuposto que em qualquer relação pedagógica, as regras de conduta podem, em graus diferentes, permitir um espaço de negociação entre os sujeitos da relação. Estas regras de conduta são denominadas por Bernstein (1990) de regras hierárquicas, as quais estabelecem as condições para a ordem, a maneira e o caráter das relações. Como sugerido por Morais e Neves (2003), um enquadramento forte caracteriza uma relação de comunicação em que, por exemplo, não é permitido ao aluno comentar a prática do professor ou exprimir a sua opinião. Um enquadramento forte pode também caracterizar um controle posicional em que o professor apela a regras e estatutos

11 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 11 determinados para os alunos se comportarem de determinado modo. Enquanto que um enquadramento fraco significa, por exemplo, que o aluno pode criticar as práticas do professor, que este explica aos alunos as razões porque devem ter determinado comportamento, apelando a uma relação interpessoal. Assim, nosso objetivo foi analisar as condições de regulação da prática pedagógica nos materiais curriculares educativos, evidenciando as relações de poder e controle no texto dos MCEMM. A proposta de investigação converge para o uso de uma linguagem externa de descrição (MORAIS; NEVES, 2003), derivada de uma linguagem interna de descrição (BERNSTEIN, 2000), em que o teórico e o empírico são vistos de forma dialética. Nesse sentido, é rejeitada tanto a análise do empírico sem uma base teórica, quer a utilização da teoria que não permita a sua transformação com base no empírico. 5 Apresentação dos dados Em relação ao discurso regulador, foram analisadas as relações professor-aluno e aluno-aluno, quanto às regras hierárquicas, e a relação entre os espaços (entre professor e alunos e entre alunos). Os resultados sintetizados no quadro 1 no final da seção, foram obtidos a partir dos dados que constam da análise de três MCEMM disponibilizados no COMMa. A seguir, é apresentada minuciosamente a análise de cada uma das relações. Para cada um dos MCEMM, foram selecionados trechos que evidenciam a relação mencionada e para cada um deles foi indicado em qual aba o trecho foi retirado. Relação professor-aluno: Regras hierárquicas As regras hierárquicas, na relação professor-aluno, foram caracterizadas por um enfraquecimento no enquadramento. Esta relação foi vista de forma indireta a partir da natureza das atividades, do tipo de problema (situações-problema em anexo) que estas contemplam e das regras de trabalho tanto na atividade do aluno, quanto nas indicações destinadas ao professor. Em relação à natureza da atividade e do problema proposto (ver quadro 1) podemos inferir que a atividade intitulada Minha casa, minha vida foi caracterizada como um problema aberto associado a uma atividade investigativa aberta, pois os resultados irão depender do salário de cada beneficiário. E, principalmente, das ideias que os alunos levantarem quanto à distribuição das casas por região e, nesse caso, a partir do instrumento, é sugerido que há um enquadramento muito fraco.

12 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 12 Por sua vez, as atividades intituladas Erradicação do Trabalho Infantil e Poupar água é investir no que existe de mais precioso: a vida podem ser caracterizadas como semiabertas com problemas investigativos orientados, já que permitem a obtenção de algumas respostas por meio de estratégias elucidadas pelos alunos, ainda que os dados necessários e algumas estratégias estejam indicados nas atividades, o que sugere um enquadramento fraco. Em relação às regras acerca da realização das atividades, foram indicados procedimentos relativamente ao trabalho com os alunos, o que pode ser visto por meio dos comentários dos vídeos das aulas e da narrativa. (1) (2) É importante destacar, nessa fase, que os alunos ficaram livres para escolher o gráfico que iriam usar, pois eles já tinham tido contato com alguns tipos de gráficos e deveriam usar seus conhecimentos para decidir qual seria mais adequado para a situação [Trecho da aba vídeo do MCEMM intitulado Erradicação do trabalho infantil]. No segundo encontro, a sala foi arrumada em semicírculo para oportunizar a participação de todos. Apenas um grupo decidiu apresentar suas colocações, os demais grupos optaram por expor suas resoluções e contribuições para a equipe que propôs apresentar [Trecho da aba narrativa do MCEMM intitulado Minha casa, minha vida]. No trecho (1), é evidenciado que os alunos escolheriam livremente a representação gráfica que utilizariam para responder o problema proposto. Já no trecho (2) da aba narrativa, é evidenciado que os alunos podem escolher como apresentar suas soluções para seus colegas. Assim, a partir do instrumento, é possível inferir que o MCEMM sugere que os alunos podem ter algum controle nas relações de comunicação professor-aluno, ainda que as regras de trabalho estejam definidas pelos professores a priori, os estudantes poderiam fazer algumas escolhas, decidir, por exemplo, o tipo de objeto matemático (1) ou o modo de expor os resultados (2), ou seja, sugerem um enquadramento fraco. Relação aluno-aluno: Regras hierárquicas Relativamente às regras hierárquicas, na relação aluno-aluno, o resultado da análise, mostra que o enquadramento é muito fraco. Esta relação foi vista, de forma indireta, a partir da indicação das regras de trabalho e da natureza do trabalho pressuposto na atividade. Em relação às regras de trabalho e a natureza destas regras é, explicitamente, indicado que as ideias de cada aluno merecem ser ouvidas e discutidas pelos colegas. Além disso, é pressuposto que os alunos discutam a atividade em grupo e com outros grupos, como podemos verificar nos trechos abaixo:

13 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 13 (3) (4) (5) Ao terminarmos a leitura, reunidos em grupos, os alunos começaram a investigar o problema, refazendo a leitura e trocando ideias entre si e comigo. [...] Ao concluírem a atividade, solicitei aos alunos que socializassem para a turma suas soluções. As equipes apresentaram seus gráficos, explicando em quais anos houve mais desperdício, fazendo comparações [Trecho da aba narrativa do MCEMM intitulado Poupar água é investir no que existe de mais precioso: a Vida] 3º Momento: Os alunos em grupos (máximo três alunos) deverão desenvolver as atividades propostas; 4º Momento: Os grupos apresentarão as possíveis soluções matemáticas encontradas [Trecho da aba planejamento do MCEMM intitulado Erradicação do Trabalho Infantil]. 3º Momento: Solicitar que os alunos se dividam em equipes; 4º momento: Entrega e discussão da atividade; 5º momento: Momento de discussão dos integrantes das equipes com relação à atividade (Mediados pelo professor); 6º momento: Apresentação das possíveis soluções; 7º momento: Discussão e reflexão dos resultados entre as equipes [Trecho aba planejamento do MCEMM intitulado Minha casa, minha vida]. No trecho (3), é relatado que os alunos discutiram entre si e com o professor, além disso, nos trechos (4) e (5), os quais evidenciam o planejamento das atividades, é sugerido que os alunos discutam a atividade em grupos. Nesse sentido, é possível notar que o material dá explícita indicação das formas de interação dos alunos, tanto na aba planejamento quanto no trecho da aba narrativa, disponível no material. Dado tais pressupostos, as regras de trabalho e a natureza desse trabalho sugerem uma forte interação entre os alunos. Sendo assim, as três atividades apresentam tendência para um enquadramento muito fraco. Relação entre os espaços: Espaços entre alunos Em relação aos espaços entre alunos, ao tomarmos em consideração a análise dos indicadores organização dos espaços e utilização dos espaços durante a realização das atividades, esta relação caracteriza-se por uma classificação muito fraca ao macronível e por uma classificação forte ao micro-nível. Em relação ao macro-nível, é pressuposto que os alunos estejam organizados em pequenos círculos (grupos ou trios). No entanto, não se supõe que os alunos de uma equipe visitem as outras equipes durante a realização do trabalho, sugerindo uma classificação forte no que se refere à utilização dos espaços durante as atividades. Relação entre os espaços: Espaço do professor e espaços dos alunos Tomando em consideração a análise de todos os indicadores que caracterizam esta relação (natureza das atividades para o macro-nível e materiais a utilizar para o micronível), consideramos que a classificação é muito fraca ao macro-nível e fraca ao

14 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 14 micro-nível. A tendência para uma classificação muito fraca ao macro-nível resultou do fato das atividades sugerirem uma classificação fraca entre o espaço do professor e os espaços dos alunos. Com efeito, nas três atividades estão sublinhados, nos itens de apoio para o professor, que os alunos devem realizar o trabalho em grupo e que o professor deve ajudar os alunos, como podemos verificar nos trechos abaixo: (6) (7) (8) A aluna comunicou à turma que iria apresentar o trabalho sobre o programa Minha casa, Minha vida que o governo estava lançando. Tendo como base a atividade que o professor propôs, a aluna afirmou ter elaborado um plano para a distribuição das moradias liberadas pelo governo, sendo elas em um total de um milhão. [...] A aluna traçou uma reta na lousa e marcou pontos correspondentes aos três valores encontrados, afirmando que ficaria mais fácil para compreender [Trecho da aba vídeo do MCEMM intitulado Minha casa, minha vida]. Ao concluírem a atividade, solicitei aos alunos que socializassem para a turma suas soluções. As equipes apresentaram seus gráficos explicando em quais anos houve mais desperdício, fazendo comparações [Trecho da aba narrativa do MCEMM intitulado Poupar água é investir no que existe de mais precioso: a Vida]. O primeiro grupo explicou cada questão no quadro. Enquanto falavam, tive a necessidade de intervir, solicitando explicações sobre resultados encontrados. Assim, o fiz nas demais apresentações. [Veja aqui] Durante a apresentação ficou evidente que os grupos encontraram diferentes formas de resolver as questões propostas na atividade [Trecho da aba narrativa do MCEMM intitulado Erradicação do Trabalho Infantil]. Nos trechos (6) e (8), são evidenciados que os alunos utilizaram o quadro para expor suas soluções e, no trecho (7), é relatado que os alunos explicaram aos outros colegas suas soluções. Além disso, na aba vídeo (que pode ser direcionada pelo link [Veja aqui], apresentado no trecho da aba narrativa do MCEMM intitulado Erradicação do Trabalho Infantil), constituinte do material de apoio ao professor, mostra diretamente que o professor circulou na sala, deslocando-se junto dos alunos, havendo, assim, um enfraquecimento da fronteira entre o espaço do professor e o espaço dos alunos, bem como os alunos se deslocam ao espaço do professor para discutir na lousa suas soluções. Ao micro-nível, a classificação fraca resultou do fato das atividades não apresentarem a distinção entre os materiais do professor e os materiais dos alunos, apesar de existir informações sobre a atividade que se destinam apenas ao professor. Por exemplo, nos materiais de apoio, contêm possíveis dificuldades ao realizar a atividade, assim como estratégias e soluções para essas dificuldades. Além disso, são elencados possíveis conteúdos e também são indicados relações com outras disciplinas, as quais não são disponibilizadas aos alunos, como podemos observar nos trechos abaixo: (9) Os alunos não estavam conseguindo encontrar uma expressão algébrica adequada. Diante disso, identifiquei que uma das formas de esclarecer essa dúvida era fazer com que eles percebessem as regularidades numéricas presentes nas resoluções da primeira questão. Para isso, fiz os seguintes questionamentos aos alunos: O que está se repetindo ano a ano e o que foi mudando? O que você

15 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 15 quer achar na questão? O que você quer achar será o x da questão, isso será representado por uma letra e etc. Depois dessa intervenção, o grupo conseguiu estruturar a expressão algébrica [Trecho da aba narrativa do MCEMM intitulado Erradicação do Trabalho Infantil]. (10) (11) Possíveis conteúdos envolvidos: operações; proporcionalidade; números decimais; medidas de volume; construção e análise de gráficos; regra de três [Trecho da aba planejamento do MCEMM intitulado Poupar água é investir no que existe de mais precioso: a Vida]. Relação com outras disciplinas: Geografia (regiões do Brasil, economia, etc.); Português e Redação (leitura e interpretação de texto); Biologia (discutir a proliferação de doenças em ambientes sem infraestrutura para moradia); Física (sistema de aquecimento solar-térmico proposto pelo programa para geração de energia); Química (diminuição da emissão de CO 2 a partir do sistema de aquecimento solar-térmico) [Trecho da aba planejamento do MCEMM intitulado Minha casa, minha vida]. No trecho (9), é relatada uma dificuldade enfrentada pelos alunos na resolução do problema, assim como é sugerido uma ação, a qual foi adotada pelo professor, para contorná-la. No trecho (10), são explicitados possíveis conteúdos que podem surgir nas resoluções dos alunos. Enquanto que no trecho (11), são indicadas possíveis relações que a atividade possibilita estabelecer com outras disciplinas. Essas indicações, no entanto, estão presentes apenas no material de apoio destinado ao professor. Quadro 1: Quadro resumo de análise dos MCEMM Relação Relação entre sujeitos Professoraluno Relação entre sujeitos Aluno-aluno Relação entre espaços Espaços dos vários alunos Relação entre espaços Espaço do Professorespaço do aluno Indicadores E C E C E C E C Muito Muito Forte Fraco Forte Fraco Natureza da atividade M1 e M2 M3 Natureza das questões da atividade Regras acerca da realização da atividade Regras de trabalho Natureza das regras pressupostas na atividade Organização dos espaços nível macro Utilização dos espaços durante a realização das atividades - nível micro Natureza das atividades nível macro Materiais a utilizar (livros, cadernos, materiais de laboratório, etc.) nível micro M1, M2 e M3 M1 e M2 M1, M2 e M3 M1, M2 e M3 M3 M1, M2 e M3 M1, M2 e M3 M1, M2 e M3 M1, M2 e M3 Análise Global A relação professoraluno tende a um enfraquecimento no enquadramento. A relação entre alunos tem um enquadramento e muito fraco. A relação entre os espaços dos vários alunos tem uma classificação variando entre forte e muito fraca. A relação entre os espaços do professor e alunos tem uma classificação variando entre fraca e muito fraca. 6 Algumas considerações finais Neste artigo, buscamos evidenciar o discurso regulativo expresso no texto dos materiais curriculares educativos sobre modelagem matemática. Assim, constituem-se

16 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 16 como próximos passos nessa investigação caracterizar como este texto é transformado quando ele é movido para as práticas pedagógicas em contextos específicos. A relação professor-aluno indicada no texto dos MCEMM foi caracterizada por um enquadramento fraco, significando que há um compartilhamento das decisões na realização da atividade entre professores e alunos, no sentido que os alunos exercem algum controle na relação pedagógica. A relação entre alunos tem um enquadramento variando entre fraco e muito fraco. O que significa que há oportunidades de grande interação entre os alunos no desenvolvimento das atividades. A relação dos espaços entre alunos tem uma classificação variando entre forte e muito fraca. Isto significa que há momentos em que a unidade da classe é vista por meio dos grupos. Cada grupo compõe uma unidade, porém, em outros momentos, a interação se estende a classe inteira, o que é sinalizado nos momentos de socialização indicado pelos MCEMM. A relação entre os espaços do professor e alunos tem uma classificação variando entre fraca e muito fraca, sugerindo que na relação entre o espaço do professor e os espaços dos alunos, os materiais preveem uma fronteira entre estes espaços bastante enfraquecida. A partir da análise, foram evidenciadas algumas características do discurso regulativo subjacente ao texto dos materiais, o que nos levou a entender que há uma explícita indicação da conduta tanto dos professores quanto dos alunos, assim como a relação que se dá entre eles na prática pedagógica das aulas de modelagem matemática. Portanto, as relações que foram identificadas nos materiais curriculares educativos apontam os princípios já postos na literatura sobre modelagem matemática. Por exemplo, mostrou que o controle na relação professor-aluno, quanto às regras hierárquicas, está centrado nos alunos e na relação aluno-aluno. Este fato caracteriza o ambiente de modelagem matemática em relação a outros ambientes e isto pode ajudar aos professores que desenvolvem aulas em ambientes tradicionais, nos quais a relação professor-aluno tem classificação e enquadramentos muito fortes (a aula expositiva, com alunos sentados em fileiras, por exemplo), a inserirem outros ambientes em que a classificação e o enquadramento tendem ao enfraquecimento, pois estão claras as normas de conduta na relação pedagógica. Estudos têm evidenciado que os materiais curriculares mesmo quando são estruturados de acordo com princípios pedagógicos com potenciais para melhorar a aprendizagem dos alunos, professores podem não conseguir ler o texto que eles contêm,

17 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 17 nem aproveitar a ajuda que eles podem dar (SILVA, 2009). Assim, é preciso tornar explícito o texto dos materiais curriculares educativos e que além do discurso instrucional, o discurso regulativo, que define as normas de conduta e o caráter da prática pedagógica, a qual se pretende inovar, esteja explícito aos professores nos materiais curriculares educativos. Kieran, Tanguay e Solares (2012) argumentam que indepententemente se as intenções dos autores são explícitas ou não, os professores inevitalvelmente adaptam os materiais na prática pedagógica. No entanto, quando as intenções são explícitas, professores têm disponíveis elementos para fazer as adaptações. Esse argumento converge para uma importante implicação da análise bernsteiniana que é desenvolvida neste artigo. Ou seja, ao deixar claras as regras do discurso regulativo é que os materiais podem deixar visíveis as intenções pedagógicas dos elaboradores. Pois, se as normas de conduta do discurso regulativo da prática pedagógica estão explícitas, professores terão potenciais informações para escolher os materiais úteis para os contextos pedagógicos e, fazendo esta escolha, podem fazer modificações/adaptações sem que os princípios sejam diluídos. Diante disso, não temos ainda como garantir que as especificidades e características destes materiais poderão de fato apoiar os professores, pois ao mover o texto dos materiais para as práticas pedagógicas, estes materiais são recontextualizados, pois devem ser considerados o papel do professor, dos alunos e outros agentes desse contexto, tomando decisões em um contexto diferente do qual os materiais foram elaborados. De fato, não temos indícios sobre os usos dos MCEMM nas práticas pedagógicas nas aulas de matemática. Esta é uma questão para investigações que se encontram em andamento. Por fim, o instrumento utilizado, oferece boas indicações de como analisar o texto pedagógico que é subjacente aos materiais curriculares educativos, os quais, quanto mais os descritores forem ajustados ao contexto específico dos materiais, mais indícios sobre eles poderão ser extraídos. Assim, em continuação as investigações, pretende-se também ampliar e adaptar o instrumento analítico. Referências ALVES-MAZZOTTI, A. J. O método nas ciências naturais e sociais: pesquisa quantitativa e qualitativa. 2. ed. São Paulo: Pioneira, p.

18 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 18 APPLE, M. W. Educação e Poder. Porto Alegre: Artes Médicas, 201p BALL, D. L.; COHEN, D. K. Reform by the book: what is or might be the role of curriculum materials in teacher learning and instructional reform? Educational Researcher, v. 25, n. 9, p. 6-8, 14, BARBOSA, J. C. Modelagem matemática na sala de aula. Perspectiva, Erechim (RS), v. 27, n. 98, p , jun., BARBOSA, J. C.. A prática dos alunos no ambiente de modelagem matemática: o esboço de um framework. In: J. C. Barbosa, A. D. Caldeira, J. de L. Araújo (Org.). Modelagem matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas educacionais. Recife: SBEM, p BARBOSA, J. C.; CALDEIRA, A. D.; ARAÚJO, J. de L. (Org.). Modelagem Matemática na Educação Matemática Brasileira: pesquisas e práticas educacionais. Recife: SBEM, p. BASSANEZI, R. C. Ensino-aprendizagem com modelagem matemática. 2. ed. São Paulo: Contexto, BERNSTEIN, B. Class, Codes and Control, volume IV: the structuring of pedagogic discourse. London: Routledge, p. BERNSTEIN, B. Pedagogy, symbolic control and identify: theory, research, critique. Lanham: Rowman & Littlefield, p. BLUM, W.; GALBRAITH, P.; HENN, H.; NISS, M. Modelling and Applications in Mathematics Education: the 14th ICMI study. New York: Springer, p. BROWN, M. W. The Teacher Tool Relationship: Theorizing the Design and Use of Curriculum Materials. In: REMILLARD, J.T. HERBEL-EISENMANN, B. A. GWENDOLYN M. L. (Ed.). Mathematics Teachers at Work Connecting Curriculum Materials and Classroom Instruction. New York: Routledge p.

19 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 19 BURAK, D. Modelagem matemática: ações e interações no processo de ensinoaprendizagem. Campinas, Tese (Doutorado em Educação) Programa de Pós- Graduação em Educação Universidade Estadual de Campinas, CASSIANO, C. C. F. O mercado do livro didático no Brasil: Da criação do programa nacional do livro didático (PNLD) à entrada do capital internacional espanhol ( ). Tese (Doutorado em educação: História, política e sociedade) Pontifícia Universidade Católica de São Paulo, CRECCI, V. M.; FIORENTINI, D. A profissionalidade docente diante das políticas do Estado de São Paulo: o caso dos professores de matemática. In: ENCONTRO NACIONAL DE DIDÁTICA E PRÁTICA DE ENSINO, 15., 2010, Belo Horizonte. Anais... Belo Horizonte: ENDIPE, DAVIS, E. A.; KRAJCIK, J. S. Designing Educative Curriculum Materials to Promote Teacher Learning, Educational Researcher, v. 34, n. 3, p.3-14, IKEDA, T. Possibilities for, and obstacles to teaching applications and modelling in the lower secondary levels. In: BLUM, W.; GALBRAITH, P.; HENN, H.; NISS, M. (Ed.). Modelling and Applications in Mathematics Education: the 14th ICMI study, New York: Springer, p JACOBINI, O. R. A modelagem matemática como instrumento de ação política na sala de aula Tese (Doutorado em Educação Matemática) - Instituto de Geociências e Ciências Exatas, Universidade Estadual Paulista, Rio Claro, KIERAN, C. TANGUAY, D. SOLARES A. Researcher-designed resources and their adaptation within classroom teaching practice: shaping Both the Implicit. In: GUEUDET, G. PEPIN, B. TROUCHE, L. (Ed.). From text to Lived resources. Springer MORAIS, A. M.; NEVES, Isabel P. Processos de intervenção e análise em contextos pedagógicos. Educação, Sociedade & Culturas, n. 19, p , NISS, M.; BLUM, W.; GALBRAITH, P. L. Introduction. In: BLUM, W.; GALBRAITH, P.; HENN, H.; NISS, M. (Ed.). Modelling and Applications in Mathematics Education: the 14th ICMI study, New York: Springer, p

20 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 20 REMILLARD, J. T. Examining key concepts in research on teachers use of mathematics curricula. Review of Educational Research, v. 75, n. 2, p , SILVA. M. P. G. Materiais Curriculares e práticas pedagógicas no 1º ciclo do ensino básico: Estudo de processos de recontextualização e suas implicações na aprendizagem científica. Tese (doutorado em educação, especialidade em didática das ciências) Universidade de Lisboa, STEIN, M. K; KIM, G. The Role of Mathematics Curriculum Materials in Large-Scale Urban Reform: An Analysis of Demands and Opportunities for Teacher Learning. In: In: REMILLARD, J.T. HERBEL-EISENMANN, B. A. GWENDOLYN M. L. (Ed.). Mathematics Teachers at Work Connecting Curriculum Materials and Classroom Instruction. New York: Routledge p. ZABALA, A. A prática educativa: como ensinar. Porto Alegre: Editora Artes Médicas Sul Ltda., 1998.

21 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 21 8 Anexo I: INSTRUMENTO DE ANÁLISE DOS MATERIAIS CURRICULARES EDUCATIVOS SOBRE MODELAGEM MATEMÁTICA Relação entre sujeitos (regras hierárquicas) Relação Professor-aluno Indicadores E++ E+ E- E-- Natureza atividade Natureza questões atividade da das da Regras acerca da realização da atividade A atividade consiste na apresentação e/ou descrição de um conceito e, seguidamente, num conjunto de exercícios sobre o assunto descrito. A atividade não contém questões de discussão ou as questões são apenas de verificação de conhecimentos (exercícios). Não são dadas indicações acerca do modo de trabalho dos alunos, mas implicitamente é previsto que as regras de trabalho sejam exclusivamente determinadas pelo professor. A atividade contêm problemas fechados, na qual os dados fornecidos são suficientes para a obtenção de uma solução. As questões estão associadas a atividades ilustrativas (semi-realidades). Não são dadas indicações sobre o modo de trabalho dos alunos, mas implicitamente é previsto que os alunos sejam ouvidos na definição das regras de trabalho. A atividade contêm problemas semiabertos, têm formulações semelhantes à fechada, mas permitem que as respostas finais sejam de acordo com as conclusões dos alunos. As questões fazem referência a realidade e estão associadas a atividades investigativas orientadas. É indicado que as regras de trabalho são definidas pelo professor tendo em conta a opinião dos alunos. Relação entre sujeitos (regras hierárquicas) Relação aluno-aluno Indicadores E++ E+ E- E-- Regras atividade da Natureza das regras pressupostas na atividade Não são dadas indicações acerca do modo de trabalho dos alunos, mas implicitamente é previsto que não haja interação entre os mesmos. É pressuposto que os alunos trabalhem individualmente na realização da atividade. Não são dadas indicações sobre o modo de trabalho dos alunos, mas implicitamente é previsto que haja interação entre os alunos na resolução das atividades. É pressuposto que os alunos trabalhem em pares na realização da atividade. É indicado que os alunos devem discutir entre si as suas ideias, mas não é realçado que todos os alunos devem intervir. É pressuposto que os alunos realizem a atividade em grupo. A atividade contêm problemas abertos, sendo solicitado aos alunos o desenvolvimento de estratégias /caminhos e os procedimentos a realizar. São aquelas cuja resposta dependerá de hipóteses realizadas pelos alunos e os critérios utilizados pelos alunos ou a mudança de estratégia permitirão a obtenção de respostas distintas. As questões fazem referência a realidade e estão associadas a atividades investigativas abertas. É explicitamente indicado que as regras de trabalho são estabelecidas pelos alunos com a orientação do professor. É explicitamente indicado que as ideias de cada aluno merecem ser ouvidas e discutidas pelos colegas. É pressuposto que os alunos realizem a atividade em grupo e que a discutam com outros grupos de trabalho. Macro nível Micro nível Macro nível Micro nível Discurso regulador Relação entre espaços Espaço da professora Espaço dos alunos Indicadores C++ C+ C- C-- Natureza atividades das Materiais a utilizar (livros, cadernos, materiais de laboratório...) A atividade sugere uma fronteira muito nítida entre os espaços do professor e os espaços dos alunos. É apresentada uma lista de material que se destina ao professor e uma lista de material que se destina aos alunos. A atividade sugere uma fronteira nítida entre os espaços do professor e os espaços dos alunos. É apresentada uma lista de material para o professor e outra lista de material para os alunos, mas a lista de material dos alunos contém informações presentes na lista do professor. A atividade sugere uma fronteira enfraquecida entre os espaços do professor e os espaços dos alunos. Não são apresentadas listas diferentes de material para professor e alunos, mas existem informações sobre o material que se destinam apenas ao professor. Discurso regulador Relação entre espaços Espaços dos vários alunos Indicadores C++ C+ C- C-- Organização espaços dos Utilização dos espaços durante a realização das atividades. É pressuposto que os alunos estejam dispostos em fila e em carteiras individuais. É pressuposto que os alunos realizem as atividades nos respectivos espaços não utilizando o espaço dos colegas. É pressuposto que os alunos estejam distribuídos por carteiras de dois elementos cada., ou fileiras duplas. É pressuposto que os alunos trabalhem, partilhando um pequeno espaço, mas não se desloquem ao espaço dos colegas. É pressuposto que os alunos estejam dispostos em U (Semicírculo). É pressuposto que os alunos trabalhem, partilhando uma mesma mesa, mas que apenas o líder se desloque ao espaço de outros grupos. A atividade sugere uma fronteira muito enfraquecida entre os espaços do professor e os espaços dos alunos. Não é feita distinção entre o material do professor e o material dos alunos. É pressuposto que os alunos estejam organizados pequenos grupos. É pressuposto que os alunos trabalhem utilizando livremente os espaços uns dos outros. Instrumento de análise adaptado de Silva, P., Morais, A. M., & Neves, I. P. (2006). Grupo ESSA, Departamento de Educação da Faculdade de Ciências da Universidade de Lisboa.

22 V SEMINÁRIO INTERNACIONAL DE PESQUISA EM EDUCAÇÃO MATEMÁTICA 22 Anexo II: Situações-Problema dos MCEMM