VALIDAÇÃO DO MODELO PELO USO DE MEDIDAS DE NÃO LINEARIDADE

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1 VALIDAÇÃO DO MODELO PELO USO DE MEDIDAS DE NÃO LINEARIDADE Adriana de Souza COSTA 1, Glaucia Amorim FARIA 2, Ana Patricia Bastos PEIXOTO 1 1 Departamento de Estatística, Universidade Estadual da Paraíba-UEPB, Campus I, Campina Grande-PB. adriana.asc96@yahoo.com.br. 2 Departamento de Zootecnia, Universidade do Estado de Santa Catarina-UDESC, Campus I, Chapecó-SC. E- mail:glauciaamorim@hotmail.com RESUMO O presente estudo teve por objetivo avaliar estatisticamente as principais características do modelo não linear e foram analisadas as propriedades estatísticas dos estimadores do modelo e realizar um estudo da não linearidade do modelo considerando por meio de medidas de curvatura. O delineamento experimental utilizado foi o inteiramente casualizado, com 20 repetições, e os tratamentos foram dispostos em esquema fatorial com uma concentração de sacarose, três concentrações de sorbitol, mais uma testemunha, totalizando 4 tratamentos ou ensaios em branco. Em todos os tratamentos analisados foi verificado que o modelo apresenta um comportamento próximo do linear, pois os valores das medidas de curvaturas foram menores que 0,5. PALAVRAS CHAVE: Passiflora giberti N. E. Brown, não linearidade, coeficiente de variação, ensaio de uniformidade. 1 INTRODUÇÃO O principal objetivo da análise de regressão é identificar e quantificar algumas relações funcionais entre duas ou mais variáveis, onde uma variável é dita dependente da outra. Em resumo podemos dizer que a análise de regressão estuda o efeito de uma ou mais variável sobre outra variável (chamada de variável resposta). De modo geral, temos interesse em estabelecer uma possível relação funcional (matemática) entre as variáveis e, se a relação for boa usá-la para fazer inferências e previsões.

2 Os modelos de regressão utilizados são classificados em duas categorias mais gerais: os modelos de regressão lineares e os não lineares. A diferença primordial desses dois modelos está na forma como os parâmetros aparecem nos mesmos, se os parâmetros aparecem de forma linear na equação matemática que determina a relação entre as variáveis, ele será classificado na categoria dos lineares, caso contrários na dos não lineares. As propriedades dos estimadores não lineares, obtidos por métodos iterativos, como, por exemplo, o método de Gauss-Newton, são semelhantes às dos modelos lineares quando o tamanho da amostra é suficientemente grande (BATES e WATTS, 1988). No entanto, para amostras pequenas, estas propriedades podem não ser 'herdadas' e os resultados numéricos apresentados pela maioria dos softwares estatísticos não terão validade inferencial com respaldo na teoria, tendo em vista que as propriedades de estimação não linear são somente válidas assintoticamente. Quando o tamanho da amostra cresce a aproximação para um modelo linear vai se tornando cada vez melhor, no entanto, para amostras pequenas é necessário quantificar essa aproximação. Bates e Watts (1980), quantificaram tal aproximação utilizando-se do conceito matemático de curvatura, que pode servir, por exemplo, na escolha entre dois modelos considerados em um determinado experimento, ou na comparação entre tratamentos de posse de um mesmo modelo. O presente estudo teve por objetivo avaliar estatisticamente as principais características do modelo não linear descrito por Lessman e Atkins (1963) e foram analisadas as propriedades estatísticas dos estimadores do modelo, determinando bandas de confiança para as respostas esperadas, além disso, foi realizado um estudo da não linearidade do modelo considerando a metodologia de Bates e Watts (1980). 2 MATERIAL E MÉTODOS Os dados utilizados para a realização deste trabalho foram provenientes de um experimento conduzido no Laboratório de Biotecnologia Vegetal da Embrapa Mandioca e Fruticultura, em Cruz das Almas, Bahia. Segmentos nodais de um (1) cm de comprimento plantas de maracujazeiro Passiflora giberti N. E. Brown., oriundos do Banco Ativo de Germoplasma da Embrapa Mandioca e Fruticultura. Os

3 segmentos de plântulas cultivados in vitro, foram dispostos em magentas contendo 20 ml do meio de cultura MS. Cada unidade experimental foi constituída de 1 explante por magenta. A avaliação do comprimento foi realizada aos 60 dias após incubação, observando-se a altura das brotações (cm). O delineamento experimental foi o inteiramente casualizado, com 20 repetições, e os tratamentos foram dispostos em esquema fatorial com uma concentração de sacarose, três concentrações de sorbitol, mais uma testemunha (MS padrão), totalizando 4 tratamentos ou ensaios em branco. TABELA 1: Dosagens de sacarose e sorbitol de acordo com os tratamentos, utilizadas no experimento de conservação in vitro de Passiflora giberti N.E.Brown. Tratamentos Sacarose (g.l -1 ) Sorbitol (g.l -1 ) T T T T O modelo utilizado foi proposto por Lessman e Atkins (1963). Este modelo é utilizado em experimentos com o objetivo de estimar o tamanho ótimo de parcelas, pelo método da máxima curvatura modificada, cuja a relação entre o coeficiente de variação ( CV ) e o tamanho da parcela com X unidades básicas é explicado pelo modelo exponencial CV = ax b, em que a e b são os parâmetros a serem estimados, o parâmetro a representa a variação entre as parcelas e b o índice de heterogeneidade do material estudado. Para a estimação dos parâmetros do modelo não linear foi utilizada a metodologia de estatística clássica, com o uso do método iterativo de Gauss-Newton (BATES e WATTS, 1988), para a obtenção das estimativas dos parâmetros utilizando-se da função nls desenvolvida para ajustes de modelos não lineares. Com o objetivo de investigar a não linearidade do modelo foi utilizado a medida de curvatura de Bates e Watts (1980), já implementada no software R versão , que serve para indicar o quão distante está um modelo não linear de um modelo linear. A curvatura denominada intrínseca é aquela inerente ao local de solução e não depende da particular parametrização do modelo já a curvatura causada pela parametrização do modelo corresponde a uma particular direção do espaço paramétrico.

4 3 RESULTADOS E DISCUSSÃO O modelo não linear que relaciona o coeficiente de variação com o tamanho da parcela CV = ax b se ajustou bem aos dados considerando o coeficiente de determinação 2 R e apresentou todas as estimativas significativas com valor de p inferior a 0,05 para as duas estimativas. Os intervalos de confiança para os parâmetros, bem como o erro padrão das estimativas foram calculados considerando um nível de confiança de 95% (Tabela 2). TABELA 2: Estimativas dos parâmetros a e b baseadas na inferência por aproximação linear, erro padrão da estimativa (E.P. E), valor de p para o teste t, intervalo de confiança (IC) de 95% para os parâmetros, e coeficiente de determinação (R 2 ) para o modelo que estimará o tamanho ótimo de parcelas. Tratamentos Parâmetros Estimativa E.P.E. Valor-P IC (95%) R 2 Trat 1 Trat 2 Trat 3 Trat 4 a 71,2507 7,6445 < 0,0001 [ ; 89,3272] b ,0957 < 0,0001 [0,3137; 0,7666] a 21, ,1158 < 0,0001 [16,1505; 26,1569] b 0,3740 0,0781 < 0,0001 [0,1893; 0,5588] a 57,1405 6,0175 < 0,0001 [42,9113; ] b ,0957 < 0,0001 [0,3349; 0,7879] a ,1716 < 0,0001 [ ; ] b 0,6865 0,0890 < 0,0001 [0,4760; 0,8969] 0,8170 0,7570 0,8355 0,8946 Para verificar se os resultados obtidos na Tabela 2 podem ser considerados válidos pela aproximação linear realizada no processo de estimação, foram calculadas as medidas de não linearidade propostas por Bates e Watts (1980). Os resultados para estas duas medidas apresentaram valores inferiores a 0,5, indicando que os resultados inferenciais podem ser considerados válidos com uma aproximação em torno de 95%, segundo os autores (Tabela 3). O modelo ajustado aos dados do tratamento 2 foi o que apresentou menores as curvaturas. TABELA 2: Medidas de curvatura quadrática média 1 (RMS) para o modelo CV = ax b.

5 Tratamentos Curvatura intrínseca Curvatura de efeito parâmetro T1 0,1098 0,2385 T2 0,093 0,2332 T3 0,1093 0,2348 T4 0,0992 0, Valores calculados segundo Bates e Watts (1980). 80 T1 80 T T3 15 T FIGURA 1. Bandas de confiança para a resposta esperada e para estimativas do modelo exponencial em experimentos de conservação in vitro de Passiflora giberti N.E.Brown. As bandas de confiança para o modelo em todos os tratamentos podem ser observadas na Figura 1. É possível observar que a maioria dos pontos encontram-se dentro do intervalo delimitado pela região. Segundo Souza (2008) utilizou as medidas de não linearidades para validar o modelo utilizado em seu trabalho.

6 4 CONCLUSÃO A estimativa dos parâmetros obtidos pelo modelo exponencial foram significativas e é possível afirmar que o modelo apresenta o comportamento próximo do linear de acordo com as medidas de não linearidade encontrada para todos os experimentos de conservação in vitro de Passiflora giberti N.E.Brown. analisados. Os resultados para estas duas medidas apresentaram valores inferiores a 0,5, indicando que os resultados inferenciais podem ser considerados válidos com uma aproximação linear em torno de 95%. REFERÊNCIAS BATES, D. M.; WATTS, D. G. Relative curvature measures of nonlinearity (With discussion). Journal of the Royal Statistical Society, Ser. B, v.42, n. 1, p. 1-25, BATES, D. M.; WATTS, D. G. Nonlinear regression analysis and its applications. New York: Wiley series in probability e mathematical statistics, p. LESSMAN, K. J., ATKINS, R. E. Optimum plot size and relative efficieney of lattice designs for grain sorghum yield tests. Crop Science, v. 3, n. 5, p , R DEVELOPMENT CORE TEAM. R: A language and enviroment for statistical computing: versão v. Vienna: R Foudation for Statistical Computing. Disponível em: < Acesso em: 23 setembro de SOUZA, E. M. Modelagem não linear da extração de zinco em um solo tratado com lodo de esgoto. 2008, 95p. Dissertação (Mestrado em Estatística e Experimentação Agropecuária)-Universidade Federal de Lavras, Lavras, MG.

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