ANÁLISES PRELIMINARES DO USO DE MATHLETS NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA VETORIAL

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1 ANÁLISES PRELIMINARES DO USO DE MATHLETS NO ENSINO E APRENDIZAGEM DE ÁLGEBRA VETORIAL Fernando Celso Villar Marinho Colégio de Aplicação da UFRJ/ Projeto Fundão UFRJ Grupo de Pesquisa em Tecnologias no Ensino de Matemática Edite Resende Vieira Colégio Pedro II / Projeto Fundão UFRJ Grupo de Pesquisa em Tecnologias no Ensino de Matemática Raquel Cupollilo Simões de Sousa Universidade Estadual do Rio de Janeiro (UERJ) / Projeto Fundão UFRJ Grupo de Pesquisa em Tecnologias no Ensino de Matemática Rita Maria Cardoso Meirelles Colégio de Aplicação da UFRJ/ Projeto Fundão UFRJ Grupo de Pesquisa em Tecnologias no Ensino de Matemática Armando Freitas Tramontano Universidade Estadual do Rio de Janeiro (UERJ) / Projeto Fundão UFRJ Grupo de Pesquisa em Tecnologias no Ensino de Matemática Jackson Lopes da Cunha Universidade Federal do Rio de Janeiro (UFRJ) / Projeto Fundão UFRJ Grupo de Pesquisa em Tecnologias no Ensino de Matemática Resumo. Este artigo analisa a experiência didática de uso de mathlets no ensino e aprendizagem de álgebra vetorial nos cursos de Geometria Analítica. As atividades foram aplicadas em turmas de licenciatura em física e matemática no 1º e 2º semestres de 2009 respectivamente, na Universidade Estadual do Rio de Janeiro UERJ. Os mathlets foram criados com o construtor de Nippe Descartes para o ensino e aprendizagem das transformações do plano. O ensino de álgebra vetorial está presente em alguns cursos de graduação, em particular, nos cursos de licenciatura. O uso de recursos computacionais para facilitar a visualização de aplicações de álgebra vetorial ainda não é vista com freqüência nestes cursos. A experiência aqui analisada decorre da aplicação de atividades desenvolvidas pelo Grupo de Pesquisa em Tecnologias no Ensino de Matemática do Projeto Fundão/UFRJ e foi dividida em cinco etapas. Na primeira foi 15

2 realizada a elaboração e a escolha dos websites interativos. A 2ª e a 4ª etapas consistiram em avaliações a priori e a posteriori. Entre as avaliações, na 3ª etapa, foram apresentadas várias atividades em páginas web interativas para auxiliar a visualização de conceitos de translação, rotação, homotetia e simetria. Nesta etapa as atividades foram realizadas de forma assíncrona e a distância. Na última etapa, por intermédio de um questionário, buscou-se a opinião dos estudantes em relação ao uso de mathlets e da importância deste uso na aprendizagem das transformações no plano. Os resultados preliminares mostraram que os alunos desenvolveram esquemas próprios para lidar com a visualização de aplicações de álgebra vetorial e que as atividades com os mathlets possibilitaram uma alternativa de exposição dinâmica e interativa para o ensino de álgebra vetorial. 16

3 1. Introdução O uso de recursos computacionais para auxiliar no ensino e na aprendizagem de álgebra vetorial em cursos de graduação ainda não foi popularizado. Este uso não é comum, por exemplo, nos cursos de Geometria Analítica ministrados na UERJ e na UFRJ. Alguns alunos dos cursos de licenciatura apresentam dificuldades em relacionar o que é aprendido no seio da universidade e o que será ensinado na educação básica. Marinho (2010) apresenta uma experiência de ensino destes conceitos em turmas do 1º ano do ensino médio. O uso de ferramentas computacionais com objetivo de minimizar as dificuldades de visualização de aplicações de álgebra vetorial motivou esta pesquisa, que pretende investigar o uso de mathlets (SANTOS, 2008) no ensino e aprendizagem de álgebra vetorial. Um mathlet, segundo o Journal Online of Mathematics and its Applications (JOMA), é "uma pequena plataforma independente e interativa para o ensino de Matemática. Por esta definição, podemos considerar aplicações desenvolvidas exclusivamente para a internet ou não, em qualquer linguagem de programação, em qualquer plataforma. A grande vantagem atribuída aos mathlets é a possibilidade real de interatividade, aliada ao caráter independente que a aplicação possui, onde entendemos por independente o fato de que um mathlet não está atrelado a nada mais que não um navegador web. Deste modo, não faz-se necessário que as aplicações residam em algum servidor baseado na internet ou mesmo que qualquer outro software seja adquirido (SANTOS, 2008, p.16). O Grupo de Tecnologias Aplicadas ao Ensino de Matemática do Projeto Fundão/UFRJ desenvolveu atividades para explorar os conceitos de translação, rotação, homotetia e simetria, na perspectiva de ambientes corporificados. Segundo Santos (2004, p. 17), os ambientes corporificados informatizados simplesmente ambientes corporificados são sistemas computacionais que possuem como característica uma abordagem essencialmente visual (gráfica), que permite uma exploração dirigida, através de roteiros didáticos e/ou da presença física do professor, no sentido de que o aluno construa conjecturas, as quais ele submeterá interpretações simbólicas e a análises formais, chegando por fim a compreender o conceito estudado. Com uso destes 17

4 recursos, o ensino de matemática é abordado de forma interativa, dinâmica e questionadora. Os mathlets de álgebra vetorial foram elaborados com o aplicativo Nippe Descartes, (DESCARTES, 2007). Gaspar (2008) traz análises do uso de mathlets no ensino de funções exponenciais e ainda apresenta um tutorial resumido sobre o Nippe Descartes. 2. Objetivos Nas investigações em informática educativa destaca-se o interesse em verificar sua utilização em aulas (WARSCHAUER, 2003). No entanto, o objetivo deste trabalho é analisar as implicações no processo de ensino-aprendizagem de álgebra vetorial do uso extra-classe de websites interativos. Cabe destacar que o uso deste recurso na prática pedagógica da professora responsável pelas turmas foi realizado em parceria com os membros do Grupo de Tecnologias do Projeto Fundão. Dentre as várias páginas interativas desenvolvidas pelo grupo para a atividade aplicada na UERJ destacaremos as que abordam translação, simetria, rotação e homotetia. Como descrito inicialmente, o objetivo deste artigo é analisar as implicações do uso de mathlets no processo de ensino e aprendizagem de álgebra vetorial, em particular, para o ensino e aprendizagem de transformações no plano. Assim, a questão geral desse estudo é: O uso de mathlets auxilia a aprendizagem de transformações no plano? 3. Metodologia Esta pesquisa tem caráter qualitativo e foi desenvolvida em cinco etapas: seleção de atividades; teste a priori; aplicação das atividades; teste a posteriori e aplicação de questionário (ficha) de avaliação da atividade. Inicialmente, foram elaboradas pelo Grupo de Pesquisa em Tecnologias no Ensino de Matemática do Projeto Fundão/UFRJ várias páginas web interativas relativas às transformações de translação, rotação, homotetia e simetria. A professora Raquel Cupolillo, pesquisadora do grupo, participou de todas as etapas e possibilitou a realização das atividades com seus alunos de Geometria Analítica nos cursos de graduação da UERJ. No primeiro semestre de 2009 as atividades selecionadas foram aplicadas aos alunos de licenciatura em Física. O objetivo desta aplicação era verificar se as atividades elaboradas 18

5 atendiam ao objetivo de auxiliar os alunos nos estudos a distância de forma assíncrona e por isso foram realizadas de forma presencial permitindo identificar possíveis falhas na linguagem utilizada ou no uso dos mathlets. Ao final da aplicação foi possível identificar a necessidade de aperfeiçoar as orientações de uso dos mathlets apresentadas nos roteiros didáticos. O teste a priori foi realizado em dois tempos de aula e consistiu em uma prova escrita com duas questões com dois e três itens respectivamente (figura 6). A primeira questão trata das transformações homotetia, rotação e simetria executadas em sequência a partir de um único vetor. Na segunda questão são dadas algumas informações sobre um vetor representado a partir da origem do plano cartesiano. Na 3ª etapa os alunos puderam explorar durante uma semana as páginas web interativas disponíveis no endereço eletrônico indicado pela professora: A figura 1 ilustra a atividade proposta na qual os alunos são convidados a determinar as coordenadas do triângulo A B C obtido pela translação do triângulo ABC dada por vetor qualquer (na figura representado pelo vetor aplicado na origem). A interatividade do mathlet permitia mudar as posições dos vértices A, B ou C, bem como o módulo, a direção e o sentido do vetor. A simetria em relação a uma reta qualquer (figura 2) foi a última atividade apresentada aos alunos. Os alunos eram convidados a determinar as coordenadas do triângulo A B C simétrico ao triângulo ABC em relação a reta dada. Nela, o mathlet permitia mudar as posições dos vértices A, B ou C. Além disso, a reta era determinada por dois pontos móveis, isto é, a reta poderia ser alterada continuamente e a simetria deveria ser mantida. Na figura 2, aparecem os vetores que exemplificam uma possível solução vetorial para este problema de simetria. Cabe destacar que tais vetores não são visíveis a priori e mesmo assim alguns alunos sugeriram essa solução. Possivelmente tais alunos não soubessem exatamente como determinar a projeção ortogonal sobre uma reta qualquer, mas de forma intuitiva, apresentaram um caminho correto para a solução do problema. A 4ª etapa correspondeu ao teste a posteriori aplicado, após a realização das interações à distância, em dois tempos de aula. Neste teste os alunos deveriam apresentar soluções escritas para duas questões com dois e três itens respectivamente (figura 7). 19

6 A primeira questão abordava as transformações de homotetia, rotação e simetria executadas em sequência. A segunda contemplava as atividades relativas à rotação e simetria central. Ao final da realização de todas as atividades os alunos preencheram uma ficha de avaliação (figura 8) com sete perguntas para que eles fizessem comentários e registrassem suas opiniões em relação ao uso de mathlets e da importância deste uso na aprendizagem das transformações no plano. Fazendo a leitura e análise dos depoimentos dos alunos registrados na ficha de avaliação, o Grupo de Tecnologias do Projeto Fundão UFRJ verificou que essa iniciativa promoveu mudanças e propiciou uma nova forma de aprendizagem nesse contexto de ensino. As atividades realizadas propiciaram aos alunos, maior facilidade na visualização e interpretação dos problemas propostos, o que contribuiu para um melhor desempenho na segunda avaliação. As figuras 3, 4 e 5 são exemplos de respostas dados pelos alunos, respectivamente às questões 1, 2 e 3: Questão 1: Os conteúdos apresentados em cada atividade foram adequados aos temas propostos? Justifique a sua resposta. Questão 3: Os itens apresentados em cada uma das atividades orientaram a busca da solução do problema? Justifique sua resposta. Questão 4: As observações e conclusões das atividades enriquecem o trabalho que você está realizando em sala de aula? Através das fichas de avaliação foi possível para a equipe do Grupo de Tecnologias no Ensino de Matemática conhecer a percepção dos alunos envolvidos nesse projeto. Os depoimentos puderam revelar o que foi denotado no decorrer das atividades e provocar um movimento de discussão e reflexão da equipe sobre os aspectos positivos e negativos da proposta realizada. 4. Resultados obtidos Em razão das características dos testes, a análise dos resultados, resumidos na tabela a seguir, é possível conjecturar que o uso de mathlets interferiu positivamente na 20

7 aprendizagem das transformações de translação, rotação, homotetia e simetria. É importante destacar que o valor de cada teste correspondeu a 2 pontos. Os resultados dos testes a priori e a posteriori (quadro 1) permite conjecturar que a sequência didática apoiada em mathlets facilitou o aprendizado de conceitos que envolvem as transformações no plano. Tal conjectura é reforçada por meio de relatos dos próprios alunos. Como observado na resposta à pergunta 4 do questionário. 5. Considerações finais A escolha de matlhets desenvolvidos com o construtor Nippe Descartes se mostrou eficiente para a atividade proposta. Tal ferramenta apresenta recursos com os quais os alunos podem interagir com rapidez e precisão maior do que se estivessem utilizando os recursos usados normalmente na sala de aula. Estes recursos promovem um trabalho diferenciado, estimulando o aluno a formular suas próprias conjecturas e verificar se elas são válidas ou não. Embora alguns alunos tenham apontado algumas dificuldades na realização das atividades com o aplicativo Nippe Descartes devido a pouca familiaridade com recursos tecnológicos, seu uso parece ser promissor e os resultados aqui apresentados podem ser considerados na elaboração e implantação de tecnologias computacionais para ensino/aprendizagem de álgebra vetorial, em particular de transformações no plano. 6. Referências BRASIL. Secretaria de Educação Fundamental. Parâmetros Curriculares Nacionais: Matemática ensino de primeira a quarta série. Brasília: MEC/SEF, DESCARTES (software). Disponível em Acesso em fevereiro de GASPAR, R. A. S. Aplicações do Projeto Descartes. Monografia de conclusão de curso. Instituto de Matemática/UFRJ JOMA. Journal of online mathematics and its applications. Disponível em Acesso em março de MARINHO, F.C.V. et al. Ensino de Álgebra vetorial com apoio de mathlets em websites. Rio de Janeiro, V EEMAT, SANTOS, A. R. dos; KUBRUSLY, R. S.; BIANCHINI, W. Mathlets: Applets Java para o Ensino de Matemática. In: Anais do 2º Colóquio de História e Tecnologia no Ensino de Matemática, Rio de Janeiro: UERJ,

8 SANTOS, V. C. P. Mathlets: possibilidades e potencialidades para uma abordagem dinâmica e questionadora no ensino de Matemática. Dissertação de Mestrado. Instituto de Matemática/UFRJ, WARSCHAUER, M. Technology and social inclusion: Rethinking the digital divide. Cambridge, MA: MIT Press, Anexos Figura 1: Translação de polígonos segundo um vetor Figura 2: Simetria Axial de uma figura em relação a uma reta qualquer Figura 3: Resposta de um aluno à pergunta 1 Figura 4: Resposta de um aluno à pergunta 3 22

9 Figura 5: Resposta de um aluno à pergunta 4 Quadro 1 A priori A posteriori Aluno 1 0 0,5 Aluno 2 0 0,5 Aluno 3 0 0,5 Aluno 4 0 1,0 Aluno 5 1,5 1,3 Aluno 6 2,0 2,0 Aluno 7 0,8 1,6 Aluno 8 0 0,5 Aluno 9 0,5 1,5 Aluno 10 0,5 1,3 Média 0,5 1,1 23

10 Figura 6 24

11 Figura 7 25

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13 Figura 8 UNIVERSIDADE DO ESTADO DO RIO DE JANEIRO - UERJ TRANSFPORMAÇÕES DEPARTAMENTO DE GEOMETRIA E REPRESENTAÇÃO GRÁFICA PROF A RAQUEL CUPOLILLO Ficha de Avaliação da Oficina de Transformações O Projeto Descartes foi promovido e financiado pelo Ministério de Educação e Ciência da Espanha. Tem como principal finalidade a inovação e a colaboração na área Matemática, utilizando as vantagens do computador e da Internet, oferecendo a professores e alunos um novo recurso para o processo de ensino-aprendizagem. Dessa forma, o Grupo de Tecnologias do Projeto Fundão UFRJ, desenvolve oficinas abordando conteúdos de difícil compreensão utilizando a mesma ferramenta (Nippe Descartes). Essa ficha de avaliação oferece um percurso para que você possa refletir sobre as suas ações e sobre as atividades realizadas nesse ambiente educacional com base nos conteúdos explorados. 1. Os conteúdos apresentados em cada atividade foram adequados aos temas propostos? Justifique a sua resposta. 2. As atividades permitiram a participação e a interação? Em caso afirmativo, como? 3. Os itens apresentados em cada uma das atividades orientaram a busca da solução do problema? Justifique sua resposta. 4. As observações e conclusões das atividades enriquecem o trabalho que você está realizando em sala de aula? 5. Você apresentou alguma dificuldade no encaminhamento apresentado nas atividades? Em caso afirmativo, registre a dificuldade. 6. Em qual tema você encontrou mais dificuldade em realizar as atividades? Por quê? 7. As cenas (parte gráfica) apresentadas em cada atividade facilitaram a execução dos itens propostos? Justifique a sua resposta. 27