MODELAGEM NÃO PARAMÉTRICA DE ANÁLISE DE SOBREVIVÊNCIA APLICADA AOS TESTES DE ESTACA USADOS NA AVALIAÇÃO DA EFICIÊNCIA DE PRESERVATIVOS DE MADEIRA

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1 XV EBRAMEM - Encontro Brasileiro em Madeiras e em Estruturas de Madeira 09-11/Mar, 2016, Curitiba, PR, Brasil MODELAGEM NÃO PARAMÉTRICA DE ANÁLISE DE SOBREVIVÊNCIA APLICADA AOS TESTES DE ESTACA USADOS NA AVALIAÇÃO DA EFICIÊNCIA DE PRESERVATIVOS DE MADEIRA 1 Carlos Alberto Oliveira de Matos (carlos@itapeva.unesp.brl) 1 Universidade Estadual Paulista Júlio de Mesquita Filho Coordenadoria de Curso de Engenharia Industrial Madeireira - Campus Experimental de Itapeva Rua Geraldo Alckmin, Itapeva- SP RESUMO: A preservação de madeira é uma das estratégias que concorrem para o aproveitamento racional dos recursos florestais. A madeira está sujeita ao ataque de diversos agentes físicos e biológicos que incluem principalmente os fungos manchadores e apodrecedores e os insetos brocas e cupins. Os ensaios mais comuns usados para avaliar a eficiência de produtos preservativos de madeira são os testes onde estacas de madeira são impregnadas e expostas no chão para sofrerem a ação de fungos e insetos. O objeto de estudo é o tempo até a ocorrência da destruição total (evento) que recomenda a utilização da análise de sobrevivência ou análise de sobrevida. A maior parte desses ensaios são aplicados com base em normas técnicas como as da ASTM, da ABNT, da IUFRO, etc. cuja utilização como normas para experimentação não é recomendável. No presente caso elas enfatizam os critérios para avaliar o grau de destruição sem considerar o design experimental e a análise estatística. O objetivo do presente trabalho foi discutir o potencial de aplicação de ferramentas de modelagem não paramétrica de análise de sobrevivência nos testes de estaca e o potencial de incremento na qualidade das inferências que pode ser obtida com essa estratégia. Palavras Chave: preservativos, testes de eficiência, análise de sobrevivência. EVALUATION EFFICIENCY OF WOODEN PRESERVATIVES WITH STAKE TESTS (NON- PARAMETRIC SURVIVAL ANALYSIS) ABSTRACT: The preservation of wood is one of the strategies that contribute to the rational use of forest resources. The wood is subject to attack by many physical and biological agents including especially the fungi (staining and decay) and insect borers and termites. The most common assays used to evaluate the efficiency of wood preservative products are tests where wooden stakes are impregnated and exposed on the ground, to undergo the action of fungi and insects. The study object is the time to occurrence of total destruction (event) which recommends the use of survival analysis. Most of these tests are applied based on technical standards such as ASTM, ABNT, IUFRO, etc. whose use as standards for experimentation is not recommended. In this case, they emphasize the criteria to assess the degree of destruction without considering the experimental design and statistical analysis. The objective of this study was to discuss the potential application of non-parametric modeling tools for survival analysis in stake tests and the potential increase in the quality of inferences that can be obtained with this strategy. Keywords: preservatives, efficiency tests, survival analysis.

2 1. INTRODUÇÃO E OBJETIVO A preservação de madeira é o conjunto de técnicas que objetiva estender a vida útil da madeira em uso e é uma das estratégias que concorrem para o aproveitamento racional dos recursos florestais. A preservação é uma necessidade crescente em virtude do aumento da demanda de madeira e de produtos derivados e requer investimentos em pesquisa e difusão de tecnologia. A madeira está sujeita ao ataque de diversos agentes físicos e biológicos, estes de maior importância, que incluem principalmente os fungos manchadores e apodrecedores e os insetos brocas e cupins. Os ensaios mais comuns usados para avaliar a eficiência de produtos preservativos de madeira são os testes de estaca onde estacas de madeira são impregnadas com um preservativo e são expostas no chão para sofrerem a ação de fungos e insetos destruidores de madeira em uma ou mais parcelas de terreno. Um índice da condição é determinado a partir de notas atribuídas as estacas em função do grau de destruição ao longo de inspeções periódicas e é usado para expressar os resultados periodicamente até o fim do teste que ocorre com a destruição total da estaca. Obviamente este é um caso onde o objeto de estudo que importa é o tempo até a ocorrência da destruição total (evento) e onde a análise de sobrevivência ou análise de sobrevida tem a sua utilização recomendada. A maior parte desses ensaios conduzidos pelos profissionais que trabalham com madeira, mesmo aqueles financiados por agências de fomento de pesquisa, são aplicados com base em normas técnicas como as da American Society for Testing and Materials (ASTM), da Associação Brasileira de Normas Técnicas (ABNT), da Internacional Union of Forest Research Organizations (IUFRO), etc. Normas técnicas são estabelecidas com a finalidade de garantir características desejáveis de produtos e serviços principalmente no aspecto da qualidade e sua utilização como protocolo de experimentação não é recomendável. No caso das normas para os testes de estaca sua ênfase se dá em relação ao estabelecimento de diferentes critérios para avaliar o grau de destruição e não em relação ao design experimental e a análise estatística. O objetivo do presente trabalho foi discutir o potencial de aplicação de ferramentas de modelagem não paramétrica (estimação da função de sobrevivência, estimação da função risco acumulado, intervalos de confiança para as duas funções, cálculo e interpretação do tempo de sobrevivência mediano, intervalos de confiança para o tempo de sobrevivência mediano, testes para comparação das curvas de sobrevivência entre diferentes estratos) para de análise de sobrevivência aplicada aos testes de estaca usados na avaliação da eficiência de preservativos de madeira e o potencial de incremento na qualidade das inferências que pode ser obtida com essa estratégia. Devido à natureza eminentemente propedêutica do presente trabalho é necessário enfatizar que ele se baseia em dois documentos que são importantes em função da identidade de natureza com o presente trabalho. O primeiro é o livro de Colosimo e Giolo (2006) que é resultado de um esforço conjunto dos autores no sentido de oferecer um material didático sobre análise de dados de sobrevivência. Dentre os diversos pacotes estatísticos que disponibilizam as técnicas de análise de sobrevivência, foi adotado, neste livro o pacote estatístico R que é de distribuição livre. Os comandos utilizados neste pacote para a obtenção dos resultados são sempre descritos no decorrer dos capítulos ou no apêndice do texto. A abordagem utilizada pelos autores é aquela que vai nortear o texto final acrescida da proposta de uma série de exemplos cujo cálculo manual precederá o cálculo computacional. O segundo é o material disponibilizado na forma de hipertexto por Carvalho, Campos e Oliveira (2015), da FIOCRUZ, cuja habilidade em conciliar amplitude conceitual, concisão e clareza dispensa esforços no sentido da reinvenção da roda. O trabalho de Link e De Groot (1989) foi a fonte dos dados utilizados. 2. MATERIAL E MÉTODO O trabalho de Link e De Groot (1989) foi a fonte dos dados utilizados. No referido trabalho foram utilizadas 12 substâncias ou misturas de substancias preservativas num teste de

3 classificação ao longo do tempo com relação a destruição de estacas. Para a comparação de curvas de sobrevivência entre diferentes estratos foram selecionadas deste trabalho duas misturas e uma substância, doravante denominadas genericamente como produtos. O produto A foi o óleo de base gasosa catalítico com naftenato de cobre (0,5 % de cobre metálico). Naftenato de cobre é um composto organometálico que é um líquido verde-escuro e transmite esta cor à madeira. O produto B foi o creosoto de alcatrão de hulha (vol. 25%) e óleo de base gasosa catalítico com naftenato de cobre (0,75 % de cobre metálico) (vol. 75%). Creosoto de alcatrão de hulha (creosoto) é um óleo preto ou amarronzado produzido pela destilação de alcatrão de carvão, que é obtido após a alta temperatura de carbonização do carvão. O produto C foi o cloreto de zinco. O pacote survival (THERNEAU; LUMLEY, 2015) do programa R (R CORE TEAM, 2015) foi o ambiente de programação empregado para as análises estatísticas e elaboração dos gráficos. 2.1 Estimação da função de sobrevivência (Kaplan-Meier) e determinação do intervalo de confiança O pacote survival (THERNEAU; LUMLEY, 2015) do programa R (R CORE TEAM, 2015) foi o ambiente de programação empregado para as análises estatísticas e elaboração dos gráficos. Estimação da função de sobrevivência (Kaplan-Meier) e determinação do intervalo de confiança. Dois estimadores da função de sobrevivência com características semelhantes estão entre os mais utilizados: o estimador de Kaplan-Meier (também conhecido por limite-produto) para a função de sobrevivência é o mais utilizado em estudos médicos e tem sido cada vez mais aplicado em estudos de confiabilidade e o estimador denominado por Nelson-Aalen foi proposto por Nelson (1972) e teve suas propriedades estudadas por Aalen (1978). O estimador de Kaplan-Meier é uma adaptação da função de sobrevivência empírica: S (t) = n.de estacas que não foram destruidas totalmente até o tempo t n.total de estacas no estudo (1) Esta função implica na ausência de censuras, presença de informações incompletas ou parciais, decorrentes do fato de que os testes de estacas são estudos prospectivos e de longa duração onde pode ocorrer a perda de uma estaca por outros motivos que não a destruição total por fungos ou insetos ou a não ocorrência da destruição total no período de duração do experimento. S (t) é uma função em forma de escada com degraus nos tempos onde ocorreu a destruição total. Os degraus têm tamanho 1 n (n = tamanho da amostra) que é multiplicado pelo número de empates no caso deles ocorrerem. Denominando-se de q j a probabilidade de uma estaca ser destruída no intervalo [t j-1, t j ) sabendo-se que ela não foi destruída até o tempo t j-1 e considerando t 0 = 0 é possível escrever a expressão geral de S (t) em termos de probabilidades condicionais e o estimador de Kaplan- Meyer se reduz a estimar q j e é definido como: S (t) = ( n j d j ) = (1 d j j:t j <t ) n j:t j <t (2) j n j onde d j é o número de estacas destruídas em t j, j = 1,..., k n j é o número de estacas sob risco em t j ou seja as estacas que não foram destruídas e não foram censuradas até o instante imediatamente anterior a t j.

4 Kaplan e Meier (1958) demonstram que esse estimador é o estimador de máxima verossimilhança de S (t) e que apresenta as seguintes propriedades: não é enviesado para amostras grandes é fracamente consistente e converge assintoticamente para um processo gaussiano. A variância assintótica do estimador de Kaplan-Meier é dada por: d j n j (n j d j ) Var (S (t)) = [S (t)] 2 j:t j <t (3) A representação gráfica do estimador de Kaplan- Meier com os respectivos intervalos de confiança são apresentados na Figura 1 na Seção Resultados e Discussão. 2.2 Estimação da função de sobrevivência (Kaplan-Meier) e determinação do intervalo de confiança O estimador de Nelson- Aalen baseia se na função de sobrevivência expressa por: S (t) = e { Λ (t)} (4) t onde Λ(t) é a função de risco acumulado definida por Λ(t) = λ(u)du 0 ser obtida por: d j n j 2. e a variância pode Var (S (t)) = [S (t)] 2 j:t j <t (5) Embora muito próximas as estimativas obtidas pelo estimador de Nelson-Aalen são maiores ou iguais àquelas obtidas pelo estimador de Kaplan-Meier (BOHORIS, 1994) Em virtude das propriedades assintóticas desses dois estimadores o intervalo aproximado de 100 (1 α)% de confiança para S (t) é dado por: S (t) ± z 2 Var (S (t)) (6) A representação gráfica do estimador de Nelson- Aalen com os respectivos intervalos de confiança são apresentados na Figura 2 na Seção Resultados e Discussão. 2.3 Cálculo e interpretação do tempo de sobrevivência mediano e intervalos de confiança para o tempo de sobrevivência mediano A medida resumo mais comum é o tempo mediano de sobrevivência que é definido como o menor tempo para o qual metade das estacas foi destruída. Como a distribuição do tempo de sobrevivência é pouco simétrica ela é preferível em relação à média por causa da sua robustez. Na ocorrência de censura é o tempo no qual o valor estimado da sobrevivência é maior ou igual a 50% e na ausência de censura é exatamente 50% t med = min(t j S (t j ) 0,5) (7) Na ausência de censura é o tempo imediatamente depois do qual 50% da amostra ainda não sofreu destruição. Em virtude da curva de Kaplan-Meier ser uma função escada, a estimativa mais adequada para a mediana é obtida através de uma interpolação linear. (BESSEGATO, 2015)

5 S-Plus e R calculam o intervalo de confiança para a mediana usando o método de Brookmeyer e Crowley (1982) com base na inversão do teste de sinal. Uma linha horizontal é desenhada na ordenada 0,5 do eixo y e uma linha é desenhada perpendicular ao eixo x. As estimativas dos limites inferior e superior podem ser obtidas nos pontos em que a linha horizontal cruza os intervalos de confiança. NA ou INF são relatados quando a linha horizontal não cruza o intervalo de confiança. 2.4 Testes para comparação das curvas de sobrevivência entre diferentes estratos Nos testes de estaca o objetivo principal é descrever a sobrevivência em função de cada um dos produtos usados como preservativos. Na abordagem denominada Kaplan-Meier com estratificação a sobrevivência é calculada separadamente para cada estrato (no caso cada preservativo) e são usados os testes de Log-rank (Mantel Haenszel) ou de Peto para testar a hipótese da inexistência de diferença entre os estratos (CARVALHO; CAMPOS; OLIVEIRA, 2015): H 0 : λ (t) 1 = λ 2 (t) = = λ k (t) (8) No teste de Log-rank a distribuição esperada de eventos igual em todos os estratos é: E k (t) = N(t) R k (t) R(t) (9) A estatística de teste log-rank para dois estratos (k = 2) tem a fórmula: onde Log rank = (O 1 E 1 ) 2 Var(O 1 E 1 ) (10) O 1 = total de eventos observados no estrato 1 E 1 = total de eventos esperados no estrato 1. 2): A variância, que entra no cálculo como um fator de padronização, tem a fórmula (para k = Var(O 1 E 1 ) = R 1 (t)r 2 (t)δn(t)[r(t) ΔN(t)] t (11) R(t) 2 [R(t) 1] A estatística log-rank, sob a hipótese nula, segue uma distribuição Χ 2 com k - 1 graus de liberdade. O teste de Peto dá maior peso às diferenças (ou semelhanças), no início da curva, onde comumente se concentra a maior parte dos dados e por isso pode ser mais informativa. Sua estatística usa um ponderador S(t) no estimador. Peto = sendo que (O 1 E 1 ) 2 Var(O 1 E 1 ) (12) O 1 E 1 = t j S (t j ) (O 1 (t j ) E 1 (t j )) (13) Também a estatística Peto segue aproximadamente uma distribuição Χ 2 com k - 1 graus de liberdade.

6 3. RESULTADOS E DISCUSSÃO Os gráficos que resumem a estimação da função de sobrevivência (Kaplan-Meier), a estimação da função risco acumulado (Nelson-Aalen) e os intervalos de confiança para as duas funções são apresentados nas Figuras 1 e 2. Figura 1: Estimador de Kaplan- Meier e intervalo de confiança. Figura 2: Estimador de Nelson - Aalen e intervalo de confiança. O tempo de sobrevivência mediano foi igual a 13,4 anos e o respectivo intervalo de confiança foi [12,8;15,6] com nível de significância igual a 5%. Isso significa que 13,4 anos é o menor valor de tempo para o qual exatamente metade das estacas (uma vez que não existe censura nos nossos dados) é destruída pelo ataque de insetos e fungos.

7 A comparação das curvas de sobrevivência entre os diferentes produtos é apresentada na Figura 3. Figura 3: Comparação das curvas de sobrevivência entre diferentes estratos. A hipótese nula de ausência de diferença na sobrevivência devida aos diferentes produtos 2 não foi rejeitada com a utilização do teste de Peto ( Χ 2 g.l. = 1,9, valor P = 0,379 ) mas foi 2 com a utilização do teste de Log-rank ou Mantel Haenszel ( Χ 2 g.l. = 6,1, valor P = 0,0484 ) 2 = devido a diferença significativa entre as curvas de sobrevivência dos produtos A e C ( Χ 1 g.l. 4,0, valor P = 0,0445 ). No trabalho de Link e De Groot (1989) os tempos médios até a destruição total dos três produtos não apresentaram diferenças significativas. Também nesse trabalho alguns dos produtos não foram incluídos no teste de comparação múltipla utilizado pelo fato de que nem todas as estacas foram destruídas. Este procedimento, que é comum nos ensaios de avaliação da eficiência de produtos preservativos de madeira, se revelou contraproducente em virtude impossibilitar a incorporação de informação resultante da censura a direita (quando o tempo entre o início do estudo e a destruição da estaca é maior do que o tempo observado) e dessa forma não permitir a constatação de diferenças significativas entre as curvas de sobrevivência de produtos. 4. CONCLUSÃO A maior parte dos ensaios conduzidos para avaliar a eficiência de produtos preservativos de madeira são os testes de estaca aplicados com base em normas técnicas cuja ênfase se dá em relação ao estabelecimento de diferentes critérios para avaliar o grau de destruição e não em relação ao design experimental e a análise estatística. O trabalho de Link e De Groot (1989) é um exemplo de ensaio de avaliação da eficiência no qual a análise estatística foi realizada utilizando análises de variância e testes de comparações múltiplas. Essa abordagem é a comumente empregada no Brasil quando ensaios de avaliação da eficiência de produtos são acompanhados de análise estatística. Como nesses ensaios o objeto de estudo que importa é o tempo até a ocorrência da destruição total (evento), a análise de sobrevivência ou análise de sobrevida tem a sua

8 utilização recomendada principalmente pelo fato de não descartar informação resultante da censura a direita. Nossos resultados iniciais utilizando a análise de sobrevivência constataram diferenças significativas entre produtos preservativos de madeira que não foram constatadas com a utilização da abordagem tradicional revelando o potencial promissor da modelagem não paramétrica da análise de sobrevivência aplicada aos testes de estaca usados na avaliação da eficiência de preservativos de madeira. 5. AGRADECIMENTOS Á Fundação de Amparo à Pesquisa do Estado de São Paulo (Processo FAPESP nº. 2015/ ). Aos participantes do IV WASA -Workshop em Análise de Sobrevivência e Aplicações realizado, entre os dias 30/11/2015 e 02/12/2015 pela Associação Brasileira de Estatística pelo ambiente de discussão e colaboração. 6. REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS AALEN, Odd. Nonparametric inference for a family of counting processes. The Annals of Statistics, p , BARKER, Chris. The mean, median, and confidence intervals of the Kaplan-Meier survival estimate Computations and applications. The American Statistician, v. 63, n. 1, BESSEGATO, Lupércio França. Análise de Sobrevivência Aplicada à Saúde. Elaborada por Departamento de Estatística/UFJF. Disponível em: < Acesso em: 21 set BOHORIS, G. A. Comparison of the cumulative-hazard and Kaplan-Meier estimators of the survivor function. Reliability, IEEE Transactions on, v. 43, n. 2, p , BROOKMEYER, Ron; CROWLEY, John. A confidence interval for the median survival time. Biometrics, p , LINK, CAROL L.; DE GROOT, RODNEY C. Statistical Issues in Evaluation of Stake Tests Proceedings of the 85th annual meeting of the American Wood-Preservers Association; 1989 April 23-26; San Francisco, CA. Stevensville, MD: American Wood- Preservers Association; 1989: Vol. 85. CARVALHO, Marilia Sa; CAMPOS, Dayse Pereira; OLIVEIRA, Raquel de V. C. de. Introdução à Análise de Sobrevivência. Fundação Oswaldo Cruz, Brasil. Disponível em: < Acesso em: 21 set COLOSIMO, Enrico Antônio; GIOLO, Suely Ruiz. Análise de sobrevivência aplicada. In: ABE- Projeto Fisher. Edgard Blücher, DIEZ, David M. Survival Analysis in R Elaborada por openintro.org. Disponível em: < Acesso em: 21 set IBACH, Rebecca E. Wood Preservation. Disponível em: < Acesso em: 21 set KAPLAN, Edward L.; MEIER, Paul. Nonparametric estimation from incomplete observations. Journal of the American Statistical Association, v. 53, n. 282, p , NELSON, Wayne. Theory and applications of hazard plotting for censored failure data. Technometrics, v. 14, n. 4, p , R CORE TEAM (2015). R: A language and environment for statistical computing. R Foundation for Statistical Computing, Vienna, Austria. URL THERNEAU, Terry M.; LUMLEY, Thomas. Package survival NOTA DE RESPONSABILIDADE O autor é o único responsável pelo que está contido neste trabalho.